Kategoria: Matematyka 3 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

8.180. Oblicz pole trójkąta ograniczonego ujemnymi półosiami układu współrzęd nych tą styczną do wykresu funkcji f(x)- o równaniu 4x + y -11=0. 2-x x+2 która jest równolegla do prostej

8.179. Oblicz pole trójkąta ograniczonego dodatnimi półosiami układu współrzęd nych i tą styczną do wykresu funkcji f(x) = o równaniu 2x y 3=0. X-1 x-3 która jest prostopadła do prostej

8.178. Wykaż, że styczna do hiperboli o równaniu y wadzona w punkcie P o odciętej -2, ogranicza wraz z osiami ukladu współrzędnych 1 6 trójkąt o polu 20 , gdzie x-1, popro

8.177. Wykaż, że styczna do paraboli o równaniu y = na w punkcie P o odciętej 2, ogranicza wraz z osiami układu współrzędnych trójką o polu równym 8.

8.176. Wyznacz współrzędne takiego punktu A, ze styczna do wykresu funk w punkcie A jest prostopadla do prostej k, jeśli: 3-x 1-) ‚ k; 2x + y ~ 5 = 0 2x²+3x 4×12 ,k: 2x + 3y-3=0 a)/(x)=3x²+x 2,k:x-5y-10-0 b) f(x)= c)f(x)= k. x + 10y=0 3x-2, poprowadzo

8.175. Wyznacz współrzędne takiego punktu A, że styczna do wykresu funkcji f w punkcie A jest równoległa do prostej k, jeśli: x-1 a) f(x) = -2x² + x + 1, k: 5x-y-2=0 b) f(x) = ,k: x-5y+5=0 c) f(x)=-3, k: 12x – y ,k: 12x-y-8=0 x+4′ 3x² 2x-1 d) f(x)= ,k: 4x-3y-21-0 218

8.174. Wyznacz środek S i skalę k jednokładności J, która okrąg 01:x²+ y²+12x+2y+36=0 przekształca na okrąg o x²+ y²-16x-12y+96=0. Zastosowanie analizy matematycznej w rozwiązywaniu zadań z geometrii analitycznej

8.173. Wyznacz środek 5 i skalę k jednokładności J, która okrąg

0: x²+ y²+10x 10y+ 410 przekształca na okrąg o₂: x² + y² 4x-2y+4=0.

8.172. Sprawdź, czy odcinki AB i CD są jednokladne, jeśli a) A(2,-3), B(5, 6), C(0,-1), D(1, 2) b) A(-2,-1), B(4, 2), C(2, 1), D(10, 5) W przypadku odpowiedzi twierdzącej wyznacz środek S i skalę jednokładności, w której obrazem odcinka AB jest odcinek CD.

8.171. Dane są punkty A(3, 2) i A,(-3, 5) Wiadomo, że A, = J’ (A). Wyznacz współrzędne środka 5 tej jednokładności, jeśli skala k jest równa: a)-2 b 1 3 이름 d) 1 4

8.170. Odcinek A,B, jest obrazem odcinka AB w jednokładności J o środku w punkcie 5(-2,-1) i skali k. Wyznacz współrzędne końców odcinka A,B,, jeśli: a) A(10,-6), B(-1, 4), k = -5 c) A(-8, 4), B(0, 0), k = 0,5 b) A(0, 6), B(-4, 0), k = 3 d) A(3, 8), B(-5, 13), k=-0,3

8.169. Wyznacz współrzędne punktu 8,, który jest obrazem punktu B w jedno idadności J o środku w punkcie S(-4, 5) i skali k, jeśli: a) B(-10, -8), k = b) B(5,7), k=-2 c) B(1, 20), k = 6 d) B(-4, 9), k=-

8.168. Dana jest funkcja y f(x). Wykres funkcji g jest obrazem wykresu funk! w jednokładności o środku 0(0, 0) i skali k. Wyznacz wzór funkcji g, jeś 1 2 b) f(x) = x², k-3 Naszkicu) wykresy funkcji fig. d) f(x), k= x+1 8 Geometria analityczna 217

8.167. Dana jest prosta m o równaniu y = 2x – 3 oraz punkt 0(0, 0). Wyznacz równanie prostej, która jest obrazem prostej m w jednokładności, jeśli a) k-3 b) k-2 c) k= 1 3 d) k 2

8.166. Punkty AIA, są jednokładne, przy czym środkiem jednokładności jest punkt 0(0, 0). Oblicz skalę k tej jednokładności, jeśli: a) A(-3, 1), A,(6,-2) c) A(-2,0),A,(5,0) b) A(5, 5), A,(-1,-1) d) A(0, 3), A,(0,-3)

8.165. Odcinek A,B, jest obrazem odcinka AB w jednokładności o środku 0(0,0 i skali k. Wyznacz współrzędne środka E odcinka A,B,, jeśli: b) A(13,-1), 8(5, 7), k–2 c) A(-8,-27), B(-12-13), -0,1 d) A(27, 108), B(-2,-3), k = -0,2 a) A(-20, 6), B(10, 4), k = 3

