Przeskocz do treści

Akademia Matematyki Piotra Ciupaka

Matematyka dla licealistów i maturzystów

Strona główna
Dlaczego warto?
O mnie
Opinie
Kontakt
Chce dołączyć!

Opublikowane w przez

1.24. Podaj rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych: a) 5/8 b) 7/6

1.24. Podaj rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych: a) 5/8 b) 7/6

Kategorieaa Bez kategorii

Zobacz wpisy

Poprzedni wpisPoprzedni 1.23. Wypisz elementy zbioru A, jeśli a) A=\ x;x= 1 n :n in N + \ c) A=\ x;x=4k:k in Z\ e) A=\ x;x=n^ 2 |n in N\ b) A=\ x:x=2^ n |n in N] d) A=\ x:x=3k ik in Z\ A=\ x:x=k^ dagger |k in Z] f)

Następny wpisNastępny 1.25. Ułamek okresowy a) 0 (6) 4 2/7 zamień d) 22/9 na nieskracalny b) 0, (36) c 0, 4(6) e) 31/8 ułamek zwykły: d) 0,1(2) e) 0,023) f) 13/11 f) 0, 1(28)

Matura czerwiec 2017 zadanie 1 Liczba |9−2|−|4−7| jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 10 Równanie x(x−3)(x^2+25)=0 ma dokładnie
Matura czerwiec 2017 zadanie 11 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x−3)(7−x). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej o równaniu
Matura czerwiec 2017 zadanie 12 Punkt A=(2017,0) należy do wykresu funkcji f określonej wzorem
Matura czerwiec 2017 zadanie 13 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, spełniony jest warunek 2a3=a2+a1+1. Różnica r tego ciągu jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 14 Dany jest ciąg geometryczny (x,2x^2,4x^3,8) o wyrazach nieujemnych. Wtedy
Matura czerwiec 2017 zadanie 15 Kąt α jest ostry i tgα=12/5. Wówczas sinα jest równy
Matura czerwiec 2017 zadanie 16 W okręgu o środku O dany jest kąt wpisany ABC o mierze 20∘ Miara kąta CAO jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 17 Odcinek BD jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego ABC trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 5 i 3. Wówczas miara φ kąta DBC spełnia warunek
Matura czerwiec 2017 zadanie 18 Prosta przechodząca przez punkt A=(−10,5) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu
Matura czerwiec 2017 zadanie 19 Punkty A=(−21,11) i B=(3,17) są końcami odcinka AB. Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi Ox układu współrzędnych jest odcinek A′B′. Środkiem odcinka A′B′ jest punkt o współrzędnych
Matura czerwiec 2017 zadanie 2 Iloczyn dodatnich liczb a i b jest równy 1350. Ponadto 15% liczby a jest równe 10% liczby b. Stąd wynika, że b jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 20 Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A′B′C′ w skali 5/2, przy czym |AB|=5/2|A′B′|. Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta A′B′C′ jest równy
Matura czerwiec 2017 zadanie 21 Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe 1/3π^3. Długość boku tego trójkąta jest równa Długość boku tego trójkąta jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 22 Pole trójkąta prostokątnego ABC, przedstawionego na rysunku, jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 23 Długość przekątnej sześcianu jest równa 6. Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 24 Pole powierzchni bocznej walca jest równe 16π, a promień jego podstawy ma długość 2. Wysokość tego walca jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 25 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od 20, jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 26 Rozwiąż nierówność (x−1/2)x>3(x−1/2)(x+1/3).
Matura czerwiec 2017 zadanie 27 Kąt α jest ostry i spełniona jest równość sinα+cosα=√7/2. Oblicz wartość wyrażenia (sinα−cosα^)2.
Matura czerwiec 2017 zadanie 28 Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC w punkcie D. Udowodnij, że jeżeli |AD|=|BD|, to |CD|=1/2⋅|BD|.
Matura czerwiec 2017 zadanie 29 Wykaż, że prawdziwa jest nierówność (1,5)^100
Matura czerwiec 2017 zadanie 3 Suma 16^24+16^24+16^24+16^24 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 30 Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równa 30. Ponadto a30=30. Oblicz różnicę tego ciągu.
Matura czerwiec 2017 zadanie 31 Ze zbioru liczb 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę (a,b), gdzie a jest wynikiem pierwszego losowania, b jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par (a,b) takich, że iloczyn a⋅b jest liczbą parzystą.
Matura czerwiec 2017 zadanie 32 Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość √26. Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.
Matura czerwiec 2017 zadanie 33 Punkty A=(−2,−8) i B=(14,−8) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB|=|AC|. Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y=1/2x−7. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta.
Matura czerwiec 2017 zadanie 34 Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA′B′C′D′ jest romb ABCD. Przekątna AC′ tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘, a przekątna BD′ jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 45∘. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Matura czerwiec 2017 zadanie 4 Liczba log327−log31 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 5 Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie x^6−2x^3−3 jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 6 Wartość wyrażenia (b−a)^2 dla a=2√3 i b=√75 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 7 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=21−(7/3)x. Miejscem zerowym funkcji f jest
Matura czerwiec 2017 zadanie 8 Rozwiązaniem układu równań x+y=1 x−y=b z niewiadomymi x i y jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że
Matura czerwiec 2017 zadanie 9 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=x^2+bx+c oraz f(−1)=f(3)=1. Współczynnik b jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 1 Dla x=22–√+1 oraz y=2–√−1 wartość wyrażenia x2−2xy+y2 jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 10 Największą wartością funkcji y=−(x−2)2+4 w przedziale ⟨3,5⟩ jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 11 Funkcja liniowa f(x)=(1−m2)x+m−1 nie ma miejsc zerowych dla
Matura Czerwiec 2018 zadanie 12 Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x)=−(x−1)(3−x). Wskaż ten rysunek.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 13 Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an) określonego dla n≥1 są dodatnie i 3a2=2a3. Stąd wynika, że iloraz q tego ciągu jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 14 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony wzorem an=16−12⋅n dla każdej liczby całkowitej n≥1. Różnica r tego ciągu jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 15 Liczba 1−tg40∘ jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 16 Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C, taki, że |OB|=|BC| (zobacz rysunek). Pole trójkąta AOC jest równe
Matura Czerwiec 2018 zadanie 17 Okrąg o środku S1=(2,1) i promieniu r oraz okrąg o środku S2=(5,5) i promieniu 4 są styczne zewnętrznie. Wtedy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 18 Długości boków trapezu równoramiennego są równe 12,13,2,13. Wysokość h tego trapezu jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 19 Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku 4:3:3:2. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
Matura Czerwiec 2018 zadanie 2 Dane są liczby: a=log128, b=log48, c=log412. Liczby te spełniają warunek
Matura Czerwiec 2018 zadanie 20 Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa 27π. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 21 Stożek o promieniu podstawy r i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 22 Wśród 100 osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli. Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 23 Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 24 Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 25 W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe
Matura Czerwiec 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2x(1−x)+1−x
Matura Czerwiec 2018 zadanie 27 Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=x2+bx+c jest parabola, na której leży punkt A=(0,−5). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=7. Oblicz wartości współczynników b i c.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 28 Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 29 Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że |EC|=2|DE|, a na boku AB wybrano taki punkt F, że |BF|=|DE|. Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są przystające.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 3 Wskaż liczbę spełniającą nierówność (4−x)(x+3)(x+4)>0.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 30 Kąt α jest ostry i sinα+cosα=2–√. Oblicz wartość wyrażenia tgα+1tgα.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 31 Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 32 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H=16. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy 35. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 33 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla liczb naturalnych n≥1, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S10=154. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 34 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 453–√. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 4 Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował
Matura Czerwiec 2018 zadanie 5 Na rysunku przedstawiony jest przedział (−10,k⟩, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21. Stąd wynika, że
Matura Czerwiec 2018 zadanie 6 Równanie x−12x+1=0
Matura Czerwiec 2018 zadanie 7 Liczbę 2241111 można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 8 Liczba 820−2⋅420220⋅410 jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 9 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=−2(x+2)−1(x−3)2 dla każdej liczby rzeczywistej x≠−2. Wartość funkcji f dla argumentu 2 jest równa
Matura maj 2015 zadanie 1 Wskaż rysunek na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności −4≤x−1≤4.
Matura maj 2015 zadanie 10 Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=2x+b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja g(x)=−3x+4. Stąd wynika, że
Matura maj 2015 zadanie 11 Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x)=x2+x+c. Jeśli f(3)=4, to
Matura maj 2015 zadanie 12 Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność 2/7
Matura maj 2015 zadanie 13 W rosnącym ciągu geometrycznym (an), określonym dla n≥1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy
Matura maj 2015 zadanie 14 W układzie współrzędnych zaznaczono punkt P=(−4,5). Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy
Matura maj 2015 zadanie 15 Jeżeli 0∘
Matura maj 2015 zadanie 16 Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20∘ mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa
Matura maj 2015 zadanie 17 Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy
Matura maj 2015 zadanie 18 Prosta l o równaniu y=m2x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m−4)x−3. Zatem:
Matura maj 2015 zadanie 19 Proste o równaniach: y=2mx−m2−1 oraz y=4m2x+m2+1 są prostopadłe dla
Matura maj 2015 zadanie 2 Dane są liczby a=−1/27, b=log(1/4)64, c=log(1/3)27. Iloczyn abc jest równy
Matura maj 2015 zadanie 20 Dane są punkty M=(−2,1) i N=(−1,3). Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt
Matura maj 2015 zadanie 21 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E,G,L połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
Matura maj 2015 zadanie 22 Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Objętość tego stożka jest równa
Matura maj 2015 zadanie 23 Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
Matura maj 2015 zadanie 24 Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9,x. Wynika stąd, że
Matura maj 2015 zadanie 25 W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy
Matura maj 2015 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2×2−4x>(x+3)(x−2).
Matura maj 2015 zadanie 27 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4×2−8xy+5y2≥0.
Matura maj 2015 zadanie 28 Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL|=1/3|BE| i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.
Matura maj 2015 zadanie 29 Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=x2−6x+3 w przedziale ⟨0,4⟩.
Matura maj 2015 zadanie 3 Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa
Matura maj 2015 zadanie 30 W układzie współrzędnych dane są punkty A=(−43,−12), B=(50,19). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P. Oblicz pierwszą współrzędną punktu P.
Matura maj 2015 zadanie 31 Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy 4/7, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1/2. Wyznacz ten ułamek.
Matura maj 2015 zadanie 32 Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Matura maj 2015 zadanie 33 Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne. Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.
Matura maj 2015 zadanie 34 W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1,a3,ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
Matura maj 2015 zadanie 4 Równość m/(5-√5)=(5+√5)/5 zachodzi dla
Matura maj 2015 zadanie 5 Układ równań x−y=3 i 2x+0,5y=4 opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie
Matura maj 2015 zadanie 6 Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x−11)=0 jest równa
Matura maj 2015 zadanie 7 Równanie (x−1)/(x+1)=x−1
Matura maj 2015 zadanie 8 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest
Matura maj 2015 zadanie 9 Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(m−1)x+3 leży punkt S=(5,−2). Zatem
Matura maj 2017 zadanie 1 Liczba 5^8⋅16^−2 jest równa:
Matura maj 2017 zadanie 10 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c, o miejscach zerowych: −3 i 1. Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy
Matura maj 2017 zadanie 11 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem f(x)=a^x. Punkt A=(1,2) należy do wykresu funkcji. Podstawa a potęgi jest równa
Matura maj 2017 zadanie 12 W ciągu arytmetycznym an, określonym dla n≥1, dane są: a1=5, a2=11. Wtedy
Matura maj 2017 zadanie 2 Liczba 3√54−3√2 jest równa
Matura maj 2017 zadanie 3 Liczba 2log2(3)−2log2(5) jest równa
Matura maj 2017 zadanie 4 Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?
Matura maj 2017 zadanie 5 Równość (x√2−2)^2=(2+√2)^2 jest
Matura maj 2017 zadanie 6 Do zbioru rozwiązań nierówności (x^4+1)(2−x)>0 nie należy liczba:
Matura maj 2017 zadanie 7 Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności 2−3x≥4.
Matura maj 2017 zadanie 8 Równanie x(x^2−4)(x^2+4)=0 z niewiadomą x
Matura maj 2017 zadanie 9 Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=√3(x+1)−12 jest liczba
Matura Maj 2018 zadanie 1 Liczba 2log 6 log 4 3 3 − jest równa
Matura maj 2018 zadanie 10 Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = ax + b , a punkt M = (3, − 2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy
Matura maj 2018 zadanie 11 Dany jest ciąg ( ) n a określony wzorem 5 2 n 6 a = − n dla n ≥ 1. Ciąg ten jest A. arytmetyczny i jego różnica jest równa 1 3 r = − . B. arytmetyczny i jego różnica jest równa r = −2 . C. geometryczny i jego iloraz jest równy 1 3 q = − . D. geometryczny i jego iloraz jest równy 5 6 q = .
Matura maj 2018 zadanie 12 Dla ciągu arytmetycznego (an ), określonego dla n ≥1, jest spełniony warunek 4 5 6 a + a + a =12. Wtedy
Matura maj 2018 zadanie 13 Dany jest ciąg geometryczny ( ) n a , określony dla n ≥1, w którym 1 a = 2 , 2 a = 2 2 , 3 a = 4 2 . Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
Matura maj 2018 zadanie 14 Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek). Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek
Matura maj 2018 zadanie 15 Dany jest trójkąt o bokach długości: 2 5 , 3 5 , 4 5 . Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości
Matura maj 2018 zadanie 16 Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α +β =111° . Wynika stąd, że
Matura maj 2018 zadanie 17 Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL = a , MN = b , a > b . Kąt KLM ma miarę 60° . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa
Matura maj 2018 zadanie 18 Punkt K = (2, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym KM = LM . Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N = (4, 3) . Zatem
Matura maj 2018 zadanie 19 Proste o równaniach y = (m+ 2) x +3 oraz y = (2m−1) x −3 są równoległe, gdy
Matura Maj 2018 zadanie 2 Liczba 3√7/3⋅3√81/56 jest równa
Matura maj 2018 zadanie 20 Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
Matura maj 2018 zadanie 21 Zadanie 21. (0–1) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa
Matura maj 2018 zadanie 22 Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa
Matura maj 2018 zadanie 23 W zestawie liczb liczb 2, 2, 2, , 2, 4, 4, 4, , 4 m m …… jest 2m liczb (m ≥1) , w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe
Matura maj 2018 zadanie 24 Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?
Matura maj 2018 zadanie 25 W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe
Matura maj 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2×2 − 3x > 5.
Matura maj 2018 zadanie 27 Rozwiąż równanie (x3 +125)(x2 − 64) = 0 .
Matura maj 2018 zadanie 28 Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność 1 1 2 2a 2b a b + ≥ + .
Matura maj 2018 zadanie 29 Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2. Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od 2 −1.
Matura Maj 2018 zadanie 3 Dane są liczby a = 3,6⋅10−12 oraz b = 2,4⋅10−20 . Wtedy iloraz a b jest równy
Matura maj 2018 zadanie 30 Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f (x) = ax (gdzie a > 0 i a ≠1), należy punkt P = (2, 9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g (x) = f (x) − 2 .
Matura maj 2018 zadanie 31 Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an ), określonego dla n ≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Matura maj 2018 zadanie 32 W układzie współrzędnych punkty A = (4,3) i B = (10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.
Matura maj 2018 zadanie 33 Dane są dwa zbiory: A ={100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B ={10,11,12,13,14,15,16}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Matura maj 2018 zadanie 34 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura Maj 2018 zadanie 4 Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A. 865,00 zł
Matura maj 2018 zadanie 5 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 2 1 2 3 − x > jest przedział A. , 1 6 −∞ 
Matura maj 2018 zadanie 6 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Liczby 1 x , 2 x są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
Matura maj 2018 zadanie 7 Równanie 0 4 2 2 2 = − + x x x A. ma trzy rozwiązania: x = − 2 , x = 0 , x = 2
Matura maj 2018 zadanie 8 Funkcja liniowa f określona jest wzorem 1 3 f (x) = 1 x − , dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie     =  3 P 0, 1 .
Matura maj 2018 zadanie 9 Wykresem funkcji kwadratowej f (x) = x2 − 6x −3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Matura sierpień 2015 zadanie 1 Jeśli a=3/2 i b=2, to wartość wyrażenia a⋅b/(a+b) jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 10 określona wzorem f(x)=(2x−8)/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0. Wówczas wartość funkcji f(√2) jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 11 Parabola o wierzchołku W=(−3,5) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem
Matura sierpień 2015 zadanie 12 Wykres funkcji liniowej y=2x−3 przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych
Matura sierpień 2015 zadanie 13 Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y=f(x) ma współrzędne (2,2). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g(x)=f(x+2) ma współrzędne
Matura sierpień 2015 zadanie 14 Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 7 tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba
Matura sierpień 2015 zadanie 15 Ciąg liczbowy określony jest wzorem an=(2^n−1)/(2^n+1), dla n≥1. Piąty wyraz tego ciągu jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 16 Sinus kąta ostrego α jest równy 3/4. Wówczas
Matura sierpień 2015 zadanie 17 W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych 2 i 5 cosinus większego z kątów ostrych jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 18 Pole rombu o boku 6 i kącie rozwartym 150∘ jest równe
Matura sierpień 2015 zadanie 19 W okręgu o środku O dany jest kąt o mierze 50∘, zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą α jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 2 Dany jest prostokąt o wymiarach 40 cm×100 cm. Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o 20%, a każdy z krótszych boków skrócimy o 20%, to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta
Matura sierpień 2015 zadanie 20 Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty A=(−4,3) oraz B=(8,7), jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 21 Punkt S=(2,−5) jest środkiem odcinka AB, gdzie A=(−4,3) i B=(8,b). Wtedy
Matura sierpień 2015 zadanie 22 Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków a,b,c, gdzie a
Matura sierpień 2015 zadanie 23 Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy 4 i wysokość jest równa 6, ma długość
Matura sierpień 2015 zadanie 24 W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe
Matura sierpień 2015 zadanie 25 Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1,2,3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
Matura sierpień 2015 zadanie 26 Rozwiąż równanie (2x−4)/x=x/(2x−4), gdzie x≠0 i x≠2.
Matura sierpień 2015 zadanie 27 Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim – 8 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 11.
Matura sierpień 2015 zadanie 28 Rozwiąż nierówność 20x≥4×2+24.
Matura sierpień 2015 zadanie 29 Kąt α jest ostry i spełnia równość tgα+1/tgα=7/2. Oblicz wartość wyrażenia sinα⋅cosα.
Matura sierpień 2015 zadanie 3 Liczba 9^5⋅5^9/45^5 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 30 Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x3+y3≥x2y+xy2
Matura sierpień 2015 zadanie 31 W prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC, a punkt R jest środkiem boku CD. Wykaż, że pole trójkąta APR jest równe sumie pól trójkątów ADR oraz PCR.
Matura sierpień 2015 zadanie 32 Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach A=(−2,2), B=(6,−2), C=(10,6)
Matura sierpień 2015 zadanie 33 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 3:4, a pole jest równe 192 (zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘. Oblicz objętość ostrosłupa.
Matura sierpień 2015 zadanie 34 Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x)=ax^2+bx+c. Zbiorem rozwiązań nierówności f(x)>0 jest przedział (0,12). Największa wartość funkcji f jest równa 9. Oblicz współczynniki a, b i c funkcji f.
Matura sierpień 2015 zadanie 4 Liczba √9/7+√7/9 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 5 Wartość wyrażenia log(5)0,04−12log(25)1 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 6 Wartość wyrażenia (a+5)2 jest większa od wartości wyrażenia (a2+10a) o
Matura sierpień 2015 zadanie 7 Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań x+3y=−5 i 3x−2y=−4 Wskaż ten rysunek.
Matura sierpień 2015 zadanie 8 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 2(x−2)≤4(x−1)+1 jest
Matura sierpień 2015 zadanie 9 Rozwiązaniem równania x2(x+1)=x2−8 jest
Matura sierpień 2018 zadanie 1 Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10% zmniejszytła się o 2018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował
Matura sierpień 2018 zadanie 10 Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=x2−2x−11 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Matura sierpień 2018 zadanie 11 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=−3(x−2)(x−9). Liczby x1, x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
Matura sierpień 2018 zadanie 12 Największą wartością funkcji y=−(x−2)2+4 w przedziale ⟨3,5⟩ jest
Matura sierpień 2018 zadanie 13 Ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, spełnia warunek a3+a4+a5=15. Wtedy
Matura sierpień 2018 zadanie 14 Dla pewnej liczby x ciąg (x,x+4,16) jest geometryczny. Liczba x jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 15 W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α jest równa 3–√. Zatem:
Matura sierpień 2018 zadanie 16 Kąt α jest ostry i cosα=35. Wtedy
Matura sierpień 2018 zadanie 17 Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L, M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α+β=114∘.
Matura sierpień 2018 zadanie 18 Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 80∘. Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę
Matura sierpień 2018 zadanie 19 Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze 60∘ jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 2 Liczba √3√2 jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 20 Proste o równaniach y=(3m−4)x+2 oraz y=(12−m)x+3m są równoległe, gdy
Matura sierpień 2018 zadanie 21 Punkt A=(−3,2) jest końcem odcinka AB, a punkt M=(4,1) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka AB jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 22 Jeżeli α oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to
Matura sierpień 2018 zadanie 23 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej 102–√. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 24 Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły. Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 25 W grupie liczącej 29 uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x^2+6x−16
Matura sierpień 2018 zadanie 27 Rozwiąż równanie (x^3+27)(x^2−16)=0.
Matura sierpień 2018 zadanie 28 W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.
Matura sierpień 2018 zadanie 29 Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (a+b)(1/a+1/b)≥4.
Matura sierpień 2018 zadanie 3 Dane są liczby x=4,5⋅10−8 oraz y=1,5⋅102. Wtedy iloraz xy jest równy
Matura sierpień 2018 zadanie 30 Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Matura sierpień 2018 zadanie 31 Punkty A=(2,4), B=(0,0), C=(4,−2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.
Matura sierpień 2018 zadanie 32 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
Matura sierpień 2018 zadanie 33 Ze zbioru A={−3,−2,−1,1,2,3} losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru B={−1,0,1,2} losujemy liczbę b. Te liczby są – odpowiednio – współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej f(x)=ax+b. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.
Matura sierpień 2018 zadanie 34 W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB.
Matura sierpień 2018 zadanie 4 Liczba log496−log46 jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 5 Równość (a+23–√)2=13+43–√ jest prawdziwa dla
Matura sierpień 2018 zadanie 6 Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y. wskaż ten układ
Matura sierpień 2018 zadanie 7 Rozwiązaniem równiania x−23(x+2)=19 jest liczba
Matura sierpień 2018 zadanie 8 Dane są funkcje f(x)=3x oraz g(x)=f(−x), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Punkt wspólny wykresów funkcji f i g
Matura sierpień 2018 zadanie 9 Punkt (1,3–√) należy do wykresu funkcji y=23–√x+b. Współczynnik b jest równy

zadania maturalne

3.54. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Na podstawie wykresu odczytaj: a) dziedzinę funkcji f b) zbiór wartości funkcji f c) wartość funkcji f dla argumentu (- 2) d) argumenty, dla których funkcja f przyjmuje war tość równą 4.
3.53. Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy funkcji. Odczytaj z wy kresu zbiór wartości każdej funkcji. Podaj najmniejszą oraz największą wartość funk cji, o ile istnieje, oraz argument (argumenty), dla którego (dla których) ta wartość jest przyjmowana. a) Y -3 2 b) Y -4 3 -2 0 y = f(x) -5 4 -3 -2 -1 3 4 5 6 X -4 -3 -2 1 y = f(x) 2 3 4 X -2 c) Y 4 d) y = f(x) b) f(x) = 3 – 2|x| , D f =\ -8,-2,3\ d) f(x)= x-4 2x , D f =\ -4,-2,1,2,3\ -2 -1 18 -2 y = f(x) 2 3 4 5 6 X -4 -3 -2 -1 2 3 4 X 5 4 -3 -2 -1 lo -3 e) f) -4 +3 2 -1 -3 -2 y = f(x) y = f(x) -1 2 V 10 4 X
3.52. Funkcja f każdej liczbie całkowitej ze zbioru porządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 5. Podaj zbiór wartości funkcji f. \ -2,-1,0,4,8,10,13,15\ przy
3.51. Funkcja f każdej liczbie naturalnej ze zbioru \ 0,1,2,3,4,5,6,7\ przyporząd kowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 4. Podaj zbiór wartości funkcji f.
3.50. Wyznacz zbiór wartości funkcji f, jeśli: a) f(x) = sqrt(3) , D f =\ -4,-3,-2,-1,0,1\ } c) f(x) = sqrt(2x – 1) ) , D f =\ 1,5,13,25\ e) f(x)= 3-log 4 x 5 , f =\ 1 4 , 1 2 ,1,2,4\ f) f(x) = 4 – 6 * 3 ^ (x – 2) , D f =\ -1,0,1,2,3\
3.49. Wyznacz dziedzinę funkcji f, jeśli: a) f(x) = sqrt(2x – 16) c) f(x) = 5/(sqrt(9 – 3x)) e) f(x) = sqrt(x + 4) + 1/(sqrt(2x – 5)) b) f) f(x) = 5/(3x – 8) c) f) f(x) = (2x – 7)/(x(x + 8)) f(x) = (x ^ 3 + 2)/((x + 7)(x ^ 2 + 1)) ) f(x) = (4 + x)/(16 – x ^ 2) f(x) = (4 – 5x)/(81 – 9x ^ 2) f(x) = (2x)/(9x ^ 2 – 6x + 1) f(x) = (2x + 5)/(x ^ 2 – 14x + 49) f(x) = (3x + 5)/((x + 3)(x – 1)) – 8/(x ^ 2 – 6x + 9) f(x) = (2x + 1)/(4x ^ 2 – 121) – 5/(x ^ 2 – 2) f(x) = (8x + 3)/(25x ^ 2 – 50) + (x + 9)/(4x ^ 2 – 28x + 49) d) f) b) f(x) = sqrt(8 – 4x) d) f) f(x) = (x + 1)/(sqrt(x + 9)) f(x) = (2x + 3)/(sqrt(7 – x)) – sqrt(x + 2) c) f) c) f)
3.48. Wyznacz dziedzinę funkcji f, jeśli: f(x) = 2/(x ^ 2 – 1) + (5x)/(x ^ 2 + 9) f(x) = (x + 1)/(x ^ 2 + 81) + (x + 15)/(x ^ 2 + 4) f(x) = (x – 6)/((2x + 7) * x ^ 2) – (4x)/(x ^ 2 + 10x + 25) a) c) e)
3.47. a) d) b) f(x) = 5/(4x ^ 2 – 9) f(x) = (3x + 8)/(64x ^ 2 – 9) e) Wyznacz dziedzinę funkcji f, jeśli: f(x) = (x + x ^ 2)/(4x ^ 2 + 4x + 1) f(x) = (x ^ 2 + 1)/(25x ^ 2 + 20x + 4) b) e) f(x) = 3/(4x ^ 2 + 12x + 9) f(x) = (x + 2)/(9x ^ 2 + 24x + 16)
3.46. Wyznacz dziedzinę funkcji f. jeśli: a) d) f(x) = (2x)/(x ^ 2 – 1) f(x) = (2x – 5)/(25 – 4x ^ 2)
3.45. Wyznacz dziedzinę funkcji f, jeśli: a) d) f(x) = (x + 4)/((x – 1)(x + 3)) f(x) = (3x + 2)/((3x – 4)(5x – 1)) b) e) f(x) = (5x)/(x ^ 2 + 3) f(x) = 1/((x – 9) * x * (x + 5))
3.43. Naszkicuj wykres przykładowej funkcji, której dziedziną a) D=(-4,1) cup(1,5) 3.44. Wyznacz dziedzinę funkcji f, jeśli: a) f(x) = (5x – 1)/3 jest zbiór D, b) D=(-3,3) cup\ 4,5\ b) f(x) = (x – 2)/x c) f(x) = (x ^ 2 – 4)/5 jeśli: d) f(x) = (3x + 1)/(x – 2) e) f(x) = 3x ^ 3 – 7
3.42. Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy funkcji. Podaj dziedzinę każdej funkcji. a) -3 3 +1 b) 3 -2 y y = f(x) 5 y = f(x) 4 5 6 X -2 -1 3 4 6 X -2 c) 2 2 -1 -1 d) y = f(x) ) -3 2 1 y = f(x) – .. 5 -4 -3 -2-1 1 -2 2 3 4 6 X -3 -2 2 3 4 5 6 7 78 X 7 e) AY +4 -3 2 10 1 2 3 4 X -2 -2 f) y = f(x) AY 4 3 . y = f(x) -6 -5 -4 -3 -2 – -7 -6 5 4 3 2 1 10 3D1 2 3 4 5 X
3.41. Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy funkcji. Podaj dziedzinę każdej z nich. a) b) c) AY 3 – 2 +1 y = f(x) -2 -1 y = f(x) -5 -4 -3 -2 -1 3 4 5 v = f(x) 6 X 3 -2-1 114 5 X f) d) e) AY -3 1 2 y = f(x) 2 3 4 2 1 y = f(x) 3-2 -1 y = f(x) 2 3 4 X 5 5 6 X 4 3X -2-1 1
3.40. Funkcja f opisana jest wzorem: f(x) = a) Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji fi osi OY. b) Oblicz wartość funkcji f dla argumentu 4. c) Wyznacz argumenty, dla których wartość funkcji f wynosi 3. d) Sprawdź, czy do wykresu funkcji f należy punkt A(sqrt(11), 10) Dziedzina funkcji liczbowej
3.39. Punkt A należy do wykresu funkcji f. Oblicz a, jeśli: a) f(x)=- 1 2 x^ 2 +5ax, A(1, 1/2) , jeśli x in(- infty,1) jeśli x in(1,+ infty) 4+2ax, x in(- infty,2) a-3x, jeśli xe (2, + ) c) f(x)= 5-3ax,\\ x^ 2 +a, d) f(x)= jeśli b) f(x) = 2a * x ^ 3 – 4 , A(- 1, 2) A(- 1, 11) A(3, – 8) f(x)= x^ 2 -1,ie\\ 8-2x,j epsilon jeśli x in langle-3,-2 rangle cup(3,5) jeśli x in(-2,3)
3.38. Sprawdź, wykonując obliczenia, który z punktów podanych obok wzoru funk cji f należy do wykresu tej funkcji. a) f(x) = – x ^ 2 + 1 , A(3, – 8) , B(- 2, 5) , c(sqrt(2), – 1) b) f(x) = x ^ 3 – 3x , A(- 1, – 3) , B(sqrt(5), – sqrt(5)) , C(root(3, – 8), log2 0, 25) jeśli r in(- infty,-4) |-x+7, jeśli x in\ -4,+ infty) c) f(x)= 2x+5,\\ -x+7, jeśli x in(- infty,1) d) f(x)= -x^ 2 +4,\\ sqrt 2x-1 , jeśli x in langle1,+ infty) /2x-1, jeśli x E A(2, 5), B(- 5, 12), C(- 2 1/2, 0) A(0,2), B(1,1), C(- 3, – 5)
3.37. Naszkicuj wykresy następujących funkcji. Odczytaj z rysunku współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji f z osią OX oraz z osią OY. jeśli x in langle0,4) , jeśli x in\ -4,-3,-2,-1\ ) , jeśli x in langle0,9 rangle jeśli x in(-4,0) x in(-3,0) e , jeśli x in\ -1,0,1\ } f)f(x)={(x-1)”, jeśli x in\ 0,1,2\ x in(1,+ infty) x, jeśli x in(2,+ infty) a) f(x) = -2, jeśli x in(-x,-1) x, jeśli xe(-1,3) f(x)= (x-2)^ 2 ,jessi x in\ 0,1,2\ \\ x,iesit x in(- infty,0) jeśli x in(- infty,-1) f(x)= -x,it\\ 3-x^ 2 \\ x,jes c) b) f(x)= sqrt x ,\\ x+2 d) f(x)= – sqrt x ,\\ x,je -X, jeśli
3.36. Wyznacz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f z osią OX oraz współrzędne punktu wspólnego tego wykresu z osią OY (o ile istnieją), jeżeli: a) f(x) = 0, 5x ^ 2 – 8 , x in(- infty,1) , x in mathbb N c) f(x) = 5x – 20 e) f(x) = – 2(x – 4) * (x + 3) , x in langle1,+ infty) b) f(x) = – 3x + 10 , x in mathbb N d) f(x) = x ^ 2 + 4x + 4 , x in mathbb Z f) f(x) = x ^ 2 + 1 , x in mathbb R
3.35. Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji z osią f z nie współrzędne punktu wspólnego tego wykresu z osią OY, jeżeli: a) f(x)= 2x-7 3 ,x in R c) f(x)=4(x-1)(x+2), x in R e) f(x) = x ^ 2 – 12x + 36 , x in f b) f(x)=8-2) , x in R d) f(x) = (x + 5) ^ 2 , x in R f) f(x) = 4x ^ 2 – 9 , x in R
3.34. Naszkicuj wykres funkcji a) f(x) = – sqrt(x) , x in langle1,+ infty) b) f(x) = x, x € (-4, -2) U(-1, 1) (2, 3) d) f(x) = x, x e (-0, -1) U (1, +0) b) f(x)=-*, x in\ -3,-2,-1\ cup(0,4) d) f(x) = – 1 , x in(2,+ infty) b) f (x) = sqrt(x) , x in\ 0,1\ cup langle4,9\ ) f (x) = sqrt(x) , x in(0,1) cup\ 4,9\ d) b) f(x)=- sqrt x , x in\ 0,1\ cup langle4,+ infty) d) f(x)=- sqrt x ,x in langle1,9) , a następ OX 1 f, jeśli: c) f(x) = – sqrt(x) , x in(0,1) cup(4,9)
3.33. Naszkicuj wykres a) f(x) = x x in(0,4) funkcji f, jeśli: c) f(x) = sqrt(x) , x in langle0,4 rangle cup\ 9\
3.32. Naszkicuj wykres funkcji f. jeśli: a) f(x)=-x, r in(3,4) c) f(x) = – x , x in langle-4,1) cup langle2,3 rangle
3.31. Naszkicuj wykres funkcji f. jeśli: a) f(x)=x, x in(-3,2) c) f(x) = x , x in(- infty,-2) cup\ 1,2,3\
3.30. Narysuj wykres funkcji f, jeśli: z)f(x)= 1, ies|i* e\ -3,-2,-1,0\\ – sqrt x ,jesii x in\ 1,4,9\ a f(x)= 2 x ,jesii x in\ -2,-1,- 1 2 , 1 2 ,1,2\ , jeśli x = 0 b) Podaj współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji fi osi OY.
3.29. Naszkicuj wykres funkcji f, która każdej liczbie rzeczywistej ujemnej przypo rządkowuje liczbę 3, liczbie 0 przyporządkowuje liczbę 2, zaś każdej liczbie dodatniej przyporządkowuje liczbę 0. a) Podaj wzór funkcji f. b) Podaj współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji f: 1) z osią OY,2) z osią ox.
3.28. Naszkicuj wykres funkcji f, jeśli: f(x)= -2, ies|i x in langle-4\\ 1, ies|i x in(2,5) a) -4,2) b) f(x)= -3,jesii x in langle-3,0\\ 4,ies|i x in(0,4) )
3.27. Narysuj wykres funkcji określonej wzorem f(x) = x ^ 3 , gdzie x in\ log 2 2 3 +log 2 6, 1 2 log 3 9, -1 2 log sqrt 2 2,log 1,log 1 80-log 1 5
3.26. Funkcja f każdej liczbie x ze zbioru X=\ 3,4,7,12\ przyporządkowuje pier wiastek kwadratowy z liczby o 3 od niej mniejszej. a) Narysuj wykres tej funkcji. b) Napisz wzór funkcji f.
3.25. Dany jest zbiór A=\ sqrt[3] -8 ,log 2 16, sqrt[4] 81 , 1 3 log 9 27,log 5 20-log 5 4\ Funkcja f każdej liczbie ze zbioru A przyporządkowuje liczbę o 1 od niej mniejszą. a) Narysuj wykres tej funkcji. b) Napisz wzór funkcji f.
3.24. Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. Podaj współrzęd ne punktów, w których wykres funkcji f przecina: 1) os OY. 2) oś OX. b) a) c) AY 3 +2 y = f(x) +3 y = f(x) y = f(x) 2 1 10 -1 -4 – 10 2
3.23. Który zbiór punktów jest wykresem pewnej funkcji zmiennej x? Odpowiedź uzasadnij. a) b) c) 4 -3 2 2 -1 -1 -3 2 -1 12 3 4 X 4 X d) AY -2 -1 e) AY 4 -3 -2 – 1 10 f) +3 3 4 X -4-3 – 1 4 X -4 N
3.22. Funkcja f opisana jest wzorem f(x) = 5(5 – 4x) + 4x ^ 2 , gdzie x in R R. Wykaz, że dla każdej liczby rzeczywistej a funkcja f przyjmuje wartości nieujemne. Wykres funkcji
3.21. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje kwadrat tej liczby powiększony o 5. a) Napisz wzór funkcji f. b) Wykaż, że f(- 2sqrt(3)) = f(2sqrt(3)) . c) Sprawdź, czy do wykresu funkcji f należą punkty A(- 12, 149) oraz B(- 3, – 4) . d) Uzasadnij, że funkcja f nie przyjmuje wartości równej 4.
3.20. Funkcja g każdej liczbie pierwszej z przedziału langle0,15 rangle przyporządkowuje licz bę o 2 od niej mniejszą. a) Sporządź tabelkę funkcji g. wartość wyrażenia (g(11)) g(7)-g(5) b) Oblicz lle punktów, o obu współrzędnych będących liczbami pierwszymi, należy do wy c) kresu funkcji g?
3.19. Funkcja h każdej liczbie całkowitej przyporządkowuje podwojoną sumę tej liczby i liczby 3. a) Napisz wzór funkcji h. b) Oblicz wartość funkcji h dla argumentu -51. c) Wyznacz argument, dla którego wartość funkcji jest równa 8. d) Czy funkcja h przyjmuje wartość równą 5? Odpowiedź uzasadnij.
3.18. Funkcja f każdej liczbie ze zbioru \ -4,-3,-2,-1,0,1,2\ przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 2. a) Sporządź tabelkę funkcji f. b) Narysuj wykres funkcji f. c) Podaj zbiór tych argumentów, dla których wartość funkcji f jest równa 1.
3.17. Funkcja f każdej liczbie ze zbioru { -8,-4,-2,0,4\ przyporządkowuje 25% różnicy tej liczby i liczby 6. a) Napisz wzór funkcji f. b) Wyznacz wszystkie wartości funkcji f. C) Oblicz wartość wyrażenia delta 1 2 [-(f(-8)+f(4))] . d) Narysuj wykres funkcji f.
3.16. Funkcja f opisana jest za pomocą wzoru f(x)=- 2 3 x+4,a je) dziedziną jest pięcioelementowy zbiór D f a) Uzupełnij tabelkę funkcji f. х f(x) – 4 1/2 16 3,5 9 3 b) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji f. c) Oblicz wartość wyrażenia f(- 4, 5) . f(9) – 3f * (0, 75)
3.15. Funkcja g opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych w następują- cy sposób: \ (0,0),(1,-1) , (4, – 2) , (9,-3),(16,-4)\ ). a) Oblicz wartość wyrażenia 1/3 * [g(4) – g(16)] ^ (1) ). b) Podaj opis słowny funkcji g. c) Napisz wzór funkcji g.
3.14. Funkcja f każdej liczbie ze zbioru \ -1,0,1,2,3\ przyporządkowuje kwadrat tej liczby pomniejszonej o 1. a) Zapisz funkcję f za pomocą zbioru b) Napisz wzór funkcji f. par uporządkowanych. c) Dla jakich argumentów wartość funkcji jest równa 4? d) Narysuj wykres funkcji f. 2 3 zbioru par upon 1 TO 2 2 y = g(x) 10 1 -4 -3 – -1 X
3.13. Funkcja g każdej liczbie ze zbioru \ -1,0,1,2\ przyporządkowuje jej sześcian pomniejszony o 3. a) Napisz wzór funkcji g. b) Uzupełnij tabelkę funkcji g х g(x) -4 1 5 c) Narysuj wykres funkcji g.
3.12. Funkcja h opisana jest za pomocą tabelki: X -5 h(x) 0 -4 1 -3 2 -2 3 -1 4 5 1 6 2 7 a) Podaj wartość funkcji h dla argumentu 0. b) Podaj argument, dla którego funkcja h przyjmuje wartość 2. c) Podaj wzór funkcji h. d) Narysuj wykres funkcji h.
3.11. W prostokątnym układzie współrzędnych (rysunek obok) przedstawiony jest wykres funkcji g. a) Uzupełnij tabelkę X g(x) funkcji g: -3 -2 -1 1 b) Podaj opis słowny funkcji g. c) Podaj wzór funkcji g.
3.10. W prostokątnym układzie współrzędnych (rysunek obok) przedstawiony jest wykres funkcji f a) Przedstaw funkcję f za pomocą rządkowanych b) Podaj dziedzinę funkcji f. c) Podaj zbiór wartości funkcji f. d) Podaj wzór funkcji f.
3.9. Na rysunku obok przedstawiony jest graf pewnej funkcji g. a) Dla jakich argumentów wartość funkcji g jest równa -4? b) Jaką wartość przyjmuje funkcja g dla argumentu -1? c) Podaj wzór funkcji g. d) Narysuj wykres funkcji g. g:X -30 -20 -10 bullet-9 30 10 .-1
3.8. Na rysunku obok przedstawiony jest graf pewnej funkcji f. a) Podaj opis słowny tego przyporządkowania. b) Podaj wzór funkcji f. f: X 1,5 0,25 . 50 1 Y 4 5 0,75
3.7. Funkcja f opisana jest za pomocą wzoru f(1/8), f(1/2), f(1), f(4), f(32) . a) Oblicz f b) Przedstaw tę x in\ 1 8 , 1 2 ,1,4,32\ f(x) = log2 x , gdzie funkcję za pomocą zbioru par uporządkowanych.
3.6. Funkcja fjest opisana za pomocą wzoru f(x) = a) Oblicz f(- 4), f(- 3), f(- 2), f(- 1) . b) Przedstaw tę funkcję za pomocą tabelki.
3.5. W prostokątnym układzie współrzędnych przedstawiono wykresy przyporząd przekształcających zbiór X w zbiór Y. kowań AY b) 6 4 34 -1 2 1 6 -654 -2 X 3D1 Które z tych przyporządkowań jest funkcją odwzorowującą zbiór X w zbiór Y? Odpowiedź uzasadnij. W przypadku funkcji – podaj jej dziedzinę i zbiór wartości. gdziex x in\ -4,-3,-2,-1\ . 1) 2) f(x) = (1/3) ^ (x / 2)
3.4. Funkcja f sposób, że f(1) = 4, f(4) = 6, f(5) = 4, f(7) = 3, f(8) = 0 . a) Narysuj graf funkcji f. b) Czy funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y? Y=\ 0,3,4,6,8\ , w taki
3.3. Wykonaj siedem rzutów kostką sześcienną do gry. Każdemu rzutowi przypo rządkuj liczbę wyrzuconych oczek (zakładamy, że kostka tak upadnie, że za każdym razem będziemy mogli odczytać wynik). Zapisz otrzymane pary liczb w postaci: \ (x,y) : x – n numer rzutu, y – liczba otrzymanych oczek). Podaj dziedzinę opisanej w ten sposób funkcji, zbiór wartości tej funkcji oraz war tość funkcji dla argumentu 4. odwzorowuje zbiór X=\ 1,4,5,7,8\ } w zbiór
3.2. Które z podanych przyporządkowań są funkcjami? Odpowiedź uzasadnij. Każdemu państwu europejskiemu przyporządkowujemy jego obecną stolicę. b) Każdemu aktorowi filmowemu przyporządkowujemy tytuł filmu, w którym zagrał. a) c) Każdemu uczniowi Twojej klasy przyporządkowujemy ocenę z matematyki na świadectwie ukończenia szkoły podstawowej. d) Każdej liczbie całkowitej przyporządkowujemy jej kwadrat.
3.1. Który z poniższych grafów jest grafem funkcji odwzorowującej zbiór X w Odpowiedź uzasadnij. a) Y b) Х 1 3 5 Y zbiór Y? b c) X d) Х a 3.3 W przypadku funkcji podaj jej dziedzinę i zbiór wartości.
40. Wykaż, że liczba sqrt(11) jest liczbą niewymierną.
39. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest wielokrotnością liczby 8.
38. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierówność: a ^ 2 + b ^ 2 + 2 >= 2(a + b) D
37. Wykaż, że D D 38. jeśli x ^ 2 + y ^ 2 = 7 oraz xy = 1ix < 0 , to x + y = - 3 .
36. Wykaż, że jeśli xi y są liczbami rzeczywistymi, x ^ 2 + y ^ 2 = 2ix + y = 1 , to xy = – 1/2
35. Wykaż, że liczba 3 ^ 16 – 2 ^ 16 jest podzielna przez 65.
34. Wykaż, że liczba 5 ^ 12 – 1 jest podzielna przez 124. d)
33. Wykaż, że jeślin n in N + , to liczba 5 ^ n + 5 ^ (n + 1) + 5 ^ (n + 2) jest podzielna przez 155. D
32. W pewnym mieście przez trzy kolejne lata badano zmianę liczby ludności. W pierwszym roku liczba ludności wzrosła o 4 1/0 , w drugim zmalała o 4%, a w trzecim się nie zmieniła. Ile wyniosła średnia, procentowa zmiana liczby ludności w ciągu tych trzech lat? Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku. D
31. Średni wiek uczestników szkolnego kółka teatralnego wynosi 11 lat. Najstarszy uczestnik ma 17 lat, a średni wiek pozostałych jest równy 10 lat. Ilu uczniów uczest niczy w zajęciach kółka teatralnego?
30. Wiedząc, że logs 12 = a raz * log5 2 = b, oblicz : a) log5 6 b) log5 9 c) log5 root(5, 3) d) log3 50
29. Oblicz wartość wyrażenia: i y = 243 ^ 28 b) r = 128 ^ 36 i y = 4 ^ (12 degrees) d) x = (2sqrt(2)) ^ 28 i y = ((sqrt(8))/64) ^ – 6 [ 81 625 )^ -0.39 = (1 2 3 )^ -1 -(0,125)^ 1 [ 125^ 3 -(0,2)^ -1 (0,5)^ -2 .0,2)^ -3 ^ 3 4 b) przybliżenie liczby 100 ^ (- 3/4) jest równe 0,031623, wyznacz przybliżenia b) 100 ^ (5/4) V128 +log 323 log (2/2) log
28. Wiedząc, że liczb: a) 100 ^ (1/4)
27. Oblicz: a) sqrt(9) * [(1, 5) ^ – 1 + 9 ^ (- 1, 5)] – 27 ^ (- 2/3) c) root(3, 0, 375) * root(3, 9) + (3 ^ – 1 – root(4, 16/81)) ^ – 2
26. Porównaj liczby: a) x = 81 ^ 20 * i y = 1024 ^ 8 x = (1/27) ^ – 48 c) x=
25. Sprowadź wyrażenie y: (y y ): y = sqrt(2sqrt(2)) staci i oblicz jego wartość dla y= y y ne0 , do najprostszej po
24. Rozłóż wyrażenia na czynniki: a) 9 – x ^ 4 25 – 4 * (x – y) ^ 2 c) b) 2x ^ 2 – 16x + 32 d) (2x – 1) – y(1 – 2x) [y ^ 3 / (y ^ 2 * y ^ 3)] ^ 4 / ([(1/y) ^ 4 * 1/(y ^ – 2)] ^ – 3)
23. Rozwiąż nierówności: a) (3x – 2) ^ 2 – 5x – (3x + 2)(3x – 2) < (2 - 3x) ^ 2 - 9x ^ 2 + 4 b) c) d) 2 * (x - 3) ^ 2 - 1/2 >= ((2x – 3)(2x + 3))/2 – x (x – 3) ^ 2 – (x ^ 2 – 3)/3 – 9 < ((x - 2)(x + 2))/6 + 1/2 * x ^ 2 1 - (3x - 2) ^ 2 >= (x – 36)/3 – 9(x + 1) * (x – 1)
22. Wyznacz wartość a tak, aby podana obok równania liczba była rozwiązaniem tego równania: a) (3x + 1)(x + a) – 3(x – 1) * (x – a) = 4 ; 0,5 b) (x+a)^ 2 -(x-a)^ 2 =40; 2 c) (2x-a)(2x+a)-(2x+a)^ 2 =2;-1 d) (x – a)(x + a) – (x – a) ^ 2 = 8 ; 4
21. Rozwiąż równania: a) 12 – 2 * (x – 1) ^ 2 = 4(x – 2) – (x – 3)(2x – 5) b) (3x – 1) ^ 2 – 5 * (2x + 1) ^ 2 + (6x – 3)(2x + 1) = (x – 1) ^ 2 c) 5 * (x – 1) ^ 2 – 2 * (x + 3) ^ 2 = 3 * (x + 2) ^ 2 – 7(6x – 1) d) 2x ^ 2 + (x + 5) ^ 2 – 2 * (x + 7) ^ 2 = 2(3x – 72, 5) + (x – 6) ^ 2
20. Sprowadź wyrażenia do najprostszej postaci i oblicz ich wartość dla podanych obok wartości zmiennych:
19. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: a) (sqrt(3) + sqrt(2))/(sqrt(3) – sqrt(2)) – (sqrt(3) – sqrt(2))/(sqrt(3) + sqrt(2)) + (1 – 16sqrt(6))/4 b) w postaci a + b * sqrt(c) , (sqrt(7) – sqrt(6))/(sqrt(7) + sqrt(6)) – (sqrt(7) + sqrt(6))/(sqrt(7) – sqrt(6)) + (8sqrt(42) + 3)/2
18. Rozwiąż równanie: 2x + 2 = sqrt(3) – sqrt(3) * x . Przedstaw rozwiązanie gdzie a,b, c oznaczają liczby całkowite ic>0.
17. Wykonaj działania: a) 2(root(3, 64) – sqrt(3 ^ 4)) * (3 * root(3, 8) – 2 * root(5, – 1)) c) (0, 25 * root(3, 27) – 1/3 * root(4, 256)) * sqrt(4 * (- 10) ^ 4) b) 2 ^ 5 * x + 2 ^ 7 * x = 14 ^ 2 / 0, 5 – 2 ^ 6 * x b) (3sqrt(75) – 2sqrt(12)) / (11sqrt(3)) d) (sqrt(144) + 6 * root(3, – 343))/18 * (root(4, 81) * 0, 2sqrt(50))
16. Rozwiąż równania: a) 8 1 6 )^ 3 : (8 1 6 )^ 2 * x= (1 1 6 )^ 2
15. Liczba log3 root(3, 0, (3)) jest liczbą: A. mniejszą od -2 C. niewymierną C. 6 D – 1/2 B. całkowitą nieujemną wymierną ujemną D. Zadania powtórzeniowe do rozdziału 2.
14. Suma A. -2 B. – 3(x + 1) * (x + 3) C. (3x – 3)(3 – x) D. (x + 3)(- 3x + 3) og 6 9+log 6 4 jest równa: B. 2
13. Wyrażenie x ^ 2 – (2x + 3) ^ 2 po rozłożeniu na czynniki ma postać: A. 3(3 – x) * (x + 1)
12. Zbiorem rozwiązań nierówności (x – 3)(x + 2) <= x(x + 2) jest: A. zbiór pusty C. przedział - infty,3 rangle B. przedział (-2,+ infty) D. zbiór liczb rzeczywistych
11. Kwadrat liczby x jest o 1 większy od kwadratu liczby x pomniejszonej o 1. Zatem: A. x = 0 B. 9 < x < 1 C. x = 1 D. x > 1
10. Równanie x ^ 4 * (x ^ 2 + 14x + 49) = 0 : A. ma tylko dwa rozwiązania C. jest sprzeczne C. a in\ -2,2\ B. ma D. a in R-\ 2,-2\ tylko jedno rozwiązanie D. jest tożsamościowe.
9. Rozwiązaniem równania j ^ 2 * x + 4 = 0 jest liczba (- 1) wtedy i tylko wtedy, gdy: A. a = – 4 B. a = 2
8. Dane są liczby: a = (- 2 ^ – 2) ^ 3, b = [(- 8) ^ 2] ^ (1/3), c = root(3, – 8 ^ 2) . Wówczas prawdziwa jest podwójna nierówność: A. a <= b <= c B. b <= c <= a c <= b <= a D. c <= a <= b
7. Przybliżenie liczby 10 ^ (- 0, 8) jest równe 0,158489. Przybliżeniem dziesiętnym liczby dokładnością do trzeciego miejsca po przecinku jest liczba: B. 3,170 C. 15,849 10 ^ (0, 2) z A. 0,015 D. 1,585
6. Liczbę 6.5 * 10 ^ – 7 można zapisać w postaci: A. 65 * 10 ^ – 6 B. 0,0000065 C. 2sqrt(a ^ 2 + b ^ 2) D. sqrt(2(a ^ 2 + b ^ 2)) C. 65 * 10 ^ – 3 D. – 6, 5 * 10 ^ 7
5. Wyrażenie: ,,pierwiastek kwadratowy z podwojonej sumy kwadratów liczb a ib^ prime prime można zapisać symbolicznie w następujący sposób: A. sqrt(2a ^ 2 + b ^ 2) B. sqrt(2 * (a + b) ^ 2)
4. Wyrażenie (2 1/4) ^ 0.5 A. 2,5 B. (a:a^ 3 )^ -1 a^ -4 , gdzie a ne0 , otrzymamy: C. a ? D. a ^ – 6 B. równa sqrt(3) + 2 D. odwrotnością liczby 2 + sqrt(3) jest równe: 3/2 1 2 2/3 C. D. 0.5sqrt(2)
2. Po uproszczeniu wyrażenia A. a ^ 6
3. Liczba B. a ^ 2 1 2- sqrt 3 jest: równa 2 – sqrt(3) C. mniejsza od sqrt(3) A
1. Jola wykonała obliczenia: 1. (1 + 3/4) ^ – 1 = 4/7 Poprawne obliczenia są: ll. root(3, 0, 2 ^ 6) = 0, 04 A. tylko w przykładzie II przykładach li II C. tylko w 1. (2 + sqrt(5))/2 = 1 + sqrt(5) B. tylko w przykładach li Il D. we wszystkich przykładach
2.170. Samochód przejechał trasę z A do B w ciągu 1 godziny. Pół godziny jechał z prędkością 68 km/h , pozostałe 30 minut – z prędkością 42 km/h . Jaka była średnia prędkość samochodu na trasie z A do B?
2.169. Autobus jechał z miasta A do B z prędkością 72 km/h. Po przyjeździe do B natychmiast zawrócił niosła 57,6 km/h. Z jaką prędkością jechał autobus z B do A? do A) wy- do A. Średnia prędkość na całej trasie (z A do Biz B
2.168. Odległość z miasta A do 70 km/h , zaś prędkość samochodu? B samochód osobowy przejechał z prędkością Jaka była średnia z powrotem trasę tę pokonał z prędkością 50 km/h .
2.167. Z miejscowości A do B jednocześnie wyjechały dwie ciężarówki. Pierwsza połowę czasu przeznaczonego na przebycie drogi jechała z prędkością 50 km/h , drugą połowę czasu – z prędkością 40 km/h . Natomiast druga ciężarówka połowę drogi jechała z prędkością 40 km/h , a pozostałą część – z prędkością 50 km/h . Która z ciężarówek była pierwsza w miejscowości B? Odpowiedź uzasadnij.
2.166. W czterech kolejnych latach inflacja w Polsce była równa: 7,3%, 10,1%, 5,5%, 1,9%. Jaka była średnia inflacja w tych czterech latach? Wynik podaj z dokład nością do drugiego miejsca po przecinku.
2.165. W pewnym mieście liczba mieszkańców wzrastała przez trzy kolejne lata odpowiednio o 1%, o 3% i o 5%. Oblicz średni, procentowy wzrost liczby ludności w ciągu tych trzech lat. Wynik podaj z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
2.164. Średnia płaca netto w zakładzie zatrudniającym 34 osoby jest równa 1820 zł. Po wypłaceniu pensji nowo przyjętemu pracownikowi średnia płacy dla wszystkich zatrudnionych osób wzrosła o 2%. Jaką płacę otrzymał nowy pracownik?
2.163. W pewnym zakładzie pracuje 11 osób. Średnia wieku zatrudnionych wynosi 32 lata. Jeden z pracowników zakładu zachorował i poszedł na zwolnienie lekarskie. Średnia wieku pozostałych w pracy wynosi teraz 31 lat. Ile lat ma pracownik, który przebywa na zwolnieniu? liczba osób
2.162. Na wycieczkę pojechało 21 osób o średniej wieku 23 lata. Średnia ta wzrośnie do 24 lat, jeśli doliczy się wiek przewodnika. Ile lat ma przewodnik?
2.161. Dwie trzecie pewnego towaru sprzedawca sprzedał z zyskiem 25%, 20% z zyskiem 40%, a pozostałą część – z zyskiem 30%. Jaki procentowy zysk uzyskał ze sprzedaży tego towaru? Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku. towaru
2.160. Poniższy diagram przedstawia wynagrodzenie netto pracowników pewnej firmy. 10 9 8 1 1600 1860 2620 3150 4200 wynagrodzenie miesięczne (netto) [zt] a) Oblicz średnie wynagrodzenie netto w tej firmie. b) Oblicz procent pracowników, którzy zarabiają więcej niż wynosi średnie wyna grodzenie w tej firmie. c) Jaki procent najwyższego wynagrodzenia stanowi wynagrodzenie najniższe? Wyniki podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.
2.159. W klasie Illa próbny egzamin maturalny z biologii pisało 20 uczniów. W tej klasie średni wynik z tego egzaminu był równy 60%. W klasie Illb próbny egzamin maturalny z biologii pisało 5 uczniów, Średni wynik uzyskany przez tych uczniów był równy 40%. Jaki był średni wynik próbnego egzaminu maturalnego z biologii ucz niów z klasy Illa i z klasy Illb?
2.158. Zmieszano trzy gatunki cukierków: 12 kg cukierków „Wiosennych” w ce nie 25 zł za kilogram, 5kg cukierków „Jesiennych” w cenie 15 zł za kilogram i 3 kg cukierków „Zimowych” w cenie 40 zł za kilogram. Jaka powinna być cena 1 kilogra ma tak otrzymanej „Mieszanki wybornej”?
2.157. Nauczyciel powiedział uczniom, że ocena semestralna jest średnią ważo ną ocen cząstkowych. Przy czym najważniejsze są prace klasowe (waga 50), tro chę mniej ważne są odpowiedzi ustne (waga 30), a najmniej ważne są kartkówki (waga 20). Jakiej oceny semestralnej może spodziewać się osoba, która otrzymała: a) z klasówek: 5,5,3;2 odpowiedzi 4; z kartkówki 1 z klasówek: 1,5,3;z odpowiedzi 4; z kartkówki 5. b) b) 1 d) 3 4 16 3 3 uczniów klas pierwszych 3 pewnego liceum ilustruje liczba ocen 2 16 34 52 8 3 c, h h a, mathcal C (a,b,c>0)
2.156. Wyniki poniższa tabela: sprawdzianu dla ocena 6 5 4 3 2 1 a) Oblicz średnią ocen ze sprawdzianu. b) Oblicz, ile procent uczniów otrzymało ze sprawdzianu co najmniej 4. c) Oblicz, ile procent uczniów otrzymało ze sprawdzianu ocenę poniżej średniej. Wyniki zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
2.155. Oblicz średnią arytmetyczną i geometryczną poniższych liczb i porównaj te średnie: a) 2 c) 8 8 12 12 18
2.154. Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości: a) P = (c + d)/2 * h ; b) p=2* pi* r*(r+h); c) P = 2(ab + bc + ac) ; P = (a + b + c)/2 * (a + b – c)/2 d) P= Średnie
2.153. Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości: a) C) P= d 1 * d 2 2 R = (a * sqrt(6))/4 d 1 b) d) P = (a ^ 2 * sqrt(3))/4 V= 1 12 * a^ 3 * sqrt 2 ; m K, c a(a > 0) a
2.152. Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości: a) x=x 0 +v* t ; v=v 0 -a* t ; b) c) C p = m s m s +m r *100\% x 0r Vo, a m n m s v 1 ,v 3 , m 1 ; d) m m 1 * v 1 +m 2 * v 2 =(m 1 +m 2 )* v 3 ;
2.151. Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości: d = V/m a) d = c) p* V=n* R* T; m, V P, T b) F=m* a; d) a= sqrt K c ;
2.150. Wykaż, że jeśli dwie dowolne liczby rzeczywiste a i b spełniają nierówność a ^ 2 * b ^ 2 >= 7 , to * a ^ 4 + b ^ 4 >= 14 .
2.149. Wykaż, że jeśli dwie dowolne liczby rzeczywiste a i b spełniają nierówność ab <= - 3, to * g ^ 2 + b ^ 2 > 6 . D
2.148. Wykaż, że jeśli dwie dowolne liczby rzeczywiste a, b spełniają nierówność ab > 5 , to a ^ 2 + b ^ 2 > 10 D
2.147. Wykaż, że jeśli a jest liczbą niewymierną, to również liczby: 5a + 2i * (a – 3)/4 są niewymierne. D
2.146. Liczba sqrt(11) jest liczbą niewymierną. Wykaż, że liczby: 7 sqrt 11 +5, -3 sqrt 11 + 2 są liczbami niewymiernymi. to a = b = c . D (sqrt(11) – 1)/(sqrt(11))
2.145. Wykaż, że: a) liczba sqrt(7) jest niewymierna; b) liczba sqrt(p) , gdzie p jest liczbą pierwszą, jest niewymierna.
2.144. Wykaż, że jeśli a, b, c in R i a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = ab + bc + ac , D 2
2.143. Wykaż, że jeślia a ne0 ib b ne0 oraz b) 2x ^ 2 + 25y ^ 2 >= 10xy d) (3x ^ 2)/4 + (y ^ 2)/3 – xy >= 0 2a + 49/a > 14 a = b. b) a b + b a =2. , to D
2.142. Wykaż, że jeśli a>0,t0: a) a – 8 + 17/a > 0 D
2.141. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierów ność: a) x ^ 2 + 2xy + 3y ^ 2 >= 0 c) xy <= (x ^ 2 + 9y ^ 2)/6 D
2.140. Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają nierównośća a > b > c , to D a> b+c 2 . D
2.139. Wykaż, że jeśli a<1 i b>-4,to 4a-2b 2 <4.
2.138. Wykaż, że jeśli a > 3 i b > 4 , to (2a + 3b)/6 > 3 D 2.
2.137. Wykaż, że reszta z dzielenia przez 16 sumy kwadratów czterech kolejnych równa 8. D liczb parzystych jest D
2.136. Wykaż, że reszta z dzielenia przez 8 nieparzystych jest równa 2. sumy kwadratów dwóch kolejnych liczb
2.135. Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest liczbą parzystą.
2.134. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą. D
2.133. Wykaż, że iloczyn przez 2. trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 6. D
2.132. Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest podzielny D
2.131. Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3. D
2.130. Wykaż, że suma czterech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 4. D
2.129. Wykaz, że jeśli n e N, to liczba 3 ^ n + 3 ^ (n + 3) + 2 ^ (n + 2) jest podzielna przez 4. D
2.128. Wykaż, że jeśli gamma in N n >= 1 , to liczba 4 ^ (n + 2) – 4 ^ n jest podzielna przez 60. D
2.127. Uzasadnij, dlaczego poniższe zdania są fałszywe. a) Liczbą niewymierną nazywamy liczbę, którą można ułamka. przedstawić w postaci b) Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z elementów, które należą jedno cześnie do zbioru A i do zbioru B. c) Z=Z, cup Z d) Pierwiastkiem której b ^ 2 = a . kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką liczbę b, dla D
2.126. Podaj kontrprzykład pokazujący, że poniższe twierdzenie jest fałszywe. a) Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 3 i przez 6, to ta liczba jest podzielna przez 18. b) Jeżeli kwadrat liczby rzeczywistej jest dodatni, to ta liczba rzeczywista też jest dodatnia. c) Jeżeli przekątne czworokąta są prostopadłe, to czworokąt jest rombem. d) Jeżeli przekątne czworokąta są równej długości, to czworokąt jest prostokątem.
2.125. Poniższe twierdzenia są zdaniami prawdziwymi. Sformułuj twierdzenia od do nich i oceń, czy są prawdziwe. wrotne 8 i przez 2. Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 16, to jest ona podzielna przez Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 21, to jest podzielna przez 3 i przez 7. c) Jeśli wszystkie boki równoległoboku mają taką samą długość, to równoległobok ten jest rombem. a) b) d) Jeśli trójkąt jest rozwartokątny, to co najmniej jeden kąt tego trójkąta jest ostry.
2.124. Dane są zdania pi q. Zapisz twierdzenie p Rightarrow q i twierdzenie odwrotne do niego q q Rightarrow p , a następnie oceń wartości logiczne tych implikacji. Czy równoważność poq jest zdaniem prawdziwym? a) p: Romb jest kwadratem. q: Każdy kąt rombu ma miarę 90 degrees . b) p: Liczba naturalna jest podzielna przez 20. q: Liczba naturalna jest podzielna przez 10 i przez 2. c) p: Suma dwóch liczb jest dodatnia. q: Dwie liczby są dodatnie. d) p: Trójkąt jest równoboczny. q: Wszystkie kąty trójkąta mają miarę 60°. e) p: Trójkąt nie jest prostokątny. q: Trójkąt jest równoboczny. f) p: Liczba całkowita jest podzielna przez każdą liczbę naturalną dodatnią. q: Liczba jest równa 0. g) p: lloczyn dwóch liczb jest ujemny. q: lloraz dwóch liczb jest ujemny. h) p: Czworokąt jest równoległobokiem. q: Czworokąt ma parę boków równych.
2.123. Sformułuj twierdzenie Pitagorasa i tezę. Następnie zapisz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa; podaj za łożenie i tezę tego twierdzenia. w postaci implikacji. Wypisz założenia
2.122. Poniżej znajdują się twierdzenia, niektóre z nich to zdania fałszywe. Dla każ dego twierdzenia wypisz założenie i tezę. Sformułuj twierdzenie odwrotne do dane go. Oceń wartość logiczną danego twierdzenia i twierdzenia do niego odwrotnego. a) Jeśli liczba jest parzysta, to jest podzielna przez 12. Jeśli trójkąt ma tylko dwa kąty ostre, to jest ostrokątny. c) Jeśli liczba jest podzielna przez 3 i Jeśli przekątne czworokąta przecinają się pod kątem prostym, to czworokąt jest b) d) przez 5, to jest podzielna przez 15. kwadratem. e) Jeśli Jeśli dwie liczby mają różne znaki, to ich iloczyn jest liczbą ujemną. 8) Jeśli f) dwie liczby są ujemne, to ich iloczyn jest liczba dodatnią. liczba całkowita jest podzielna przez 100, to liczba ta jest podzielna przez 25. h) Jeśli czworokąt ma dwie przekątne równej długości, to ten czworokąt jest trapezem równoramiennym.
2.121. Janek słuchał muzyki nadawanej przez radio. Gdy usłyszał ulubioną pio senkę, trzykrotnie zwiększył głośność radia. O ile decybeli wzrósł poziom natężenia dźwięku w pokoju Janka?
2.120. Poziom natężenia hałasu w jadącym samochodzie osobowym jest równy 70 dB, a w pobliżu startującego samolotu odrzutowego wynosi 130 dB. Ile razy głoś niej jest w pobliżu startującego samolotu odrzutowego niż w jadącym samochodzie osobowym?
2.119. Oblicz wartość pH kwasu solnego wiedząc, że stężenie jonów wodorowych w tym kwasie jest równe 0,05 mol/dm^ 3 , . Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.
2.118. W roztworze zmniejszono 75 razy stężenie jonów wodorowych. O ile wzro sło pH tego roztworu?
2.117. W roztworze zwiększono 150 razy stężenie jonów wodorowych. O ile zma lato pH tego roztworu?
2.116. Ile razy należy zwiększyć, lub zmniejszyć, stężenie jonów wodorowych w roztworze, aby: a) pH wzrosło o 2 b) pH zmalało o 1.
