Przeskocz do treści

Strona główna
Dlaczego warto?
O mnie
Opinie
Kontakt
Chce dołączyć!

Sekcja strony głównej

To jest przykład sekcji strony głównej. Sekcja ta może być na dowolnej stronie oprócz strony głównej, włączając to stronę prezentującą ostatnie wpisy.

Matura czerwiec 2017 zadanie 1 Liczba |9−2|−|4−7| jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 10 Równanie x(x−3)(x^2+25)=0 ma dokładnie
Matura czerwiec 2017 zadanie 11 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x−3)(7−x). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej o równaniu
Matura czerwiec 2017 zadanie 12 Punkt A=(2017,0) należy do wykresu funkcji f określonej wzorem
Matura czerwiec 2017 zadanie 13 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, spełniony jest warunek 2a3=a2+a1+1. Różnica r tego ciągu jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 14 Dany jest ciąg geometryczny (x,2x^2,4x^3,8) o wyrazach nieujemnych. Wtedy
Matura czerwiec 2017 zadanie 15 Kąt α jest ostry i tgα=12/5. Wówczas sinα jest równy
Matura czerwiec 2017 zadanie 16 W okręgu o środku O dany jest kąt wpisany ABC o mierze 20∘ Miara kąta CAO jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 17 Odcinek BD jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego ABC trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 5 i 3. Wówczas miara φ kąta DBC spełnia warunek
Matura czerwiec 2017 zadanie 18 Prosta przechodząca przez punkt A=(−10,5) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu
Matura czerwiec 2017 zadanie 19 Punkty A=(−21,11) i B=(3,17) są końcami odcinka AB. Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi Ox układu współrzędnych jest odcinek A′B′. Środkiem odcinka A′B′ jest punkt o współrzędnych
Matura czerwiec 2017 zadanie 2 Iloczyn dodatnich liczb a i b jest równy 1350. Ponadto 15% liczby a jest równe 10% liczby b. Stąd wynika, że b jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 20 Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A′B′C′ w skali 5/2, przy czym |AB|=5/2|A′B′|. Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta A′B′C′ jest równy
Matura czerwiec 2017 zadanie 21 Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe 1/3π^3. Długość boku tego trójkąta jest równa Długość boku tego trójkąta jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 22 Pole trójkąta prostokątnego ABC, przedstawionego na rysunku, jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 23 Długość przekątnej sześcianu jest równa 6. Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 24 Pole powierzchni bocznej walca jest równe 16π, a promień jego podstawy ma długość 2. Wysokość tego walca jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 25 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od 20, jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 26 Rozwiąż nierówność (x−1/2)x>3(x−1/2)(x+1/3).
Matura czerwiec 2017 zadanie 27 Kąt α jest ostry i spełniona jest równość sinα+cosα=√7/2. Oblicz wartość wyrażenia (sinα−cosα^)2.
Matura czerwiec 2017 zadanie 28 Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC w punkcie D. Udowodnij, że jeżeli |AD|=|BD|, to |CD|=1/2⋅|BD|.
Matura czerwiec 2017 zadanie 29 Wykaż, że prawdziwa jest nierówność (1,5)^100
Matura czerwiec 2017 zadanie 3 Suma 16^24+16^24+16^24+16^24 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 30 Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równa 30. Ponadto a30=30. Oblicz różnicę tego ciągu.
Matura czerwiec 2017 zadanie 31 Ze zbioru liczb 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę (a,b), gdzie a jest wynikiem pierwszego losowania, b jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par (a,b) takich, że iloczyn a⋅b jest liczbą parzystą.
Matura czerwiec 2017 zadanie 32 Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość √26. Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.
Matura czerwiec 2017 zadanie 33 Punkty A=(−2,−8) i B=(14,−8) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB|=|AC|. Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y=1/2x−7. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta.
Matura czerwiec 2017 zadanie 34 Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA′B′C′D′ jest romb ABCD. Przekątna AC′ tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘, a przekątna BD′ jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 45∘. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Matura czerwiec 2017 zadanie 4 Liczba log327−log31 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 5 Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie x^6−2x^3−3 jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 6 Wartość wyrażenia (b−a)^2 dla a=2√3 i b=√75 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 7 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=21−(7/3)x. Miejscem zerowym funkcji f jest
Matura czerwiec 2017 zadanie 8 Rozwiązaniem układu równań x+y=1 x−y=b z niewiadomymi x i y jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że