8.164. Wyznacz współrzędne punktu A,, który jest obrazem punktu A w jed kładności / o środku w punkcie O(0, 0) i skali k, jeśli: a) A(-2, 4), k=0,5 b) A(-9, 12), k- 1 3 k=15 15 d) A(√2, 16√2), k 2

8.163. Zaznacz na płaszczyźnie dwa różne punkty A i B. Następnie wyznacz dek 5 jednokładności o skali k, w której punkt B jest obrazem punktu A, jele a) k-2 c) k= 1 2 d) k= 1 2

8.162. Zaznacz na płaszczyźnie dwa różne punkty 5 oraz A. Następnie wym obraz punktu A w jednokładności o środku w punkcie 5 i skali k, jeśl b) k=-3 d) k 2

8.161. Przekształcenie P punktów płaszczyzny (x, y) jest określone wzorem P((x,y))-(-2y.x+2), gdzie x < R, y < R. Da) Wykaż, że przekształcenie P nie jest izometria b) Wyznacz równanie prostej I, będącej obrazem prostej k: y = -x + 3 w tym przekształceniu. Matematyka Zbiór zadań Klasa 3 Zakres rozszerzony Jednokładność o środku w punkcie 5 i skalik, k zo

8.160. Przekształcenie P określone jest wzorem P((x, y))-(y+2,-x+1), gdzie X, Y ER. a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią. b) Wyznacz równanie obrazu okręgu o: x² + y²-4x+6y+12=0 w przekształ ceniu P.

8.159. Dane jest przekształcenie P płaszczyzny określone wzorem: P((x, y))-(-x, y + 1), gdzie x, y < R. a) Wykaz, że przekształcenie P jest izometria b) Wyznacz równanie obrazu okręgu o:xy-2y-4-0 w tym przekształ ceniu.

8.158. Przekształcenie P punktów płaszczyzny jest zdefiniowane dla do- wolnego punktu płaszczyzny o współrzędnych (x, y) w następujący sposób P((x, y))=(x-5,3y). a) Wyznacz współrzędne punktu A, będącego obrazem punktu A(4, -2) w przekształceniu P. Db) Wykaż, że przekształcenie P nie jest izometrią.

8.157. Przekształcenie P punktów płaszczyzny jest zdefiniowane dla do- wolnego punktu płaszczyzny o współrzędnych (x, y) w następujący sposób:

a) Wyznacz współrzędne punktu A, będącego obrazem punktu A(-1, 9) w prze kształceniu P. Db) Wykaż, że przekształcenie P jest izometria

8.156. Dany jest punkt C oraz prosta k. Wyznacz współrzędne punktu D wiedząc, że jest on obrazem punktu C w symetrii osiowej względem prostej k a) C(3,-2), k. x+4=0 b) C(4,2); k: x+y=0 c(1,-5), k: 2x+4y-6-0 d) c(-3,-7), k: 3x-y+2-0 Przekształcenia zdefiniowane za pomocą wzoru

8.155. Punkt B jest obrazem punktu A w symetri osiowej względem prostej k Wyznacz równanie ogólne prostej k, jeśli: a) A(-7,-4), B(1,-4) b) A(-1,3), B(4,-2) c) A(2,7), B(-8, 1)

8.154. Obraz punktu P w symetrii osiowej względem osi OX należy do prostej k, zaś obraz punktu P w symetrii osiowej względem osi OY należy do prostej 7. Wy znacz współrzędne punktu P, jeśli: a) kx + y -3=0, 1: y+4x=0 b) x:x + 3y+5=0, 1:x-5y +3=0.

8.153. Wyznacz równanie prostej 1, będącej obrazem prostej k z poprzedniego zadania w symetrii osiowej względem osi OY.

8.152. Wyznacz równanie prostej 1, będącej obrazem prostej k w symetrii osiowej względem osi OX, jeśli: a) k 2x + 3y = 0 b) k. x-y+8=0 c)k: 5x+4y-1-0

8.151. Wyznacz równanie okręgu, będącego obrazem okręgu o w symetrii wzglę dem osi OX, jeśli a) o (x+5)+ (y-7)2=1 b) o x²-4x + y²+ 10y-7=0

8.150. Punkt A, jest obrazem punktu A(a, 3) w symetrii osiowej względem osi Oy i należy do prostej k. 2x y +7=0. Oblicz a

8.149. Punkt B jest obrazem punktu A( 8, 6) w symetrii osiowej względem osi OX, punkt C jest obrazem punktu 8 w symetrii względem osi OY, punkt D jest obrazem punktu C w symetrii względem osi OX a) Wyznacz współrzędne punktów B, C, D. b) Oblicz długości przekątnych czworokąta ABCD