2.115. Oblicz stężenie molowe jonów wodorowych pH = 4 a) b) pH = 0 c) pH = 3, 5 1/(log6 10) oraz w roztworze, w którym: d) pH = 8, 75
2.114. Wykaż, powołując się na odpowiednie własności logarytmów, że podane liczby są równe: a) c) log5 3o * r * a * z * 1/(log3 5) 4/(log 10) 1/2 * log 4 + log 8 oraz b) log2 3 * log3 4 d) oraz 2 log 96 ^ (0, 25) – 1/4 * log 2/27 Zastosowanie logarytmów
2.113. Oblicz: a) 2 ^ logx 7 36 ^ (logn 5 – 1/4) e) 36 3 ^ (1/2) * log3 16 b) 32 27^ log 3 2- 1 3 c) 10 ^ (2 + log 3) g) 3 ^ (2 – log3 4) 5 ^ (- 1 + 2 * log5 4) d) 5 h) 2 Hog, 27 D
2.112. Wykaż, że: a) log 6 ^ 2 2+log 6 4* log 6 3+log 6 ^ 2 3=1 b) log 5 ^ 2 10-log 5 10* log 5 4+log 5 ^ 2 2=1
2.111. Wiedząc, że: a) log3 2 = a * log3 7 = b , oblicz log3 14 oblicz log7 36 oblicz log4 1, 8 b) log7 4 = al * log7 3 = b , c) log4 3 = ai * log4 5 = b , d) log5 4 = al * log5 27 = b , oblicz log5 6 D
2.110. Wykaż, powołując się na odpowiednie własności logarytmów, że podane liczby są równe: a) log125 oraz 3log5 c) log7 12 – log7 2o * r * a * z * log7 6 b) log5 12 oraz 2 * log5 2 + log5 3 d) 5 * log9 2 + 2 * log9 1/4 oraz log9 2 e) 3 * log 3 + 2 * log 2 – log6 oraz log18 f) log3 2o * r * a * z – 7 * log3 1/2 – 3 * log3 4
2.109. Oblicz: a) logsqrt(5) 5 * root(3, 5) e) log4 8 * root(4, 2) b) log5 x = 3 f) log4 x = 0 c) log1/2 x = – 2 g) log2 x = 10 c) logx 3 = 1/2 g) logx 27 = 3 c) log0, 64 0, 8 g) log0, 0016 5 c) log2 8 * sqrt(2) g) logsqrt(3) root(3, 9) d) log1 x = – 1/2 h) log2sqrt(2) x = – 3 d) logx 2 = 1/3 h) logx 36 = – 2 d) log0, 125 0, 5 h) log4 0, 0625 d) log1/3 81 * sqrt(3) h) log2sqrt(2) 4 * sqrt(8) b) logx 81 = 4 f) logx 64 = – 3 b) log 1,1 1,33] log0, 2 625 f) b) log sqrt[3 3 27 f) log1/5 25 * sqrt(5) D
2.108. Oblicz: a) log 0 ,0,0 e) log0, 16 0, 064 2.
2.107. Oblicz x, jeśli: a) logx 25 = 2 e) logx 1/9 = – 2
2.106. Oblicz x, jeśli: a) log3 x = – 1 e) log2 x = – 2/3
2.105. Oblicz: a) og 3 243 e) log2 1/1024 b) log1/2 32 f) log1/6 216 c) 625 ^ (1/3) * sqrt(5) f) 100000 ^ (- 1/7 * sqrt(2)) sqrt[3] 6 approx1.8 c) log1000 g) log5 625 d) log2/3 81/16 h) log 1 5 ^ 1
2.104. Korzystając z danych z poprzedniego zadania, oblicz przybliżoną wartość potęgi: a) 256 ^ ((sqrt(3))/2) d) 0, 0001 ^ (- root(3, 2)) b) 243 ^ ((root(3, 4))/4) e) 0,00032 Określenie logarytmu
2.103. b) 24 * 32 ^ (- 3/5) + ((sqrt(2))/22) ^ ((sqrt(2))/2) d) (0, 2 ^ – 1 * 5 ^ sqrt(3)) ^ sqrt(3) / (125 ^ (1/3) * 5 ^ sqrt(3)) Dane są przybliżone wartości pierwiastków: sqrt 2 approx1.4 sqrt 3 approx1.75 sqrt 5 approx2.25 sqrt[3] 2 approx1,25 sqrt[3] 4 approx1,6 Oblicz, bez użycia kalkulatora, przybliżoną wartość potęgi: a) 81 ^ sqrt(5) b) 1024 ^ sqrt(2) e) 0, 0016 ^ (root(3, 2)) c) 0, 0625 ^ sqrt(3) f) (1/32) ^ (1/4) d) 32 ^ (root(3, 6))
2.102. Oblicz: a) (5 ^ sqrt(2)) ^ sqrt(8) * 25 ^ 2 / (root(4, 625 ^ 5)) Big(64^ 1 6 *1024^ -0.3 +0,25^ pi Big)^ 0 .(27^ sqrt 2 3 )^ sqrt 2 c)
2.101. Oblicz: a) (6 ^ 0.5 + 2 ^ 0.5) ^ 2 2 c) (2 ^ (1, 5) – 6 ^ (0, 5)) ^ 2 b) (10 ^ 0.5 – 5 ^ 0.5) ^ 2 d) (7 ^ 1.5 + 14 ^ 0.5) ^ 2 Potega o wykładniku rzeczywistym
2.100. Oblicz: b) 10 ^ – 0.75 a) (5 ^ 0.5 – 3 ^ 0.5)(5 ^ 0.5 + 3 ^ 0.5) c) (2 ^ (2, 5) + 3 ^ (0, 5))(2 ^ (2, 5) – 3 ^ (0, 5)) 10 ^ (17/4) c) 104 d) 10 ^ (- 11/4) b) (7 ^ (1, 5) + 2 ^ (1, 5))(7 ^ (1, 5) – 2 ^ (1, 5)) d) (3 ^ (0, 25) + 3 ^ (0, 5))(3 ^ (0, 25) – 3 ^ (0, 5)) * (3 ^ (0, 5) + 3) 9 4 8 b)
2.99. 10 ^ (10/3) b) 10 3 10 ^ (- 2/3) c) 10 3 10 ^ (5/3) d) 10 3 Wiedząc, że przybliżenie liczby 10 ^ (0, 25) jest równe 1,778279, wyznacz przybliżenia liczb: 10 ^ (9/4) a) 104
2.98. Wiedząc, że przybliżenie liczby 10 ^ (1/3) jest równe 2,154435, wyznacz przybliżenia liczb: 10 ^ (4/3) a) 103
2.97. Wykonaj wskazane działania i zapisz wynik w postaci potęgi liczby 3: a) 9^ 0.5 * ( 1 3 )^ -0.75 : sqrt[6] 27 3 ^ 3 * 9 ^ 3 * 81 ^ 6 b) 6.270,25 + 31,75 6.9 3-3 1 3
2.96. Wykonaj wskazane działania i zapisz wynik w postaci potęgi liczby 5: a) 5^ 3 *125^ – 5 3 : sqrt[4] 625^ 2 * sqrt[3] 5 b) 15*5^ 2 -50\%0,2^ 1
2.95. Wykonaj wskazane działania i zapisz wynik w postaci potęgi liczby 2: a) 1 (4 ^ 3 * 16 ^ 4)/(64 ^ (3/4)) : 5/32 5 4.83 12/32? – 1 1 1 2 23.43 +(67.3 2)
2.94. Przedstaw liczbę w postaci jednej potęgi: a) 2 * 5 ^ (1, 5) + 3 * 5 ^ 1.5 도 c) 2*2^ overline 2 +6*2^ 2.5 e) 6 * 2 ^ 0.6 – 2 ^ 1.5 b) 4 * 3 ^ (0, 25) – 3 ^ (0, 25) d) 7 * 3 ^ – 0.5 + 2 * 3 ^ (- 1/2) 5 3^ 3 +6.3^ 2 2 f)
2.93. Oblicz: a) c) e) b) 2 ^ (1/2) * 8 ^ (1/2) + 12 ^ (1/2) * 3 ^ (1/2) 5 ^ (1/2) * 5 ^ (1/2) + 7 ^ (1/2) * 7 ^ (1/2) 108 ^ (1/3) * 2 ^ (1/3) + 5 ^ (1/3) * 25 ^ (1/3) 4sqrt(2 * root(3, 2)) c) root(4, root(3, 3) * sqrt(3sqrt(3))) b) d) f) 3 ^ (1/2) * 3 ^ (1/2) + 32 ^ (1/2) * 2 ^ (1/2) 72 ^ (1/2) * 2 ^ (1/2) + 11 ^ (1/2) * 11 ^ (1/2) 4 ^ (1/3) * 16 ^ (1/3) + 3 ^ (1/3) * 9 ^ (1/3) d) 36 * root(6, 6sqrt(6)) 81 ^ (3/4) b) 814 9 ^ (- 3/2) e) 9 2 e) c) f) (1/64) ^ (- 2/3) (81/625) ^ – 0.75 b) 5 ^ – 3 * 125 ^ 3 * 6254 d) big 3^ 3 *2^ 3 3 *3^ -2 )^ 3 4
2.92. Zapisz liczbę w postaci jednej potęgi o wykładniku wymiernym: a) 5sqrt(5sqrt(5))
2.91. Oblicz: a) 2 * (0, 3) ^ – 1 + 4 * 8 ^ 3 – 12 * 27 ^ (- 1/3) b) 625 ^ 0.25 – 1, 5 * 100 ^ (3/2) + 0, 25 ^ (- 2, 5) c) 0, 008 ^ (- 1/3) – (0, 2) ^ – 2 * 8 + (12 1/4) ^ (1/2) * (- 4) c) d) e) f) 1/2 * 216 ^ (2/3) + (5, 27 ^ – 3) ^ 0 – 81 ^ 0.75 * (0, 5) ^ – 1 (0, 125 ^ (- 2/3) * 0, 25 ^ – 2) ^ (1/3) + (81 ^ 0.5 * 9 ^ – 2) ^ (- 1/4) Bigg[ ( 2 3 )^ – 4 3 Bigg]^ 2 3 -1.5: ( 3 2 )^ 1 9 Bigg]*121^ 5 8
2.90. Oblicz: a) 2 * 16 ^ (- 1, 5) * 32 ^ (1, 2) c) [ ( 16 49 )^ -3 2 * ( 7 4 )^ 5 * ( 4 7 )^ -3 5 Bigg]^ 1 4
2.89. Oblicz: 125 ^ (2/3) a) 1253 d) (8/27) ^ (- 4/3)
2.88. Oblicz: 32 ^ (1/5) a) 325 8 ^ (- 1/3) d) 8 64 ^ (1/3) b) 643 25 ^ (- 1/2) e25 2 81 ^ (1/2) c) 812 f) 243 ^ (- 1/5)
2.87. Oblicz wartość wyrażenia dla podanych obok wartości zmiennych: a) ((a ^ – 2)/(1 – a ^ – 2) + (b ^ – 2)/(1 – b ^ – 2)) ^ – 2 * d * l * a * a a = sqrt(2), b = sqrt(3) b) (1+a^ -1 )^ -2 +(1-a^ -1 )^ -2 d|a a=- 1 2 Potęga o wykładniku wymiernym
2.86. Wykonaj działania, wiedząc, że x ne0 : a) (x ^ – 3 – 2x ^ – 2 + 3x ^ – 1 + 1)(x ^ – 1 – 1) c) (3x ^ – 2 – 3x ^ – 1 – 2)(x ^ – 3 + 1) b) 3 – 2sqrt(2) oraz (3 + 2sqrt(2)) ^ – 1 d) 4 + sqrt(15) oraz (4 – sqrt(15)) ^ – 1 b) (- x ^ – 4 + 3x ^ – 2)(2x ^ – 3 + x ^ – 4) d) (x ^ – 1 – 2x ^ – 2)(2x ^ – 5 – 3x ^ – 2 + x)
2.85. Wykaż, że dane dwie liczby są równe: a) sqrt(6) + sqrt(5) oraz (sqrt(6) – sqrt(5)) ^ – 1 c) 2 – sqrt(3) oraz (2 + sqrt(3)) ^ – 3
2.84. Wykaż, że dane dwie liczby są równe: a) [(1 ^ – 1 + 1 ^ – 1) ^ – 1 + 1 ^ – 1] ^ 1 oraz [(2 ^ – 1 + 2 ^ – 1) ^ – 1 + 2 ^ – 1] ^ – 1 1) (***-•.cz Bigg[ ( 1 2 )^ -1 + ( 1 2 )^ -1 ]^ -1 + ( 1 2 )^ -1 \ ^ -1 b) [(4 ^ – 1 + 4 ^ 1) ^ – 1 + 4 ^ – 1] ^ – 1 c) [(6 ^ – 1 + 6 ^ 1) ^ – 1 + 6 ^ – 1] ^ – 1 oraz oraz Bigg\ ( 1 3 )^ -1 + ( 1 3 )^ -1 Bigg]^ -1 + ( 1 3 )^ -1 \ ^ -1 D
2.83. Zapisz wynik obliczeń w postaci a 10%, gdzie d in langle1,10)ik in Z : a) (2, 5 * 10 ^ 21)(4 * 10 ^ – 3) c) 2, 1 * 10 ^ 15 + 11, 9 * 10 ^ 15 e) (52 * 10 ^ – 2 – 78 * 10 ^ – 3) g) 1,3*10^ 14 ):(2,6*10^ 10 ) b) (1, 2 * 10 ^ – 25)(0, 5 * 10 ^ 27) 17, 9 * 10 ^ – 1 + 26.5 * 10 ^ – 2 2, 5 * 10 ^ – 3 – 35 * 10 ^ – 5 h) (2.4 * 10 ^ – 37) / (0, 06 * 10 ^ .32) d) f) D
2.82. Zapisz liczby w postaci a. 10 ^ k , gdzie a in(1,10)ik in Z a) 4100 e) 0,05 b) 1015000 f) 0,234 c) 274500000 g) 0,0000657 h) 0,00030405 c) +4,75
2.81. Oblicz: a) (2 ^ – 2 + 5 ^ 9)/((0, 5) ^ – 2 – 5 * (- 2) ^ – 2 + (2/3) ^ – 2) [( 1 2 )^ -1 -(0,25)^ -1 (0,375)^ 1 -(0,6)^ 1 b) d) (1 5/7) ^ – 2 * (7/12) ^ – 2 1 7 9 )^ -2 *(4,5)^ -2 f) (0, 2) ^ 2 / ((0, 5) ^ – 2) h) (3, 6) ^ – 3 / ((0, 9) ^ – 3) (0,6)^ 0 -(0,1)^ -1 (3;2^ 3 )^ 4 *(1,5)^ 3 -(- 1 3 )^ 1 binom 1 5 ^ 2 ^ 2 ((2 2 3 )^ 4 -(3^ -1 -2^ 4 )^ -2 ( 2 21 )^ -1 b) d
2.80. Oblicz, stosując prawa działań na potęgach: a) (0, 6) ^ – 8 * (1 2/3) ^ – 8 c) (3, 75) ^ – 3 * (1, 6) ^ – 3 e) (2, 4) ^ – 3 / ((0, 6) ^ – 3) g) (1 5/11) ^ – 2 / ((4/11) ^ – 2)
2.79. Oblicz, stosując prawa działań na potęgach: a) (3 ^ – 2) ^ – 3 / (3 ^ 8) c) (5 ^ – 1) ^ – 3 / (5 ^ 6) e) [ ( 4 3 )^ -2 ]* ( 4 3 )^ 6 g) [(4, 2) ^ – 1] ^ 8 * (4, 2) ^ – 6 b) (4 ^ – 5) ^ – 2 / (4 ^ 9) d) (2 ^ 2) ^ 4 / (2 ^ – 6) f) 2 h) [(3, 4) ^ – 5] ^ – 4 * (3, 4) ^ – 21
2.78. Oblicz, stosując prawa działań na potęgach: a) 3 ^ – 2 * 3 ^ 4 c) 4 ^ – 4 * 4 ^ 2 e) g) (2/3) ^ – 8 * (2/3) ^ 6 (1 2/3) ^ 10 * (1 2/3) ^ – 8 5 ^ 2 * 5 ^ – 6 b) d) 2 ^ – 8 * 2 ^ 5 f) (4/7) ^ – 4 * (4/7) ^ 5 h) (2, 6) ^ – 4 * (2, 6) ^ 3
2.77. Oblicz, stosując prawa działań na potęgach: a) 3 ^ – 3 * (1/9) ^ – 3 5 ^ – 1 * (1/125) ^ – 1 c) 51. e) g) (2/3) ^ – 1 * (3/4) ^ 2 (2, 8) ^ – 4 * (5/14) ^ – 4 b) d) f) h) – 4 ^ – 4 (- 1/6) ^ – 2 (- 0, 4) ^ – 1 (4 1/5) ^ – 1 4 ^ 2 * (1/16) ^ – 2 6 ^ – 2 * (1/36) ^ – 2 (1 1/6) ^ – 3 * (3/7) ^ – 3 (5 1/3) ^ – 3 * (0, 75) ^ – 3
2.76. Oblicz: a) 5 ^ – 1 b) binomial(3,5) ^ 3 c) (0, 1) ^ – 4 d) (1 1/2) ^ – 2 – 2 ^ – 3 (2 ^ – 2)/3 (0,3) 3 (- 2 1/3) ^ 3 (- 3) ^ – 2 2/(7 ^ – 1) (- 0, 2) ^ – 2 (- 3 1/4) ^ – 2
2.75. Wiadomo, że: b) d) f) (sqrt(3) – 2)/(sqrt(3) + 2) – 12/(sqrt(3)) 1/(3 + sqrt(6)) + 1/(3 – sqrt(6)) (sqrt(6) – sqrt(3))/(sqrt(6) + sqrt(3)) – (sqrt(3) + sqrt(6))/(sqrt(3) – sqrt(6)) a) a ^ 2 + b ^ 2 = 25 oraz ab = 12 Oblicz (a – b) ^ 2 oraz |a + b| . b) a ^ 2 + b ^ 2 = 13c oraz (a + b) ^ 2 = 225 Oblicz ab oraz (a – b) ^ 2 . c) a ^ 2 – b ^ 2 = 36 oraz 7 – b = 2 . Oblicz a + b oraz aib. d) (a + b) ^ 2 = 225 , (a – b) ^ 2 = 121 oraz a > b . Oblicz ab oraz a ^ 2 – b ^ 2 . Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
2.74. Wykaż, że podane liczby są liczbami całkowitymi: a) c) e) 1/(sqrt(2) – 1) – sqrt(2) (2sqrt(6) – 1)/(sqrt(6) + 3) – sqrt(32 2/3) (sqrt(7) + sqrt(5))/(sqrt(7) – sqrt(5)) + (sqrt(7) – sqrt(5))/(sqrt(7) + sqrt(5))
2.73. Przedstaw odwrotność danej liczby w postaci a + b * sqrt(c) , gdzie a, b, c są liczba mi wymiernymi i mathcal C >=0 . a) 3 – 2sqrt(2) e) 9 – sqrt(6) b) sqrt(3) – 4 f) 4sqrt(3) – 7 c) 5 + sqrt(5) g) 2sqrt(7) – 6 d) 2 + 3sqrt(2) h) 6sqrt(2) + 9 d) h)
2.72. Sprawdź, czy liczba b jest odwrotnością liczby a: a) a = sqrt(7) – sqrt(6) b = sqrt(7) + sqrt(6) d) a = 2sqrt(3) + sqrt(11) b = 2sqrt(3) – sqrt(11) b) a = sqrt(3) – 2 d) a = sqrt(5) – sqrt(6) b = – sqrt(5) – sqrt(6) b = sqrt(2) – sqrt(3) e) a = sqrt(6) – 2sqrt(2) b = sqrt(6) + 2sqrt(2) f) a = – sqrt(2) – sqrt(3)
2.71. Usuń niewymierność z mianownika ułamka: a) e) (21sqrt(5))/(sqrt(5) * 1) (sqrt(2) + 3)/(3 – sqrt(2)) b) f) (3 – sqrt(2))/(sqrt(2) + 2) (4 – 2sqrt(3))/(4 + 2sqrt(3)) c) (sqrt(3) + 4)/(2sqrt(3) + 2) (2sqrt(6) – sqrt(2))/(2sqrt(6) + sqrt(2)) d) h) 2/(sqrt(5) – 3) (2sqrt(6))/(sqrt(6)) (3sqrt(6) – 6)/(3 * 6 * sqrt(6)) (3sqrt(15) + sqrt(3))/(sqrt(3) – 3sqrt(15)) b = sqrt(3) + 2 g)
2.70. Usuń niewymierność z mianownika ułamka: a) e) 10/(sqrt(3) + 1) (sqrt(2))/(sqrt(2) – 2) b) f) 1/(sqrt(2) – 1) (2sqrt(5))/(7sqrt(5) + 1) c) g) 4/(sqrt(5) + 1) (3sqrt(3))/(sqrt(3) – 3)
2.69. Rozwiąż równania: x ^ 2 – 4x + 4 = 0 c) 49 + 14x + x ^ 2 = 0 a) e) 10x – x ^ 2 = 25 g) – 16x = 64x ^ 2 + 1 b) 16x – 9x ^ 3 b) 9x ^ 2 – (x – 2) ^ 2 d) (x – 7) ^ 2 – (4 – 3x) ^ 2 f) 4 * (x + 3) ^ 2 – 49 * (1 – x) ^ 2 c) x ^ 3 – 4x ^ 2 + 4x f) 8y * x ^ 2 – 8yx + 2y e) 36y + 12xy + x ^ 2 * y b) x ^ 2 – 9 = 0 d) 0, 25x ^ 2 – 1 = 0 f) 25x ^ 2 – 81 = 0 h) – 0, 36x ^ 2 + 0, 49 = 0
2.68. Rozłóż wyrażenia na czynniki: a) 2x ^ 3 – 2x d) x ^ 3 + 2x ^ 2 + x
2.67. Rozłóż wyrażenia na czynniki: a) 25a ^ 2 – (b – 2) ^ 2 c) (2x + 1) ^ 2 – (x + 5) e) 25 * (x – 1) ^ 2 – 9(2 + x) 2
2.66. Rozłóż wyrażenia na czynniki, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: a) d) x ^ 4 – 2x ^ 2 + 1 16 – 8x ^ 2 + x ^ 4 b) x ^ 4 + 6x ^ 2 + 5 e) 625 – 50x ^ 2 + x ^ 2 c) x ^ 4 – 18x ^ 2 + 81 f) x ^ 4 – 10x ^ 2 + 25
2.65. Rozłóż mnożenia: a) x ^ 4 – 25 d) 16x ^ 4 – 625 b) (2a + 3b) ^ 2 – c ^ 4 e) 4 – (2a – 3b) ^ 2 c) (m – 9n) ^ 2 – 9m ^ 2 f) 1 – (b ^ 2 + c ^ 2) 2 wyrażenia na czynniki, korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego b) 9 – x e) 256x ^ 4 – 81 c) 81x ^ 4 – 1 f) x ^ 4 – 2
2.64. Rozłóż wyrażenia na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia: a) (5p + 3q) ^ 2 – 25 d) a ^ 2 – (x + y) ^ 2
2.63. Rozłóż wyrażenia na czynniki, korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia: a) b ^ 2 – 36 d) m ^ 2 – 16n ^ 2 b) 49 – y ^ 2 e) g ^ 2 * b ^ 2 – 2 c) 4x ^ 2 – 25y ^ 2 f) 9 – x ^ 4 * y ^ 2
2.62. Rozłóż wyrażenia na czynniki, korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia: a) x ^ 2 + 2x + 1 v ^ 2 – 8y + 16 d) b) 9 – 6x + x ^ 2 e) 49 + 14y + y ^ 2 c) 4x ^ 2 + 4x + 1 f) – 2mn + m ^ 2 + n ^ 2
2.61. Rozwiąż nierówności: a) 2(x – 1) –(x+ 3)?< x(x - 2) + 1 c) 2(x - 5)2 - 3(x+2) <6-x? e) x(x - 1) + (2 - x)(2 + x) < - x + 3 g) (x + sqrt(2))(x - sqrt(2)) - (x + sqrt(2)) ^ 2 < 0 b) (x + 4) ^ 2 - (x + 1) ^ 2 >= 4(x – 1) d) (x – 2) ^ 2 – (x + 5)(x – 5) > – 4(x + 5) f) 4(x – 1) * (x + 1) – (2x – 1) ^ 2 > 3 h) (2 – x) ^ 2 – 5 >= (x – sqrt(3)) ^ 2
2.60. Rozwiąż równania: (x – 1) ^ 2 – (x + 4) ^ 2 = – 2x + 1 1 b) (x + 5) ^ 2 – (x – 3) ^ 2 = x + 1 a) c) (x + 1) ^ 2 + (x – 3)(x + 3) – 2 = 2(x – 1) d) (2 – x)(2 + x) + (x + 3) ^ 2 = x – 7 e) (x + 3) ^ 2 – (4 – x)(4 + x) = 2 * (x – 1) ^ 2 + 1 (x – 5) ^ 2 – (x – 3) ^ 2 = 4(x – 2) g) (x – sqrt(3))(x – sqrt(3)) – (x + sqrt(3))(x + sqrt(3)) – sqrt(12) = 0 f) h) (x + 2sqrt(5)) ^ 2 + (x – 2sqrt(5)) ^ 2 = 46
2.59. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla podanych obok wartości zmiennych: a) (4 + 3y)(4 – 3y) – (4 – y) ^ 2 b) (3x + 1)(3x + 1) + (1 + 5x)(1 – 5x) c) (a + 0, 2) ^ 2 – (a – 0, 2) ^ 2 y = 0, 5 x = 0, 1 a = 50 d) 16(0, 25 + 0, 5b) * (0, 25 – 0, 5b) – 4 * (2b – 1) ^ 2 – 16b b = – sqrt(2) e) (2a-b)^ 2 – ( 1 2 a-1 ) ( 1 2 a+1 )-(4a^ 2 +b^ 2 ); f) 3 * (1 – 3x) ^ 2 + (- 1)(3x – 5) * (5 + 3x) – 2 * (3x + 2) ^ 2 ; g) (sqrt(3) – sqrt(2b))(3 + 2b) * (sqrt(3) + sqrt(2b)) ; h) (sqrt(2) – sqrt(3x))(sqrt(2) + sqrt(3x)) * (2 + 3x) ; a = 0, 2 b = – 0.25 x = 1/6 b = sqrt(3) x = 2sqrt(2) b) (- 4x + 3y) ^ 2 e) (- x ^ 2 + 1)(- x ^ 2 – 1) c) (- 2a – 5b) ^ 2 f) big[6d+ big(-5b big) big]^ 2 h) (5 – sqrt(5) * x)(sqrt(5) * x – 5) ) (x ^ 3 + sqrt(2))(- sqrt(2) – x ^ 3)
2.58. Uprość wyrażenie: a) (1 – x)(1 + x) * (1 + x ^ 2) b) 5y ^ 2 – 3(y + 1) * (y – 1) c) 7(z ^ 2 – 2) – 4(z + 3) * (z – 3) d) 10(a ^ 2 – 15) – 12(a – 4) * (a + 4) e) 2 * (a – b) ^ 2 – 2 * (a + b) ^ 2 + 4(a + b) * (a – b) f) m+1)^ 2 -(2m-2)^ 2 +(2m+3)^ 2 -(4m-4)^ 2 g) 2(3 – x) * (1 + x) – (1 – 2x) ^ 2 + (- 2 – x) ^ 2 h) 9 ^ 2 – (1 – x)(2 + x) – 3 * (5 – x) ^ 2
2.57. Zapisz za pomocą sum algebraicznych wyrażenia: a) (x ^ 2 – 7) ^ 2 d) (- 3x + 7y)(3x + 7y) g) (- 3x + sqrt(3))(3x + sqrt(3))
2.56. Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, oblicz: a) (x-10)(x+10 ) c) (4x + 2y)(4x – 2y) e) (13x + 14y)(13x – 14y) b) (y + 11)(y – 11) d) (1 – sqrt(5) * x)(1 + sqrt(5) * x) f) (sqrt(3) * a – sqrt(6) * b)(sqrt(3) * a + sqrt(6) * b)
2.55. Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, oblicz: a) (5 – b) ^ 2 d) (7x – 1) ^ 2 b) (a – 4) ^ 2 e) (2sqrt(2) – 5x) ^ 2 c) (3a – 2b) ^ 2 f) (sqrt(2) * x – sqrt(8) * y) ^ 2
2.54. Korzystając z a) (x + 9) ^ 2 d) (4x + 5y) ^ 2 b) (sqrt(3) – 1)(sqrt(3) + 1) d) (3 + sqrt(7))(sqrt(7) – 3) f) (3sqrt(5) – 7)(3sqrt(5) + 7) (10sqrt(6) + 3)(10sqrt(6) – 3) h) odpowiedniego wzoru skróconego b) (8 + y) ^ 2 e) (sqrt(2) + b) ^ 2 mnożenia, oblicz: c) (2a + 3) ^ 2 f) (3a + sqrt(3)) ^ 2
2.53. Oblicz: b) (3-5) c) (sqrt(2) – 4) ^ 2 d) (sqrt(7) – 5) ^ 2 +) (2sqrt(2) – 3sqrt(3)) ^ 2 ) (3sqrt(5) – 4sqrt(6)) ^ 2 h) (2sqrt(10) – 5sqrt(2)) ^ 2 a) (2 – sqrt(5))(2 + sqrt(5)) c) (4 – sqrt(2))(sqrt(2) + 4) e) (3 – 2sqrt(2))(3 + 2sqrt(2)) g) (1 – 4sqrt(5))(1 + 4sqrt(5))
2.52. Oblicz: (1 – sqrt(3)) ^ 2 e) (sqrt(2) – sqrt(3)) ^ 2
2.51. Oblicz: a) (sqrt(2) + 2) ^ 2 d) 71 * 69 liczb a i b, h) 580 * 620 b) 34 ^ 2 – (10 + 3)(10 – 3) d) (30 – 6)(30 + 6) – 23 ^ 2 f) 202 ^ 2 – 203 ^ 2 h) 58 ^ 2 + 62 ^ 2 c) (2sqrt(5) + 1) ^ 2 b) (6 + sqrt(3)) ^ 2 d) (3 + 2sqrt(3)) ^ 2 e) (2sqrt(5) + 3sqrt(7)) ^ 2 (4sqrt(3) + 5sqrt(2)) ^ 2 g) (6sqrt(2) + 2sqrt(6)) ^ 2 h) (7sqrt(2) + 3sqrt(10)) ^ 2 2.52. Oblicz: (1 – sqrt(3)) ^ 2 e) (sqrt(2) – sqrt(3)) ^
2.50. Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: a) 29 ^ 2 + (40 – 1)(40 + 1) c) (20 – 7)(20 + 7) + 24 ^ 2 e) 101 ^ 2 – 99 ^ 2 g) 55 ^ 2 + 45 ^ 2
2.49 Podaj wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch następnie korzystając z tego wzoru, oblicz: a) 101 * 99 e) 198 * 20 b) 28 * 32 202 f) 504 * 496 c) 47 * 53 g) 1003 * 997
2.48. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, oblicz: a) 12 ^ 2 e) 32 ^ 2 2.49. b) 212 f) 982 c) 19 ^ 2 g) 101 ^ 2 d) 18 ^ 2 h)
2.47. Rozwiąż równania: a) (x – 3) * x + 7(x – 3) = 0 c) (x – 2) – x(x – 2) = 0 e) – (x – 1) * x = 9(x – 1) g) (x – 1)(x – 6) = – 2x * (x – 1) b) x ^ 2 + 4x = 0 e) 5x = – 20x ^ 2 b) 2(3x + 5) * x + 4(3x + 5) d) 3(x – 4) – (x – 4)(x – 1) f) 4x * (3x – 8) – 8(x + 5) * (3x – 8) h) 3(5x + 2) – 3(2x + 1) * (- 5x – 2) c) 5x – x ^ 2 = 0 f) – 2x ^ 2 = – 8x b) 2(x + 1) – x(x + 1) = 0 d) x(x + 5) = 3(x + 5) f) (x + 2)(x + 3) – 5(x + 3) = 0 h) (2x + 1)(x – 4) = 9(x – 4)
2.46. Rozwiąż równanie: a) (x – 5)(x + 3) = 0 d) 7x = x ^ 2
2.45. Wyłącz wspólny czynnik poza nawias: a) (4x + 3) * x – 5(8x + 6) c) (x – 6)(x + 1) + 2(x + 1) e) (1 – x)(x – 5) + (1 – x)(x + 3) g) (1 – 5x)(x + 2) + (5x – 1)(8 – 2x)
2.44. Wyłącz wspólny czynnik poza nawias: a) (3x + 7) * x – (7 + 3x) * x ^ 2 c) (a – b) * z + 5(b – a) e) (2x – 1) * y + (1 – 2x) – z(1 – 2x) g) 3(7x – 3) * x ^ 2 + 6x * (3 – 7x) b) y ^ 3 * (4y + 3) + (3 + 4y) * y d) 3x * (2a – 5b) – x ^ 2 * (5b – 2a) f) x ^ 2 * (4 – x) – x(x – 4) + (4 – x) h) (2y – 6) * y – 2(y – 3) * y ^ 2
2.43. Wyłącz wspólny czynnik poza nawias: a) (a + b) * x + (a + b) * y c) (2a + b) * y – 6(2a + b) e) x ^ 2 * (10a – 1) – x(10a – 1) g) 3(x – 4) * x – (x – 4) c) 2x + 7y f) – x + y – 1 c) – 10x ^ 2 + 5x f) 100a ^ 3 * b ^ 2 + 50a ^ 2 * b i) – 72x ^ 5 * a ^ 5 – 24a ^ 2 * x ^ 3 b) (5 – x) * a + (5 – x) * b d) (4z + 3) * x – (4z + 3) (7b – 5a)(x + y) + (x – y)(7b – 5a) h) (2y + 3) + 2(2y + 3) * y ^ 2 f)
2.42. Wyłącz wspólny czynnik poza nawias: a) 3x – 6 d) x ^ 2 * y – x * y ^ 2 g) 12x ^ 2 * y ^ 4 – 8x ^ 4 * y ^ 3 b) 12y + 20x e) 9a ^ 3 – 6a ^ 2 * b h) – 21b * a ^ 4 + 35a * b ^ 5
2.41. Wyłącz liczbę (- 1) poza nawias: a) – 3x ^ 2 – 5y d) – 1 – 4x b) – x + 2y ^ 2 e) y ^ 2 + 4y – 6
2.40. Rozwiąż nierówności: a) 5x * (x – 7) – 2(x ^ 2 + 1) <= (1 - 3x)(6 - x) b) 1 - (1 - x)(- x - 1) - 2x > 6 – x c) – 2(7x – 4) * (x – 7) <= 1 + 7(7 - 2x ^ 2) d) - 4(x + 2) * (1 + x) > 2(1 – 2x ^ 2) 2(1 – 3x) * (4 – x) + 3(x + 5) * (1 – 2x) + 50x <= 0 f) 4x * (6 - x) + (4x - 1)(x - 3) - 2, 5(6 - 4x) < 0 e) g) 1 - (x + 7)(3 + 2x) + 3(x - 5) * (4 + x) <= x ^ 2 h) 2x * (13 - 4x) - (3x - 1)(1 - 2x) + 0, 5(4x ^ 2 + 10) >= 13
2.39. Rozwiąż równania: a) x-3)(x+2)+(5-x)(x+1)=0 2x+1)(x-4)=2(1-x)(5-x) c) 4x – (x + 5)(x – 7) = x(1 – x) b) d) (x – 2)(4 + x) = (x + 3)(x – 1) e) 2 + (2x – 3)(x + 1) = 3x – 2(5 – x ^ 2) f) 4(x + 5) – 0, 5(x – 3) * (6 – 2x) = x ^ 2 + 1 1 – (2x – 1)(x + 3) + 5(x + 0, 8) = 0 g) h) (x – 2)(x – 5) + 1 3/4 = x – (32x – 56)/4
2.38. Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci: a) (x – y)(2x + 3y) + (x + 2y)(- x + 5y) b) (x + y + 1)(2x – y) + (- 1)(x – 1) * (2x + 3y) c) – (x + 5) * (2x + y – 3) + (4x – 2y)(x – y + 3) – 2(x ^ 2 + y ^ 2) d) (3x + y)(x – 5y) – x(x + 4y – 1) – 2x * (x – 9y) e) 3-(2+3x)(4x-9)+(5-x)2x f) 2x * (- x + 7) – 5(x + 3) * (6 – 4x) + (1 – 2x)(- 1 – x)
2.37. Wykonaj działania: a) (2x + y)(x – 3y) – x ^ 2 c) 4x – (4x + y)(1 – 2y) e) (3x + 2y + 1)(2x – y) b) -2(2a+1)(4-3a ) 8(3/2 – 7/4 * y) * (y + 7) d) 8 6) – 1/2 * (3 – 5a) * (4a + 2) h) (sqrt(3) – b)(2b + 1) b) – 2y ^ 2 + (- 2y + x)(x + 5y) d) (1 + y – 3x)(y + x) (4y – 3x)(4 + 3y + 5x) f)
2.36. Wykonaj mnożenie: a) 5(x – 4) * (2x + 3) – 3(1/3 + 5/6 * b) * (2b – 6) 2/3 * (x + 3/7) * (7x – 15) c) -3 e) g) sqrt(2) * (y – sqrt(2)) * (y + sqrt(8))
2.35. Wykonaj mnożenie: a) (x + 1)(y – 3) c) (3x – 5y)(7y + 2x) e) (a – 3)(2a – 7) g) (- y ^ 2 – 1)(9 – 4y ^ 2) b) (2 – x)(4y + 5) d) (8x – 1/2 * y)(6x + 2y) d) f) (b + 2)(4 – 5b) h) (5/2 * x – 6)(- 2x ^ 2 + 1)
2.34. Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci. Podaj konieczne założenia. Następnie oblicz ich wartość dla podanych wartości zmiennych: +2)*(-1) ; x = 1/3 8(3/4 * x – 1) + (- 15x ^ 2 + 5x) / (- 5x) – (- 3x + 2) a) 8. b) -4* ( 1 4 x- 5 9 )+(16x^ 2 -8x):(-4x)+(-1)*(2 *(2+) x); x = 1, 5 c) – 2(3 – a – a ^ 2) + 5(1 + a – 2a ^ 2) – (9a ^ 3 – 12a ^ 2 – 3a) / (- 3a) ; a = – 0, 2 d) (12a ^ 4 * b ^ 4 – 9a ^ 2 * b ^ 3) / (- 3a ^ 2 * b) – (2 + 3a ^ 2 * b) * b ^ 2 a = – 1 , b = – 2
2.33. Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci. Podaj konieczne założenia. a) x- big[5x-(2x-1) big] c) (2a ^ 2 – a + 3)(- 4a) + 16(a ^ 2 – 0, 5) e) (- 10x ^ 3 + 5x ^ 2 – 20x) / (5x) + 1 b) 9m ^ 2 – (- 1)[7m ^ 2 – 2m – (m ^ 2 – 3m)] d) (2x ^ 2 – 5xy + 4) * 2 * x * y – 7xy f) (- 4x ^ 2 + 12x ^ 3 * y ^ 2 – 16x ^ 4 * y ^ 3) / (- 4x ^ 2)
2.32. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych: a) iloczyn liczby a i kwadratu liczby b b) iloczyn sześcianu zmiennej x i ilorazu zmiennej przez y c) iloraz sumy liczb a i b przez różnicę liczb cid d) różnicę iloczynu liczba, bi sześcianu liczby c pierwiastek kwadratowy z sumy zmiennej x i połowy zmiennej y f) sumę iloczynu zmiennych x, y i pierwiastka stopnia trzeciego z sumy kwadratów zmiennych xiy e)
2.31. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych: a) sumę potrojonej zmiennej x i podwojonej zmiennej y b) podwojoną sumę liczby a i połowy liczby b c) różnicę liczby a i potrojonej sumy zmiennych xiy d) kwadrat różnicy zmiennych xiy e) sumę kwadratu liczby a i sześcianu liczby b f) sześcian różnicy kwadratów zmiennych xiy.
2.30. Porównaj liczby, nie używając kalkulatora: a) sqrt 2 -1,4 i 1,4- sqrt 2 c) 3 – root(3, – 5) * i * root(3, 5) + 3 e) sqrt(3) * i * root(4, 9) B) sqrt(10) * i * root(6, 1000) b) sqrt 3 -1 3 4 i1 3 4 – sqrt 3 d) – 1 – root(5, – 1) * i * root(5, – 2 ^ 5) f) 2 * root(3, 2) * i * root(6, 128) h) 2- sqrt[5] -7 2- sqrt[10] (-7)^ 2
2.29. Oblicz wartość wyrażenia: a) sqrt(9 * 16 + 9 * 4 + 9 * 5) c) root(3, 27 * 2 + 27 * 9 + 27 * 16) e) sqrt(33 ^ 2 + 44 ^ 2) g) sqrt(12 ^ 2 * 5 ^ 2 – 12 ^ 2 * 4 ^ 2) b) (sqrt(5) – 2) * sqrt(5) + 2sqrt(5) d) f) h) (3sqrt(2) – 4sqrt(6))/(sqrt(2)) (3sqrt(6) – 3sqrt(2))/(sqrt(3) – 1) (4sqrt(15) – 2sqrt(3))/(2sqrt(3)) + 1 b) root(3, 375) – root(3, – 192) – root(3, – 81) d) root(4, 3) + root(4, 48) – root(4, 243) -2 sqrt[4] 2 + sqrt[4] -(-2 sqrt 8 * sqrt 50 * sqrt[3] 250 f) 516-24 ) h) sqrt[3] 10 sqrt 8 * sqrt 50 * sqrt[3] 250*2^ 2 + sqrt[3] -2 b) sqrt(25 * 9 + 14 * 25 + 2 * 25) d) root(3, 15 * 64 + 64 * 3 + 9 * 64) f) sqrt(15 ^ 2 * 3 ^ 2 + 4 ^ 2) * 15 ^ 2 h) root(4, 11 ^ 2) * 9 ^ 2 + 11 ^ 2 * 6 ^ 2 + 2 ^ 2 * 121
2.28. Oblicz wartość wyrażenia: a) root(3, 2000) + root(3, – 432) + root(3, 2) c) root(4, 2) – root(4, 32) + root(4, 162) e) 2 * root(3, – 125) + 2 * root(3, 54) – root(3, – 250) g) sqrt 6 sqrt 162*32 * sqrt[3] 54 – sqrt[6] 128
2.27. Wykonaj działania. Jaka liczbą: wymierną czy niewymierną jest wynik obli czeń? a) sqrt(2) * sqrt(6) – 2sqrt(3) c) (2sqrt(2) – 3) – (3 + 2sqrt(2)) e) 5(- 2sqrt(3)) + 6sqrt(3) / 2 + 4sqrt(3) B) (2sqrt(10) – 2sqrt(2))/(2sqrt(2)) – sqrt(5)
2.26. Skróć ułamki: a) e) (2 + 4sqrt(5))/2 – (5 – 2sqrt(50))/5 b) (6 – 3sqrt(2))/3 (sqrt(12) – 2sqrt(27))/(sqrt(3)) c) (- 4 + 3sqrt(28))/8 (sqrt(8) – 4)/(sqrt(2) – 2) d) h) – (2 + sqrt(8))/2 (5 + sqrt(6))/(sqrt(24) + 10)
2.25. Oblicz wartość a) sqrt(32) + sqrt(72) – sqrt(50) wyrażenia: c) sqrt(80) – sqrt(125) + sqrt(500) sqrt(242) – sqrt(300) + sqrt(338) – sqrt(48) g) sqrt(12) + sqrt(75) + sqrt(24) + sqrt(96) e) d) root(5, 0, 32) / (root(5, 1000)) b) sqrt(12) + sqrt(243) – sqrt(108) d) sqrt(28) – sqrt(175) + sqrt(252) sqrt(800) + sqrt(80) – sqrt(200) + sqrt(500) f) h) sqrt(392) – sqrt(150) + sqrt(578) – sqrt(486)
2.24. Włącz czynnik pod znak pierwiastka: a) 2sqrt(5) 3sqrt(6) 5sqrt(11) 2sqrt(17) 4sqrt(10) b) 3 * root(3, 2) 2 * root(3, 3) 5 * root(3, 5) 4 * root(3, 7) 10 * root(3, 6) c) 5 * root(4, 3) 4 * root(4, 4) 2 * root(5, 6) 3 * root(5, 8) 2 * root(7, 5)
2.23. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: a) sqrt(18) sqrt(8) sqrt(75) sqrt(63) sqrt(162) root(3, 81) root(3, 500) root(3, 192) root(3, 135) b) root(3, 16) c) root(4, 64) root(4, 243) root(5, 320) root(5, 2048) root(6, 576)
2.22. Oblicz: a) sqrt(2) * sqrt(8) b) root(3, 4) / (root(3, 13, 5)) c) sqrt(18 7/9) c) root(5, – 0, 00032) g) root(6, 0, 04 ^ 3) d) sqrt(7 9/16) d) root(5, 0, 000729) h) root(3, – 0, 5 ^ 6) b) 4 * root(3, 0, 125) + 2sqrt(9 * 16) – 5 * root(4, 625) d) 10 * root(3, 0, 0000128) + 6 * root(5, – 0, 00243) – 6 f) sqrt(2 * 3) * sqrt((- 6)(- 4)) + 2 + 2 * root(3, – 45 * 75) 4 * root(4, 3 ^ 8) / (root(3, – 2 ^ 3)) / (sqrt((- 0, 08) / (- 2))) * root(3, – 0, 1 ^ 6) h) c) root(4, 162) * root(4, 0, 5)
2.21. Oblicz: b) sqrt(1 19/81) b) root(3, – 0, 216) f) root(4, (- 0, 81) ^ 2) a) 2sqrt(36) – 4 * root(5, 32) + 2sqrt(3 * 27) c) 2 * root(3, – 64) – 7 * root(6, 64) – 5 * root(5, – 32) e) 6sqrt(2 * 5 * 8 * 5) – root(3, – 32 * 9 * (- 6)) – 3 i * sqrt(150) / (sqrt(6)) + root(5, 64 / (- 2)) * root(3, 2 ^ 7 / 16) g)
2.20. Oblicz: a) root(3, 0, 001) e) sqrt(0, 16)
2.19. Oblicz: a) sqrt(5 4/9)
2.18. Stosując odpowiednie prawo działań na pierwiastkach, oblicz: a) sqrt(1/4) sqrt(4/25) * sqrt(16/81) sqrt(49/100) b) root(3, 64 / (- 125)) root(3, (- 8) / 27) root(3, 1/729) root(3, 343/8000) ) root(4, 81/16) * root(5, 32/3125) * root(5, – 243/100000) c) root(4, (- 1) / (- 16))
2.17. Oblicz, stosując odpowiednie prawo działań na pierwiastkach: a) sqrt(196 * 25) sqrt 36 121 sqrt(1, 69 * 9) sqrt(1, 44 * 0, 49) b) root(3, 8 * 125) root(3, – 64 * 216) * root(3, 0, 001(- 343)) root(3, – 0, 027(- 512)) c) root(4, 16 * 625) root(4, – 81(- 10000)) root(5, – 32 * 243) root(6, 64 * 729)
2.16. Oblicz: a) sqrt(13 ^ 2) matrix sqrt 121 & sqrt 1,69 \\ sqrt[3] 256 & sqrt[5] 729 \\ sqrt[3] -216 & sqrt[3] 100 \\ matrix root(5, 100000) b) sqrt((- 5) ^ 4) root(3, (- 8) ^ 3) root(3, (- 7) ^ 6)
2.15. Oblicz: a) sqrt(49) sqrt(81) b) root(4, 81) root(4, 625) c) root(3, 125) root(3, – 1)
2.14. Wykonaj dane działania. Następnie oblicz wartość wyrażenia dla x = 3 a) (4x ^ 4) ^ 5 / ((2x ^ 2) ^ 7) / ((2x ^ 3) ^ 3) b) big(3x^ 2 )^ 7 :(9x^ 2 )^ 4 ]^ 3 :(9x^ 2 )^ 2 Pierwiastek arytmetyczny. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej
2.13. Rozwiąż równania: a) 2 ^ 17 * x – 16 ^ 4 * 3 = 5(4 ^ 8 * x – 3 * 2 ^ 17) ) c) 3 ^ 13 * x – 4 * 9 ^ 6 = 27 ^ 4 * (2x – 5) e) x/(2 ^ 5) + (1/4) ^ 2 = (- 1/8) ^ 2 * x + 1/(2 ^ 3) b) 27 ^ 3 * 2 * x – 3 ^ 1 = 3 ^ 10 * x + 2 * 3 d) (4 ^ 5 * x + 32 ^ 2) * 2 ^ 5 = 2 ^ 16 . f) x/(4 ^ 4) – 1/((- 2) ^ 6) = – (- 1/16) ^ 2
2.12. Przedstaw poniższe wyrażenia w postaci potęgi o podstawie a (a ne0) : a) ((a ^ 3 * a ^ 4) ^ 3 * (a ^ 2) ^ 5)/((a ^ 3 * a ^ 2) ^ 3) b) ((a ^ 8 / (a ^ 5)) ^ 1 / (a ^ 4))/((a ^ 9) ^ 2 / (a ^ 21)) c) ((a ^ 3 * a ^ 3) ^ 2)/(a ^ 5 / ([(a ^ 3) ^ 3 * a ^ 5] ^ 2))
2.11. Wykaż, że liczba: c) 37000 g) 3 ^ 5 * 100 ^ 4 d) 423100 h) 5 ^ 6 * 4 ^ 4 * (10 ^ 3) ^ 2 [ ( 0,75 0,25 )^ 2 – (0,5)^ 3 (-0,125)^ 2 ]^ 2 b) d) (- 0, 027) ^ 5 * (- 3, 5) ^ 2 – 12 1/4 * (- 0, 027) ^ 5 b) d) f) a) 5 ^ 13 + 5 ^ 14 + 5 ^ 15 jest podzielna przez 31; ((9 * 5 ^ 12 – 5 ^ 13) * 8 ^ 3)/(2 ^ 9 * 625 ^ 3) ((5 ^ 20 + 5 ^ 14) * (3 ^ 1) ^ 4)/((5 ^ 16 + 5 ^ 14) * 9 ^ 5) (8 * 3 ^ 4 * 3 ^ 11 – 9 * 3 ^ 12)/(46(3 ^ 18 / (3 ^ 4))) b) 3 ^ 25 + 3 ^ 26 + 3 ^ 27 + 3 ^ 28 jest podzielna przez 40; c) 4 ^ 2018 + 4 ^ 2019 + 4 ^ 2020 jest wielokrotnością liczby 14; d) 6 ^ 20 + 3 * 6 ^ 19 – 4 * 6 ^ 18 jest wielokrotnością liczby 100.
2.10. Oblicz: a) c) e) ((1024 – 2 ^ 7) * 343)/(2 ^ 7 * 7 ^ 5) (1080 * 6 ^ 4 + 6 ^ 7)/((6 ^ 3) ^ 2) (7 ^ 12 * 3 + 4 * 7 ^ 12)/((7 ^ 12 / (7 ^ 8)) ^ 3) D
2.9. Oblicz: a) c) 10000 f) 2 ^ 7 * 5 ^ 6 (3 ^ 2 + (- 2) ^ 3)/((- 4) ^ 2) / (1/16) (1 5/9) ^ 2 * (- 0, 375) ^ 3 * (3 ^ 2)/14 * (- 5 1/3) ^ 3
2.8. Jowiszem wynosi 778 milionów kilometrów, czyli b) 0,0121*10^ prime prime =12100000 d) 0, 00005 * 10 ^ n = 5000 Zapisz daną liczbę w postaci a*10^ prime , gdzie a in langle1,10)in in mathbb N : b) a) 150 e) 10,04
2.7. Wyznacz n, jeśli: a) 2.7 * 10 ^ n = 2700000 c) 5, 004 * 10 ^ n = 50040
2.6. Wpisz w kratkę odpowiedni wykładnik potęgi: a) c) f) (- 2/5) ^ 3 * i – (2/5) ^ 3 – 1/(2 ^ 0) * i * (- 1) ^ 25 (2/5) ^ 5 * (6 1/4) ^ 3 (- 2, 8) ^ 6 * (25/49) ^ 3 (0, 7) ^ 2 * (21/100) ^ 4 9 (- 0, 25) ^ 10 / (- 10/(4 ^ 10)) c) f) c) (32 ^ 3) ^ 5 / (64 ^ 4) f) [(0, 4) ^ 5 / ((0, 8) ^ 5)] ^ 6 * 16 ^ 9 c) (3 ^ 5 * 9) ^ 2 * 81 (18 ^ 2 * 81 ^ 3) ^ 2 / ((4 * 3 ^ 15) ^ 2) f) Średnica Słońca wynosi 1 390 000 km, czyli 1,39*10^ Box km . b) Ziemia jest oddalona od Słońca o 150 milionów kilometrów, czyli o 1,5*10-km c) f) (- 3 1/5) ^ 3 / ((1 3/5) ^ 3) c) Neptun jest oddalony od Słońca o około 4,5 miliarda kilometrów, czyli 0,45-10^ Box km . d) Odległość między Słońcem a 77,8*10^ Box km .
2.5. Przedstaw liczbę w postaci potęgi 243 ^ 2 / (9 ^ 3) a) 81 * 27 d) (33 ^ 3 / (11 ^ 3)) ^ 2 / (27 ^ 2) b) o podstawie 3: e) (9 ^ 3 * 243) ^ 5 / (729 ^ 6)
2.4. Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 2: a) 4 ^ 5 * 8 ^ 2 / (2 ^ 9) d) 16 ^ 11 / ((4 * 2 ^ 4) ^ 3) b) (2 ^ 19 * 2 ^ 13) ^ 3 * 128 e) (14 ^ 3 / (7 ^ 3)) ^ 5 * 4
2.3. Oblicz, stosując prawa działań na potęgach: a) d) (1 1/2) ^ 8 / ((- 1, 5) ^ 6) b) ( 0,4)^ t1 : (- 2 5 )^ 8 (2 1/7) ^ 2 / ((45/49) ^ 2) b) e)
2.2. Oblicz, stosując prawa działań na potęgach: a) d) – 4 ^ 2 * (- 4) ^ 3 (- 1 1/5) ^ 3 * (- 1 2/3) ^ 7 b) (0, 2) ^ 3 * (0, 2) ^ 3 e) (1,8)^ 4 * 1 4 – 1 6 )^ 4
2.1. Porównaj liczby: a) (1/2) ^ 3 * i * 1/(2 ^ 3) d) – 6 ^ 4 * i * (- 6) ^ 4 b) e) (3 ^ 2)/4 * i * (3/4) ^ 2 – 1/(7 ^ 3) * i – (- 1/7) ^ 3
40. Oszacuj liczbę sqrt(3) * z dokładnością do 0,1. Następnie wykaż (bez użycia kalkula tora), że liczba (5sqrt(3) – 6, 5)/2 (1, 1 1/4) należy do przedziału 1,1
39. Przybliżenie pewnej liczby z niedomiarem jest równe 14, a błąd procentowy tego przybliżenia wynosi 12,5%. Wyznacz tę liczbę.
38. Zapisz liczby a calnych = 1 2+ 1 1+ a) Porównaj liczby aib. b) c) 1 3 Podaj przybliżenie dziesiętne każdej z liczb a, b z dokładnością do drugiego miej sca po przecinku. Oblicz błąd bezwzględny każdego z powyższych przybliżeń (podaj ten błąd w postaci ułamka zwykłego) dla każdej z liczb a ib.
37. W wyborach do samorządu szkolnego, które odbyły się w czerwcu 2012 r., startowały obu grup w dwie grupy uczniów: „Pracowici” oraz , Grupa z fantazją”. Poparcie dla roku szkolnym 2011/2012 na podstawie dwóch przeprowadzonych son przedstawia wykres poniżej. daży 50% 40% badanie z listopada 2011 r. badanie z 34% marca 2012 r. 35\% 30% 28% 20% 20% 10% 0% Grupa z fantazja” „Pracowici” i w punktach procentowych zmianę poparcia dla obu grup oraz b = 0, 3(6) w postaci ułamków zwykłych nieskra Wyraź w procentach startujących w wyborach.
36. Pan Goździk założył roczną lokatę o stałym oprocentowaniu w wysokości 25 000 i zł. Po roku bank dopisał odsetki pomniejszone o 20% podatku dochodowego wówczas pan Goździk miał oprocentowanie tej lokaty na lokacie 26 400 zł. Oblicz: a) b) kwotę podatku dochodowego.
35. Czapka i szalik kosztują tyle samo. Jeśli czapka stanieje o 4%, a szalik zdrożeje o 12\% , to o ile procent więcej niż obecnie trzeba będzie zapłacić za dwie czapki i jeden szalik?
34. Wyznacz liczbe, której 16% jest liczbą o 9 mniejszą od
33. Rozwiąż nierówność i podaj największą liczbę całkowita parzystą, która spełnia tę nierówność. 2x + 3(1 – 2x) >= (8x + 10)/4
32. Rozwiąż nierówność i podaj najmniejszą liczbę całkowitą, która nie spełnia tej nierówności. x – (3(x – 1))/6 > 3x + 5 1/2
31. Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych parzystych jest o 112 większy od kwadratu liczby mniejszej. Co to za liczby?
30. Dane jest równanie z niewiadomą x. Wyznacz liczbę m, dla której obok równania jest jego rozwiązaniem. a) 3x * (x – 4m) + x = 1, 5x * (2x + 6) ; 1/2 liczba podana b) (1-2x)(x+m)=(3+2m)2x ; 1/4
29. Rozwiąż równania: a) 2x ^ 2 = 8 d) 2(1 – 3x) = 5 – 6x g) (2x – 1)/(x + 1) = 7 b) x = 3k – 1 , k in N ; y = 3 d) x = 4k – 3 , k in N ; y = 4 b) (x + 1)(2x – 6) = 0 e) (9 – x) ^ 2 = 0 h) sqrt(x ^ 2 + 64) = 17 c) x ^ 2 = 5x f) i) (3x – 2) * 4 = (24x + 6)/2 – 11 3sqrt(x + 2) = 0
28. Oblicz, jaką otrzymamy resztę z dzielenia liczby x przez liczbę y, jeśli: a) x = 6k – 2 , k in N ; y = 6 c) x = 7k – 5 , k in N ; y = 7
27. Dane są dwie dzielenia przez a) 36 x > y c) 9.
26. Dzień 11 listopada 2018 roku, w stulecie odzyskania wypadł w niedzielę. Jakim dniem tygodnia był dzień 11 listopada 1918 roku? niepodległości przez Polskę, kolejne liczby całkowite x i y, gdzie . Liczba x w wyniku po 6 daje resztę 4. Wyznacz resztę z podzielenia liczby 3(x + y) przez: b) 12
25. Oblicz: a) |2 – sqrt(5)| – |sqrt(5) – 1| b) 4*|0,5 pi-1,57|-|2 pi-6,3|
24. Dane są przedziały liczbowe: A= langle-2,4 rangle,B= langle1,8) . Sprawdź, która z liczb: 0= 12+ sqrt 3 4 , b= 1 3 -(8 1 3 -5,4)]0,25 125*(-0,75)+94.1 ,c=0.12 c = 0, 124 * 8, 56 + 0, 124 * 1, 44 należy do części wspólnej tych przedziałów.
23. Dane są liczby: x = 0, 2(5) oraz y = 0, 4(12) . Znajdź rozwinięcie dziesiętne liczby x + y :
22. Podaj przykład liczby: a) wymiernej, która spełnia warunek: 4/13 < 2/13 - x < 5/13 b) niewymiernej y, która spełnia warunek: 2sqrt(2) < sqrt(2) + 4y < 3sqrt(2) .
21. Dany jest zbiór A = a) Wypisz liczby niewymierne należące do zbioru A. b) Ustaw liczby wymierne należące do zbioru A w kolejności od najmniejszej do największej.
20. Zaznacz na osi liczbowej przedziały: A= a) najmniejszą liczbę naturalną, która należy do 6). Następnie podaj: zbioru A cup B ; b) największą liczbę całkowitą, która należy do zbioru B – A ; c) przykład liczby niewymiernej, która należy do zbioru A – B ; przykład liczby wymiernej, która należy do zbioru AnBi której odwrotność też należy do zbioru A cap B d) B. A= \ – sqrt 2,25 ;-1 3 4 ;- pi 2 ;2 3 8 ;2,(37); sqrt 2 \
19. b) A cup C e) D cup A с) B – C f) C cap D Dane są przedziały: A=(- infty,4),B=(1,7) , które są podzbiorami przestrzeni R. Zapisz za pomocą przedziałów lub sumy przedziałów zbiory: a) A^ prime d) (A cap B)^ prime b) B^ prime e) B-A^ prime c) (A cup B)^ prime f) (A-B)^ prime A = (- 4, 3 1/2), B = (1/3, 6)
18. Dane są zbiory: A=\ x:x in R]x>=-2\ , B=\ x:x in R:x<8\ . C=\ x:x in R|-5 4 ). Zaznacz na osi liczbowej zbiory: a) A – B d) B cap D
17. Niech zbiór liczb całkowitych Z oznacza przestrzeń. Zbiory A i B są podzbiorami tej przestrzeni oraz Wyznacz zbiory: A=\ x:x in Nix<=5\ ), B=\ x:x in Z|x>-3\ . b) (A cup B)^ prime e) A^ prime cup B^ prime c) AB f) A^ prime cap B^ prime a) A cup B AB) d) (
16. Dane są zbiory A=\ x:x=a sqrt 2 , gdzie sigma in\ 1,2,3,4,5\ \ ), b in\ 0,2,4,6,8\ \ . Wyznacz zbiory A cup B,A cap B,A-B , B – A . B=\ x;x= b sqrt 2 przy resztę 3, to gdzie
15. Liczba 3 jest przybliżeniem z niedomiarem liczby 3,2. bliżenia jest równy: A. 1/16 B. 1/15 C. 0,2 D. 75% Błąd względny tego 6 1/5 D. 6 Zadania powtórzeniowe do rozdziału 1.
14. Kilogram śliwek jest droższy od kilograma jabłek o 50%. Zatem kilogram jabłek jest śliwek o: tańszy od kilograma A. 25% B. 33 1 3 \% C. 50%
13. Zbiorem A. (- infty, 3 2 ) rozwiązań nierówności B. (- infty,1) D. 7 przez 5 otrzymamy D. 6 B. spełnia tylko liczba 0 D. jest sprzeczne (1 – 4x)/2 + x > – 0, 5 jest przedział: C. (1,+ infty) D. (3/2, + x)
12. Równanie x ^ 2 = x : A. spełnia tylko liczba 1 C. spełniają dwie liczby: 011
11. Jeśli w wyniku podzielenia liczby dzieląc liczbę 4a przez 10 otrzymamy resztę: B. 3 C. 4 całkowitej a A. 2
10. Dane są przedziały A= langle0,7),B=(3,9) ic C = (5, 10) . Najmniejszą liczbą naturalną należąca do zbioru B-(A cap C) jest liczba: A. O B. 4 C.
9. Niech przedział (- infty,5) będzie przestrzenią. Dopełnieniem przedziału (- infty,1) w tej przestrzeni jest przedział: A. (1, 5) B. (1, 5) C. (1,+ infty) D. (5,+ infty) 1,9 3
8. Wskaż liczbę niewymierną, która należy do przedziału (- 1, 0) . A. 0 B. – 0, 5pi C. – 0, 5sqrt(5) D. 1 – sqrt(2)
7. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których prawdziwa jest nierówność x<=1,9) jest przedstawiony na osi liczbowej: A. C. B. D. -3 -2 -1 2 4 -1 + 3 1 2 4 X 1 1,9 3 4 -3-2 -1
6. Rozwinięcie dziesiętne nieskończone 0, (18) przedstawia liczbę: A. 18/101 B. 9/50 C. 2/11 D. niewymierna
5. Ile liczb naturalnych dwucyfrowych należy do zbioru A=\ x;x=2n in in N\ ? A. 90 B. 50 C. 49 D. 45
4. Zbiór X ma 6 elementów, zbiór Y ma 5 elementów, a do zbioru XU Y należy 8 elementów. Oznacza to, że liczba elementów zbioru X Y jest równa A. 3 B. 2 C. 1 D. 6
3. Niech A oznacza zbiór liczb ralnych podzielnych przez 2. Wówczas zbiór A cap B oznacza: A. zbiór liczb całkowitych podzielnych przez 6 B. zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 6 C. zbiór liczb naturalnych podzielnych D. zbiór liczb całkowitych podzielnych przez 2 lub przez 3 przez 2 lub przez 3.
2. Niech A=\ 3,5,7,9\ , B=\ 1,2,3,4,5\ . Wówczas A. A-B= emptyset B. A-B=\ 1,2,4\ ] C.A-B=\ 7,9\ ) D. A-B=\ 1,2,4,7,9\ całkowitych podzielnych przez 3; B- zbiór liczb natu
1. Niech A oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez 4, które są nie większe od 16. Wówczas: A. A=\ 4,8,12,16\ B. A=\ 0,4,8,12\ subset C,A=\ 0,4,8,12,16\ D. A=\ 4,8,12\
1.175. Nie używając kalkulatora sprawdź, czy: a) liczba * (8sqrt(3) – 5)/6 * n * a * l * e * z należy do przedziału należy do przedziału b) liczba * (5 – 5sqrt(3))/7 (1/2, 1 5/6) (- 4/7, – 1/2)
1.174. Porównaj liczby x i y (nie używając kalkulatora): x = (2sqrt(3) – 1)/6 * o * r * a * z * y = 1/2 a) x= x = (4 + sqrt(3))/8 y = 5/8 oraz c) x= y = (4 + 3sqrt(5))/9 x = (3sqrt(5) – 4)/10 * o * r * a * z * y = (2sqrt(5) + 1)/10 b) x = 1, 5 oraz d)
1.173. Wyraź szukane wielkości w centymetrach. Podaj przybliżenia dziesiętne z dokładnością do 0,1 cm: a) długości przekątnej kwadratu, którego bok ma długość 4 cm; trójkąta równobocznego, którego bok ma długość 1,5 cm; b) wysokości c) obwodu koła o promieniu 1,8 cm.
1.172. Podaj przybliżenie dziesiętne liczb z dokładnością do 0,001: a) 100sqrt(5) d) 15pi b) 1/6 * sqrt(2) e) 10sqrt(7) c) 3sqrt(3) f) 0.2sqrt(11) sqrt 2 =1,4142135… sqrt 3 = 1,7320508,… sqrt 5 = 2360679… V6 = 2,4494897… sqrt(7) = 2, 645751 aligned 7513…\\ 926… aligned pi = 3, 14159
1.171. Wyznacz liczbę x, jeśli: a) przybliżenie z nadmiarem liczby x jest równe 13,6; btąd względny tego przybli żenia wynosi 0,00369 b) przybliżenie z niedomiarem liczby x jest równe 24,1; błąd względny tego przybli żenia wynosi 0,001657 c) przybliżenie z nadmiarem liczby x jest równe 121, a błąd procentowy przybliżenia wynosi 0,5% tego d) przybliżenie z niedomiarem liczby x jest równe 6, a błąd procentowy tego przy bliżenia wynosi 4%.
1.170. Wyznacz liczbę x, jeśli: Rysy 2499 m 2495 m granica Polski z Ukraina 535 km 520 km Wielka Brytania 244, 1 250 Gujana 743 morska granica Polski 440 km 425 km a) przybliżenie z nadmiarem liczby x jest równe 13,8; błąd bezwzględny tego przy bliżenia wynosi 0,012 b) przybliżenie z nadmiarem liczby x jest równe 1, 05 ; błąd bezwzględny bliženia wynosi 0,003 tego przy c) przybliżenie z niedomiarem liczby x jest równe 8,4; błąd bezwzględny tego przy bliżenia wynosi 0,26 d) przybliżenie z niedomiarem liczby x jest równe 24, 102 błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,0014.
1.169. Ocen, w którym przybliżeniu popełniono mniejszy błąd: a) wysokość rzeczywista wysokość przybliżona b) długość rzeczywista długość przybliżona Mont Blanc 4807 m 4800 m
1.168. Jaki błąd bezwzględny i jaki błąd procentowy popełniono, podając przy bliżone powierzchnie wybranych państw europejskich? państwo rzeczywista powierzchnia przybliżenie powierzchni (w tys. km (w tys. km^ 2 ) Francja 551,5 550 Polska 312,685 310
1.167. Granice lądowe Wenezueli mają w przybliżeniu łączną długość 5000 km. Dokładne długości granic tego kraju z innymi państwami przedstawia poniższa ta- bela. Oblicz błąd bezwzględny i błąd procentowy przybliżonej długości granic lado wych Wenezueli. dane państwo długość Wenezueli z danym panstwem granicy lądowej (w km) Kolumbia 2050 Brazylia 2200
1.166. Pani Nowakowa oszacowała wartość prezentów z okazji Swiąt Bożego Narodzenia na kwotę 450 zł. Mężowi kupiła krawat za 562 corce – bluzkę za 125 zł, synowi – spodnie za 90 zł, zięciowi – koszulę za wnuczce – lalkę za 83 zł. Oblicz blad bezwzględny, błąd względny i błąd procentowy 21, zas 75 oszacowania wartości zakupów, dokonany przez panią Nowakową.
1.165. Oszacuj wyniki obliczeń, a następnie oblicz na kalkulatorze dokładne warto ści wyrażeń. Oblicz błąd bezwzględny swojego oszacowania. a) 2 * 13.6 + 44.32 + 671 c) 450/14, 9 + 18, 9 * 4 b) 4 * 256 + 19 * 39 4, 68 * 5, 13 + 99 * 201 d) jaka była inflacja 34 dla członków rodziny
1.164. a) 3520 b) 0,1495 Zaokrąglij dana liczbę do setek: b) 15247 c) 69, 3457 d) 0,0651 d) 300,9148 d) 137 c) 231591
1.163. Zaokrąglij daną liczbę do części setnych: a) 1,254
1.162. Zaokrąglij daną liczbę do jednego a) 0,234 b) 0, 4719 miejsca po przecinku: c) 0,51403
1.161. W pewnym kraju obliczono inflację w dwóch kolejnych latach i zauważono, że w drugim roku inflacja była niższa o 120 punktów bazowych w stosunku do roku poprzedniego. Oznaczało to obniżenie inflacji o w tych dwóch latach. 109 1 11 \% Oblicz, Przybliżenia, błąd bezwzględny i błąd względny, szacowanie
1.160. Pewien bank podwyższył oprocentowanie kredytu hipotecznego o 80 punk tów bazowych, co oznaczało podwyżkę o 12,5%. Oblicz wysokość oprocentowania kredytu hipotecznego po podwyżce.
1.159. Rada Polityki Pieniężnej na początku roku obniżyła depozytową stopę pro centową (która określa oprocentowanie jednodniowych depozytów składanych przez banki komercyjne w banku centralnym) z 2,75% do 2.5\% . Podaj obniżkę depo zytowej stopy procentowej: a) w punktach procentowych b) w punktach bazowych c) w procentach.
1.158. W banku obniżono oprocentowanie kredytu z 20% do 18,5%. a) O ile punktów procentowych zmniejszono oprocentowanie? b) O ile procent staniał kredyt w tym banku?
1.157. Bank zwiększył oprocentowanie kredytu z 20% do 21.5\% . a) O ile punktów procentowych zwiększono oprocentowanie kredytu? b) O ile procent zwiększono oprocentowanie kredytu?
1.156. Poparcie dla partii mathcal A ^ prime prime w marcu było równe 24%. W kwietniu poparcie dla tej partii wzrosło o 3 punkty procentowe. a) lle procent było równe poparcie dla partii „A” w kwietniu? b) O ile procent wzrosło poparcie dla partii „A” w kwietniu?
1.155. W pewnej szkole badano czytelnictwo w klasach pierwszych. Poniższa tabe la przedstawia, jaki procent wszystkich książek wypożyczonych przez klasy pierwsze ze szkolnej biblioteki w roku szkolnym 2018/2019 wypożyczyły klasy: la, Ib, i lc. la 23,4% ib 31,2% Ic 32,76% a) Wyraź w punktach procentowych i w punktach bazowych różnice w czytelni ctwie pomiędzy tymi klasami. b) O ile procent więcej wypożyczyła książek ze szkolnej biblioteki la? klasa lc od klasy c) O ile procent mniej wypożyczyła książek ze szkolnej biblioteki klasa la od klasy Ib?
1.154. Tabela poniżej przedstawia, ile procent uczniów pewnej szkoły brało udział w zajęciach SKS przed remontem i po remoncie sali gimnastycznej. zajęcia przed remontem sali po remoncie sali siatkówka koszykówka 5,5% 7,7% 6% 7,5% piłka ręczna 3,6% 5,4% piłka nożna 8% 9% O ile punktów procentowych i o ile punktów bazowych wzrosło zainteresowanie poszczególnymi zajęciami? O ile procent zwiększyła się grupa osób uczęszczająca na dane zajęcia sportowe?
1.153. Pani Julia Malinowska wzięła kredyt w wysokości 6000 zł z banku, w którym oprocentowanie roczne dla kredytów gotówkowych wynosi 24%, z miesięczną ka- pitalizacją odsetek. Kredyt zaczęła spłacać po dwóch miesiącach od daty pożyczki i spłaciła w ciągu kolejnych 6 miesięcy, w równych ratach kwoty kredytu, do których niespłaconą kwotę kredytu. Oblicz kwotę odsetek, jaką były doliczane odsetki za pani Julia zapłaciła bankowi oraz jaki procent pożyczonej kwoty stanowiły te odsetki. Punkty procentowe
1.152. Klient zawarł z bankiem umowę na udzielenie mu kredytu w wysokości 12000 zł na jeden rok, przy rocznym oprocentowaniu 16%. Kwota kredytu ma być spłacana w czterech równych kwartalnych ratach. Do rat mają być dopisane odsetki od kwoty, która pozostała do spłaty. a) Podaj kwoty wszystkich rat. b) Oblicz, jaki procent kwoty kredytu stanowi suma wszystkich odsetek. kwota odsetek 144 wysokość spłaty 1344
1.151. Kredytobiorca otrzymał w banku kredyt w wysokości 7200 zł, który chce spłacić w ciągu pół roku, w ratach miesięcznych. Tabela przedstawia sposób spłaty kredytu. Kwota odsetek liczona jest według wzoru: kwota tuienia * 0, 02 . kwota zadłużenia 7200 6000 4800 3600 2400 1200 a) Uzupełnij tabelkę. wysokość raty 1200 1200 1200 1200 1200 1200 b) Podaj kwotę odsetek, którą musiał oddać bankowi kredytobiorca. c) Oblicz, o ile procent więcej złotych kredytobiorca oddał bankowi niż pożyczył? d) Jakie było roczne oprocentowanie kredytu?
1.150. Pani Teresa Kowalska postanowiła ulokować na rok swoje oszczędności w jednym z dwóch różnych banków. W banku A oprocentowanie roczne wynosi 4%, a odsetki kapitalizowane są co kwartał. W banku B oprocentowanie roczne wyno si 5%, z roczną kapitalizacją odsetek. Który z banków powinna wybrać pani Teresa Kowalska chcąc uzyskać większe odsetki? Odpowiedź uzasadnij.
1.149. Po czterech latach oszczędzania na lokacie stan konta pani Wandy przy rocz nej kapitalizacji odsetek wzrósł z 40000 oprocentowania Oblicz wysokość rocznego zł do 50499,08 zł.
1.148. Lokata 26000 zł jest oprocentowana w wysokości 4% w stosunku rocznym. W banku obowiązuje kapitalizacja: roczna (bank po roku dopisuje do kapitalu należne odsetki) b) półroczna (bank po półroczu dopisuje do kapitału należne odsetki a) c) kwartalna (bank po upływie trzech miesięcy dopisuje do kapitału należne odsetki) Jaka będzie wartość lokaty po jednym roku? (Pomijamy podatek od dochodów ka pitałowych.)
1.147. Pewne towarzystwo ubezpieczeniowe udziela następujących zniżek w ubez pieczeniu OC za bezszkodowa jazdę samochodem: liczba lat bezszkodowej jazdy 1 2 3 4 5 6 i więcej oraz, między innymi, takich zwyżek: wysokość zniżki w % 10 20 30 40 50 60 1. za wiek właściciela poniżej 25 lat-30\% za okres posiadania przez właściciela prawa jazdy poniżej 3 lat – 25% za wiek samochodu powyżej 10 |at-59 4. za użytkowanie samochodu jako taksówki -40\% Jaki procent podstawowej stawki zapłacą za ubezpieczenie OC swoich samochodów następujące osoby (podano wszystkie potrzebne informacje): 2. 3. a) b) Jan Nowak, wiek 23 lata, prawo jazdy od 4 lat, 2 lata bezszkodowej jazdy, samo chód: 15-letni mercedes; Katarzyna Wtorek, wiek 28 lat, prawo jazdy od 5 lat, 3 lata bezszkodowej jazdy, samochód: 2-letni fiat; c) Grzegorz Bronowski, wiek 54 lata, prawo jazdy od 25 lat, 10 lat bezszkodowej jazdy, samochód – taksówka: 5-letni ford; d) Jan Skibicki, wiek 20 lat, prawo jazdy od 1 roku, ubezpiecza swój pierwszy samochód, 20-letni mercedes.
1.146. Pracodawca zawarł z pracownikiem umowę o dzieło na pewną kwotę. Ustalona kwota stanowi przychód pracownika, od którego odlicza się tzw. koszty uzyskania przychodu, które w tego rodzaju umowie stanowią 50% przychodu. Uzy skana różnica jest dochodem pracownika. Od uzyskanego dochodu pracodawca potrąca 20% podatku dochodowego i wypłaca pracownikowi kwotę w wysokości różnicy przychodu i potrąconego podatku. Oblicz, jaka wypłatę otrzyma pracownik, z którym pracodawca zawarł umowę o dzieło na kwotę 26 000 zł.
1.145. musi odprowadzić do urzędu skarbowego podatek dochodowy, który Pracodawca oblicza się w następujący sposób: – 20% kwoty brutto stanowią koszty uzyskania przychodu. Przychód pomniejszony o koszty uzyskania przychodu stanowi dochód studenta. umówił – Podatek dochodowy jest równy 18% kwoty dochodu, z zaokrągleniem do pełne- go złotego Kwota netto, wypłacona studentowi za jego pracę, to przychód pomniejszony o po datek dochodowy. Oblicz: a) jaka kwota została wypłacona studentowi, jeżeli w umowie wpisana była kwota 2150 zł b) jaka kwota brutto (w pełnych złotych) powinna być wpisana do tej umowy, jeżeli student się z pracodawcą na wynagrodzenie netto w wysokości 2000 zł?
1.144. Pani Janina Nowak inwestuje na giełdzie za pośrednictwem pewnego biura maklerskiego. Za każdą zrealizowana transakcję kupna lub sprzedaży biuro pobiera prowizję w wysokości 1,5% wartości transakcji. Nowak zainwestowała 20 000 zł, kupując 480 akcji spółki A po 12,5 zł za akcje, Pani a resztę przeznaczyła na kupno akcji spółki B po 20 zł za akcję. Osobno zapłaciła prowizje. Po pewnym czasie, gdy za akcje spólki A płacono po 16 zł 40 gr, a akcje spółki B wzrosły o 18% w stosunku do ceny kupna, pani Nowak złożyła w biurze maklerskim zlecenie sprzedaży wszystkich posiadanych akcji. Zanim jednak zlecenie zostało wy konane, akcje spółki B potaniały o 5% w stosunku do ostatnio notowanej ceny. Oblicz: a) lle akcji spółki B kupiła pani Nowak? b) Po jakiej cenie zostały sprzedane akcje spółki B? c) O ile procent wzrosła cena akcji spółki A? d) Jaką kwotę otrzymała pani Nowak po sprzedaży wszystkich swoich akcji? e) W jakiej wysokości zapłaciła prowizję? f) Jaki zysk (w złotówkach oraz procentowy) osiągnęła pani Nowak na tej transakcji? Podczas wakacji pewien student zawarł umowę zlecenie w firmie ustu gowej na wykonanie pracy. W umowie pracodawca wpisał kwotę brutto wynagro dzenia. Ustalona przez pracodawcę kwota brutto stanowi tzw. przychód studenta.
1.143. Tabela poniżej przedstawia inflację roczną w latach 1987-2018. Inflacja to wskaźnik średniego wzrostu cen towarów i usług. W tabeli powyżej przed stawiona jest inflacja roczna, czyli wskaźnik średniego wzrostu cen w danym roku, w stosunku do roku poprzedniego. Wykorzystując dane w tabeli, możemy obliczyć inflację na przestrzeni kilku lat. W tym celu zdefiniujmy roczny czynnik wzrostu cen (RCWC), który dla inflacji p% jest równy 1 + p/100 Żeby obliczyć łączną inflacje w la tach 1998, 1999, 2000 (z dokładnością do 0,1%), najpierw wyznaczamy RCWC dla tych lat. Otrzymujemy: 1,118; 1,073 ; 1,101. Następnie mnożymy te trzy wskaźniki: 1, 321 = 1 + (32, 1)/100 1,118*1,073*1,101 approx1,321.Z otrzymanego wyniku odczytujemy: Zatem łączna inflacja była równa 32,1% a) b) Postępując analogicznie, oblicz łączna inflację w latach 2008, 2009, 2010, 2011. Jeśli inflacja roczna przekracza 50%, to nazywamy ją hiperinflacją. Odczytaj beli, w jakich czterech kolejnych latach w Polsce była hiperinflacja i oblicz łączną inflację w tych latach. z ta c) Deflacja jest to stały spadek przeciętnego poziomu cen wpływający na wzrost siły nabywczej pieniądza. W warunkach deflacji po pewnym czasie można kupić za tę samą kwotę więcej towarów i usług. W których latach w Polsce odnotowa no deflację?
1.142. lle gramów złota próby 960 należy dołożyć do 55,7 g złota próby 583, aby otrzymać stop złota próby 750?
1.141. Działkowicz musi zrobić oprysk winorośli 0,2-procentowym roztworem dithane 500, ale kupił 10-procentowy koncentrat tego środka. Ile musi wziąć kon centratu, aby przygotować płyn o żądanym stężeniu, jeśli chce przygotować płyn na 3-krotne napełnienie opryskiwacza plecakowego o pojemności 5 litrów?
1.140 Pani Marta stosuje 3-procentową zalewę octową do marynaty z ogórków. Ile litrów octu 10% i ile litrów wody powinna zmieszać, aby otrzymać 2,5 litra takiej zalewy?
1.139. Jola i Bartek wyruszyli jednocześnie z tego samego domu do kroku Joli jest o 10% mniejsza od długości kroku Bartka, ale Jola robi w tym samym czasie o 20% kroków więcej niż Bartek. Kto pierwszy dotrze do szkoły? szkoły. Długość 3-procentową marynaty z ogórków. Ile litrów octu 10% i ile litrów wody powinna zmieszać, aby otrzymać 2,5 litra takiej zalewy?
1.138. Wczoraj na lekcji matematyki w klasie Ib obecnych uczniów było 8 razy tyle, co nieobecnych. Dzisiaj nie przyszło jeszcze dwóch i nieobecni niów obecnych. uczniów jest w klasie? stanowią 20% ucz
1.137. Cena biletu na mecz to się, że na mecz przychodziło o 50% widzów więcej, a dochód uzyskany ze sprzeda ży biletów na jeden mecz wzrósł o 25%. O ile złotych obniżono cene biletu? piłki nożnej wynosiła 150 zł. Gdy cenę obnizono okaza
1.136. Po dwukrotnej podwyżce ceny towaru, za każdym razem o ten sam procent, jego cena końcowa jest o 21% większa od pierwotnej. O ile procent dokonywano każdorazowo podwyżki ceny towaru?
1.135. Po dwukrotnej obniżce ceny towaru, za każdym razem o ten cent, jego cena końcowa stanowi 64% ceny pierwotnej. O ile procent dokonywana każdorazowo obniżki ceny towaru?
1.134. Cenę pewnego towaru podniesiono o 25%, a po pewnym czasie obniżono do początkowej wartości. O ile procent została obniżona cena towaru?
1.133. Cenę pewnego towaru najpierw podniesiono o 10%, a następnie obniżono 20%. O ile procent końcowa cena towaru była niższa od początkowej ceny?
1.132. Cenę pewnego towaru dwukrotnie podnoszono o 10%. O ile procent należałoby jednorazowo podnieść cenę towaru, aby uzyskać ten sam efekt?
1.131. Cenę piekarnika najpierw podniesiono o 5%, a potem obniżono o 30%. Ile początkowo kosztował piekarnik, jeśli obecnie, po obu zmianach cen, kosztuje 2087 zł 40 gr?
1.130. Cena pewnego towaru wraz z 7% podatkiem VAT wynosi 59 zł 92 ten sam towar, jeśli podatek VAT zostanie zwiększony do 23%? dzie kosztował
1.129. Za wykonanie pewnej usługi, do której dolicza się 23% podatku VAT, klient zapłacił 2528 zł 88 gr. lle zapłaciłby za tę samą usługę, gdyby podatek VAT wynosił 7%? gr. lle bę-
1.128. Za położenie 1 m kabla elektrycznego od słupa linii niskiego napięcia do bu dynku trzeba zapłacić 120 zł plus 7% podatku VAT. Oblicz, ile złotych zapłaci inwestor za położenie 28 m kabla.
1.127. Rzeka Jangcy ma 6300 km długości, a rzeka Tygrys – 1950 km. O ile procent rzeka Jangcy jest dłuższa od rzeki Tygrys? O ile procent rzeka Tygrys jest krótsza od rzeki Jangcy? Wynik podaj z dokładnością do części dziesiątych.
1.126. Powierzchnia jeziora Hańcza wynosi 3.1 km ^ 2 ?, a powierzchnia Wielkiego Stawu wynosi 0, 3 km ^ 2 O ile procent powierzchnia jeziora Hańcza jest większa od powierzchni Wielkiego Stawu? O ile procent mniejsza jest powierzchnia Wielkie go Stawu od powierzchni jeziora Hańcza? Wynik podaj z dokładnością do części setnych.
