Kategoria: A Matematyka 1 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

8.48. Zbadaj, czy istnieje kąt ostry a, dla którego spełnione są następujące warunki: 3 a) sina i cos a=- 4 2 b) sina=- i cos a= 5 c) tga=√2-1i ctg = √2+1 8 d) cosa i 17 13 8 Trygonometria kąta ostrego 231

8.47. Dana jest jedna funkcja trygonometryczna kąta ostrego a. Zbuduj trójkąt pro stokątny, którego jeden z kątów ma miarę a. Następnie, korzystając z własności tego trójkąta, oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne kąta a. a) tga 1- 2 b) cos a= 2 3 c) sin a=0,4 d) ctg a=2,4

8.46. Dana jest jedna funkcja trygonometryczna kąta ostrego a. Zbuduj trójkąt pro- stokątny, którego jeden z kątów ma miarę a. Następnie, korzystając z własności tego trójkąta, oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne kąta a. a) sina= 3 4 b) cosa= 1 1 c) tga=- 3 d) ctgα=7

8.45. Oblicz pozostale wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego a, wie- dząc, że: a) tga 1- b) tga=- 12 c) ctg a=12 d) ctg a=2. 7 8 3

8.44. Oblicz wartość wyrażenia: a) 4 sina-5cos a cos a +3sina jeśli tg a=5 b) 8sina-cos a 7 sina +6cosa” jeśli ctg a=3 c) cos a +2sin a jeśli tg a = 4 sina cosa d) 2 sin’ a-cos’ a 2cosa + sin² a jeśli ctg a = 2.

8.43. Cotangens kąta ostrego a jest równy Bez wyznaczania wartości sinusa i cosinusa kąta a, oblicz: sina-cos a a) sin a b) 2-2sin’ sin’a

8.42. Tangens kąta ostrego a jest równy trówny 2. Bez wyznaczania sinusa i co- wartości sin sinusa kąta a, oblicz: a) sin’a 1-sin’a b) sina-cos a cos a

8.41. Cosinus kąta ostrego z jest równy. Bez wyznaczania wartości sinusa kąta a, 5 oblicz: a) sin a-1 b) cos’a – sinta. 230 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 1 Zakres rozszerzony

8.40. Sinus kąta ostrego a jest równy. Bez wyznaczania wartości cosinusa kąta α, oblicz a) sin’a-cos’a b) sin’a + cos’a sina.

8.39. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego a, wie dząc, że: 3 a) sina == 5 b) sina = 3 √10 24 c) cosα== 25 5 d) cosα==

8.38. W trójkącie prostokątnym ABC, kąt przy wierzchołku A jest prosty, zaś

8.37. Ustal, do jakiego przedziału należy: a) sina, jeśli are (30°, 45°) b) sina, jeśli a < (60°, 90°) c) cosa, jeśli a € (0°, 30°) e) tga, jeśli a € (45°, 60°) g) ctg a, jeśli aze (0°, 45°) d) cosa, jeśli a € (30°, 45°) f) tga, jeśli a € (30°, 90°) g) ctg u, jeśli a (30°, 60°)

8.36. W trójkącie dwa boki mają długość ai b, a kąt ostry między nimi jest równy y. Oblicz pole tego trójkąta, a) a=8 cm, b=7 cm, y=60° b) a 6 cm, b=2 cm, y=45°

8.35. Kąty a iẞ w trójkącie na rysunku poniżej są ostre. Wyznacz ich miary, korzy stając z odpowiednich funkcji trygonometrycznych kątów ostrych. b) 百 2√3 √2 Trygonometria kąta ostrego 229 ΤΣ d) √27

8.34. W trójkącie ABC kąty a iẞ są ostre. Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeśli a) sina: i ctgẞ=1 √2 √3 c) cosa i ctgß: 2 3 b) sina = 2 d) tga 1 i sinẞ= √2 a)

8.33. Wyznacza, a € (0°, 90°), wiedząc, że: a) tga 1 b) cos a=- 2 c) sina=- d) ctga-√3.

8.32. Oblicz obwód czworokąta ABCD, korzystając z odpowiednich funkcji trygono- metrycznych kątów ostrych. a) ABCD-równoleglobok. 120 4 cin b) 30 ABCD-trapez, CDEF – kwadrat. 1355 120 3 cm c) 30 105