8.148. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, w ktorym A(-2, 4) oraz BAC 90° Punkt 0(0, 0) jest środkiem ciężkości tego trójkąta Trójkąt A,B,C, jest obrazem trójkąta ABC w symetrii środkowej względem punk tu 0. Oblicz współrzędne punktów A,, B, C Symetria osiowa

8.147. Wyznacz równanie okręgu, będącego obrazem okręgu o: (x+2)+(y-1)= 10 w symetrii środkowej względem punktu S, jeśli: a) $(0,0) b) 5(0.4) )s(2, 0)

8.146. Wyznacz równanie paraboli, będącej obrazem paraboli p: y = x² + 2x-4 w symetrii środkowej względem punktu O(0, 0). a) Oblicz współrzędne punktów przecięcia obu parabol. b) Naszkicuj te parabole w jednym układzie współrzędnych. Matematyka Zbiór zadań Klasa 3 Zakres rozszerzony 214

8.145. Obrazem prostej k w symetrii środkowej względem punktu O(0, 0) jest prosta /. Podaj równanie ogólne prostej / oraz oblicz odległość między prostymi kil, jeśli: a) k: x-4=0 b) k: x+y=0 d) k 3x 4y+5=0 e) k: x-y-2=0 f) k: 5x + 12y-26 = 0 c) k: y-3=0

8.144. Trójkąt A,B,C, jest obrazem trójkąta ABC w symetrii środkowej względem punktu 0(0, 0). Wiedząc, że A,(-2, 0), B,(3,-2), C,(5, 4) a) oblicz współrzędne punktów A, B, C b) naszkicuj te trójkąty we wspólnym układzie współrzędnych.

8.143. Dane są punkty A( 1,-4), B(3, 2). Obrazem odcinka AB w symetrii środ- kowej względem punktu 0(0, 0) jest odcinek A,B, a) Wyznacz współrzędne punktów A, IB,. b) Jakim czworokątem jest wielokąt wypukły o wierzchołkach A, B, 8,, A,?

8.142. Okrąg o jest obrazem okręgu o: x²+(y+ 1) = 4 w symetrii środkowej względem punktu P(3,2). Wyznacz środek promień okręgu o₁.

8.141. Wyznacz równanie paraboli, będącej obrazem paraboli p y = x²-2x-7 przesunięciu równoległym o wektor u=1-2, 8]. Podaj współrzędne punktu wspól nego obu parabol Symetria środkowa

8.140. Dany jest wektor u. Wyznacz równanie ogólne prostej 1, będącej obrazem prostej k. 2x + y -1=0 w przesunięciu równoległym o wektor u. Następnie oblicz odległość między prostymi k 11. b)-1-5,0]

8.139. Wyznacz równanie okręgu o, będącego obrazem okręgu o: -2x+6y-15-0 w przesunięciu równoległym o wektor -|-1,2].

8.138. Okrag o: (x+4)+(y-1) 2 przesunięto równolegle o wektor u i otrzymano okrągo,. Podaj równanie okręgu o₂, jeśli a) =[7,0] b) u = [0, -6] c) -(-2,3].

8.137. Obrazem trójkąta ABC w przesunięciu równoległym o wektor u=[5, 6] jest trójkąt A,B,C,. Wiedząc, że A,(-3, -2), B,(4,-7), C, (2, 0), oblicz współrzędne punktów A, B, C.

8.136. Obrazem odcinka AB w przesunięciu równoległym o wektor =[-3,0] jest odcinek A,8, Wiedząc, że A(-1, 5), 8(2,1) oblicz a) współrzędne punktów A, B, b) odległość między odcinkami AB A,B,

8.135. Wyznacz równanie krzywej, będącej zbiorem środków wszystkich okrę gów stycznych jednocześnie do osi OX oraz do okręgu o środku w punkcie 5(0,3) i promieniu 1 Wybrane przekształcenia geometryczne w układzie współrzędnych Przesunięcie równolegle

8.134. Dane są punkty A(-17, 0), B(-2, 0) Wyznacz równanie krzywej składającej się z wszystkich punktów, których odległość w układzie współrzędnych od punk- tu A jest cztery razy większa niż odległość od punktu B.

8.133. Dane są punkty A(3, 0), B(7, 0). Wyznacz równanie krzywej, składającej się

z wszystkich punktów, których odległość w układzie współrzędnych od punktu

jest trzy razy większa niż odległość od punktu A.

8.132. Krzywa / jest zbiorem punktów, których odległość od prostej k: y +1=0 jest taka sama, jak odległość od punktu (0, 1). a) Wyznacz równanie krzywej I. b) Podaj współrzędne punktu P, którego odległość od prostej k i od punktu (0,1) jest równa 10.

8.131. Krzywa / jest zbiorem punktów, których odległość od osi OX jest taka sama, jak odległość od punktu P(0,-2). a) Wyznacz równanie krzywej /. b) Oblicz współrzędne punktów, które znajdują się w odległości 5 od punktu P i od osi OX. 212 Matematyka Zbiór zadań Klasa 3 Zakres rozszerzony