1.125. Ekipa Jurka utożyta 300 m światłowodu. W tym samym czasie ekipa Wojtka utożyła 270 m światłowodu. a) O ile procent światłowód ułożonego przez ekipe Wojtka? ułożony przez ekipę Jurka jest dłuższy od światłowodu b) O ile procent światłowód ułożony przez ekipę Wojtka jest krótszy od światło wodu ułożonego przez ekipe Jurka?
1.124 Liczba x stanowi 80% liczby y. Jakim procentem liczby x jest liczba y? Liczba x stanowi 33 1 3 \% liczby y. Jakim procentem liczby x jest liczba y? Liczba x stanowi 28 4 7 \% liczby y. Jakim procentem liczby x jest liczba y? d) Liczba x stanowi 66 2 3 \% liczby y. Jakim procentem liczby x jest liczba y?
1.123. Jakim procentem liczby x jest liczba y,
1.122 Wyznacz liczbę, której 40% jest równe 6. b) Wyznacz liczbę, której 2% jest równe 15. c) Wyznacz liczbę, której 1,8% jest równe 360 d) Wyznacz liczbę, której 320% jest równe 20.
1.121. Oblicz: a) 30% liczby 1,2 c) 1,4% liczby 1000 1.122. b)
1.120. Podaj przykład liczby: a) ujemnej, spełniającej nierównośc: x ^ 2 > 25 b) dodatniej, spelniającej nierównośc: 2/x > 2 c) ujemnej, spełniającej nierówność: – 3/x > 1 d) będącej rozwiązaniem nierówności: 1/(x + 2) > 1 e) będącej rozwiązaniem nierówności: – 2/(x + 1) > 3 f) będącej rozwiązaniem nierówności: – 3/(4 – x) > 2 Procenty
1.119. Wyznacz liczbę a, dla której zbiorem rozwiązań danej nierówności jest zbiór podany obok tej nierówności: a) 3x + a >= 2x + 1 ; langle-5,+ infty) c) – 4(x + a) < 12 ; (-2,+ infty) R g) ax + 2 >= x – 10 ; (-6,+ infty) e) 3(2x – a) <= 6(1 + x) ; b) - x + 4 >= 2x + a ; (- infty,-3) d) 2(x – a) > 3(x + a) ; (- infty,10) R h) 2(x – 5) < ax - 16 ; (-1,+ infty) f) 4x - 1 <= ax + 1 ;
1.118. Rozwiąż nierówności: a) (sqrt(3) – 3) * x > sqrt(3) c) (1+ sqrt 5 ) x<=1+ sqrt 5 e) (3 - pi) * x < - 1 g) - 2x + 4 >= 6 – x * sqrt(2)
1.117. Rozwiąż nierówność i zapisz zbiór rozwiązań za pomocą przedziału: a) c) – (2 + x)/3 + (3 – x)/6 < 1 3/4 * x - (4x + 1)/2 >= – x – 3/8 (x – (3 – 2x)/2)/5 > 2 x – (3(x + 2))/4 > 1 + x b) x- (5 – 4x)/3 + x >= – 2x + 1/4 d) f) ((x – 2, 0)/3 – 2x)/4 >= (x + 2)/5 6) (2 – sqrt(2)) * x > sqrt(2) d) (2 – sqrt(5)) * x >= sqrt(5) – 2 f) 3x – 3sqrt(3) * x <= 6 h) 6 + x * sqrt(7) < 3x + 2sqrt(7) e)
1.116. Rozwiąż nierówności: a) 2(x – 1) – 3(x – 2) < 6 c) e) g) 1 8 (5,6x 6x-4)<=0,3x+4,5 (x - 5)/7 < (3x + 2)/21 (4 - x)/5 - (x + 2)/3 >= (2 – 8x)/15 b) 5 >= 2x + 1 >= – 5 d) 3 > – x >= – 7 f) h) – x + 6 <= 2x <= 3x + 1 5x - 6 <= - 3x + 2 <= x - 2 b) - 3(2x + 4) + 5(x - 2) >= – x + 5 d) – 1 2/3 * (x + 6) >= 1/6 * (x + 3) + 0, 5 (x + 2)/3 – (x + 4)/4 > (x + 1)/12 (x – 5)/2 – (3 – x)/6 <= (x + 4)/3 f) h)
1.115. Rozwiąż nierówności podwójne: a) – 6 < x + 4 < 0 c) - 3 + 3x < 2x - 5 <= x e) - 1 <= - x + 3 < 8 g) 2 - x <= 2x + 1 < - x - 5
1.114. Rozwiąż nierówności: a) 4, 2(x + 5) + 1, 8 <= - 2, 4 c) 3(2 - 4x) + 2x >= 5(1 – 2x) II. 3, 5(x – 7) > 2, 5x – 14, 5 III. x + 8 < 18 II. (2x - 3)(- 0, 6) >= 1, 5 II. II. (x(6x – 5))/3 <= 2x ^ 2 + 3 1/3 (x + 1)/4 > 0, 25x – 3 – 3/5 * (x + 1) >= 6 III. (- 1)(x + 2) <= 0 III. x(x - 2) > x ^ 2 – 2x + 5 b) 2x – 5 > 2(x + 3) d) – 2(3x + 1) < 3(2 - x) na osi licz
1.113. Rozwiąż poniższe nierówności. Wskaż nierówności równoważne. a) I. 1/2 * x > 5 b) I. 3(x + 3) <= 2(x - 1) c) 1. x(x + 1) >= x ^ 2 – 2 d) l. x > x – 2
1.112. Czy c) x ^ 2 > 9ix > 3 e) x+3 2 >3* x i x+3> x + 3 > 6 * 2x g) x + 2 > 0 i x ^ 2 + 2x > 0 d) x ^ 2 <= 4ix <= 2 f) - 2(x + 5) >= 4 ix + 5 <= - 2 h) 0, 5x ^ 2 + 1 > 0 i – 3x ^ 2 <= 0
1.111. Rozwiąż nierówność i zaznacz zbiór rozwiązań tej nierówności bowej: a) 2x – 7 > – 1 c) 0.5x + 6 <= x e) g) (2x)/3 < - 2x + 1 (2(x + 6, 5))/3 >= 5x – 13 b) – 3x + 7 < - 2 d) x - 9 >= 3x f) x/4 – 1 <= x/2 h) - 4(x + 5) > 3x – 6 dane nierówności są równoważne? Odpowiedź uzasadnij. a) x ^ 2 + 3 > 0 1 – x ^ 2 < 0 b) x ^ 2 + 1 > 0 i x ^ 2 + 2 > – 3
1.110. Sprawdź, czy podane obok nierówności liczby należą do zbioru rozwiązań tej nierówności: a) x ^ 2 > 4 ; 5; 0; sqrt(3) zx^ 3 ; -1; 0; 1 2 c) x ^ 2 >= x ^ 3 e) 6 – x ^ 2 > x + 3 ; 0; -10 b) x^ 2 <=3x, - sqrt 5 ; 0; 2,5 d) x^ 2 <-4x;-10 ; - sqrt(3) ; O f) 4x(x+8)<=16(x+3); 2;-7
1.109. Iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych parzystych jest równy kwadrato wi większej z nich. Co to za liczby? 1 -1 z niewiadomą x jest
1.108. Iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych parzystych jest równy kwadrato wi mniejszej z nich. Co to za liczby?
1.107. Wyznacz cztery kolejne liczby naturalne a) parzyste, których suma wynosi 68 b) nieparzyste, których suma wynosi 112.
1.106. Wyznacz 1 trzy kolejne liczby calkowite: a) parzyste, których suma wynosi (- 162) b) nieparzyste, których suma wynosi (- 147) .
1.105. Dane jest równanie z niewiadoma x. Wyznacz wartość liczby a, dla której podana obok równania liczba jest jego rozwiązaniem. a) 2(x + 4) + a = 0, 5x + 9, 5 : 5 c) 2x x^ 2 +9 = 2x+0 27 ;= e) (x – a)(2x + 1) = (2x – a)(x + 1) ; -1 b) (3x – 4)(3x + a) = 9x ^ 2 + 1 ; 7 2x ^ 3 = (x ^ 2 + a)/4 d) 3 – 2x ^ 3 = f) (3x+1)(x+9)-3(x-1)(x-a)=4; 0,5 g) 3(2x + a) * (3x + 2) – 2 * (3x + 1) ^ 2 = 43 , 1 h) (ax – 5)/6 + (x + a)/4 = (5 – ax)/3 – (3a – 7x)/4 – x x; 1
1.104. Wyznacz liczbę a, dla której podana obok równania liczba. a) 2x + a = 5 ; 7 c) a^ 2 x-1 =x i ^ 2 e) (x+a)(x+2)=6; 4 sqrt -x =30+a;- B) -x = 30 + a; -25 b) 1 + sqrt(3) * x = x + 2 d) 2x + 3 + x * sqrt(3) = 4 f) sqrt(5) * (x – sqrt(5)) = 10 – x rozwiązaniem równania b) x ^ 2 – 7 = a + x -2 d) 2x+3 a =-x+9; 6 3x 1 f) (2x + 1) * a ^ 2 = 3x h) sqrt 7+x =- 1 3 a i -3
1.103. Rozwiąż równania: a) sqrt(2) * x – 5 = 0 c) 2 2 – sqrt(2) * x = x – 4 e) (x + 2sqrt(2)) * sqrt(2) = sqrt(3) * x – 1
1.102. Rozwiąż równania: a) c) e) g) (3x – 4)/2 = (4x – 5)/3 2/(x ^ 2) = 1/3 (3(x – 1))/5 – (x – 3)/2 = (x – 8)/10 (x(x – 1))/4 – (2x ^ 2 + 1)/2 = – 3/4 * x ^ 2 – 0, 25(x + 2) II. (3x – 1)/(x + 2) = 2/3 II. 3x * (x + 2) = 0 II. (x ^ 2 + 2x + 6)/(x ^ 2) = 1 b) d) f) (x ^ 2 – 16)/(x – 4) = 0 III. (x – 4) – (2x – 9) = 0 I. (x ^ 2 – 4)/(x – 2) = 0 (3x – 1)/(x ^ 2 + 1) = 3/x x/2 = 8/x 1/(x – 1) + 2 = 0 (3(x – 11))/4 = (3(x + 1))/5 – (2(2x – 5))/11 (x + (4 – x)/3)/5 = (x – (x – 5)/5)/3 h)
1.101. Rozwiąż poniższe równania. Czy równania określone w takiej samej dziedzi nie są równoważne? a) 1.(2x-4)-(x+5)=3x-1 II. (x+3)2x=2x^ 2 -24 III. 1, (x – 1)/(x + 2) = 0 1 * (x + 2)/3 = (x + 1)/2 b) I. c) I. d) 1. 3+x x =0
1.100. Rozwiąż równania nania. a) 2x – 3(x + 6) = 4x + 2 c) e) g) (3x – 1)/3 = (2x + 5)/2 (x + 3)/(x – 1) = 2/3 (x – 2)/(x + 4) – 5/6 = 0 z niewiadomą x. Pamiętaj o określeniu dziedziny rów b) d) (x – 5)/(x + 2) = 0 (2, 5x – 1)/4 – 5/8 * x = 0, 25 + x 1) 3/4 * (x + 4) = 0, 75x + 3 h) 2/(x + 3) + 1/x = 0 1
1.99. Sprawdź, czy podane a) 2x + 10 = 7x – 5 ; 3; 3 obok równania liczby 1; 1 2 b) – 3x + 5 = 4(2x – 0, 5) ; są rozwiązaniami tego równania:
1.98. Wykaż, że dane równanie nie jest tożsamościowe i nie jest sprzeczne. a) x ^ 3 = x b) | |=x c) (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 1 sqrt(x ^ 2 + 4) = x + 2 d) Rozwiązywanie równań metodą równań równoważnych
1.97. Wykaż, że dane równanie jest tożsamościowe. a) 2x * (x + 4) – x(x + 8) = x ^ 2 c) (3x – 6)/3 – (2x + 10)/2 + 7 = 0 c) A= emptyset f) A=\ – pi, pi\ b) – 4(x – 3) * x + 2x ^ 2 = 2(6x – x ^ 2) d) (2(x – 3))/5 + (4(1, 5 + 2x))/5 = 2x D
1.96. Podaj przykład równania, którego dziedzina jest zbiór R, a zbiorem rozwiązań jest dany zbiór A. a) A=\ 7\ d) A = R b) A=\ 0,-4\ e) A=\ 1,2,3\ D
1.95. Rozwiąż równanie. Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny równania. a) sqrt(x ^ 2 + 1) = 1 d) sqrt(x) * (x + 3) = 0 b) sqrt(x ^ 2 + 5) = 3 e) 4/(sqrt(x)) = 1 c) sqrt(x + 1) = 0 f) (x + 2)/(sqrt(- x)) = 0
1.94. Rozwiąż równanie. Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny równania. a) d) 12/x = 4 ((x – 1)(x + 5))/(x + 3) = 0 b) e) 16/(x ^ 2) = 1 (x – 7)/(x ^ 2 – 49) = 0 c) (x + 2)/(x – 2) = 0 (36 – x ^ 2)/(x(x – 6)) = 0
1.93. Wyznacz dziedzinę równania: a) d) x/(x ^ 2 + 1) = x – 1 x/((x + 4) ^ 2) = 3/(x ^ 2 – 9) b) e) (2x)/(x(x + 1)) = 0 (sqrt(x))/(x – 1) = 0 c) f) (3x – 6)/(25 – x ^ 2) = (x ^ 2)/x 1/(sqrt(x)) = 3/(4 – x ^ 2)
1.92. Wyznacz dziedzinę równania: a) d) (2x)/(x – 2) = 0 (6 – x)/(x + 4) = x + 5 b) e) (4x + 1)/3 = 1/(x ^ 2 – 1) (x + 5)/(x ^ 2 – 9) = 1 + x c) (x + 5)(x – 3) = 0 (x + 1)(x – 2) * x = 0 f) c) f) 4/(3x ^ 2) = 4 1/(3 – x ^ 2) = 2/x może być
1.91. Dziedziną równania jest zbiór R. Wyznacz zbiór rozwiązań tego równania. a) x(x – 4) = 0 d) 2x ^ 2 * (x ^ 2 – 64) = 0 b) (x + 11)(x – 9) = 0 e) (x ^ 2 – 7)(x ^ 2 + 81) = 0
1.90. Dziedzina równania jest zbiór R. Wyznacz zbiór rozwiązań tego równania. a) 2x = 3x d) x ^ 2 = – 9 g) (x + 1) ^ 2 = 0 b) 3(x + 2) = 0 e) (x + 5)(x + 5) = 0 h) x ^ 2 = 2 c) (x – 7) ^ 2 = 0 f) x ^ 2 + 1 = 0
1.89. Dziedziną równania jest zbiór R. Sprawdź, czy podane obok dane równanie: a) 2 – x ^ 2 = 3x + 4 – 2, – 1, 0 c) (x ^ 2 – 2)/(x ^ 2 + 2) = 0 – sqrt(2), 0, 1 b) d) liczby spełniają 27 + x ^ 3 = 3 – x – 3, 1, 3 sqrt((x ^ 4 + 1)/68) = 0, 25x – 2, 1, 2
1.88. Sprawdź, czy suma trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych równa: a) 132 b) 521 Przypomnienie i o równaniach c) 315 uzupełnienie wiadomości
1.87. Sprawdź, czy suma a) 325 b) przez 15 trzech kolejnych liczb b) 273 c) przez 10 całkowitych może być równa: c) 420
1.86. Dane są dwie kolejne liczby całkowite a i b, gdzie g < b . Liczba a w wyniku podzielenia przez 5 daje resztę 3. Wyznacz resztę z podzielenia liczby 3(a + b) : a) przez 30
1.85. Sprawdź, czy suma czterech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 5 jest podzielna: a) przez 5 b) przez 10 c) przez 20
1.84. Sprawdź, czy suma trzech kolejnych liczb parzystych a) przez 12 b) przez 6
1.83. Liczba k jest całkowita. Podaj resztę z dzielenia liczby x przez a) x = 6k + 4 , y = 6 d) x = 6k + 4 , y = 3 b) x = 10k – 3 , y = 10 e) x = 10k – 3 , y = 5 liczbę y, jeśli: c) x = 8k – 1 , y = 8 f) x = 8k – 1 , y = 4 jest podzielna: c) przez 3
1.82. Niech k oznacza dowolną liczbę całkowitą. Zapisz symbolicznie, używając k: a) liczbę całkowitą, będącą wielokrotnością liczby 8 b) liczbę całkowita, która w wyniku podzielenia przez 5 daje resztę 4 c) liczbę przeciwną do liczby 2k – 3 d) odwrotność liczby nieparzystej e) cztery kolejne liczby parzyste, z których największą jest liczba 2k trzy kolejne liczby nieparzyste, z których najmniejszą jest liczba 2k – 5 g) dwie kolejne liczby całkowite niepodzielne przez 3 f) h) trzy kolejne liczby całkowite niepodzielne przez 4.
1.81. Zapisz liczbę x w ogólnej postaci wiedząc, że: a) liczba x jest o 5 większa od liczby naturalnej p b) liczba naturalna x jest o 2 mniejsza od liczby naturalnej n c) liczba x jest 7 razy większa od liczby naturalnej a d) liczba x jest 3 razy mniejsza od liczby naturalnej m e) liczba x jest naturalną wielokrotnością liczby 4 liczba x jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest n f) g) reszta z dzielenia liczby naturalnej x przez 4 jest równa 3 h) reszta z dzielenia liczby naturalnej x przez 3 jest równa 2.
1.80. wypisz elementy a) A=\ x:x=3n+1* n in N] ) aligned x=3n+1 1\\ c=4k+2 i aligned c) C=\ x:x=4k+2 i k in Z i k<=1\ ) d) - 2079/138 b) B=\ x:x=5n+3 in in N\ d) D=\ x;x=6k+5 k in Z ik>-3\
1.79. W wyniku przez 19 otrzymujemy wynik -22 i resztę 18 (reszta jest dodatnia!), co opisuje działanie: – 400 = 19(- 22) + 18 . Wy konaj dane dzielenie z resztą. Następnie zapisz dzielna jako wynik odpowiedniego działania, według podanego wzoru. podzielenia z resztą liczby 400 b) – 146/54 C) – 1231/66 każdego z podanych niżej zbiorów. a) – 248/23
1.78. W wyniku podzielenia z resztą liczby 500 przez 13 otrzymujemy wynik 38 i resztę 6, co opisuje działanie: 500 = 13 * 38 + 6 . Wykonaj dane dzielenie z reszta. Następnie zapisz dzielna jako wynik odpowiedniego działania, według podanego wzoru. a) 248/23 b) 146/54 c) 1231 : 66 d) 2079 : 138
1.77. Ola ma w skarbonce kwotę 243 zł, którą chce wymienić na jak największą liczbę monet o nominale: a) 2 zł, b) 5zt. Ile monet danego nominału będzie miała Ola po tej wymianie? Zapisz kwotę Oli za pomocą działania, które uwzględnia liczbę monet danego nominału i pozostałą resztę.
1.76. Dwa autobusy wyruszają z tego samego miejsca postoju w dwóch różnych kierunkach i po przebyciu swojej trasy wracają na miejsce startu. Pierwszy autobus wraca po 3 godzinach i 15 minutach i wyrusza ponownie w drogę po 15 minutach po stoju. Drugi autobus wraca po 4 godzinach i 50 minutach i wyrusza po postoju. Oba autobusy wyruszyły z miejsca postoju o godzinie minutach godzinie najwcześniej autobusy wyruszą ponownie jednocześnie z miejsca postoju? 25 510. O której
1.75. Dwie krawcowe 20 minut, natomiast drugiej iej – 25minut . Obie zaczynają pracę o godzinie 700. a) O której godzinie obydwie krawcowe pierwszy raz skończą jednocześnie obszy wać obrusy? b) Ile razy skończą jednocześnie obszywać obrusy w ciągu ośmiogodzinnego dnia pracy?
1.74. w pewnej chwili planety Wenus i Merkury zajmują określone położenie względem Słońca. Po upływie ilu dni znajdą się w tym samym położeniu, jeśli Wenus wykonuje pełny obieg wokół Słońca w ciągu 225 dni, a Merkury – w ciągu 88 dni? obszywają brzegi obrusów. Pierwszej ta czynność zabiera
1.73. Bartek i Jurek postanowili zmierzyc odległość namiotu od przystani za po mocą swoich kroków (idąc tą samą trasa). Bartek stawia kroki o długości 48 cm , zaś Jurek – o długości 56 cm. W jakiej odległości od namiotu znajduje się przystań, jeśli ślady stóp chłopców pokryły się 15 razy (ostatni ślad na brzegu jeziora)? Wynik podaj w metrach
1.72. Zapisz liczbę naturalną x w ogólnej postaci, jeśli ta liczba jest podzielna przez: a) 5 b) 213 c) 316 d) 619 e) 814 f) 1519
1.71. Wyznacz NWD(a, b) oraz NWW * (a, b) , jeśli: a) g = 780 , b = 1326 c) g = 700 , b = 1650 e) a = 360 , b = 132 a = 220 , b = 165 d) a=396, b = 2970 a = 294 , b = 490 b) f)
1.70. Litera X oznacza w liczbie 479999×45 cyfre setek. Wpisz w miejsce X taka cyfrę, aby dana liczba była podzielna przez 15. Podaj wszystkie rozwiązania.
1.69. Litera X oznacza w liczbie 342725X4 cyfrę dziesiątek. Wpisz w miejsce X taka cyfre, aby dana liczba była podzielna przez 6. Podaj wszystkie rozwiązania.
1.68. Liczba 325 jest podzielna przez 13. Oceń, czy podane poniżej liczby są rów nież podzielne przez 13. Nie wykonuj obliczeń. a) 325 – 130 * 7 c) 11 * 325 – 13 * 19 b) 4 * 325 + 169 * 11 d) 3250 + 17 * 128 b) zn(-3, 3) e) (-50,3) cap Z d) R – (- 5, 0) h) R – (- 3, 4) c) Z cap(-6,-2) f) langle-1,+ infty) cap N
1.67. Które z podanych liczb: 2,3,4,5,6,8,95, dzielnikami liczby: a) 23141208 b) 7523487 c) 342100440 d) 27000000?
1.66. Wyznacz zbiór wszystkich naturalnych dzielników liczby: a) 27 b) 43 c) 48 d) 2310 d) 65
1.65. Rozłóż na czynniki pierwsze następujące liczby: a) 246 b) 125 c) 12870
1.64. Wypisz wszystkie liczby całkowite większe od (- 6) i jednocześnie mniejsze od 10. Ile jest wśród nich liczb: a) naturalnych c) złożonych e) nieparzystych g) które są kwadratami liczb całkowitych b) pierwszych d) parzystych podzielnych przez 3 f) h) które są sześcianami liczb całkowitych
1.63. Wyznacz część wspólną zbiorów: a) N cap(-1,4) d) (-4 1 3 ,0 ) sim z Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb catkowitych
1.62. Zapisz dany zbiór za pomocą przedziału lub sumy przedziałów: a) R – (3, + x) e) R-\ 4\ b) R-(- infty,7) f) R-\ -8,0, c) R – (- 1, 1) ) g) R-\ 1,2,3\
1.61. Zaznacz na osi liczbowej zbiór A, a następnie wyznacz zbiór A’, jeśli: a) A = (- 3, 3) c) A = (- 2, 4) e) A = (- 5, + x) b) A = (- 1, 2) d) A=(- infty,4) f) A=(-1,2) cup(4,5)
1.60. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B, a następnie wyznacz zbiory A cup B , A A cap B , A – B oraz B – A , jeśli: a) A=(-1,1 rangle cup langle3,6 rangle,B= langle0,2) b) A= langle-2,1),B=(-4,-1 rangle cup langle0,3) c) A= langle-3,0 rangle cup(5,7),B= langle-4,-2 rangle cup(3,6) d) A=(-1,1) cup(2,4) , B= langle-2,0) cup(3,5 rangle A – B oraz
1.59. Zaznacz na osi liczbowej zbiory Ai B, a następnie wyznacz zbiory: A cup B,A cap B , BB-A, jeśli: A – B a) A=(-1,4),B= langle2,5 rangle c) A=(- infty,6),B=(4,7) b) A = (- 2, 1) , B= langle1,4) d) A=(2,+ infty) , B=(- infty,3)
1.58. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B, a następnie wyznacz zbiory B-A, jeśli: a) A= langle-5,1 rangle,B=(-2,4) c) A=(- infty,2),B= langle sqrt 2 ,+ infty) b) A=(3,9),B= langle3,7 rangle d) A = (- 2, 6), B = (1, 3)
1.57. Zaznacz na osi liczbowej zbiory Ai B, a następnie wyznacz zbiory A cup BiA cap B : b) A=(- infty,2) , B= langle2,4 rangle a) A= langle-2,3) , B = (0, 6) c) A=(( sqrt 3 ,+ infty),B=(-4,2) d) A=(- infty, pi) B= Bigg(- infty,3 1 3 )
1.56. Wymień wszystkie liczby naturalne należące do przedziału
1.55. Wymień wszystkie liczby całkowite należące do przedziału langle-0,5 pi; sqrt 7 rangle .
1.55. Wymień wszystkie liczby całkowite należące do przedziału langle-0,5 pi; sqrt 7 rangle .
1.54. Podaj co najmniej dwie liczby niewymierne, które należą do podanego prze działu: a) (4;6) b) langle-11;-10 rangle c) (-1;-0,5)
1.54. Podaj co najmniej dwie liczby niewymierne, które należą do podanego prze działu: a) (4;6) b) langle-11;-10 rangle c) (-1;-0,5)
1.53. Wypisz: c) f) 4/(2 – pi) * i * 3/(2 – pi) 4/(2sqrt(2) – 2) * i * 3/(sqrt(2) – 1) 2 c) (0, 4) f) (3, + x) 2) x in langle-1,5 rangle wtedy, gdy – 1 <= x <= 5 b) x in(- infty,0 rangle ) wtedy, gdy ........ d) x in(-3,-2) wtedy, gdy ....... f) x in langle- pi,2 pi rangle wtedy, gdy ....... a) wszystkie liczby całkowite, należące do przedziału (- 2, 7) b) wszystkie liczby naturalne, należące do przedziału (- 3, 3) c) najmniejszą liczbę naturalną, która należy do przedziału (10, 100) (1/2, 789 1/3) d) największą liczbę naturalną, która należy do przedziału e) największą liczbę całkowitą, która nie należy do przedziału (-5, +) f) najmniejszą liczbę całkowitą, która jest większa od wszystkich liczb należących (- 100, - 23 5/6) do przedziału (-100, - 23
1.52. Uzupełnij zapisy według wzoru: 1) x in(- infty,5)wte , gdy x < 5 a) x in langle4,1) wtedy, gdy c) x in(2,7) wtedy, gdy e) x in langle sqrt 2 ,+ infty) wtedy dy,gdy.......
1.51. Zaznacz na osi liczbowej przedziały: a) langle1,3) d) (-1, 1) b) (- 3, 2) ) (- x, 2) e)
1.50 Porównaj dwie liczby niewymierne, bez użycia kalkulatora:
1.49. Podaj przykład dwóch liczb:
1.48. Podaj przykład dwóch liczb całkowitych a równość: a) 7/15 < a/b < 8/15 b) 13/14 < a/b < 27/28
1.47. Podaj przykład dwóch liczb wymiernych x, y, które spełniają nierówność: 3 5
1.46. Podaj przykład liczby, która jest mniejsza zarówno od liczby do niej przeciw nej, jak i od swojej odwrotności.
1.45. Podaj najpierw liczbę przeciwną do danej liczby, a potem liczbę będącą od- wrotnością danej liczby. a) 5 b) 0, (5) c) -1 d) (sqrt(3))/3 e) – pi + 2 f) (4 + sqrt(32))/4
1.44. Wyłącz ułamek przed nawias według wzoru: 1/2 * sqrt(5) – 3 = 1/2 * (sqrt(5) – 6) 5 + (sqrt(3))/4 a) 5+ d) – 2 + (sqrt(2))/2 2/(- pi) + sqrt(3) g) b) e) h) 1/3 – sqrt(2) 1/5 – 5sqrt(5) 1/(sqrt(3)) – 3 c) f) (- 24 + 8sqrt(2))/- 8 – (4 + 20sqrt(2))/4 (3 – sqrt(3))/(2sqrt(3) – 6) c) pi – 1/5 f) – 3/2 – 2pi 1) sqrt(2) + 3/(2pi)
1.43. a) d) g) Skróć ułamki: (2 – 4sqrt(2))/2 (- 6 + 12sqrt(3))/24 -4-12n -4- 12 pi 12pi + 4 b) 12 – 4sqrt(3) d) 6sqrt(5) + 36sqrt(7) – 12 f) 6sqrt(3) – 2sqrt(2) + 2 h) -2 pi- pi4 sqrt 5 b) e) h) (3 – 12sqrt(5))/- 6 – (3 – 6sqrt(3))/3 (pi – pi ^ 2)/(1 – pi)
1.42. wyłącz wspólny czynnik poza nawias: a) 6 + 3sqrt(5) c) 8sqrt(2) – 16sqrt(3) + 24 e) 4 – 8sqrt(2) g) – 7 + 14pi
1.41. Oblicz, stosując prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania: a) 0, 375 * 5 + 0.375 * 13 + 0.375 * 82 b) 3 7 *0,13+ 1 7 *0,13+1 2 7 *0,13- 6 7 .0,13 c) 0, 14 * 0, 21 + 0, 21 * 0.36 + 0.5 * 0.21 + 99 * 0.21 d) 1, 042 * 1, 6 + 0, 314 * 1, 6 + 3, 413 * 1, 6 + 0, 231 * 1, 6
1.40. Oblicz w pamięci, stosując prawo rozdzielności mnożenia względem wania: a) 12 * 502 b) 13 * 400 c) 9 * 105 d) 6 * 203
1.39. Wykonaj działania, stosując prawo przemienności i (- 1 3/4)(- 2, 5) * 3 5/6 * (- 6) * 4/7 * 2 b) 0, 375 * 4 * sqrt(6) * (- 1/(sqrt(6))) * (- 0, 25) * (- 8) 1/21 * 25/7 * 0, 7 * 1/(3, 5) * (- 7) * (- 42/5) b) c) d) 3, 6(- 1/2) * (- 5/6) * 4 * 0, 25
1.38. Wykonaj działania, stosując prawo przemienności i łączności dodawania: a) (- 3, 4) + 6 3/4 + 1 1/3 + (- 0, 6) + (- 1/3) + (- 0, 75) 2, 75 + (- 1 3/7) + 4, 2 + (- 4/7) + 1/4 + (- 1, 2) c) (- sqrt(2)) + 6, 021 + 4 1/6 + 0, 979 + (- 1/6) + sqrt(2) b) d) – 3 1/3 + 5, 27 + 1 1/3 + 1, 24 – 0, 04 + 2, 73
1.37. Wykonaj działania, stosując prawo łączności mnożenia: a) 2/7 * 5/9 * 1, 8 3 2/9 * 9/29 * 0, 5 * 2 c) 3 b) 14, 1 * 1, 2 * 5/18 d) 15 * 1 5/6 * 0, 4 * 10
1.36. Wykonaj działania, stosując prawo łączności dodawania: c) 3 4/7 + 5 6/7 + 2 2/5 + 13, 6 d) 5, 125 + 7/8 + 11 3/4 + 6, 75
1.35. Oblicz wartość wyrażenia. Ocen, jaką liczba – wymierną czy niewymierną – jest wynik obliczeń. a) |3- sqrt 2 |-| sqrt 2 +1,3| c) 3- pi|-| pi-3| e) | sqrt 2 -4|+| sqrt 2 -1,4| B) |sqrt(2) – sqrt(3)| + |sqrt(3) – sqrt(2)| b) 2|sqrt(2) – sqrt(3)| + |sqrt(3) – 2sqrt(2)| d) |1 – sqrt(2)| + |sqrt(3) – sqrt(2)| f) |1 – sqrt(2)||- sqrt(2)| h) 3|1 – sqrt(6)| – 3sqrt(6) Wykonaj działania, stosując prawo łączności dodawania: a) 124 + 236 + 64 + 126 b) 14, 2 + 5.8 + 52, 7 + 147,
1.34. Oblicz: a) |0-2,5| b) |3 2/7 – 4 1/7| e) |sqrt(2) – 3| |1 – sqrt(2)| b) B=\ x;x in Rix<=0,5\ d) D=\ x:x in R:x>=7,25\ f) F=\ x;x in R |x>20\ | 3 2 -1,(2) | d) |3,(20)- 317 99 | h) |2 pi-8 c) 8) |sqrt(7) – 2|
1.33. Zaznacz na osi liczbowej podany zbiór. Następnie podaj przykład miernej oraz przykład liczby niewymiernej – które należą do danego zbioru. liczby wy a) A=\ x:x in R|x>3] ) c) C=\ x:x in R|x<-1,3\ ) e) E=\ x;x in R |x<=-10\
1.32. Podaj przykład liczbami: a) 1/9 * i * 2/9 c) – sqrt(5) 1 2 – 3i – sqrt(7) liczby wymiernej, która znajduje się na osi liczbowej między – 1 7/13 * i – 1 6/13 b) -1- c) -0,0004 1 0,0003
1.31. Podaj przykład liczby wymiernej oraz liczby niewymiernej – które znajdują się na osi liczbowej między liczbami a) sqrt(2) * i * sqrt(3) b) sqrt(5) * i * pi
1.30. Wskaż na podanej osi liczbowej a) 2, 5sqrt(2) – sqrt(2) następujące liczby niewymierne: – (sqrt(2))/2 * 1/4 * sqrt(2) (3sqrt(2))/2 – 5/4 * sqrt(2) ++
1.29. Zaznacz na osi liczbowej podane liczby wymierne: 3 2 ;1,7;1 3 7 ; 7 4 ;1 4 5 ;1,4;1 2 3 a) Wskaż możliwie dokładnie, między którymi dwiema liczbami spośród danych liczb znajduje się na osi liczbowej sqrt(2) oraz między którymi bami znajduje się na osi liczbowej liczba sqrt(3) . b) Na podstawie rozwinięcia dwiema danymi licz dziesiętnego liczby sqrt(2) sprawdź, czy liczba 1 – sqrt(2) leży na osi liczbowej pomiędzy liczbami 0,5 oraz – 0, 4
1.28. Ze zbioru B=-0,(123); -V25,2;- liczby niewymierne. wybierz wszystkie
1.27. Ze zbioru A = wszystkie liczby wymierne. (123);- sqrt 25,2 ;- sqrt 16 25 ; sqrt 2 3 ; sqrt[3] 8 ; sqrt[4] 5 ;2 pi
1.26. Zapisz daną liczbę wymierną w postaci utamka zwykłego nieskracalnego. a) 0,(270) b) 0, 6(12) c) – 2, (7) d – 7, 2(45) e) 5,419) f) – 1, 0(405) A=\ -14,2;- 12,6 4,8 ;-0,(37);- 1 6 ;0; sqrt 2 ; sqrt 12,25 ;15 1 3 \ wybierz wybierz
1.25. Ułamek okresowy a) 0 (6) 4 2/7 zamień d) 22/9 na nieskracalny b) 0, (36) c 0, 4(6) e) 31/8 ułamek zwykły: d) 0,1(2) e) 0,023) f) 13/11 f) 0, 1(28)
1.24. Podaj rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych: a) 5/8 b) 7/6
1.23. Wypisz elementy zbioru A, jeśli a) A=\ x;x= 1 n :n in N + \ c) A=\ x;x=4k:k in Z\ e) A=\ x;x=n^ 2 |n in N\ b) A=\ x:x=2^ n |n in N] d) A=\ x:x=3k ik in Z\ A=\ x:x=k^ dagger |k in Z] f)
1.22. Wypisz elementy zbioru A, jeśli: a) A=\ x;x in Nix<5\ c) A=\ x:x in Z|x>=-3\ e) A=\ x:x in Zix<-1,5\ b) A=\ x:x in N,ix<=7\ d) A=\ x:x in Z ix>-8 ) f) A=\ x:x in Zi-2<= x<3\ }
1.21. Ustal, które z poniższych wypowiedzi są prawdziwe, a które fałszywe. Odpo wiedź uzasadnij. a) Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą. b) Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną. c) Każda liczba wymierna jest liczbą całkowitą. d) Istnieje liczba wymierna, która jest liczbą całkowitą. e) Istnieje liczba rzeczywista ujemna, która jest liczbą niewymierną. f) Istnieje liczba wymierna, która nie jest liczbą całkowitą.
1.20. W klasie Ib jest 34 uczniów, wśród których: 24 umie jeździć na rowerze, umie pływać, 10 umie jeździć na nartach; w tej liczbie 12 umie pływać i jeździć na rowerze, 5 umie jeździć na rowerze i na nartach, 3 umie pływać i jeżdzić na nartach. 16 Dwie osoby w lb uprawiają wszystkie wymienione dyscypliny sportowe. a) lle osób w klasie Ib nie uprawia żadnej dyscypliny sportowej? b) ile osób umie tylko jeżdzić na rowerze? c) lle osób umie tylko pływać i jeżdzić na nartach? zbiory liczbowe
1.19. W klasie la jest 36 uczniów, wśród których: 26 zna język angielski, 23 zna język 24 zna język rosyjski. Czy w klasie la jest uczeń, który zna wszystkie trzy francuski i języki?
1.18 Na parkingu mającym 35 miejsc wszystkie miejsca są zajęte przez ople lub przez niebieskie samochody.Wiedząc że jest tam 15 opli i 27 samochodów niebieskich,oblicz ile niebieskich opli stoi na tym parkingu
1.17 Do sumy zbiorów A i B należy 9 elementów, do części wspólnej A i B należą 4 elementy, natomiast zbiór B – A ma 3 elementy. Po ile elementów mają zbiory A i B?
1.16. Zbiór A ma 11 elementów, zbiór B ma 10 elementów, zaś suma A cup B jest zbiorem 14-elementowym. Ile elementów należy do zbioru A ? A cap B Do sumy zbiorów A i B należy 9 elementów, do części wspólnej A1 B naleza 4 natomiast zbiór B – A Ama 3 elementy. Po ile elementów maja zbiory A i B?
1.15. Dana jest przestrzeń U oraz zawarte w tej przestrzeni, jak na rysunku obok. zbiory A i B (A, B – kota) Na osobnych rysunkach zaznacz zbiory: a) (A cup B)^ prime c) B^ prime cup(A cap B) b) A^ prime cap B d) A^ prime cup B^ prime U
1.14. Niech zbiór U=\ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\ ) będzie przestrzenią. ry: A^ prime ,B^ prime ,A^ prime cup B^ prime ‘, (A cup B)^ prime , A^ prime cap B^ prime ,(A cap B)^ prime , jeśli A subset U , B subset U oraz: Wyznacz zbio naturalnych dzielników licz a) A – zbiór naturalnych dzielników liczby 8, B- zbiór by 6 A- zbiór liczb mniejszych od 5, B – zbiór liczb nie większych niż 7 c) A – zbiór kwadratów takich liczb z przestrzeni U, które są nie większe od 3, B-zbiór liczb pierwszych b)
1.13. Na zbiorach A, B oraz C(A,B,C- zacieniowany zbiór. Używając symboli: a) b) underline A kota) wykonano pewne działania i otrzymano n, U, – oraz A, B, C, zapisz te działania, c) d) e) f)
1.12. Na poniższych rysunkach przedstawione są figury geometryczne i relacje za chodzące między nimi, gdzie: A – koto , B-okrąg, C-prosta, D-trójkąt. Na osob nych rysunkach przedstaw zbiory zapisane po prawej stronie. a) A cup C,A cap C,A-C,C-A b) CC B cup C B cap C,B-C C – B A cup B,A cap B,A-B 3,8 B – A B d) A cup D,A cap D,A-D,D-A
1.11. Przyjmijmy następujące oznaczenia: T-zbiór trapezów R- zbiór równoległoboków Które z poniższych zdań są fałszywe? a) K cap T=K d) R-T= emptyset b) K cup P=P e) KCR c) R cap P ne Q f) R cap B=B P- zbiór prostokątów K- zbiór kwadratów. c) P – R = P f) T subset P
1.10. Przyjmijmy następujące oznaczenia: T- zbiór wszystkich trójkątów R- zbiór trójkątów równoramiennych B- zbiór trójkątów równobocznych P-zbiór trójkątów prostokątnych. Które z poniższych zdań są prawdziwe? a) R cup B=R d) T cap P=P b) B cap P=Q e) R subset B
1.9. Dane są zbiory A=\ x:x=2k+1 in in\ -2,-1,0,1,2,3,4\ \ }. B=\ x;x=3n-2 in in\ 0,1,2,3,4\ \ . Wyznacz zbiory AU A cup B,A cap B,A-B,B-A .
1.8. Dane są zbiory A=\ x:x=2n in in\ 1,2,3,4,5,6\ \ , B=\ x;x=3m im in\ 1,2,3,4\ \ . Wyznacz zbiory A cup B,A cap B,A-B,B-A .
1.7. Wyznacz zbiory A cup B cap B,A-B,B-A . jeśli: a) A=\ 6,5,4,3,1\ . B=\ 1,2,3\ b) A=\ 10,20,30,…,90\ , B=\ 5,10,15,…,95\ c) A=\ 1,3,5,…,99\ , B=\ 2,4,…,100\ ) d) A – z zbiór cyfr, B=\ 0,5,10,15\
1.6. Wyznacz róznice zbiorow A – B , a nastepnie B – A A. jeśli a) A=\ 1,2,3,4\ , B=\ 2,4,6,8,10\ b) A=\ 0,5,10\ ,B=\ 0,2,3,5,7\ c) A=\ 0,6,12,18\ , B=\ 0,3,6,…,21) d) A=\ 0,2,4,6,…\ . theta=\ 0,4,8,12,…\
1.5. Wyznacz sumę zbiorów A i B, a następnie część wspólną zbiorów A a) A=\ 1,2,3,5,8\ , B=\ 3,4,5,6,7\ b) A=\ 4,5\ , B=\ 5,4,3,2,1\ c) A=\ 0,3,6,9,…,30\ , B=\ 0,6,12,…,30\ d) A=\ 2,4,6,…,20\ , B=\ 1,3,5,…,19\ i B, jeśli:
1.4. Wypisz wszystkie podzbiory zbioru: a) A=\ a\ b) B=\ a,b\ suma każdej liczby c) C=\ a,b,c\
1.3. Zapisz symbolicznie zbiory A- zbiór naturalnych wielokrotności liczby 3 B- zbiór liczb, których kwadrat wynosi 16 C- zbiór odwrotności naturalnych wielokrotności liczby 5 D- zbiór liczb rzeczywistych, których trzecia potęga zmniejszona o 5 jest większa od 22 opisane w następujący sposób: E- zbiór potęg liczby 7 o wykładniku naturalnym F-zbiór liczb rzeczywistych, których odwrotność jest nie mniejsza niż sqrt(2) G-zbiór liczb rzeczywistych spełniających następujący warunek: i jej kwadratu jest nie większa od 4
1.2. Wypisz elementy zbioru opisanego w następujący sposób: A- zbiór liczb mających postać 3n, gdzie n in\ 0,1,2,4\ ) B – zbiór liczb mających postać 5k, gdzie k in\ …-2,-1,0,1\ C-zbiór liczb mających postać a v8 + V2, gdzie a in\ -4,-1, -1 2 , sqrt 2 ,7\ } C sqrt(8) + sqrt(2) D- zbiór liczb mających postać k*pi – pi ^ 2 ? gdzie k in\ 0, pi,2 pi,3 pi,…\
1.1. Wypisz elementy zbioru: A- zbiór naturalnych dzielników liczby 10 B- zbiór kwadratów liczb: 0, 1, – 3, sqrt(13), 8, – 11 C-zbiór liczb przeciwnych do liczb należących do zbioru \ -5, sqrt 2 ,0,1, pi\ \ -1,- 1 2 ,1 2 3 , sqrt 7 , 4 13 \ D-zbiór odwrotności liczb należących do zbioru -1,
6.265. Wśród walców wpisanych p pole powierzchni bocznej jest największe. Oblicz objętość tego walca. w kulę o promieniu 5 cm znajduje się taki, które
6.264. W kulę o promieniu 6 cm wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny o naj większej objętości. Wykaż, że ostrosłup ten jest czworościanem foremnym, którego krawędź ma długość 4 sqrt 6 cm .
6.263. Rozpatrujemy wszystkie otwarte pudelka (bez górnej podstawy) o podsta ve kwadratowej i objętości 0, 5 litra, Wyznacz wymiary tego pudelka, które ma naj mniejsze pole powierzchni całkowitej.
6.262. Trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej mającej długość 2sqrt(3) cm obraca cm obraca se dookoła jednej z przyprostokątnych. Jaką długość powinny mieć przyprostokąt. ne, aby objętość otrzymanej bryły była największa?
6.261. Rozpatrujemy wszystkie stożki, których tworząca ma długość 6. Wyznacz jętość tego stożka, którego przekrój osiowy ma największe pole.
6.260. W kulę o promieniu R wpisano stožek, którego tworząca jest nachylona do P c plaszczyzny podstawy pod kątem a. Oblicz pole powierzchni całkowitej staila V.
6.259. Wykaż, że jeśli kat rozwarcia stożka ma 120 degrees , to pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe polu powierzchni bocznej walca o takiej samej podstawie i wysokości
6.258. Przez środek wysokości stożka poprowadzono prostą równoległą do two rzącej stożka, która ma dlugość d. Wykaż, że długość odcinka będącego częścią wspólną tej prostej i stożka jest równa (3d)/4
6.257. Kule o promieniu r przecięto plaszczyzną odlegla od środka kuli o r. Prze krój ma pole 27 pi cm^ 2 . Oblicz objętość i pole powierzchni kuli. 2
6.256. Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła, którego promień ma 12 cm, a kąt odpowiada kątowi środkowemu 270 degrees . Oblicz pole powierzchni calko witej tego stożka. 1
6.255. Równoleglobok o polu 30 cm ^ 2 ? ma boki dlugości 6 cm i 10 cm. Wyznacz objętość Vi pole powierzchni całkowitej P, bryły powstałej w wyniku obrotu tego równoległoboku wokół krótszego boku. Wyniki podaj w zaokrągleniu, z dokładno ścią odpowiednio do 0.1 cm ^ 3 do 0,1 cm^ 2
6.254. Pole powierzchni walca jest o 4 dm dluzszy od jego wysokości. Oblicz objętość tego walca.
6.253. Oblicz promien podstawy walca, wiedząc, że objętość walca jest równa 5x d * m ^ 2 , a pole jego powierzchni całkowitej jest równe 13pi * d * m ?. bocznej walca jest równe 100 dm². Promień podstawy
6.252. W ostroslupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jed. nakową długość, równą 20. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi wychodzących z jednego wierzcholka przy podstawie. Oblicz: a) pole otrzymanego przekroju b) odległość tej plaszczyzny od punktu wspólnego tych krawędzi.
6.251. Krawędź sześcianu ma długość 20. Sześcian przecięto plaszczyzna przecho. dząca przez środki trzech różnych krawędzi wychodzących z tego samego wierz chołka. Oblicz: a) pole otrzymanego przekroju b) odległość płaszczyzny przekroju od wierzchołka wspólnego dla tych krawędzi.
6.250. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny. Wysokość ostrosłupa jest trzy razy dłuższa od przyprostokątnej trójkąta w podstawie, a spodek wysokości podstawie. Przekrój ostrostu pa płaszczyzną przechodzącą przez przeciwprostokątną podstawy i wysokość ostro Słupa jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem a takim, że tg alpha = sqrt(2) . jest wierzchołkiem kąta prostego trójkąta w Wiedząc, że pole tego przekroju jest równe 8sqrt(3) , oblicz objętość ostrostupa. oblicz długość
6.249. W czworościanie foremnym poprowadzono przekrój płaszczyzną zawiera wysokość podstawy i przechodzącą przez środek krawędzi bocznej niemającej punktu wspólnego z tą wysokością podstawy a) Wyznacz cosinus najmniejszego kąta tego przekroju. b) Wiedząc dodatkowo, że pole tego przekroju jest równe krawędzi czworościanu. (9sqrt(11))/4
6.248. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między krawędzią boczna i płaszczyzną podstawy jest równy a. Odleglość spodka wysokości ostroslupa od krawędzi bocznej wynosi d. Wykaż, że pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe (2d ^ 2 * sqrt(sin^2 a + 1))/(sin^2 alpha * cos alpha)
6.247. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym poprowadzono przekrój płasz czyzna zawierającą przekątną podstawy i prostopadla do jednej z krawędzi bocz nych. Wiedząc, że krawędzie podstawy i krawędzie boczne mają odpowiednio dłu- gość a i 2a, oblicz pole otrzymanego przekroju.
6.246. Wysokość ostrosłupa jest równa 16 cm, a pole podstawy wynosi 512 cm ^ 2 W jakiej odległości od podstawy znajduje się przekrój równoległy do plaszczyzny podstawy o polu równym 50 cm?
6.245. W ostrosłupie prostym o objętości V podstawa jest prostokąt, którego prze ator maja długość di przecinają się pod kątem a. Oblicz tangens kąta ß nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
6.244. Podstawa ostrostupa jest trójkąt, którego boki mają długość 13 cm,14 cm, 15 cm. Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że wszystkie krawędzie boczne mają 21 1/8 taka sama długošć, równa cm.
6.243. W pewnym ostroslupie o objętości 2400 cm ^ 3 podstawa jest wielokątem, którego obwód jest równy 100 cm, a pole wynosi 600 cm ^ 2 Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem. Wyznacz miarę tego kąta. 3 cm i 7 cm,
6.242. Wyznacz wysokość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego, którego krawędz podstawy ma długość o, zaś pole powierzchni bocznej jest dwukrotnie większe od pola podstawy
6.241. Podstawą ostrosłupa jest romb, którego bok ma długość 15 cm. Każda ścia. na boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 degrees Wiedząc, że pole powierzchni bocznej ostroslupa jest równe 360 cm ^ 2 , oblicz objętość tego ostroslupa
6.240. Podstawą ostrosłupa jest równoległobok o bokach długości którego jedna z przekątnych ma długość 6 cm. Spodkiem wysokości ostroslupa jest punkt przecięcia przekątnych podstawy. Wiedząc, że wysokość ostroslupa jest rów na 4 cm, oblicz długość krawędzi bocznych
6.239. Podstawą ostroslupa jest trójkąt ABC, w którym AC = 13 cm , |BC| = 13 cm [AB] = 24 cm Wysokość ostroslupa CS jest równa 12 cm. Oblicz pole powierzchni i całkowitej tego ostroslupa
6.238. Oblicz siednie ściany czworościanu foremnego.
6.237. Podstawa graniastosłupa prostego ABCDA A 2 B,C,D , jest trapez prostokątny, którego długości podstaw wynoszą |AB| = 6 cm , |DC| = 3 cm , a wysokość trapezu |AD| = 4 cm Wiedząc, że wysokość tego graniastoslupa to 12 cm, oblicz: a) dlugości dwóch różnych przekątnych graniastosłupa b) cosinus kąta dwusciennego między płaszczyznami ABC 1 D 1 )i(ABCD) cosinus kąta ostrego dwuściennego wyznaczonego przez dwie sa
6.236. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 720 sqrt 3 cm^ 3 a wysokość ma długość 20 cm. Oblicz pole przekroju graniastosłupa plaszczyzna przechodzącą przez krawędź podstawy i przeciwlegla krawędź boczną, jeśli ta plasz czyzna tworzy z płaszczyzna podstawy kąt 60
6.235. W graniastoslupie prawidłowym trójkątnym sinus kąta nachylenia przekąt nej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej jest równy (2sqrt(3))/5 wysokości graniastosłupa do dlugości krawędzi podstawy. Oblicz stosunek
6.234. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Wyznacz: a) cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do ściany bocznej b) sinus kąta między przekątną graniastosłupa i krawędzią boczną wychodzącymi i z tego samego wierzchołka.
6.233. Objętość prostopadłościanu ABCDA, B, C, D , jest równa 144 cm, pole 144 cm ^ 3 podstawy ABCD jest równe 12 cm ^ 2 , a pole przekroju płaszczyzną ABC 1 D 1 wynosi 12 sqrt 10 cm^ 2 ?. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu.
6.232. Jeżeli każdą krawędź sześcianu przedłużymy o 1 dm, to jego objętość zwięk ay się 125 razy. Oblicz długość krawędzi tego sześcianu.
6.231. W kule o promieniu 3 wpisujemy ostrosłupy prawidłowe czworokątne w ten sposób, że wierzchołek ostrosłupa jest środkiem kuli, zaś wierzchołki podstawy na lezą do powierzchni kuli. Napisz wzór funkcji opisującej objętość V(x) ostrosłupa w zależności od długości krawędzi x jego podstawy. Wyznacz maksymalną objętość ostrosłupa. podstawy 6 cm i wysokości 8 cm. W stożek
6.230. W kulę o promieniu r wpisujemy ostrosłupy prawidłowe trójkątne w ten sposób, że wierzchołek ostrosłupa jest środkiem kuli, zaś wierzchołki podstawy na leżą do powierzchni kuli. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa, któ rego objętość jest największa. 6
6.229. W kulę o promieniu (sqrt(10))/2 wpisujemy prostopadłościany o polu podstawy równym 4. Wyznacz wymiary prostopadłościanu o największej objętości.
6.228. Na kuli o promieniu 6 opisujemy stożki obrotowe. Wyznacz wysokość h i promień podstawy r stozka o najmniejszej objętości. Wykaż, że objętość tego stoż ka jest równa podwojonej objętości kuli.
6.227. W kulę o promieniu R wpisujemy stożki. Wyznaczymy promień r podstawy i wysokość h tego ze stożków, który ma największą objętość. w.oo
6.226. Dany jest stożek o promieniu ten wpisujemy prostopadłościany tak, że jedna podstawa zawiera się w podstawie stożka, a wierzchołki drugiej podstawy należą do powierzchni bocznej stożka. Wie dząc, że stosunek długości krawędzi podstawy jest równy 3, oblicz wymiary tego prostopadłościanu, którego objętość jest największa
6.225. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu równym 9 sqrt 3 cm^ 2 , W ten stozek wpisujemy walce w taki sposób, że jedna podstawa walca jest zawarta w podstawie stożka, a okrag drugiej podstawy walca jest zawarty w po wierzchni bocznej stożka. Wyznaczymy objętość tego walca, który ma największą objętość. eida b w ym ste
6.224. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi bocznej mającej dlugość b, poprowadzono płaszczyznę zawierającą krawędź boczną i wysokość ostroslupa. Wiedząc, że otrzymany przekrój ma największe pole powierzchni, oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.
6.223. Szynka konserwowa pakowana jest do puszek w kształcie walca o pojem ności 128 pi cm^ 3 . Oblicz, jakie wymiary powinna mieć ta puszka, aby na jej wyprodu kowanie zużyć jak najmniejszą ilość blachy.
6.222. Rozważ stożki o tworzącej mającej długość p. a) Napisz wzór i zbadaj przebieg zmienności funkcji opisującej objętość stożka w zależności od jego wysokości. b) Wiedząc, że maksymalna objętość stożka jest równa 16 sqrt 3 pi cm^ 3 , oblicz długość tworzącej tego stożka.
6.221. Wśród stożków o tworzącej mającej długość 4 cm, znajduje się ten, którego objętość jest największa. Wyznacz promień r podstawy i wysokość h tego stożka. Podaj jego największą objętość V.
6.220. Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 9 litrów, których jed na z krawędzi podstawy jest dwa razy dłuższa od drugiej. a) Napisz wzór funkcji opisującej pole powierzchni całkowitej P takiego prostopa dłościanu w zależności od długości x krótszej krawędzi podstawy. b) Wyznacz wymiary tego prostopadłościanu, który ma najmniejsze pole po wierzchni całkowitej.
6.219. Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 48 cm Wyznacz wymiary tego gra niastosłupa, który ma największą objętość. Oblicz objętość tego graniastoslupa
6.218 . Stożek o wysokości H wpisano w kulę. Oblicz objętość kuli, wiedząc, że jest ona cztery razy większa od objętości stożka. Zastosowanie analizy matematycznej w rozwią zywaniu zadań z geometrii przestrzennej
6.217. Długość tworzącej stożka wynosi d, a promień podstawy jest równy R. Oblicz objętość kuli opisanej na tym stożku.
6.216. Na kuli opisano stożek, którego wysokość jest dwa razy dłuższa od średnicy kuli. Udowodnij, że pole powierzchni całkowitej stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli oraz że objętość stożka jest dwa razy większa od objętości kuli.
6.215. Tworząca stożka o objętości V jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem a. Oblicz objętość kuli wpisanej w ten stożek.
6.214. W kule wpisano stożek, którego kąt objętości stożka do objętości kuli. rozwarcia jest prosty. Wyznacz stosunek
6.213. Na kuli opisano walec. Ile razy objętość walca jest większa od objętości kuli? K 2
6.212. Kapsula lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkula o takim samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest czte ry razy diuższa niż promień półkuli. Wiedząc, że objętość kapsuły jest równam, (2pi)/27 * m oblicz największą długość odcinka SP, gdzie S oznacza wierzchołek stożka, a P punkt należący do sfery danej półkuli.
6.211. W naczynie w kształcie walca częściowo zapełnionego wodą wrzucono ku kę, która zanurzyła się całkowicie. Oblicz, o ile centymetrów wzrósł poziom wody w naczyniu, jeśli średnica podstawy naczynia ma 12 cm, a promień kulki jest równy 3 cm.
6.210. Punkty A i B należą do brzegu kuli ABI BS ma °, a odcinek AB ma długość 45 degrees ni kuli. o środku S. Kąt zawarty między odcinkami 6sqrt(2) cm. Oblicz objętość i pole powierzch:
6.209. Dwie male kulki o promieniach 2 cm i 3 cm zawarte są w jednej dużej kut. Odległość między o możliwie najmniejszej objętości. środkami małych kulek wynosi 6 cm. Oblicz promień dużej kuli
6.208. Woda kapie z kranu co dwie sekundy. Zakładając, że kropla wody ma ksztah kuli o promieniu 3 mm, oblicz, ile litrów wody wycieknie z kranu w ciągu 1 doby Wynik podaj z dokładnością do 0,1 litra.
6.207. Objętość kull K 1 jest 27 razy większa od objętości kuli . Oblicz: a) stosunek promieni obu kul b) stosunek pól powierzchni tych kul.
6.206. W stożek wpisano walec w ten sposób, że dolna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a okrąg górnej podstawy walca zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Kat rozwarcia stożka jest prosty. Pole powierzchni całkowitej walca jest równe polu powierzchni bocznej stożka. Wykaż, odległość wierzchołka stożka od górnej podstawy walca jest równa połowie długości tworzącej stożka.
6.205. W walec o wysokości H wpisano stożek w ten sposób, że podstawa stożka drugiej podstawy walca. jest podstawą walca, a wierzchołek stożka jest środkiem Pola powierzchni bocznych stożka i walca są równe. Oblicz objętośc i miarę a kata rozwarcia stożka.
6.204. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta pro stego dzieli przeciwprostokątną na odcinki, których długości pozostają w stosunku 1:3. Oblicz stosunek objętości brył powstałych w wyniku obrotu tego trójkąta wo kół dłuższej i krótszej przyprostokątnej.
6.203. Wysokość stożka podzielono na trzy równe odcinki i przez punkty podziału poprowadzono płaszczyzny równolegle do podstawy. Oblicz stosunek objętości po wstałych bryl.
6.202. Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego wynosi 4/3 , a przeciwprostokątna ma długość 25 cm. Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu tego trójkąta wokół: a) krótszej przyprostokątnej b) dłuższej przyprostokątnej c) przeciwprostokątnej
6.201. Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 96 pi cm^ 2 , a tworząca ma dłu gość 10 cm. Oblicz objętość tego stożka.
6.200. Oblicz objętość stożka, którego pole powierzchni bocznej wynosi 65 pi cm^ 2 , a wysokość jest równa 12 cm.
6.199. Przekrój osiowy stożka jest trojkątem prostokątnym o polu objętość Vi pole powierzchni całkowitej P, tego stożka. 18 cm ^ 2 ? Oblicz
6.198. Pole powierzchni bocznej walca jest równe P, a objętość wynosi V. Oblicz tangens kata nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny pod stawy
6.197. Przekątna przekroju osiowego walca ma długość d i jest nachylona do plasz czyzny podstawy pod kątem a. Oblicz objętość tego walca.
6.196. Oblicz promień podstawy walca, wiedząc, że jeśli wysokość walca zwiększy my ok, to jego objętość wzrośnie o v.
6.195. Dany jest romb, którego kąt ostry jest równy 30 degrees Wykaż, że objętość bryły powstałej z obrotu tego rombu wokół jego boku jest cztery razy mniejsza od obje. tości bryły powstałej w wyniku obrotu kwadratu o takim samym boku wokół tego boku
6.194. Boki równolegloboku mają długość 6 cm i 4 cm, a kat ostry jest równy 60°. Oblicz objętość Vi pole powierzchni całkowitej P bryły powstałej w wyniku obrotu równolegloboku wokół dłuższego boku.
6.193. Piwnica ma kształt połowy walca o długości 6 mi średnicy 5 m (zobacz rysu nek). Oblicz kubaturę piwnicy oraz jej pole powierzchni całkowitej (sklepienie wraz z podłoga i pionową ścianą na końcu piw- nicy). Wyniki zaokrąglij do całości.
6.192. Obwód podstawy blaszanej beczki w kształcie walca wynosi 157 cm. Wysokość beczki jest równa 1,1 m. Do beczki wlano 157 litrów wody. Oblicz odle. głość lustra wody od brzegu beczki. Wynik podaj z dokładnością do 1 cm.
6.191. Jeżeli zwiększymy wysokość pewnego walca o 4 cm, to jego objętość zwięk- szy się o 196 pi cm^ 3 . Oblicz promień podstawy walca.
6.190. Powierzchnia boczna walca jest prostokątem, którego przekątne mają dłu gość 12 dm i przecinają się pod kątem 30 degrees °. Oblicz objętość tego walca. Rozważ dwa przypadki.
6.189. Wysokość walca jest równa 6 dm. Kąt między przekątnymi przekroju osio wego ma 60 degrees . Oblicz objętość tego walca. Rozważ dwa przypadki.
6.188. Przekątne prostokąta o polu 3d * m ^ 2 przecinają się pod kątem 60º. Oblicz objętość walca powstałego w wyniku obrotu tego prostokąta wokół krótszego boku
6.187. Przekątna prostokąta ma długość 30 cm, a jego pole jest równe 432 cm? Znajdź objętość bryły otrzymanej przez obrót tego prostokąta dookoła dłuższego boku.
6.186. Objętość walca wynosi wiedząc, że po rozwinięciu jest ona kwadratem.
6.185. Oblicz objętość walca, którego pole powierzchni całkowitej jest równe 702n cm, a obwód przekroju osiowego wynosi 80 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca, 54/pi < m ^ 3
6.184. Tworząca stożka o długości d jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod kątem e. Wyznacz promień, kuli wpisanej w ten stożek i promień R kuli opisanej na tym stożku.
6.183. W czworokątnym ostrosłupie prawidłowym wysokość jest równa 8 cm, a krawędź podstawy ma długość 12 cm. Wyznacz promień r kuli wpisanej w ostro stup i promień R kuli opisanej na ostrosłupie.
6.182. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt mający boki o długości 6 cm, 8 cm i 10 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 24 cm. Wyznacz promień kuli opisanej na tym graniastosłupie.
6.181. Na powierzchni kuli o promieniu 7 cm znajdują się dwa przystające okręgi, które przecinają się w dwóch punktach, a ich plaszczyzny są do siebie prostopa dle. Odległość między wspólnymi punktami jest równa 2 cm. Wyznacz promień tych okręgów.
6.180. Dwie równolegle płaszczyzny przecinają kulę i wyznaczają przekroje o po lach 491 i 4n. Odleglość między tymi płaszczyznami jest równa 9. Oblicz pole po wierzchni kuli.
6.179. Pola powierzchni dwóch kul róznia się o 644 pi cm^ 2 , a promień jednej z tych kul jest dłuższy od promienia drugiej kuli o 7 cm. Oblicz pola powierzchni obu kul.
6.178. Stosunek pól powierzchni dwóch kul jest równy 9, a róznica ich promieni wynosi 10 cm. Oblicz promienie tych kul.
6.177. Pewne miasto leży na 60° szerokości geograficznej północnej. Jaką drogę akreśla to miasto (na skutek obrotu Ziemi dookola osi) w ciągu jednej godziny? Zakładamy, że Ziemia wykonuje pelny obrót w ciągu 24 godzin.
6.176. Promień kuli ziemskiej ma (w przybliżeniu) 6300 km. Oblicz długość równo- leinika odpowiadającego szerokości geograficznej a) 30° b) 45^ . Wynik podaj z dokładnością do 100 km.
6.175. Kulę o promieniu 41 cm przecięto plaszczyzną w odległości 9 cm od środka. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
6.174 W stożek wpisano walec w ten sposób, że dolna podstawa walca zawiera w dolnej podstawie stożka, a okrag górnej podstawy walca zawiera się w powierzch ni bocznej stożka. Wiadomo, że promień podstawy walca jest trzy razy promienia podstawy stożka, a pole przekroju osiowego stożka jest równe 18.
6.173. Dany jest stożek o wysokości h i promieniu podstawy r. Oblicz długość kra wędzi sześcianu wpisanego w stożek w ten sposób, że dolna podstawa sześcianu za wiera się w podstawie stożka, a wierzchołki górnej podstawy należą do powierzchni bocznej stożka.
6.172. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, a promień podstawy stożka jest równy R. Oblicz pole przekroju tego stożka płaszczyzną poprowadzoną przez dwie tworzące, wiedząc, że kąt między tymi tworzącymi jest równy 30 degrees
6.171. Wysokość stożka i promień podstawy mają taką samą długość R. Przez wierz cholek stożka poprowadzono płaszczyznę, która wyznacza na podstawie stożka cię. ciwe odpowiadającą kątowi środkowemu 90 degrees °. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
6.170. Stożek o promieniu podstawy R przecięto płaszczyzną równoleglą do pod stawy, która podzieliła wysokość stożka w stosunku m:n, licząc od wierzchołka stoż ka. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
6.169. Trójkąt równoboczny obraca się raz wokół boku, a drugi raz wokół wysoko ści. Oblicz stosunek pól powierzchni otrzymanych bryl.
6.168. Średnica okręgu jest równa 29 cm. Przez jeden z jej końców poprowadzono cięciwę długości 20 cm. Cięciwa ta obraca się wokół danej średnicy. Oblicz pole po wierzchni otrzymanej bryły.
6.167. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 dm i 8 d Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły otrzymanej w wyniku obrotu trójkąta wokół: a) krótszej przyprostokątnej b) dłuższej przyprostokątnej c) przeciwprostokątnej.
6.166. Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola jego powierzchni witej jest równy 2:3. Wyznacz miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do plaszczy zny podstawy calko
6.165. Stosunek promienia podstawy stożka do wysokości wynosi 3:4. Jaką cze ścią pola powierzchni całkowitej jest pole powierzchni bocznej tego stożka
6.164. Stosunek wysokości stożka do promienia podstawy wynosi powierzchni bocznej stożka jest równe 80 cm^ 2 . Oblicz długość tworzącej stożka. 3/4 a pole
6.163. Tworząca stożka ma długość 20 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka, jeśli: 45 degrees tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem miary 45° 6) wysokość stożka jest równa 16 cm.
6.162. Wyznacz miarę łukową kąta środkowego powierzchni bocznej stożka, jeśli wysokość stożka jest równa h, a promień podstawy wynosi r.
6.161. Kąt rozwarcia stożka ma miarę a. Oblicz miarę łukową kąta środkowego rozwiniętej powierzchni bocznej tego stożka.
6.160. Promień wycinka kołowego o kącie 120° jest równy 3 m. Wycinek zwinięto i utworzono w ten sposób powierzchnię boczną stożka. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka.
6.159. Wysokość stożka jest równa h, a promień podstawy stożka r. Oblicz miarę odpowiadającego wycinkowi kołowernu, który tworzy powierzch kąta środkowego nię boczną stożka, jeśli: a) h = 4 cm, r = 3 cm b) h=4 sqrt 5 cm,r=1 cm c) h=2 sqrt 22 cm,r=10 sqrt 2 cm
6.158. Dany jest promień podstawy ri tworząca I stożka. Oblicz miarę kąta środko wego odpowiadającego wycinkowi kołowemu, który tworzy powierzchnię boczną stożka, jeśli: a) r = 1dm, l = 4dm b) r = 3 cm , I = 15 cm c) r=0.5 m,l=75 cm. .
6.157. Wysokość walca jest równa 6 cm, a promień podstawy wynosi 5 cm. poprowadzono odcinek AB o długości 10 cm taki, że punkt A należy do okręgu gór- nej podstawy, punkt B należy do okręgu dolnej podstawy walca. Wyznacz długość najkrótszego odcinka, którego jeden z końców należy do osi walca, a drugi należy do odcinka AB Stożek
6.156. Przez dowolny punkt A okręgu górnej podstawy walca poprowadzono prze broj płaszczyzną zawierajaca oś walca. W dolnej podstawie walca poprowadzono trednicę BC, prostopadła do przekroju osiowego. Wiedząc, że promień podstawy walca jest równy r oraz |
6.155. Dany jest prostokąt, którego długości boków pozostają w stosunku 1:2. W wyniku obrotu tego prostokąta wokół dwóch różnych jego osi symetrii powstają dwa walce. Oblicz stosunek pól powierzchni calkowitych tych walców.
6.154. Boki prostokąta mają długość 4 cm i 6 cm. Oblicz pole powierzchni całkow tej walca otrzymanego w wyniku obrotu tego prostokąta wokół: a) dłuższego boku b) krótszego boku.
6.153. Pole podstawy walca jest równe P,, a pole jego przekroju osiowego – Px Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego walca.
6.152. Powierzchnia boczna walca jest prostokątem, którego jeden bok przystający do wysokości walca ma długość 20, a przekątna tego prostokąta tworzy z drugim bokiem kąt 30°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.
6.151. Stosunek pola przekroju osiowego do pola podstawy walca wynosi 4: a. Oblicz miarę kąta między przekątnymi przekroju osiowego walca.
6.150. Podstawą ostrosłupa prostego ABCD jest trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątne mają długość |AB| = 6 cm , BC = 8 cm. Wysokość ostrosłupa jest równa 12 cm. Środki krawędzi AB, BC, CD i AD wyznaczają płaszczyznę przekroju tego ostrostupa. Oblicz: a) tangens kąta nachylenia tej plaszczyzny do płaszczyzny podstawy b) pole przekroju ostrosłupa tą plaszczyzną. Bryły obrotowe. Pole powierzchni brył obrotowych Walec
6.149. W czworościanie foremnym o krawędzi długości 6 cm poprowadzono prze. krój płaszczyzną przechodzącą przez wysokość podstawy i środek krawędzi boczne niemającej punktów wspólnych z tą wysokością. Oblicz stawy od punktu , w którym wysokość ostroslupa przebija płaszczyznę przekroju. odległość płaszczyzny pod
6.148. Przez krawędi AB podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCD poprowadzono płaszczyznę, do której należy środek S krawędzi CD. Wiedząc, że otrzymany przekrój tworzy z płaszczyzna podstawy kat 45%, oblicz cosinus kata Ase 45 degrees *
6.147. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym poprowadzono przekrój płaszczy zną zawierającą krawędź podstawy i prostopadłą do przeciwległej krawędzi bocznej.
6.146. Wszystkie krawędzie prawidłowego ostrosłupa czworokątnego mają dlu BOŚĆ a. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną poprowadzoną przez środ- ki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i środek wysokości ostrosłupa.
6.145. Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzna prostopadłą do jednej z krawędzi bocznych ostrosłupa i jednocześnie zawierająca przekątną podsta wy. Otrzymany przekrój jest trójkątem rozwartokątnym, którego kąt rozwarty ma miarę 2a. Wyznacz cosinus kąta B nachylenia płaszczyzny tego przekroju do plasz czyzny podstawy
6.144. Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto przez wierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju, jeżeli krawędź podstawy ma długość 20 cm, a ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 degrees płaszczyzną przechodzącą
6.143. Wysokość prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego jest równa H, a kra wędź podstawy ma długość a. Wyznacz pole przekroju wyznaczonego przez krótszą przekątna podstawy i wierzchołek ostrosłupa.
6.142. Krawędź boczna prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego ma długość 8 dm, a krawędź podstawy – 4 dm. Przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podsta wy poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
6.141. Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzna zawierającą prze katną podstawy i jednocześnie równoległa do jednej z krawędzi bocznych. Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość a, nato miast krawędź boczna ma długość b.
6.140. Podstawą ostrosłupa jest romb, którego bok ma dlugość 8, a jedna z prze kątnych ma długość 13 3 1/3 13 1/3 Spodek wysokości ostrostupa jest środkiem symetrii pod stawy. Przekrój tego ostrostupa wyznaczony przez wysokości przeciwległych bocznych jest trójkątem równobocznym. Wyznacz pole tego przekroju. ścian
6.139. Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną zawierającą dwie przeciwległe krawędzie boczne ma pole równe P. Wiedząc, że wszystkie kra wędzie ostrosłupa mają taką samą dlugość, oblicz objętość tego ostrosłupa.
6.138. Pole przekroju równoległego do płaszczyzny podstawy ostrostupa jest o 36% mniejsze od pola powierzchni podstawy. W jakim stosunku przekrój ten dzieli objętość ostrosłupa? , oblicz objętość tego
6.137. Wysokość ostrosłupa podzielono na cztery równe części i przez punkty po działu poprowadzono płaszczyzny równolegle do podstawy. Pole podstawy tego ostrosłupa jest równe 400 cm ^ 2 . Oblicz pola otrzymanych przekrojów.
6.136. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny, którego boki mają długość 10 cm, 10 cm, 16 cm. Przez najdluższy bok podstawy poprowa dzono płaszczyznę, która przecina przeciwległa krawędź boczną i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 degrees . Oblicz pole otrzymanego przekroju.
6.135 Pole postawy graniastosłupa trójkątnego prostego trójkątnego jest równe P. Przez krawędź postawy tej bryły poprowadzono płaszczyznę, która przecina przeciwległą krawędź boczną i jest nachylona płaszczyzny podstawy 45 stopni. oblicz pole otrzymanego przekroju.
6.134. Przekrojem sześcianu jest sześciokąt foremny, którego wierzchołkami są środki odpowiednich krawędzi sześcianu (zo- bacz rysunek obok). Wiedząc, że pole tego sześciokąta jest rów ne 6sqrt(3) , oblicz długość przekątnej sześcianu. Pole podstawy graniastosłupa prostego trójkątnego jest równe P. Przez wędź podstawy tej bryły poprowadzono płaszczyznę, która przecina przeciwległą krawędź boczną i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 degrees . Oblicz pole otrzymanego przekroju.
6.133. Przez przekątna podstawy sześcianu mającego krawędź o długości o popro * wadzono płaszczyznę, która jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod kątem 60 Oblicz pole otrzymanego przekroju sześcianu.
6.132 Przez przekątna podstawy sześcianu mającego krawędź o długości a poprowadzono płaszczyznę, która tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45 stopni. Oblicz pole otrzymanego przekroju sześcianu tą płaszczyzną.
6.131. W sześcianie ABCDA, B, C, D , poprowadzono przekrój płaszczyzną zawierają cą przekątną BDi przechodząca przez C 1 Wyznacz (w przybliżeniu z dokładno ścią do 1º) miarę kąta nachylenia tego przekroju do plaszczyzny
6.130. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny, którego wy sokość jest równa 5 cm, a odcinek łączący środki ramion ma długość 12 cm. Wie dząc, że przekrój tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź boczna gra. niastosłupa i przekątna jego podstawy ma pole równe graniastoslupa 130 cm ^ 2
6.129. Długości boków prostopadłościanu pozostają w stosunku . Przez najdłuższą krawędź i przekątną najmniejszej ściany poprowadzono przekrój, które Bo pole jest równe 100 cm ^ 2 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadło 3/4 / 5 ścianu,
6.128. Sześcian ABCDA 1 B,C 1 D 1 o krawędzi długości a przecięto plaszczyzną prze B 1 chodząca przez punkty , B, G. Oblicz odległość punktu , od otrzymanego prze A 1 kroju.
