Kategoria: A zbiór zadań z matematyki OE klasa 3 po gimnazjum Rozszerzenie

 6.265. Wśród walców wpisanych p pole powierzchni bocznej jest największe. Oblicz objętość tego walca. w kulę o promieniu 5 cm znajduje się taki, które

6.264. W kulę o promieniu 6 cm wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny o naj większej objętości. Wykaż, że ostrosłup ten jest czworościanem foremnym, którego krawędź ma długość 4 sqrt 6 cm .

6.263. Rozpatrujemy wszystkie otwarte pudelka (bez górnej podstawy) o podsta ve kwadratowej i objętości 0, 5 litra, Wyznacz wymiary tego pudelka, które ma naj mniejsze pole powierzchni całkowitej.

6.262. Trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej mającej długość 2sqrt(3) cm obraca cm obraca se dookoła jednej z przyprostokątnych. Jaką długość powinny mieć przyprostokąt. ne, aby objętość otrzymanej bryły była największa? 

6.261. Rozpatrujemy wszystkie stożki, których tworząca ma długość 6. Wyznacz jętość tego stożka, którego przekrój osiowy ma największe pole.

6.260. W kulę o promieniu R wpisano stožek, którego tworząca jest nachylona do P c plaszczyzny podstawy pod kątem a. Oblicz pole powierzchni całkowitej staila V.

6.259. Wykaż, że jeśli kat rozwarcia stożka ma 120 degrees , to pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe polu powierzchni bocznej walca o takiej samej podstawie i wysokości

 6.258. Przez środek wysokości stożka poprowadzono prostą równoległą do two rzącej stożka, która ma dlugość d. Wykaż, że długość odcinka będącego częścią wspólną tej prostej i stożka jest równa (3d)/4

 6.257. Kule o promieniu r przecięto plaszczyzną odlegla od środka kuli o r. Prze krój ma pole 27 pi cm^ 2 . Oblicz objętość i pole powierzchni kuli. 2

6.256. Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła, którego promień ma 12 cm, a kąt odpowiada kątowi środkowemu 270 degrees . Oblicz pole powierzchni calko witej tego stożka. 1

6.255. Równoleglobok o polu 30 cm ^ 2 ? ma boki dlugości 6 cm i 10 cm. Wyznacz objętość Vi pole powierzchni całkowitej P, bryły powstałej w wyniku obrotu tego równoległoboku wokół krótszego boku. Wyniki podaj w zaokrągleniu, z dokładno ścią odpowiednio do 0.1 cm ^ 3 do 0,1 cm^ 2

6.254. Pole powierzchni walca jest o 4 dm dluzszy od jego wysokości. Oblicz objętość tego walca. 

6.253. Oblicz promien podstawy walca, wiedząc, że objętość walca jest równa 5x d * m ^ 2 , a pole jego powierzchni całkowitej jest równe 13pi * d * m ?. bocznej walca jest równe 100 dm². Promień podstawy 

6.252. W ostroslupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jed. nakową długość, równą 20. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi wychodzących z jednego wierzcholka przy podstawie. Oblicz: a) pole otrzymanego przekroju b) odległość tej plaszczyzny od punktu wspólnego tych krawędzi. 

6.251. Krawędź sześcianu ma długość 20. Sześcian przecięto plaszczyzna przecho. dząca przez środki trzech różnych krawędzi wychodzących z tego samego wierz chołka. Oblicz: a) pole otrzymanego przekroju b) odległość płaszczyzny przekroju od wierzchołka wspólnego dla tych krawędzi.

6.250. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny. Wysokość ostrosłupa jest trzy razy dłuższa od przyprostokątnej trójkąta w podstawie, a spodek wysokości podstawie. Przekrój ostrostu pa płaszczyzną przechodzącą przez przeciwprostokątną podstawy i wysokość ostro Słupa jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem a takim, że tg alpha = sqrt(2) . jest wierzchołkiem kąta prostego trójkąta w Wiedząc, że pole tego przekroju jest równe 8sqrt(3) , oblicz objętość ostrostupa. oblicz długość

 6.249. W czworościanie foremnym poprowadzono przekrój płaszczyzną zawiera wysokość podstawy i przechodzącą przez środek krawędzi bocznej niemającej punktu wspólnego z tą wysokością podstawy a) Wyznacz cosinus najmniejszego kąta tego przekroju. b) Wiedząc dodatkowo, że pole tego przekroju jest równe krawędzi czworościanu. (9sqrt(11))/4

 6.248. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między krawędzią boczna i płaszczyzną podstawy jest równy a. Odleglość spodka wysokości ostroslupa od krawędzi bocznej wynosi d. Wykaż, że pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe (2d ^ 2 * sqrt(sin^2 a + 1))/(sin^2 alpha * cos alpha)

6.247. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym poprowadzono przekrój płasz czyzna zawierającą przekątną podstawy i prostopadla do jednej z krawędzi bocz nych. Wiedząc, że krawędzie podstawy i krawędzie boczne mają odpowiednio dłu- gość a i 2a, oblicz pole otrzymanego przekroju.