8.31. Oblicz obwód trójkąta ABC, korzystając z odpowiednich funkcji trygonome trycznych kątów ostrych. a) 5 cm b) c) 3 cm 6 cm 60 228 Matematyka. Zbiór zadah. Klasa 1 Zakres rozszerzony

8.30. Oblicz: a) (cos 45°-cos 30°) (cos 45+ cos 30°) b) (3sin 45° + tg 60°) (3sin 45°-tg 60°) c) (sin 60+ cos 30°)2- (sin 30+ cos 60°) d) (tg 60°-sin 30°) (cos 60°- ctg 30º) e) 4(ctg 45° + sin 60°) (cos 30+ tg 45°) f) 2(tg 30-sin 45°) (cos 45°-ctg 60°)

8.29. Oblicz: a) 4-cos 60° sin 30°-cos 30° sin 60° b) ctg 30º ctg 45°: (ctg 60° tg 45°) c) 18 sin 30° tg 30°: (cos 30°-tg 60°) d) 6 (sin 30 cos 45 ctg 60°). (ctg 30º-sin 45°) e) 12 (tg 60°-cos 60°) (tg 30+ cos 30°) f) (sin 45+ ctg 45°) (6 sin 60°- ctg 30º).

8.28. Balon wznosi się pionowo. W chwili, gdy znajduje się on na wysokości h me- trów nad ziemią, osoba lecąca balonem mierzy kąt depresji a przedmiotu znajdu jącego się na ziemi. Po upływie t sekund powtarza pomiar i otrzymuje kąt B. Z jaką średnią prędkością v wznosi się balon? Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kątów 30°, 45° i 60°

8.27. Kuter płynie z prędkością 8 węzłów w kierunku, który odchyla się od kierunku zachodniego o 33°45′ na południe. O godzinie 93 zauważono tankowiec, mil na zachód od kutra. Tankowiec płynie na zachód z prędkością 5 węzłów. O której godzi nie tankowiec będzie znajdował się na północ od kutra? Uwaga: 1 węzeł = 1 mila morska na godzinę.

8.26. Sieradz leży na 51°35′ szerokości geograficznej północnej. Załóżmy, że Ziemia jest kulą o promieniu długości 6370 km. Oblicz: a) długość promienia równoleżnika, na którym leży Sieradz b) drogę, jaką przebywa Sieradz, na skutek ruchu wirowego Ziemi, w ciągu 45 minut. Wyniki podaj z dokładnością do 1 km. Trygonometria kąta ostrego 227

8.25. Kasia siedzi na sankach, które ciągnie jej kolega Jacek, działając siłą o war- tości F= 105 N. Sanki przylegają do podłoża. Miara kąta a między kierunkiem siły a drogą wynosi 25°. Jaką pracę W wykona Jacek, jeśli będzie ciągnął sanki na drodze s=250 m? Wynik podaj z dokładnością do 1 J.

8.24. Dwie prostopadle do siebie siły F1 F2, zaczepione w tym samym punkcie, mają odpowiednio wartości 20 N i 48 N. Znajdź wartość siły wypadkowej oraz miary kątów, jakie sila F tworzy ze składowymi F1 i F2.

8.23. Dane są długości boków a ib trójkąta ostrokątnego oraz jego pole P. Wyznacz miarę kąta leżącego między danymi bokami. a) a=10, b=8, P=30,2 b) a=8, b=7, P=9,6

8.22. Dane są długości ai b dwóch boków trójkąta oraz miara kąta y między nimi. Oblicz pole tego trójkąta. a) a = 10 cm, b=5 cm, y = 70° b) a = 16 cm, b = 15 cm, y = 32°

8.21. Dany jest trójkąt prostokątny ABC. 4C)=90°. W tym poprowadzo no wysokość CD. Wykażemy, że AC-AB)-\AD| D 226 Matematyka Zbiór zadań Klasa 1 Zakres rozszerzony Oznaczmy |

8.20. Porównaj liczby. a) sin 20° i sin 51° c) ctg 75° i ctg 27° e) tg 18 i sin 18° b) cos 15° i cos 62° d) tg 26 i tg 29° f) cos 80° i ctg 80°

8.19. Z okna znajdującego się na wysokości h zmierzono dwa kąty a iẞ (patrz ry- sunek poniżej).

8.18. Janek stoi na stromym brzegu jeziora, 16 m nad jego poziomem. Zauważył, je po jeziorze płynie łódź, której kąt depresji ma miarę 21°. W jakiej odległości od brzegu znajduje się łódź?