6.127. Wykonaj rysunek ostrosłupa prawidlowego trójkątnego. Następnie popro wadi przekrój tego ostrosłupa plaszczyzną wyznaczoną przez i środek przeciwległej krawędzi bocznej tego ostroslupa. Wyznacz konstrukcyjnie punkt, w którym wysokość ostroslupa przebija krawędź podstawy otrzymany przekrój. Przekroje wielościanów – zadania
6.126. Wykonaj rysunek ostroslupa prawidłowego czworokątnego. Następnie po prowadź przekrój tego ostroslupa plaszczyzną wyznaczoną przez iśrodek wysokości tego ostrosłupa, Jakim czworokątem jest otrzymany przekrój? krawędź podstawy
6.125. Dany jest ostroslup prawidlowy czworokątny. Naszkicuj przekrój tego ostro slupa płaszczyzną: a) zawierającą dwie przeciwlegle krawędzie boczne ostrosłupa b) zawierającą dwie przeciwlegle wysokości ścian bocznych c) wyznaczoną przez przekątna podstawy ostrosłupa i środek krawędzi bocznej, niemającej punktów wspólnych z tą przekątną d) wyznaczoną przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostroslupa w każdym przypadku wyznacz kąta, jaki tworzy przekrój daną plaszczyzną z płasz- czyzna podstawy tego ostroslupa.
6.124. Na rysunku poniżej punkty P, Q, R należą do płaszczyzny 7. Wyznacz prze krój sześcianu płaszczyzną (PQR). a) b) P Q Q
6.123. Na rysunku poniżej punkty P, Q, R należą do płaszczyzny n. Wyznacz prze krój ostrosłupa plaszczyzną (PQR). a) b) P^ * c) d)
6.122. Na rysunku poniżej odcinek AB i punkt C należą do płaszczyzny A. Wyznacz przekrój sześcianu płaszczyzna (ABC). a) b)
6.121. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między dwiema sąsiednimi kra wędziami bocznymi ma miare 2a, gdzie a in(0^ ,30^ ) . Odległość wierzchołka pod. stawy należącego do jednej krawędzi bocznej od sąsiedniej krawędzi bocznej jest równa d. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Przekroje wielościanów – konstrukcje
6.120. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między dwiema przeciw lestymi krawędziami bocznymi ma miarę 2a, alpha in(0^ ,45^ ) . Odległość wierzchołka podstawy ostrosłupa od przeciwległej krawędzi bocznej jest równa d. Oblicz obje. tość tego ostrosłupa.
6.119. W ostrosłupie wszystkie ściany są trójkątami. Trzy krawędzie wychodzące z danego wierzchołka są parami prostopadle i mają długość: 6dm, 8dm , 8 dm. Oblicz odległość tego wierzchołka od przeciwległej ściany ostrosłupa. Wynik podaj 1 dokładnością do 0,1 dm. 1
6.118. Punkty K, L, M są środkami krawędzi AB, BCI BB, sześcianu ABCDA,B,C,D, a) Jaką część objętości sześcianu stanowi objętość ostrosłupa KLMB? b) Wiedząc dodatkowo, że odległość wierzchołka B od płaszczyzny (KLM) jest równa sqrt(3) , oblicz długość krawędzi sześcianu.
6.117. Podstawą ostrosłupa jest romb ABCD. Wysokość rombu DE poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli bok AB na odcinki takie, że |AE| = 61|EB| = 4 . Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem. Wiedząc, że pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 170, oblicz: a) wysokość ostrosłupa b) objętość tego ostroslupa
6.116. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego dwa boki mają długość , a dlugość trzeciego boku wynosi 30 cm. Każda ściana boczna tworzy z płaszczyzna podstawy kąt °. Oblicz objętość tego ostrostupa. 45 degrees 39 cm
6.115. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego dwa boki mają długość 6 cm, 3 dtugość trzeciego boku wynosi 8 cm. Wszystkie krawędzie boczne maja jednako wa dlugość, równa 9 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
6.114. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu równym . Dwie ściany bocze ne tego ostroslupa są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe two izą z nią katy odpowiednio równe 30 degrees / (60 degrees) . Oblicz objętość tego ostrostupa.
6.113. Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi (4sqrt(2))/3 * d * r nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy 45 degrees Wyznacz od a) od krawędzi bocznej b) od ściany bocznej ostrosłupa. 1m ^ 2
6.112. Oblicz objętość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego, mając daną długość promienia okregu wpisanego w podstawę ostrosłupa i miarę a kąta płaskiego ściany (30 degrees, 90 degrees) dm. Kąt
6.111. Podstawą ostrosłupa, wiedząc, że jego krawędź boczna ma długość 10 cm, zaś kąt między kra wędzią boczną a płaszczyzną podstawy jest równy 30°.
6.110. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma dlu gość a. Kąt między krawędzią boczna i krawędzią podstawy wychodzącymi z tego samego wierzchołka ma miarę a, przy czym a in(45^ ,90^ ) . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. ostrosłupa prawidłowego jest ośmiokąt. Oblicz objętość tego
6.109. W czworokątnym graniastosłupie prawidłowym przekątna podstawy ma długość di tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchol ka kąta. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Wyznacz te wartości a, dla których zadanie ma rozwiązanie. Objętość ostrosłupa
6.108. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym najdłuższa przekątna pod stawy ma długość di tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka kat a, Oblicz objętość graniastosłupa. Wyznacz te wartości a, dla któ rych zadanie ma rozwiązanie.
6.107. Podstawa graniastosłupa prostego jest trójkąt ABC, w którym |
6.106. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez, którego podstawy mają dłu. i 24 cm , a ramiona – 10 cm i 17 cm. Ściana boczna o najmniejszym polu gość 3 cm jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa.
6.105. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego kąt ostry ma miare 30°. Wszystkie krawędzie graniastosłupa mają jednakowa długość. Wiedząc, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa. tego graniastoslupa jest równe 180 cm ^ 2 , oblicz objętość tego
6.104. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym dłuższa przekątna ma dhu gość sqrt(5) * d * m , a krótsza przekątna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ką. tem 30 degrees . Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego graniastostupa.
6.103. Przekątna ściany bocznej graniastostupa prawidłowego trójkątnego ma dlu. gość 6 cm i jest nachylona do sąsiedniej ściany bocznej pod kątem tość tego graniastoslupa. °. Oblicz obję. 30 degrees
6.102. W prostopadłościanie ABCDA,B,C,D 1 , podstawa ABCD jest kwadrater. Wysokość C,E trójkąta BC 1 D 3 , dzieli przekątna D, 8 na odcinki długości: [D, E] = 2dm E8=8 dm . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
6.101. Jeżeli każdą krawędź danego sześcianu przedlużymy o 2 cm, to jego obję tość powiększy się o 98 cm ^ 3 . Oblicz długość krawędzi danego sześcianu.
6.100. Blaszana forma do pieczenia ciasta ma kształt graniastosłupa prostego. Uwzględniając wymiary po dane na rysunku obok, oblicz: a) ile cm^ 2 blachy potrzeba na wykonanie wynik podaj z dokładnością do 1 cm2 tej formy, b) pojemność formy. Wynik podaj z dokładnością do 0,1 litra 30 cm 16 cm 7 cm 12 cm
6.99. Akwarium do hodowli rybek ma następujące wymiary: dlugość 80 cm, sze. tokość 40 cm i wysokość 0,5 m Oblicz ile co najwyżej litrów wody należy wlać do tego akwarium, aby poziom lustra wody znajdowal się w odległości nie mniejszej niż 1 dm od górnej krawędzi akwarium.
6.98. Podstawa ostroslupa jest trójkąt równoboczny o boku długości a. Jedna ze scian bocznych, będąca również trójkątem równobocznym, jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa. Objętość figury przestrzennej. Objętość wielościanów Objętość graniastosłupa
6.97. Podstawą ostrostupa jest romb, którego przekątne mają długość 6 dm i 8 dm. Wysokość ostroslupa jest rowna kiem okręgu wpisanego w ten romb Oblicz pole powierzchni bocznej ostroslupa. 10 cm , a spodek wysokości ostroslupa jest środ
6.96. Podstawa ostroslupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 30 cm i 40 cm. Spodek wysokości ostrostupa jest wierzchołkiem kata prostego tego rójkata. Sciana boczna o największym polu jest a = 1 1/3 Oblicz pole powierzchni całkowitej tego pod kątem ostrym a takim, że tg a =1. nachylona do plaszczyzny podstawy ostroslupa
6.95. Podstawa ostroslupa jest kwadrat o boku długości 1 dm, a spodkiem wyso kości ostrosłupa jest jeden z wierzchołków tego kwadratu. Dwie ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz: a) długość krawędzi bocznych ostrosłupa b) pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
6.94. Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt prostokątny równoramienny, któ rego ramię ma długość 6 sqrt 2 cm . Wiedząc, że wysokość ostroslupa jest równa 8 cm, oblicz: a) dlugość krawędzi bocznych b) pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
6.93. Wysokość ściany bocznej prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego jest rów na h, a promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy r. Wykaż, że pole po wierzchni całkowitej ostroslupa wynosi 2sqrt(3) * (r + h) * r .
6.92. Oblicz pole powierzchni calkowitej czworościanu foremnego, którego wyso kość jest równa H.
6.91. Oblicz długość krawędzi podstawy prawidłowego ostrosłupa czworokątne go, wiedząc, równe 16. że krawędź boczna ma długość 5, a pole powierzchni calkowitej jest
6.90. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość jest równa 2sqrt(3) a kat między wysokością ostrostupa a wysokością ściany bocznej ma pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. cm, °. Oblicz 30 degrees
6.89. Pole powierzchni bocznej ostrostupa prawidłowego trójkątnego wynosi 136 sqrt 3 cm^ 2 , a pole podstawy jest równe 4 sqrt 3 cm^ 2 cm². Oblicz wysokość tego ostrosłupa,
6.88. Podstawa graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny, którego kat ostry ma 60°. Rzut prostokątny długości sqrt(3) przekatnej graniastostupa na plasz czyznę podstawy tworzy z tą przekątną kąt 30 degrees i zawiera się w dwusiecznej kata ostrego trapezu. Oblicz: a) sumę długości wszystkich krawędzi graniastosłupa b) pole powierzchni bocznej tego graniastoslupa.
6.87. Podstawa graniastosłupa prostego jest równoległobok 2 dm i 4 dm, którego kąt ostry jest równy 60° Krótsza przekątna graniastoslupa tworzy z plaszczyzną podstawy kąt 30 degrees stosłupa. Oblicz pole powierzchni całkowitej grania.
6.86. W graniastostupie prostym podstawa jest rombem, którego przekątne maja dlugość 30 cm i 16 cm. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płasz czyzny podstawy pod kątem 45 degrees . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniasto stupa
6.85. Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego stanowi 50% pola powierzchni całkowitej. Wyznacz tangens kąta nachylenia przekątnej ścia ny bocznej do płaszczyzny podstawy.
6.84. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 50 big(3+2 sqrt 3 big) cm^ 2 . Przekątna jednej ze ścian bocznych jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod kątem 45 degrees , a przekątna sąsiedniej ściany bocznej jest nachylona do płaszczyzny pod. stawy pod kątem 60 degrees . Oblicz długości krawędzi tego prostopadlościanu.
6.83. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Oblicz pole powierzchni całkowi tej tego prostopadłościanu, jeśli przekątna ściany bocznej ma długość 30 cm oraz a) kąt między tą przekątną i przekątną prostopadłościanu, wychodzącymi z tego samego wierzchołka, ma 30 degrees b) kąt między tą przekątną i przekątną sąsiedniej ściany bocznej, wychodzącymi z tego samego wierzchołka, ma 60 degrees
6.82. Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma dłu gość 6sqrt(2) cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastostupa, jeśli: a) wysokość graniastosłupa jest równa 5 cm b) krawędź podstawy stanowi 75% krawędzi bocznej.
6.81. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu, jeśli: a) przekątna ściany bocznej ma długość 2 dm b) przekątna sześcianu ma długość 8sqrt(3) cm.
6.80. Na podstawie informacji umieszczonych poniżej na siatce ostrostupa wyznacz wysokość tego ostroslupa, jeśli wiadomo, że jego podstawą jest: a) kwadrat b) trójkąt prostokątny 13 13 13
6.79. Narysuj siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny a) o przyprostokątnych pozostających w stosunku 2/3 , a spodek wysokości jest wierzchołkiem tego trójkąta przy kącie prostym b) równoramienny, a spodek wysokości jest środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta.
6.78. Narysuj siatkę ostrosłupa: a) prawidłowego czworokątnego b) prawidłowego trójkątnego c) prawidłowego sześciokątnego d) prostego, którego podstawą jest prostokąt.
6.77. Narysuj siatkę graniastosłupa: a) prawidłowego czworokątnego b) prawidłowego trójkątnego c) prawidłowego sześciokątnego d) prostego, którego podstawą jest równoległobok.
6.76. Narysuj: a) cztery różne siatki sześcianu b) dwie różne siatki prostopadłościanu, którego żadna ściana nie jest kwadratem
6.75. Podstawą ostrosłupa jest trapez prostokątny, którego podstawy mają długość 6 cm i3 cm, a ramiona 4 cm i5 cm. Wszystkie ściany boczne są nachylone do plasz czyzny podstawy pod tym samym kątem ostrym miary a. Wyznacz sinus kąta a, jest wysokość ostrostupa jest równa 6 cm. Siatka wielościanu. Pole powierzchni wielościanu
6.74. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne maja długość 6 dm i 8 dm. Wszystkie ściany boczne ostroslupa sa nachylone do płasze a = 8/17 czyzny podstawy pod kątem ostrym a takim, że cos a = Oblicz wysokość tego ostroslupa.
6.73. Podstawa ostroslupa jest romb o boku długości 20 cm i kącie ostrym miary 60°. Punkt przecięcia się przekątnych jest spodkiem wysokości równa 5sqrt(6) cm. Oblicz: ostrosłupa, która jes a) wysokość ściany bocznej, poprowadzonej na krawędź podstawy b) sinus kąta nachylenia ściany bocznej tego ostroslupa do płaszczyzny podstawy.
6.72. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat, a spodek wysokości znajduje się w jednym 2 wierzchołków tego kwadratu. Wiedząc, że wysokość tego ostrosłupa jest równa krawędzi podstawy, oblicz: a) miarę kąta nachylenia ścian bocznych, które nie zawierają do płaszczyzny podstawy wysokości ostrosłupa, b) cosinus kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej ostrosłupa do krawędzi podstawy.
6.71. Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przypro stokątne mają długość: AC=9 cm,|BC]=16 cm . Spodkiem wysokości ostrosłupa jest wierzchołek C. Wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest równa 12 cm, oblicz: a) długość boków trójkąta ABS b) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABS) do plaszczyzny podstawy tego ostro słupa.
6.70. Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny. Krótsza podstawa i ramię tego trapezu są tej samej długości. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość 61 cm, a wysokość ostroslupa to 60 cm. Wiedząc, że środek okręgu opisa nego na trapezie jest środkiem dłuższej podstawy trapezu, oblicz pole tego trapezu.
6.69. Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt, którego boki mają długość: 21 cm, 17 cm, 10 cm. Wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest równa 5 2/3 cm, oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
6.68. Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt równoramienny, którego dwa boki maja długość 17 cm, a trzeci bok 16 cm. Wszystkie krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym a takim, że sin tego ostrosłupa. 1a = (sqrt(2))/2 Oblicz wysokość
6.67. Podstawą ostrostupa jest trójkąt, którego jeden z kątów jest równy 120 degrees , a najdłuższy bok ma długość sqrt 243 cm . Wiedząc, że wszystkie krawędzie boczne ostrostupa mają taką samą długość równą 15 cm, wyznacz wysokość tego ostrosłupa.
6.66. Podstawą ostrosłupa prostego ABCS jest trójkąt prostokątny ABC o przypro stokątnych długości: AC = 6 cm i |BC| = 8 cm . Wysokość tego ostroslupa jest równa 12 cm. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej CS do płaszczyzny podstawy.
6.65. Podstawą ostrostupa jest prostokąt o bokach długości dzie boczne mają po 13 cm długości. Oblicz: a) wysokość ostrosłupa h 1 i h, b) wysokości , dwóch różnych ścian bocznych ostrosłupa. krawę 6 cm / (8 cm), akrawe
6.64. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym wysokość ściany bocznej jest równa 10 sqrt 3 cm , a kąt nachylenia ściany bocznej do plaszczyzny podstawy ma °. 60 degrees Oblicz pole podstawy tego ostroslupa.
6.63. wysokość prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego jest równa akal między przeciwległymi krawędziami bocznymi ma 60°. Oblicz sumę długości wszyst 5 sqrt 3 cm,a ka kich krawędzi tego ostrosłupa.
6.62. Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trój kątnego do płaszczyzny podstawy, jeśli: a) wysokość ostrosłupa jest trzy razy krótsza od krawędzi podstawy b) wysokość ostroslupa jest równa krawędzi podstawy
6.61. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściana podstawy kąt 45 degrees °. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostroslupa do płaszczyzny podstawy.
6.60. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości 30 cm kąt dwuścienny przy podstawie ma 60 degrees . Oblicz: a) wysokość ściany bocznej b) dlugość krawędzi podstawy. boczna tworzy z płaszczyzną
6.59. Dany jest czworościan foremny o wysokości Hi krawędzi długości a. a) Wykai, że 3H ^ 2 = 20 ^ 2 b) Wiedząc dodatkowo, że wysokość jest o 1 krótsza od krawędzi, oblicz a. Wynik przedstaw w postaci a + b * sqrt(c) , gdzie a,b,c in N
6.58. W ostrostupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 12 dm, a krawędź boczna 8 dm. Oblicz: a) wysokość tego ostroslupa b) miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej ostroslupa do plaszczyzny podstawy
6.57. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość V6. Kąt dwuścienny między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równy 120°. Oblicz a) odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od krawędzi bocznej b) wysokość ostroslupa.
6.56. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przeciwlegle krawędzie boczne są do siebie prostopadle. Wyznacz tangens kąta a nachylenia ściany bocznej do plaszczyzny podstawy i podaj przybliżoną miarę tego kąta (z dokładnością do 1°).
6.55. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 9cm, a wysokość ściany bocznej jest równa 3 sqrt 3 cm. Oblicz: a) miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od ściany bocznej. b)
6.54. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 4 sqrt 2 cm , a krawędzi bocznej – 5 cm . Oblicz: a) wysokość tego ostrosłupa wysokość ściany bocznej, poprowadzona na krawędź podstawy 1 odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej.
6.53. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 20 cm, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 60. Oblicz: a) długość krawędzi bocznej b) wysokość ostrosłupa ) wysokość ściany bocznej.
6.52. W pewnym ostrosłupie liczba ścian jest o 6 Oblicz, ile wierzchołków ma ten ostrosłup.
6.51. Oblicz, ile ścian oraz ile krawędzi ma ostrosłup, którego liczba wierzchołków jest równa: a) 6 b) n, gdzie n in N Nin. n > 3 mniejsza od liczby krawędzi.
6.50. W graniastosłupie prostym trójkątnym każdy wierzchołek jednej podstawy połączono odcinkiem z punktem przecięcia przekątnych ściany bocznej przeciwle glej temu wierzchołkowi. Wykaż, że te trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie, który dzieli je w stosunku 1:2. Ostrosłupy
6.49. Trzy krawędzie prostopadłościanu mają wspólny koniec. Pozostałe końce tych krawędzi wyznaczają płaszczyznę . Wykaż, że plaszczyzna ta dzieli w stosunku 1/2 przekątna prostopadłościanu wychodząca ze wspólnego końca danych krawędzi.
6.48. W pewnym graniastosłupie liczba krawędzi jest dwa i pół raza większa od Iczby ścian. Jakie wielokąty są podstawami tego graniastoslupa?
6.47. W pewnym graniastosłupie liczba ścian jest o 5 mniejsza od liczby wierzchol ków. Oblicz liczbę wierzchołków, liczbę ścian i liczbę krawędzi tego graniastosłupa.
6.46. Liczba naturalna parzysta n oznacza liczbę wierzchołków pewnego graniasto słupa. a) Wyznacz liczbę s ścian i liczbę k krawędzi tego graniastosłupa w zależności od n b) Oblicz liczbę ścian i liczbę krawędzi graniastosłupa w przypadku, gdy n = 10. n=10,
6.45. Podstawa graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny, którego pod. stawy mają długość a i b, a ramię ma długość c. Wysokość tego graniastosłupa jest równa H. Wykaż, że długość przekątnej d tego graniastosłupa opisuje wzór: d ^ 2 = H ^ 2 + ab + c ^ 2
6.44. Oblicz długości przekątnych graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego długość krawędzi podstawy jest równa 3 cm, a krawędzi bocznej j – 8 cm .
6.43. Podstawą graniastostupa prostego jest romb. Graniastosłup ma wysokość 12 cm. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a = 45 degrees , a krótsza pod kątem beta = 60 degrees °. Oblicz długość krawędzi podstawy.
6.42. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego bok ma długość 5sqrt(3) cm. Wiedząc, że graniastosłup ma wysokość 8 cm, a dłuższa przekątna graniastosłupa ma 17 cm, oblicz: a) miarę kąta ostrego rombu b) długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa.
6.41. Stosunek długości przekątnej ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego do długości krawędzi podstawy jest równy sqrt(3) . Oblicz miarę kąta na chylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.
6.40. Krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość sqrt(8) a krawędź podstawy ma długość 2. Oblicz: a) cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy b) sinus kąta między przekątna jednej ściany bocznej a krawędzią podstawy zawar. tą w sąsiedniej ścianie bocznej, wychodzącymi z tego samego wierzchołka c) miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.
6.39. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz: a) tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy b) sinus kąta między przekątną ściany bocznej a przekątna podstawy, wychodzący mi z tego samego wierzchołka c) cosinus kata nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy
6.38. Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu wynosi 3/4 / 12 , a długość przekątnej prostopadłościanu jest równa 26 cm. Oblicz długości przekątnych trzech nieprzystających ścian
6.37. Wykaż, że długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach długości a, 6, c jest równa sqrt(a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ?. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu i miarę lata nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny podstawy w przypadku, gdy krawę. dzie podstawy mają długość: epsilon = 5 cm . g = 3 cm , b = 4 cm , zaś krawędź boczna ma długość
6.36. wykaż, że długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości a jest równa a * sqrt(3) . a) Wyznacz cosinus kąta nachylenia przekątnej sześcianu do płaszczyzny podstawy. b) Oblicz a w przypadku, gdy przekątna sześcianu ma długość 3 cm.
6.35. Trójkąt prostokątny ABC zawiera się w płaszczyźnie BC = 6oraz gość 8. Oblicz: ACB = 90 degrees przy czym |AB| = 10 , °. Odcinek CD jest prostopadły do płaszczyzny a i ma dłu al miarę kąta nachylenia prostej AD do płaszczyzny r b) cosinus kąta nachylenia prostej BD do płaszczyzny a c) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny r. Graniastosłupy
6.34. Trójkąt prostokątny ABC zawiera się w płaszczyźnie pi, przy czym | ABC = 90° 6,2 AC = 20, 148 = 12. Odcinek DC jest prostopadły do płaszczyzny a i ma dtu AC = 20 gość 12. Oblicz: AB|=12 a) sinus kąta nachylenia prostej AD do płaszczyzny 1 b) sinus kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny z.
6.33. Trzy punkty A, B, Cleżące na płaszczyźnie i wyznaczają trójkąt równoramien. AC=|BC|=5 oraz|AB|=6 zny T, a jego dlugość jest równa 8. Oblicz: nyw którym Odcinek DC jest prostopadły do płaszczy a) tangens kąta nachylenia prostej BD do plaszczyzny b) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny T.
6.32. Dane są dwa przystające romby ABCD I DCEF o wspólnym boku DC długości |4ADC=|4DCE|=45 ° Plasz: ctyzny zawierające te romby tworzą kąt dwuścienny o mierze 120°. Oblicz odległość między prostymi AB i EF. Jom Miara katów ostrych tych rombów jest równa:
6.31. Dane są dwa przystające równoległoboki ABCD i DCEF o wspólnym boku DC. Miara kąta ostrego obu równoległoboków jest równa: KCDAl = |4EDC| = 30 degrees czyzny zawierające te równolegloboki tworzą kąt dwuścienny o mierze 60 degrees . Wie dząc, że |AD| = |DF| = 2dm , oblicz odległość między prostymi AB i EF. Odcinek |AC=15 cr
6.30. Na płaszczyźnie dany jest odcinek AB. Odcinek BC czyzny 1. Punkt D jest środkiem odcinka BC. Oblicz sinus kąta nachylenia prostej AC do plaszczyzny 7, wiedząc, że tangens nachylenia prostej AD do płaszczyzny wynosi 2 3 .
6.29. Płaszczyzny pi 1 pi 2 , są prostopadłe, a krawędzią ich przecięcia jest prosta m. Punkt A należy do płaszczyzny , i leży w odległości 8 cm od prostej m. Punkt B pi pi 2 i leży w odległości 6 cm od prostej m. Wiedząc, że rzutem należy do plaszczyzny prostokątnym punktu A na płaszczyznę x 2 jest ten sam punkt co rzut prostokątny punktu B na plaszczyznę , oblicz: pi 10 a) tangens kąta nachylenia prostej AB do płaszczyzny 72 b) cosinus kąta nachylenia prostej AB do płaszczyzny pi 1 . jest prostopadły do płasz
6.28. Prosta k przebija płaszczyznę w punkcie A. Punkt B należy do prostej, która jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę a oraz |AB| = 8 cm . Oblicz odle glość punktu B od prostej k, jeśli kąt nachylenia prostej k do płaszczyzny z ma miare a) 30 degrees b) 45 degrees c) 60 degrees
6.27. W trójkącie ABC boki mają dlugość: AB|=60 cm AC = |BC| = 50 cm AD jest prostopadły do płaszczyzny (ABC). Odległość punktu D od prostej BC jest równa 52 cm. Oblicz odleglość punktu D od płaszczyzny (ABC). Kąt między prostą a płaszczyzną. Kąt dwuścienny
6.26. W trójkącie prostokątnym ABC wysokość CD poprowadzona na przeciwpro |AD|=9 cm*||DB|=4 cm stokątną AB dzieli ją na odcinki długości: jest prostopadły do płaszczyzny (ABC). Wiedząc, że pole trójkąta ABC jest o 26 cm . Odcinek EC mniejsze od pola trójkąta ABF, oblicz odległość punktu E od plaszczyzny (ABC).
6.25. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: . Odcinek DC jest prostopadły do płaszczyzny (ABC) i ma długość 22,5 cm. BC = 20 cm Oblicz wysokość trójkąta ABD poprowadzoną na bok AB.
6.24. W równoległoboku ABCD przekątna DB jest jednocześnie wysokością popro wadzoną na boki AD i BC. Proste DB i AC przecinają się w punkcie 0. Odcinek EO jest prostopadły do płaszczyzny (ABCD). Wykaż, że trójkąty BCE i ADE są prostokątne.
6.23. Dany jest kwadrat ABCD. Odcinek DE jest prostopadły do płaszczyzny (ABCD). Wykaż, że trójkąty ABE oraz BCE sa prostokątne.
6.22. W trójkącie różnobocznym ABC punkt E jest środkiem odcinka BC. Odcinek AD jest prostopadły do płaszczyzny (ABC) . Czy prosta DE jest prostopadla do prostej BC? Odpowiedź uzasadnij.
6.21. Punkty A, B C, D nie leżą w jednej płaszczyźnie. Odcinek CD jest prostopadły do odcinka AC i do odcinka BC. Punkt E jest środkiem odcinka AB. Wykaż, że jeśli ED perp AB , to trójkąt ABC jest równoramienny.
6.20. Rzutem prostokątnym punktu A na płaszczyznę i jest punkt ‘. Do prostej k Zawartej w płaszczyźnie a i przechodzącej przez punkt A’ należą punkty B, C, przy qym punkt Bleży między punktami A’ i C. Wiedząc, że |AB| = 10 cm , |BC| = 9 cm * o * r * a MC = 17 cm , oblicz odleglość punktu A od plaszczyzny A. A^ prime Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
6.19. Dane są punkty A, B należące do plaszczyzny a oraz punkt C, który leży w od leglości 9 cm od plaszczyzny oraz w odległości sqrt(106) cm od punktu A i 15 cm od punktu 8. Wiedząc, że punkt C jest rzutem prostokątnym punktu C na płaszczyznę oraz | langle AC^ prime B|=90^ °, oblicz dlugość odcinka AB.
6.18. Odcinek AB zawarty w plaszczyźnie ma długość 120 cm. Odległość punktu Cletącego poza płaszczyzna od punktu A jest taka sama jak od punktu Bi wynosi 61 cm. Rzut prostokątny punktu C na plaszczyznę z należy do odcinka AB. Oblicz odległość punktu Cod plaszczyzny.
6.17. W trójkącie prostokątnym ABC punkt O jest środkiem przeciwprostokątnej AB Punkt S nie należy do plaszczyzny (ABC). Wiadomo, że ie odcinek SO jest prostopadły do płaszczyzny (ABC). |AS| = |SB| = |SC|, Wvkat ,
6.16. W równoległoboku ABCD przekątne przecinają się w punkcie O. Punkt s nie naleiy do płaszczyzny (ABCD). Wiadomo, że AS|=|SC| oraz |SD| = |SB| . Czy odcinek so jest prostopadły do plaszczyzny ABCD? Odpowiedź uzasadnij.
6.15. Dany jest sześcian, w którym punkt D jest środkiem odcinka AB. Na podsta. wie danych na rysunku sprawdź, czy odcinek AB jest prostopadły do odcinka CD. Odpowiedź uzasadnij. a) b) c) d)
6.14. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym AC jest przeciwprostokątną. Odcinek BS jest prostopadły do płaszczyzny, w której zawarty jest trójkąt ABC. Niech punkt D należy do odcinka CS. Wykaż, że trójkąt ABD jest prostokątny.
6.13. Dany jest sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Niech płaszczyzna (ABCD) będzie rzutnia, a prosta AD, – kierunkiem rzutu równoległego na plaszczyznę (ABCD). Naszkicu obraz w tym rzucie: a) kwadratu A 1 B,C,D, b) trójkąta DBC c) trójkąta DCP, gdzie Pozna cza środek odcinka D 1 C 1 D A Prostopadłość prostych i płaszczyzn w prze strzeni. Rzut prostokątny na płaszczyznę
6.12. Naszkicuj rzut równolegly sześciokąta foremnego w przypadku, gdy dwa boki sześciokąta są równolegle do rzutni, ale sześciokąt zawiera się w plaszczyznie nie. równoleglej do rzutni i nierównoległej do kierunku rzutowania. Następnie popto wadź przekątne w danym sześciokącie i przekątne w rzucie. Co zauważyles
6.11. W trójkącie ABC wysokość CD dzieli podstawę AB na dwa odcinki, których długości pozostają w stosunku 1: 3. Odcinek CE jest środkową tego trójkąta. Narysuj But równoległy tego trójkąta w przypadku, gdy bok AB jest równoległy do rzutni, a plaszczyzna (ABC) nie jest równoległa do rzutni i nie jest równoległa do prostej cznaczającej kierunek rzutowania, Zaznacz rzut wysokości CD oraz rzut środkowej CE. W jakim stosunku punkty D, i E, dzielą bok trójkąta A,B,C? A 1 B, trd
6.10. Na rysunku poniżej dany jest odcinek AB oraz A 1 B 1 ,, będący rzutem równo ległym odcinka AB na plaszczyznę T w kierunku prostej AA,, Punkty C, D należą do odcinka AB oraz|CD|=2|AC|||AD|=|DB| . Wyznacz rzuty równolegle punktów C, D na płaszczyznę 1. W jakim stosunku punkty C 1 ,D 1 dziela odcinek A,B, ,?
6.9. W rzucie równoległym na płaszczyznę a obrazem danego kola jest kolo do nie po przystające. Jak są położone względem siebie rzutnia i plaszczyzna zawierająca dane koło?
6.8. W pewnym rzucie równoległym na plaszczyznę obrazem pięciokąta jest odci nek. Jak jest położona prosta wyznaczająca kierunek tego rzutowania, względem plaszczyzny, w której zawarty jest pięciokąt?
6.7. W pewnym rzucie równoległym na plaszczyznę obrazem odcinka jest jest polożony ten odcinek względem prostej wyznaczającej kierunek rzutowania? punkt. Jak
6.6 W sześcianie ABCDA’B’C’D’ punkt P jest środkiem krawędzi B’C’, a punkt Q – środkiem krawędzi BB’. Wykaż, że czworokąt APQD’ jest trapezem równoramiennym.
6.5. Punkty A, B, C, D nie leżą w jednej płaszczyźnie. Wiadomo, że AB = BC. Punkty P, Q, R są odpowiednio środkami odcinków AD, BD, CD . Wykaż że a) trójkąt POR jest równoramienny b) płaszczyzna PQR) jest równoległa do płaszczyzny (ABC).
6.4. Dane są punkty A, B należące do płaszczyzny z oraz punkt C poza tą płaszczy zną. Punkt P należy do odcinka AC, a punkt Q- do odcinka BC. Wykaż, że a) jeśli |AP| = |PC|oraz| * B * Q| = |QC| , to prosta PQ jest równoległa do płaszczyzny a b) jeśli |AP| |CQ| = |PC||BQ| , to prosta PQ jest równoległa do płaszczyzny 2.
6.3. Na rysunku poniżej prosta I jest krawędzią przecięcia płaszczyzn , , x 2 Wskaż punkt, w którym prosta k zawarta w płaszczyźnie 1, i nierównolegia do kr wędzi / przebija płaszczyznę pi 2 Odpowiedź uzasadnij. a) b) pi 2 pi 1
6.2. Niech Czy prawdziwe jest następujące twierdzenie: a) jeśli |c*pi|k|| * pi , tok || b) jeśli Ica i k || , to k|| pi ? Odpowiedź uzasadnij. pi
6.1. Dane są proste k, I, m. Ustal, jak mogą być położone względem siebie prostek im, jeśli: b) proste k, l, m nie leżą w jednej plaszczyźnie, ale prosta / ma jeden punkt wspólny z prostą ki jeden punkt wspólny z prostą m. a) proste kilsa skośne oraz l||m a oznacza płaszczyznę, natomiast k, I niech będą prostymi w przestrzeni
5,41. Wiadomo, że wariancję zestawu danych x 1 ,x 2 ,…,x n , możemy obliczyć ze wzoru: sigma^ 2 = (x 1 – overline x )^ 2 +(x 2 – overline x )^ 2 +…+(x n – overline x )^ 2 n lub ze wzoru: (2) sigma^ 2 = x 1 ^ 2 +x 2 ^ 2 +…+x n ^ 2 n -( overline x ) gdzie i jest średnią arytmetyczną liczb x 1 ,x 2 ,…,x n Udowodnij, że wzory (1) i (2) są równoważne.
5,40. Zestaw trzech liczba, bic ma średnia arytmetyczną , i odchylenie stan dardowe od średniej równe sigma 1 Zestaw trzech liczba overline x 1 a+8, , b + 8ic + 8 ma średnią arytmetyczną , i odchylenie standardowe , Wyznacz związek pomiędzy średnimi overline x 2 sigma 2 arytmetycznymi i odchyleniami standardowymi obu zestawów danych
5.39. Suma trzech liczb x, y oraz z wynosi 6, a ich wariancja jest równa 21. Oblicz sumie kwadratów tych liczb.
5.38. Nauczyciel przedstawił uczniom następujący system klasyfikacji rocznej 2 ma tematyki: Ocena roczna jest wystawiana jako zaokrąglona do liczby całkowitej średnia walona oceny za pierwszy semestr z waga 0,4 i oceny za drugi semestr z waga 0,6. Oceny semestralne wystawia nauczyciel jako średnie ważone (zaokrąglone do ca , u – średniej lości) następujących liczb: k- średniej z prac klasowych z wagą 0, 65 z odpowiedzi ustnych z wagą 0,25, d – średniej z prac domowych z waga 0,1 (każdą tych średnich zaokrągla do jednego miejsca po przecinku). Oblicz, jaką ocenę roczną otrzyma uczeń, który uzyskał następujące oceny: I semestr Il semestr 3,4,2, 4, 3, 4, 3 4, 5, 2 3,4,3 4,1 4,5 Prace klasowe Odpowiedzi ustne Prace domowe
5.37. a) Oblicz medianę i podaj modę liczby dzieci w badanej rodzinie. b) Oblicz średnia liczbe dzieci w badanej rodzi nie. c) Oblicz odchylenie standardowe od średniej liczby dzieci w badanej rodzinie, Wynik po daj z dokładnością do całości. 18 16 14- 12 10 8 4 2 0 1 2 3 4 liczba rodzeństwa liczba uczniów
5.36. Maciek i Grzegorz analizowali wyniki swoich prac klasowych z matematyki. Każdy z chłopców ma po pięć ocen. Maciek uzyskał następujące wyniki: 4, 4, 2, 5,5. Okazało się, że średnia ocen Grzegorza jest o 1 mniejsza niż średnia ocen Maćka, Wiedząc, że wariancja ocen każdego z chłopców była taka sama i wynosiła 1,2, uzu pełnij oceny Grzegorza z prac klasowych z matematyki, jeśli wiadomo, że wśród pię ciu ocen są: 2, 3, 3 . Wśród 32-osobowej klasy 3a (w której każdy uczeń pochodzi z innej rodziny) przepro wadzono badania statystyczne dotyczące posia danego rodzeństwa. Wyniki badania przedsta wione są na diagramie obok.
5.35. W prywatnej specjalistycznej przychodni lekarskiej pracuje o 4 lekarzy więcej niz pozostałych pracowników. Średnia pensja lekarzy zatrudnionych w tej przychos ni wynosi 3850 zl, zaś średnia pensja pozostałych pracowników jest o 1900 zł niższa Średnia placa wszystkich pracowników tej przychodni jest równa 3090 zl. Oblig ilu lekarzy pracuje w tej przychodni.
5.34 Janek rzucił 50 razy kostką do gry i za każdym razem zapisal wynik rzutu. Sporządzil diagram częstotliwości względnych tego doświadczenia : częstość względna liczba oczek 3/25 1 1/5 2 9/50 3 7/50 4 6/25 5 3/25 6 a ) podaj medianę i modę wyrzuconych oczek b ) oblicz średnią liczbę oczek w jednym rzucie c ) oblicz wariancję i odchylenie standardowe od średniej liczby oczek w jednym rzucie
5.33. Bibliotekarka w pewnym liceum sprawdziła, ile książek w I semestrze wypoży tryli uczniowie klas trzecich z biblioteki szkolnej. Wyniki przedstawiła na diagramie slupkowym. 12,8% 23,2% 24% 28% 9,6% 10% 2,4% 20% 30% procent uczniów klas trzecich 40% 4 Oblicz średnią liczbę wypożyczonych książek przypadającą na jednego trzeciokla sistę. 6) Oblicz, ilu jest trzecioklasistów w tym liceum, jeśli wiadomo, że 80 uczniów wy pożyczyło w I semestrze więcej książek, niż wynosi średnia przypadająca na jed nego ucznia. liczba wypożyczonych książek
5:32. a) Wyznacz liczby naturalne x oraz y, jeśli wiadomo, że średnia arytmetycz na zestawu liczb 3, x, 4, 3, y, 2, 5, 4, 4, 3 wynosi 3, 6, ajed jedyną dominanta jest liczba 3. b) Wyznacz liczby naturalne x oraz y, jeśli wiadomo, że średnia arytmetyczna zestawu liczb x, y, 3, 5, 1, 7, 8, 12, 15, 10 jest równa 7,1, mediana M e =7,5 ix
5.31. W zestawie danych: 4, 7, 5, 8, x, 7, 3, 5, 9, 2liczl x jest jedyną dominantą. Mediana wynosi 6. Wyznacz liczbę X 1 a następnie oblicz średnią lab, wariancję oraz odchylenie standardowe od średniej. arytmetyczna tych
5.30. Porównywano skuteczność dwóch drużyn piłkarskich. W tym celu zbadano liczbę zdobytych bramek każdej z drużyn w 20 spotkaniach. Wyniki przedstawia po nizszy diagram. 25% 25%
5.29. Firma transportowa Z nami szybko i bezpiecznie”, która zajmuje się prze prowadzkami, zbadala liczbę zleceń w poszczególnych miesiącach 2009 r. Dane są zilustrowane poniżej na diagramie kolumnowym. 100 90 2 80 70 60 50 40 30 20 10 70 58 58 46 32 14 16 a) Oblicz medianę liczby zleceń. VI VII VII IX X miesiące b) Oblicz średnią miesięczną liczbę zleceń. W których miesiącach liczba zleceń prze kroczyła średnią? Oblicz odchylenie standardowe od średniej miesięcznej liczby zleceń. d) W których miesiącach liczba zleceń była mniejsza niż overline x -a ?
5.28. Kontrola jakości w firmie produkującej śruby bada ich jakość według następu. wych zasad: pobiera z danej partii losowo 20 śrub i odrzuca partie, jeśli odchylenie sruby to 25,5 mm. Kontrola jakości wybrala 20 śrub z wyprodukowanej partii. Poniż sty dlagram kolowy ilustruje procentowy udział śrub o odpowiedniej długości wśród standardowe 30% 2036 10% diugost sruty 25,4 mm 25,8 mm 25,2 mm 25,0 mm 25,6 mm a) Oblicz średnią dlugość śruby w wylosowanej do badania próbie, 1 Oceń, czy kontrola jakości wypadla pomyślnie. oblicz odchylenie standardowe od średniej długości śruby
5.27. W celu porównania wyników dwóch luczników zanotowano liczbę zdobytych przez nich punktów w dziesięciu treningowych seriach strzalów. lucznik I1 lucznik 24 1 liczba punktów 20 24 28 30 liczba punktów 1 2 3 4 5 liczba strzałów a) Wyznacz medianę punktów w dziesięciu seriach strzałów dla każdego łucznika. b) Oblicz średnią liczbę punktów zdobytą przez każdego lucznika. c) Oblicz odchylenie standardowe od średniej liczby punktów dla każdego łucznika Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku. Oceń, który z 28° wodników ma bardziej stabilną formę.
5.26. Producent czekolady deklaruje, że tabliczka ma wagę 120 g 1,8 g. Organiza cja konsumencka zbadala wagę losowo wybranych 10 tabliczek czekolady z pewnej partii i otrzymala następujące wyniki w gramach: 118 119 121 120,5 119,5 119 120 122 123 117. a) Oblicz średnią wagę tabliczki czekolady w badanej próbie. b) Oblicz odchylenie standardowe od średniej wagi tabliczki czekolady. c) Oceń, czy organizacja konsumencka pozytywnie ocenila producenta czekolady, czy zwrócila się do niego z reklamacją dotyczącą tej partii tabliczek czekolady.
5.25. Poniższa tabela przedstawia miesięczne wynagrodzenie pracowników pew nej firmy. Wynagrodzenie miesięczne [zł] Liczba pracowników 850 1240 1300 1820 2210 2430 3840 4250 5400 3 2 1 1 4 3 2 3 a) Wskaż modę i medianę miesięcznego wynagrodzenia w tej firmie. 2 b) Oblicz średnią placę miesięczną w tej firmie. Wynik podaj z dokładnością do jed. nego grosza c) Jaki procent zatrudnionych w tej firmie ma placę mniejszą, niż wynosi średnia miesięczna? Wynik zaokraglij do jedności. d) Oblicz odchylenie standardowe od średniej placy miesięcznej. Wynik podaj z do kladnością do pelnych zlotych.
5.24. Maszynistka przepisywała książkę. Na żadnej stronie nie popelniła więcej niż pięć błędów. Po przepisaniu policzono, ile blędów popełnila na poszczególnych stro nach. Otrzymane wyniki są przedstawione na diagramie kolumnowym. 80 70 60 50 40 30 20 10 a) lle stron liczyła książka? b) Podaj modę błędów oraz 45 45 30 28 18 20 0 1 2 medianę błędów. c) Oblicz, ile średnio błędów popełniła maszynistka na jednej stronie. d) Oblicz, jaki procent stanowiły strony, na których liczba blędów była mniejsza od połowy średniej.
5.23. Pięćdziesiąt osób zdawało testowy egzamin z przepisów ruchu drogowego. Liczba popelnionych przez nich blędów jest przedstawiona na diagramie kołowym procentowym. liczba blędów 1 2 16% 28% 145 22% 8% 3 4 5 12M a) Aby zdać egzamin, można było popelnić co najwyżej dwa blędy. lle osób zdało egzamin? b) Oblicz średnią liczbę blędów. Jaki procent zdających popełnilo więcej błędów, niż wynosi średnia? dj Wyznacz modę i medianę błędów.
5.22. Pan Kowalski dojeżdża do pracy autobusem. Postanowił zbadać czas oczeki wania na autobus. Poniżej podane są dane zebrane przez pana Kowalskiego (czas oczekiwania w minutach) w kwietniu: 10 5 10 5 10 7 10 5 2 8 5 3 10 4 3 5 7 10 5 8 10 5. a) Sporządź diagram częstości względnych czasu oczekiwania. b) Wyznacz modę i medianę czasu oczekiwania. c) Oblicz średni czas oczekiwania na autobus. d) Oblicz, jaki procent stanowiły dni, w których czas oczekiwania na autobus by większy od średniej.
5.21. Uczniowie klasy trzeciej uzyskali z pracy klasowej z matematyki następujące oceny: 312 4 4 2 3 3 2 1 4 2 3 5 2 3 3 3 3 2 1 4 5 2 3 4 2 3 4 1 3 3. a) Przedstaw zebrane dane w tabeli liczebności. b) Wyznacz modę i medianę ocen. c) Oblicz średnią ocen z pracy klasowej. d) Jaki procent uczniów otrzymało oceny pozytywne? e) Jaki procent uczniów otrzymało oceny co najmniej dostateczne? f) Sporządz diagram kołowy procentowy uzyskanych ocen.
5.20. w biegu przełajowym zmierzono czas 28 pierwszym osobom, które przekro czyły metę Wyniki przedstawiono w postaci diagramu słupkowego. 30 31 32 34 40 42 52 czas (min) Wyznacz modę, medianę oraz średnią arytmetyczną czasu uzyskanego przez zawod ników
5.19. Wyznacz modę (dominantę) oraz medianę zbioru danych statystycznych a) zestawu liczb: 31 1 2 3 5 1 2 3 3 5 5 4 2 1 3 2 2 3 1 4 5 b) tabeli liczebności: Wartość Liczebność kolumnowego: 3 7 12 5 4 do diagramu 9 6 6 liczebnosc illı 2 7 9 10 wartoft 4 567 8 9 10 11 liczebnost wartos: 1- Box 3 5 e diagramu kołowego procentowego: 31,25% d) diagramu slupkowego: 12.5 degrees 18, 755 37.5%
5.18. Właściciel kawiarni, zanim na stałe wprowadzi nową kawę dla klientów, prze prowadza badanie na grupie 20 osób losowo wybranych spośród bywalców lokalu. Wybrane osoby oceniają kawę w trzech kategoriach: b – barwy, s – smaku , z – 2a pachu, przyznając w każdej z trzech kategorii liczbę punktów od 1 do 10. Wlaściciel oblicza średnie arytmetyczne: overline x b , overline x 1 , overline X 2 w ten sposób uzyskanych punktów. Następ. nie oblicza średnią ważoną ze średnich overline x b , overline X 1 , overline X 2 , nadając im odpowiednie wagi 2,5; 4; 3,5. W przypadku, gdy średnia ważona jest większa od 7, podejmuje decyzje o wprowadzeniu kawy do stałej sprzedaży. Na diagramach przedstawione są wyniki w poszczególnych kategoriach dotyczące kawy ,Nuta nadziei”. barwa smak zapach 20% 25%6 0,5 555 110 1 10 20 2 4 5 9 10 liczba punktów 3566 liczba osób 6 pkt 8 pkt 10 pkt Ocen, czy kawa Nuta nadziei” zostanie wprowadzona do stałej sprzedaży MOyund egD pois
5.17. Na jednym z wydziałów Akademii Ekonomicznej podczas rekrutacji na pierw szy rok studiów bierze się pod uwagę wyniki pisemnego egzaminu maturalnego z następujących przedmiotów: matematyka, geografia oraz język obcy nowożytny, które uczeń zdawal w zakresie rozszerzonym. Z każdego z wymienionych przedmi tów można było uzyskać maksymalnie 50 punktów. Postanowiono, że o przyjęciu na studia decyduje średnia ważona punktów uzyskanych na maturze z wymienionych przedmiotów. Ustalono wagi dla poszczególnych przedmiotów: matematyka – 0, 65 geografia -0,2; Język obcy nowożytny – 0, 15 . Dwoje znajomych, Ela i Jacek, ublega się o przyjęcie do Akademii Ekonomicznej na ten wydzial. Uzyskali następujące wyniki: Matematyka 38 pkt 26 pkt Ela Jacek Geografia 24 pkt 40 pkt Język obcy nowożytny 48 pkt 50 pkt Która z tych osób ma większą szansę dostać się na wymarzone studia?
5.16. We wszystkich klasach trzecich pewnego liceum przeprowadzono próbną ma 32 osobowej klasie 3a średnia liczba 3b – 30 , zaś w klasie 3c – 32 turę z matematyki w zakresie podstawowym. W zdobytych punktów wyniosła 25, w 25 osobowej klasie Ilu uczniów z klasy 30 pisalo probna maturę z matematyki, jeśli wiadomo, że średnia liczba punktów z próbnego egzaminu dla wszystkich klas była równa 28 575
5.15. W pewnej firmie pracują dwie zmiany pracowników. Stosunek liczby pracow ników i zmiany do liczby pracowników II zmiany wynosi 3/2 . Wszystkich pracowni ków w firmie jest 50. Na każdej zmianie część pracowników nie wyprodukowala ani jednego wadliwego detalu i żaden z pracowników nie wyprodukował ich więcej niż cztery. Na poniższym diagramie przedstawiono liczbę wadliwych detali, wyprodukowanych przez pracowników tych zmian. 10 5 I zmiana Il zmiana 5 3 3 liczba wadliwych detali 2) która zmiana ma mniejszą średnią wadliwie wyprodukowanych detali przez jed nego pracownika? b) Oblicz średnią wadliwie wyprodukowanych detali przez jednego pracownika. lu pracowników firmy nie wyprodukowało ani jednego wadliwego detalu? Jaki to procent wszystkich pracowników?
5.14. W dwóch miastach AIB badano liczbę samochodów w rodzinie na losowo wybranych równolicznych próbach. Oto wyniki przedstawione na diagramach: miasto A 36% miasto B 140 120 100 80 60 40 20 28% 82 24% 12 liczba samochodów w rodzinie 56 44 18 1 2 3 liczba samochodów liczba rodzin 3) lle rodzin w mieście A nie ma samochodu? b) Oblicz średnia liczbę samochodów w rodzinie w każdym z miast. Jaki procent rodzin w mieście B ma 2 samochody? al Oblicz średnią liczbę samochodów w rodzinie dla obu miast.
5.13. W pewnej firmie badano, ile zwolnień lekarskich biorą w ciągu roku jej pra: cownicy. Wyniki są przedstawione na poniższym diagramie. 3% 20% 32% 45% 10% 20% 30% 40% 50% 60% procent pracowników zwolnien lekarskich wci 0% a) Jaka jest średnia liczba zwolnień w ciągu roku przypadająca na jednego pracow nika tej firmy? b) w firmie pracuje 200 osób. lle osób było na zwolnieniu lekarskim więcej niż je. den raz w roku? c) O ile procent więcej jest tych pracowników, którzy korzystali ze zwolnień lekar skich, niż tych, którzy nie byli na zwolnieniu?
5.12. W bibliotece szkolnej badano, ile książek wypożyczają uczniowie nego technikum, w ciągu miesiąca. Uzyskane wyniki przedstawia poniższa tabela. klasy 1b pew 7 8 Liczba wypożyczonych książek Liczba uczniów 1 4 2 3 4 8 3. 1 a) Oblicz średnią liczbę wypożyczonych książek w danym miesiącu Wynik zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku. dla klasy 1b. b) Oblicz, jaki procent uczniów tej klasy wypożycza więcej książek, niż wynosi śred nia dla klasy
5.11. Na diagramie kolowym procentowym przedstawiono wyniki pomiaru wzro stu uczniów klasy pierwszej pewnego liceum. 20% 28% |152 cm 160 cm 162 cm 168 cm 170 cm 4% 40% 8% a) Oblicz średni wzrost uczniów w tej klasie. b) Przedstaw zebrane dane na diagramie częstości względnych. c) Wiedząc, że w tej klasie zmierzono wzrost 25 uczniom, sporządź tabelę liczebności d) Ilu uczniów ma wzrost powyżej średniej?
5.10. Przeprowadzono sondę telefoniczną, zadając pytanie: „Ile godzin dziennie ogląda Pan (Pani) Iewizje?^ prime prime . Otrzymano następujące wyniki: 10,5 2,5 1 3,5 46 2 1,5 3 0,5 2 1 10 0,5 2 3 4 4,5 5 2 3 1 4 2 3 1 4 0,5. Przedstaw zebrane dane na diagramie kolumnowym. b) Jaki jest średni czas oglądania telewizji w ciągu dnia? procent badanych osób ogląda telewizję w czasie przekraczającym średni czas? Wynik zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku. osób spośród badanych przeznacza dziennie na oglądanie telewizji więcej czasu, niż wynosi podwojony średni czas?
5.9. Średnia arytmetyczna wieku drużyny piłkarskiej jest równa 24 lata. Gdyby uwiględnić wiek trenera, to średnia arytmetyczna wieku wszystkich dwunastu osób wyniosłaby 26 lat. lle lat ma trener?
5.8. Wyznacz liczbę x, jeśli wiadomo, że średnia arytmetyczna liczb 2, 3, 3, 5, 4, 2 1, 6, 9, 1 jest równa 4.
5.7. Poniższy wykres przedstawia wyniki badań nad w ciągu godziny mandatami przez pewną liczbę patroli policji drogowej liczbą kierowców ukaranych w Warszawie. 6 5 4 3 1 0 1 2 a) Jaką liczbę patroli poddano temu badaniu? 3 4 5 liczba mandatów bị llu kierowców zostało ukaranych mandatami? Oblicz, ile mandatów średnio przypada na jeden patrol policji. a Przedstaw zebrane dane w tabeli częstości względnych. liczba patroli Średnia z próby
5.6. W pewnej firmie zbadano, jakimi środkamni lokomocji dostają się do pracy jej pracownicy. Wyniki przedstawiono na diagramie częstości względnych (rysunek po niżej). 0,4 0,3 0,2 0,1 . 0,3 0,08 0.44 samochód służbowy samochód własny motocyki rower komunikacja miejska 0.12 0.06 Srodek częstość wzgleda lokomocji jaki procent pracowników firmy dostaje się do pracy innymi środkami a) Oblicz, transportu niż komunikacja miejska. b) lle osób przyjeżdża do pracy samochodem służbowym, jeśli wiadomo, że w fire mie pracuje 50 osób? c) lle osób przyjeżdża do pracy na motocyklu lub rowerze? d) Sporządź diagram kołowy zebranych wyników. Poniższy wykres przedstawia wyniki w.dligu godziny mandatami przez pewną liczbę patroli policji drogowej
5.5. Pewna firma badająca rynek gier komputerowych zapytała losowo wybranych 200 uczniów o liczbę posiadanych przez nich gier komputerowych. Otrzymane wy przedstawia niki poniższy diagram 5% 12% brak gier 1 gra 2 gry 3 gry 4 i więcej gier 25% 386 201 a) llu spośród badanych uczniów: – ma co najmniej 3 gry komputerowe ma co najwyżej 2 gry? b) Przedstaw powyższe dane na diagramie słupkowym.
5.4. W pewnej klasie badano, ile czasu dziennie uczniowie poświęcają na odrabia nie prac domowych, i uzyskano następujące dane (w godzinach) od losowo wybra. nych 20 uczniów: 0,5 1 3 3 2,5 0,5 1,5 2 3 4 0,5 1 1 1 1,5 2,5 4 3 2 1. a) Przedstaw zebrane dane w tabeli liczebności oraz na diagramie kolumnowym. b) Oblicz, jaki procent uczniów przeznacza na odrabianie prac domowych mniej niż 5.
5.3. Wychowawca klasy 3a przeprowadził w listopadzie badanie liczby spóźnień na lekcję matematyki, która byla pierwszą godzina lekcyjna w tygodniowym rozkładzie zajęć tej klasy. Wyniki badań opracował w tabeli liczebności. Liczba spóźnień 1 1 2 3 4 Liczebność 11 3 2 4 5 Sporządź diagram stupkowy oraz diagram kołowy procentowy spóźnień na lekcję matematyki.
5.2. Komendant policji przeanalizowal wypadki drogowe spowodowane przez kie rowców samochodów osobowych na terenie miasta w 2010 r., pod kątem przyczyn tych wypadków, Wyniki pracy komendanta przedstawia poniższa tabela, Przyczyna wypadku Przejazd przez skrzyżowanie na czerwonym świetle Jazda z nadmierną prędkością Wymuszenie pierwszeństwa Jazda pod wpływem alkoholu Przedstaw zebrane dane w postaci diagramu kolumnowego względnych. Liczebność 81 144 90 135 i diagramu częstości
5.1. Odpowiedz na następujące pytania: a) Czym zajmuje się statystyka opisowa? b) W jaki sposób przeprowadza się obserwację statystyczną? c) Co nazywamy próbą? d) Jakie cechy statystyczne nazywamy cechami mierzalnymi, a jakie niemierzalnymi? Podaj przykłady cech mierzalnych oraz cech niemlerzalnych.
4.284. Dwóch strzelców oddało po jednym strzale do tego samego celu. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwszy z nich trafił, jeśli wiadomo, że cel został trafiony tylko jeden raz. Zakladamy, że prawdopodobieństwo trafienia w cel jest równe dla pierwszego strzelca 0,85, a dla drugiego 0,95.
4.283. W każdej z trzech urn znajduje się 10 kul: w pierwszej 2 białe i 8 czarnych, w drugiej – 3 biale i 7 czarnych, w trzeciej |-4 białe i 6 czarnych. Z każdej urny losu. jemy po jednej kuli i nie oglądając jej, wkładamy do czwartej urny. Następnie z tej urny losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała.
4.282. Wiadomo, że zdarzenia A i B są niezależne, bi,ieP(A cup B)= 7 8 lub P(A cup B)= 5 8 . P(A – theta) = 1/8 * i * P * (B – A) = 3/8 Wy oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, Oblicz n.
4.281. Z grupy złożonej z 8 dziewcząt i 10 chłopców losujemy trzy osoby, a na stępnie z tych trzech osób losujemy jedną, która będzie reprezentantem tej gru py w radzie szkoły. Oblicz prawdopodobieństwo, że grupę będzie reprezentować dziewczyna.
4.280. Kamil bawi się z kolegą w następującą grę. Każdy z chłopców rzuca kolejno daoma kółkami ringo do celu. Jeśli w pierwszej próbie dwa kółka trafiły do celu, to kolejka jest zakończona. W przeciwnym przypadku dany chlopak ma druga próbę. Zbiera te kółka, które nie trafiły do celu, i powtarza nimi rzuty. Potem otrzymuje tyle punktów, ile kółek trafiło w całej kolejce do celu. Wiedząc, że Kamil jednym kółkiem trafia do celu z prawdopodobieństwem 2/3 de w jednej kolejce Kamil uzyska 2 punkty.
4.279. W urnie są trzy czarne kule i jedna biała. Losujemy jedną kulę. Jeśli wylo 4.4 kule czarną – wkładamy ją z powrotem do urny. Jeśli wylosujemy kulę białą stadamy ją z powrotem do urny i dokładamy jeszcze jedną kulę białą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wykonując trzy takie losowania, otrzymamy: a) trzy razy kulę białą b) trzy razu kulę czarną ) dwa razy kulę białą i raz kulę czarną.
4.278. Rzucamy trzy razy czworościenną, symetryczną kostką do gry. Na ściankach 1 kostki wypisane są liczby od 1 do 4. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych liczb będzie sześcianem liczby naturalnej, jeśli wiadomo, że co najmniej raz wypadła liczba 4
4,277. Rzucamy n razy symetryczną moneta, n >= 1 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymamy co najmniej jednego orła, jest równe 31/32
4.276 Sześciu pasażerów wsiada do pustego tramwaju złożonego z trzech wagonów, przy czym każdy z nich wybiera wagon losowo. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że przynajmniej jeden wagon zostanie pusty.
4.275. Do windy na parterze ośmiopiętrowego wieżowca wsiadło 4 pasażerów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że pasażerowie wysiądą z windy a) każdy na innym piętrze b) na dwóch różnych piętrach,
4.274. Mamy 9 różnokolorowych szuflad i 5 ponumerowanych kul, które losowo umieszczamy w szufladach. Ile jest możliwych rozmieszczeń tych kul, jeśli: a) każda kula może znaleźć się w dowolnej szufladzie b) wszystkie kule mają się znaleźć w dwóch szufladach?
4.273. Przy okrągłym stole posadzono losowo 4 osoby, wśród nich są osoby Ai B. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że: a) osoby A i B siedzą obok siebie b) osoby A i B siedzą naprzeciwko siebie.
4.272. Mamy 5 książek, wśród których są książki A i B. Ustawiamy je losowo na pustej półce w jednym szeregu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) książki A i B będą stały obok siebie na końcu tego rzędu (po lewej lub prawej stronie w dowolnej kolejności) b) pomiędzy książkami A i B będzie stała jedna książka.
4.271. W sali stoi piętnaście ponumerowanych ławek. Na ile sposobów można po sadzić 15 dziewcząt i 15 chłopców tak, aby: a) w każdej ławce po lewej stronie chłopca siedziała dziewczyna b) w każdej ławce siedziała dziewczyna i siedział chlopak?
4.270. W klasie jest 20 uczniów. Na ile sposobów ci uczniowie mogą zająć miejsca w 10 lawkach dwuosobowych?
4.269. Pewien roztargniony napisal 10 listów, zaadresowal tył listy do kopert i wysłał. ile jest możliwości: 10kopert a) zupelnie losowego włożenia przez niego listów do kopert , a potem wło. b) takiego włożenia listów, aby co najmniej pierwsze dwa, które włożył do kopen, dotarły do właściwego adresata?
4.268. W worku znajdują się piłeczki pingpongowe: 4 biale, 5 pomarańczowych i jedna zielona, Staś wyjmuje losowo jedna pileczkę i – nie zwracając jej – losuje jeszcze jedną piłeczkę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) wylosowane pileczki są różnych kolorów b) druga wylosowana piłeczka jest pomaranczowa.
4.267. W pewnej klasie 40% wszystkich uczniów stanowią dziewczynki. Wybiera my losowo kolejno dwie osoby z tej klasy. Ilu jest wszystkich uczniów w klasie, jeśli prawdopodobieństwo wylosowania najpierw dziewczynki, a potem chłopca jest równe 36 145
4.266. Na loterii znajdują się 2 losy z wygraną 100 zł, 3 losy z wygraną 50 zł oraz 25 sow pustych. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupując trzy losy wygra. my co najmniej 100 zł.
4.265. Z talii 52 kart wybieramy w sposób losowy 3 karty. Oblicz prawdopodobień stwo zdarzenia: a) wylosowano jedną damę i jednego króla co najmniej jednego asa c) wylosowano karty w tym samym kolorze (pik, kier, karo lub trefl) b) wylosowano d) co najwyżej jedna z wylosowanych kart jest pikiem.
4.264. Spośród wszystkich wierzchołków sześcianu losujemy trzy wierzchołki. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania punktów będących wierzchołkami troj kata równobocznego.
4.263. Spośród wszystkich wierzchołków sześciokąta foremnego o boku długości 1 losujemy dwa wierzchołki. Oblicz prawdopodobieństwo, że są one końcami odcinka mającego długość sqrt(3) .
4.262. ile różnych wyrazów (mających sens lub nie) można ułożyć, przestawiając Rery wyrazu MATEMATYKA?
4.261. Uczestników turnieju szachowego podzielono na dwie rozłączne podgrupy AIB. Stosunek liczby graczy w grupie A do liczby graczy w grupie B wynosił 3:4. W grupie A każdy rozegrał z każdym jedna partię, a w grupie B każdy z każdym ro regrał trzy partie. Łącznie w obu grupach rozegrano 21 partii. Ilu było uczestników turnieju?
4.260. Loteria składa się z 40 losów: pięciu losów umożliwiających wygranie po 2071, dziesięciu losów umożliwiających wygranie po 10 zł i dwudziestu pięciu losów pustych. Kupujemy dwa losy. Ile mamy możliwości wygrania 20 zł?
4.259 Ze zbioru {1, 2, 3, …,n−1,n}, n∊N+, n \geq 2 losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowane liczby różnią się o 1, jest równe 0,1. Oblicz n.
4.258. Ze zbioru liczb \ 1,2,3,4,…,9,10\ losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby i od pierwszej wylosowanej liczby odejmujemy drugą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania różnicy większej od 2.
4.257. Ze zbioru \ 1,2,3,…,2n\ , gdzie n in N 2 , losujemy dwa razy jedną cyfrę bez zwracania i tworzymy liczbę dwucyfrową. Oblicz n, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia: ,,obie cyfry otrzymanej liczby są parzyste” jest równe 5/21
4.256. Tworzymy liczbę dwucyfrowa w następujący sposób: ze zbioru cyfr (1, 2, 3, 4,5,6,7\ losujemy cyfrę dziesiątek, zaś ze zbioru \ 0,1,2,3\ losujemy cyfrę jedności. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że utworzona liczba jest: a) mniejsza od 53 podzielna przez 4 lub przez 3. b)
4.255. Ile jest liczb dziesięciocyfrowych, w których suma cyfr jest równa 5?
4.254. Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których zapisie a) występują dwie ósemki i dwie cyfry nieparzyste b) występują 2 cyfry parzyste oraz 2 cyfry nieparzyste?
4.253. Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których zapisie: a) występuje jedna cyfra 0, jedna cyfra 1 i dwie cyfry 2 b) nie występuje żadna z cyfr: 1, 2, 3, 4?
4.252. Rzucamy trzema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz praw. dopodobieństwo zdarzenia, że suma liczb oczek otrzymanych na poszczególnych kostkach jest podzielna przez 3.
4.251. Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopo. dobieństwo zdarzenia, że: a) w pierwszym rzucie uzyskaliśmy liczbę oczek większą niż w drugim rzucie b) co najwyżej raz wypadla szóstka” c) liczba parzysta oczek nie wypadła w żadnym rzucie d) co najmniej w jednym rzucie wypadła liczba oczek nie mniejsza niż 5.
4.250. Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Następnie od nie mniejszej liczby wyrzuconych oczek na jednej kostce odejmujemy liczbę oczek wy rzuconych na drugiej kostce. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymana różnica jest: a) liczbą podzielną przez 3 b) dzielnikiem liczby 6
4.249. Mamy dwie urny: w pierwszej jest 8kul – 5 białych i 3 czerwone, w drugiej też jest 8 kul – 3 białe i 5 czerwonych. Z każdej urny losujemy po jednej kuli. a) Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul w różnych kolorach. b) Jak zmieniłoby się prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul w różnych ko lorach w przypadku losowania kul (bez zwracania) z jednej urny, w której jest 8 kul białych i 8 kul czerwonych? Odpowiedź uzasadnij.
4.248. W klasach trzecich szkoły podstawowej zorganizowano kolo taneczne, na które uczęszczają dzieci według tabeli zamieszczonej poniżej. Klasa Dziewczęta Illa 5 lib 6 Illc 9 Chłopcy Na ile sposobów można utworzyć parę dziewczynka – chłopiec, jeśli dzieci w tej 10 3 7 parze a) mają chodzić do tej samej klasy 6) mają chodzić do klasy Illa lub do
4.247. Kostka sześcienna do gry została wykonana z jednorodnego materialu, ale na riektórych ściankach liczby oczek sa takie same. Wiadomo, że w jednokrotnym mucie tą kostką prawdopodobieństwo otrzymania liczby oczek nie większej niż 3 wynosi 5 6 , a prawdopodobieństwo otrzymania liczby oczek nie mniejszej niż 3 jest rowne 1/2 oczka? b) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania w jednokrotnym rzucie tą kostką liczby oczek większej niż 3. Na ilu ściankach tej kostki są trzy
4.246. Dane są zdarzenia A, wykaż, że jeśli P(A) = 1/4 * i * P * (B) = 1/3 A,B subset Omega therefore 1 3 <= P(A cup B)<= 7 12 oraz P(A cap B)<= 1 4
4.245. Dane są zdarzenia A, B CO. Wiadomo, że pi 1 cup B)=0,751P(A cap B)=0,25,0blic 2 P(B) P(A cap B^ prime )=P(B cap A^ prime ) P(A – B)
4.244. Ile liczb jest w zbiorze ( 1,2,3,…,2015) które są: 2) podzielne przez 5 lub przez 7 / podzielne przez 3 lub przez 5 lub przez 7 d) podzielne przez 4 lub przez 10 lub przez 7.
4.243. W pewnej grupie osób wszyscy czytają klasykę, z czego 14 osób uwielbia lirykę, a 20 osób chętnie czyta prozę. Oblicz, ile osób liczy ta grupa, jeżeli 9 spośród nich czyta zarówno lirykę, jak i prozę?
4.242. Strzelec oddaje n niezależnych strzałów do celu, przy czym prawdopodo bieństwo nietrafienia w cel w k-tym strzale jest równe 1/((k + 1) ^ 2) gdzie k=1,2,…,n, . Wykaż, że prawdopodobieństwo trafienia we wszystkich n strzałach jest równe n+2 2(n+1) .
4.241. W pierwszej urnie jest 6 kul białych i 4 czarne, w drugiej urnie są 2 kule białe i 8 czarnych, w trzeciej urnie- 5 kul białych i 5 kul czarnych. Losujemy z każdej urny po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy: a) trzy kule białe b) dwie kule białe.
4.240. Obwód elektryczny składa się z trzech elementów pracujących niezależnie Prawdopodobieństwa awarii elementów tego obwodu są odpowiednio równe 0,1, 0, 2i . Oblicz prawdopodobieństwo, że nastąpi awaria obwodu, jeśli: a) elementy połączone są szeregowo b) elementy połączone są równolegle.
4.239. Hurtownia otrzymuje dostawy towaru niezależnie z trzech zakladów Z 1 ,Z 2 22 prawdopodobieństwem odpowiednio równym 0,6, 0,3 i 0,1. Oblicz prawdopo dobieństwo, że: a) hurtownia otrzymała dostawę tylko z jednego zakładu b) hurtownia otrzymała dostawę z co najmniej jednego zakładu.
4.238. Wykonano dwa rzuty czworościanem foremnym opisanym w zadaniu 4.237. Oznaczamy zdarzenia: A- w pierwszym rzucie czworościan upadł na ściankę, na której był kolor niebieski obu rzutach czworościan upadł na ścianki, na których był tylko kolor niebieski lub tylko żółty. Czy zdarzenia A i B są niezależne?
4.237. Ściany pewnego czworościanu foremnego pomalowano w następujący spo sób: jedną na niebiesko, drugą na żółto, trzecią na czerwono, a czwarta w pasy, w trzech wymienionych wcześniej kolorach. Rzucamy czworościanem i patrzymy na ściankę, na która upadł. Oznaczamy zdarzenia: A-na ściance, na którą upadł czworościan byl kolor niebieski B- na ściance, na którą upadł czworościan był kolor żółty C-na ściance, na która upadł czworościan był kolor czerwony. Zbadaj niezależność par zdarzeń ATB,BIC C,AiC. Czy zdarzenia A, B, C są niezależne?
4.236. Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Określamy JA- wylosowana karta jest figura (tzn. asem, królem, dama lub waletem) 8-wylosowana karta jest koloru czerwonego; zdarzenia: 6) A- wylosowana kartę jest B-wylosowana karta jest damą lub karta młodszą od siódemki. starsza od piątki Cry zdarzenia A i B są niezależne?
4.235. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Określamy zdarzenia: A- iloctyn liczby oczek na obu kostkach jest większy od 20, 8 – na obu kostkach wypa dla parzysta liczba oczek. Czy zdarzenia A i B są niezależne?
4.234. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Określamy zdarzenia: A – wypadla parzysta liczba oczek, B-w drugim rzucie wypadly dwa lub wobu rzutach
4.233. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Określamy zdarzenia: w pierwszej kostce wypadla parzysta liczba oczek, B- na drugiej kostce wypadly
4.232. Wykaz, ze jesli niezaletne, , gdzie P(A)>0.P(A^ + )>0, to zdarzenia Al A sim
4.231. Dane są trzy zdarzenia A, B, C parami niezależne i takie, dla których P(A cap B cap C)=0 oraz 2P(A)=3P(B)=3P(C) . Oblicz: a) największą wartość jaką może przyjmować prawdopodobieństwo sumy zdarzen A, BiC; b) prawdopodobieństwo zdarzenia A, dla którego prawdopodobieństwo sumy zda rzen A, B i C przyjmuje największą wartość. P(B|A)=P(B|A^ prime )
4.230. Zdarzenia A, B, C są niezależne. Oblicz P(C) , wiedząc dodatkowo, że P(A cap B cap C)= 1 27 i P(A)=2P(B)=4P(C)
4.229. Wiadomo, że zdarzenia A i B są niezależne oraz P(A’ U B’) = Oblicz P(A)
4.228. Wiadomo, że zdarzenia A i B są niezależne oraz P(A cup B)= 7 12 ,P(B^ prime )= 1 2 Oblicz P(A) P(A^ prime cup B^ prime )= 2 3 ,P(B)= 2 3
4.227. Dwa zakłady, należące do tej samej firmy, dostarczają do sklepu żarówki energooszczędne. Pierwszy zaklad dostarcza cztery razy więcej żarówek niż dru gi. W pierwszym z tych zakładów średnio 4 żarówki a w drugim 8 na 1000 ma wady (tzn. psują się w okresie gwarancji). Klient kupit ja rówkę, na której był tylko znak firmy, a nie zakładu, który ją wyprodukował. Żarówka ta w okresie gwarancji zepsuła się. Oblicz prawdopodobieństwo, że została wypro dukowana w pierwszej fabryce. na 1000 wyprodukowanych, Niezależność zdarzeń
4.226. W pewnej firmie dwie maszyny produkują takie same detale używane do produkcji komputerów. Liczby wszystkich wyprodukowanych detali przez te maszy ny mają się do siebie jak 3:5. Pierwsza z maszyn produkuje 0,1% detali wadliwych a druga 0,06%. Z pojemnika, w którym były wszystkie detale wyprodukowane przez obie maszyny, wybrano jeden, który okazał się wadliwy. Oblicz prawdopodobien stwo, że został on wyprodukowany przez pierwszą maszynę.
4.225. Test wykrywający pewną chorobę jest efektywny w 99% dla osób chorych (tzn. jeśli badany jest chory, test w 99% potwierdza chorobę) iw 98% dla osób zdro badany jest zdrowy, test w 98% wyklucza chorobę). W pewnym re- wych (tzn. jeśli Bonie średnio 150 na 10 000 osób cierpi na tę chorobę.
4.224. Zestaw tematów egzaminacyjnych składa się z 25 tematów z analizy, 35 tematów z geometrii in tematów z rachunku prawdopodobieństwa. Z zestawu usu mesto losowo jeden temat, a następnie z pozostałych wybrano w sposób losowy eden temat. Oblicz n, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania tematu 7/27 rachunku prawdopodobieństwa jest równe
4.223. Dane są dwa zbiory A=\ 1,2,3,…,2015,2016]i B=\ 1,2,3,…,503 , 504). Rucamy sześcienną, symetryczną kostka do gry. Jeśli wypadną mniej niz trzy oczka, losujemy liczbę c ze zbioru , w przeciwnym wypadku losujemy liczbę cze zbioru B. A Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że liczba c ^ 2 + 1 będzie podzielna przez 10.
4.222. W każdym z trzech pojemników znajduje się po 10 opakowań pewnego produktu, przy czym w pierwszym pojemniku jest jedno opakowanie uszkodzone, w drugim są dwa takie opakowania, a w trzecim – trzy . Mamy wylosować dwa opa kowania. Możemy to zrobić na dwa sposoby: 1) wszystkie opakowania zsypujemy do jednego pudelka i z niego losujemy jedno cześnie dwa opakowania; 2) najpierw losujemy pudełko, a następnie losujemy dwa opakowania z tego pudel ka Przy którym sposobie losowania prawdopodobieństwo wylosowania dwóch opako wań uszkodzonych jest większe?
4.221. Z urny zawierającej 6 kul białych i 4 czarne losujemy jedną kulę i, nie ogląda ac jej wkładamy do drugiej urny, w której początkowo było 7 kul czarnych i 4 białe. Nastepnie z drugiej urny losujemy jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobień- stwo, że będą one różnego koloru.
4.220. W pierwszej urnie jest 6 kul: 2 biale, 2 czerwone, 1 zielona i 1 niebieska, w drugiej urnie jest 8 kul: 3 białe i 5 czarnych. Wybieramy losowo jedną kulę z pierwszej urny i nie oglądając jej, wkładamy do urny drugiej. Następnie z drugiej umy losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała.