6.246. Wysokość ostrosłupa jest równa 16 cm, a pole podstawy wynosi 512 cm ^ 2 W jakiej odległości od podstawy znajduje się przekrój równoległy do plaszczyzny podstawy o polu równym 50 cm? 

 6.245. W ostrosłupie prostym o objętości V podstawa jest prostokąt, którego prze ator maja długość di przecinają się pod kątem a. Oblicz tangens kąta ß nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

 6.244. Podstawa ostrostupa jest trójkąt, którego boki mają długość 13 cm,14 cm, 15 cm. Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że wszystkie krawędzie boczne mają 21 1/8 taka sama długošć, równa cm.

6.243. W pewnym ostroslupie o objętości 2400 cm ^ 3 podstawa jest wielokątem, którego obwód jest równy 100 cm, a pole wynosi 600 cm ^ 2 Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem. Wyznacz miarę tego kąta. 3 cm i 7 cm,

6.242. Wyznacz wysokość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego, którego krawędz podstawy ma długość o, zaś pole powierzchni bocznej jest dwukrotnie większe od pola podstawy 

6.241. Podstawą ostrosłupa jest romb, którego bok ma długość 15 cm. Każda ścia. na boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 degrees Wiedząc, że pole powierzchni bocznej ostroslupa jest równe 360 cm ^ 2 , oblicz objętość tego ostroslupa 

6.240. Podstawą ostrosłupa jest równoległobok o bokach długości którego jedna z przekątnych ma długość 6 cm. Spodkiem wysokości ostroslupa jest punkt przecięcia przekątnych podstawy. Wiedząc, że wysokość ostroslupa jest rów na 4 cm, oblicz długość krawędzi bocznych

6.239. Podstawą ostroslupa jest trójkąt ABC, w którym AC = 13 cm , |BC| = 13 cm [AB] = 24 cm Wysokość ostroslupa CS jest równa 12 cm. Oblicz pole powierzchni i całkowitej tego ostroslupa

6.238. Oblicz siednie ściany czworościanu foremnego.

6.237. Podstawa graniastosłupa prostego ABCDA A 2 B,C,D , jest trapez prostokątny, którego długości podstaw wynoszą |AB| = 6 cm , |DC| = 3 cm , a wysokość trapezu |AD| = 4 cm Wiedząc, że wysokość tego graniastoslupa to 12 cm, oblicz: a) dlugości dwóch różnych przekątnych graniastosłupa b) cosinus kąta dwusciennego między płaszczyznami ABC 1 D 1 )i(ABCD) cosinus kąta ostrego dwuściennego wyznaczonego przez dwie sa

6.236. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 720 sqrt 3 cm^ 3 a wysokość ma długość 20 cm. Oblicz pole przekroju graniastosłupa plaszczyzna przechodzącą przez krawędź podstawy i przeciwlegla krawędź boczną, jeśli ta plasz czyzna tworzy z płaszczyzna podstawy kąt 60

6.235. W graniastoslupie prawidłowym trójkątnym sinus kąta nachylenia przekąt nej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej jest równy (2sqrt(3))/5 wysokości graniastosłupa do dlugości krawędzi podstawy. Oblicz stosunek 

6.234. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Wyznacz: a) cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do ściany bocznej b) sinus kąta między przekątną graniastosłupa i krawędzią boczną wychodzącymi i z tego samego wierzchołka.

 6.233. Objętość prostopadłościanu ABCDA, B, C, D , jest równa 144 cm, pole 144 cm ^ 3 podstawy ABCD jest równe 12 cm ^ 2 , a pole przekroju płaszczyzną ABC 1 D 1 wynosi 12 sqrt 10 cm^ 2 ?. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu. 