8.17. Kąt wzniesienia baszty, zmierzony w odległości 80 m od jej podstawy, ma miarę 48°. Jaką wysokość ma baszta?

8.16. Drzewo mające 14 m wysokości, rosnące na równinie, rzuca cień długości 23 m. Pod jakim kątem padają promienie słoneczne?

8.15. Promienie słoneczne padają pod kątem 16°. Oblicz długość cienia, który n ca maszt mający 12,5 m wysokości.

8.14. W równolegloboku ABCD wysokości mają długość 4 cm i 5 cm, a kąt rozwarty ma 115°. Oblicz obwód tego równolegloboku z dokładnością do 0,1 cm.

8.13. W pewnym prostokącie przekątna ma długość di tworzy z jednym z boków kąt a. Oblicz obwód tego prostokąta. a) d=9 cm, cosa = 0,6 b) d=2 1 cm, sin α=- 7 d) d=4√5 cm, ctg α=3 cd=2√17 cm, tga=0,25

8.12. W trójkącie prostokątnym naprzeciw kąta ostrego a leży przyprostokątna długości a. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta. a) a=40 cm, sin a=0,8 √3 b) a-5 cm, sina =- 2 c) a=3 cm, cosα=- 8 17 d) a = √6 cm, cos a = 0,5

8.11. W trójkącie prostokątnym naprzeciw kąta ostrego a lezy przyprostokątna długości a. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta a) o=4 cm, tga 8 15 b) a 10 cm, ctg a = 2,4 c) a = 7 cm, tga=1 d) a = 6 cm, ctg a = √3

8.10. Zbuduj taki kąta, a € (0°, 90°), dla którego: 2 a) sing= b) cosa = 2√2 c) iga = √7 d) ctg a=.

8.9. Zbuduj taki kąta, ue (0°, 90°), dla którego: a) sina= 3 5 b) cos a= 6 c) tg a d) ctg a = 4.

8.8. W trójkącie prostokątnym przyprostokątna przeciwległa kątowi a ma d gość a, druga przyprostokątna ma długość b, a przeciwprostokątna c. Wiadomo, sina = Oblicz wartość wyrażenia 3. bac

8.7. Oblicz wartość wyrażenia, wykorzystując dane z rysunku obok a) cos α + sin α sina-cos a b) tga+2ctg a sina cosa 224 Matematyka Zbiór zadań Klasa 1 Zakres rozszerzony

8.6. Oblicz wartość wyrażenia, wykorzystując dane z rysunku obok. a) 4 sin’a cos’a + tg’a-ctg’a b) (sin a+ tga)

8.5. Oblicz wartość podanego wyrażenia, wykorzystując dane z rysunku obok.. a) 1+2 sina cosa b) (tga cos a + ctg a sina)?

8.4. Oblicz wszystkie wysokości w trójkącie na rysunku poniżej z dokładnością do 0,1 cm: a) b) c) 10cm 110/10 am

8.3. Korzystając z danych w trójkącie na rysunku poniżej, oblicz wysokość h z do kładnością do 0,1 cm. 223 a) b) p c) Gem 20 cm

8.2. Oblicz długość boku x, zaznaczonego na rysunku poniżej, z dokładnością do 0,1 cm (patrz tabela wartości funkcji trygonometrycznych, str. 307). b) 15 cm 20 cm d) 12 cm 20 e) f) 63 7 cm/ 58 10 cm

8.1. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta a w trójkącie prostokątnym na rysunku poniżej:

46. Dany jest trapez ABCD, w którym AB || DC i |AB|> DC Korzystając z własności wektorów wykaż, że odcinek, którego końcami są środki przekątnych AC 1 BD, jest równoległy do podstaw trapezu, a jego długość jest równa AB-DC 2

45. Na ramionach kąta o wierzchołku A odkładamy dwa odcinki AB AC, gdzie JAB = AC dalej kolejne dwa odcinki BDI CE, gdzie |BD) = (CE). Odcinki BE i DC prze cinają się w punkcie O. Wykaż, że prosta AO zawiera dwusieczną kąta BAC.