4.219. Do urny zawierającej 4 kule wrzucono jedną kulę biala, a następnie z tej unny wylosowano jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowano kule Bale jeśli wszystkie przypuszczenia o początkowym skladzie kul (wedlug kolorów)
4.218. W pierwszej urnie są 4 białe kule i 2 czarne, a w drugiej 2 białe i 8 czarnych Rzucamy sześcienną, symetryczną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno oczko, to lo sujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym wypadku – jedna kulę z drugie urny. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. że wyjęto
4.217. Sklep sprzedaje żarówki wyprodukowane w firmach O i P, przy czym w każ. dej z tych firm żarówki wadliwe stanowią odpowiednio 1% i 4% produkcji. Wyznacz stosunek liczby żarówek wyprodukowanych przez firmę O do liczby żarówek wy produkowanych przez firmę P, sprzedawanych w tym sklepie tak, aby prawdopo dobieństwo kupienia żarówki wadliwej (przy losowym jej zakupie) było nie większe niż 0,02.
4.216. Fabryka wyprodukowała ten sam model samochodu w trzech kolorach: białym, czerwonym i niebieskim Stosunek liczby wyprodukowanych samochodów odpowiednio w tych kolorach był równy 25/15 . Prawdopodobieństwo, że sa- mochód będzie miał usterki powłoki lakierniczej jest równe: dla samochodu białego 0,01, dla samochodu czerwonego 0,03 i dla samochodu niebieskiego 0,02. Spośród wyprodukowanych samochodów wybrano losowo jeden. Oblicz prawdopodobień stwo, że ten samochód będzie miał usterki powloki lakierniczej.
4.215. Do pewnego magazynu pudelka dostarczają dwie fabryki, przy czym 70% dosta pochodzi z pierwszej fabryki, a pozostałe – z drugiej. Wśród pudelek do starczonych przez pierwszą fabrykę pudełka wadliwe stanowią 1% każdej dostawy a wśród pudelek dostarczonych przez drugą fabrykę 3% každej dostawy. Oblicz praw. dopodobieństwo, że losowo wybrane pudelko z tego magazynu będzie wadliwe.
4.214 Wśród wyrobów pierwszej i drugiej firmy wyroby wadliwe stanowią odpowiednio 4% i 2%. Pierwsza z tych firm dostarcza do hurtowni trzy razy więcej towaru niż druga. Oblicz prawdopodobieństwo że losowo zakupiona w tej hurtowni jedna sztuka okaże się dobra.(Da się to zrobić za pomocą drzewka?)
4.213. Do restauracji dostarczono z hurtowni pudło zawierające 30 paczek herbaty w trzech rodzajach, pochodzące z dwóch krajów. Liczbę paczek herbaty każdego typu przedstawia tabela poniżej. rodzaj herbaty czarna pochodzenie owocowa zielona Cejlon 12 4 1 1 Chiny 8 3 2 pudła wyjęto losowo jedną paczkę herbaty. Oblicz prawdopodobieństwo zda nenia: a) wyjęto paczkę herbaty owocowej, jeśli wiadomo, że paczka ta została wyprodu kowana na Cejlonie
4.212. Na trasie samochodu znajdula sie trzy skrzyżowania z sygnalizacja świetlna Na pierwszym skrzyżowaniu samochód trafia na zielone światło z prawdopodobien swem 0,4 Jeśli samochód trafi na skrzyżowaniu na światło zielone, to prawdopo że na następnym skrzyżowaniu będzie miał też światło zielone, wzrasta 015 w stosunku do analogicznego prawdopodobieństwa na poprzednim skrzy iOwaniu. Jeśli samochód trafi na światło czerwone, to prawdopodobieństwo, że na następnym skrzyżowaniu trafi na światło zielone, jest równe 0,4. Jakie jest prawdo podobieństwo, że samochód: przejedzie przez trzy skrzyżowania bez zatrzymywania b) zatrzyma się po raz pierwszy na trzecim skrzyżowaniu a) c) zatrzyma się tylko raz na drugim skrzyżowaniu?
4.211. Z talii 52 kart losujemy jednocześnie cztery karty. Oblicz prawdopodobien stwo, że wśród nich są dwa króle, jeśli jeden as wiadomo, że jest wśród nich co najmniej
4.210. Z talii 52 kart losujemy jednocześnie dwie karty. Oblicz prawdopodobien sovo, le obie będą asami, jeśli wiadomo, że żadna z nich nie jest damą.
4.209 Rzucamy trzy razy sześcienną, symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej raz pięć oczek, jeśli wiadomo, że za każdym razem wypadła inna liczba oczek?
4.208. Ze zbloru \ 1,2,3,…,9\ losujemy kolejno, bez zwracania dwie liczby. Oblicz wiadomo, le pierwsza z wylosowanych liczb jest: Liczba podzielną przez 3. trzy razy sześcienną, symetryczną kostką do gry.Jakie jest prawdo podobienstwo, że wypadnie co najmniej raz pięć oczek, jeśli wiadomo, że za każdym
4.207. Ze zbioru \ 1,2,3,…,9\ losujemy kolejno, bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że druga z wylosowanych liczb będzie nieparzysta, jeśli wia. że pierwsza z wylosowanych liczb jest: a) nieparzysta domo, b) parzysta.
4.206. Rzucamy trzy razy czworościenną, symetryczną kostką do gry. Na ściankach tej kostki wypisane są liczby od 1 do 4. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzu conych liczb będzie równa 7, jeśli na jednej kostce wypadła 1.
4.205. Rzucamy raz dwiema symetrycznymi, sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek jest większa od 8, jeśli wiadomo, że przynaj mniej na jednej kostce wypadło pięć oczek.
4.204. Rzucamy raz dwiema symetrycznymi, sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek jest liczbą parzystą, jeśli wiadomo, że na kost kach wypada różna liczba oczek.
4.203. Strzelec A trafia w cel z prawdopodobieństwem dopodobieństwem , strzelec z praw , a strzelec – z prawdopodobieństwem 0,5. Strzelcy A, 8 0, 6 C – 2 Coddali po jednym strzale do celu. Okazało się, że dwa pociski trafiły w cel. Co jest bardziej prawdopodobne: – strzelec C trafił w cel, czy też – strzelec C nie trafił w cel?
4.202. Wykaż, że jeśli A, B subset Omega , P(A)=0,8|P(B)=0,6 , to 0, 7 B – 2
4.201. Oblicz P \ A|B), hat f e jeśli wiadomo, że: a) P(A cup B)= 3 4 ,P(B)= 2 3 ,P(A)= 1 4 b) P(B)= 3 4 ,P(A^ prime cap B)= 1 3 C) P( beta|A)= 3 8 ,P(A)= 4 9 ,P(A^ prime cap B)= 1 8 P(A cap B^ prime )= 1 5 ,P(A cap B)= 2 5 ,P(A cup B)= 3 4 d) P(A|B)>= 2 3
4,200. Rzucamy pięciokrotnie czworościenną, symetryczną kostką z liczbami od , 4 na poszczególnych ścianach. Oblicz prawdopodobieństwo zda powiednio 1, 2, 3 a) liczba parzysta wypadła co najwyżej raz b) liczba 1 wypadła trzy razy.
4.198. Rzucamy siedem razy symetryczna monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) co najmniej raz wypadła reszka reszka wypadła co najwyżej jeden raz. b) 4.199. Rzucamy czterokrotnie ośmiościenną kostką do gry z liczbami odpowiednio 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 na poszczególnych ścianach. Oblicz prawdopodobieństwo zda- nenia: co najmniej raz wypadła liczba podzielna przez 3 b) liczba pierwsza wypadła dokładnie dwa razy.
4.197. Paweł zaczął trenować strzelanie z łuku. Średnio trafia do tarczy 6 razy na 10 prób. Na koniec treningu chciał jeszcze raz trafić do tarczy, więc postanowił strzelać tyle razy, aż trafi. Oblicz, przy ilu co najmniej próbach prawdopodobieństwo ria, że Paweł trafi do tarczy, jest większe od 0, 96 ? zdarze
4.196. Ktoś wkłada 3) zupelnie dowolnego włożenia biletów do kopert 5) takiego włożenia biletów, aby bilety na miejsca oznaczone numerami parzystymi znalazły się w czerwonych kopertach c) takiego włozenia biletów, aby na pewno bilety na miejsca 1, 2, 3 i 4 znalazły się w niebieskich kopertach?
4.195. Na strzelnicy w wesołym miasteczku można wygrać wielkiego pluszowego w następujący sposób. Kupujemy 1 próbę polegającą na rzucie strzalka do krę cacej się tarczy, na której znajdują się takiej samej wielkości 4 pola czerwone, 8 pól tych7 12 pól czarnych. Jeśli strzalka trafi w pole czerwone, to wygrywamy misia; jesli w pole czarne, to przegrywamy; a jeśli w pole żółte, to powtarzamy rzut. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupując 1 próbe, wygramy misia w co najwyżej dwóch rzutach losowo 12 biletów do kina (na numerowane od 1 do 12 miej sca w jednym rzędzie) do 12 kopert, wśród których jest tyle samo kopert czerwo rych co niebieskich (koperty tego samego koloru traktujemy jako nierozróżnialne). lle jest możliwości:
4.194. Strzelec trafia do tarczy z prawdopodobieństwem 0,7. Ma 4 naboje. Posta powstrzelać do pierwszego trafienia lub do wyczerpania nabojów. Oblicz prawdo
4.193. Michał trenuje koszykówkę. Średnio trafia do kosza z linii rzutów wolnych 8 razy na 10 rzutów. Sędzia podyktował trzy rzuty wolne w wykonaniu Michała. Oblici prawdopodobieństwo zdarzenia, że Michał trafi do kosza co najmniej dwa razy.
4.192. Mamy sześcienną kostkę, w której na jednej ściance znajduje się cyfra 1, na dwóch ściankach znajduje się cyfra 2, a na trzech pozostałych ściankach – cyfra 3. Rzucamy trzykrotnie tą kostką i tworzymy liczbę trzycyfrową z otrzymanych cyfr. Oblicz prawdopodobieństwo, że powstała liczba jest utworzona z jednakowych
4.191. Symetryczna, sześcienna kostka do gry ma cyfrę 1 na jednej ścianie, cyfrę 2 na dwóch ścianach i cyfrę 3 na trzech ścianach. Wykonujemy dwukrotny rzut ta kostką i z cyfr, które otrzymaliśmy, tworzymy liczbę dwucyfrową. Narysuj drzewo dla tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) otrzymana liczba dwucyfrowa jest pierwsza b) cyfra dziesiątek otrzymanej liczby jest większa od cyfry jedności.
4.190. Na sześciennej, symetrycznej kostce do gry cztery ściany są pomalowane na biało, a dwie na czerwono. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wykonując trzy rzuty tą kostką, otrzymamy ścianę czerwoną: a) tylko jeden raz b) co najwyżej raz.
4.189. W rzucie niesymetryczna moneta prawdopodobieństwo otrzymania orda 2/5, areszki – 3/5 Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dwóch ortów jest równe w trzykrotnym rzucie tą moneta.
4.188. W pudelku znajduje się 8 losów pustych i pewna liczba losów wygrywają cych. Wybieramy losowo dwa losy. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 17/45 Ile było losów wygrywających w jednego losu wygrywającego jest większe od pudełku przed losowaniem? Doświadczenia losowe wieloetapowe cyfi.
4.187. W sklepie w kartonie znajduje się 20 zarówek, w tym pewna liczba żarówek Wybieramy losowo dwie żarówki, lle co najwyżej dobrych żarówek znaj duje się w tym kartonie, jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania jednej żarówki dobrej i jednej wadliwej jest większe od 0,1? wadliwych.
4.186. W koszu jest pewna liczba pilek do siatkówki i mniejsza liczba piłek do ko szykówki losowaniu dwóch piłek prawdopodobieństwo wylosowania piłek do tej samej dys cypliny sportowej jest takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania do dwóch – razem 9 piłek. Ile jest w koszu piłek do siatkówki, jeśli przy jednoczesnym fóżnych dyscyplin?
4.185. W pudelku jest pewna liczba kul białych i jedna kula czarna. Losujemy jedną bulę, zatrzymujemy ją, a następnie z pozostałych kul losujemy jedna kulę. Ile powin to być kul białych w pudełku, aby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul 2 3 : białych było równe =?
4.184. w klasie IIIb, liczącej mniej niż 30 osób, jest 15 dziewcząt i pewna liczba chlopców Wybieramy dwie osoby z tej klasy. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wybranych osób jest jedna dziewczynka i jeden chłopiec, jest równe 0,5. Ilu chlopców jest w tej klasie?
4.183. Ze zbioru wierzchołków pewnego wielokąta wypukłego wybieramy losowo dwa wierzchołki. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrane wierzchołki wyzna cają przekątną tego wielokąta, jest równe 0,8. Ile wierzchołków ma wielokąt?
4.182. Ze zbioru liczb \ 1,2,3,…,n\ ), gdzien eta in N n >= 2 losujemy kolejno dwa razy jedna liczbę ze zwracaniem. Prawdopodobieństwo otrzymania za pierwszym razem Tazby większej niż za drugim razem jest równe 7/16 Oblicz n.
4.181. W pudelku z maskotkami były misie i pieski, przy czym misiów więcej niż piesków. Wybieramy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej maskotce. Prawdopodobieństwo wylosowania za pierwszym razem misia i za drugim razem pieska jest równe 15/76 Oblicz, ile piesków i ile misiów było na początku w pudelku.
4.180 W klasie IIIa jest o 4 chłopców więcej niż dziewcząt.Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba z tej klasy dziewczynką, jest równe 7/16.Oblicz,ile osób jest w tej klasie
4.179. Z tali 24 kart (asy, króle, damy, walety, dziesiątki, dziewiątki) losujemy 3) wszystkie wylosowane karty są tego samego koloru (pik, kier, karo albo trefl) c) otrzymaliśmy jedną trójkę (figur lub dziesiątek lub dziewiątek) i jedna parę dwie różne pary (np. dama, dama, dziesiątka, dziesiątka, król). klasie Ilia jest o 4 chłopców więcej niż dziewcząt. Prawdopodobieństwo, te losowo wybrana osoba z tej klasy jest dziewczynką, jest równe osób jest w klasie Illa 7/16
4.178. W pudelku znajdują się rozróżnialne kule: 3 kule białe, 4 czarne i 5 nie bieskich. Wybieramy losowo trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowane kule będą: a) każda w innym kolorze b) w jednym kolorze.
4.177. Partię 60 sztuk towaru poddaje się kontroli przez wylosowanie trzech sztuk i sprawdzenie ich jakości. Partię towaru odrzuca się, jeśli co najmniej jedna wyloso wana sztuka jest wadliwa. W przeciwnym przypadku partia towaru zostaje przyjęta. Co jest bardziej prawdopodobne: odrzucenie partii zawierającej 5% sztuk wadli wych, czy przyjęcie partii zawierającej 65% sztuk wadliwych?
4.176. Partię 50 sztuk towaru poddaje się kontroli w następujący sposób. Losuje się dwie sztuki i sprawdza ich jakość. Jeśli co najmniej jedna z nich jest wadliwa, to odrzuca się całą partię. W przeciwnym przypadku partia zostaje przyjęta. Co jest bar dziej prawdopodobne: odrzucenie partii zawierającej 4% sztuk wadliwych, czy przy jęcie partii zawierającej 70% sztuk wadliwych? Wykonaj odpowiednie obliczenia.
4.175. Na loterii znajduje się 6 losów wygrywających: jeden z wygrana 30 zł, dwa – po 20 zl i trzy – po 10 zł. Pozostale 4 losy są puste. Wybieramy losowo dwa losy Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wygramy kwotę równa 30 zł.
4.174. Student umie odpowiedzieć na 30 spośród 50 pytań zamieszczonych w ze stawie egzaminacyjnym. Losuje kolejno dwa pytania. Jeśli odpowie dobrze na przy z nich, to zda egzamin Oblicz prawdopodobieństwo, że student zda najmniej jedno egzamin.
4.173. W pudelku znajdują się 4 losy wygrywające i 6 losów pustych. Losujemy kolejno, bez zwracania, dwa razy po jednym losie. Oblicz prawdopodobieństwo wy. losowania: a) dwóch losów wygrywających b) co najmniej jednego losu wygrywającego. Czy prawdopodobieństwa te ulegną zmianie, gdy wybierzemy od razu dwa losy (bez ustalania ich kolejności)? Wykonaj odpowiednie obliczenia.
4.172. W klasie Ille jest 21 dziewcząt i 11 chłopców. Wybieramy kolejno dwie osoby itworzymy parę przedstawicieli klasy na szkolną uroczystość. Oblicz prawdopodo biefstwo zdarzenia, że w wybranej parze znajduje się: a) jedna dziewczynka i jeden chlopiec b) co najmniej jedna dziewczynka. Czy prawdopodobieństwa te ulegną zmianie, gdy wybierzemy od razu dwie osoby (bez ustalania kolejności)? Wykonaj odpowiednie obliczenia.
4. 171. W pudełku znajdują się rozróżnialne kule: 5 kul niebieskich, 4 kule czerwo ne i jedna zielona. Losujemy kolejno dwa razy po jednej kuli. Oblicz prawdopodo bieristwo zdarzenia, że wylosowane kule są różnego koloru, jeśli losowanie odby walo się: al bez zwracania pierwszej wylosowanej kuli do pudełka b) ze zwracaniem pierwszej wylosowanej kuli do pudelka.
4.170. Kasia w jednej szufladzie ma 3 czapki: biala, czarną i zieloną, a w drugiej szufladzie cztery szaliki: biały, czarny i dwa zielone. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybierając losowo jedną czapkę i jeden szalik, Kasia wybierze czapkę i szalik w jednym kolorze.
4 169. Sześciu przyjaciół, wśród nich Jacek i Placek, wybrało się do kina. Mają bi- kolejnymi miejscami w jednym rzędzie. Zakładając, że usiądą losowo na tych miejscach, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: al Jacek i Placek usiądą na miejscach najbardziej od siebie odległych b) Jacek Placek usiądą na dwóch pierwszych miejscach, w podanej kolejności, licząc od lewej strony d między Jackiem i Plackiem usiądzie jeszcze jedna osoba.
4.168. W szeregu ustawiamy losowo 3 kobiety i mężczyzn. Oblicz prawdopodo bierlstwo zdarzenia, że: 2) najpierw stoją kobiety, a potem mężczyźni 6) radne dwie osoby tej samej płci nie stoją obok siebie.
4.167. Rzucamy trzema symetrycznymi, sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma otrzymanych oczek jest liczbą podzielna
4.166. Rzucamy trzema czworościennymi symetrycznymi kostkami z liczbami 1, 2, 34 na poszczególnych ściankach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma
4.165. Na parterze bloku mającego (oprócz parteru) 6 6 Pieter wsiadlo do windy 2) wszystkie osoby wysiądą na jednym piętrze (kolejność wychodzenia z windy na 4) kaida osoba wysiądzie na innym piętrze.
4.164. Cztery ponumerowane kule umieszczono losowo w czterech ponumerowa nych szufladach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) każda kula trafi do innej szuflady b) wszystkie kule trafią do jednej szuflady.
4.163. Rzucamy dwiema dziesięciościennymi symetrycznymi kostkami, kazda z liczbami odpowiednio 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\ na poszczególnych ściankach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) suma otrzymanych liczb jest podzielna przez 7 b) iloczyn otrzymanych liczb jest podzielny przez 15.
4.162. Ze zbioru cyfr ( ,2,3,4,5,6,7,8,9\ losujemy kolejno dwie cyfry bez zwra cania i tworzymy liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a) otrzymana liczba jest większa od 35 b) otrzymana liczba jest podzielna przez 6.
4.161. Ze zbioru liczb dwucyfrowych dodatnich losujemy kolejno dwa razy ze zwra caniem jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) za pierwszym razem wylosujemy liczbę większą niż za drugim razem b) suma wylosowanych liczb będzie liczbą mniejszą od 30.
4.160. Ze zbioru cyfr \ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\ ) losujemy ze zwracaniem kolejno dwie cyfry i tworzymy liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) utworzona liczba jest podzielna przez 11 b) utworzona liczba jest nieparzysta c) iloczyn cyfr tej liczby jest większy od 50 d) co najmniej jedna cyfra tej liczby jest parzysta
4.159. Ze zbioru cyfr ( 1,2,3,4,5\ losujemy bez zwracania kolejno dwie cyfry i two rzymy liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że: utworzona liczba jest parzysta b) utworzona liczba jest niepodzielna przez 3 a) c) co najmniej jedna z cyfr tej liczby jest pierwsza d) różnica cyfr tej liczby jest podzielna przez 2.
4.158. Ze zbioru cyfr (5, 6, 7, 8) losujemy kolejno ze zwracaniem dwie cyfry i two rzymy liczbę dwucyfrową. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne tego doświad. czenia losowego. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) utworzona liczba jest większa od 65 b) utworzona liczba jest podzielna przez 4 suma cyfr tej liczby jest liczba pierwszą c) d) cyfra dziesiątek rózni się od cyfry jedności o 1.
4.157. Rzucamy dwiema symetrycznymi, sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest: 3) większy od 4 i mniejszy od 12 b) podzielny przez 4 lub przez 6 c) podzielny przez 5 i nie jest podzielny przez 10 ) nie mniejszy od sumy wyrzuconych oczek.
4.156. Rzucamy dwiema symetrycznymi, sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma liczb wyrzuconych oczek jest: a) mniejsza od 10 b) parzysta ) podzielna przez 3 d) dzielnikiem liczby 24.
4.155. Rzucamy kolejno trzy razy symetryczną monetą. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) orzeł wypadnie co najwyżej raz b) reszka wypadnie co najmniej raz d za drugim razem wypadnie orzel, a za trzecim reszka.
4.154. Ze zbioru liczb trzycyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodo bienstwo wylosowania: a) liczby podzielnej przez 2 lub przez 3 b) liczby podzielnej przez 5 i niepodzielnej przez 3 traby, której reszta z dzielenia przez 4 jest równa 3 liczby, której reszta z dzielenia przez 5 jest równa 2 lub 4.
4.153. Ze zbioru liczb dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodo pienistwo zdarzenia: 2) wylosowana liczba jest podzielna przez 2 i przez 5 b) wylosowana liczba jest podzielna przez 2 lub przez 5 ) wylosowana liczba jest podzielna przez 10 lub przez 15 d) wylosowana liczba jest podzielna przez 15 i nie jest podzielna przez 20.
4.152. Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowa 5) treflem lub pikiem asem i nie jest treflem j królem lub kierem p arty, która jest: karta mlodszą od siódemki (szóstka lub piątka lub czwórka lub trójka lub dwójka).
4.151. Sześcian pomalowano, a następnie rozcięto na 64 jednakowe sześcianiki, które wrzucono do pudelka i wymieszano. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowa nia z tego pudelka jednego sześcianika, który będzie miał: a) trzy ściany pomalowane b) jedną lub dwie ściany pomalowane. Oblicz
4.150. Rzucamy symetryczną dziesięciościenną kostką do gry, z cyframi na ścian. kach od 0 do 9. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana cyfra jest: a) liczbą pierwszą i nie jest liczbą nieparzystą b) wylosowana cyfra jest podzielna przez 3 lub jest większa od 7
4.149. Rzucamy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobien stwo zdarzenia: a) wypadła parzysta liczba oczek lub mniejsza niż 3 b) wypadła nieparzysta liczba oczek i jednocześnie nie będąca dzielnikiem liczby 6.
4.148. Biatlonista w jednej serii strzela pięć razy do celu. Prawdopodobieństwo że trafi co najmniej trzy razy, jest równe 4/5 a prawdopodobieństwo, że trafi co naj. wyżej trzy razy, wynosi 7/15 Jakie jest prawdopodobieństwo, że biatlonista w jednej serii trafi do celu trzy razy? Prawdopodobieństwo klasyczne
4.147. W pudelku znajdują się kartki z różnymi numerami. Prawdopodobieństwo wylosowania kartki z numerem nie większym niż 10 jest równe 3/4 a prawdopodo ‘ bieństwo wyłosowania kartki z numerem nie mniejszym niż 10 jest równe prawdopodobieństwo wylosowania kartki z numerem 10. 3/5
4.146. W rzucie niesymetryczna, sześcienna kostka ścianka z dwoma oczkami Ścianka z sześcioma oczkami wypada trzy razy częściej niz kazda z pozostałych ścia. nek. Rzucamy jeden raz tą kostką. Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia ścian z jednym oczkiem b) z sześcioma oczkami a) c) z parzystą liczbą oczek.
4.145. Kostka sześcienna została wykonana z materiału, który nie jest jednorodny. Scianka z jednym oczkiem wypada dwa razy częściej niż każda z pozostałych ścianek. Wykonujemy jeden rzut tą kostką. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania niepa Parzystej liczby oczek. oraz
4.144 O zdarzeniach A, P(A cap B)>= 1 8 ,Wykaz , że: P(A – B) < 1/4 a) 3 subset Omega wiadomo, że P(A^ prime )>= 2 3 ,P(B)= 3 8 b) P(A cup B)<= 7
4.143. O pewnym zdarzeniu A subset Omega wiadomo, że P(A^ prime )>=0,9,Wykai , że dla dowol nego zdarzenia B 3 subset Omega zachodzi nierówność P(A cap B)<0,2 .
4.142. Dane są zdarzenia A,B subset Omega 2. Wiadomo, że P(A^ prime )=0,91iP(A cap B)=0,01 oraz P(A cup B)=0,21 . Oblicz: P(B) , P(B-(A cap B)) , P((A cup B)-(A cap B))
4.141. Dane są zdarzenia P(A cap B)=0,04,Oblicz : P(A cup B) , P((A cup B)-A),P(A cap B^ prime ) . A,BC N. Wiadomo, że P(A^ prime )=0,83iP(B^ prime )=0,88 ora2
4.140. Dane są zdarzenia A,B subset Omega takie , że P(A)=0,12:P(B^ prime )=0,7 oraz P(A cup B)=0,4 . Oblicz: P(A cap B) P(A – B) , P(A^ prime cap B)
4.138. Dane są zdarzenia A 1,8 subset Omega Wiadomo, że P(A cup B)=0,5 |P(A)=P(A cap B)= 1 3 Oblicz P(B), P(B – A) . 4.139. Dane są dwa zdarzenia A,B subset Omega takie, że P(A^ prime )=0,69|P(B^ prime )=0,3 . Czy zda rzenia A i B się wykluczają? Odpowiedź uzasadnij.
4.137. Z talii 52 kart losujemy 7 kart. Niech A oznacza zdarzenie – wylosowaliśmy 4 asy, B- wylosowaliśmy 2 damy, C- wylosowaliśmy co najwyżej 3 trefle. Wyznacz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu: a) A cap B b) A cup B c) C d) A cap C Określenie prawdopodobieństwa
4.136. Z grupy dwóch kobiet i czterech mężczyzn losujemy trzyosobową delegację a) Ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia? b) Wyznacz liczbę elementów sprzyjających zdarzeniu A – w wybranej delegacji znajduje się co najmniej dwóch mężczyzn. c) Wyznacz liczbę elementów sprzyjających zdarzeniu B – w wybranej delegacji znajduje się co najmniej jedna kobieta. d) Wypisz elementy sprzyjające zdarzeniu A^ prime cap B .
4.135. Doświadczenie losowe polega na pięciokrotnym rzucie monetą. Niech A oznacza zdarzenie: co najmniej raz wypadł orzeł, zaś B – reszka wypadła co najwyżej 3 razy a) Opisz zdarzenia przeciwne do zdarzeń A i B. Podaj liczebność zbiorów A^ prime iB^ prime . b) Czy prawdziwe są równości: (A cup B)^ prime =A^ prime cup^ prime B’ oraz (A cap B)^ prime =A^ prime cap B^ prime ? Odpo wiedź uzasadnij.
4.134. Rzucamy trzykrotnie moneta. Oznaczmy zdarzenia: A – reszka wypadła co najwyżej raz, B- orzel wypadł co najmniej raz, C- reszka wypadła dwa razy. a) Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom: A, B, C,A^ prime ,B^ prime ,C C. b) Jaka zależność zachodzi między zdarzeniami A IB, CIB, AUCIB oraz B’i A? c) Co można powiedzieć o zdarzeniach: B cup C^ prime ‘, B’ C?
4.133. Ze zbioru \ 0,1,2,3,4,5,6\ losujemy dwa razy po jednej liczbie. Oblicz, ile zdarzeń elementarnych sprzyja zdarzeniu A- iloczyn wylosowanych liczb jest liczba podzielną przez 2 i przez 3, j jeśli a) losujemy bez zwracania b) losujemy ze zwracaniem.
4.132. Ze zbioru 1,2,3,4,5\ ) losujemy dwa razy po jednej liczbie. Oblicz, ile zda rzen elementarnych sprzyja zdarzeniu A – suma wylosowanych liczb jest liczbą pa rzystą, jeśli: a) losujemy ze zwracaniem b) losujemy bez zwracania.
4.131. Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie dwiema sześcien nymi kostkami do gry: czarną i zieloną. Ile jest takich wyników doświadczenia, dla których suma oczek na obu kostkach jest podzielna przez 3? Zadanie to możemy rozwiązać, wykorzystując poniższa tabelkę. W pierwszym Wierszu tej tabelki wpisujemy liczby oczek, jakie mogą wypaść na zielonej kost ce, a w pierwszej kolumnie od lewej – liczby oczek, które mogą wypaść na czarnej kostce. W pozostałych polach wpisujemy sumy oczek odpowiadające poszczegól nym wynikom doświadczenia. 8 A N 4 8 2 7 5 1 F Illc Na koniec liczymy pola, na których występują liczby podzielne przez 3: jest ich 12 Postępując analogicznie, oblicz, ile jest możliwych wyników tego doświadczenia, dla których iloczyn oczek na obu kostkach jest nie większy niż 12
4.130. W klasie Illd jest 18 dziewcząt i 14 chłopców, z których 22 osoby uczęszczają na koło chemiczne lub kolo biologiczne jak na diagramie ponizej. Z tej klasy wybrano losowo jedna osobę. Niech zdarzenia A, B, C, D oznaczają odpowiednio zdarzenia: A- wybrana osoba chodzi na koło chemiczne B-wybrana osoba chodzi na koło biologiczne C-wybrana osoba jest chłopcem D-wybrana osoba jest dziewczyną. lle zdarzeń elementarnych sprzyja zdarzeniom: a) AUC b D cap(A cup B) c) C cap B d) A^ prime cup B^ prime Opisz słownie powyższe zdarzenia. e) A^ prime cap B^ prime cap D f) A cap(C cup D)? CA D 4 4 5 7 2 1 3 | В 2
4.129. Poniższy diagram przedstawia, ile osób jest w klasie Illc oraz ile spośród nich uczy się poszczególnych języków obcych: języka angielskiego (A), języka niemieckie go (N) i języka francuskiego (F). Wiadomo, że każda osoba z tej klasy uczy się co naj mniej jednego języka obcego. Z klasy lilc wybrano losowo jedną osobę. Ile zdarzeń elementarnych sprzyja zdarzeniu, że wybrana osoba: a) uczy się jednocześnie wszystkich wymienionych je zyków b) uczy się języka niemieckiego lub francuskiego c) nie uczy się języka niemieckiego d) uczy się co najmniej dwóch języków e) uczy się języka angielskiego i nie uczy się języka francuskiego f) nie uczy się języka niemieckiego lub nie uczy się je zyka francuskiego? Zapisz te zdarzenia za pomocą zdarzen A, F, N N.
4.128. Klasa Illa liczy 32 uczniów, z których 15 trenuje siatkówkę, 12 trenuje ko szykówkę, a tylko 8 osób nie trenuje żadnej z wymienionych dyscyplin. Liczba osób trenujących jednocześnie siatkówkę i koszykówkę jest najmniejsza z możliwych. Wy bieramy losowo jedną osobę z tej klasy. Niech S oznacza zdarzenie: wybrana osoba trenuje siatkówkę, zaś K – 2darzenie , że wybrana osoba trenuje koszykówkę. Opisz zdarzenie S – Kipodaj , ile zdarzeń elementarnych sprzyja temu zdarzeniu. Zadanie to można rozwiązać w następujący sposób. Tworzymy diagram przedsta wiający przestrzeń z wyróżnionymi zdarzeniami Sik oraz podajemy moc poszcze gólnych zdarzeń na diagramie. W tym celu ustalamy moc zdarzenia S cap K (która jest najmniejsza z możliwych): overline S cup K =32-8=24 , stąd K S cap K=15+12-24=3 Otrzymujemy: S-K zdarzenie, że losowo wybrana osoba trenuje siatkówkę i jednocześnie nie trenuje koszykówki overline s-k =12 12 9 8
4.127. Rzucamy jeden raz monetą i jeden raz sześcienna kostką do gry, która na poszczególnych ściankach ma liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 6. Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom: A-wypadł orzeł lub reszka i liczba 5 B-wypadła reszka i liczba oczek będąca liczbą pierwszą C-wypadła liczba będąca dzielnikiem liczby 12 D-wypadł orzel lub wypadła liczba 1.
4.126. Doświadczenie losowe polega na wylosowaniu jednej liczby ze zbioru (10, 11,12,13,14,15\ ). Oznaczmy zdarzenia: A – wylosowana liczba jest liczbą pierw szą, beta – W wylosowana liczba jest większa od 12, C- wylosowana liczba jest podziel na przez 3. Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom: A, B, C, A-8 cup C,C cap B^ prime ,A^ prime cup B ‘.
4.125. Doświadczenie losowe polega na wylosowaniu jednej karty z talii 52 kart Oznaczmy zdarzenia: A – wylosowana karta jest pikiem, B – wylosowana karta jest koloru czerwonego, A cap C cap C C8 A-C i – wylosowana karta jest asem. Opisz słowami zdarzenia: B^ prime -A,A^ prime cap C
4.124. Niech A, B będą dowolnymi zdarzeniami zawartymi w przestrzeni 2. Zapisz za pomocą A, B, A’ lub B’ następujące zdarzenia: a) zaszło co najmniej jedno ze zdarzeń A, B 6) zaszło tylko jedno ze zdarzeń A, B
4.123. Basia ma w dwóch pudełkach kartki z zapisanymi cyframi, po jednej na kaz dej kartce: w pierwszym pudelku są 4 kartki z cyframi 1, 2, 3, 4, w drugim – dwie kartki z cyframi 5 i 6. Basia chce wybrać losowo jedna cyfrę w następujący sposób. Wykona rzut monetą: jeśli wypadnie reszka, to Basia wylosuje kartkę z pierwszego pudelka; jeśli wypadnie orzeł, to dziewczynka wybierze losowo kartkę z drugiego pudelka. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne danego doświadczenia losowego. Zdarzenia. Działania na zdarzeniach
4.122. Piotrek z talii kart wybrał same figury, tzn. po cztery asy, króle, damy, walety, Następnie przetasował wybrane karty i wylosowal kolejno trzy spośród nich: pierw sia otrzymała jego siostra Teresa, druga – brat Janusz, a trzecią zachował dla siebie. Zapisz symbolicznie przestrzeń zdarzeń elementarnych i podaj liczbę tych zdarzeń elementarnych
4.121. Bartek i Hubert grają w pewną grę. Każdy w swojej kolejce wykonuje rzut trzema monetami o różnych nominałach: 10 gr, 20 gr, 50 gr i zapisuje na kartce poszczególne nominały lub wpisuje dla danej monety wartość 0, jeśli wypadł orzel. wpisz wszystkie możliwe wyniki takiego rzutu. Ile jest wszystkich zdarzen elemen tamych tego doświadczenia?
4.120. Ze zbioru cyfr (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) losujemy kolejno trzy cyfry i tworzymy liczbę w której cyfrą setek, dziesiątek i jedności są odpowiednio wylosowane symbolicznie przestrzeń zdarzen elementarnych tego doświad trzycyfrową, kolejno cyfry. Opisz wenia i określ liczbę tych zdarzeń elementarnych w przypadku, gdy: A losowanie odbywa się bez zwracania.
4.119. Zapisz przestrzeń zdarzeń elementarnych dla następujących doświadczeń 3) losowanie kolejno dwóch elementów: pierwszego ze zbioru \ 1,2,3,4\ wowych: zbioru 1) losowanie kolejno ze zwracaniem trzech liter ze zbioru losowanie kolejno bez zwracania trzech liter ze zbioru losowanie kolejno czterech cyfr ze zwracaniem ze zbioru \ a,b,c) , drugiego ze \ A,B,C,D,E\ \ A,B,C,D,E,F\ \ 1,2,3\ .
4.118. Zapisz przestrzeń zdarzeń elementarnych losowych: dla następujących doświadczeń a) losowanie jednej kuli z urny, w której są 3 kule białe, 2 czerwone i 1 niebieska (kule w tym samym kolorze są rozróżnialne) b) losowanie jednocześnie dwóch kul z pojemnika, w którym są 2 kule białe i 3 czer wone c) losowanie jednocześnie trzech osób z grupy złożonej z pięciu osób: A,B,C,D, E losowanie grupy pięciu osób z grupy złożonej z sześciu osób A, B, C, D, E, F. d)
4.117. Zapisz przestrzeń zdarzeń elementarnych dla następujących doświadczeń losowych: a) rzut kostka sześcienną, której trzy ściany pomalowane są na czerwono, jedna na biało, jedna na żółto i jedna na niebiesko rzut dwiema kostkami sześciennymi (z oczkami odpowiednio od 1 do 6) c) rzut kostką sześcienną i moneta b) d) rzut trzema monetami.
4.116. Ile jest rozwiązań równania x + y + z = 10 , które składają się z trzech liczb naturalnych dodatnich? Doświadczenie losowe
4.115. Rozważmy równanie x + y + z = 10 10. Jego rozwiązaniami są uporządkowane trójki liczb. Ile jest takich rozwiązań, które skladają się z trzech liczb naturalnych?
4.114. lle różnych napisów trzyliterowych złożonych z różnych liter można otrzy mac z 24 liter alfabetu, zakładając, że litery w każdym napisie należą do grupy skla. dającej się z pięciu stojących obok siebie w alfabecie liter?
4.113. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których zapisie cyfry tworzą ciąg: a) rosnący “b) niemalejący? *
4.112 . Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie cyfry tworzą ciag nierosnący?
4.111. Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie cyfry tworzą ciąg niemalejący?
4.110. le jest liczb pięciocyfrowych, w których zapisie występuje cyfra 6 i cyfry tworzą ciąg malejący?
4.109. Ile jest liczb pięciocyfrowych, w których zapisie występuje cyfra 7 i cyfry tworzą ciąg rosnący?
4.108. Ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie cyfry tworzą ciąg malejący?
4.107. Ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie cyfry tworzą ciąg rosnący?
4.106. Ile jest liczb dwudziestocyfrowych, w których suma cyfr jest równa 4
4.105. Ile jest liczb piętnastocyfrowych, w których suma cyfr jest równa 3?
4.104. Ze zbioru liczb \ 1,2,3,… …,11} losujemy jednocześnie trzy. Ile jest możliwych wyników losowania, tak aby: a) suma wylosowanych liczb była nieparzysta b) iloczyn wylosowanych liczb był nieparzysty d iloczyn wylosowanych liczb był parzysty d) iloczyn wylosowanych liczb był podzielny przez 10?
4.103. Ze zbioru liczb \ 1,2,3,…,15\ losujemy jednocześnie dwie. lle jest możli wych wyników losowania, tak aby: a) suma obu liczb była parzysta ) iloczyn obu liczb był parzysty b) suma obu liczb byla nieparzysta d) iloczyn obu liczb był podzielny przez 8?
4.102. Ile jest wszystkich podzbiorów zbioru: a) czteroelementowego b) pięcioelementowego?
4.101. Piętnaście osób trzeba podzielić na trzy grupy, po pięć osób w każdej grupie. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli uporządkowanie w grupie nie ma znaczenia a kolejność grup oraz. jest istotna b) kolejność grup nie jest istotna?
4.100. Mamy 12 książek, wśród których są książki A, B, C. Wkladamy je do trzech partumerowanych pudelek, do każdego po 4 książki. Ile jest możliwości takiego ulo .) w pierwszym pudelku znalazły się książki AiB, a w trzecim – książka C
4.99. W przedziale wagonu kolejowego jest osiem numerowanych miejsc (w dwóch rzędach naprzeciwko siebie). Do przedziału weszły cztery osoby. Na ile sposobów mogą one zająć miejsca w tym przedziale, tak aby: a) w każdym rzędzie siedziały po dwie osoby naprzeciwko osób siedzących w dru gim rzędzie d) POTOP?
4.98. Stonoga – wbrew nazwie — ma tylko siedem par nóg. Na nogi ma włożyć sie dem par kaloszy (każda para jest w innym kolorze). Na ile sposobów może to zrobić, jesli: a) nie rozróżnia kolorów ani butów lewych i prawych b) rozróżnia kolory (na każdą parę nóg włoży buty w tym samym kolorze), lecz nie rozróżnia butów lewych i prawych c) nie rozróżnia kolorów, lecz rozróżnia buty lewe i prawe d) rozróżnia kolory i rozróżnia buty lewe i prawe?
4.97. Ile jest liczb ośmiocyfrowych, w których zapisie cyfra 2 występuje trzy razy, cyfrą dziesiątek jest 7, a pozostałe cyfry są różne i inne niz wymienione cyfry?
4.96. Ile jest liczb pięciocyfrowych, w których zapisie 0 występuje co najwyżej raz, a cyfra jedności jest większa od 6?
4.95. lle jest liczb ośmiocyfrowych, w których zapisie 0 występuje 5 razy, a pozosta le cyfry są nieparzyste?
4.94. Ile jest liczb siedmiocyfrowych, w których zapisie cyfra 4 występuje trzy razy, cyfra 5 – dwa razy, a cyfra 0 ani razu?
4.93. Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których zapisie cyfra 5 występuje: a) 2 razy b) nie więcej niż dwa razy?
4.92. Podczas rozwiązywania zadań z kombinatoryki w pewnej klasie jeden z uczniów, doskonały z biologii, ze zdziwieniem stwierdził, że liczba wyrazów (ma jących sens lub nie) otrzymanych z przestawienia liter wyrazu PRAWDOPODOBIEN. STWO jest porównywalna z liczbą tzw. synaps neuronów (czyli styków pomiędzy neuronami) w korze mózgowej człowieka. Ile synaps ma kora mózgowa człowieka?
4.91, ile rôznych wyrazów, mających sens lub nie, można ułożyć, przestawiając litery wyrazu a) TOTALIZATOR b) ABRAKADABRA?
4.90. Ile różnych wyrazów, mających sens lub nie, można ulożyć, przestawiając litery wyrazu: a) SPANIEL b) TEMAT c) AGAWA
4.89. Ile jest różnych liczb siedmiocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach nale zących do zbioru \ 0,1,2,3,4,5,6\ i jednocześnie: a) parzystych b) podzielnych przez 4?
4.88. Ile jest różnych liczb pięciocyfrowych, w których zapisie wykorzystano wszyst kie cyfry ze zbioru [0,1,2,3,4\ ; a) dowolnych b) podzielnych przez 5?
4.87 Wykaż, że w 25-osobowej klasie są co najmniej trzy osoby, które urodziły się w tym samym miesiącu.
4.86. W pewnej grupie 60% wszystkich osób zna język hiszpański, a 50\%-jezyl rosyjski. Ile procent osób co najmniej i ile procent osób co najwyżej zna obydwa języki?
4.85. W grupie 27 osób przeprowadzono ankietę, z której wynikało, że 20 osób zna jezyk niemiecki, a 15 – jezyk francuski. Ile co najwyżej osób zna tylko jeden z tych języków?
4.84. W liceum 25 dziewcząt z klas drugich uczęszcza na zajęcia SKS: siatkówki lub piki ręcznej. Wiadomo, że siatkówkę trenuje 16 dziewcząt. Ile dziewcząt trenuje jeśli wiadomo, że liczba dziewcząt trenujących tylko piłkę ręcz- co jest równa liczbie dziewcząt trenujących tylko siatkówkę i jest ona najmniejsza z możliwych?
4.83. W liceum odbywają się zajęcia SKS z siatkówki i koszykówki. W pewnej grupie chlopców tej szkoły dwunastu chodzi na koszykówkę, piętnastu na siatkówkę, a tyl lo pięciu na obydwa zajęcia SKS. Ilu co najmniej chłopców liczy ta grupa?
4.82. Grupe 12 drużyn sportowych, wśród których są drużyny A, B, C, dzielimy na way równe podgrupy w taki sposób, że każda z drużyn A, B, C znajduje się w innej Kombinatoryka – zadania różne odbywają się zajęcia SKS z siatkówki i koszykówki. W pewnej grupie chlopców tej szkoły dwunastu chodzi na koszykówkę, piętnastu na siatkówkę, a tyl lo pięciu na obydwa zajęcia SKS. Ilu co najmniej chłopców liczy ta grupa?
4.81. Każdemu z czterech graczy należy przydzielić 13 kart z talii 52-kartowej. Na 10 po dwie damy?
4.80. Z talii 52 kart losujemy cztery karty. Ile jest możliwych wyników losowania, jeśli wśród nich mają być: a) trzy kiery b) co najwyżej trzy kiery c) dwa kiery, jeden pik i jeden treft?
4.79. Z talii 52 kart losujemy cztery karty. Ile jest możliwych wyników losowania, jeśli wśród tych czterech kart mają być: a) dwie damy i dwa asy b) trzy karty młodsze od dziewiątki i jeden król c) trzy figury (figury to: as, dama, król i walet) i jedna karta nie będąca figurą?
4.78. W urnie jest 5 kul białych, 4 czarne i 6 zielonych. Losujemy trzy kule. Ile jest możliwych wyników losowania, jeśli: a) każda z wylosowanych kul musi być innego koloru b) wszystkie trzy kule mają być tego samego koloru c) wśród trzech kul dwie muszą być tego samego koloru?
4.77. W urnie jest 7 kul białych, 2 czarne i 1 zielona. Ile jest możliwych sposobów wyboru dwóch kul z tej urny, tak by: a) kule byty różnych kolorów c) kule były tego samego koloru b) obie kule były białe d) przynajmniej jedna z kul była biała?
4.76. W klasie jest 8 chłopców i 9 dziewcząt. Wybieramy cztery osoby. Ile jest mot. liwych sposobów wyboru tych czterech osób, tak by wśród nich: a) byli sami chłopcy c) były trzy dziewczynki i jeden chłopiec b) połowę stanowiły dziewczęta d) był co najmniej jeden chłopiec?
4.75. W grupie 20 osób jest 12 kobiet. Ile jest sposobów wybrania pięcioosobowe delegacji z tej grupy, tak aby: a) znalazły się tam co najwyżej dwie kobiety b) znalazła się tam co najmniej jedna kobieta c) znalazły się tam co najmniej dwie i nie więcej niż cztery kobiety?
4.74. W klasie jest 15 dziewcząt i 16 chlopców. Spośród uczniów tej klasy trzeba wybrać czteroosobowa delegację. Na ile sposobów można to zrobić, tak aby w do legacji znalazły się: a) tylko dwie dziewczynki b) co najmniej dwie dziewczynki c) co najwyzej dwie dziewczynki?
4.73. W pudełku znajdują się cztery ponumerowane kule: 2 białe i 2 czarne. Na ile sposobów można wybrać 2 kule, wśród których co najwyżej jedna będzie czarna? a) Wypisz wszystkie możliwości. 6) Dlaczego liczby sposobów w punkcie a) nie można obliczyć w następujący spo binomial(2,1) sób: wybieramy jedna kule biała na 2ostałych kul na binomial(3,1) sposoby i druga kulę jakąkolwiek z po sposoby, czyli razem mamy 2 * 3 = 6 sposobów? \ a,b,c,d] i porównaj
4.72.Z grupy 3 kobiet i 4 mężczyzn wybieramy trzy osoby. Ile jest takich sposobów wyboru, aby wśród wybranych osób: a) były same kobiety b) byli sami mężczyźni c) były dwie kobiety i jeden mężczyzna?
4.71. W turnieju szachowym startowało 10 zawodników. W pierwszej fazie każdy z zawodników rozegrał po dwie partie z każdym z pozostałych, po czyn pewna liczba zawodników musiała wyjechać na zgrupowanie kadry i w drugiej fazie każdy z pozo stałych rozegrał z każdym po jednej partii. Ilu uczestników wyjechalo na zgrupowanie kadry, jeśli w obu fazach turnieju rozegrano łącznie 111 partii?
4.70. W turnieju szachowym każdy z zawodników rozegrał z każdym dwie partie. Au bylo zawodników, jeśli rozegrano w sumie 42 partie?
4.69 Na egzaminie było n(n>=2) tematów z których uczeń losował dwa oblicz n, wiedząc, że student miał 190 możliwości wylosowania zestawu tematów.
4.68. Na plaszczyźnie zaznaczono n (n > 2) punktów, z których dowolne trzy nie były współliniowe. Punkty te wyznaczyły 36 prostych. Oblicz n. n>=2) , z których student losował dwa. Oblicz a wiedząc, że student miał 190 możliwości wylosowania zestawu tematów
4.67. Oblicz, na ile sposobów można wybrać czteroosobową delegację z grupy 7
4.66. Pewien niepusty zbiór ma 211, co najwyżej dwuelementowych, podzbiorów.
4.65. Oblicz, ile jest trójelementowych podzbiorów zbioru sześcioelementowego.
4.64. Wypisz wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru binomial(4,2) crbe tych podzbiorów z liczbą
4.63. Wyznacz n, wiedząc, że n EN: a) n+ binom n 2 =15 b) (binomial(n + 2,3))/(binomial(n + 1,2)) binomial(n,n – 1) + binomial(2n,2n – 2) = 18 b) e)
4.62. Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci, wiedząc, że n in N : a (binomial(n,2))/(binomial(n + 2,3))
4.61. Oblicz: a) binomial(10,3) . binomial(8,2) – binomial(6,4) d) b) binomial(8,4) c) binomial(7,3) – binomial(5,2) (binomial(12,3))/(binomial(24,5)) (binomial(13,6))/(binomial(12,5)) f)
4.60. Przy okrągłym stole ustawiono 12 krzeseł. Na ile sposobów może usiąść przy tym stole 12 osób, tak aby: a) osoby A, B usiadły obok siebie B usiadły naprzeciwko siebie B siedziały tylko dwie osoby b) osoby A, między osobami A, c) d) osoby A, B siedziały naprzeciwko siebie i jednocześnie osoby C, D siedziały na. przeciwko siebie? Uwaga: Dwa rozmieszczenia przy stole uznajemy za różne, jeśli w tych rozmieszcze niach co najmniej jedna osoba ma różnych sąsiadów.
4.59. Przy okrągłym stole ustawiono 6 jednakowych krzeseł. Na ile sposobów może usiąść przy tym stole 6 osób, tak aby: a) osoby A i B siedziały obok siebie 6) osoby A i B usiadły naprzeciwko siebie między osobami A i B siedziała tylko osoba C osoby A i B siedziały naprzeciwko siebie i jednocześnie osoby C ID siedziały na przeciwko siebie? chłopców. Każda dziewczynka ma Uwaga: Dwa rozmieszczenia przy stole uznajemy za różne, jeżeli w tych rozmieszc niach co najmniej jedna osoba ma różnych sąsiadów.
4.58, N Na ile sposobów można ustawić w szereg 8 osób tak, aby: a) osoby A, B, C zajmowały odpowiednio pierwsze, drugie i trzecie miejsce w tym szeregu b) osoby A i B stały obok siebie oraz pomiędzy tą parą osób a osobą C stały dwie inne osoby osoby A i B nie stały obok siebie stała pierwsza w szeregu, a w dalszej części szeregu osoba B stała bliżej d) osoba A A niż osoba C?
4.57. Sześć osób, które oznaczymy literami A, B, C, D, E, F, ma zająć sześć sąsiednich miejsc w jednym rzędzie w kinie. Na ile sposobów mogą one usiąść, tak aby: a) osoby D, E siedziały obok siebie w podanym porządku b) osoby A, B, C, D siedziały obok siebie w podanym porządku s osoby A, B, C siedziały obok siebie w dowolnym porządku d) między osobami A i B siedziały dwie osoby?
4.56. Mamy 5 książek, w tym książki A i B. Ustawiamy je losowo na pustej półce, jedna obok drugiej. Na ile sposobów można ustawić je tak, aby: a ksiazki A i B nie stały obok siebie Al pomiędzy książkami A i B stały dwie inne książki?
4.55. W liceum uczą się po 4 klasy pierwsze, drugie i trzecie, Na ile sposobów moż na poloiyć na biurku jeden na drugim dzienniki lekcyjne tych klas, jeśli: WI a) na samym spodzie mają leżeć wszystkie dzienniki klas pierwszych na samej górze leżą dzienniki klas ,A”, niżej dzienniki klas „B”. Jeszcze niżej dzien nib klas,C” i najniżej dzienniki klas ,,D”?
4.54 Na ile sposobów może ustawić się w szeregu grupa 5 chłopców i 5 dziewcząt, tak aby osoby tej samej płci nie stały obok siebie?
4.53. Na ile sposobów można ustawić się w szeregu grupa 4 chłopców i 3 dziewcząt, tak aby osoby tej samej płci nie stały obok siebie?
4.52 W zespole tanecznym jest 7 dziewcząt i 7 chłopców. Każda dziewczynka ma tańczyć z chłopcem. Ile jest różnych możliwości utworzenia 7 par tanecznych?
4.51 W biegu finałowym uczestniczy 8 sprinterów. Na ile sposobów mogą oni zająć kolejne miejsca,jeśli założymy, że wszyscy ukończą bieg?
4.50. Na ile sposobów można ustawić 3 osoby w szeregu? (n+3)! (n+2)! (n-1)! (n-3)! ,n>2 finałowym uczestniczy 8 sprinterów. Na ile sposobów mogą oni zając
4.49. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci, wiedząc, że n in N : a) (n + 2)(n + 1) * n! d) (2n+2)! (2n)! b) e) ! (2n + 1)(2n) (n+3)!(3n)! (3n+1)!(n+2)! ! c) f)
4.48. Oblicz: a) 4! – 21 * 3 ! d) (12!)/(10!4!) b) 5|-2| 4| e) (91 * 71)/((6!) ^ 3) c) (10!)/(8!3!) ((9!) ^ 3)/(10!(8!) ^ 2) f)
4.47. Ile jest różnych liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach i jednocześnie a) podzielnych przez 4 b) większych od 60 000? Permutacje
4.46. lle jest różnych liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach i jednocześnie a) podzielnych przez 25 b) większych od 5238?
4.45. Ile jest różnych liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, podzielnych przez: a) 25 b) 47
4.44. Ile jest różnych liczb dwucyfrowych: a) podzielnych przez 2 lub przez 3 b) podzielnych przez 4 lub 7 c) większych od 40 lub podzielnych przez 8 d) podzielnych przez 2 lub 5 i niepodzielnych przez 6?
4.43. Ile różnych liczb dwucyfrowych podzielnych przez 6 można utworzyć z cvt (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)?
4.41. Ile różnych liczb dwucyfrowych podzielnych przez 3 można utworzyć z cyfr: a) 1, 2, 4, 5, 7, 8 b) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ? 4.42. lle różnych liczb dwucyfrowych: a) parzystych b) podzielnych przez 4 možna utworzyć z cyfr 0,1,2,3,4,5,6\
4.40. Ile jest telefonicznych numerów komórkowych, składających się z dziewięciu cyfr takich, że: a) pierwszą cyfrą jest 5 lub 6, trzecią cyfra jest 0, a pozostałe cyfry nie są ani piątką, ani szóstką, ani zerem b) kaida cyfra jest inna i na pierwszym miejscu nie występuje 0 ) każda kolejna cyfra tego numeru jest liczbą o 1 mniejszą od poprzedniej d) pierwsza, trzecia, piąta, siódma i dziewiąta cyfra jest taka sama i jest liczbą nie parzystą, zaś pozostałe cyfry są różnymi liczbami parzystymi?
4.39. lle jest telefonicznych numerów, które składają się z 8 cyfr takich, że: a pierwszą cyfrą jest , a pozostale cyfry są różne od 4 i 4 cyfry są równe 5, a ostatnią cyfrą jest 1 b) dwie początkowe różne między sobą 3) pierwsza cyfra jest parzysta różna od zera, a pozostałe cyfry są liczbami nieparzy stymi al cyfra 7 występuje tylko raz, początkowa cyfra jest pierwsza i wszystkie cyfry sa różne?
4.38. ile jest różnych liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach i jednocześnie: a) nieparzystych b) parzystych?
4.37. le jest różnych liczb peacych do zbioru ( i jednocześnie mniejszych od 444? o różnych cyfrach, utworzonych z cyft na , 8, 9) i jednocześnie mniejszych od 7807 \ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\
4.36. zbioru Ile jest różnych liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr na leżących do zbioru \ 1,2,3,4,5,6,7\
4.35. Ile jest różnych liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr na \ 4,5,6,7,8,9\ i jednocześnie większych od 666? letarych do
4.34. Ile różnych liczb pięciocyfrowych parzystych, w których wszystkie cyfry sa ,2,3,4,5,6,7,8,9
4.33. Ile różnych liczb czterocyfrowych nieparzystych, w których wszystkie cyfry sa 4,5,6,
4.32. Ile jest różnych czterocyfrowych: b) kodów PIN, w których cyfry nie mogą się powtarzać? a) liczb
4.31. Przedsiębiorca chce produkować chorągiewki składające się z trzech pozio mych pasów równej szerokości, każdy w innym kolorze. Ile rodzajów takich chora giewek może produkować, jeśli ma do dyspozycji 8 kolorów?
4.30. Pewna firma chce drukować ulotki, w których jedna strona ma mieć dwukolo rowe tło (górna połowa ma mieć inny kolor niż dolna połowa). Ile jest wzorów takich ulotek, jeśli firma ma do dyspozycji 7 kolorów?
4.29. Ile sześcioliterowych napisów można utworzyć, posługując się literami nale żącymi do zbioru \ A,B,C,D,E,F,G,H,I\ , jeśli: a) litery mogą się powtarzać b) litery nie mogą się powtarzać?
4.28. Na peronie czekają na pociąg cztery osoby. Podjeżdża skład złożony z siedmiu wagonów. Na ile sposobów czekające osoby mogą wsiąść do pociągu, jeśli: a) każda z nich ma wsiąść do innego wagonu b) każda z nich wybiera wagon dowolnie?
4.27. Każdemu spośród czterech uczniów przyporządkowujemy ocenę roczna z matematyki. Ile jest możliwych wyników tego przyporządkowania, jeżeli: a) każdy z uczniów będzie mial inną ocenę b) każdy z uczniów może uzyskać dowolną ocenę?
4.26. Każdej z pięciu osób przyporządkowujemy dzień tygodnia, w którym się uro dziła. Ile jest możliwych wyników takiego przyporządkowania, jeżeli: a) każda z tych osób mogla urodzić się w dowolnym dniu tygodnia b) każda z tych osób urodziła się w innym dniu tygodnia?
4.25. Ile jest różnych liczb trzycyfrowych, w których zapisie cyfra 1 występuje: a) co najwyżej raz b) co najmniej raz?
4.24. Ile jest różnych liczb trzycyfrowych, w których zapisie cyfra 0 występuje: a) co najwyżej raz b) co najmniej raz?
4.23. Ile jest liczb dwucyfrowych, w których zapisie występuje: a) cyfra 11 cyfra 7 b) cyfra 1 lub cyfra 7?
4.22. Ile jest liczb dwucyfrowych, w których: a) co najmniej jedna cyfra jest parzysta 6) co najmniej jedna cyfra jest nieparzysta? Czapka zielona
4:21. Ile jest liczb trzycyfrowych, w których cyfra 3 występuje tylko raz?
4.20. Numer karty płatniczej MasterCard składa się z 16 cyfr. Pierwszą cyfra jest 5, druga – jedna zcyfr / 1, 2, 3, 4 , 5. Zakladamy, że pozostałe cyfry mogą być dowolne. le jest numerów kart płatniczych MasterCard?
4.19. Na ile sposobów sekretarka może wrzucić do trzech różnych szuflad 4 listy zaadresowane do różnych osób?
4.18. Jeżeli Na ile sposobów można wrzucić 5 kul ponumerowanych do 6 różnych szuflad, a) kule wrzucamy dowolnie b) kazda kula ma trafić do innej szuflady?
4.17. Oblicz, ile jest różnych czterocyfrowych: b) kodów PIN, w których cyfry mogą się powtarzać. a) liczb
4.16. Ile różnych pięcioliterowych kodów można utworzyć z liter A, 8, C?
4.15. ile jest różnych liczb trzycyfrowych utworzonych z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ?
4.14. Grupa pięciolatków z przedszkola z okazji Dnia Matki zaprosiła swoje mamy na przedstawienie, w których wystąpią jako skrzaty, mające czapki w trzech kolo rach: czerwonym, niebieskim i zielonym. Liczbę osób mających czapkę w danym ko Czapka czerwona 7 3 Czapka niebieska 4 6 Dziewczynki Chlopcy He jest możliwości wyboru pary – dziewczynka, chłopiec, w której: a) obie osoby mają czapkę w takim samym kolorze b) co najmniej jedna osoba ma czerwoną czapkę? Wariacje
4.13. Pewna dama ma 14 różnych torebek, oraz 16 różnych par pantofelków w róż: nych kolorach – według tabeli umieszczonej poniżej. Kolor czarny 5 6 Kolor brązowy Kolor czerwony 4 3 2 Torebki Pantofelki Kolor beżowy 3 5 Na ile sposobów owa dama może skompletować parę torebka – pantofelki: a) w jednym kolorze b) w dwóch różnych kolorach – w brązie i w beżu?
4.12. Dany jest zbiór X=\ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\ ). Ile jest par uporządkowanych (a, b) takich, ze liczby a, b należą do zbioru X oraz: a) liczba o jest mniejsza od 3 lub liczba b jest większa od 7; b) liczba a jest większa od b lub liczba b jest większa od liczby a; c) liczba a jest nie mniejsza niż 4 i jednocześnie liczba b jest podzielna przez 3 lub przez 5; d) liczba a jest liczba pierwszą lub liczba b jest nie większa niż 6?
4.11. Dane są zbiory: X=\ 1,2,3\ ,Y=\ 4,5\ , Z=\ 0,1,2,3,4,5\ . Ile jest par upo rządkowanych (a, b) takich, że liczba a jest elementem zbioru X i jednocześnie liczba bjest elementem zbioru Z lub liczba a jest elementem zbioru Y i jednocześnie liczba b jest elementem zbioru X?
4.10. Restauracja Międzynarodowa serwuje 12 dan kuchni polskiej, 10 dan kuch ni węgierskiej i 8 dan kuchni czeskiej. Na ile sposobów można w tej restauracji wy brać dwa różne dania, z których a) jedno należy do kuchni polskiej, a drugie nie należy do kuchni polskiej b) co najmniej jedno należy do kuchni polskiej?
4.9. lle jest różnych punktów o współrzędnych calkowitych (x, y) , takich, że x in(4,20) , y in(0,100) ?
4.8. Pan Marek ma 3 marynarki, 4 krawaty i 5 koszul. Ile różnych zestawów (koszula, marynarka, krawat) może założyć do pracy?
4.7. Z cyfr ze zbioru X=\ 0,1,2,3\ ) tworzymy wszystkie liczby trzycyfrowe, przy czym cyfry w liczbie nie mogą się powtarzać. Narysuj drzewo, w którym gałęzie przedsta wiają utworzone liczby trzycyfrowe. Ile wśród nich jest liczb podzielnych przez 37
4.6. Zcyfr ze zbioru B=\ 6,7,8,9\ ) tworzymy wszystkie możliwe liczby dwucyfrowe, w których cyfry nie mogą się powtarzać. Zapisz w tabeli wszystkie utworzone liczby. le jest wśród nich liczb podzielnych przez 4?
4.5. Z cyfr ze zbioru A=\ 1,2,3,4,5\ tworzymy wszystkie możliwe liczby dwu cyfrowe, przy czym cyfry w liczbie mogą się powtarzać. Zapisz w tabeli wszystkie utworzone liczby. Ile spośród utworzonych liczb ma cyfrę dziesiątek mniejszą od cyfry jedności?
4.4. Ile jest liczb trzycyfrowych, w których cyfra setek jest równa 1, 2 lub 3; cyfra dziesiątek jest liczbą podzielną przez 5, a cyfra jedności jest większa od 6? Narysuj drzewo, w którym gałęzie przedstawiają wszystkie utworzone liczby.
4.3. Ile jest liczb dwucyfrowych, w których cyfra jedności jest równa 1 lub 2, zaś cyfra dziesiątek jest większa od 5? Narysuj drzewo, w którym gałęzie przedstawiają wszystkie utworzone liczby.
4.2. Poniższa tabela przedstawia wszystkie możliwe liczby dwucyfrowe utworzone w taki sposób, że cyfra dziesiątek jest cyfrą ze zbioru ( zbioru (6, 7, 8, 9) raone liczby. 1,2,3,4\ a cyfra jedności – ze . Narysuj drzewo, w którym galęzie przedstawiają wszystkie utwo 6 16 26 36 46 7 17 27 37 47 8 18 28 38 48 9 19 29 39 49 1 2 3 4 4.3.
4.1. Na ile sposobów możemy utworzyć parę dziewczynka – chłopiec, jeśli do dyspozycji cztery dziewczynki: Agatkę, Beatke, Celinkę i Dorotkę oraz trzech Wypisz wszystkie możliwe pary w tabeli. mamy
3.220. Styczna do wykresu funkcji if * (x) = 16x ^ 2 + 1/x gdzie x ne0 przechodząca przez początek układu współrzędnych ma z parabolą o równaniu y = 3x ^ 2 + 12x – 12 dwa punkty wspólne A i B. Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB.
3.219. Do paraboli o równaniu y = – x ^ 2 – 9 poprowadzono styczne kil, które prze cinają się w punkcie A(4, 0) . Wyznacz: a) równania stycznych kil b) pole trójkąta ABC, gdzie punkty BiC są punktami styczności prostych kili para boli.
3.218. Wśród prostokątów, których dwa wierzchołki należą do paraboli o równaniu y = (x + 3) ^ 2 zaś dwa pozostale na prostej k: y = 4 , znajduje się taki, którego pole jest największe. Oblicz współrzędne wierzchołków tego prostokąta i jego pole.
3.217. Na wykresie funkcji określonej wzorem y = 1/2 * x wyznacz takı punkt Pood ciętej dodatniej, którego odleglość od punktu A(4, – 1 1/2) jest najmniejsza
3.216. Na gałęzi hiperboli o równaniu y = 2/x x in(- infty,0) , wyznacz taki punkt gdziex którego odległość od punktu A(1, – 1) jest najmniejsza. P,
3.215. Na paraboli o równaniu y = – 1/4 * x ^ 2 wyznacz taki punkt P, którego odległość od punktu A(12, 0) jest najmniejsza.
3.214. Do wykresu funkcji f(x) = x ^ 2 + 2x k 2x+y= która jest równoległa do prostej k: 2x+y+ 7 = Napisz równanie kierunkowe pro 7 = 0 stej, która jest prostopadła do tej stycznej i przechodzi przez punkt A. 3 poprowadzono w punkcie A styczna,
3.213. Do wykresu funkcji f(x) = (2 – x)/(x + 4) poprowadzono w punkcie A styczna, która jest prostopadła do prostej 1: 6x – y + 4 = 0 0. Wyznacz współrzędne punktu A.
3.212. Prosta k o równaniu y=ax+ b, gdzie mathfrak a in(0,1) , przechodząca przez punkt PL-3, 2) przecina dodatnią półoś osi OY w punkcie Ai ujemną półoś osi OX w punk cie B. Pole trójkąta OAB, gdzie O(0, 0) jest równe 12, 5 . a) Wyznacz równanie kierunkowe prostej k. b) Prosta m, która jest obrazem prostej k w jednokładności o środku O(0, 0) i skali , przecina oś OY w punkcie D, zaś oś OX w punkcie C. Oblicz pole trapezu k = 6 ADCB. k / 3 * x – 4y
3.211. Dane są odcinki AB oraz CD, gdzie A(3, 1) , B(1, 3) , C(6, 3) , D(3, 6) . Wyznacz taka jednokladność J 5 ^ k , aby J s ^ k (AB)=CD .
3.210. Napisz równanie okręgu o promieniu 2sqrt(17) , który odcina na osi Ox cięciwę odlugości 16, wiedząc, że do tego okręgu należy punkt A(- 3, 4) .
3.209. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A(0, – 1) , który jest jednocześnie styczny do prostych k: v = 0oraz / 4 * x – 3y + 22 = 0 . 4
3.208. Wyznacz równanie okręgu o środku S(3, 1) , który odcina na prostej kx – 7y + 29 = 0 cięciwę o długości 5sqrt(2) .
3.207. Wyznacz współrzędne punktu Prównoodległego od punktów A(- 9, 2) 18/3, 8) oraz od prostej k: 2x – y – 4 = 0 .
3.206. W zbiorze wszystkich okręgów stycznych okręgu o równa – 50 = istnieje okrąg 50 = 0 zewnętrznie do i stycznych jednocześnie do prostej o najmniejszym promieniu. Wyznacz jego równanie. nix * x ^ 2 + y ^ 2 = 25
3.205. Styczne do okresu o: x ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 3, 2 poprowadzone przez punkt A(- 2, 1) przecinają oś rzędnych w punktach Bic. a) Wyznacz równania tych stycznych. 6) Oblicz, z dokładnością do 1º, miarę kąta ostrego, jaki wyznaczają te styczne. c) Oblicz współrzędne punktów Bic. d) Oblicz pole trójkąta ABC.
3.204. Pod jakim kątem widać okrag o: x ^ 2 + y ^ 2 – 8y + 11 = 0z punktu P P(1, 1) ?
3.203. Wyznacz wszystkie wartości parametru m v = (m – 1) * x + m + 2 r = 1 ma dokładnie naniu y \ m in R) , dla których prosta o rów dwa punkty wspólne z okregiem o środku
3.202. Wykres funkcji y = |x – 2| ) przecina okrąg 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 – 4x – 4 = 0 w punktach AiB. a) Oblicz współrzędne punktów AIB. b) Wykaż, że trójkąt ABS, gdzie S jest środkiem danego okręgu, jest prostokątny. c) Oblicz pole figury F=F 1 cap F 2 , jeśli F 1 =\ (x,y):x in R^ y in R Ax x^ 2 +y^ 2 -4x-4<=0\ F 2 =\ (x,y):x in R^ y in R^ y<=|x-2|\ . ,
3.201. Dane sa punkty A(3, 0) i B(- 3, 0) . Wyznacz równanie linii utworzonej przez te wszystkie punkty płaszczyzny, których odległość od punktu A jest 2 razy większa od odległości od punktu B. Jaką figurę geometryczną opisuje ta linia?
3.200. W rombie ABCD przekątne przecinają się w punkcie S(2, – 1) . Dwa kolejne wierzcholki rombu mają współrzędne A(m, – 3) oraz B(m + 6, m – 5) , gdzie m in R Wyznacz a) współrzędne wierzchołków rombu b) pole rombu c) cosinus kąta rozwartego rombu d) równanie okręgu wpisanego w romb ABCD.
3.199. W trójkącie ABC współrzędne wierzchołków wynoszą: A(- 2, 1) , B(3, 0) , (1, 2). a) Oblicz pole trójkąta ABC. b) Oblicz długość wysokości trójkąta poprowadzonej na bok BC. c) Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.
3.198. W okrąg o środku S(6, 4) wpisano trójkąt równoboczny ABC, którego jed. nym z wierzchołków jest punkt A(2, 6) . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchot ków tego trójkąta.
3.197. Punkty 4(2, 3) * i * (4, – 1) są dwoma kolejnymi wierzchołkami kwadratu ABCD Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu.
3.196. Punkt A(- 4, 2) jest wierzchołkiem trójkąta ABC, którego dwie środkowe za. wierają się w prostych o równaniach: x = 0 oraz x + y – 2 = 0 0. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta
3.195. W trójkącie ABC dwie wysokości zawierają się w prostych k.x+y-4 = 0 oraz 6 2x-y=0 . Wyznacz równania ogólne prostych, w których zawierają się boki tego trójkąta, wiedząc, że A(0, 2) .
3.194. Na hiperboli o równaniu y = 6/x y = -, gdzie x ne0 , obrano punkty A(2, 3) i B(6, 1) . Wyznacz na tej hiperboli taki punkt Co ujemnej odciętej, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze
3.193. Rozpatrujemy odcinki równoległe do osi OY, których jeden koniec leży na wykresie funkcji f(x) = – sqrt(x) , zaś drugi koniec na wykresie funkcji g(x) = 1/x . Wykaż, że najkrótszy z tych odcinków ma długość 3/2 * root(3, 2) . gdzie x in(0,+ infty)
3.192. Na gałęzi hiperboli o równaniu y = 8/x wyznacz taki punkt P, którego odległość od gdzie x in(0,+ infty) , wyznacz taki punkt , którego odległość od punktu A(2, – 2) jest najmniejsza.
3.191. Na paraboli o równaniu punktu A(4, 1) jest najmniejsza. y = 1/2 * x ^ 2 3
3.190. Prosta k y = ax + b
3.189. Wyznacz wymiary prostokąta dwa wierzchołki należą do osi OX 1 y = 3 – 1/3 * x ^ 2 y 3-x. paraboli o równaniu , gdzie a > 0 , przechodząca przez punkt P(- 1, 2) , odcina na osiach układu współrzędnych odcinki, których suma długości jest najmniejsza.
3.188. Na paraboli o równaniu y = – x ^ 2 + 2x wyznacz taki punkt P, aby styczna do tej paraboli poprowadzona w punkcie Pograniczała, wraz z prostymi o równaniach: x = 0 , y = 0 , x = 1 , trapez o najmniejszym polu. o maksymalnym polu powierzchni, którego , a dwa pozostałe, o rzędnych dodatnich, należą do
3.187. w którym punkcie wykresu funkcji f(x) = dzić styczna do tego wykresu, aby pole trójkąta ograniczonego ta styczną i osiami układu współrzędnych było równe 1 1/8 ,
3.186. W którym punkcie wykresu funkcji f(x) = – x ^ 3 należy poprowadzić styczna do tego wykresu, aby pole trójkąta ograniczonego rzędnych bylo równe 54? tą styczną i osiami ukladu wspól ff * (x) = 1/(x ^ 2) gdzie x = , należy poprowa x ne0
3.185. Do paraboli o równaniu y = x ^ 2 poprowadzono styczną w punkcie o odciętej ujemnej, która wraz z osiami układu współrzędnych ograniczyła trójkąt o polu rów nym 16. Wyznacz równanie tej stycznej.
3.184. Oblicz pole trójkąta ograniczonego ujemnymi pólosiami układu współrzęd nych i ta styczną do wykresu funkcji f(x) = (2 – x)/(x + 2) która jest równoległa do prostej o równaniu 4x + y – 11 = 0 .
3.183. Oblicz pole trójkąta ograniczonego dodatnimi półosiami układu współrzęd która jest prostopadla do prostej nych i tą styczną do wykresu funkcji f(x) = (x – 1)/(x – 3) o równaniu 2x – y – 3 = 0 .
3.182. Wykai, że styczna do hiperboli o równaniu y = (2x – 1)/(x + 1) wadzona w punkcie Po odciętej -2, ogranicza wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt o polu 20 1/6 x ne-1 , popro
3.181. wykaż, że styczna do paraboli o równaniu y = x-3x-2, poprowadzona w y = 1/2 * x ^ 2 – 3x – 2 , poprowadzona w punkcie Po odciętej 2, ogranicza wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt o polu równym 8.
3.180. Wyznacz współrzędne takiego punktu A, że styczna do wykresu funkcji f w punkcie A jest k, jeśli: prostopadła do prostej a) f(x) = 3x ^ 2 + x – 2 , k / x – 5y – 10 = 0 f(x) = – 2/(x ^ 5) k / x + 10y = 0 b) d) f(x) = (3 – x)/(1 – x) k: 2x + y – 5 = 0 f(x) = (2x ^ 2 + 3x)/(4x + 2) , K + 3 * y – 3 = 0 x / 2 * x + 3y
3.179. Wyznacz współrzędne takiego punktu A, że styczna do wykresu funkcji f jest równoległa do prostej k, jeśli: w punkcie A a) f(x) = – 2x ^ 2 + x + 1 , k / 5 * x – y – 2 = 0 c) f(x) = – 3/4, k / 12 * x – y – 8 = 0 b) f(x) = (x – 1)/(x + 4) k / x – 5y + 5 = 0 d) f(x) = (3x ^ 2)/(2x – 1), k / 4 * x – 3y – 21 = 0
3.178. Dana jest funkcja w jednokladnosci o środku f(x) = – 2x ^ 2, k = – 1/2 2 k = – 1 f(x) = (x – 2)/x Naszkicuj wykresy funkcji f ig. 0 2 :x^ 2 +y^ 2 -16x-12y+96=0 y = f(x) O(0, 0) . Wykres funkcji g jest obrazem wykresu funkcjif i skalik. Wyznacz wzór funkcji 9. jeśli: b) f(x) = 1/3 * x ^ 2, k = 3 d) f(x) = x/(x + 1), k = 1/2 Zastosowanie analizy matematycznej w rozwią ZUwaniu zadań z geometrii analitycznej
3.177 wyznacz środek S i skale k jednokladności, która okrag + 12x + 2y + 36 = 0 przekształca na okrag
3.176. Wyznacz środek Si skalę k jednokładności J, która okrąg 0,: x ^ 2 + y ^ 2 + 10x – 10y + 41 = 0 przekształca na okrąg o : x ^ 2 + y ^ 2 – 4x – 2y + 4 = 0 .