6.232. Jeżeli każdą krawędź sześcianu przedłużymy o 1 dm, to jego objętość zwięk ay się 125 razy. Oblicz długość krawędzi tego sześcianu.

6.231. W kule o promieniu 3 wpisujemy ostrosłupy prawidłowe czworokątne w ten sposób, że wierzchołek ostrosłupa jest środkiem kuli, zaś wierzchołki podstawy na lezą do powierzchni kuli. Napisz wzór funkcji opisującej objętość V(x) ostrosłupa w zależności od długości krawędzi x jego podstawy. Wyznacz maksymalną objętość ostrosłupa. podstawy 6 cm i wysokości 8 cm. W stożek

 6.230. W kulę o promieniu r wpisujemy ostrosłupy prawidłowe trójkątne w ten sposób, że wierzchołek ostrosłupa jest środkiem kuli, zaś wierzchołki podstawy na leżą do powierzchni kuli. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa, któ rego objętość jest największa. 6

6.229. W kulę o promieniu (sqrt(10))/2 wpisujemy prostopadłościany o polu podstawy równym 4. Wyznacz wymiary prostopadłościanu o największej objętości.

6.228. Na kuli o promieniu 6 opisujemy stożki obrotowe. Wyznacz wysokość h i promień podstawy r stozka o najmniejszej objętości. Wykaż, że objętość tego stoż ka jest równa podwojonej objętości kuli.

6.227. W kulę o promieniu R wpisujemy stożki. Wyznaczymy promień r podstawy i wysokość h tego ze stożków, który ma największą objętość. w.oo

6.226. Dany jest stożek o promieniu ten wpisujemy prostopadłościany tak, że jedna podstawa zawiera się w podstawie stożka, a wierzchołki drugiej podstawy należą do powierzchni bocznej stożka. Wie dząc, że stosunek długości krawędzi podstawy jest równy 3, oblicz wymiary tego prostopadłościanu, którego objętość jest największa 

6.225. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu równym 9 sqrt 3 cm^ 2 , W ten stozek wpisujemy walce w taki sposób, że jedna podstawa walca jest zawarta w podstawie stożka, a okrag drugiej podstawy walca jest zawarty w po wierzchni bocznej stożka. Wyznaczymy objętość tego walca, który ma największą objętość. eida b w ym ste

6.224. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi bocznej mającej dlugość b, poprowadzono płaszczyznę zawierającą krawędź boczną i wysokość ostroslupa. Wiedząc, że otrzymany przekrój ma największe pole powierzchni, oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

6.223. Szynka konserwowa pakowana jest do puszek w kształcie walca o pojem ności 128 pi cm^ 3 . Oblicz, jakie wymiary powinna mieć ta puszka, aby na jej wyprodu kowanie zużyć jak najmniejszą ilość blachy.

 6.222. Rozważ stożki o tworzącej mającej długość p. a) Napisz wzór i zbadaj przebieg zmienności funkcji opisującej objętość stożka w zależności od jego wysokości. b) Wiedząc, że maksymalna objętość stożka jest równa 16 sqrt 3 pi cm^ 3 , oblicz długość tworzącej tego stożka.

6.221. Wśród stożków o tworzącej mającej długość 4 cm, znajduje się ten, którego objętość jest największa. Wyznacz promień r podstawy i wysokość h tego stożka. Podaj jego największą objętość V. 

6.220. Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 9 litrów, których jed na z krawędzi podstawy jest dwa razy dłuższa od drugiej. a) Napisz wzór funkcji opisującej pole powierzchni całkowitej P takiego prostopa dłościanu w zależności od długości x krótszej krawędzi podstawy. b) Wyznacz wymiary tego prostopadłościanu, który ma najmniejsze pole po wierzchni całkowitej.

6.219. Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 48 cm Wyznacz wymiary tego gra niastosłupa, który ma największą objętość. Oblicz objętość tego graniastoslupa

6.218 . Stożek o wysokości H wpisano w kulę. Oblicz objętość kuli, wiedząc, że jest ona cztery razy większa od objętości stożka. Zastosowanie analizy matematycznej w rozwią zywaniu zadań z geometrii przestrzennej 

6.217. Długość tworzącej stożka wynosi d, a promień podstawy jest równy R. Oblicz objętość kuli opisanej na tym stożku. 

6.216. Na kuli opisano stożek, którego wysokość jest dwa razy dłuższa od średnicy kuli. Udowodnij, że pole powierzchni całkowitej stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli oraz że objętość stożka jest dwa razy większa od objętości kuli.