Kategoria: Arkusz maturalny maj 2019

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.

Dany jest punkt A=(−18,10). Prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.

Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Różnicą tego ciągu jest liczba r=−4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1, a2, a3, a4, a5, a6, jest równa 16. a)Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b)Oblicz liczbę k, dla której ak=−78.

W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30∘ (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.

Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a2−2ab+3b2≥0.

Rozwiąż nierówność 3×2−16x+16>0.

Rozwiąż równanie (x3−8)(x2−4x−5)=0.

W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe A.18 B.15 C.140 D.135

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest A.12 B.36 C.162 D.243

Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem A.a=7 B.a=12 C.a=14 D.a=20

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa A.8 B.4 C.16 D.12

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm x 3 dm x 2 dm (zobacz rysunek).Przekątna KL tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do 0,01 dm – równa A.5,83 dm B.6,16 dm C.3,61 dm D.5,39 dm

Dane są punkty o współrzędnych A=(−2,5) oraz B=(4,−1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa A.12 B.6 C.62–√ D.26–√

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A=(0,4) i B=(2,2).Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem A.g(x)=x+4 B.g(x)=x−4 C.g(x)=−x−4 D.g(x)=−x+4

Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=−4x+1 i przechodzi przez punkt P=(12,0), gdy A.a=−4 i b=−2 B.a=14 i b=−18 C.a=−4 i b=2 D.a=14 i b=12

Proste o równaniach y=(2m+2)x−2019 oraz y=(3m−3)x+2019 są równoległe, gdy A.m=−1 B.m=0 C.m=1 D.m=5

Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150∘. Pole tego rombu jest równe A.8 B.12 C.83–√ D.16

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).Wtedy A.|OK|=6 B.|OK|=8 C.|OK|=10 D.|OK|=12

Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α.Zatem A.α=30∘ B.α<30∘ C.α>45∘ D.α=45∘

Sinus kąta ostrego α jest równy 45. Wtedy A.cosα=54 B.cosα=15 C.cosα=925 D.cosα=35

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek a5a3=19. Iloraz tego ciągu jest równy A.13 B.13–√ C.3 D.3–√

W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a1=7 i a8=−49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A.−168 B.−189 C.−21 D.−42

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,−4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.Zbiorem wartości funkcji f jest przedział A.(−∞,0⟩ B.⟨0,4⟩ C.⟨−4,+∞) D.⟨4,+∞)

Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x)=3(x+1)−63–√ jest liczba A.3−63–√ B.1−63–√ C.23–√−1 D.23–√−13

Równanie (x−1)(x+2)x−3=0 A.ma trzy różne rozwiązania: x=1,x=3,x=−2. B.ma trzy różne rozwiązania: x=−1,x=−3,x=2. C.ma dwa różne rozwiązania: x=1,x=−2. D.ma dwa różne rozwiązania: x=−1,x=2.

Para liczb x=2 i y=2 jest rozwiązaniem układu równań {ax+y=4−2x+3y=2a dla A.a=−1 B.a=1 C.a=−2 D.a=2

Równość 14+15+1a=1 jest prawdziwa dla A.a=1120 B.a=89 C.a=98 D.a=2011

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o A.1% B.25% C.33% D.75%

Liczba naturalna n=214⋅515 w zapisie dziesiętnym ma A.14 cyfr B.15 cyfr C.16 cyfr D.30 cyfr

Liczba log2√2 jest równa A.2 B.4 C.2–√ D.12