3.175. Prosta k przechodząca przez punkt P(2, 6) ogranicza wraz z dodatnimi pół osiami układu współrzędnych trójkąt o polu 25. a) Wyznacz równanie prostej k. b) Wyznacz równanie prostej m, która jest obrazem prostej k w jednokładności s = 1 1/2 o środku w punkcie O(0, 0) i skali c) Oblicz pole trapezu ograniczonego przez proste kim oraz osie układu współrzęd nych.
3.174. Dana jest prosta mo równaniu y = 2x – 3 oraz punkt O(0, 0) . Wyznacz rów nanie prostej, która jest obrazem prostej m w jednokładności l 0 ^ k jeśli: a) k = – 3 b) k = 2 c) k = 1/3 d) k = – 1/2
3.173. Dany jest trójkąt ABC, w którym A(- 5, – 5), (2, – 3), (- 4, – 1) . Trójkąt 4,8. jest obrazem trójkąta ABC w jednokladności do środku S(2, 0) i skali k, gdzie k < 0 Wiedząc, że środkowa trójkąta A, B, C poprowadzona na bok B,C, ma długość 10, oblicz: a) skalę tej jednokładności b) współrzędne wierzchołków trójkąta A 1 B 1 C 1 trójkąta A, B, C . c) pole
3.172. Sprawdź, czy odcinki AB I CD są jednokladne, jeśli: b) A(- 2, – 1), B(4, 2) , C(2, 1) , D(10, 5) a) A(2, 3), B(5, 6), C(0, – 1), D(1, 2) W przypadku odpowiedzi twierdzącej wyznacz środek Si skalę jednokładności, w której obrazem odcinka AB jest odcinek CD.
3.171. Punkty AIA, sa jednokladne, przy czym środkiem jednokładności jest punk 0(0, 0). Oblicz skalę k tej jednokładności, jeśli: a) A(- 3, 1), A, (6, – 2) c) A(- 2, 0), A, (5, 0) b) A(5, 5), A, (- 1, – 1) d) 4(0,3),A 1 (0,-3)
3.170. Dane są punkty 4(3, 2) / 4, (- 3, 5) . Wiadomo, że A 1 =J 5 ^ k (A) . rzędne środka S tej jednokladności, jeśli skala k jest równa: a) -2 b) 1/3 c) 2/5 1/4
3.169. Odcinek A 1 B 1 , jest obrazem odcinka AB w jednokladności do środku w punk cie i skali k. Wyznacz współrzędne końców odcinka A beta 1i jeśli: b) A(0, 6), B(- 4, 0), k = 3 S(- 2, – 1) a) A(10, – 6) , , B(- 1, 4) k = – 5 c) A(- 8, 4), B(0, 0) , k = 0.5 d) A(3, 8), B(- 5, 13) , k = – 0, 3
3.168. Odcinek A, B , jest obrazem odcinka AB w jednokladności o środku O(0, 0) ) iskali k. Wyznacz współrzędne środka E odcinka A, B , jeśli: a) A(- 20, 6), B(10, 4) , k = 3 c) A(- 8, – 27) , B(- 12, – 13) , k = 0, 1 b) A(13, – 1), B(5, 7) , k = – 2 d) A(27, 108), B(- 2, – 3) , k = – 0, 2
3.167. Wyznacz współrzędne punktu B 1 , który jest obrazem punktu Bw jednoklad ności Jo środku w punkcie S(- 4, 5) i skalik, jeśli: 2 a) B(- 10, – 8), k = 2/3 3 c) B(1, 20), k = 6 b) B(5, 7) , k = – 2 1,9) , -4, d) B(-4 k = – 1/2
3.166. Wyznacz współrzędne punktu A,, który jest obrazem punktu A w jednokład ności Jo środku w punkcie O(0, 0) i skali k 1 jeśli: a) A(- 2, 4) , k = 0, 5 A(3/5, – 4/15), k = 15 c) A b) A(-9, 12), k= 3 d) A(sqrt(2), 16sqrt(2)), k = – (sqrt(2))/3 2
3.165. Narysuj dwa okregio O 1 (A 1 ;1,5 cm)i o 2 (A 2 ,3 cm) tak, aby [A 1 A 2 |=6 cn . Znajdź frodek s takiej jednokladności, która przekształca okrag , na O 1 B O 2 (pamiętaj, stnieją dwa rozwiązania). Wyznacz odległość punktu S od środków okręgów. że
3.164. Na k = – 1/3 gdzie min oznaczają długości dwóch odcinków oraz m > n > 0 . plaszczyínie zaznacz dowolne dwa różne punkty X oraz X 1 Następnie wyznacz środek S jednokladności J, wiedząc, ie X 1 =J 5 ^ k (X), gdzie: j)k=-3 b) k = – 0, 75 c) k = – 0.5 d) k = 2
3.163. Zaznacz na płaszczyźnie dwa różne punkty S oraz X. Następnie wyznacz ob 127 punktu X w jednokladności o środku w punkcie Siskalik, jeśli: 3) k = 2 b) k = – 1 c) k = m/n
3.162. Dany nych części (patrz rysunek poniżej). Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe? a) 0 ^ -1 (A)=B 8 overline j 0 ^ 2 (A)=B b) J 0 2 ^ – 2 3 (B)=A d) J 0 i ^ 0,25 (B)=A
3.161. Wyznacz równanie zbioru środków wszystkich okręgów zewnętrznie stycz nych do okręgu o. x ^ 2 + y ^ 2 = 4 i jednocześnie stycznych do prostej k * y+2=0 . Jednokładność. Jednokładność w układzie współrzędnych jest odcinek AB. Punkty O 1 ,O 2 , O 3 O 4 dzielą ten odcinek na pięć rów
3.160. Wyznacz równanie okręgu o najmniejszym promieniu, stycznego zewnętrz nie do okregu o: (x + 3) ^ 2 + y ^ 2 = 25 i jednocześnie stycznego do prostej k * 4x + 3y – 38 = 0
3.159 Wyznacz równanie prostej k, względem której okręgi 0 1 :x^ 2 +y^ 2 +4x+8y+19=0 ora20 , x ^ 2 + y ^ 2 – 12x + 35 = 0 są wzajemnie symetryczne.
3.158. Wykaż, że obrazem okręgu 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 – 4x + 6y + 12 = 0 w przekształceniu P P((x, y)) = (1/2 * y + 1, 2 – 1/2 * x) , gdzie x, y e , jest okras. Zbadaj x,y in R określonym wzorem P((x, y)) = wzajemne położenie okręgu i jego obrazu
3.157 . Wykaż , że obrazem okregu o x ^ 2 + y ^ 2 + 6x – 2y + 6 = 0 w przekształceniu p określonym wzorem P((x, y)) = (1 + 3x, – 3y – 2) , gdzie x, y in R , jest okrąg. Zbadaj wzajemne položenie okregu i jego obrazu
3.156. Dia jakich wartości parametru m (m in R) okręgi opisane równaniami: o 1 :(x-m)^ 2 +(y+1)^ 2 =1 oraz O 2 :(x+2)^ 2 +(y-m+3)^ 2 =25 sa rozłączne wewnętrznie?
3.155 Dla jakich wartości parametru m (m in R) kreg opisane równaniami o 1 :(x+5)^ 2 +(y+m)^ 2 =16 raz o i :(x-2m)^ 2 +(y+m)^ 2 =9 przecinają się w dwóch punktach?
3.154. Dla jakich wartości parametru m(m in R) okręgi opisane równaniami: 0 j :(x+1)^ 2 +(y-m)^ 2 =4 oraz o 2 :(x+m)^ 2 +(y-2)^ 2 =1 majz dokładnie jeden punkt wspólny? A(1, 2) i stycznego
3.153. Dla jakich wartości parametru m (m in R) okręgi opisane równaniami: 0, (x-m)^ 2 +(y+2)^ 2 =20 oraz o 2 :(x+1)^ 2 +(y-2m)^ 2 =5 są wewnętrznie styczne? Dla znalezionych wartości parametrów wykonaj rysunek. Oblicz współrzędne punk tu styczności A.
3.152. Dla jakich wartości parametru m (m in R) okręgi opisane równaniami: g t :(x-m)^ 2 +(y+1)^ 2 =8 oraz o 2 :(x+1)^ 2 +(y-m)^ 2 =2 s są zewnętrznie styczne? Dla znalezionych wartości parametrów wykonaj rysunek. Oblicz współrzędne punktu styczności A.
3.151. Dla jakich wartości parametru m (m in R) okręgi opisane równaniami 0 (x – m) ^ 2 + (y – 2m) ^ 2 = 1 oraz o 2 :(x-2)^ 2 +(y+1)^ 2 =16.5a wzajemnie zewnętrzne?
3.150. Wyznacz współrzędne punktów wspólnych dwóch okręgów (o ile istnieją). W każdym przypadku wykonaj rysunek. a) x ^ 2 + y ^ 2 – 6y + 5 = 0, \qquad x ^ 2 – 6x – 6y + 17 = 0 x ^ 2 + y ^ 2 + 8x – 4y + 10 – 1, \qquad x ^ 2 + y ^ 2 + 2x + 2y – 8 = 0 c) 0 b) d) x^ 2 +y^ 2 -2x-\\ x^ 2 +y^ 2 +2x- x^ 2 +y^ 2 -10x\\ x^ 2 +y^ 2 -6x- – 2x – 6y + 9 = 0 + 2 * x – 2y – 3 = 0 – 10x – 4y – 7 = 0 – 6x – 8y + 24 = 0
3.149. Określ wzajemne położenie okręgów danych równaniami: a*(x+2)^ 2 +(y-1)^ 2 =4;o 2 :x^ 2 +y^ 2 -4x+4y-8=0 a) b) 0, x + y2 – 10x + 4y + 20 = 0; 0,: x? + (y + 2) = 4 c) 0: (x-3) + (y+4) 8; 0,: x + y- 4x + 6y + 11 = 0 0+ (x+4)2 + (y + 1)2 = 25; o 2 :(x+2)^ 2 +(y+2)^ 2 =2 ) ,**+ y2-8x + 15 = ; o 2 :x^ 2 +(y-3)^ 2 =4 0, x ^ 2 + y ^ 2 + 8x + 4y – 5 = 0 ; O 2 :(x+4)^ 2 +(y+2)^ 2 =5
3.148. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt k / 2 * x + y = 0im / 2 * x + y – 20 = 0 . jednocześnie do prostych Wzajemne położenie dwóch okręgów
3.147. Wyznacz równanie okręgu o promieniu 5, który jest styczny do osi OY i jed nocześnie styczny do prostej k / 3 * x + 4y – 6 = 0 .
3.146. Okrąg przechodzi przez punkt A(4, 1) , zaś jego środek należy do prostej k / x – y = 0 0. Wiedząc, że okrag ten jest styczny do prostej : y – 5 = 0 , wyznacz jego równanie
3.145. Wyznacz współrzędne środka okręgu stycznego do prostej k / (sqrt(3)) * x – y – 2 – 2sqrt(3) = 0i jednocześnie stycznego do dodatnich półosi układu wspól rzędnych.
3.144. Wyznacz równanie okręgu o stej k 3x-4y-12=0 . c) A(2, 1) d) A(1, 2) środku w punkcie S(3, – 2) i stycznego do pro
3.143. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A i stycznego do obu osi układu współrzędnych, jeśli: a) A(2, 0) b) 4(0, 3)
3.142. Dane są zbiory: A=\ (x,y):x in R^ y in R^ y>= x-2] , B=\ (x,y) x in R ^ y in R ^ x^ 2 +y^ 2 +2x-2ky+k^ 2 -1=0\ . Wyznacz te wartości parametru k in R , dla których zbiór A cap B jest jednopunktowy.
3.141. Dane są zbiory :A=\ (x,y):x in R^ y in R^ x+y-2<=0\ , theta=\ (x,y):x in R^ y in R^ x^ 2 +y^ 2 -2mx+2y+m^ 2 -1=0\ . Wyznacz te wartości parametru m in R , dla których zbiór A cap B jest jednopunktowy.
3.140. Zbadaj liczbę punktów wspólnych okregu o z prostą, w zależności od war. tości parametru m (m in R) , jeśli a) o:(x+2)^ 2 +(y+4)^ 2 =2; 1: y = – x + m b) 0:(x-3)^ 2 +(y-2)^ 2 =8;l;y=x+m c) o:(x-1)^ 2 +(y-1)^ 2 =m;1;x+y-1=0 d) 0:x^ 2 +y^ 2 =25;:4x+3y-m=0
3.139. Oblicz tangens kąta ostrego, jaki tworzą styczne do okręgu 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 – 8x – 6y + 21 = 0 , przechodzące przez punkt P(2, – 1) .
3.138. Sieczna k: x – y + 1 = 0 przecina okrag o: x ^ 2 + y ^ 2 – 6x – 2y + 1 = 0 w punk tach A i B. Przez punkty AiB poprowadzono styczne do okręgu, które przecinają się punkcie C. Napisz równanie okręgu opisanego w trójkącie ABC
3.137. Sieczna k / x + y – 1 = 0 przeciela okrąg o: x ^ 2 + y ^ 2 – 2x + 4y + 1 = 0 w punktach AiB. Następnie w punktach A i B poprowadzono styczne do danego okresu. Wykaz że styczne te tworzą kąt prosty.
3.136. Napisz równania ogólne stycznych do danego okręgu o i przechodzących przez punkt A, jeśli: a) 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 = 4, 4(6, – 2) c) 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 – 6x – 4y + 3 = 0 , A(- 4, 3) b) 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 = 9 , A(- 5, 3) d) 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 + 6x + 2y + 5 = 0, A(- 2, 2) 0:x^ 2 +y^ 2 +10x-6y+30=0,A(-7,5 A1-79) 1) 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 – 6x + 8y + 21 = 0, A(5, – 1)
3.135. Napisz równania kierunkowe stycznych do danego okregu o i nachylonych do osi OX pod kątem a, jeśli: a) x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ; a = 60° c) x ^ 2 + y ^ 2 – 10x = 0 ; alpha = 150 degrees b) (x – 1) ^ 2 + y ^ 2 = 4 ; a = 120 degrees d) x^ 2 +y^ 2 -2x+4y-3=0; a=135^
3.134. Napisz równania kierunkowe stycznych do danego okręgu o i prostopadłych do prostej k, jeśli: 3) 0 / ((x + 2) ^ 2) + (y – 3) ^ 2 = 1 b) 0 / ((x – 5) ^ 2) + y ^ 2 = 9 c) 0: x ^ 2 + y ^ 2 – 2x + 12y + 28 = 0 d) o: x ^ 2 + y ^ 2 – 14x + 24 = 0 k: y =x k: y = – x k: y = – 0, 5x k: y = – 0, 75x
3.133. Napisz równanie kierunkowe stycznych do danego okręgu oi równoległych do prostej k, jeśli: a) 0 / ((x – 2) ^ 2) + (y – 1) ^ 2 = 4 b) o / ((x + 3) ^ 2) + (y – 5) ^ 2 = 16 c) x ^ 2 + y ^ 2 – 2x – 15 = 0 d) 9 / (x ^ 2) + y ^ 2 – 8x – 6y + 16 = 0 k: y = 2x k: y = x k: y = – 3x k: y = – x
3.132. Dany jest okrąg o: x ^ 2 + y ^ 2 – 8x – 2y – 8 = 0 0. Wyznacz równanie ogólne pro stej k, która jest styczna do tego okręgu w punkcie: a) A(9, 1) b) B(4, – 4) c) C(0, 4) d) D(7, 5)
3.131. Prosta o równaniu x – 2y + 2 = 0 przecina okrag o: x ^ 2 + y ^ 2 – 6x – 16 = 0 w punktach A i B. a) Wyznacz równanie ogólne symetralnej m cięciwy AB. b) Wyznacz współrzędne takiego punktu stokątny M in m , dla którego trójkąt ABM jest pro
3.130. Wyznacz a) 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 = 9 b) 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 = 41 c) 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 + 6x + 2y = 0 d) a / (x ^ 2) + y ^ 2 + 8x + 4y + 19 = 0 współrzędne punktów wspólnych (o ile istnieją) prostej /i okregu o. y = 1/3 * x – 1 x – y = 1 6x + y = – 8 1: 1/2 * x + y + 2 = 0
3.129. Określ wzajemne położenie prostej li okręgu o, jeśli: a) 0 / ((x – 1) ^ 2) + (y + 4) ^ 2 = 16 b) 0 / ((x + 5) ^ 2) + y ^ 2 = 1 l / y = 3/4 * x + 3 1: y = 1 c) 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 – 8x + 10y + 33 = 0 1: y = x – 5 l: y = x d) 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 + 8x – 2y + 13 = 0
3.128. Dla jakich wartości parametru m (m in R) proste k / x + y – m – 1 = 0 ip: 2x + y – 2m = 0 przecinają się w punkcie, który należy do koła o środku S(0, 1) promieniu r = sqrt(10) ? Wzajemne położenie prostej i okręgu. Styczna do okręgu
3.127. Dla ip.x x + y – m + 3 = 0 S(2, 1) i promieniu r = sqrt(5) ?
3.126. W prostokątnyin układzie współrzędnych zilustruj zbiory: A = {(x,y) ERA YER A ? + y2 4 6x – 8y + 21 SO) B = {(x, y) ERA YER A x? + y2 + 2x + 2y – 14 S 0), a następnie wyznacz zbiory: A cup B,A-B,B-A,A cap B jakich wartości parametru m (m in R) proste k. 2x – 5y – m – 6 = 0 przecinają się w punkcie, który należy do okręgu o środku
3.125. W prostokątnym układzie współrzędnych zilustruj zbiory: A=\ (x,y):x in R^ y in R^ x^ 2 +y^ 2 +4x-2y-4=0] B=\ (x,y):x in R^ y in R^ x^ 2 +y^ 2 -4x+4y-8=0\ . a następnie wyznacz zbiory: A cup B,A-B,B-A,A cap B
3.124. W prostokątnym układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne spełniają podane nierówności x ^ 2 + y ^ 2 <= 9/4 c) x ^ 2 + (y + 3) ^ 2 <= 4 b) (x - 1) ^ 2 + y ^ 2 <= 1 d) x ^ 2 + y ^ 2 + 4x + 2y - 11 <= 0
3.123. Podaj nierówność opisującą koło o środku S(x g ,y s ) i promieniur ( a) S(1, – 3), 1 = sqrt(2) b) s(- 4, sqrt(2)), r = 1/2 c) S(2, – 5) , r = 6 , jeśli:
3.122. Prosta k / x – y + 1 = 0 przecina parabolę o równaniu y = – x ^ 2 + 2x + 3 w punk tach A i B. Napisz równanie okręgu o promieniu r= v r = sqrt(5) , którego cięciwą jest odci nek AB.
3.121. Napisz równanie okręgu , o promieniu O 2 r = 4 , współśrodkowego z okręgiem 0 1 :x^ 2 +y^ 2 +2x-6y+9=0 0. Oblicz pole Ppierścienia kołowego ograniczonego okrę gami O 1 i O 2
3.120. Przekształcenie P określone jest wzorem P((x, y)) = (y + 2, – x + 1) , gdzie y in R . a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią. b) Wyznacz równanie obrazu okręgu o: x ^ 2 + y ^ 2 – 4x + 6y + 12 = 0 w przekształce niu P. ) Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są: środek S danego okręgu, środek S^ prime -0 obrazu okręgu w przeksztalceniu P oraz punkt A(2, 0) .
3.119. Dane jest przekształcenie P plaszczyzny określone wzorem: P((x, y)) = (- x, y + 1) , gdzie x y in R a) Wykaz, że przekształcenie P jest izometrią. b) Wyznacz równanie obrazu okręgu o: x ^ 2 + y ^ 2 – 2y – 4 = 0 w tym przekształceniu. c) Wyznacz równania osi symetrii figury, która jest sumą w przekształceniu P. okręgu o i jego obrazu
3.118. Dany jest okrag 3 / (x ^ 2) + y ^ 2 – 2x – 8 = 0 . Wyznacz równanie okregu o, będące overline u go obrazem okręgu o w przesunięciu równoległym o wektor , jeśli: a) vec u =[-3,0] b) vec u =[0,2] c) vec u =[1,-3] d) u = (- 4, 5)
3.117. Napisz równanie ogólne wspólnej osi symetrii okręgów 0.:x^ 2 +y^ 2 -2x+4y+1=0 oraz o 2 :x^ 2 +y^ 2 +2x-4y-4= 0
3.116. Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręguo: x ^ 2 + y ^ 2 + 6x – 2y – 15 = 0 waględem prostej następnie oblicz pole trójkąta, którego wierz cholkami są środki tych okręgów i początek układu współrzędnych. k / x – 3y – 4 = 0 , a
3.115. Dany jest okrągo: c) B(5, 1) d) C(3, – 2) 7. Wyznacz równanie okręgu , będą. (x – 3) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 7 cego obrazem okręguo w symetrii osiowej względem prostej k, jeśli: a) k / x – 4 = 0 b) k / y + 2 = 0 c) k / y = x – 2 O 1 d) k / 2 * x + y – 1 = 0
3.114. Dany jest okrako x ^ 2 + y ^ 2 – 4x + 6y – 3 = 0 . Wyznacz równanie okręgu O 2 będącego obrazem okręgu o w symetrii środkowej względem punktu: a) O(0, 0) b) A(- 4, 6)
3.112. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A,B,C, jeśli: a) A(- 1, 0) , B(7, 0) , C(0, 1) c) A(1, 5) , B(8, – 2), (9, 1) b) A(1, 3), B(5, 1), C(4, 4) d) A(- 14, – 1), B(3, 16) , C(11, 4) 3.113. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty AiB, którego środek znajduje się na prostej k, jeśli: a) k:y=-2x-2;A(5,10),B(3,12) c) k:y=2x+4;A(3,0),B(4,1) b) k,y= 1 2 x-1 1 2 ; A(6, 4) , B(- 1, 3) d) k* y=x-5; A(7,4) , B(- 5, – 12)
3.111. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A, o środku w punk cie S, jeśli: a) A(3,4),\$(0,0) c) A(3, 10), 5(- 3, 2) b) A(4, 2), S(2, 1) d) A(4, 7), S(- 2, 1)
3.110. Udowodnij, że równanie x ^ 2 + y ^ 2 – ax + 2by – 0, 75a ^ 2 + 2ab = 0 opisuje okrąg dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych aib Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu.
3.109. Sprawdź, które z poniższych równań opisują okrąg. a) x ^ 2 + y ^ 2 – 2x – 6y + 9 = 0 c) x ^ 2 + y ^ 2 – 6x + 2y + 10 = 0 b) x ^ 2 + y ^ 2 + 4y – 5 = 0 d) x ^ 2 + y ^ 2 + 10x + 2y + 25 = 0
3.108. Korzystając z własności omówionej w zadaniu 3.107., wyznacz współrzędne środka i długość promienia okręgu:
3.107. Dane jest równanie okregu w postaci zredukowanej:
3.106. Wyznacz wspólrzędne środka i promień okregu opisanego równaniem:
3.105. Poniższe równania opisują okrąg o środku w punkcie S(x 5 ,y 5 ) i promieniu r(r > 0) . Podaj współrzędne środka okręgu i jego promień, jeśli: a) x ^ 2 + y ^ 2 = 1 c) (1 + x) ^ 2 + (2 – y) ^ 2 = 25 b) (x – 1) ^ 2 + y ^ 2 = 2, 25 (- x – 3) ^ 2 + (- 1 – y) ^ 2 = 81 d)
3.104. Napisz postać kanoniczną równania okręgu o środku S(x 5 ,y 5 ) i promieniur, jeśli: a) S(0, 0), r = 4 c) S(- 1, 0) , r = 1 e) S(4, – 3), r = 1/2 b) S(0, 4) , r = sqrt(2) d) S(- 1, 2) , r = sqrt(3) f S(- sqrt(2), – sqrt(3)), r = 8
3.103. W trójkącie prostokątnym ABC (| triangleleft ABC|=90^ ) dwa wierzchołki mają współ rzędne A(4, – 5) * i * (- 8, 5) . Wyznacz współrzędne wierzcholka B, wiedząc, że pole trójkąta ABC jest równe 61. Równanie okręgu. Nierówność opisująca koło
3.102. W rombie ABCD, którego pole jest równe 10, dane są przeciwległe wierz. cholki A(1, 1) i C(3, 5) . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
3.101. Na prostej k o równaniu x – 3y – 3 = 0 wyznacz punkt Btak, aby pole trójkąta ABC, gdzie A(- 4, 1) , C(4,8) było równe 35
3.100. Na osi OX wyznacz taki punkt B, aby pole trójkąta ABC, gdzie A(2, – 3) , C(6, 3) , było równe 12.
3.99. Na osi OY wyznacz taki punkt C, aby pole trójkąta ABC, gdzie A(- 2, – 4) , B(8, -1), było równe 32
3.98. Punkty A(6, 2) i C(- 4, – 4) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC = |BC| . Wysokość poprowadzona z 7x – y = 0 . Oblicz: wierzchołka zawiera się w prostej a) współrzędne wierzchołka B b) pole trójkąta ABC
3.97. Na płaszczyźnie dane są punkty: A(1, 2) , B(5, 4), C(3, 6) , D(0, 8) . Przez punkt D poprowadzono prosta k prostopadła do prostej AB. Wyznacz na prostej k taki punkt E, aby pola trójkątów ABC I ABE były równe.
3.96. Prosta k: 3x-y-3 = 0 przecina parabolę o równaniu y = – x ^ 2 – 2x + 3 +3 w punt tach A i B. a) Oblicz współrzędne punktów A i B. b) Oblicz pole trójkąta ABW, gdzie W jest wierzchołkiem paraboli. c) Oblicz odległość punktu W od prostej k.
3.95. W równoległoboku ABCD dane są wierzchołki: A(2, 4) , B(6, 3) , C(4, – 1) . Oblic a) pole tego równoległoboku b) współrzędne wierzchołka D c) miarę kąta a utworzonego przez wektory AK i Al, gdzie K-\$rodek boku & L-środek boku CD.
3.94. Boki trójkąta zawierają się w prostych o równaniach: 3x – y – 9 = 0, 2x + y – 1 = 0, x + y – 3 = 0 Oblicz pole tego trójkąta.
3.93. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A(1, 1) , B(3, 5) , C(- 1, 3) .
3.92. Wyznacz równanie prostej, zawierającej dwusieczną tego kąta, utworzonego P(3, 1) . proste k.x+39–1 = oraz m: 6x-2y+ 1 = , do obszaru którego należy puna kx + 3y – 1 = 0 6x – 2y + 1 = 0 trójkąta. Pole wielokąta i takiej, że odle i takiej, że odt Pole
3.91. Wyznacz równania prostych, w których zawierają się dwusieczne kątów, poi 11x – 2y + 7 = 0 . jakimi przecinają się proste k: 4x + 2y + 1 = 0 im:
3.90. Wyznacz równanie prostej, do której należy punkt glość punktu Q(4, – 5) od tej prostej wynosi 10. P(1, – 1) P(- 6, 15)
3.89. Wyznacz równanie prostej, do której należy punkt glość punktu Q(8, – 2) od tej prostej wynosi 5.
3.88. Na osi OY wyznacz punkt P, który jest równoodległy od prostych k / 2 * x + y – 1 = 0orazm / 11 * x 2y + 1 = 0 .
3.87. Na osi OX wyznacz punkt P, który jest równoodległy od prostych k / x – y + 3 = 0 oraz m n 7x+y-1=0 .
3.86. Dany jest trapez ABCD, gdzie A(3, – 2) , B(3, 3) , C(0, 4) , D(- 15, 4) . a) Które boki trapezu są równoległe? Odpowiedź uzasadnij. b) Oblicz długość wysokości tego trapezu.
3.85. Dany jest trójkąt ABC, gdzie A(- 2, 3) , B(- 2, 2) ), C(2, 0) . Wyznacz: a) równania ogólne prostych zawierających boki tego trójkąta b) długości wysokości tego trójkąta.
3.84. Dana jest prosta k – 2x + y + 3 = 0 Wyznacz liczbę a, dla której punkt P leży w odległości 2sqrt(5) od prostej k, jeśli: a) P(1, a) b) P(3a, 4) c) P(a, 2a) d) P(a + 2, a – 1)
3.83. Dana jest prosta k: 8x-15y+7=0. Wyznacz liczbę a, dla której odległość punktu P(a, 3) od prostej k jest równa: a) 2 b) 0 c) 13 d) 10
3.82. Dana jest b) m / 4 * x + 3y + 5 = 0 d) p * 2x + y – 1 = 0 prosta k: 4x – 3y + C = 0 oraz punkt P(- 1, 1) . Wyznacz liczbę C, dla której odległość punktu P od prostej k jest równa: a) 1 b) 15 c) O d) sqrt(7)
3.81. Figura F jest suma dwóch prostych o równaniach: 3x – 4y + 14 = 0 oraz 3x – 4y – 2 = 0 0. Sprawdź, czy podana prosta jest osią symetrii tej figury, jeśli: a) k: 3x – 4y + 6 = 0 c) n / 3 * x – 4y + 14 = 0
3.80. Wykaž, że prosta x / 2 * x – y – 1 = 0 jest równo oddalona od prostych m: 2x – y + 9 = 0orazn / 2 * x – y – 11 = 0 .
3.79. Oblicz odległość między prostymi równoległymi kil, jeśli: a) k: x + y + 2 =0 b) k / x + 6 = 0 c) x / 2 * x – y + 3 = 0 d) k / 5 * y + 7 = 0 1: x + y 4=0 1 * 5x – 10 = 0 k – 3x + 1, 5y – 2 = 0 * 3y-20=0
3.78. Oblicz odległość punktu P(- 2, 3) od prostej k, jeśli: a) k:x-7 0 c) k / 7 * x – y + 17 = 0 b) k.y+1=0 d) k / 3 * x + 4y + 5 = 0
3.77 Trójkąt ABC jest równoramienny, w którym AC=BC. Podstawa AB zawiera się w prostej k: 3x−7y+35=0, zaś ramię BC zawiera się w prostej l: 5x−2y−19=0. Wyznacz równanie prostej ,w której zawiera się bok AC tego trójkąta, jeśli wiadomo, że punkt P(−2,0 )należy do boku AC.
3.76. Wyznacz równania prostych przechodzących przez punkt A(1, – 1) , które two rzą z prostą k: x-y + 1 = 0 kąt o mierze 30°. Trójkąt ABC jest równoramienny, w którym |AC| = |BC| . Podstawa AB zawien się w prostej k: 3x-7y+35=0,2a5 ramię BC zawiera się w prostej 1.5x – 2y – 19 = 0 Wyznacz równanie prostej, w której zawiera się bok AC tego trójkąta, jeśli wiadome że punkt P(- 2, 0) należy do boku AC.
3.75. Wyznacz równania prostych przechodzących przez początek układu współ rzędnych, które tworzą z prostą k: sqrt(3) * x – y + 2 = 0 kąt o mierze 60
3.74. Wyznacz równania prostych przechodzących przez punkt A(- 2, 4) , które two rzą z prostą k. – 3x + 2y + 1 = 0 kat o mierze 45 degrees .
3.73. Wyznacz równania prostych przechodzących przez rzędnych, które tworzą z prostą k. 2x – y + 5 = 0 kąt o mierze 45 degrees początek układu v
3.72. Wyznacz miarę kąta rozwartego, jaki tworzą dwie proste kilo równaniach a) k / y = 3x + 5 oraz I. y = – 2x + 4 k sqrt 3 x-3y-3=0 oraz) : sqrt(3) * x + 3y – 6 = 0 b)
3.71. Wyznacz miarę kąta ostrego jaki tworzą dwie proste kilo równaniach: 8 = 0 oraz kx – y – 200 = 0 b) ky = x – 10 oraz l y = (2 – sqrt(3)) * x + 15 a) k: x
3.70. Punkty sa kolejnymi wierzcholkami trapezu town ramiennego ABCD, którego osia symetrii jest prosta o równaniu x + 2y = 0. Ob współrzędne pozostałych wierzchołków oraz dlugość odcinka lączącego srodkins A(0, – 5) oraz mion tego trapezu
3.69. Punkty A(2, -3) i B(5, 1) są wierzchołkami trójkąta ABC. Bok BC zawiera Wyznacz równanie ogólne prostej, w której zawiera się wysokość trójkąta poproin dzona z wierzchołka C. 5x – y – 13 = 1 kx + 2y – 7 = 0
3.68. Punkty A(- 4, 4) , B(4, 0) są wierzchołkami trójkąta ABC, a punkt M(3, 4) jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta (ortocentrum). Wyznacz współrzędne wierzchołka C.
3.67. Dwie wysokości trójkąta ABC zawierają się w prostych k / 5 * x – 3y + 5 = 0 oraz 1x + y – 1 = 0 Wiedząc ponadto, że A(- 2, 1) , wyznacz równania ogólne prostych, w których zawierają się boki tego trójkąta.
3.66. W trójkącie ABC dane są: A(2, 1) , AB = 17, 3) oraz overline BC =[-6,1] . Wyznacz równanie prostej, w której zawiera się wysokość trójkąta poprowadzona z wierz chołka C.
3.65. Jedna z przekątnych kwadratu ABCD zawiera się w prostej 2x – y = 0 . Wie dząc, że A(1, – 3) , wyznacz współrzędne wierzchołka Ci oblicz pole tego kwadratu.
3.64. Punkty A(- 2, – 1) oraz D(2, 2) są wierzchołkami rombu, którego przekątna AC jest zawarta w prostej o równaniu x – 3y – 1 = 0 . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.
3.63. Dwa boki równolegloboku zawierają się w prostych k / 5 * x – 2y – 11 = 0 ikx + 2y + 5 = 0 Punkt S(0, 1/2) jest środkiem symetrii tego równolegloboku. Wyznacz równania ogólne prostych, w których zawierają się dwa pozostałe boki tego czworokąta,
3.62. Wyznacz współrzędne punktu Q symetrycznego do punktu P(-1,-4) wzglę dem prostej k: 5x + 4y – 20 = 0
3.61. Oblicz odległość środka okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach: A(1, 7), B(- 5, 1) , C(7, – 5) , od środka ciężkości tego trójkąta.
3.60. Punkty A(1, – 1) , B(3,5)i((-7,11) są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz wspól rzędne środka okręgu opisanego na tym trójkącie.
3.59. Dane są punkty A(1, 0) oraz B(5, 2) . Na prostej k równoleglej do prostej AB i przechodzącej przez punkt P(4, 4) wyznacz współrzędne punktu C, który jest równo odległy od punktów A i B. Wykaż, że trójkąt ABC jest prostokątny:
3.58. Wyznacz równanie ogólne symetralnej odcinka AB,Ie\$li a) A(- 4, 5), 8(6, 1) c) A(- 1, – 2), B(3, 2) b) A(0, 7) , 8(0, – 3) d) A(- 1, 8) , B(- 5, 8)
3.57. Na podstawie danych z rysunku poniżej wyznacz współczynniki A, B w tó naniu ogólnym prostej l:
3.56. Wyznacz liczbę a, dla której proste ki / s * a prostopadłe, jeśli: a) k / (- x) + (20 – 1) * y – 10 = 0 b) k / (- a) * x + (3 – a) * y + 6 = 0 T: (a + 7) * x + 2y + 8 = 0 1: (a + 1) * x + y + 2 = 0 0 – a
3.55. Wyznacz liczbę m, dla której proste k oraz / są równoległe, jeśli: a) k(m – 1) * x + (m + 1) * y – 5m = 0 b) k / 3 * m * x + 4y – 8 = 0 1: 3x – 2y + 4 = 0 T: (m + 3) * x + 2y – 9 = 0
3.54. Oblicz brakujące współczynniki w równaniu ogólnym a) prostal: Ax-2y+C=0 jest równoległa do prostej przez punkt P(7, 0) b) prosta kx + 8y + C = 0 jest równoległa do prostej przez punkt P(1, – 3) 3x + 8y + C = 0 jest prostopadła do prostej k: k / – 3 * x + 4y – 5 = 0i c) prosta I: przechodzi – 20x + 15y – 7 = 01 chodzi przez początek układu współrzędnych l:Ax+y+C=0, jest prostopadła do prostej k: 2x + 4y – 13 = 0 i przechoda p(1/2, 7) d) prosta przez punkt P
3.53. Napisz równanie ogólne prostej / prostopadłej do prostej: a) k / 5 * x – y + 3 = 0 i przechodzącej przez punkt P(- 1, 2)
3.52. Dane są równania ogólne prostych kil. Czy proste kil są do siebie prosto padłe? Odpowiedź uzasadnij. a) k / 5 * x + 3y – 2 = 0 b) k / 5 * x + 7 = 0 c) k / 4 * x – 20y + 30 = 0 d) k – 2/3 * x – 3/4 * y + 1 = 0 1: – 15x + 25y + 10 = 0 1: 3y – 2 = 0 1: 15x – 3y – 2 = 0 |:1,5x-1 1 3 y+2 1 5 =0
3.51. Napisz równanie ogólne prostej / równoległej do prostej: a) k * 3x – 2y + sqrt(3) = 0 i przechodzącej przez punkt P(- 1, 1) b) k / 4 * x + 9y = 0 i przecinającej oś OY w punkcie P(0, 5) c) k / 2 * x – 11 = 01 i przecinającej oś OX w punkcie P(- 4, 0) d) k / y – 5 = 0 i przechodzącej przez punkt P(7, sqrt(2))
3.50. Dane są równania ogólne prostych kil. Czy proste kilsą równolegle? Odpo wiedź uzasadnij. 1.-x+1 1 2 y-2=0 5 = 0 y – 1 = 0 5 = 0 1: 2y +5=0 c) k / 7 * x + 21y – 3 = 0 |:x-3y-1=0 a) k / 2 * x – 3y + 6 = 0 b) k / 3 * x – 4 = 0 d) k * 2x + 7 = 0 1:3x-
3.49. W trójkącie równoramiennym ABC (|AC| = |BC|) dane są: wierzchołek C(- 6, 2) oraz wektory vec CD =[-6,4] ) i overline AB =[-4,-6] , gdzie CD jest wysokością trójkąta popro wadzona z wierzchołka C. Wyznacz równania ogólne prostych, w których zawierają się boki tego trójkąta. Kạt między prostymi
3.48. W prostokącie ABCD dane są: wierzcholek C(2, 4) i wektor overline AB =[4,4] . w y znacz równanie ogólne prostej zawierającej przekątną AC tego prostokąta, jeśli wia domo, że wierzchołek A należy do prostej k: x-y-4 0.
3.47. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych oraz prostą k prostopadła do wektora overline u =[3,-1] i przechodząca przez punkt P(4,2), ).
3.46. Podaj miarę kąta, jaki tworzy z osią OX prosta dana równaniem ogólnym: a) x + y – 7 = 0 d) sqrt(3) * x – 3y + 15 = 0 b) sqrt(3) * x – y + 90 = 0 e) x – sqrt(3) = 0 c) sqrt(3) * x + y + 1 = 0 y – (sqrt(3))/3 = 0 f) y-
3.45. Dla jakiej wartości parametru m proste k / x – my + m + 4 = 0oraz 1/2 * m * x + y – m – 1 = 0 przecinają się na osi rzędnych?
3.44. Dla jakiej wartości parametru m proste k / m * x + (m + 4) * y – 5 = 0oraz 1:(m + 1)x – my 10 = 0 przecinają się na osi odciętych?
3.43. Wyznacz wartość parametru m, dla której proste: k-prostopadla do wektora u= 12, -3] i przechodząca przez punkt P(- 1, 6) oraz p / x + y – 5 = 0 in – x + (m + 2) ^ 2 * y – 7 = 0 przecinają się w jednym punkcie.
3.42. Wyznacz wartość parametru p, dla której proste k, l, m nym punkcie, jeśli: k / x + y + 1 = 0, x + p = 0 , m: 3x – y – 9 = 0 . przecinają się w jed
3.41. b) P(sqrt(5), – 3) , Q(sqrt(5), 8) d) P(3, 1), (- 1, – 7) Wyznacz równanie ogólne i kierunkowe (o ile istnieje) prostej k prostopadle do wektora ū i przechodzącej przez punkt P, jeśli: a) vec y =[-1,2],P(3,4) c) i=|5,0],P(-7,8) b) vec u =|6,-1] P(2, 5) , d) vec u =[0,-3],P(12,-9)
3.40. Wyznacz równanie ogólne prostej k przechodzącej przez dwa punkty PiQ (skorzystaj bezpośrednio z równania ogólnego prostej), jeśli: a) P(0, – 4), Q(3, 1) c) P(2, 2) , Q(- 1, 0)
3.39. Wyznacz równanie ogólne prostej k, do której należą punkty AiB, jeśli. a) A(0, 8), B(2, 4) c) A(- 3, 2) , B(4, 9) b) A(3, – 4) , B(11, – 4) d) A(- 2, 6) , B(sqrt(2), – 3sqrt(2))
3.38. Przedstaw równanie prostej k w postaci ogólnej: a) k / (x/3) = (12 – x)/3 b) ky = (- x + 5)/4 c) k / y + (x – 1)/2 = (x + 2)/3
3.37. Dwa wierzchołki trójkąta równoramiennego ABC znajdują się na paraboli o równaniu y = 1/4 * (x – 4) ^ 2 , zaś trzecim wierzchołkiem trójkąta jest wierzchołek para boli. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta, jeśli wiadomo, że kąt roz warty tego trójkąta ma miarę 120°.
3.36. W trójkącie ABC dane są: A(- 3, – 3) , overline AB =[7,0] oraz środek ciężkości 5(3 1/3, – 1 1/3) Oblicz miarę kąta rozwartego ABC tego trójkąta.
3.35. W trójkącie ABC punkt K(- 5, 1) jest środkiem boku AC, zaś boku BC. Wiedząc, że vec AK =[1,6] ) oraz vec Kl =[8,4] , wyznacz równania kierunkowe prostych, w których zawierają się boki trójkąta ABC. punkt 1 – Środkiem
3.34. W trójkącie ABC dany jest wierzchołek A(- 6, – 2) , środek E(0, – 1) boku AB i wektor overline 8c =[-8,4] . Wyznacz równania kierunkowe prostych, w których zawierają się boki trójkąta ABC.
3.33. Dany jest trójkąt o wierzchołkach: A(- 4, 3) , B(4,-5) i ((8,1) . Wyznacz: a) długość środkowej AS b) równanie kierunkowe prostej zawierającej środkową AS c) współrzędne środka ciężkości trójkąta ABC.
3.32. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt A, która tworzy z osią odciętych kąt o mierze dwa razy większej od kata, jaki tworzy z tą osią prosta k, jeśli: a) ky = 3x + 1, 4(16, – 1) ) b) k / y = 0, 5x + 3 , A(6, – 8)
3.31 Wyznacz równanie kierunkowe prostej k przechodzącej przez punkt Pina chylonej do osi OX pod kątem a, jeśli: a) P(0, 0) , a = 135 degrees d) P(3, – 4) , a = 45 ° b) P(0, 6) , a = 30 degrees e) P(- 2sqrt(3), 5), a = 60 degrees c) P(4, 0) , a = 120 degrees f) P(sqrt(6), sqrt(8)) , a = 150 degrees °
3.30. Dane jest równanie prostej k. Podaj miarę kąta nachylenia tej prostej do osi OX, jeśli: a)
3.29. Prosta przechodzi przez punkty Ai B. Podaj (z dokładnością do jednego sto niamiarę kąta nachylenia prostej do osi OX 1 jeśli: a) A(- 4, 2) , 3(1, 8) c) A(12, – 3) , B(6, 15) b) A(5, 6), 8(9, – 4) d) A(2, – 3), B(- 1, – 19)
3.28. Napisz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty Ai B, jeśli: a) A(- 10, 58), 8(2, 22) c) A(- 10, 7), B(5, – 3) b) A(- 8, – 95), B(4, 25) d) A(- 6, – 2) , B(24, 4)
3.27. Prosta / przechodzi przez punkt A, a jej współczynnik kierunkowy jest rów równanie kierunkowe prostej, jeśli: b) m = 2 , A(10, 12) ny m. Wyznacz a) m = – 3, A(5, 6) c) m = 1/3, A(- 1, – 9) d) m=- 3 4 ,A(24,-36 )
3.26. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty AiB jeśli: a) A(2, – 3) , B(6, 7) c) (- 3/4, – 1), 8(- 1/4, 8) b) A(- 4, 1), B(2, 7) A(1/8, 1 1/2), B(1/4, – 1/2) d) A
3.25. Dane są wektory tilde u =|3,-1\ vec v =|-2,5], vec p =[1,-2]. Wykał, że jeśli wektory i^ prime =0* vec u -b* vec v , sa prostopadle, to 12b + 5a = 0 . Równanie kierunkowe prostej
3.24. Dane są wektory vec u =|1,2] , vec v =|3,-6], vec p =|a,- 1 2 | metru a, jeśli wiadomo, że wektory vec r =(a+1)* vec u + vec v * vec p ,s są prostopadłe.
3.23. Wyznacz wszystkie wartości parametru a (a in R) , dla których wektory vec u =|a-2,3]i vec v =[g-2,a^ 2 +2a+4] ) sa równolegle. Wyznacz wartość par
3.22. Wyznacz wszystkie wartości parametru a \ g in R) vec u =|a,-2|| vec v =|-4-a,a] są równolegle.
3.21. Wykaż, że przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe. Następnie oblicz pole czworokąta, jeśli: a) A(- 4, 1) , 6(- 2, 3) , C(- 4, 5), D(- 6, 3) b) A(- 8, 0) , B(- 1, 1) , C(4, 6), D(- 3, 5) c) A(- 8, 3) , B(- 3, 2), C(0, 11), D(- 9, 8) d) A(- 7, – 7), B(7, – 7), C(4, 4), D(- 4, 4)
3.20. Dane są wektory üi v. Wskaż pary wektorów równoległych oraz pary wekto rów prostopadłych, jeśli: a) vec u =[2,5], vec v =[ sqrt 28 ,5 sqrt 7 ] b) vec u =|2 sqrt 3 ,-9], vec v =[9, sqrt 12 ] [3a,-2a], vec v =[ a 4 ,- a c ],a in R-\ 0\ c) vec u =[3 d) vec u =[2a, a 5 ], vec v =[- 1 2 ,5],a in R-\ 0\ trójkąta ABC, jeśli: – 2/2 + 1
3.19. Oblicz długości boków oraz miary kątów a) A(- 7, 1) , B(1,-1),((-2,4) b) A(- 4, – 2sqrt(3)), B(2, – 2sqrt(3)), C(- 4, 4sqrt(3)) c) A(sqrt(3), sqrt(3)), B(3, sqrt(3)), C(3 + sqrt(3), 3 + sqrt(3)) d) A(0, 3) , B(3 sqrt 3 ,6), mathcal C (-3 sqrt 3 ,6)
3.18. Wyznacz miarę kąta a utworzonego przez wektoryū vec u i vec v , jeśli: a) vec u =[1,2], vec v =[4,-2] c) vec u =[- sqrt 3 ,1], vec v =|1,0] b) overline u =|-3,3], vec v =[2,0] d) vec u =[- sqrt 3 ,-1] , vec v =[2 sqrt 3 ,-2]
3.17. Oblicz cosinus kąta a utworzonego przez wektory u i v, jeśli: ) a) vec u =|2 sqrt 2 ,1], vec v =[0,-5] c) vec u =|-4,8) , vec v =|1,2] b) vec u =[- sqrt 5 ,2], vec v =[ sqrt 5 ,0] d) vec u =| sqrt 6 ,3 sqrt 2 ], vec v =[2 sqrt 2 ,4] )
3.16. Oblicz sinus kąta a utworzonego przez wektory vec u i vec v vjeśli: a) vec u =[ sqrt 3 , sqrt 6 ], vec v =|2,0] c) u = [7, – 1] ), V = [2, 2] b) vec u =[-3,4], vec v =[0,5] vec u =[12,-5] ), vec v =|6,8] d)
3.15 Oblicz współrzędne punktu S przecięcia środkowych w trójkącie ABC, jeśli: a) A(0, 0), B(9, 0) , C(0, 6) b) A(- 4, 0), B(- 2, – 5), C(0, 2) 3.15. c) A(- 2, 7), B(1, 2) , C(4, 0) d) A(- 4, – 6), (2, – 11) , C(5, 5) . d)
3.14. Dane są trzy wierzchołki równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne czwarte go wierzchołka oraz współrzędne punktu P przecięcia przekątnych, jeśli: b) A(- 5, – 2), B(3, 1) , D(- 2, 5) . a) A(4, 1) , B(2,6),((-8,3) Narysuj równoległobok ABCD w układzie współrzędnych.
3.13. Dane są dwa wierzchołki równoległoboku ABCD i punkt P przecięcia się prze kątnych. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku, jeśli: b) B(4, – 2) , C(2, 7) , P(- 1, 2) a) A(- 3, 5), B(- 2, – 1) , P(3, 1) Narysuj równoległobok ABCD w układzie współrzędnych
3.12. Wyznacz współrzędne punktów podziału odcinka AB: a) na dwa odcinki równej długości, jeśli A(- 3, 4), (2, – 7) b) na cztery odcinki równej długości, jeśli A(- 5, – 7), B(3, 5) ) c) na trzy odcinki równej długości, jeśli A(2, – 3), 8(- 10, 3) d) na sześć odcinków równej długości, jeśli A(- 1, 3), B(5, 15) .
3.11. Wyznacz współrzędne punktu A 1 będącego obrazem punktu A w symetri środkowej względem punktu P, jeśli: a) A(- 3, 0), P(- 1, 2) c) A(0, – 2), (- 2, 1) b) A(6, 2), P(3, 0) d) A(- 3, – 3), P(4, 5)
3.10. Wyznacz c) 3 współrzędne środka odcinka AB, jeśli: b) a) A(0, 4), B(- 2, 0) C) A(4, – 1), B(- 10, 9) A(- 3, 1), B(3, 5) d) A(sqrt(2), – 3), B(sqrt(2), 7)
3.9. Dane są wektory: gość wektora: a) vec u + vec v
3.8. Wyznacz liczbę m, dla której wektory b) przeciwne a) równe . Oblicz współrzędneid. vec u =|2,-4] , vec nu =[-3,4],2=[10,-2] b) vec z – hat y 1 2 vec u – vec v +2 vec z
3.7. Korzystając z równoległości wektorów, sprawdź, czy odcinki AB i CD są równo legle, jeśli: a) A(- 10, – 4), B(- 7, – 2), C(5, 1) , D(11, 4) b) A(0,2), ((4,0), C(0,4), D(0, 6) c) A(- 4, – 1), B(3, 6), C(1, – 3), D(2, – 2) 6 A(- 1/2, 16), B(1, – 20), C(1/2, – 7), D(1/6, 1) d)
3.6. Wykaż, że jeśli niezerowe wektory sigma=[0 1 ,a 2 ] ) oraz vec b =[b 1 ,b 2 ] są równolegle, to a 1 b 2 -a 2 b 1 =0 .
3.5. Sprawdź, czy wektory overline AB oraz overline CD sa przeciwne: a) A(4, 3), B(5, 2) , C(2, 2), D(1, 3) c) A(2,-7 ), B(5, 8) , C(- 11, 3), D(4, 6) b) A(2, 5) , B(8,7), C(- 4, – 7), D(2, – 5) d) A(- 4, 2), B(3, – 1), C(- 3, 1) , D(4, – 4)
3.4. Sprawdź, czy wektory overline AB oraz overline CD sa równe: a) A(1, 2) , B(3,6),((-1,5) , D(1, 9) c) A(- 2, – 1) , B(4, 2), C(7, – 5), D(1, – 2) b) A(- 2, 6), B(1, 2), C(3, 1), D(0, 5) d) A(3, 8) , B(- 4, 2) , C(1, – 10), D(- 6, – 16)
3.3. Dany jest punkt B oraz wektor overline AB . Oblicz współrzędne punktu A. a) B(3, 2) , overline AB =|-1,0| ) c) B(0, – 8) , vec AB =[-3,-2] b) B(- 7, 3) , overline AB =[-4,5] ) 2, 12, AB = 1,-2 6 d) B
3.2. Dany jest punkt A oraz wektor AB. Oblicz współrzędne punktu B. a) A(0, – 3) , overline AB =|2,-1] A (7 1 2 ,-6 ), overline AB = [-4,7 3 4 ] b) A(- 4, 0) , overline AB =[3,5] d) A( sqrt 3 ,2 sqrt 3 ), overline AB =[ sqrt 3 +3,1-2 sqrt 3 ]
3.1. Dane sa punkty A i B. Oblicz współrzędne i długość wektora AB. Narysuj wektor AB w układzie współrzędnych. a) A(7, 2) , B(3, – 1) c) A(- 4, – 7) , B(1, 5) b) A(0, – 3), B(- 1, 0) d) A(- 5, 3) , B(0, – 2)
2.148. Kierowca samochodu osobowego z silnikiem benzynowym ma do przeje chania autostrada odcinek mający długość 490 km. Rozważa dwa warianty: 1) jazda z prędkością, przy której średnie spalanie jest najniższe, 2) jazda z maksymalna dopuszczalną prędkością (140 km/h) . Wiadomo, że średnie spalanie f(x) w tym samochodzie (w litrach na 100 km) w za leżności od średniej prędkości x, opisuje funkcja f(x) = (x ^ 2 + 23450)/(4x + 530) – 28, 5 gdzie x in langle5,140 rangle , a cena jednego litra benzyny jest równa 5,50 zł. Oblicz: a) ile czasu zajmie przejazd samochodu w wariacie 1) i w wariacie 2) b) o ile złotych tańszy będzie przejazd w wariancie 1) (uwzględniamy wyłącznie koszt benzyny).
2.147. Mały zakład może produkować dziennie x wieszaków.gdzie Na dzienne koszty działalności zakładu składają się następujące elementy: – 4 zł to koszt związany z wyprodukowaniem każdego wieszaka; 22500/x to koszty bieżące działalności zakladu, serwis urządzeń produkcyjnych; – 600 zł to wynagrodzenie pracowników. a) Zapisz wzór funkcji y = K(x) , gdzie K(x) oznacza dzienny koszt działalności zakladu przy wyprodukowaniu x wieszaków. b) Oblicz, ile wieszaków dziennie powinien wyprodukować ten zaklad, aby jego dzienny koszt działalności był najmniejszy.
2.146. Wyznacz asymptoty wykresu funkcji f(x) =x- x in(-3,0) cup(0,+ infty) . +3, gdzie ), x in langle20,200 rangle
2.145. Wyznacz zbiór wartości funkcji ff * (x) = x ^ 3 + 243/x f(x) = 1/2 * x – 4/x + 3
2.144. Dana jest funkcja f(x) = zbiór wartości funkcji f. f(x) = 10/x + 3 + 2.5x + 3 + 2,5x, gdzie x e x in(-5,0) cup(0,5) . Wyznaca gdzie x in R-\ 0\
2.143. Dana jest funkcja f(x)= 1 4 x^ 4 – 1 3 x^ 3 – 9 2 x^ 2 +9x+ ex+1, gdzie x in R . a) Wyznacz ekstrema lokalne funkcji. b) Wyznacz zbiór wartości funkcji f.
2.142. Maksymalny przedział, w którym funkcja x in R , jest malejąca, to przedział (- 5, 3) . a) Oblicz współczynniki a, b. b) Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f. f(x) = 1/3 * x ^ 3 + a * x ^ 2 + bx + 7 , gdzie
2.141. Dana jest funkcja f(x) = x ^ 3 + 4x ^ 2 – 3x – 12 , gdzie x in R a) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f. b) Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f. c) Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A, w którym wykres funkcji f przecina oś OY. d) Punkt B należy do wykresu funkcji f Styczna do wykresu w tym punkcie jest rów nolegla do stycznej w punkcie A. Wyznacz współrzędne punktu B oraz równanie stycznej do wykresu funkcji f w tym punkcie.
2.140. Dla jakich wartości parametru k k in R) funkcja f(x)= 2kx^ 2 +3,&jef||x;\\ -1 kx ;jesin x>1 x <= 1 jest: a) ciągła w zbiorze R b) różniczkowalna w zbiorze R?
2.139. wykaż, że najmniejszy kąt, pod jakim może być nachylona do osi OX styczna do wykresu funkcji f(x) = x ^ 3 – 6x ^ 2 + 13x – 8 , gdzie x in R R. Jest równy 45 degrees °
2.138. Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji f, której dziedzina jest przedzial (- 3, 5) . Wykres ten sklada się z dwóch odcinków i fragmentu paraboli, y = f(x) 45 a) Podaj zbiór, w którym funkcja f jest różniczkowalna. b) Oblicz: f^ prime (-2),f^ prime (1),f^ prime (3) , f^ prime (4) .
2.137. Rysunek obok przedstawia szkic wykre su funkcji f(x) = – x ^ 3 + 3x ^ 2 + 24x – 72 , gdzie x in R Punkty A, B, C, D należą do wykresu funkcji f. Wyznacz współrzędne tych punktów, wiedząc, dodatkowo, że: punkty A, B należą też do osi OX styczna do wykresu funkcji f w punkcie C jest opisana równaniem y = 24x – 68 – styczna do wykresu funkcji f w punkcie D jest równoległa do osi OX. in y = f(x) AY 2. je
2.136. O funkcji ciąglej f wiadomo, że jeślix x in(7,10) , to f^ prime (x)>0 0. Styczna w punk cie A(10, 8) należącym do wykresu funkcji f ma współczynnik kierunkowy równy zero. Ponadto funkcjafjest malejąca w przedziale (10, 15) . Spośród poniższych zdan wybierz zdania prawdziwe. Uzasadnij swój wybór. a) W punkcie 10 funkcja ma minimum lokalne. b) W punkcie 10 funkcja f ma maksimum lokalne. c) W punkcie 10 funkcja f nie ma ekstremum lokalnego. d) Styczną do wykresu funkcji f w punkcie A opisuje równanie y = 8 . e) Styczna do wykresu funkcji f w punkcie A opisuje równanie y = 10 . f) Styczna do wykresu funkcji f w punkcie A opisuje równanie y = 10x
2.135. Spuszczenie wody z basenu zajmuje 80 minut. Ilość wody w basenie (w trach) po t minutach od rozpoczęcia spuszczania wody opisuje funkcja V(t) = 250 (80 – 1) ^ 2 , gdziet t in langle0,80 rangle sześciennych wody mieści się w napełnionym basenie? b) lle metrów sześciennych wody pozostanie w basenie po 20 minutach od rozpo częcia spuszczania wody? a) lle metrów 6) lle – średnio – litrów wody na minutę wypłynie z basenu w czasie 20 początko wych minut od rozpoczęcia spuszczania wody? d) Jaka będzie prędkość wypływania wody z basenu (w litrach na minutę) w 20 mi nucie od rozpoczęcia spuszczania wody?
2.134. Mały kulisty kamień wystrzelono pionowo do góry. od ziemi w metrach) po t sekundach od wystrzelenia (do upadku na ziemię) opisuje funkcja a) s(t) = 1, 5 + 34, 3t – 4.9t ^ 2 Z jakiej wysokości nad ziemią wystrzelono kamien? b) Na jakiej wysokości był kamien po 3 sekundach od wystrzelenia? c) Jaka była średnia prędkość kamienia między 2 a 3 sekundą od wystrzelenia? d) Jaka byla prędkość chwilowa w 3 iw 4 sekundzie po wystrzeleniu kamienia? e) Na jaką maksymalna wysokość wzniósł się kamien? 1) Po ilu sekundach od wystrzelenia kamień spadl na ziemię? Wynik podaj z nością do 0,01 sekundy. z doklad
2.133. Temperature T wrzenia wody (w °C) w zależności od wysokości h (w me trach) nad poziomem morza (n.p.m.) opisuje w przybliżeniu funkcja T(h) = 103, 79 – 0, 1895sqrt(h + 400) , gdzie h in(0,2000) Wykaz, korzystając z twierdzenia Darboux, że pomiędzy 800 m n,p.m,a 9 900 m . n.p.m. jest taki punkt, w którym woda wrze w temperaturze 97 degrees * C
2.132. Wyznacz granice: a) lim x infty [-2(1-2x)(x+3)(1-3x)] c) lim x + infty -3x^ 3 +2x^ 2 +x+1 (1-2x^ 2 )(1+2x^ 2 ) b) d) f) lim x 2 4x+8 x^ 2 +4x+1 lim x -4 sqrt 2x+9 -1 x+4 lim x 2 x^ 2 +x-6 x^ 2 -4x+4 lim x 2 x^ 2 -2x-4 x^ 2 +3x-10 lim x -1 x^ 2 -3x-4 -x^ 2 -2x-1 lim x 4^ x^ 2 -10x+24 x^ 2 -8x+16 lim x infty 2x^ 2 +4x+5 3(1-2x)(x-1) lim x – infty 4x^ 3 -3x^ 2 +5x (4x-1)^ 2 b) d) f) b) d)
2.131. Wyznacz granice jednostronne: a) c) e) lim x 3^ + 3x^ 2 -2x-1 x^ 2 -4 lim x 3^ a x^ 2 +4x-21 x^ 2 -x-6 lim x -2^ x 7 x^ 2 +4x+4
2.130. Zbadaj, czy istnieją poniższe granice. Jeśli istnieją, to je wyznacz. lim x 3 2x^ 2 -6 x^ 3 -4x^ 2 +x lim x 3 x^ 2 +2x-15 2x^ 2 -4x-6 c) lim lim x -1 x^ 3 +2x^ 2 +x x^ 2 -1 a) e)
2.129. Zbadaj, czy istnieje granica funkcji fw punkcie x 0 , jeśli: a) f(x)= |x|^ 3 -5x^ 2 |x|^ 2 ,x 0 =0 Jeśli granica istnieje, to ją b) f(x)= |x|^ 3 -5x |x| ,x 0 =0 wyznacz.
2.128. Dzienny koszt zasadzenia x drzew w parku wyraża się K(x) = x ^ 2 – x + 250 , gdzie x € (4,65). Ile dziennie trzeba zasadzić drzew w tym parku, aby koszt zasadze nia jednego drzewa był najmniejszy?
2.127. W pewnej firmie koszt wytworzenia x sztuk towaru w ciągu jednego dnia wyraża się wzorem K(x) = 0, 1x ^ 3 + 675 , gdzie x in(5,40) . Ile sztuk tego towaru trzeba dziennie wyprodukować, aby koszt wytworzenia jednej sztuki byl najmniejszy?
2.126 . Półproste OA^ -1 10B^ -4 zawierają się w prostych prostopadłych, CD 1 BD oraz |CD| = 2i|DO| = 3 (zobacz rysunek poniżej). Oznaczmy długość odcinka OA przez x. a) Wyznacz długość L(x) odcinka AB jako funkcję x. b) Dla jakiej liczby x funkcja L przyjmuje najmniejszą wartość?
2.125. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta pro stego jest równa h. Dzieli ona przeciwprostokątną na odcinki mające długość y – x . Wyznacz y jako funkcję xi oblicz najmniejszą wartość tej funkcji. x oraz
2.124. Wydajność pracy pewnego robotnika zmienia się w ciągu ośmiogodzinnego w(t) = 50 + 9t – t ^ 2 – 1/9 * t ^ 3 dnia pracy i po t godzinach od jej rozpoczęcia osiąga wartość w(t)= 50 +9t- gdzie f in langle0,8 rangle ). O której godzinie wydajność robotnika jest największa, jeśli rozpo czyna on pracę o godz. 6?
2.123. Wyznacz dwie nieujemne liczby x, y, które spełniają równanie 2x+y=1, tak aby suma ich sześcianów x ^ 3 + y ^ 3 * b * y * h : a) najmniejsza b) największa
2.122. Czy istnieje przedstawienie liczby 10 w postaci dwóch składników, dla któ rych iloraz sumy kwadratów tych składników przez iloczyn tych składników jest naj mniejszy, jeśli: a) oba składniki są dodatnie b) jeden ze składników jest ujemny?
2.121. Do pewnej liczby a dodano jej kwadrat, a następnie odjęto sześcian liczby a. Czy istnieje taka liczba a, dla której wartość otrzymanego wyrażenia jest największa, jeśli: a) sigma in(0,+ infty) b) a E R?
2.120. Z kawalka kątownika mającego długość 9,6 m w którym stosunek długości krawędzi podstawy jest równy tego akwarium, jeśli jego objętość jest największa?
2.119. Suma długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzcholka jest równa 54 cm. Dlugość jednej z tych krawędzi jest dwa razy większa od drugiej. Jakie są długości krawędzi tego prostopadłościanu, który ma największą objętość? określ liczbę rozwiązań rów w zależności od wartości parametru m,m in R zrobiono szkielet akwarium, 2/3 . Jakie są wymiary
2.118. Należy sporządzić skrzynię (z pokrywą) w ksztalcie prostopadłościanu o ob jętości 72 cm ^ 3 ?. Stosunek długości krawędzi podstawy tego prostopadłościanu ma być równy 1:2. Jakie powinny najmniej materialu? być wymiary skrzyni, aby na jej konstrukcję zużyć jak
2.117. Z kawałka drutu mającego długość 96 cm wykonano model prostopadło ścianu o podstawie kwadratowej i największej objętości. Jakie są wymiary tego pro stopadłościanu?
2.116. Należy wykonać skrzynię w kształcie prostopadłościanu (bez górnego wie ka), którego podstawa jest kwadratem Pojemność skrzyni ma być równa 32 litry. Jakie wymiary (w centymetrach) powinno mieć to pudełko, aby jego pole po wierzchni bylo najmniejsze?
2.115. Z kwadratowego arkusza blachy o boku dlugości 80 cm wycięto w narożach cztery przystające kwadraty o boku długości x. Otrzymany profil odpowiednio zgię to, stykające się krawędzie zlutowano i w ten sposób otrzymano prostopadłościen ną skrzynię (bez górnego wieka) Dla jakiej wartości x pojemność otrzymanej skrzyni jest największa? Wyznacz tę pojemność z dokładnością do 0,1 litra.
2.114. nania f(x) = (2x ^ 2)/((2 – x) ^ 2) Na podstawie wykresu funkcji f(x) =- (2x ^ 2)/((2 – |x|) ^ 2) = m Zadania optymalizacyjne
2.113. Zbadaj liczbę rozwiązań równania 1+(x^ 2 -3x+1)+(x^ 2 -3x+1)^ 2 +…=m w zależności od wartości parametru m.
2.112. Zbadaj parametru m, liczbę rozwiązań równania R. m in R (2x ^ 3)/(x ^ 2 – 9) = m w zależności od wartości
2.111. Zbadaj przebieg zmienności a) f(x) = (x ^ 2)/(|x| – 2) b) f(x)=x-2+ x-2 x-5 + x-2 (x-5)^ 2 + i naszkicuj wykres funkcji f: b) f(x) = |x|/(x ^ 2 – 1) 1
2.110. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f: a) f(x)=x-3+ 2x-6 x+2 + 4x-12 (x+2)^ 2 +…
2.109. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f: a) f(x) = (x ^ 2 – 4)/(x + 1) c) f(x) = (x ^ 3)/(x ^ 2 – 4) c) b) f(x)=- x? X-2 d) f(x) = (x ^ 3)/(1 – x ^ 2)
2.108. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f: a) f(x) = x/(x ^ 2 + 4) c) f(x) = (x + 1)/(x ^ 2) f(x) = (2x ^ 2)/((x + 1) ^ 2) e) b) f(x) = x/(x ^ 2 – 4) f(x) = (3x ^ 2)/(x ^ 2 – 4) f(x) = (x ^ 2 – 16)/(9 – x ^ 2) d) f)
2.107. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f: a) f(x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 – 4 c) f(x) = 3x ^ 4 – 6x ^ 2 + 4 b d f(x) = x ^ 2 + 12x ^ 2 – 9x + 2
2.106. wyznacz zbiór wartości funkcji f. f(x)= 1 3 x^ 3 -3x^ 2 +9x-7 2 3 ,x in(2,5) by f(x)= 1 3 x^ 3 – 1 2 x^ 2 -6x+4 2 3 ,x in\ -3,2\ a) b) ) c) f(x)= 1 4 x^ 4 -2x^ 3 -2x^ 2 +24x+10,x in(0,7) d f(x)= 1 4 x^ 4 + 1 3 x^ 3 – 5 2 x^ 2 +3x+6,x in(-2,2) Badanie przebiegu zmienności funkcji
2.105. Wyznacz wartości (o ile istnieją) funkcji f: największą (M) i najmniejsza (m) podanym zbiorze: w f(x)= 1-x^ 2 x-3 ,x in langle-5,3) f(x) = 1/(x ^ 2 – 4) langle1,2) a) f(x)= x^ 2 4+x ,x in langle-10,-5 rangle cup langle-3,5 rangle b) f(x) = (10x)/(x ^ 2 + 1) =(0,10) x in10 d) 2) cup(2, (2, 3)
2.104. Wyznacz największą (M) i najmniejsza (m) wartość funkcji f w podanym przedziale: a) f(x)= 1 3 x^ 3 +x^ 2 -8x-8,x in langle-5,3 rangle ) b f(x)=3x^ 4 -8x^ 3 +6x^ 2 -5,x in(-1,2) c) f(x)= 1 5 x^ 5 + 1 2 x^ 4 – 1 3 x^ 3 -x^ 2 ,x in langle-2,2 rangle d) f(x)= 1 5 x^ 5 -x^ 4 + 4 3 x^ 3 -1,x in\ -1,3 rangle )
2.103. w punkcie 4 funkcja f(x) = (m + 2)/3 * x ^ 3 – 4x ^ 2 + (8 – m) * x + 5 Niech f x) = m+2) x-4x +(8-m)x+5, gdzie x in R R. Dla jakich wartości parametru m: funkcja f jest rosnąca w zbiorze R b) funkcja f ma tylko jedno ekstremum lokalne; określ rodzaj tego ekstremum a) c) funkcja f ma dwa ekstrema lokalne w punktach dodatnich? Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale
2.102. Dana jest funkcja f(x) = ekstremum lokalne. a) Wyznacz aib. b) Określ rodzaj ekstremum w punkcie 4
2.101. Funkcja f(x)=: ma w punkcie 3 maksimum lokalne równe Wyznacz a, b oraz pozostałe ekstrema tej funkcji. x < - 3
2.100. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x) = x * sqrt(x) – 6x + 3 f(x) = (x ^ 2 – ax + b)/(x – 5)
2.99. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x) = sqrt(8x) – x + 1
2.98. Wyznacz ekstrema lokalne (o ile istnieją) funkcji f: a) f(x) = (x ^ 2)/(|x| – 4) c) f(x)= x^ 2 x+17-2x| b) f(x)= x^ 2 x+12x-5| d) f(x) = |x ^ 2 + 2x – 3|/(x ^ 2)
2.97. Wyznacz ekstrema lokalne (o ile istnieją) funkcji f. a) f(x)=x-4 b) – 21x + 18 , jeśli x < - 2 jeśli x >= – 2 f(x)= -x^ 3 -11x^ 2 -40x-\\ 9-x^ 2 x^ 2 +4 ,&iesh x>= -48, jeśli x >= – 3
2.96. Wyznacz ekstrema lokalne (o ile istnieja) funkcji f: a) f(x) = 5x + 1/x c) f(x) = (3x ^ 2 – 5x + 9)/x b) f(x) = x ^ 2 + 16/x f(x) = (x ^ 2 – 5)/(x ^ 2 + 2) d)
2.95, Wyznacz ekstrema lokalne (o ile istnieją) funkcji f: al f(x) = 1/5 * x ^ 5 – 10/3 * x ^ 3 + 9x – 10 c) 5) f(x) = 1/4 * x ^ 4 – 2x ^ 3 + 4 1/2 * x ^ 2 + 7 f(x) = 1/5 * x ^ 5 – x ^ 4 – 4x ^ 3 + 84 d) f(x) = 1/5 * x ^ 5 + 3x ^ 3 + 18x – 123
2.94. Wyznacz ekstrema lokalne f(x) = 1/3 * x ^ 3 + x ^ 2 – 15x – 10 1 f(x) = 1/3 * x ^ 3 – 2x ^ 2 + 8x – 3 (o ile istnieją) funkcji f: b) f(x) = – 1/3 * x ^ 3 + 5x ^ 2 – 24x + 57 d) f(x) = – 1/3 * x ^ 3 + x ^ 2 – x + 18
2.93. O funkcji f(x) = x ^ 3 + a * x ^ 2 + bx + 6 , x in R, Wiado wiadomo, że: f^ prime (x)>0 Leftrightarrow x in( -7 3 ,1) a) Oblicz współczynniki a, b, b) Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f. Ekstrema lokalne funkcji
2.92. Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f: a) f(x) = |x + 1|/(x ^ 2 – 9) b) f(x) = |x ^ 2 – x – 2|/x
2.91. Wyznacz maksymalne przedzialy monotoniczności funkcji a) f(x)= x^ 2 -4 x^ 2 +2 ,jesii x<2\\ x^ 3 -2x^ 2 ,jesii x>= x < 2 x >= 2 b) f(x)= x^ 2 +11 x^ 2 +1 ,&i in Hi&x<2\\ 5x^ 2 -17 x^ 2 -3 ,iegi&x>=. x >= 2
2.90. Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f. a) c) f(x) = (x ^ 2 + 3x + 1)/(x + 3) f(x) = (x ^ 2 + 5x – 6)/(x ^ 2 – 5x + 6) b) d) f(x) = (2x ^ 2 – 8x + 8)/(x – 4) f(x) = (x ^ 2 – 5x + 14)/(x ^ 2 – 5x – 14)
2.89. Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f: a) ( c) f(x) = – x ^ 4 – 7/3 * x ^ 3 – x ^ 2 + x + 6 b) f(x) = 1/4 * x ^ 4 – 1/3 * x ^ 3 – 1/8 * x ^ 2 + 1/4 * x f(x) = – 1/5 * x ^ 3 + x ^ 4 – x ^ 3 – 2 f(x) = 1/5 * x ^ 5 – 5/3 * x ^ 3 + 4x – 6
2.88. Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f: a) f(x) = 2x ^ 3 – 9x ^ 2 – 24x + 1 c) f(x) = 1/4 * x ^ 4 – 2x ^ 3 + 5 b) f(x) = – 1/3 * x ^ 3 + 4x ^ 2 – 15x – 7 d) f(x) = – 1/2 * x ^ 4 + 2/3 * x ^ 3 + 16x ^ 2 – 32x + 7 w punkcie w punkcie w punkcie prze
2.87. Styczna do wykresu funkcji f(x)=x^ 3 -6x^ 2 +12x-4,x in R , w punkcie A cina ten wykres w punkcie B(0, – 4) , różnym od punktu A. a) Wyznacz współrzędne punktu A. b) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A. Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji
2.86. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=D P(x 0 ,-9) . lle punktów wspólnych z wykresem funkcji ma ta styczna?
2.85. Wyznacz równanie stycznej p(x 0 , 5 4 ) f(x) = (x ^ 2 – 4)/(x ^ 2 + 2x + 1) do wykresu funkcji f(x)=- lle punktów wspólnych z wykresem funkcji ma ta styczna? f(x) = (x ^ 2)/(x + 2)
2.84. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=- P(x 0 ,-8) . Ile punktów wspólnych z wykresem funkcji f ma ta styczna?
2.83. wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=D: f(x) = (x ^ 2)/(2 – x)
2.82. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji fw punkcie P, jeśli: a) f(x) = x ^ 2 + 4x – 7, P(1, – 2) c) f(x) = (4x + 2)/(x + 3), P(x, 2) b) f(x) = – 2x ^ 2 + x + 3, P(- 2, – 7) f(x)= 3-x 2x+18 ,P (x 0 , 1 2 ) d) w punkcie f(x) = 1/3 * x ^ 3 – 9x – 1/3 P(-2,y 0 ) . Następnie wyznacz współrzędne drugiego punktu wspólnego tej stycznej 2 wykresem funkcji
2.81. Zbadaj, czy istnieją takie wartości parametrów k,m(k,m in R) , dla których funkcja f jest różniczkowana w zbiorze R. Wyznacz f’. f(x)= 4x+m,&jes|i&x<1\\ kx^ 2 +2x i &jes|i&x>=1 f(x)= 2x^ 2 +k^ 2 x,&jes|i&x<2\\ x+m,&jesli&x>=2 b) f(x)= d) 4. m x? -kx, jeśli x < 3 -2, jeśli x >= 3 Х f(x)= mx^ 2 +(k+1)x,&j in S|
2.80. Wyznacz pochodną funkcji: a) c) e) f(x) = (x ^ 3 – 2)/(3x ^ 2 + x) f(x) = (x ^ 2 + 8)/(x + 2) f(x) = (x ^ 4 + 3x + 2)/(x ^ 3 + 1) b) f(x) = 2sqrt(x) – 1/x d) f(x) = 2x ^ 4 – sqrt(x) + 5 D) f(x) = sqrt(7) + sqrt(x) b) f(x) = (2x ^ 2 – 3)(4x ^ 2 + 3x) d) f(x) = (2x ^ 4 + 4x ^ 2)(x ^ 3 + x + 3) f(x) = (x ^ 2 + x + 1/x)(sqrt(x) + x) f(x) = (- 2x)/(3x – 1) f(x) = (3x ^ 2 + 7x)/(6x + 1) f(x) = (2x)/(x ^ 2 – 5) b) d) f) f(x)=D f(x) = (4x ^ 2 – 5x)/(x ^ 2 + x + 2) b) d) f(x) = 5/(x ^ 4 + x ^ 3 + 1) n f(x) = x/(x ^ 5 – 1)
2.79. a) c) e) Wyznacz pochodną funkcji: f(x) = 3/(x + 5) f(x) = (5x + 1)/(- 4x + 2) f(x) = (x ^ 2 – 4)/(x ^ 2 + 1)
2.78. Wyznacz pochodną funkcji: a) f(x) = (4x – 1)(x ^ 5 + 2) c) f(x) = (x ^ 3 + x ^ 2 + x)(x ^ 2 + x + 1) . f(x) = (2sqrt(x) + x ^ 2 + 1)(x – 1/x) e)
2.77. Wyznacz pochodną funkcji: a) f(x) = sqrt(x) + 2x c) f(x) = x ^ 2 + 2/x + sqrt(x) + sqrt(2) c) 10) f(x) = x ^ 5 – 2x ^ 3 + x + 6/x e)
2.76. Wyznacz pochodną funkcji: f(x) = 1/4 * x ^ 4 – 1/3 * x ^ 3 + 2x ^ 2 c) f(x) = – 3x ^ 8 + 5x ^ 4 + 6 e) f(x) = sqrt(6) * x + x ^ 7 – 1/8 * x ^ 8 x 0 =-2 x 0 =0 x 0 =1 x 0 =-3 x 0 =0 x 0 =2 b) f(x) = – 3x d) f(x) = – x ^ 2 + 7 ) f(x) = x ^ 3 – 4x ^ 2 + 5x b) f(x) = x ^ 5 – 2x ^ 4 + x + 1 f(x) = 5 + 2x ^ 3 – 6x ^ 6 f) f(x) = x ^ 10 + x ^ 100 + x ^ 1000
2.75. Wyznacz pochodną funkcji: a) f(x) = 7 c) f(x) = 6x – 8 e) f(x) = 5x ^ 2 + 3x – sqrt(2)
2.74. Zbadaj, czy istnieje pochodna funkcji w punkcie x 0 f(x)= 3x^ 2 +4x,&|es||x<=\\ -8x-12,&|esh x> x <= - 2 f(x)= x^ 3 ,&jesli&x<=0\\ -x^ 2 ,&jesli&x>0 f(x)= -2x+5, fesli x<=1\\ -3x+6, jesli x>1 f(x)= x^ 2 -9 2x+6 , iesh x<-3\\ -3,&iesin x=-3 f(x)= 2x^ 2 +1,&iet|i&x<=0\\ x^ 2 -3,&ies|i&x>0 f(x)= (x-2)^ 2 +4,&j08k&x<=2\\ 4,&jes6&x>2 –2 b) c) d) e) Funkcja pochodna
2.73. Korzystając z definicji, oblicz pochodna funkcji fw punkcie x 0 : a) f(x) = 2x ^ 3 x 0 =5 c) f(x)= x+3 x-5 ,x 0 =1 e) f(x) = sqrt(3x + 6) , x 0 =1 b) f(x) = – x ^ 3 + x ^ 2 – x , x 0 =-2 f(x) = (- 3x)/(x + 1) f(x) = sqrt(1 – 5x) , x 0 =-3 d) x 0 =-2
2.72. Korzystając z definicji, oblicz pochodną funkcji f w punkcie x 0 a) f(x) = – 2 , x 0 = 3 c) f(x) = 4x ^ 2 + 3x , x 0 =-2 f(x)= 1 x+5 ,x 0 = e) b) f(x) = 3x – 5 , x 0 =-1 d) f(x)=-x^ 2 +5,x 0 =5 x + 1 = 4 f(x)= -2 x-3 ,x 0 =-3 f) d) f)
2.71. Wyznacz równania wszystkich asymptot wykresu funkcji f: a) c) e) f(x) = (x ^ 2 + 4x – 12)/(x ^ 2 – 4) f(x) = (x ^ 2 – 3x + 2)/(x ^ 3 – 3x ^ 2 + 2x) f(x) = (sqrt(x ^ 2 + 9))/(- x + 3) Pochodna funkcji b) d) f(x) = (x ^ 3 – 2x ^ 2 – 3x)/(x ^ 2 + 2x + 1) f(x) = (2x ^ 3 – 6x ^ 2 – 8x)/(x ^ 2 – 3x – 4) f(x)= 6x^ 2 |x|+1 ,&|ef|||x|>=2\\ 1 sqrt 4-x^ 2 ,|et||||x|< |x| < 2 w punkcie
2.70. Wyznacz równania wszystkich a) c) e) f(x) = (5 – 2x)/(x + 7) f(x) = (x ^ 2 – x – 12)/(x + 1) f(x) = (3x ^ 3 – 2x ^ 2 + 6)/(x ^ 2 – 1)
2.69. Wyznacz asymptoty ukośne (poziome) wykresu funkcji a) f(x)= 3x^ 2 -4 x-3 \\ 2-x^ 3 x^ 2 +2 , f(x)= 1 x^ 2 +1 ,|ef||||x|<=4\\ 2|x| x^ 2 +x+5 ,|efh||x|> jeśli x <= 1 jeśli x > 1 |x| > 4 b) f(x)= x^ 3 +5 2x+4 ,&ief1&x5.\\ -2x^ 2 x^ 2 +1 ,&eth x>. f(x)= 5x+2,&jefll |x|<=3\\ 3x^ 2 |x|+6 ,&iefh&|x|>3 x <= - 3 x > – 3 asymptot wykresu funkcji: b) d) f) f(x) = (x + 5)/(x ^ 2 + x – 6) f(x) = (2x ^ 2 – 3x + 8)/(x ^ 2 – 2x + 1) f(x) = (x ^ 5 + x ^ 2 + 1)/(x ^ 2 – 6x + 9) c)
2.68. Wyznacz asymptoty ukośne (poziome) wykresu funkcji, jeśli: a) c) f(x) = (3x ^ 2 + 1)/(|x| + 5) f(x)= 16-x^ 2 1x+2|-2 e) f(x) = sqrt(x ^ 2 + 6x) b) d) f f(x) = (4x – 3)/(|x| + 2) f(x) = (x ^ 2 – 4)/(|x + 1| + 1) f(x) = sqrt(4x ^ 2 – x) ((x – 1) ^ 2)/(y + x – 1)
2.67. Zbadaj, czy wykres funkcji f ma asymptoty ukośne (poziome). Jeśli tak, wy. znacz równania tych asymptot: f(x) = (x ^ 2 + 3x)/(2x – 6) f(x) = (5x ^ 3 + 2x ^ 2)/(x ^ 3 – 7) f(x) = (2x ^ 2 + 5x – 17)/(x ^ 2 – 3x ^ 2 + 21) a) c) e) b) d) f) f(x) = (x ^ 3 + 8)/(x ^ 2 + 4) f(x) = (1 – x ^ 3)/(2 + x) f(x) = ((2x + 3) ^ 3)/((2x + 1) ^ 2) (5 – 1)/4
2.66. wykat, te prosta k jest asymptota ukośna wykresu funkcji f, jeśli: a) f(x)= x^ 2 +5x+2 x , ** 6x – y + 5 = 0 f(x)= 2x^ 2 +6x-3 x-3 ,k.2x-y+4=0 b) c) f(x) = (3x ^ 3)/(8x – x ^ 2) k * 3x + y + 24 = 0 a) f(x)= (2x-1) 3-2 ,k 24x-9y-44=0 x e) f(x) = sqrt(x ^ 2 – 9) , asymptota ukośna prawostronna f(x) = sqrt(x ^ 2 + 3x) , k * 2x + 2y + 3 = 0 – asymptota ukośna lewostronna kx – y = 0
2.65. Zadaj, czy istnieją takle wartości parametrów a, b, dla których wykres funkcji f(x) = (x ^ 2 + bx + 0)/(x ^ 2 + ox + b) x = 1 x = – 5 lix . ma dwie asymptoty pionowe o równaniach
2.64. wyznacz wartości parametrów a, b, dla których wykres funkcji f(x)= x²+x-6 x + ax + b ma tylko jedną asymptotę pionową o równaniu x = 4 rów .
2.63. Wyznacz wartości parametrów a, b, dla których wykres funkcji f(x) = (x ^ 2 + 2x – 24)/(x ^ 2 + ax + b) ma tylko jedną asymptotę pionową o równaniu x = 4 .
2.62. Wyznacz wartości parametrów a, b, dla których wykres funkcji f(x) = (x ^ 2 + 2x + 6)/(x ^ 2 + ax + b) ma dwie asymptoty pionowe o równaniach x = – 3ix = 2 .
2.61. Zbadaj, czy wykres funkcji f ma asymptoty pionowe. Jeśli tak, wyznacz nania tych asymptot: a) c) e) f(x) = (x ^ 2 – 3x + 2)/((x + 3)(x – 1)) f(x) = (x – 2)/|x ^ 2 – 4| f(x) = (2x ^ 2 – x – 6)/(3x ^ 2 + 8x + 4) b) d) f(x) = (x ^ 2 + 4x + 4)/((x + 4)(x + 5)) f(x) = |x ^ 2 – 9|/(x + 3) f(x) = (6x ^ 2 – x – 2)/(2x ^ 2 + 3x + 5)
2.60. Zbadaj, czy wykres funkcji f ma asymptoty pionowe. Jeśli tak, wyznacz rów nania tych asymptot: a) f(x) = (2x + 8)/(x – 5) c) f(x) = 5/((x – 2) ^ 2) e) f(x) = 3/(5x ^ 2 – 10x) b) f(x) = (6x + 2)/(3x + 1) d) f(x) = (4x – 5)/(x ^ 2) f(x) = (- 6x)/(x ^ 2 + 3x) f) /x) =
2.59. Wyznacz zbiór wartości funkcji: a) f(x)= 1 x^ 2 +2x-24 ,x in(-5,3) f(x)= 1 sin x ,x in( pi 4 , 5 pi 6 ) c) b) f(x)= 1 x^ 2 -4x+3 ,x in\ 4,6 rangle d) f(x)= 1 cos x ,x in langle 3 pi 4 , 4 pi 3 rangle Asymptoty wykresu funkcji
2.58. Wykaż, że równanie sin rozwiązania. ma w przedziale (0, 3) co najmniej dwa rozwiązania
2.57. Dana jest funkcja f(x)=Cos Wykaż, że równanie f(x) = f(x + 1) ma w przedziale (2, 6) co najmniej dwa rozwiązania (nie rozwiązując tego równania). sin((pi*x)/3) = 2 ^ (- x)
2.56. Wykaz, że równanie 3x ^ 5 + 5x ^ 3 + 1 = 2x ^ 4 + 6x ^ 2 + sqrt(2) * x ma rozwiązanie należące do przedzialu (0, 1) . f(x)=cos ( pi x 3 ),x in R
2.55. x in R , przyjmuje wartość -160. ,
2.54. Wykaz, korzystając z twierdzenia Darboux, ze wykresy x in R i g(x)=-3x^ 3 -4x+8,x in R , przecinają się w punkcie o odciętej należącej do przedzialu (- 3, – 2) . funkcji f(x) = Wykai, korzystając z twierdzenia Darboux, że funkcjaf f(x) = x ^ 4 – 5x ^ 3 – 7x ^ 2 + 3
2.53. Funkcja f jest ciągła w przedziale (- 2, 7) oraz f(-2)=-6if(7)>0. cao, gdzie g(x) = f(x) + 5 Czy funk ma miejsce zerowe w przedziale (-2, 7)? Odpowiedź una f(x)=x^ 4 -7)
2.52. Dziedziną i zbiorem wartości funkcji ciąglej y = f(x) jest przedział (0,1). Wykai. ze równanie f(x) = x ma rozwiązanie w przedziale langle0,1 rangle ).
2.51. Wyznacz o, b tak, aby funkcja f(x) = gła w przedziale (- 2, 2) , lo, jeśli x = – 2 4-x2 3-x+7′ b, jeśli x = 2 jesli x in(-2,2) była cią-
2.50. wyznacz parametry a, b ta, aby funkcja /(*3Dx-0, jeśli xe(-2 a1 była ciągła w zbiorze R.
2.49. Wyznacz parametry a, b tak, aby funkcja f(x) =ax+b, jeśli x E(-3,5) 2) jest ciągła w zbiorze R. była ciągła w zbiorze R. .Wyznacz te liczby całkowite,
2.48. Wyznacz parametry a, b, dla których funkcja f(x)={b, jeśli xe(-2,5) aligned f(x+1,|ef||x in(- infty,-3)\\ ox+b,|ef||x in(-3,5)\\ -6x+6,)eii xe(5,+x)
2.47. Wyznacz parametr a tak, aby funkcja f(x)= ciągła w zbiorze R. f(x)= x^ 2 +ax,|ef|x in(-a,-)\\ b,|efi x in(-2,5)\\ 2x-3,|efi* c(5,+x)
2.46. Dana jest funkcja f(x) = w których funkcja f jest ciagla. Ciągłość funkcji w zbiorze f(x)= a^ 2 x+a,\\ 5ax-15. jeśli x in(- infty,3) była Sax- 15, jeśli x in(3,+ infty) by/a
2.45. Wykaz, te funkcja f nie jest ciągła w punkcie x 0 a) b) f(x)= x^ 2 4 x-2
2.44. Zbadaj, czy f(x)=lim x = 2 1+x^ 2 funkcja f(x) = lim gdzie x epsilon in R , jest ciągła w punktach – 1, 0, 1 . gdzie x in R , jest ciągła w punktach 1, 0, 1 .
2.43. Zbadaj, czy funkcja f(x) = lim
2.42. Zbadaj, czy istnieje taka liczba a, dla której funkcja f(x)= x^ 2 -9 |x|-3 , jeśli x ne3^ x ne-1 a, jeśli x=3 vee x=-3 jest ciągla w punktach -3 | 3 .
2.41. Zbadaj ciągłość funkcji fw punkcie
2.40. Zbadaj ciągłość funkcji f x in(- infty,-2) x in\ -2,+ infty) w punkcie : x 0 f(x)= x+5, ies|i x\\ 2x+7, ies|i x f(x)= -x^ 2 +2, jes|i\\ 4-3x,&jesi f(x)= x+7 x-3 ,\\ 2-3x-x^ 2 2-3x-x, jeśli x in langle2,+ infty) a) b) c) x in(- infty,1) x in(1,+ infty) jeśli x in(- infty,2) x 0 =-2 x 0 =1 x 0 =2
2.39. Oblicz granice: a) c) e) lim x -1^ + x+1 x^ 4 -2x^ 2 +1 lim x 2^ 3-2x x^ 3 -8x^ 2 +20x-16 lim x 4^ + 8-2x x^ 3 -12x^ 2 +48x-64 Ciągłość b) d) f) lim x 0 x^ 2 -x-12 (x-4)^ 2 lim x -1 x^ 2 -x-2 (x+1)^ 1 lim x 6 x^ 2 -2x-24 -3(x-6)^ 3 lim x 1 3x+5 x^ 2 +4x-5 lim x -3 4x+7 -x^ 2 -x+6 lim x 7^ – x-10 x^ 2 -2x-35 f) lim b) d) b) d) f) lim x -1 x+1 x^ 4 -2x^ 2 +1 lim x 2^ – 3-2x x^ 3 -8x^ 2 +20x-16 lim x 4 8-2x x^ 3 -12x^ 2 +48x-64 funkcji w punkcie
2.38. Oblicz granice: a) c) lim x 1^ + 3x+5 x^ 2 +4x-5 lim x -3^ prime 4x+7 -x^ 2 -x+6 lim x 7^ x-10 x^ 2 -2x-35
2.37. Oblicz granice: lim x 4^ + x^ 2 -x-12 (x-4)^ 2 lim x -1 x^ 2 -x-2 (x+1)^ 3 lim x 6 x^ 2 -2x-24 -3(x-6)^ 3 a) c) e)
2.36. Oblicz granice: lim x 5^ prime x^ 2 -3x-12 (5-x)^ 2 lim x -2^ – 4x+21 (x+2)^ 2 -x 0 ^ 2 -x 1 ^ 2 -x 1 ^ 2 ) 1 (x 1 ) lim x 1 x^ 2 -2 (x-1)^ 4 lim x 5 x^ 2 -3x-12 (5-x)^ 2 lim x -2 4x+21 (x+2)^ 2 y(x) = (x + y) lim x 1^ – x^ 2 -2 (x-1)^ 4 f) a) c) e) b) d)
2.35. Oblicz granice: a) d) b) lim x – infty [-3x(2-x)(2+x)] lim x -x [(5-x)(3-x)^ 2 (x+2)] lim x infty [(9-2x)^ 3 (7-x)^ 3 ] f) lim d) b) d) f) lim x -x x^ 2 +8x+10 2x+3 lim x – infty 4x^ 2 -7x+15 2-x lim x -x 5x^ 4 +x^ 3 +x^ 2 -5 x^ 2 -2x+8 b) lim x-9-x sqrt x^ 2 +7x+15 d) lim x – infty (x sqrt x^ 2 +2x+10 ) lim x – infty 2x sqrt x^ 2 -x+3 4-5x f) lim lim x 0^ x^ 2 +3 x lim x 0 x^ 2 +3 x lim x 2^ i 2x^ 2 -3 x-2 1 2 1 2 l(1)) lim x 2 2x^ 2 -3 x-2 lim x -3^ prime -x^ 2 +1 x+3 lim x -3 -x^ 2 +1 x+3 e) f) b) c)
2.34. Oblicz granice a) lim x infty sqrt x^ 2 +7x+15 lim x + infty (x sqrt x^ 2 +2x+10 ) lim t infty 2x sqrt x^ 2 -x+3 4-5x e) lim c)
2.33, Oblicz granice: a) c) e) lim x + infty x^ 2 +8x+10 2x+3 lim * (4x ^ 2 – 7x + 15)/(2 – x) lim x c 5x^ 4 +x^ 3 +x^ 2 -5 x^ 2 -2x+8
2.32. Oblicz granice: 3) lim s infty [(1-x)^ 2 (x+3)] lim x + infty [(x-3)^ 3 (2-3x)^ 2 ] ) lim x infty [(1- sqrt x )(1+ sqrt x )] c) e)
2.31. Oblicz granice: a) lim x + infty (x^ 3 -5x^ 2 +3x-7) c) lim x + infty (-3x^ 5 +2x^ 4 +x+1) e) lim x + infty Big(x^ 4 +7x^ 3 -8x^ 2 -10 Big) b) d) f) lim x 2 2 (x-2)^ 2 lim x -2 3x-8 |x+1| lim x 7 |3-5x| |7-x| b) lim x – infty Big(x^ 3 -5x^ 2 +3x-7 Big) d) lim x + infty (-3x^ 5 +2x^ 4 +x+1) lim x – infty Big(x^ 4 +7x^ 3 -8x^ 2 -10 ) f)
2.30. Oblicz granice: a) lim x 0 1 x^ 2 lim x -4 2x+5 (x+4)^ 2 lim x 3 1-4x |x-3| c) e)
2.29. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach, wykaż, że: a) lim x + infty x cos x x^ 2 +1 =1 b) lim x – infty 6 sin x sqrt x^ 2 +5 =0 Granica niewłaściwa funkcji
2.28. Oblicz granice: a) lim x + infty sqrt x+1 – sqrt 2x+5 x c) lim x – infty ( sqrt x^ 2 +5x+1 – sqrt x^ 2 +1 ) e) lim x – infty (|x+5|-|6-x|) b) d) f) lim x infty sqrt x^ 2 +x+5 2x-1 lim x – infty sqrt 4x^ 2 -2x+7 9-3x lim x – infty |3x-2| x-1 b) lim x infty sqrt 2-4x – sqrt 1-x sqrt -x d) lim x infty ( sqrt x^ 2 +7 – sqrt x^ 2 -1 ) f) lim x + infty (|7-x|-|3+x|)
2.27. Oblicz granice: a) c) e) lim x infty sqrt x^ 2 +x+5 2x-1 lim x + infty sqrt 4x^ 2 -2x+7 9-3x lim x infty |3x-2| x-1
2.26. Oblicz granice: lim x infty ( x^ 2 x+5 -x ) lim x – infty ( 2x^ 2 +7 x-5 + 3-4x^ 2 2x+7 ) lim x – infty ( (3x+1)^ 2 3x-5 – 3x^ 2 -7 x+5 Bigg) a) c) e)
2.25. Oblicz granice: a) c) lim x pm infty -x^ 2 +6x-7 2x^ 3 -9x+2 lim x +x (1-2x^ 2 )^ 2 x^ 4 -x^ 3 +6x^ 2 -7x lim x pm (5x-2)^ 3 (2+3x^ 2 )(2-3x^ 2 ) lim x – infty 1-6x 1+3x lim x – infty 7x+6 7-x lim x – infty 12x-9 4x+1 b) d) lim t infty 6x+5 -x^ 2 +2x+1 b) lim lim x – infty 8 4x^ 2 -7x+15 d) f) lim x + infty -(3x+1)^ 2 x^ 2 -(4x+2)^ 2 lim x -x 8x^ 3 -10x^ 2 +x 1-8x-10x^ 3 b) lim x infty (2x+1)^ 3 (1-2x)^ 2 * x lim ( – infty (3x^ 2 +5x)(1-x^ 2 ) (3-7x^ 2 )(5+x^ 2 ) f) lim d) b) d) f) lim ( + infty 3x- 5+3x^ 4 x^ 3 +2x ) lim x + infty ( x^ 2 x+5 + 1-x^ 3 x^ 2 -11 ) lim x + infty Bigg( (x+1)^ 3 x^ 2 -1 – x^ 3 -1 x^ 2 +1 Bigg) e)
2.24. Oblicz granice: lim x + infty 2x^ 2 +7x-1 6x^ 2 -4x+5 lim x – infty 1-3x+x^ 2 2x^ 2 -4x-9 lim x + infty (2x-1)^ 2 (1-3x)^ 2 a) c) e)
2.23. Oblicz granice lim x + infty 4x-5 2x+7 lim x + infty 2x+5 3x-2 lim x infty 5 6-7x a) c) e)
2.22. Zbadaj, czy istnieje granica funkcji w punkcie x Jeśli tak, to oblicz tę granicę. f(x)= lfloor x-1 sqrt 2x-1 -1 x-2 , f(x)= 2x^ 2 +20x+4 4-x^ 2 \\ x^ 2 +8 x^ 2 +3x+2 , f(x)= 3x^ 2 -16x+21 3x-9 ,\\ sqrt x+6 -3 a b) Vx+1-2 jeśli x < 1 jeśli x > 1 x 0 =1 jeśli x in(-2,2) jeśli x in(- infty,-2) jeśli x < 3 jeśli x > 3 jeśli x < - 4 , jeśli x > – 4 x 0 =3 c) f(x)= x^ 2 +x-2 |2x+6| ,\\ x^ 2 +13x+36 x+4 x 0 =-2 d) x 0 =-4
2.21. Zbadaj, czy istnieje granica funkcji w punkcie x Jeśli tak, to oblicz tę granicę. a) b) c) d) e) f(x)= -3x+5,&jesli&x>1\\ 2x 1 &jes|i&x<1 f(x)= x+6 3x-2 ,&iefh&x>2\\ x^ 2 -1,&1esin x<2 x 0 =0 f(x)= x^ 3 +5,&iesli x>-3\\ -x^ 2 +4x-1,&ies|i&x<-3 x 0 =1 x 0 =2 f(x)=\ matrix |x-2|,&je511&x>-1\\ sqrt 6-3x ,&je5|i&x<-1 x 0 =-3 x 0 =-1 f(x)= x^ 2 -16 4-x ,&iesu&x>4&x 0 =1\\ 3x-4,&jesii x<4 f(x)= sqrt 2x+9 -3 x ,&|ef||&x>0\\ 2x-3 4x-9 ,&|ef||x<0 x 0 =4 x 0 =0 f)
2.20. Oblicz granice jednostronne: a) c) lim x 4 (2+ sqrt 16-x^ 2 ) lim x 5 5-x sqrt (x-5)^ 2 lim x 2^ x sqrt (x+2)^ 2 x+2 b) d) f lim x 5 f(x) . b) d) e) f)
2.19. Oblicz granice jednostronne funkcji fw punkcie , i na tej podstawie ustal, czy istnieje lim x x f(x) , a następnie naszkicuj wykres funkcji f. jeśli: x 0 f(x)= 4-x^ 2 12+x|^ 2 , f(x)= |x-3|^ 3 (x-3)^ 2 +2,x 0 =3 f(x)= x^ 2 +|x| |x| ,x 0 =0 x n =-2 .x lim x -3 5x sqrt x^ 2 -9 lim x -6^ + sqrt 2x+12 -2 x+4 lim x 1^ + 1-x x^ 2 -1 a) f(x) = (x – 1)/|x – 1| x 0 =1 c) f(x)= x^ 1 -2x |x| ,x 0 =0 f(x)= |2+x|^ 2 x+2 -1,x 0 =-2 e)
2.18. O funkcji ciąglejf wiemy, ze b) lim x 0 (x^ 4 sin 1 x^ 2 ) d) lim x 0 (-3x sin 1 sqrt[3] x ) b) lim x – infty sqrt ax^ 2 +2 3x+a =-2 , jeślix x > 5, f(x) < 0 0, jeślix<. Oblicz x < 5 punkcie f(x) > 0 Granice jednostronne funkcji w
2.17. Wyznacz parametr a, wiedząc, że: a) lim x 2 5+2 sqrt x sqrt ax+7 = 1 4
2.16. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach, oblicz granice: lim x 0 (x^ 2 sin 1 x ) c) lim x 0 (7x in 1 x^ 2 )
2.15. Oblicz granice: a) lim x 3 sqrt[3] 2x-1 -1 x-1 b) lim x 3 sqrt[3] 1-3x +2 x-3
2.14. Oblicz granice: a) c) e) lim x 0 sqrt 2x+9 -3 5x lim x 0 3- sqrt 9+x x lim x 4 x-4 sqrt 2x+1 -3 f)
2.13. Oblicz granice: 1 1 lim x 3 3 x 3-x lim x 2 Bigg[ x^ 2 -x-2 x-2 + x-2 x^ 3 -8 Bigg] lim x 2 [ x^ 2 x-1 + 1 1-x ] a) b) lim x 1 [(5-x)^ 2 (3x+2)^ 3 ] } d) lim x -3 sqrt (1-x)(4-2x) f) lim x 0 2x^ 2 +5x-9 (7x-6)(x-12) lim x 6 -x^ 2 +10x-24 x^ 2 -2x-24 lim x 5 125-x^ 3 4x^ 2 -100 lim x -1 x^ 4 -5x^ 2 +4 x^ 4 +2x^ 2 -8 lim x -4 x+4 1 + 1 1 х 4 lim x -2 [ x^ 2 +8 x^ 4 -16 – x^ 2 +2x-3 x^ 2 +4x+6 ] lim x 1 [ x(x+1) x^ 4 -1 – 2 x^ 4 -1 ] lim x 1 sqrt 3x+1 -2 x-1 lim x 0 ( 1 x sqrt x+1 – 1 x ) d) lim lim x 2 3x-6 sqrt 7x+2 – sqrt 5x+6 b) lim f) lim b) d) f) b) c) e)
2.12. Oblicz granice: a) c) e) lim x 2 x^ 2 -4 2-x lim x -2 x^ 3 +8 x^ 2 -4 lim x -3 x^ 4 -8x^ 2 -9 x^ 3 +3x^ 2
2.11. Oblicz granice: a) lim x 2 [(2x-3)^ 5 (x+5)] c) lim x 4 sqrt 2x+8 e) lim x 3 (4x-5)(2-x) (5x-12)^ 2
2.10. Na cie a, Jeśli tak, to podaj tę granicę. a) b) f) 2 a) c
2.9. Wskaz dwa ciągi (a, b) / l (1,), dla których lim n infty a n =lim n infty b n =x 0 oraz lim n infty f(a n ) ne lim n infty f(b s ) i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji f f(x)= x+7 |x+7| ,x 0 =-7 w a) punkcie , jeśli: X o f(x)= |x-6| x-6 ,x 0 =6 c) f(x) = (x ^ 2 – 4|x|)/(2x) e) x 0 =0 b) d) f(x)= sqrt x -2 |x-4| ,x 0 =4 f(x)= sqrt x+5-1 |x+4| ,x 0 =-4 f(x)= |x^ 2 +3x+2| x^ 2 -1 ,x 0 =1 podstawie wykresu funkcji f ustal, czy istnieje granica funkcji w punk
2.8. Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz lim x x 0 f(x) , jeśli: a) f(x)= x^ 3 -1 x-1 ,x 0 =1 c) f(x)= x+2 x^ 3 +8 ,x 0 =2 e) f(x)= x-27 sqrt[3] x -3 ,x 0 = 27 b) d) f(x)= x^ 3 -1 x-1 ,x 0 =-1 f(x)= x+2 x^ 3 +8 ,x 0 =-1 f(x)= sqrt[3] x+4 x+64 ,x 0 =-64
2.7. Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz lim f(x), jeśli: a) c) e) f(x)= -x^ 2 -2x+3 x+3 ,x 0 =-3 f(x)= x^ 2 -4x-5 x^ 2 -7x+1 ,x 0 =5 f(x)= 6-3x 12-4x-x^ 2 ,x 0 =-4 b) d) f) f(x)= x^ 2 +5x+6 x^ 2 -2x-8 ,x 0 =-2 f(x)= 2x-14 -x^ 2 +9x-14 ,x 0 =7 f(x)= 2x^ 2 +x-6 2x^ 2 -5x+3 ,x 0 =1,5
2.6. Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz: a) lim x 3 x^ 2 -1 x-1 lim x -a 4+x 16-x^ 2 lim x 16 x-9 sqrt x -3 c) lim e) lim x 1 x^ 2 -1 x-1 b) lim lim x 3 4+x 16-x^ 2 lim x 9 x-9 sqrt x -3 d) f) lim
2.5. Korzystając z definicji a) lim x 3 (4x-8) c) lim x 0 (7x-3) e) lim x -4 (2x^ 2 +5x-1) Heinego granicy funkcji w b) punkcie, oblicz: lim x -1 (6-2x) d) lim x 3 (x^ 2 -2x) f) lim x 0 (-2x^ 2 +4x+7)
2.4. Czy prawdziwe jest zdanie: „Jeśli dany jest ciąg nieskończony (a n ) (o wyrazach lim n infty 1 a n =+ infty lub lim n infty 1 a n =- infty niezerowych), dla którego lim n infty a n =0 , to wiedź uzasadnij
2.3. Oblicz granice ciągów: a) lim n infty (1+2n-3n^ 2 ) c) lim s infty [(2n+1)(1-n)^ 2 ] c) e) lim n x 1+3n*5n^ 2 -6n^ 3 7-4n-8n^ 2 ) lim n infty 3n-8n^ 2 2n^ 2 +1 lim n infty 2n^ 3 +7n^ 2 +4 4n^ 5 +n^ 3 +1 lim n infty 1-2n+3n^ 2 -6n^ 3 n(2n+1)^ 2 b) d) f) b) lim n infty (1- 2 n ) ( 3 n -4 ) ) lim n infty | (2n+1)^ 3 (n-1)^ 3 | d) lim f) lim s infty | n^ 3 -2n^ 2 +1 n^ 2 -n| b) lim n infty Big(5n^ 3 -4n+17 Big) d) f) lim n infty -3n^ 2 +9n+7 4n-12 lim n infty (n+1)^ 3 (2n-3)^ 2
2.2. Oblicz granice ciagów: lim n infty | 1-4n 2n+5 | a) lim c) lim n infty | 2n^ 3 -4n^ 2 +2n+7 6n(n-1)^ 2 | e) lim n infty | 3-n^ 2 n +n|
2.1. Oblicz granice ciągów: lim n infty 2n-1 n+3 lim n infty (1-3n)(5-2n) 2n^ 2 +1 lim x infty 3n^ 2 +8n^ 2 -10 (2n^ 2 -1)(2n^ 2 +1) a) c) e)
1.214. Wykaż, że jeśli y=10^ x^ 2 |z=10^ y^ 2 1.215. Wykaż, że jeśli a > 0ib > 0 , a > 3b , i a ^ 2 + 9b ^ 2 = 7ab , to log (a – 3b) = log sqrt(ab)
1.213. Udowodnij, że jeśli ciąg ( a,b,c) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to ciąg (log a, log b, log c) jest ciągiem arytmetycznym. =10^ r^ prime to x^ 2 = log(log z) 2 )
1.212. Wykaz, że jeśli ciąg (log d x , log b x,log x) jest ciągiem geometrycznym, to log o b=log b c.
1.211. Określ liczbę rozwiązań równania m(4 ^ x – 2 ^ x) = 1 – m w zależności od war tości parametru m (m in R) . Naszkicuj wykres funkcji kcjly = g(m) , która każdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę rozwiązań tego równania.
1.210. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m in R) , dla których równanie m * 16 ^ x + (2m – 1) * 4 ^ x + 2 – 3m = 0 nie ma rozwiązan.
1.209. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m in R) , dla których równanie 25 ^ x + (1 – 2m) ) 5 ^ x + 9 = 0 ma dwa różne rozwiązania.
1.208. Rozwiąż równania: a) x ^ 2 * 2 ^ x + 8 = 2x ^ 2 + 2 ^ (x + 2) c) 5 ^ log2 x – 3 ^ (log2 x – 1) = 3 ^ (log2 x + 1) – 5 ^ (108z ^ (x – 1)) x ^ (3 – 108 * x/3) = 900 0,4^ log 3 3 3 log 5 3x =(6,25)^ 108 2 x^ 2 +2 d) 0,4 b) x
1.207. Rozwiąż nierówności: a) 2^ sin x +4^ sin x +8^ tin x +…<=1 b) 2^ -cos x +4^ cos x +8^ -cos x +...<=1 c) log(x-2)+log^ 2 (x-2)+log^ 3 (x-2)+...<1 d) 1+log 1 2 sin x+log 1 ^ 2 sin x+log 1 ^ 3 sin x+...<=2
1.206. Rozwiąż równania: a) 2^ x +2^ x-1 +2^ x-2 +…=2* sqrt 8-2^ x+1 b) 1 4 sqrt 12-3^ x+1 =3^ x -3^ x-1 +3^ x-2 -3^ x-1 +3^ x-4 +…
1.205. Liczby 4, 3 * (sqrt(2)) ^ (2x – 4), 5/(2 ^ (- x + 2), w) podanej kolejności, są wyrazami ciągu aryt w metycznego. Oblicz x oraz wyznacz różnicę tego ciągu.
1.204. Dla jakich x, liczby: 1, log1/2 (2x – 1), 25 , w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz iloraz tego ciągu.
1.203. liczby root(3, 5) * root(3, 2), root(4, 4x ^ 2 – 12x + 9), root(3, 25) + root(3, 10) + root(3, 4) , w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. Oblicz x.
1.202. Oblicz x, jeśli wiadomo, że liczby – w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę tego ciągu.
1.201. Wyznacz: a) największą wartość funkcji f, gdzie f(x) = log3 (6x – x ^ 2) b) najmniejsza wartość funkcji g, gdzie g(x) = log0.4 (4 – 3x – x ^ 2) . (8 * root(3, 2)) ^ 0.3, |x – 1|, (sqrt(6 – sqrt(11)) + sqrt(6 + sqrt(11))) ^ 2 .
1.200. Dana jest funkcja logarytmiczna f(x) = log2/3 (x – 1) + p dla argumentu 3 1/4 wynosi 3. Oblicz wartość parametru p, trem Wartość funkcji f a następnie wyznacz: b) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości mniejsze a) argument, dla którego wartość funkcji wynosi 6 od 1
1.199. Dana jest funkcja logarytmiczna trem. Dziedzina funkcji jest przedział nie oblicz: a) wartość funkcji f dla argumentu 18 f(x) = log4 (x – k) + 3 (2,+ infty) gdzie k jest parame a nastep . Podaj wartość parametru k, argument, dla którego wartość funkcji jest równa 3,5 c) dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie. gdzie p jest parame.
1.198. Funkcje f(x) = zerowe. Oblicz wartość parametru p. to samo miejsce
1.197. Wykresy funkcji f(x) = 2 ^ (x – 1) – 3 oraz g(x) = log3 (x + 3) + kn mają z osią OY ten sam punkt wspólny A. Oblicz x i podaj współrzędne punktu A. f(x) = (1/3) ^ 2 – 1orazg * (x) = log1 (19 + x) + pma
1.196. Wartość samochodu maleje wraz z upływem lat. Wzór funkcji W(t)=W 0 (0, 8) ^ t opisuje wartość samochodu po t latach od chwili zakupu, gdzie W 0 oznacza cenę nowego samochodu (w złotych). a) Pan Nowak kupił nową Skodę Fabię za 40 000 zł. Oblicz, o ile zlotych wartość samochodu zmniejszy się po roku. b) Wartość samochodu pana Nowaka wynosi 20 480 zł. Ile lat użytkował ten samo chód pan Nowak? c) Po ilu latach użytkowania wartość samochodu pana Nowaka będzie stanowić 40,96% ceny zakupu?
1.195. Liczba mieszkańców pewnego miasta na 600 000. Przyrost naturalny w początku 2010 roku wynosiła tym mieście jest stały i jest równy 0,4% w skali roku. a) Napisz wzór funkcji opisującej liczbę ludności tego miasta po n latach. b) Oblicz liczbę ludności miasta na koniec 2012 roku. Wynik zaokrąglij do pełnych dziesiątek. c) Oblicz, o ile procent zwiększyła się liczba ludności w tym mieście na koniec 2014 roku (po upływie 5 lat). że 7% przyrost
1.194. Pan Kowalski założył lokatę bankową w wysokości 8000 zł. Oprocentowanie lokaty wynosi 5% w skali roku. a) Oblicz, ile złotych znajduje się na lokacie pana Kowalskiego po roku oszczędzania, b) Napisz wzór opisujący stan konta pana Kowalskiego po n latach oszczędzania. c) Po ilu latach oszczędzania na koncie pana Kowalskiego będzie kwota równa 9216 zł?
1.193. Pewien gatunek sosny ma średni przyrost roczny wynoszący 7%. Posadzono sosnę o wysokości 2 m. a) Jaka będzie wysokość sosny rok po zasadzeniu? b) Jaka będzie wysokość sosny po 6 latach? c) Podaj wzór opisujący wysokość sosny po n latach, przy założeniu, jest stały. d) Po ilu latach wysokość drzewa przekroczy 20 metrów?
1.192. W laboratorium podgrzano pojemnik z płynem, a następnie pozwolono, by płyn wystygl. Temperaturę plynu T(^ C) opisuje wzór funkcji T(t) = 90 * 1, 5 ^ – 0.21 , gdzie t oznacza czas stygnięcia w minutach a) Jaką temperaturę mial płyn, gdy rozpoczynał się proces stygnięcia? b) Jaka jest temperatura plynu po piątej minucie? c) Oblicz, ile minut potrzeba, aby plyn osiągnal temperature 40 degrees * C .
1.191. Pewna substancja radioaktywna ma mase 50 gramów, a rozpad powoduje zmniejszenie jej masy o 20% każdego roku. a) Napisz wzór funkcji M(t) opisującej masę tej substancji po czasie t (t- czas liczony w latach). b) Oblicz, po jakim czasie masa substancji będzie równa 25, 6 grama.
1.190. c) logsqrt(3) sin x <= logsqrt(3) cos x - 1 b) log1/2 cos 2x >= – log2 sin x d) log 1 4 ^ 2 sin 2x<= 1 4
1.189. Rozwiąż równania: a) 3 * log2 2 * sin x + log2 (1 – cos 2x) = 2 c) log2 (cos x) + log1/2 (- sin x) = 0 b) logsqrt(2) * sin x (1 + cos x) = 2 d) logosx (sin x) + logsin x (cos x) = 2 Rozwiąż nierówności w przedziale (0, 2pi) : a) logsqrt(2) cos x < - 1
1.188. Dla jakich wartości parametru m równanie sin^4 x – cos^4 x = log1 (m + 4) * m * a rozwiązanie?
1.187. W prostokątnym układzie wspólrzędnych zaznacz zbiór tych punktów płasz czyzny, których współrzędne spelniaja poniższe warunki: a) log2 (x ^ 2 + y) <= 1 b) log1/2 (y + 1) >= x + 1
1.186. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór tych punktów plan czyzny, których wspólrzędne spelniają poniższe warunki: a) log (x – 1)/2 – log y = 0 c) log y = log (y + 2x) – log x b) log2 (xy)/2 – log2 x * log2 y = 0 d) log1 (y + 1) = logy + 1 x
1.185. wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność log2 [m(x ^ 2 + 1)] <= log2 (4x ^ 2 + 4x + 7) ma co najmniej jedno rozwiązanie.
1.184. wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność x ^ 2 * log4 m + 2x – 1 < 0 jest spełniona przez dowolną liczbę rzeczywista.
1.183. wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma dwa różne rozwiązania, których suma odwrotności x ^ 2 + 2x + 1/4 * log2 (m + 1) = 0 jest równa -8
1.182. Wyznacz granicę ciągu (a n ) , jeśli wiadomo, że a n =x 1 +x 2 +…+x 1 , oraz dla każdego n in N, V + -\ 1\ spelniony jest warunek log 0,5 x 1 =3\\ log 0.5 x n -log 0.5 x n-1 =3
1.181. Liczby log 4 x 1 , log 4 x 2 , log 4 x 3 si sa kolejnyrni początkowymi wyrazami nieskoń czonego ciągu arytmetycznego (log 4 x n ) . Oblicz sumę 1001 początkowych wyrazów tego ciągu, jeśli wiadomo, że x 1 +x 2 +x 3 =84 i x 4 =256 .
1.180. Liczby 2 log 2 (x-2), og 2 (x-2), 1 2 dla pewnej rzeczywistej wartościx, są trze ma początkowymi kolejnymi wyrazarni nieskończonego ciągu geometrycznego (b n ) . Wyznacz x oraz wyraz ogólny tego ciągu.
1.179. Liczby log2 (x – 4) , log 1 2x, og 2 x^ 2 dla pewnej rzeczywistej wartości x, są trze ma kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego (a n ) Wyznacz x oraz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu (a a ) .
1.178. Wyznacz wszystkie wartości x, dla których ciąg (log 2, log (2 ^ x – 1) ), log(2^ x +3)) jest ciągiem arytmetycznym. Podaj różnicę tego ciągu.
1.177. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których układ równań x – y * log2 m = 1, \qquad x * log2 m – y = 0 jest oznaczony i spełnia go para liczb (x, y) taka, tex x < y
1.176. Rozwiąż układy równań: a) 3 ^ x * 2 ^ x = 576, \qquad logsqrt(2) (y – x) = 4 logs x + 3 ^ log x = 7, \qquad x ^ y = 5 ^ 22 c) b) d) log 1 x+log,2=\\ 2^ log 1 x =x^ 4 1 ( sqrt 2 )^ prime ( sqrt 2 )\\ log 1 (x-y) (x – y) = – 1 )^ x ( sqrt[3] 5 )^ x =80 Zastosowanie równań i nierówności logaryt micznych w rozwiązywaniu zadań
1.175. Rozwiąż równania: x^ 2 log^ 3 x- 3 2 log x = sqrt 10 a) x c) x ^ log1 3x = 9 b) b) log3 (3 ^ x + 8) = 2 – x d) log (10 ^ (2x) + 9) = x + 1 f(x) = log4 (x + 7) przyjmuje wartości większe 1 (1/2) ^ log1 (x ^ 2 – 3x + 1) < 1 2^ 6- 3 108a^ * > sqrt[3] 0,008^ 2log 4 x-2 d) 0,2 b) log1/3 (3 * 2 ^ x + 3) <= log1 (4 ^ x - 1) - 1 d) og 1 (9^ x+2 +3^ x+2 )>log 1 2 b) x ^ (2 – 1/2) * log x (sqrt(x)) ^ (log3 x – 1) = 5
1.174. Rozwiąż nierówności: a) log2 (3 ^ (x + 1) + 1) > 1 + log2 (9 ^ x – 2) c) log0, 1 (4 ^ (x ^ 2 + 4x) – 2 ^ (x ^ 3 + 4x) – 2) > – 1
1.173. Rozwiąż nierówności: a) (2/5) ^ log1 (x ^ 4 * s * x + 8) <= 2, 5 0.3 ^ ((1x - 1)/(3x + 2) > 1) c) 0,3
1.172. Rozwiąż równania: a) log2 (9 ^ (x – 1) + 7) = 2 + log2 (3 ^ (x – 1) + 1) b) log2 (9 – 2 ^ r) = 25 ^ log2 sqrt(3 – x) c) log2 (25 ^ (x + 1) – 1) = 2 + log2 (5 ^ (x + 3) + 1) d) log6 (3 ^ (x ^ 2) + 1) – log5 (3 ^ (2x ^ 2) + 9) = log6 2
1.171. Rozwiąż równania: a) log2 (4 ^ x + 4) = log2 (2 ^ (x + 1) + 3) c) log2 (12 – 2 ^ n) = 5 – x
1.170. Dla jakich argumentów funkcja niz funkcja g(x) = log2 (x + 1) ? Równania i nierówności logarytmiczno-wykładniczo-potęgowe
1.169. Dla jakich argumentów wartości funkcji f(x)=log 3 x+log sqrt x x+log 1 2 x 39 mniejsze od 67
1.168. Dla jakich argumentów wartości funkcji f(x)=log^ 2 (100x)-log^ 2 (10x) są mniejsze od wartości funkcji g(x)=9-log ) x?
1.167. wyznacz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f(x) = log1/5 (2x + 1) przyjmuje mniejsze wartości niż funkcja g(x) = log1 (16 – x ^ 2) + 1
1.166. Wyznacz dziedzinę funkcji, jeśli: a) f(x) = logx + 5 (x ^ 2 – 4) + sqrt(6 – 2x) c) f(x) = log2 [1 – log1 (x ^ 2 – 5x + 6)] b) f(x) = (sqrt(log (9 – x ^ 2)))/(2 ^ x – 4) d) f(x) = sqrt(log1/2 x/(x ^ 2 – 1))
1.165. Rozwiąż nierówności: a) log 3 x+log 3 ^ 2 x+log 3 ^ 3 x+\ <1 b) b) d) log1/2 (log2 (1 + 2x)/(1 + x)) > 0 log2 log6 (x ^ 2 + x)/(x + 4) < 0 b) log2 (x - 1) - log2 (x + 1) + logx + 1 2 > 0 d) log8 2 * log2x 2 * log2 4x > 1 b) log3x + 4 x ^ 2 < 1 1 d) logx (2x ^ 2 - x)/2 > 1 log 1 2 (x+1)+log 1 ^ 2 (x+1)+log 1 ^ 3 (x+1)+\ >1 c) log 8 x+log 8 2x+log 8 3x+…<= 1 2 d) (1-log x)^ 2 +(1-log x)^ 2 +(1-log x)^ 4 +...<=3 log x-
1.164. Rozwiąż nierówności: a) log, 10,3 > 0 c) logx ^ 2 – x (x + 3) < 1
1.163. Rozwiąż nierówności: a) log1/2 x > logx 3 – 2, 5 c) log x 2 8+log x 4 8< log 2 x^ 4 108 2 x^ 2 -4
1.162. Rozwiąż nierówności: a) log 1 3 log 1 (x^ 2 -5)]>0 log1/2 (log0 (x ^ 2 – 2x)/(x – 3)) < 0 c)
1.161. Rozwiąż nierówności: a) log3 x * log1 x < log1 81 c) log5 x * log2 x > log2 5 c) log8 (x + 2)/(1 – x) >= 1 b) -2log 4 ^ 2 x+3 log 4 x-1>0 d) log 1 3 ^ 3 x-3 log 1 ^ 2 x-log 1 x+3<0 b) d) 1/(log2 x) < 1 + 1/(log2 x - 1) 1/(log3 x - 2) - 1/(log1 x) > 0 log1 x * log1 x <= log1/3 1/16 log1 x * log2 x <= log2 3 ^ - 16 b) d)
1.160. Rozwiąż nierówności: a) c) 1/(5 – log x) + 2/(log x + 1) < 1 1/(log2 x - 4) > 1/(log2 x)
1.159. Rozwiąż nierówności: a) log 1 2 ^ 2 x-2 log 1 x-3<0 b) log1 (2 - x) <= 1 e) logsqrt(2) (3x + 1) <= 4 b) log1 |x + 2| > – 2 e) log3/4 |x – 1| > 1 c) log1/2 (2x + 5) > – 3 log(sqrt(1))/3 (3 – x) >= – 2 c) log 1 2 x+5|<=-3 f) log5 |x + 2| <= 2 b) log1/2 (5 + 4x - x ^ 2) > – 3 d) log3 (x ^ 2 – 4x + 3) < 1 b) log1/5 (x + 1)/(x - 1) < 0 c) log 2 3x-7log 2 ^ 2 x+14 log 2 x-8>0
1.158. Rozwiąż nierówności: a) log a.25 x 2-x >-1
1.157. Rozwiąż nierówności: a) logsqrt(6) (x ^ 2 – 5x + 6) < 2 c) log1 (x ^ 2 + 2x + 1) >= 0
1.156. Rozwiąż nierówności: a) log2 |x – 3| > 1 d) log1 |x – 7| >= 0
1.155. Rozwiąż nierówności: a) log2 (x – 1) > 2 d) log5/5 (3x – 4) < - 2
1.154. Rozwiąż układy równań: a) 9 log4 x + log4 y = 1 + log4 9, \qquad x + y – 20 = 0 logy x = logx y, \qquad 2 * log2 x + log2 y y = 3 b) d) (log x ^ 2)/(log (6x – 5)) = 1 (log (2x – 19) * log (3x – 20))/(log x) = 1 b) log 2 ^ 2 x-6log 2 x+5=0 d) log 5 ^ 3 x+2 log 5 ^ 2 x-log 5 x-2=0 f) log 2 ^ 4 (x-1)+3 log 2 ^ 2 (x-1)-4=0 b) d) 1/(5 – log x) + 2/(1 + log x) = 1 1+log(x-1) 1-log^ 2 (x-1) + 1 1-log(x-1) =1 b) log1 10 + 2 * log10 10 – 3 * log100x 10 = 0 d) 2 * logx 3 * log3x 3 = log9sqrt(x) 3 f) logx 8 – log4x 8 = log2x 16 log x + log y = 3, \qquad log x – log y = 1 + x/y = 2 – log2 y log, (xy) = 1 log, 1+ d) c)
1.153. Rozwiąż równania: a) logx sqrt(5) + logx (5x) – 2, 25 = (1og, sqrt(5)) ^ 2 c) log8 2 * log2x 2 = log16x 2 e) log 5 x+log sqrt 5 x+log 1 25 x=5
1.152. Rozwiąż równania: a) 3/(log x – 1) = log x + 1 c) log^ 2 x+log x+1= 7 log x-3
1.151. Rozwiąż równania: a) log2 2x + 2 * log3 x – 8 = 0 c) e) (log2 x – 3) * log2 x + 2/3 * (log2 x + 1) = 0 log4 3x + 2 * log4 x + 3 = 1 0
1.150. Rozwiąż równania: a) (log x)/(log (x + 1)) = – 1 (log (9 – x ^ 3))/(log (3 – x)) = 3 c)
1.149. Rozwiąż równania: a) log (7x – 9) ^ 2 + log (3x – 4) ^ 2 = 2 c) log2 (x + 1) ^ 2 + log2 |x + 1| = 6 b) log3 (x ^ 2 + 10x + 25) = 2 * log2 (3 – x) + 4 d) log4 (x ^ 2 – 1) – 1/2 * log4 (x – 4) ^ 2 = 1 1/2 b) 2 * log3 (x – 2) + log3 (x – 4) ^ 2 = 0 d) log (x – 5) ^ 2 + log (x + 6) ^ 2 = 2
1.148. Rozwiąż równania: a) log2 x ^ 2 – 2 = 2 * log2 (x + 1) c) log2 (x ^ 2 – 2) – 1/2 * log2 (x – 3) ^ 2 = 1
1.147. b) log sqrt(5x – 4) + log sqrt(x + 1) = 2 + log 0, 18 c) 1/2 * log (x – 5) + log sqrt(2x – 3) = log 30 – 1 d) log4 sqrt(x) + 1/2 * log4 (x + 4) = 5/4
1.146. Rozwiąż równania: a) log4 (x + 3) – 2 = log4 (x – 1) – log4 8 b) log (x – 3) – log (2 – x) = log (x ^ 2 – 4) b) loe, (2x ^ 2 + 4x – 6) = 2 d) log1 (x + 2)/x = 1 log1 16 = 2 b) log2 (log8 x) = 1 d) log2 [1 – log3 (x + 4)] = 1 f) log 6 \ 1+log 3 [1+log 2 (x+3)]\ = 1 2 log1/2 log1 (x ^ 2 – 2x)/(x – 3) = 0 h) c) log 5 + log (x + 10) = 1 – log (2x – 1) + log (21x – 20) d) log5 (3x – 11) + log5 (x – 27) = 3 + log3 8 Rozwiąż równania: a) 2 * log3 (x – 5) – log3 4 = log3 (3x – 20)
1.145. Rozwiaz równania. a) log4 (log3 x) = 0 c) log (3 + 2 * log (1 + x)) = 0 e) log 3 (3+log 4 (log 2 ,x+10))=1 8) log3 (7 + log3 (x ^ 2 + 9)] = 2
1.144. Rozwiąt równania: a) logx – 1 (3x – 1) = 3 c) log1 (4x ^ 2 + x – 4) = 3 c) logx (x + 2) = 1
1.143. Rozwiąż równania: a) logx – 4 2x = 2 d) logx (6x – 9) = 2 b) log7 (3 – x) = log7 (x – 6) d) log2 x ^ 2 = log3 (x + 2) log4 2/(x – 1) = log4 (4 – x) f) c) log1/2 (1/2 * x – 4) = – 2 f) log22 (1/2 – x) = – 1/3 b) log (x + 2) = 2 e) log4 (3 – x) = 1/2 b) log1/3 (x ^ 2 – 1) = – 1 d) log3 (x ^ 2 + 5) = 2 b) log4 (1/x – 2) = 1 d) log2 (4 – 3/x) = 3 c) log,64 = 2 f) logx 10 = 1/2 c) log2x (4x – 1) = 2 f) log3x + 5 30x = 2 b) og, 81 = – 2 e) logx 32 = 5 b) log1/2 * x + 1 4x = 2 e) logx + 1 (4x + 1) = 2
1.142. Rozwiąż równania: a) logx 27 = 3 d) log 25 = – 2
1.141. Rozwiąż równania: a) log3 (2/x – 1) = 2 log1/2 (1/x + 3) = – 2 c) log
1.140. Rozwiąż równania: a) log2 (x ^ 2 – 4) = 1 c) log1/2 (x ^ 2 + 1) = – 1
1.139. Rozwiąż równania: a) log2 (x – 1) = 3 d) log1/2 (x + 2 1/2) = – 2
1.138. Rozwiąt równania: a) log2 x = log2 (3 – x) c) log1/3 1/x = log1/3 4 e) log1/5 (1 – x ^ 2) = log1 (x – 5)
1.137. Rozwiąż graficznie uklady równań: y = – |x – 2| – 2, \qquad y = log1/2 (x + 2) y = 3/2 * x + 3 2/7, \qquad y = log2 (x + 4) + 2 a) b) f(x) = x ^ logx 2 2 d) f(x) = (log3 x)/(log8 x) b) log3 (x + 2) = x ^ 2 – 2x + 2 . d) log4 |x| = 1 – x ^ 2 b) |log3 x| > 1/2 * x – 2 1/2 d) |log5 |x|| >= |x| – 4 b) y = (1/2) ^ (x – 1) (y =log 3 x Sy=10g, big(x-1 big) big|+1 ly =-(x-10)^ 2 +3 c) d)
1.136. Rozwiąż graficznie nierówności: a) log2 (x – 2) – 1 >= 4x – x ^ 2 c) 1 – log1 x > 4/x
1.135. Rozwiąż graficznie równania: a) log2 (x – 1) = 4 – x c) og 1 x+ 1 2 |x-1|=0
1.134. Naszkicuj wykres funkcji f. Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji f. a) f(x) = sqrt(10 ^ log x ^ 2) f(x) = (sqrt(3)) ^ log1 (x ^ 3 – 2x + 1)
1.133. Naszkicuj wykres funkcji ƒ(x) = log; funkcji
1.132. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = log1 (2x – x ^ 2) – log3 (2 – x) . Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji f. x-4 Podaj dziedzinę i zbiór wartości f(x) = log2 (x ^ 2 – 4)/(|x| – 2)
1.131. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = log: graficznie nierówność f(x) >= – 3
1.130. Naszkicuj wykresy funkcji f(x) = 1/2 * log2 (x ^ 2 – 6x + 9) oraz g(x) = log2 (x – 3) . Podaj dziedzinę funkcji fi dziedzinę funkcji g.
1.129. Naszkicuj wykres funkcji fi omów jej własności: a) f(x) = |log2 (x + 4)| b) f(x) = log1 |x| funkcji f. c) f(x) = |log1 |x + 2||
1.128. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 1 – log2 (x + 3) . a) Oblicz współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji fz osiami układu współ rzędnych b) Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 1 c) Sprawdź, czy punkt A(4 ^ log2 sqrt(5), – 2) należy do wykresu
1.127. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = log3 (- x) – 2 a) Podaj dziedzinę funkcji f. b) Podaj współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji fi osi OX. c) Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości ujemne?
1.126. Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji y = g(x) , który powstał w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji logarytmicznej f(x) = logx x o wektor vec u =[1,-3] ). v=glx) 10 11 12 13 X 9 a) Napisz wzór funkcji g b) Upewnij się, wykonując obliczenia, D(9, 0) należą do wykresu funkcji g, a następnie odczytaj z wykresu: że punkty A(2, – 3) , B(3, – 2), (5, – 1) oraz – dla jakich argumentów funkcja o przyjmuje wartości z przedziału (- 3, – 1) – dla jakich argumentów wartości funkcji g sa mniejsze od -2 – dla jakich argumentów wartości funkcji g są dodatnie.
1.125. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = log1/3 (x + 3) – 1 . a) Podaj dziedzinę funkcji f. b) Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji fi osi OY. c) Oblicz wartość funkcji dla argumentu 6. Odczytaj wykresu, dla jakich argumen tów wartości funkcji f są większe od -3. g(x) = log3 |x| g(x)=4log x.
1.124. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = – log3 (x + 2) . a) Podaj dziedzinę funkcji f. b) Oblicz wartość funkcji f dla argumentu 25. Serawat, ay do wykresu funkcji nalety punta A( sqrt 2 , og 3 (1- sqrt 2 2 )) c) Sprawdź, czy do wykresu funkcji należy punkt
1.123. Sprawdź, czy funkcje fig sa równe, jeśli a) f(x) = log1/2 (x – 2) + log1 (x + 2) g(x) = log1/2 (x ^ 2 – 4) g(x) = log2 (1 – x)/(x – 3) b) f(x) = log2 (x – 1) – log2 (3 – x) f(x) = 1/2 * log3 x ^ 2 d) f(x) = log x ^ 4 Rozwiązywanie równań, nierówności oraz ukła dów równań z zastosowaniem wykresu funkcji logarytmicznej
1.122. Wykaż, ze jeśli wybrane argumenty , funkcji cias geometryczny, to wartości funkcji log 3 x 1 , log 2 x 2 , log 3 x 3 ,… fwor2a clag arytme tyczny.
1.121. wykaż, ie: a) funkcja f(x) = log2 (1 – x) – log2 (x + 1) jest nieparzysta f(x) = x ^ 2 * log (2 – x)/(2 + x) Jest parzysta b) funkcja c) funkcja f(x) = log1 cos 2x jest parzysta d) funkcja f(x) = log (x + sqrt(1 + x ^ 2)) jest nieparzysta x 1 x 2 ,x y = f(x)=log 3 x Wor2
1.120. Dziedziną funkcji f jest zbiór D. Wyznacz: D = (- 1 1/2, 0) a) najmniejszą wartość funkcji f(x) = logsqrt(5) (x ^ 2 + 2x + 3) , jeśli b) największą wartość funkcji f(x)=log 3 (8-x^ 2 ),jesli D= langle1,2 rangle c) najmniejszą wartość funkcji d) największą wartość funkcji if * (x) = log1 (x ^ 2 + 4x + 4) , jeśli D = (- 1, 2) f(x) = log(sqrt(3))/3 (x ^ 2 – 4x) , jeśli D= langle-2,-1 rangle .
1.119. Wykaż, na podstawie definicji, że funkcja f określona wzorem: a) f(x) = log5 x * f * e * s * t rosnąca w zbiorze (0,+ infty) malejąca w zbiorze (0,+ infty) b) f(x)=log 1 x)est 3 c) f(x)=log 2 ^ 2 x jest rosnąca w zbiorze (1,+ infty) d) f(x) = log3 2x jest malejąca w zbiorze (0, 1. *
1.118. Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m (m in R) , dla których funkcja: a) f(x) = log2m – 3 x jest rosnąca c) f(x)=log (4-m| x jest rosnąca b) f(x) = logm ^ 2 x * log t malejąca d) f(x) = log2m – m ^ 2 x jest malejąca
1.117. Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m (m in R) , dla których dzie. dziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, jeśli a) f(x) = log3 (x ^ 2 + 3x – 2m) c) f(x) = log (m * x ^ 2 + 4mx + m + 3) b) f(x) = log2 (x ^ 2 + mx + 1) 3 d) f(x) = log [(m ^ 2 + m – 6) * x ^ 2 + (m – 2) * x + 1]
1.116. Wyznacz dziedzinę funkcji f. jeśli: a f(x) = logx + 1 (4 – x ^ 2) c f(x)=log x^ 3 1 (x^ 2 -2x-3) e f(x) = logx + 3 x/(x + 1) b) f(x) = log2 x/(1 – x) d) f(x) = log5 (x ^ 4 – x ^ 2) f(x) = log1/2 (4 ^ (2x) – 8 ^ x) b f(x) = logx ^ 3 (3 – x) d f(x) = logx (2 ^ x – 16sqrt(2)) f f(x)=log x x^ 2 -x^ 2 +3x-3)
1.115. Wyznacz dziedzinę funkcji f. jeśli: a) f(x) = log1/3 (3 – 2x) c) f(x) = logsqrt(2) (x ^ 2 + 5x + 4) e) f(x) = log1/5 (x ^ 2 – 4x + 4) f)
1.114. Rozwiąż nierówność liniową. Wskaż dwie liczby całkowite, które należą do zbioru rozwiązań tej nierówności. a) (3 – log2 5) * x > 2 c) x * log1 4 < 1 + 3 ^ log3 2 * x b) x * log2 3 < 2 - x * log4 5 d) x * log1 5 > – x – 3 c) d)
1.113. Liczby a ib należą do zbioru R 1 – – 11). Porównaj liczby a b , jeśli wiadomo, że poniższe nierówności są prawdziwe: a) loga 5 > logb 5 c) log sqrt 2 log b 0,75
1.112. Określ, czy podana liczba jest dodatnia, ujemna czy równa zero, jeśli: (log1 7)/(log1/2 3 + log2 8) (log3 sqrt(2) – log3 6)/(log3 11 * log1/2 17) a) (log1/3 3 + log3 5)/(log1 15) log 1 sqrt 3 +log 11 sqrt 2 log 1 sqrt 11 -log 1 sqrt 5 b)
1.111. Liczba rzeczywista p wita Wyznacz p = log,5 k, jeśli a) e) p = logs 21 należy do przedzialu (k, k + 1) , gdzie k jest liczbą calko b) p=log 1 2 ^ 3 p=log 1 2 ^ 5 c) p = log15 7 g) p = log7 50 d) p=log 1 3 ^ 4 h) p = log1/3 19
1.110. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = log1 x * i * o * m * o * w jej własności. a) Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów wartości funkcji f są większe od 0,5. ) Sprawdi, czy do wykresu funkcji f należy punkt A((3 – 2sqrt(2))(3 + 2sqrt(2)), 0)
1.109. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = log3 x i omów jej własności. a) Oblicz wartość funkcji f dia argumentu root(6, 9sqrt(9)) b) Oblicz argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0,5
1.108. Wiedząc, że: a) log14 2 = oi * log14 5 = b , oblicz log7 50 c) log21 3 = a * log21 5 = b , oblicz log7 1125 d)
1.107. Wiedząc, że: a) log5 2 = ail * log5 7 = b , oblicz log125 28 c log3 2 = a * log6 5 = b , oblicz log216 225
1.106. Wiedząc, że: a) log3 2 = 0 , oblicz log2 13, 5 log > 5 4 9 c) log3 7 = a , oblicz
1.105. Wykaż, że: a) 1-log 1 ^ 1 3 (log 2 3+log 3 2+1)log 2 2 3 =log 2 3 ((log2 7 + log7 2 + 2) * log 2)/(log2 2 + 1) = log 14 b) 8+log 2 ^ 3 5 log 5 16+log 1 5-2 +1= 1 log^ 2 2 (log 5 ^ 2 2-1)* log 2 5 log 2 5+log 5 2+2 =log 2 5 b) log2 5 = b , d) oblicz log2 400 log3 2 = a , oblicz b) log6 2 = a * log6 5 = b , oblicz log36 0, 8 d) og 2 3=a log 3 5=b , oblicz log2,200 b) log3 20 = a * log3 15 = b , oblicz log2 360 d) log2 30 = a * log2 36 = b , oblicz log 9 log6 16 pi/3 c)
1.104. Wykaż, że liczby ki/ są równe, jeśli: 10 ^ (1 – log 2) * i * l = 8 ^ log1 root(3, 9) 10 ^ (log 2 + log 5) k = 3 ^ (108, 36)
1.103. Wykaż, że liczby min sa równe, jeśli: m = log5 log5 root(5, root(5, root(5, 5))) in n = log2 log2 sqrt(root(4, 2))
1.102. Wykaż, te liczba: a) 1/(log1 6) + 1/(log1 6) c) log 125 3 log sqrt[6 36 log 3 5 jest liczba naturalna, b) sqrt(10 ^ (2 * 0.56614)) d) tog 8lg(pi/6) * log t * a * pi/4 log
1.101. Wyznacz x, jeśli: a) log2 8 + x * logsqrt(3) 3 = log 1 b) (2x – 3) * log4 16 = log2 18 – log2 9 c) log3 1/27 – x * logsqrt(2) 4 = (x + 1) * log 100 d) (x + 2)[log7 3/7 + log3 21] = log4 4 ^ (x – 1) e) log3 3 ^ (2x – 1) – 3 * logsqrt(5) 1/5 = x * log1 8 f) 2x * log5 25 – (3x + 2) * log2 0, 5 = log3 48 – 2 * log3 4 b) log1/3 (81sqrt(3))/(root(4, 3)) log6 (root(3, 36))/216 f) loge c) log1 1/6 + log3 2/3 d) (log5 16 – log5 80) ^ 2 f) logsqrt(2) 50 – logsqrt(2) 25 h) 2 * log1/4 8 – 3 * logsqrt(3) 9 b) 1/2 * log5 4 * log2 30 – log5 6 d) log1 3 * log3 7 * log7 625 8 ^ (log2 5 – 1/3) c) 8 (1/5) ^ (bq, 0, 25 + 1) d) h) 4 ^ (- 1 + log2 3) (4/9) ^ (10g, 5 – 3/2)
1.100. Oblicz: a) 2 3^ log 1 5 ^ (1/2) * log 16 b) 100^ 1+log f) 16 ^ log2 sqrt(3) + 0, 25
1.99. Oblicz wartość wyrażenia: a) 3 * log0.4 2 – log0.4 3 * log3 125 c) log4 9 * log3 128
1.98. Oblicz wartość wyrażenia: a) log2 48 – log2 3 c) 2 * log1/2 sqrt(3) + log1 5 * 1/3 log 2 4-2 log 2 3 3 e) g) (log1 4 + log1 6 – log1 8)/3
1.97. Oblicz: a) d) log3 27/(root(4, 243)) log sqrt[25 sqrt[3] 5 sqrt[4] 125 b) log1/2 (256sqrt(2))/(root(3, 2)) log1/4 (2 * root(3, 64))/(sqrt(8)) e)
1.96. Oblicz: a) log2sqrt(2) 16 e) logsqrt(3) 27 * root(4, 3) b) log2 128 f) log1/2 64 b) logsqrt(3) 9 * sqrt(3) log1/2 16 * root(3, 2) c) og 2 729 log6 1/216 c) log1/5 5 * sqrt(5) g) log5 125 * sqrt(5) d) log2/3 3/2 h) log1/4 16 d) log1 36 * root(4, 6) h) log3sqrt(3) 81 * root(3, 3)
1.95. Oblicz: a) log1 8 e) log7 1
1.94. Rozwiąż nierówność: 4 * 3 ^ sin^2 x – 9 < 1/(3 ^ cos 2x) (sin(pi/4 - x))/(sqrt(2cos x)) w zbiorze R - 2*** <1 w zbiorze b) ( - pi 2 , pi 2 ) cup ( pi 2 , 3 pi 2 ) Logarytm - powtórzenie wiadomości
1.93. Rozwiąż równanie: a) 2 ^ (1 + 2cos 2x) + 16 ^ sin^2 x = 9 w zbiorze langle- pi, pi) 4^ 4^ 2 x =80-2^ 1 10x^ 2 W 2 lor2e( -3 pi 2 , 3 pi 2 )-\ – pi 2 , pi 2 ] b) 4
1.92. Dia jakich wartości parametru m (m in R) równanie 4^ x +4^ x-1 +4^ x-2 +. n =m- 1 3 -4^ 2x – 4 nie ma rozwiązań?
1.91. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m in R) , dla których równanie 2^ x +2^ x-2 +2^ x-2 +…=2^ 2x-1 + m ma jedno rozwiązanie.
1.90. Wyznacz wszystkie wartości parametru m m in R) , dla których równanie nie ma rozwiązań. (m+1)*49^ * +2(m-3) 7 ^ x + m – 1 = 0
1.89. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m in R) , dla których równanie 3 ^ (2x) – 2(m – 1) * 3 ^ 2 + m + 5 = 0 ma jedno rozwiązanie.
1.88. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m in R) , dla których równanie 4 ^ x + (m – 2) * 2 ^ x + 4 = 0 ma dwa różne rozwiązania.
1.87. Wyznacz wszystkie wartości parametru m langle m in R) , dla których równanie gdzie x ^ 2 – (2 ^ m – 1) * x – 3(4 ^ (m – 1) – 2 ^ (m – 2)) = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste różnych znaków.
1.86. Dla jakich wartości parametru m (m in R) równanie x ne-3 , ma więcej rozwiązań ujemnych niż dodatnich? |(x + 6)/(x + 3)| = (1/4) ^ (m + 5)
1.85. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m in R) , dla których równanie |x ^ 2 + 4x| = (1/2) ^ (m – 3) ma dwa rozwiązania ujemne.
1.84. Wyznacz te wartości parametru m (m in R) , dla których liczby: 4(2 ^ m + 1) 2 ^ m – 2, 9(2 ^ m + 1) sa kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. 10.2 geometrycznego (a n )
1.83. Dla pewnej wartości x liczby: 1/(4 ^ x + 11), 2 ^ x – 1 1,16 16 ^ x – 13 sa kolejnymi początko wymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego (a n ) . a) Wyznacz x. b) Napisz wyraz ogólny ciągu (a n ) .
1.82. Dla pewnej wartości x liczby: 3 + 2, . 3 ^ (2x) – 54 są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego. Wyznacz x oraz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
1.81. Wyznacz wartość parametru m (m in R) , dla której liczby sa kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego (a n ) Dla wyznaczonej wartości parametru m podaj wyraz ogólny tego ciągu. 3^ x +2, 3^ 2x +71 3^ x -1 ,3^ 2x .
1.80. Rozwiąż nierówności: a) 2^ x +2^ x-1 +2^ x-2 +…<=2* sqrt 3*2^ x +4 b) 0,5 5^ x +0,5^ x+1 +0,5^ x+2 +...>2 sqrt 1 2 )^ x +2 2^ x +4^ x +8^ x +…<= 2^ x+1 +1 2 5 ( 1 3 )^ x = ( 1 9 )^ x + ( 1 27 )^ x - ( 1 81 )^ x +...>=3^ 2-x -0,9 c) d)
1.79. Rozwiąż nierówności z niewiadomą x: a) (0,1)^ 1- 1 2 + 1 4 – 1 8 +1 +(-1)^ n * 1 2^ n +***< sqrt[3] (0,1)^ (3x+5)x 5^ 1+ 1 3 + 1 9 + ***+ 1 3^ 2 +*** 125^ x+1 x b) 5 c) ( 8 27 )^ 1+ 1 4 + 1 16 + 1 64 + 1 4 + 1 4^ 2 +=( 16 81 )^ (x+1)-(x ( 1 20 )^ 1 3 3 + 4 9 - 8 27 + 16 51 --+(-1)^ 2 ( 2 3 )+ 1 2^ x^ 2 *4^ x 32 d)
1.78. Rozwiąż nierówności, jeśli wiadomo, e x in mathbb N : a) 0.7^ 2+4+6 *..+2x>=(0,7)^ 12 b) 4,5^ 1+6+9+…+3x <= ( 2 6 ) C) 2^ 1 *2^ 6 *2^ 11 *...*2^ 15x-4) <=8^ 5 ೨) ( 1 6 )^ 2 * ( 1 6 )^ 5 * ( 1 6 )^ 8 * ( 1 6 )^ 11 *... ( 1 6 )^ (3x-1) >= ( 1 36 )^ 6x d)
1.77. Dane są funkcje f 1 (x)=4^ x+3 -7*3^ x+2 2 oraz f 2 (x)=3^ 1x+2 -5*4^ 3x określone f 1 (x-2)>= f 2 ( x 3 ). w zbiorze liczb rzeczywistych. Rozwiąż nierówność f,(x-2)2f
1.76. Dane są funkcje f 1 (x)=5^ 2x +2^ 2x oraz f 2 (x)=5^ x-4 +2^ x+2 określone w zbiorze f 2 (x+2)>= f 1 ( x 2 ) liczb rzeczywistych. Rozwiąż nierówność f,(x+ 2) 2f
1.75. Rozwiąż nierówności: a) 2 ^ (3x – 2) >= 5 ^ (x – 2/3) c) 13 * 14 ^ (3x) + 2 ^ (3x) * 7 ^ (3x) <= 1 f) (1/9) ^ ((2x - 3)/(x + 2)) < 81 (3/7) ^ ((4x - 3)/(x + 2)) >= root(4, 49/9) 4/3 * (2/3) ^ (x + 2) + 4/9 * (2/3) ^ (x + 1) >= 8/9 d) (0, 4) ^ (x + 3) + (2, 5) ^ (- x – 2) < 3, 5 b) 3 ^ (2x + 2) - 2 * 3 ^ (x + 2) - 27 < 0 d) 16 ^ x + 3 * 2 ^ (2x + 1) + 8 < 0 b) 5 ^ (3x) - 2 * 5 ^ (2x) - 5 ^ (x + 1) - 50 > 0 d) ( 1 2 )^ 3/ +64<( 1 2 )^ x-2 *(1+2^ 2-x ) b) 16^ |x+2| *16^ x-3| <=2^ x+31 d) (1/2) ^ (x + 3) * 8 ^ (2x) > 2 ^ |x – 1| b) 6 ^ x – 3 * 5 ^ x < 10 ^ x - 3 ^ (x + 1) d) 10 ^ x - 4 * 5 ^ x < 125 * 2 ^ x - 500 f) 6 ^ x + 3 * 7 ^ x < 21 ^ x + 3 * 2 ^ x (x/5) = b) 7 ^ (x - 3) < 3 ^ (2x - 6) d) 6 ^ (2x + 4) - 3 ^ (3x) * 2 ^ (x + 8) > 0
1.74. Rozwiąż nierówności: a) 2 ^ (2x) + 10 ^ x > 6 ^ x + 15 ^ x C) 6 ^ x – 9 * 2 ^ x – 8 * 3 ^ x + 72 > 0 e) 12 ^ x – 8 * 3 ^ x > 24 ^ x – 8 * 6 ^ x
1.73. Rozwiąż nierówności: a) 5^ x-2| <=( sqrt 5 )^ x-2 c) 3 ^ |x + 1| <= (9 ^ x)/(3 ^ (|x - 2| + 1))
1.72. Rozwiąż nierówności: a) 8 ^ (3x) – 3 * 8 ^ (2x) – 6 * 8 ^ x + 8 >= 0 c) 3 ^ (12x) – 11 * 3 ^ (8x) + 19 * 3 ^ (4x) – 9 >= 0
1.71. Rozwiąż nierówności: a) 2 ^ (2x + 1) 17 * 2 ^ x + 8 > 0 8 * (2/3) ^ (8x) – 30 * (2/3) ^ (4x) + 27 >= 0 c) 8.
1.70. Rozwiąż nierówności: a) 2 ^ (x + 5) + 2 ^ (x + 4) + 5 * 2 ^ (x + 2) < 34 c) 3 ^ (3x + 1) - 4 * 27 ^ (x - 1) + 9 ^ (15x - 1) < 80
1.69. Rozwiąż nierówności: a) (5/9) ^ (1/8) >= 5/9 4/25 >= (2, 5) ^ ((x + 1)/(x – 1)) b) e) (2/3) ^ (1/x) < root(3, 27/8) q ^ ((x + 2)/(x - 1)) <= 3x b) c) d)
1.68. Rozwiąż nierówności: a) (0, 5) ^ (x ^ 2 – 9x + 17, 5) < 8/(sqrt(2)) 64 b) (0,6)^ * >=2 7 9 e) (0, 8) ^ (2x – 1) >= (1, 25) ^ (x + 2) c) f) (1 1/3) ^ x > 0 ( sqrt[3] 49 81 ) ^ x-4 < ( 7 9 )^ 3x b) (sqrt(2)) ^ |x - 1| < 4 d) (0, 4) ^ (x - 6) <= 2, 5 (2/3) ^ (x + 2) * (3/2) ^ (2x + 1) > (27/8) ^ (x – 3) (1/25) ^ (x – 3) * 5 ^ (2x + 6) <= 625 ^ (1/2 * x - 1) b) d) ((sqrt(2)) ^ (x + 1))/((2 * root(3, 2)) ^ (x + 1)) >= 1/4 (2/3) ^ (2x – 1) * (81/16) ^ (x – 2) <= (2, 25) ^ (4x + 1) (3 ^ (x ^ 2))/((sqrt(3)) ^ (x + 1/2)) >= root(4, 3) (25 ^ (x ^ 2))/((root(4, 5)) ^ (8x)) <= 625/(5 ^ (4x)) b) d) b)
1.67 Rozwiąż nierówności: 3 * (27/8) ^ (2x + 3) * (2/9) ^ (2x + 3) >= (0, 75) ^ (x – 6) (4/25) ^ (x – 2) * (125/8) ^ (x – 2) < (2 1/2) ^ (2x + 5) c)
1.66. Rozwiąż nierówności: a) (1/64) ^ (x – 1) * 16 ^ (x – 4) < (1/4) ^ (4x + 8) 2 c) 8 ^ (2x) * (0, 5 * root(3, 2)) ^ (3x + 3) >= (0, 25) ^ (3x – 2)
1.65. Rozwiąż nierówności: a) c) (2/3) ^ – 1 <= (1, 5) ^ |x + 2| (1/16) ^ (x + 2) > (2 * root(3, 2)) ^ 3
1.64. Rozwiąż nierówności: a) d) 25 ^ x < 1/5 (1/2) ^ x >= 1
1.63. Rozwiąż układy równań: 27 ^ x = 9 ^ y \ 81^ x 3^ y =243 a) b) 3 ^ x * 5 ^ y = 75, \qquad 3 ^ y * 5 ^ x = 45 b) 2 ^ (3x) – 2 ^ (2x + 3) – 2 ^ (x + 4) + 128 = 0 d) $3-7.51422 +11.52**-625 20 (3x-7*5^ 1+2x +11*5^ 2+x -625-n b) d) 1/(2 ^ x – 2) + 2 ^ (1 – x) = 1 3/(2 ^ sqrt(x + 2) – 1) + 1/(2 ^ sqrt(x + 2) + 1) = 18/(2 ^ (2sqrt(x + 2)) – 1) b) (sqrt(3 + 2sqrt(2))) ^ x + (sqrt(3 – 2sqrt(2))) ^ x = 6 1) ( sqrt 7+ sqrt 48 )^ 4 +( sqrt 7- sqrt 48 )^ * =14 b) 6 ^ x – 9 * 2 ^ x – 15 ^ x + 9 * 5 ^ x = 0 d) 5 ^ (2x – 2) + (10 ^ x)/25 = 5 ^ (x + 3) + 125 * 2 ^ x ( 2 3 )^ 3+6+9+…+3x =(1,5)^ -30 b) d) 4^ 1+5+9+13+\ +(4x-3) =64 2+5^ x-4 +…= sqrt 100*5^ x +5 24 b) 5^ x +5^ x-2 + 3 ^ x + 3 ^ y = 28, \qquad 3 ^ (x + y) = 27 d) 3^ x -2^ 2 prime = pi\\ 3^ 2 -2^ prime =7 c)
1.62. Rozwiąż równania: a) 4^ x +4^ x-1 +4^ x-2 +…= 1 3 * sqrt 4^ x+1 +2
1.61. Rozwiąż równania, gdzie x in N + : a) 5^ 1+3+5+7+- +(2x-1)=(0,2)^ 100-20x c) ( 5 3 )^ 2+4+6+.. = ( 5 3 )^ 12
1.60. Rozwiąż równania: a) 2 ^ (2x) – 4 * 2 ^ x + 10 ^ x – 4 * 5 ^ x = 0 c) 3 ^ x * 2 ^ (x + 1) – 16 * 3 ^ x = 2 ^ (x + 4) – 2 ^ (2x + 1)
1.59. Rozwiąż równania: a) (2+ sqrt 3 )^ r +(2- sqrt 3 )^ * =4 () (sqrt(2 + sqrt(3))) ^ 2 + (sqrt(2 – sqrt(3))) ^ 8 = 4
1.58. Rozwiąż równania: (3 ^ x + 2)/(3 ^ x + 3) = (3 ^ x – 2)/(3 ^ x – 3) (3 ^ (x ^ 2 – 2) + 5)/(3 ^ (x ^ 2 – 1) – 9) = 14/(3(3 ^ (x ^ 2 – 2) – 3)) a) c)
1.57. Rozwiąż równania: a) 4 ^ (3x) – 7 * 4 ^ (2x) + 14 * 4 ^ x – 8 = 0 c) 9 ^ (tr) – g ^ (2x + 1/2) – 3 ^ (2x) + 3 = 0
1.56. Rozwiąż równania: – (1/3) ^ (2x) – 12 * (1/3) ^ x + 27 = 0 (1/5) ^ (2x) – 24 * 5 ^ (- x) – (1/5) ^ – 2 = 0 a) b) 3^ |x+1|+1 -5*3^ x+1|-1 =12 2 ^ (2 + (x – 3)/x) – 5 * (1/2) ^ ((3 – x)/x + 2) = 11 d) b) 7 ^ (2x) + 4 * 7 ^ x – 5 = 0 d) 2 ^ (2x) + 5 * 2 ^ x + 6 = 0
1.55. Rozwiąż równania: 4 ^ (sqrt(x – 1) + 1) – 4 ^ ((2sqrt(x – 1 – 1))/2) = c) 2 ^ (x ^ 3 – x + 2) + 5 * 2 ^ (x ^ 2 – x – 1) = 26
1.54. Rozwiąż równania: a) 2 ^ (x + 2) – 2 ^ (x – 1) = 14 d) b) 3**2 25 5 d) 5 ^ (x + 2) * 7 ^ (2x + 4) = 21 ^ (x + 1) f) 9 9 ^ (3x + 2) * 5 ^ (10x + 4) = 15 ^ (3x + 2) * 25 ^ (2x) b) 3 ^ (x + 1) – 3 ^ x – 3 ^ (x – 1) = 15 d) 7 * 4 ^ x – 2 ^ (2x + 1) = 26 + 7 * 4 ^ (x – 1) f) 5 * 2 ^ (3x) + 8 ^ x – 2 * 4 ^ (15x) = 16 (x ^ 2)/(x * x ^ 2) = x – 1 c) 8 * 5 ^ x + 7 * 5 ^ (x – 1) = 22 + 5 ^ (x + 1) e) 3 ^ (2x) + 4/27 = 2 * 3 ^ (2x + 1) – 9 ^ x
1.53. Rozwiąż równania: a) (1/2) ^ x = 2 ^ x c) 3 ^ (2x + 5) * 3 ^ (x + 1) = 2 ^ (x + 6) e) 2 ^ (5x – 1) * 3 ^ (3x – 1) = 6 ^ (x + 8) * 4 ^ x
1.52. Rozwiąż równania: a) c)
1.51. Rozwiąż równania: a) 2^ x^ prime ( sqrt[3] 2 )^ 12 = 4^ 2x ( sqrt 2 )^ 2x^ 2 c) (0, 5) ^ (x ^ 3) * 4 ^ (x ^ 2 – x) = 1/(32 ^ x) b) d) (3 ^ (x ^ 3))/((root(4, 3)) ^ (4x + 4)) = (1/3) ^ x ((0, 5) ^ (x ^ 1))/((0, 125) ^ (x ^ 2)) = 1/(2 ^ (3x)) root(5, 4 ^ x * (0, 125) ^ (1/x)) = (4 * root(4, 2))/((sqrt(2)) ^ x) = 1/(x – 1) b) 2 ^ ((3x – 9)/(3x – 7)) * root(3, (0, 25) ^ ((3x – 1)/(2x – 2))) = 1 ((- 1) ^ 2 – 15)/((2 – 4) ^ 2 + 5) sqrt (0,25)^ 5- x 4 =2^ sqrt x+1 -4 (5/2) ^ (sqrt(3 – x) – 1) = (0, 4) ^ ((1 + sqrt(1 – x))/(sqrt(2x)) – 5) – 5
1.50. Rozwiąż równania: a) (0, 5) ^ (x ^ 2) * 2 ^ (2x + 2) = 1/64 (4/3) ^ (x ^ 2 + 5x) = (9/16) ^ (x – 2) * (0, 75) ^ (x ^ 2) c) b) d) b) d) b) d) ( 25 4 )^ 2i*1 =(0,4)^ 1**12 (1/2) ^ (3t – 4) = 8 ^ (3x + 3) * 1/2 + 1/2 b) (0,75)’ = 16 d) (root(3, 3)) ^ x = 3 ^ (1/(2x + 1)) b) 2^ x^ prime +x^ 2 =32^ x+1 (3 ^ (x ^ 4))/81 = 9 ^ (x – x ^ 2) = 1/2 + 1/2 ((25sqrt(5))/(0, 2)) ^ (2x) = 5 ^ (x ^ 2 + 10) ( 3 sqrt[34] 9 sqrt[3] 81 )^ 6x^ 2 +12x = big( sqrt 3 big)^ 16 (1/2) ^ (x ^ 2 – x) * 8 ^ x = (2 ^ (x – 1))/8 (2/5) ^ (x ^ 2 – 1) * (25/4) ^ (- 2x) = (sqrt(2/5)) ^ (4x – 41)
1.49. Rozwiąż równania: a) ( 81 sqrt 3 sqrt 27 )^ 6x =3^ x^ 2 ***((-1)^ -2 ( sqrt[3] 4 sqrt[4] 4 )^ 6x+6 =8^ 1 3 x^ 2 +3
1.48. Rozwiąż równania: (2/3) ^ (x ^ 2) = (1 1/2) ^ (2x ^ 2 + x) ( 25 81 )^ x^ 2 – 1 2 =(1,8)^ 2x* x^ 2 *** (n-1) 1-x^ 2 = a) c)
1.47. Rozwiąż a) c) równania: (0, 8) ^ (1/(1x – 1)) = (16/25) ^ (1/(2x)) (0, 5) ^ (1/(1 – 1)) = (1/64) ^ (1/(1 * 2)) * n
1.46. Rozwiąż równania: a) c) ( 3 4 ) ^ x+5 = ( 4 3 )^ x+1 (1 1/6) ^ (2x – 4) = (6/7) ^ (1 + 2)
1.45. Rozwiąż równania: a) (0, 4) ^ x = 6, 25 d) (12, 25) ^ x = 3, 5 b) (0, 375) ^ x = 9/64 e) (2, 25) ^ x = 5, 0625 c) (0, 75) ^ x = 1 1/3 f) (0, 8) ^ x = 0, 512
1.44. Dla jakich wartości parametru m, gdzie m in R-\ -3\ , równanie 4^ x +4^ 2x +4^ 3x +4^ 4x +…= m m+3 ma rozwiązanie? Równania wykładnicze
1.43. b) 4 * 2 ^ (k – 11) = m d) 2^ |x 2|+x =m^ 2 Dla jakich wartości parametru m, gdzie m in R-\ -1,1\ , równanie 3 ( 1 3 ) ^ x + ( 1 3 )^ 2x + ( 1 3 )^ 3x + ( 1 3 )^ 4x = 2-m m^ 2 -1 ma rozwiązanie?
1.42. Zbadaj liczbę rozwiązań równania w zależności od wartości parametru m (m in R) : a) 4 ^ (x – 1) = m + 2 – |2- ( 1 3 )^ x Bigg|=m^ 2 -1
1.41. Rozwiąż graficznie układy równań: a) y = (1/2), \qquad y = – 7/6 * x + 5/3 ” y=2^ 1-1 -1\\ y+ 1 2 x-3 Big)(y-3)=0 aligned c) – y = 3 ^ x, \qquad y = 3/x y = 2 ^ (x – 2), \qquad y = 3/4 * x + 3 1/2 b) d)
1.40. Rozwiąż graficznie nierówności: a) c) (1/3) ^ – 1 <= 1 (3/2) ^ x >= – x ^ 2 + 3 3/4 * x – 1 1/4 d) y=2^ |x+2| *4^ x1 b) d) ( 1 2 )^ x -1 |=-2x^ 2 -8x-5 b) 2 ^ (x – 2) <= 5 - x d) 2 ^ k < 3 - |x| A y = f(x) (1/3) ^ (x - 3) = |1 - x ^ 2|
1.39. Rozwiąż graficznie równania: a) – 2 ^ (x – 1) = – 3/2 * x + 1/2 c) 4 ^ x = 5 – |x|
1.38. Naszkicuj a) y = 4 ^ (x – 1 + 1) b) y=|2^ -x -1 d) y = – 3 ^ |x| + 4 wykres funkcji i omów jej własności. b) y = 2 ^ (|x| – 3) c) y = (0, 5) ^ (x – 1 – 2x + 1)
1.37. Naszkicuj wykres funkcji i omów jej własności. a) y = – (1/2) ^ x c) y= ( 1 3 )^ x+2 -1 |-2
1.36. Na rysunku obok przedstawiony jest wykres funkcji wykladniczej f(x) = a ^ x . Do wykresu funkcji f nalezy punkt A(- 1/2, 2) a) Napisz wzór funkcji f. g(x)= ( 1 4 )^ 1 2 x *2. b) Naszkicuj wykres funkcji g(x) = c) Wyznacz miejsce zerowe funkcji g, a następnie odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów funkcja g przyjmuje wartości nieujemne. d) Sprawdź, czy do wykresu funkcji g należy punkt C c(- 1/2, (sqrt(2))/2 – 2)
1.35. Wykres funkcji wykładniczej f(x) = (0, 5) ^ x przeksztalcono przez symetrie osio wa względem osi OY i otrzymano wykres funkcji g. a) Napisz wzór funkcji g. b) Naszkicuj wykres funkcji g. c) Odczytaj z wykresu funkcji g argument, dla którego wartość funkcji wynosi 8 d) Dla jakich argumentów wartości funkcji g są większe od 4?
1.34. Naszkicuj wykres funkcji wykladniczej f(x) = 2 ^ x , a następnie naszkicuj wykres funkcji g, wiedząc, że g(x) = f(- x) – 4 . a) Napisz wzór funkcji g. b) Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji i osi OY. c) Sprawdź, czy liczba -2 jest miejscem zerowym funkcji g. d) Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja g przyjmu- je wartości ujemne.
1.33. Dana jest funkcja wykładnicza f, opisana wzorem f(x)%3D a) Naszkicuj wykres funkcji g, wiedząc, że g(x)=-f(x)+1, . b) Napisz wzór funkcji g. c) Odczytaj z wykresu zbiór argumentów, dla których wartości funkcji g są większe od -2 d) Oblicz wartość funkcji g dla argumentu -4.
1.32. Wykres funkcji f(x) = 2 ^ x przesunięto równolegle o wektor vec u =[2,-1] i otrzy mano wykres funkcji g. a) Napisz wzór funkcji g. b) Naszkicuj wykres funkcji g. c) Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji gi osi OY. d) Sprawdź, czy punkt A(42, 16 ^ 10 – 3 ^ 0) należy do wykresu funkcji g. f(x) = (1/3) ^ x
1.31. Na poniższych rysunkach przedstawiono wykresy funkcji wykładniczych, które powstały w wyniku przekształcenia wykresu funkcji Ax) = 3, gdzie x ER. Wybierz z ramki, znajdującej się pod tymi wykresami, wzór funkcji i przyporządkuj go odpowiedniemu wykresowi.
1.30. Naszkicuj wykres funkcji:
1.29. Dziedziną funkcji jest zbiór D. Wyznacz zbiór wartości funkcji f. jeśli:
1.28. Wyznacz zbiór wartości funkcji f. jeśli:
1.27. Wyznacz zbiór wartości funkcji f. jeśli:
1.26. Funkcja określona wzorem fix) 4″ +4″, xE R, przyjmuje dla pewnego ar gumentu x, wartość równą 23. Jaką wartość dla tego samego argumentu przyjmuje funkcja g(x) = 2 + 2″?
1.25. Funkcja określona wzorem f(x) = 9 +9, XE R, przyjmuje dla pewnego ar gumentu x, wartość równa 14. Jaką wartość dla tego samego argumentu przyjmuje funkcja g(x) = 3″ +37
1.24. Zbadaj parzystość funkcji:
1.23. wykaż, te jeśli ciąg wybranych argumentów (x,, X X ) funkcji wykładniczej Rx) = 7^x jest ciągiem arytmetycznym, to ciąg wartości tej funkcji (fix,). fix,), fix,).-) jest ciągiem geometrycznym.
1.22. Wywnioskuj na podstawie poniższych równości, czy liczba x jest dodatnia, czy ujemna, jeśli:
1.21. Poniższe nierówności są prawdziwe. Jaki związek zachodzi między wykladnikami m i n, jeśli:
1.20. Uporządkuj w kolejności rosnącej liczby:
1.19. Do wykresu funkcji wykładniczej f(x) = a należy punkt B
1.18. Do wykresu funkcji wykładniczej f(x) = a” należy punkt A(-2, 4). Napisz wzór funkcji f. Naszkicuj wykres funkcji fi na jego podstawie ustal, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości większe od 2.
1.17. Wykaż, że wykresy funkcji y (0,8)” oraz y = (1,25)” są symetryczne względem
1.16. Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci:
1.15. Wykaż, że:
1.14. Oblicz wartość wyrażenia:
1.13. Nie korzystając z kalkulatora, wykaż, że:
1.12. Wykaż, że:
1.11. Rozwiąż równania: a) (2/3 – x)(3 + 1) = 7+ 3 c) (3-V 2)’ x 1 1 (3+a)x
1.10. Oblicz x, jeśli:
1.9. Uporządkuj rosnąco liczby x, y, z, t, u, jeśli:
1.8. Porównaj liczby:
1.7 Oblicz
1.6. Oblicz:
1.5. Oblicz wartość wyrażenia. Wynik przedstaw w postaci liczby dziesiętnej.
1.4. Która z liczb m i n jest większa, jeśli: a) m = 5^6+ 2^12, n= 5^12 – 2^24
1.3. Oblicz, jakim procentem liczby x jest liczba y, jeśli:
1.2. Liczbę x przedstaw w postaci a^w, gdzie a jest liczbą naturalną, natomiast w jest liczbą wymierną
1.1. Oblicz wartość wyrażenia (nie używaj kalkulatora).
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od wysokości ostrosłupa. Krawędź podstawy ma długość 12. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Dany jest trójkąt ABC, w którym A=(−9,8). Bok BC tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y=−2x+38. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka B ma równanie 3x+2y−61=0. Wyznacz współrzędne wierzchołków B i C oraz napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C.
Dany jest skończony, pięciowyrazowy ciąg (4a−5;a;b;b+2;9). Trzy pierwsze wyrazy tego ciągu są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a trzy ostatnie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz a i b.
Spośród wszystkich wierzchołków sześciokąta foremnego o krawędzi 1 losujemy dowolne dwa. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowane wierzchołki utworzą odcinek, którego długość jest liczbą niewymierną.
Do okręgu o środku w punkcie O poprowadzono z trzech punktów A, B i C leżących na okręgu styczne, które przecięły się w punktach D, E i F (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli |AF|=x, to obwód trójkąta DEF jest równy 2x.
Dana jest funkcja f(x)=−3×2+bx+c dla x∈R. Prosta o równaniu x=2 jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem, a zbiorem wartości funkcji f jest przedział (−∞;21⟩. Wyznacz współczynniki b i c.
Wiedząc, że kąt α jest rozwarty oraz sin2α=925, oblicz tgα.
Wykaż, że jeżeli liczby a i b są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba (a+12b)2−(a−12b)2 jest podzielna przez 4.
W trapezie ABCD przekątne przecinają się w punkcie P. Punkt P dzieli przekątne na odcinki długości: |AP|=8, |PC|=3 i |BP|=12. Długości podstaw AB i CD trapezu różnią się o 15. Oblicz długość odcinka DP oraz długości podstaw AB i CD trapezu.
Rozwiąż nierówność (2x−5)(3−x)>−66.
Kula o promieniu 6cm i walec o wysokości równej 4,5cm mają równe objętości. Średnica podstawy walca ma długość: A) 8cmB) 82–√cm
Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej 4. Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD podstawy i wierzchołek C′. Otrzymany przekrój jest trójkątem, którego wysokość poprowadzona z wierzchołka C′ jest równa 12. Wysokość graniastosłupa jest równa:
Średnia arytmetyczna zestawu liczb 5,8,1,3,x,8 wynosi 6. Mediana tego zestawu jest równa: A) 2B) 612
Rzucono trzy razy monetą symetryczną. Prawdopodobieństwo uzyskania jednej reszki wynosi: A) 12B) 38
Ilość wszystkich liczb czterocyfrowych, w których cyfry się nie powtarzają, wynosi: A) 9⋅9⋅8⋅7B) 10⋅9⋅8⋅7
Przeciwległe wierzchołki kwadratu mają współrzędne A=(1,−3) i C=(−5,3). Bok kwadratu ma długość: A) 12
Obserwowana w laboratorium populacja bakterii podwaja swoją liczebność co 20 minut. Początkowa liczba bakterii wynosiła K sztuk. Oznacza to, że po upływie n godzin liczebność populacji wyniesie: A) K⋅23n
Punkty A, B, C i D należą do okręgu o środku w punkcie O (patrz rys.). Suma α+β wynosi:
Wysokość rombu jest równa 12, a jego pole jest równe 180. Sinus kąta ostrego rombu wynosi: A) 0,4B) 0,6
Dla pewnego kąta wypukłego α mamy tgα3=3√3. Kąt α ma miarę: A) 210°B) 60°
W pewnym ciągu arytmetycznym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa 512, a suma trzech pierwszych wyrazów jest równa 12. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy: A) 112B) 412
Sumę n początkowych wyrazów ciągu (4,6,9,…) można obliczyć ze wzoru: A) n(n+3)B) 3n+52⋅n
Dodatnich wyrazów ciągu określonego wzorem an=−2n+2018 dla n≥1 jest: A) nieskończenie wieleB) 1009
Wykres funkcji f(x)=−3x przesunięto równolegle wzdłuż osi OX o dwie jednostki w prawo i otrzymano wykres funkcji y=g(x). Wówczas: A) g(x)=−3x+2B) g(x)=−3x+2C) g(x)=−3x−2
Zbiorem wartości funkcji f(x)=−(x+7)(x−3) jest: A) (−∞;25⟩B) (−∞;−2⟩
Wykres funkcji liniowej f(x)=8−3×2 przecina osie układu współrzędnych w punktach A i B. Pole trójkąta ABO, w którym punkt O jest początkiem układu współrzędnych, wynosi: A) 1023B) 513C) 2113
Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji f. Maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca, to: matura z matematykiA) ⟨−2;0⟩B) ⟨−2;2⟩
Liczba różnych rozwiązań równania 3x(x2−9)x−3=0 wynosi: A) 4B) 3
Nierówność 13−12x<16 jest równoważna nierówności: A) x>13B) x<13
Liczba 2−2(3–√−1)2: A) należy do przedziału ⟨1;∞)B) jest ujemna
Urząd skarbowy został zobowiązany do zwrotu podatku w wysokości 235,40zł. Kwotę tę zaokrąglono do pełnych dziesiątek złotych. Błąd względny tego zaokrąglenia wyrażony w procentach wyniósł około: A) 0,04%B) 1,95%
Liczbą odwrotną do liczby 6√−33 jest: A) 3−6√3B) −6–√−3C) 3+6–√
Wyrażenie log3(log30−log3) jest równe: A) log310B) 0
Wynikiem działania 49−6:7−15 jest: A) 7−21B) 73
W gospodarstwie ogrodniczym zapakowano 480 róż do pewnej liczby kartonów. Gdyby jednak do każdego kartonu włożono o 3 róże mniej, to do zapakowania tej samej ilości róż należałoby użyć o 8 kartonów więcej. Do ilu kartonów zapakowano pierwotnie róże i ile róż było w każdym kartonie?
Podstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat, a spodek F wysokości EF ostrosłupa jest środkiem krawędzi AD (patrz rysunek). Ponadto wiadomo, że każda z dwóch dłuższych krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 125–√cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r=−4. Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o 3, a trzecią powiększymy o 4, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz liczby tworzące ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba oczek w drugim rzucie jest o dwa większa od liczby oczek w pierwszym rzucie.
Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa 1. Oblicz długość przekątnej tego kwadratu. Wynik zapisz w postaci a+bc√.
Uzasadnij, że równanie x2+(a−1)x−a=0 dla dowolnej liczby rzeczywistej a ma przynajmniej jedno rozwiązanie.
Sprawdź, czy punkty A=(−2,3), B=(2,5), C=(22–√,4+2–√) są współliniowe.
Na trójkącie o bokach długości 5–√,15−−√,10−−√ opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.
Rozwiąż nierówność 213⋅x−3⋅46<84(3x−5).
Rzucono 10 razy standardową sześcienną kostką do gry. Średnia arytmetyczna liczb oczek uzyskanych w pierwszych 6 rzutach była równa 3,5, a średnia arytmetyczna liczb oczek uzyskanych w kolejnych 4 rzutach to 4,5. Średnia arytmetyczna liczb oczek w 10 rzutach wynosi: A) 4,1B) 4,0
Trzycyfrowy kod aktywacyjny bramy wejściowej ma następującą postać: litera, cyfra, litera. Litera jest wybierana spośród 24 liter alfabetu i może się w kodzie powtarzać, a cyfra jest dowolna. Ile różnych kodów można w ten sposób utworzyć? A) 58B) 480
Kąt rozwarcia stożka jest równy 30°, a tworząca tego stożka ma długość 8cm. Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi: A) 64cm2B) 32cm2
Przekątna sześcianu ma długość 6cm. Objętość tego sześcianu jest równa: A) 243–√cm3B) 24cm3
Mediana uporządkowanego zestawu danych: 4,6,a,b,8,9 wynosi 7,5. Brakującymi wartościami a i b mogą być: A) a=6,b=6B) a=6,b=7
Bok trójkąta równobocznego ma długość 8cm. Odległość środka ciężkości tego trójkąta od jego boków jest równa: A) 223cmB) 43√3cm
Równanie x2−9x−3=0: A) nie ma rozwiązańB) ma dokładnie jedno rozwiązanieC) ma dokładnie dwa rozwiązania
Funkcję f(x) przesunięto wzdłuż osi układu współrzędnych, otrzymując funkcję o wzorze g(x)=f(x+4). Wobec tego funkcję f(x) przesunięto o: A) 4 jednostki w prawoB) 4 jednostki w góręC) 4 jednostki w lewo
Stosunek obwodów dwóch sześciokątów foremnych wynosi 34 a długość boku większego z nich jest równa 12cm. Mniejszy sześciokąt foremny ma bok długości: A) 27cmB) 48cm
Sześciu robotników wykonało pewną pracę w ciągu 6 godzin i 20 minut. Ośmiu robotników pracujących z taką samą wydajnością wykona tę samą pracę w ciągu: A) 8 godzin i 26 minutB) 4 godzin i 45 minut
W ciągu geometrycznym, który ma sześć wyrazów, dane są a3=12 i a6=116. Zatem: A) a2=14B) a2=18
Szósty wyraz ciągu arytmetycznego (an) jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów tego ciągu ma wartość:
Funkcja, której wykres przedstawiono na rysunku jest rosnąca: matura z matematykiA) tylko w przedziale (−∞,0)B) tylko w przedziale (0;+∞)C) w R∖{0}
W trójkącie przedstawionym na rysunku sinus kąta ostrego α jest równy: matura z matematykiA) 13B) 3C) 10−−√
Rozwiązaniem równania (2x−5)(3x+2)=(3x+2)(x+5) są liczby: A) −23 i 10B) −5 i 2,5C) −5, −23 i 2,5
Pole trapezu, jest równe 20cm2, a odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 4cm. Wysokość tego trapezu jest równa: A) 5cmB) 10cmC) 2,5cm
W trójkącie równoramiennym ABC, w którym AC=BC poprowadzono dwusieczne kątów ABC i ACB. Dwusieczne te przecięły się w punkcie O (patrz rysunek).
Funkcja liniowa f(x)=(m2−3)x+2 jest rosnąca wtedy, gdy: A) m∈(−3–√,3–√)B) m∈(−∞,−3–√)∪(3–√,∞)C) m∈{−3–√,3–√}
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej f(x)=17(x−5)(x+9) jest prosta o równaniu: A) x=5B) x=−9
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Który zapis jest fałszywy?
Suma liczb 0,3(7) i 0,(7) zapisana w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego to: A) 5245B) 115555100000C) 2925
Cenę pewnego towaru obniżono dwukrotnie: najpierw o 20%, a następnie o 10%. Końcowa cena tego towaru jest niższa od ceny początkowej o: A) 30%B) 72%C) 28%
Liczba 3log2+log53 jest równa: A) log73B) log133C) 3log7
Zbiorem rozwiązań nierówności |x|≤4 jest przedział: A) ⟨−4,4⟩B) (−∞,4⟩C) (−4,4)
Wartość wyrażenia (3–√−6–√)2 jest równa: A) −3B) 9−62–√C) −3−32–√
Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie A=(2,1) i B=(5,2). Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x−y−3=0. Oblicz współrzędne wierzchołka C.
Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11km/h większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długość 42–√. Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Dany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD|=|DE|. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.
Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych: K={−4,−1,1,5,6} i L={−3,−2,2,3,4}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
Liczby 6,2x+4,x+26 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę r tego ciągu.
Kąt α jest ostry oraz cosα=3√3. Oblicz wartość wyrażenia sinαcosα+cosα1+sinα.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność (a+b2)2≤a2+b22.
Rozwiąż nierówność (2x−3)(3−x)≥0.
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 432, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 12. Wysokość tego ostrosłupa jest równa: A) 3B) 9
Objętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa 96π. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe: A) 16π
Punkty M=(2,0) i N=(0,−2) są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg? A) (x−2)2+(y−2)2=4B) (x−2)2+(y+2)2=4
Proste o równaniach: y=mx−5 oraz y=(1−2m)x+7 są równoległe, gdy: A) m=−1B) m=−13
Na planie miasta, narysowanym w skali 1:20000, park jest prostokątem o bokach 2cm i 5cm. Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię:
W trójkącie EFG bok EF ma długość 21. Prosta równoległa do boku EF przecina boki EG i FG trójkąta odpowiednio w punktach H oraz I (zobacz rysunek) w taki sposób, że |HI|=7 i |GI|=3. Wtedy długość odcinka FI jest równa:
Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {1,2,3,4,…,30} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe: A) 430B) 530
Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 12 i 9, opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy:
Punkt O jest środkiem okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta LKM jest równa:
W sześcianie EFGHIJKL poprowadzono z wierzchołka F dwie przekątne sąsiednich ścian, FI oraz FK (zobacz rysunek). Miara kąta IFK jest równa:
Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej 40 studentów, jest równa 30. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie 1800 punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy: A) 20 pktB) 30 pktC) 50 pkt
W trapezie KLMN, w którym KL||MN, kąt LKN jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: |MN|=3, |KN|=43–√, |∢KLM|=60°. Pole tego trapezu jest równe:
Miara kąta α spełnia warunek: 0°<α<90°. Wyrażenie cos2α1−sin2α+1−cos2αsin2α jest równe: A) 1B) 2cos2α
W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a2=11 i a4=7. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa: A) 36B) 40
W ciągu geometrycznym (an), określonym dla n≥1, wyraz a1=5, natomiast iloraz q=−2. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa: A) −1705B) −1023
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu y=(x+2)(x−4) jest równa: A) −8B) −4C) 1
Dane są wielomiany: W(x)=2×2−1, P(x)=x3+x i Q(x)=(1−x)(x+1). Stopień wielomianu W(x)⋅P(x)⋅Q(x) jest równy: A) 3B) 6C) 7
Liczba 327+326326+325 jest równa: A) 1B) 3C) 6
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x)=3×2+7x+c jest liczba −73. Wówczas c jest równe: A) 0B) 1C) −98
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=3x−4 dla każdej liczby z przedziału ⟨−2,2⟩. Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział: A) ⟨−10;2⟩B) (−10;2⟩C) ⟨2;10⟩D) (2;10⟩
Dane są liczby: a=log319, b=log33, c=log3127. Który z poniższych warunków jest prawdziwy? A) c
Na prostej o równaniu y=ax+b leżą punkty K=(1,0) i L=(0,1). Wynika stąd, że: A) a=−1 i b=1B) a=1 i b=−1
Dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b wyrażenie ab+a−b−1 jest równe: A) (a−1)(b−1)B) (a+1)(b−1)C) (a−1)(b+1)
Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek 12:8:3:2. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora? A) 12%B) 32%C) 48%
Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x? A) x2−−√=xB) |−x|=xC) |x−1|=x−1
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 273–√. Długość krawędzi AB podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Ponadto wiadomo, że A=(−2,4) i B=(6,−2). Wierzchołek C należy do osi Oy. Oblicz współrzędne wierzchołka C.
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an), dla n≥1 taki, że a5=18. Wyrazy a1, a3 oraz a13 tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (an).
Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez 12.
Funkcja kwadratowa f, dla x=−3 przyjmuje wartość największą równą 4. Do wykresu funkcji f należy punkt A=(−1,3). Zapisz wzór funkcji kwadratowej f.
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność 3×2+5y2−4xy≥0.
Czworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że |AD|2+|BD|2=|BC|2+|AC|2.
Rozwiąż równanie x(x2−2x+3)=0.
Rozwiąż nierówność 3×2−9x≤x−3.
Wierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne: A=(−1,−5), B=(5,1), C=(1,3), D=(−2,0). Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona AD oraz BC trapezu ABCD.
Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy ze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby i wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się o 5 złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?
Podstawą graniastosłupa ABCDEFGH jest prostokąt ABCD (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość 3. Przekątna prostokąta ABCD tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 30∘. Przekątna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60∘. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an=7⋅3n+1, dla n≥1. Oblicz iloraz q tego ciągu.
Wykaż, że liczba (1+20132)(1+20134) jest dzielnikiem liczby: 1+2013+20132+20133+20134+20135+20136+20137.
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek.
Kąt α jest ostry i cosα=7–√4. Oblicz wartość wyrażenia 2+sin3α+sinα⋅cos2α.
Rozwiąż równanie 3×3−4×2−3x+4=0.
Liczba log4+log5−log2 jest równa A.10 B.2 C.1 D.0
Dana jest prosta l o równaniu y=−25x. Prosta k równoległa do prostej l i przecinająca oś Oy w punkcie o współrzędnych (0,3) ma równanie A.y=−0,4x+3 B.y=−0,4x−3 C.y=2,5x+3 D.y=2,5x−3
Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe A.14 B.38 C.12 D.34
Objętość stożka o wysokości h i promieniu podstawy trzy razy mniejszym od wysokości jest równa A.19πh2 B.127πh2 C.19πh3 D.127πh3
Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na poniższym diagramie.
W ciągu geometrycznym (an) pierwszy wyraz jest równy 98, a czwarty wyraz jest równy 13. Wówczas iloraz q tego ciągu jest równy A.q=13 B.q=12 C.q=23 D.q=32
Dany jest ciąg arytmetyczny (an) w którym różnica r=−2 oraz a20=17. Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A.45 B.50 C.55 D.60
Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości 1 oraz 3–√. Najmniejszy kąt w tym trójkącie ma miarę A.60∘ B.30∘ C.45∘ D.15∘
Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie
Funkcja f(x)=3x(x2+5)(2−x)(x+1) ma dokładnie A.dwa miejsca zerowe. B.trzy miejsca zerowe. C.cztery miejsca zerowe. D.pięć miejsc zerowych.
Ciąg (an) określony jest wzorem an=−2+12n dla n≥1. Równość an=4 zachodzi dla A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa A.122–√ B.82–√ C.62–√ D.32–√
Kosinus kąta ostrego rombu jest równy 3–√2, bok rombu ma długość 3. Pole tego rombu jest równe A.92 B.93–√4 C.93–√2 D.6
Prostokąt ABCD o przekątnej długości 213−−√ jest podobny do prostokąta o bokach długości 2 i 3. Obwód prostokąta ABCD jest równy A.10 B.20 C.5 D.24
Iloczyn wielomianów 2x−3 oraz −4×2−6x−9 jest równy A.−8×3+27 B.−8×3−27 C.8×3+27 D.8×3−27
Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt α, zaznaczony na rysunku, ma miarę
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział Przedziałem, w którym funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne, jest Funkcja g jest określona wzorem
Kąt α jest ostry i sinα=13. Wartość wyrażenia 1+tgα⋅cosα jest równa A.43 B.119 C.179 D.113
Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin2α+sin2α⋅cos2α+cos4α jest równe A.2sin2α B.2cos2α C.1 D.2
Liczba (−3) jest miejscem zerowym funkcji f(x)=(2m−1)x+9. Wtedy A.m=−2 B.m=0 C.m=2 D.m=3
Wartość wyrażenia log220−log25 jest równa A.log215 B.2 C.4 D.log225
Przedział ⟨−1,3⟩ jest opisany nierównością A.|x+1|≥2 B.|x+1|≤2 C.|x−1|≤2 D.|x−1|≥2
Dodatnia liczba x stanowi 70% liczby y. Wówczas A.y=1310x B.y=710x C.y=107x D.y=1013x
Liczba (16−−√3⋅4−2)3 jest równa A.44 B.4−4 C.4−8 D.4−12
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD,BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta.
Punkty A=(2,11),B=(8,23),C=(6,14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu D.
Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45∘, a jego pole jest równe 502–√. Oblicz wysokość tego rombu.
Suma Sn=a1+a2+…+an początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn=n2−2n. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to sin4α+cos2α=sin2α+cos4α.
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.
Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.
Rozwiąż nierówność x2−3x−10<0.
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku a. Jeżeli r oznacza promień podstawy walca, h oznacza wysokość walca, to A.r+h=a B.h−r=a2 C.r−h=a2 D.r2+h2=a2
Jeżeli A i B są zdarzeniami losowymi, B′ jest zdarzeniem przeciwnym do B, P(A)=0,3, P(B′)=0,4 oraz A∩B=∅, to P(A∪B) jest równe A.0,12 B.0,18 C.0,6 D.0,9
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 i 6 obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej. Objętość powstałego stożka jest równa A.96π B.48π C.32π D.8π
Równość (a+22–√)2=a2+282–√+8 zachodzi dla A.a=14 B.a=72–√ C.a=7 D.a=22–√
W kolejnych sześciu rzutach kostką otrzymano następujące wyniki: 6,3,1,2,5,5. Mediana tych wyników jest równa: A.3 B.3,5 C.4 D.5
Punkt S=(2,7) jest środkiem odcinka AB, w którym A=(−1,3). Punkt B ma współrzędne: A.B=(5,11) B.B=(12,2) C.B=(−32,−5) D.B=(3,11)
Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej f(x)=ax+b, gdzie a>0 i b<0. Wskaż ten wykres.
Wiadomo, że dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x)=x−72x+a jest zbiór (−∞,2)∪(2,+∞). Wówczas A.a=2 B.a=−2 C.a=4 D.a=−4
Kąt α jest ostry i tgα=1. Wówczas A.α<30∘ B.α=30∘ C.α=45∘ D.α>45∘
Ciąg (22–√,4,a) jest geometryczny. Wówczas A.a=82–√ B.a=42–√ C.a=8−22–√ D.a=8+22–√
Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n+4−−−−−√ dla n≥1. Wówczas A.a8=25–√ B.a8=8 C.a8=52–√ D.a8=12−−√
Wyrażenie 3x+1x−2−2x−1x+3 jest równe A.x2+15x+1(x−2)(x+3) B.x+2(x−2)(x+3) C.x(x−2)(x+3) D.x+2−5
Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:
Pięciokąt ABCDE jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do trójkąta ECD A.ΔABF B.ΔCAB C.ΔIHD D.ΔABD
Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany BAD ma miarę A.150∘ B.120∘ C.115∘ D.85∘
Cięciwa okręgu ma długość 8 cm i jest oddalona od jego środka o 3 cm. Promień tego okręgu ma długość A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.8 cm
Krótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę 30∘. Dłuższy bok prostokąta ma długość A.23–√ B.43–√ C.63–√ D.12
Jeden kąt trójkąta ma miarę 54∘. Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest 6 razy większy od drugiego. Miary pozostałych kątów są równe A.21∘ i 105∘ B.11∘ i 66∘ C.18∘ i 108∘ D.16∘ i 96∘
Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem f(x)=x2−4x+4 jest punkt o współrzędnych A.(0,2) B.(0,−2) C.(−2,0) D.(2,0)
Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji y=x2+2x−3. Wskaż ten rysunek.
Marża równa 1,5% kwoty pożyczonego kapitału była równa 3000 zł. Wynika stąd, że pożyczono A.45 zł B.2000 zł C.200 000 zł D.450 000 zł
Równanie (x+5)(x−3)(x2+1)=0 ma: A.dwa rozwiązania: x=−5,x=3 B.dwa rozwiązania: x=−3,x=5 C.cztery rozwiązania: x=−5,x=−1,x=1,x=3 D.cztery rozwiązania: x=−3,x=−1,x=1,x=5
Liczbami spełniającymi równanie |2x+3|=5 są A.1 i −4 B.1 i 2 C.−1 i 4 D.−2 i 2
Ułamek 5–√+25–√−2 jest równy
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A=(1,8) i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę 120° oraz |AS|=|CS|=10 i |BS|=|DS|. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1,2,3,4 (cyfry mogą się powtarzać).
Liczby 27,x,3 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu.
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba oczek w pierwszym rzucie jest o 1 mniejsza od liczby oczek w drugim rzucie.
Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III. matura z matematyki Oblicz medianę i średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.
Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba 3n+2−2n+2+3n−2n jest wielokrotnością liczby 10.
Dane są wielomiany P(x)=−2×3+3×2−1, Q(x)=2×2−x−1 oraz W(x)=ax+b. Wyznacz współczynniki a i b, tak aby wielomian P(x) był równy iloczynowi W(x)⋅Q(x).
Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B,C,N są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że |AM|=|CN|. Wykaż, że |BM|=|MN|.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=2x−bx−9 dla x≠9, a f(14)=5. Oblicz współczynnik b.
Rozwiąż nierówność −2×2+2x+24≥0
Jeżeli A jest zdarzeniem losowym takim, że P(A)=6⋅P(A′) , oraz A′ jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A, to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: A) 56B) 16C) 17
Dany jest sześcian ABCDEFGH. Siatką ostrosłupa czworokątnego ABCDE jest:
Stożek powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 6 i 13 wokół krótszej przyprostokątnej. Promień podstawy tego stożka jest równy: A) 6B) 13C) 6,6
Dane są dwa okręgi o promieniach 12 i 17. Większy okrąg przechodzi przez środek mniejszego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa: A) 5B) 12C) 17
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:
Obwód prostokąta jest równy 28. Stosunek długości jego boków jest równy 3:4. Dłuższy bok tego prostokąta jest równy:
Dany jest okrąg o równaniu (x+2)2+(y−3)2=5. Środek tego okręgu ma współrzędne: A) (2,−3)B) (−2–√,−3–√)
Dane są punkty A=(−2,2) i B=(4,−2). Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy: A) a=−23B) a=−32
W ciągu geometrycznym (an) dane są a2=2√2 i a3=−1. Wtedy wyraz a1 jest równy: A) −12B) 12C) −2–√
Ciąg arytmetyczny (an) jest określony wzorem an=2n−1 dla n≥1. Różnica tego ciągu jest równa: A) −1B) 1C) 2
W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre: α=41° i β=49° . Wtedy cosα+sinβcosα równa się: A) 1+sin49°B) sin49°
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y=f(x). matura z matematyki Zbiorem wartości tej funkcji jest: A) ⟨−4,3⟩B) ⟨−4,−1⟩∪⟨1,3⟩
Liczby x1, x2 są rozwiązaniami równania 2(x−5)(x+7)=0. Suma x1+x2 jest równa: A) 2
Funkcja liniowa f(x)=−12x+3 A) jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0,3)B) jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0,−3)C) jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0,−3)
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność (3−x)(3+x)>(3−x)2 jest: A) 0B) 1
Równanie x2+25x−5=0 A) nie ma rozwiązańB) ma dokładnie jedno rozwiązanieC) ma dokładnie dwa rozwiązania
Wielomian x2−100 jest równy: A) (x−10)2B) (x−10)(x+10)
Cenę pewnego towaru najpierw obniżono o 20%, a następnie nową cenę podwyższono o 10%. W wyniku obu tych zmian cena towaru zmniejszyła się w stosunku do pierwotnej o:
Wskaż liczbę, która spełnia równanie |4x−5|=x. A) x=−1B) x=1C) x=2
Liczba log128 jest równa: A) −3B) −13C) 13
Potęga (ab)−5 (gdzie a i b są różne od zera) jest równa: A) −5⋅abB) (ba)5
Liczbę 20−−√ można przedstawić w postaci: A) 52–√B) 54–√C) 45–√
Na loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano: A) 4 losyB) 20 losówC) 50 losów
Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9? A) 6B) 10C) 12
Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,x jest równa n, natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,x,2x jest równa 2n. Wynika stąd, że: A) x=49B) x=21C) x=14
Liczba 0,3 jest jednym z przybliżeń liczby 516. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy: A) 4%B) 0,04%C) 2,5%
W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę: A) 30°B) 45°C) 60°
Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie: A) 16 wierzchołków B) 9 wierzchołków C) 16 krawędzi
Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6 (zobacz rysunek). Kąt α rozwarcia tego stożka jest równy: A) 30°B) 45°C) 60°
Boki trójkąta mają długości 20 i 12, a kąt między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego trójkąta jest równe: A) 60B) 120C) 603–√
Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma 7cm, a drugi ma 2cm. Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość: A) 12cmB) 9cmC) 6cm
W trójkącie ABC, w którym |AC|=|BC|, na boku AB wybrano punkt D taki, że |BD|=|CD| oraz |∢ACD|=21° (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt BCD ma miarę: A) 57°B) 53°C) 51°
Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku 3:4:5. Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę: A) 45°B) 90°C) 75°
Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa: A) 13B) 12C) 7
Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an=2n dla n≥1. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa: A) 2(1−210)B) −2(1−210)C) 2(1+210)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Funkcja f jest rosnąca w przedziale: A) ⟨−1;1⟩B) ⟨−1;5⟩C) ⟨5;6⟩
Liczba niewymiernych rozwiązań równania x2(x+5)(2x−3)(x2−7)=0 jest równa: A) 0B) 1C) 5
Prosta k przecina oś Oy układu współrzędnych w punkcie (0,6) i jest równoległa do prostej o równaniu y=−3x. Wówczas prosta k przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie: A) (−12,0)B) (−2,0)C) (2,0)
Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y=ax+b przechodzącej przez punkty (0,−2) i (6,2). Wtedy: A) a=23,b=−2B) a=3,b=−2C) a=32,b=2
Wyrażenie 3sin3αcosα+3sinαcos3α może być przekształcone do postaci: A) 3B) 3sinαcosαC) 3sin3αcos3α
Wartość wyrażenia sin120°−cos30° jest równa: A) sin90°B) sin150°C) sin0°
Równanie 2×2+11x+3=0: A) nie ma rozwiązań rzeczywistychB) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywisteC) ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywisteD) ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste
Para liczb x=2 i y=1 jest rozwiązaniem układu równań {x+ay=52x−y=3, gdy: A) a=−3B) a=−2C) a=2
Wyrażenie 3a2−12ab+12b2 może być przekształcone do postaci: A) 3(a2−b2)2B) 3(a−2b2)2C) 3(a−2b)2
Przy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45018zł. Jaka jest cena netto tego samochodu? A) 34663,86złB) 36600złC) 44995złD) 55372,14zł
Wartość wyrażenia −32√5⋅2−14⋅22 jest równa: A) −12B) 12C) 1
Liczba 218−−√−32−−√ jest równa: A) 2−32 B) 2−12 C) 212
Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10% większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?
Dany jest stożek o objętości 8π, w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, w którym a1+a2+a3+a4=2016 oraz a5+a6+a7+…+a12=2016. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (an).
W trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=15 i |AC|=12 oraz cosα=4/5, gdzie α=∢BAC. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że |BD|=2|AD| i |AE|=2|CE|(zobacz rysunek).Oblicz pole a)trójkąta ADE. b)czworokąta BCED.
Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek).Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x4+y4+x2+y2≥2(x3+y3)
Dane są proste o równaniach y=x+2 oraz y=−3x+b, które przecinają się w punkcie leżącym na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Ox.
Rozwiąż równanie 2x+1/2x=2x+1/x+1, gdzie x≠−1 i x≠0.
Punkty D i E są środkami przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC. Punkty F i G leżą na przeciwprostokątnej AB tak, że odcinki DF i EG są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta BGE jest równe 1, a pole trójkąta AFD jest równe 4.Zatem pole trójkąta ABC jest równe A.12 B.16 C.18 D.20
Dane są dwie sumy algebraiczne 3×3−2x oraz −3×2−2. Iloczyn tych sum jest równy A.−9×5+4x B.−9×6+6×3−6×2+4x C.−9×5+6×3−6×2+4x D.−9×6+4x
Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe k i l o równaniach y=ax+b oraz y=mx+n. Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.Zatem A.a⋅m>0 i b⋅n>0 B.a⋅m>0 i b⋅n<0 C.a⋅m<0 i b⋅n>0 D.a⋅m<0 i b⋅n<0
Średnia arytmetyczna czterech liczb: x−1, 3x, 5x+1 i 7x jest równa 72. Wynika stąd, że A.x=9 B.x=10 C.x=17 D.x=18
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy A.0≤p≤0,25 B.0,25≤p≤0,4 C.0,4≤p≤0,5 D.p>0,5
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta ASC jest równa A.45∘ B.30∘ C.75∘ D.90∘
Do pewnej liczby a dodano 54. Otrzymaną sumę podzielono przez 2. W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby a. Zatem A.a=27 B.a=18 C.a=24 D.a=36
Układ równań {y=−ax+2ay=b/3x−2 nie ma rozwiązań dla A.a=−1 i b=−3 B.a=1 i b=3 C.a=1 i b=−3 D.a=−1 i b=3
Prosta określona wzorem y=ax+1 jest symetralną odcinka AB, gdzie A=(−3,2) i B=(1,4). Wynika stąd, że A.a=−1/2 B.a=1/2 C.a=−2 D.a=2
Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość 20. Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę 150∘. Pole tego trójkąta jest równe A.100 B.200 C.1003–√ D.1002–√
Kolarz przejechał trasę długości 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o 1 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz, z jaką prędkością jechał ten kolarz.
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE i CF. Oblicz pole trójkąta ABF wiedząc, że |AB|=10 i |CF|=11. Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt ABF.
Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma liczb oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6 i iloczyn tych liczb jest nieparzysty.
Wykaż, że jeżeli a>0 i b>0 oraz a2+b−−−−−√=a+b2−−−−−√, to a=b lub a+b=1.
Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A=(3,8), B=(1,2), C=(6,7) jest prostokątny.
Wyznacz równanie okręgu o środku S=(4,−2) przechodzącego przez punkt (0,0).
Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Rozwiąż równanie x3−3×2+2x−6=0.
Rozwiąż nierówność: x2−14x+24>0.
Ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas: A) p<0,3B) p=0,3C) p=0,4
Graniastosłup ma 15 krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup? A) 10B) 5C) 15
Objętość sześcianu jest równa 27cm3. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu? A) 18cmB) 36cmC) 24cm
Prosta l ma równanie y=−14x+7. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej l. A) y=14x+1B) y=−14x−7C) y=4x−1
Promień okręgu o równaniu (x+2)2+(y−1)2=13 jest równy: A) 13−−√B) 13C) 8
Punkty A=(−1,3) i C=(−5,5) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe:
Punkty A,B,C,D,E,F,G,H,I,J dzielą okrąg o środku S na 10 równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku.
Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 11, a bok AB jest od niej o 5 krótszy. Oblicz długość boku AD. A) 157−−−√B) 85−−√
Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień równy 12. Wysokość tego trójkąta jest równa: A) 18B) 20
Kąt α jest ostry i cosα=34. Wtedy sinα jest równy: A) 14B) 3√4
W malejącym ciągu geometrycznym (an) mamy: a1=−2 i a3=−4. Iloraz tego ciągu jest równy: A) −2B) 2C) −2–√
W ciągu arytmetycznym (an) mamy: a2=5 i a4=11. Oblicz a5. A) 8B) 14C) 17
Do wykresu funkcji f(x)=ax, dla x≠0 należy punkt A=(2,6). Wtedy: A) a=2B) a=6C) a=8
Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej y=ax+b takiej, że a>0 i b<0?
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział (−∞;3⟩. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji f?
Wskaż m, dla którego funkcja liniowa f(x)=(m−1)x+6 jest rosnąca: A) m=−1B) m=0C) m=1
Wierzchołek paraboli y=x2+4x−13 leży na prostej o równaniu: A) x=−2B) x=2C) x=4
Równanie x2−4(x−4)(x+4)=0 A) nie ma rozwiązańB) ma dokładnie jedno rozwiązanieC) ma dokładnie dwa rozwiązania
Zbiorem rozwiązań nierówności x(x+5)>0 jest: A) (−∞;0)∪(5;+∞)B) (−∞;−5)∪(0;+∞)C) (−∞;−5)∪(5;+∞)
Kwadrat liczby x=2−3–√ jest równy: A) 7−43–√B) 7+43–√C) 1
Wyrażenie x(x−1)(x+1) jest równe: A) (x−1)3B) x3−1C) x3−x
Wskaż nierówność, która opisuje przedział na osi liczbowej. matura z matematykiA) |x−1|<3B) |x+1|<3C) |x+1|>3
Różnica log39−log31 jest równa: A) 0B) 1C) 2
Iloczyn 812⋅94 jest równy: A) 34B) 30C) 316
Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje:
Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne AW, BW i CW mają następujące długości: |AW|=6, |BW|=9, |CW|=7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki: (1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste, (2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek, (3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności, (4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.
Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z boisk.
Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.
Punkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.
Na bokach trójkąta równobocznego ABC (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty ABDE, CBGH i ACKL. Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny.
Liczby 2x+1,6,16x+2 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
Kąt α jest ostry i sinα=14. Oblicz 3+2tg2α.
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1⋅2⋅3⋅…⋅16, jest podzielny przez 215.
Rozwiąż nierówność x2−3x+2<0.
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa 90. Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe A.300 B.3003–√ C.300+503–√ D.300+253–√
Kula ma objętość V=288π. Promień r tej kuli jest równy A.6 B.8 C.9 D.12
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60∘. Pole tego rombu jest równe A.163–√ B.16 C.83–√ D.8
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa
Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe A.190 B.290 C.390 D.1090
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 3,1,1,0,x,2 jest równa 2. Wtedy liczba x jest równa A.3 B.4 C.5 D.6
Krawędź sześcianu ma długość 9. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (an) określony wzorem an=2n2−9 dla n≥1? A.0 B.1 C.2 D.3
Kąt α jest ostry oraz sinα=cos47∘. Wtedy miara kąta α jest równa. A.6∘ B.33∘ C.47∘ D.43∘
Dane są punkty A=(1,−4) i B=(2,3). Odcinek AB ma długość A.1 B.43–√ C.52–√ D.7
Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2 ? A.1 B.2 C.3 D.4
W ciągu geometrycznym (an) mamy a3=5 i a4=15. Wtedy wyraz a5 jest równy. A.10 B.20 C.75 D.45
Dane są wielomiany W(x)=x3+3×2+x−11 i V(x)=x3+3×2+1. Stopień wielomianu W(x)−V(x) jest równy A.0 B.1 C.2 D.3
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x)=x2−4 jest A.⟨−4,+∞) B.⟨−2,+∞) C.⟨2,+∞) D.⟨4,+∞)
Liczba log24+2log31 jest równa A.0 B.1 C.2 D.4
Liczba |5−2|+|1−6| jest równa A.8 B.2 C.3 D.−2
Dla pewnych a i b zachodzą równości a2−b2=200 i a+b=8. Dla tych a i b wartość wyrażenia a−b jest równa A.25 B.16 C.10 D.2
Punkt A=(0,5) leży na prostej k prostopadłej do prostej o równaniu y=x+1. Prosta k ma równanie A.y=x+5 B.y=−x+5 C.y=x−5 D.y=−x−5
Do wykresu funkcji liniowej należą punkty A=(1,2) i B=(−2,5). Funkcja f ma wzór A.f(x)=x+3 B.f(x)=x−3 C.f(x)=−x−3 D.f(x)=−x+3
Funkcja liniowa f(x)=(m−2)x−11 jest rosnąca dla A.m>2 B.m>0 C.m<13 D.m<11
Rozwiązaniem układu równań {x+3y=52x−y=3 jest A.{x=2y=1 B.{x=2y=−1 C.{x=1y=2 D.{x=1y=−2
Suma liczby x i 15% tej liczby jest równa 230. Równaniem opisującym tą zależność jest A.0,15⋅x=230 B.0,85⋅x=230 C.x+0,15⋅x=230 D.x−0,15⋅x=230
Rozwiązaniem równania 3(2−3x)=x−4 jest A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4
Kolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC| oraz A=(2,1) i C=(1,9). Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej y=12x. Oblicz współrzędne wierzchołka B.
Wykaż, że jeżeli c<0, to trójmian kwadratowy y=x2+bx+c ma dwa różne miejsca zerowe.
Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że |CE|=12|AC|. Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DCE.
W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC|=|BC|=6 i |∢ACB|=30∘ (zobacz rysunek). Oblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Rozwiąż równanie x3−6×2−9x+54=0.
Rozwiąż nierówność x2−8x+7≥0.
Ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas A.p<15 B.p=15 C.p=14 D.p>14
Pewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000 zł, a pensje pozostałych pracowników są równe: 2000 zł, 2800 zł, 3400 zł, 3600 zł, 4200 zł. Mediana zarobków tych 6 osób jest równa A.3400 zł B.3500 zł C.6000 zł D.7000 zł
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku a. Objętość tego stożka wyraża się wzorem A.3–√6πa3 B.3–√8πa3 C.3–√12πa3 D.3–√24πa3
Objętość sześcianu jest równa 64. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A.512 B.384 C.96 D.16
Dany jest okrąg o równaniu (x+4)2+(y−6)2=100 . Środek tego okręgu ma współrzędne A.(−4,−6) B.(4,6) C.(4,−6) D.(−4,6)
Punkty B=(−2,4) i C=(5,1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe A.74 B.58 C.40 D.29
Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu y=−13x+2. A.y=3x B.y=−3x C.y=3x+2 D.y=13x+2
Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 243–√. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy A.36 B.18 C.12 D.6
Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa A.65∘ B.100∘ C.115∘ D.130∘
Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6. Długość boku BC jest równa A.8 B.410−−√ C.258−−√ D.10
W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy A.cosα=911 B.sinα=911 C.sinα=11210−−√ D.cosα=210−−√11
Kąt α jest ostry i sinα=713. Wtedy tgα jest równy A.76 B.7⋅13120 C.7120−−−√ D.713120−−−√
W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1=36, a2=18. Wtedy A.a4=−18 B.a4=0 C.a4=4,5 D.a4=144
Dany jest ciąg (an) określony wzorem an=n(−2)n dla n≥1. Wówczas A.a3=12 B.a3=−12 C.a3=38 D.a3=−38
Równanie (x+3)(x−2)(x−3)(x+2)=0 ma A.dokładnie jedno rozwiązanie B.dokładnie dwa rozwiązania C.dokładnie trzy rozwiązania D.dokładnie cztery rozwiązania
Wielomian W(x)=x6+x3−2 jest równy iloczynowi A.(x3+1)(x2−2) B.(x3−1)(x3+2) C.(x2+2)(x4−1) D.(x4−2)(x+1)
Zbiorem rozwiązań nierówności x(x+6)<0 jest A.(−6,0) B.(0,6) C.(−∞,−6)∪(0,+∞) D.(−∞,0)∪(6,+∞)
Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest ⟨−2,+∞).
Dana jest parabola o równaniu y=x2+8x−14. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x+4|≤7.
Liczba (−2) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=mx+2. Wtedy A.m=3 B.m=1 C.m=−2 D.m=−4
Liczba (2−32–√)2 jest równa A.−14 B.22 C.−14−122–√ D.22−122–√
Liczba log327−log31 jest równa A.0 B.1 C.2 D.3
Iloczyn 9−5⋅38 jest równy A.3−4 B.3−9 C.9−1 D.9−9
Długość boku kwadratu k2 jest o 10% większa od długości boku kwadratu k1. Wówczas pole kwadratu k2 jest większe od pola kwadratu k1 A.o 10% B.o 110% C.o 21% D.o 121%
Słoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki? A.106 B.107 C.10 D.108
Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów α i β są odpowiednio równe A.α=36∘, β=72∘ B.α=54∘, β=72∘ C.α=36∘, β=108∘ D.α=72∘, β=72∘
Dany jest trapez ABCD, w którym przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC, |AD|=|DC| oraz |∢ABC|=50∘ (zobacz rysunek).Stąd wynika, że A.β=100∘ B.β=120∘ C.β=110∘ D.β=130∘
Dany jest ciąg geometryczny (an), w którym a1=72 i a4=9. Iloraz q tego ciągu jest równy A.q=12 B.q=16 C.q=14 D.q=18
Ciąg (an) jest określony wzorem an=6(n−16) dla n≥1. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A.−54 B.−126 C.−630 D.−270
Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=−2(x+5)(x−11). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca. A.(−∞,3⟩ B.(−∞,5⟩ C.(−∞,11⟩ D.⟨6,+∞)
Funkcja f określona jest wzorem f(x)=2×3/x4+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy liczba f(−2–√) jest równa A.−85 B.−42–√3 C.−42–√5 D.−43
Rozwiązaniem równania x−7/x=5, gdzie x≠0 jest liczba należąca do przedziału A.(−∞,−2) B.⟨−2,−1) C.⟨−1,0) D.(0,+∞)
Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania (x−8)(x2−4)(x2+16)=0 wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa A.12 B.10 C.6 D.4
Wartość wyrażenia log33/2+log32/9 jest równa A.−1 B.−2 C.log3511 D.log33118
Najmniejsza wartość wyrażenia (x−y)(x+y) dla x,y∈{2,3,4} jest równa A.2 B.−24 C.0 D.−12
Różnica 500012−499992 jest równa A.2 000 000 B.200 000 C.20 000 D.4
Liczba 33–√−−−−√3 jest równa A.3–√6 B.3–√4 C.3–√3 D.3–
Cenę pewnego towaru podwyższono o 20%, a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o 30%. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką A.o 50% B.o 56% C.o 60% D.o 66%
Liczba 76⋅67/426 jest równa A.4236 B.427 C.6 D.1
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 72, a promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.
Punkty A=(−1,−5),B=(3,−1) i C=(2,4) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.
Dane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą 6000 m2. Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10 m i 15 m oraz powierzchnię większą o 2250 m2. Oblicz wymiary pierwszej działki.
Długość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.
Uzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i a+1a=3, to a2+1a2=7
W tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru. Ocena 1 2 3 4 5 6 Liczba ocen 0 4 9 13 x 1 Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,6. Oblicz liczbę x ocen bardzo dobrych (5) z matematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.
Kąt α jest ostry i tgα=2. Oblicz sinα−cosαsinα+cosα.
Rozwiąż równanie x3−6×2−12x+72=0.
Rozwiąż nierówność 3x−x2≥0.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y=f(x).Największa wartość funkcji f w przedziale [−1,1] jest równa
Kąt α jest ostry i sinα=3–√3. Wtedy wartość wyrażenia 2cos2α−1 jest równa A.0 B.13 C.59 D.1
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe A.16 B.112 C.118 D.136
Ciąg (an) jest określony wzorem an=n2−n, dla n≥1. Który wyraz tego ciągu jest równy 6? A.drugi B.trzeci C.szósty D.trzydziesty
Liczby 7,a,49 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy a jest równe A.14 B.21 C.28 D.42
Objętość walca o wysokości 8 jest równa 72π. Promień podstawy tego walca jest równy A.9 B.8 C.6 D.3
Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 24. Wtedy liczba wszystkich jego wierzchołków jest równa A.6 B.8 C.12 D.16
Pole równoległoboku o bokach długości 4 i 12 oraz kącie ostrym 30∘ jest równe A.24 B.123–√ C.12 D.63–√
Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość 8. Wówczas pole koła opisanego na tym sześciokącie jest równe A.4π B.8π C.16π D.64π
Punkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt α ma miarę A.40∘ B.50∘ C.60∘ D.80∘
Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5? A.90 B.100 C.180 D.200
Punkt S=(4,1) jest środkiem odcinka AB, gdzie A=(a,0) i B=(a+3, 2). Zatem A.a=0 B.a=12 C.a=2 D.a=52
Liczby 3x−4, 8, 2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy A.x=−6 B.x=0 C.x=6 D.x=12
Z prostokąta ABCD o obwodzie 30 wycięto trójkąt równoboczny AOD o obwodzie 15 (tak jak na rysunku). Obwód zacieniowanej figury jest równy A.25 B.30 C.35 D.40
Wielomian W(x)=(3×2−2)2 jest równy wielomianowi A.9×4−12×2+4 B.9×4+12×2+4 C.9×4−4 D.9×4+4
Liczba log2100−log250 jest równa A.log250 B.1 C.2 D.log25000
Wierzchołek paraboli o równaniu y=(x+1)2+2c leży na prostej o równaniu y=6. Wtedy A.c=−6 B.c=−3 C.c=3 D.c=6
Dla każdych liczb rzeczywistych a,b wyrażenie a−b+ab−1 jest równe A.(a+1)(b−1) B.(1−b)(1+a) C.(a−1)(b+1) D.(a+b)(1+a)
Prostą równoległą do prostej o równaniu y=23x−43 jest prosta opisana równaniem A.y=−23x+43 B.y=23x+43 C.y=32x−43 D.y=−32x−43
Liczby rzeczywiste a,b,c spełniają warunki: a+b=3,b+c=4 i c+a=5. Wtedy suma a+b+c jest równa A.20 B.6 C.4 D.1
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=2xx−1 dla x≠1. Wartość funkcji f dla argumentu x=2 jest równa A.2 B.−4 C.4 D.−2
Rozwiązaniem układu równań {3x−5y=02x−y=14 jest para liczb (x,y) takich, że A.x<0iy<0 B.x<0iy>0 C.x>0iy<0 D.x>0iy>0
Liczba 53⋅255–√ jest równa A.555–√ B.545–√ C.535–√ D.565–√
Gdy od 17% liczby 21 odejmiemy 21% liczby 17, to otrzymamy A.0 B.4100 C.3,57 D.4
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3−x)>x.
W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m2 oraz jest o 5 m dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek).Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że AD=12, BC=6, BD=CD=13.
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.
Wykaż, że jeśli a>0, to a2+1/a+1≥a+1/2.
Kąt α jest ostry i tgα=5/12. Oblicz cosα.
Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD=BE.
Rozwiąż równanie x3−7×2−4x+28=0.
Rozwiąż nierówność x2−x−2≤0.
Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb x,3,1,4,1,5,1,4,1,5 jest równa 3. Wtedy A.x=2 B.x=3 C.x=4 D.x=5
Ostrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa A.11 B.18 C.27 D.34
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5×3×4 jest równe A.94 B.60 C.47 D.20
Punkty A=(−5,2) i B=(3,−2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy A.30 B.45–√ C.125–√ D.36
Wskaż równanie okręgu o promieniu 6. A.x2+y2=3 B.x2+y2=6 C.x2+y2=12 D.x2+y2=36
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y=−3x+5 jest równy A.−1/3 B.−3 C.1/3 D.3
Latawiec ma wymiary podane na rysunku.Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa A.3200 cm2 B.6400 cm2 C.1600 cm2 D.800 cm2
Punkty A,B,C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego.Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa A.120∘ B.90∘ C.60∘ D.30∘
Odcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD,DE i AB są odpowiednio równe 1, 3 i 9. Długość odcinka AD jest równa A.2 B.3 C.5 D.6
Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość A.3 B.4 C.34−−√ D.61−−√
Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa A.42–√ B.22–√ C.8 D.4
Kąt α jest ostry i sinα=3/4. Wartość wyrażenia 2−cos2α jest równa A.2516 B.32 C.1716 D.3116
Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa A.7 B.14 C.21 D.28
W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1=3 i a4=24. Iloraz tego ciągu jest równy A.8 B.2 C.1/8 D.−1/2
W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a3=13 i a5=39. Wtedy wyraz a1 jest równy A.13 B.0 C.−13 D.−26
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y=f(x).Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania? A.f(x)=0 B.f(x)=1 C.f(x)=2 D.f(x)=3
Prosta o równaniu y=−2x+(3m+3) przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie (0,2). Wtedy A.m=−2/3 B.m=−1/3 C.m=1/3 D.m=5/3
Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=−3×2+3 jest parabola o wierzchołku w punkcie A.(3,0) B.(0,3) C.(−3,0) D.(0,−3)
Do zbioru rozwiązań nierówności (x−2)(x+3)<0 należy liczba A.9 B.7 C.4 D.1
Rozwiązaniem równania 3x−1/7x+1=2/5 jest A.1 B.7/3 C.4/7 D.7
Dane są wielomiany W(x)=−2×3+5×2−3 oraz P(x)=2×3+12x. Wielomian W(x)+P(x) jest równy A.5×2+12x−3 B.4×3+5×2+12x−3 C.4×6+5×2+12x−3 D.4×3+12×2−3
Liczba log48+log42 jest równa A.1 B.2 C.log46 D.log410
Liczba (2−2⋅3−12−1⋅3−2)0 jest równa A.1 B.4 C.9 D.36
Spodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką? A.163,80 zł B.180 zł C.294 zł D.420 zł
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x+7|>5.
Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.
Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
Okrąg o środku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x−3. Oblicz współrzędne punktu styczności.
Ze zbioru liczb {1,2,3,…,7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.
Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB∥CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC|=|CD| i |EB|=|BA|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.
Kąt α jest ostry i sinα/cosα+cosα/sinα=2. Oblicz wartość wyrażenia cosα⋅sinα.
Liczby x,y,19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x+y=8. Oblicz x i y.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.Odczytaj z wykresu i zapisz: zbiór wartości funkcji f, przedział maksymalnej długości, w którym f jest malejąca.
Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a2+b2=7, to a4+b4=31.
Rozwiąż nierówność 3×2−10x+3≤0.
Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?” Wyniki przedstawiono w tabeli: Liczba osób w rodzinie Liczba uczniów 3 6 4 12 x 2 Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa A.3 B.4 C.5 D.7
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi A.1/6 B.1/9 C.1/12 D.1/18
Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa A.124π B.96π C.64π D.32π
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A.6–√ B.3 C.9 D.33–√
Styczną do okręgu (x−1)2+y2−4=0 jest prosta równaniu A.x=1 B.x=3 C.y=0 D.y=4
Prosta k ma równanie y=2x−3. Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (−2,1). A.y=−2x+3 B.y=2x+1 C.y=2x+5 D.y=−x+1
Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60∘ jest równa A.33–√ B.3 C.63–√ D.6
Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany α ma miarę A.80∘ B.100∘ C.110∘ D.120∘
W prostopadłościanie ABCDEFGH mamy: |AB|=5,|AD|=4,|AE|=3. Który z odcinków AB,BG,GE,EB jest najdłuższy? A.AB B.BG C.GE D.EB
Wartość wyrażenia sin238∘+cos238∘−1/sin252∘+cos252∘+1 jest równa A.1/2 B.0 C.−1/2 D.1
Kąt α jest ostry i cosα=5/13. Wtedy A.sinα=1213 oraz tgα=125 B.sinα=1213 oraz tgα=512 C.sinα=125 oraz tgα=1213 D.sinα=512 oraz tgα=1213
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an) o wyrazach dodatnich. Wtedy A.a4+a7=a10 B.a4+a6=a3+a8 C.a2+a9=a3+a8 D.a5+a7=2a8
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym a3=1 i a4=2/3. Wtedy A.a1=2/3 B.a1=4/9 C.a1=3/2 D.a1=9/4
Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x)=−√2x+4. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba A.−2√2 B.√2/2 C.−√2/2 D.2√2
Dane są funkcje liniowe f(x)=x−2 oraz g(x)=x+4 określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji h(x)=f(x)⋅g(x)
Wyrażenie log4(2x−1) jest określone dla wszystkich liczb x spełniających warunek A.x≤1/2 B.x>1/2 C.x≤0 D.x>0
Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: 3(x−1)(x−5)≤0 i x>1.
Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności 3/8+x/6<5x/12 jest A.1 B.2 C.−1 D.−2
Rozwiązanie równania x(x+3)−49=x(x−4) należy do przedziału A.(−∞,3) B.(10,+∞) C.(−5,−1) D.(2,+∞)
Układ równań {4x+2y=106x+ay=15 ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli A.a=−1 B.a=0 C.a=2 D.a=3
Wyrażenie 5a2−10ab+15a jest równe iloczynowi A.5a2(1−10b+3) B.5a(a−2b+3) C.5a(a−10b+15) D.5(a−2b+3)
Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189 zł. Rower kosztuje A.1701 zł B.2100 zł C.1890 zł D.2091 zł
Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A.|x+1|>5 B.|x−1|<2 C.∣∣∣x+23∣∣∣≤4 D.∣∣∣x−13∣∣∣≥3
Zbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: 1,2,3,4,5. Ze zbioru M losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 20, w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa 22, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy 46–√5. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Miasta A i B są oddalone o 450 km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o 75 minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o 18 km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości: prędkości, z jaką pani Danuta jechała z A do B prędkości, z jaką pani Lidia jechała z A do B
Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony dla n≥1, w którym a5=22 oraz a10=47. Oblicz pierwszy wyraz a1 i różnicę r tego ciągu.
Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC|>|BC|. Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i E, że zachodzi równość |CD|=|CE| . Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |∢BAC|=|∢ABC|−2⋅|∢AFD|.
Kąt α jest ostry oraz 4sin2α+4cos2α=25. Oblicz wartość wyrażenia sinα⋅cosα.
Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24.
Rozwiąż równanie x3−6×2−11x+66=0.
Rozwiąż nierówność −x2−5x+14<0.
Średnia arytmetyczna liczb: x,13,7,5,5,3,2,11 jest równa 7. Mediana tego zestawu liczb jest równa A.6 B.7 C.10 D.5
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe A.78 B.12 C.14 D.18
Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa 813–√. Objętość graniastosłupa jest równa A.27 B.273–√ C.243 D.2433–√
Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości 4, jest równe A.256π B.128π C.48π D.24π
Punkty A=(13,−12) i C=(15,8) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie A.S=(2,−20) B.S=(14,10) C.S=(14,−2) D.S=(28,−4)
Punkt P=(−1,0) leży na okręgu o promieniu 3. Równanie tego okręgu może mieć postać A.(x+1)2+y2=9 B.x2+(y−2–√)2=3 C.(x+1)2+(y+3)2=9 D.(x+1)2+y2=3
Dane są równania czterech prostych:Prostopadłe są proste:
Odcinki BC i DE są równoległe i |AE|=4, |DE|=3 (zobacz rysunek). Punkt D jest środkiem odcinka AB. Długość odcinka BC jest równa
Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy AOB ma miarę A.60∘ B.100∘ C.120∘ D.140∘
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 8. Wysokość tego trójkąta jest równa A.43–√ B.83–√ C.12 D.6
Kąt α jest ostry i spełniona jest równość 3tgα=2. Wtedy wartość wyrażenia sinα+cosα jest równa A.1 B.513−−√26 C.513−−√13 D.5–√
Ciąg geometryczny (an) określony jest wzorem an=−3n4 dla n≥1. Iloraz tego ciągu jest równy A.−3 B.−34 C.34 D.3
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest równa 35. Pierwszy wyraz a1 tego ciągu jest równy 3. Wtedy A.a10=72 B.a10=4 C.a10=325 D.a10=32
Funkcja liniowa f(x)=ax+b jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że A.a>0 i b>0 B.a<0 i b<0 C.a<0 i b>0 D.a>0 i b<0
Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział (−∞,−3⟩ , może być określona wzorem A.y=(x+2)2−3 B.y=−(x+3)2 C.y=−(x−2)2−3 D.y=−x2+3
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem f(x)=(x−2)(x+4) .
Dziedziną funkcji f jest przedział Największą wartością funkcji f jest
Jeśli a=bc−b, to A.b=a+1a⋅c B.b=a⋅ca+1 C.b=a⋅ca−1 D.b=a−1a⋅c