Matura czerwiec 2017 zadanie 9 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=x^2+bx+c oraz f(−1)=f(3)=1. Współczynnik b jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 1 Dla x=22–√+1 oraz y=2–√−1 wartość wyrażenia x2−2xy+y2 jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 10 Największą wartością funkcji y=−(x−2)2+4 w przedziale ⟨3,5⟩ jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 11 Funkcja liniowa f(x)=(1−m2)x+m−1 nie ma miejsc zerowych dla
Matura Czerwiec 2018 zadanie 12 Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x)=−(x−1)(3−x). Wskaż ten rysunek.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 13 Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an) określonego dla n≥1 są dodatnie i 3a2=2a3. Stąd wynika, że iloraz q tego ciągu jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 14 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony wzorem an=16−12⋅n dla każdej liczby całkowitej n≥1. Różnica r tego ciągu jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 15 Liczba 1−tg40∘ jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 16 Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C, taki, że |OB|=|BC| (zobacz rysunek). Pole trójkąta AOC jest równe
Matura Czerwiec 2018 zadanie 17 Okrąg o środku S1=(2,1) i promieniu r oraz okrąg o środku S2=(5,5) i promieniu 4 są styczne zewnętrznie. Wtedy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 18 Długości boków trapezu równoramiennego są równe 12,13,2,13. Wysokość h tego trapezu jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 19 Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku 4:3:3:2. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
Matura Czerwiec 2018 zadanie 2 Dane są liczby: a=log128, b=log48, c=log412. Liczby te spełniają warunek
Matura Czerwiec 2018 zadanie 20 Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa 27π. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 21 Stożek o promieniu podstawy r i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 22 Wśród 100 osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli. Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 23 Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 24 Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 25 W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe
Matura Czerwiec 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2x(1−x)+1−x
Matura Czerwiec 2018 zadanie 27 Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=x2+bx+c jest parabola, na której leży punkt A=(0,−5). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=7. Oblicz wartości współczynników b i c.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 28 Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 29 Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że |EC|=2|DE|, a na boku AB wybrano taki punkt F, że |BF|=|DE|. Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są przystające.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 3 Wskaż liczbę spełniającą nierówność (4−x)(x+3)(x+4)>0.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 30 Kąt α jest ostry i sinα+cosα=2–√. Oblicz wartość wyrażenia tgα+1tgα.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 31 Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 32 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H=16. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy 35. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 33 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla liczb naturalnych n≥1, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S10=154. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 34 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 453–√. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 4 Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował
Matura Czerwiec 2018 zadanie 5 Na rysunku przedstawiony jest przedział (−10,k⟩, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21. Stąd wynika, że
Matura Czerwiec 2018 zadanie 6 Równanie x−12x+1=0
Matura Czerwiec 2018 zadanie 7 Liczbę 2241111 można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 8 Liczba 820−2⋅420220⋅410 jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 9 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=−2(x+2)−1(x−3)2 dla każdej liczby rzeczywistej x≠−2. Wartość funkcji f dla argumentu 2 jest równa
Matura maj 2015 zadanie 1 Wskaż rysunek na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności −4≤x−1≤4.
Matura maj 2015 zadanie 10 Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=2x+b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja g(x)=−3x+4. Stąd wynika, że
Matura maj 2015 zadanie 11 Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x)=x2+x+c. Jeśli f(3)=4, to
Matura maj 2015 zadanie 12 Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność 2/7
Matura maj 2015 zadanie 13 W rosnącym ciągu geometrycznym (an), określonym dla n≥1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy
Matura maj 2015 zadanie 14 W układzie współrzędnych zaznaczono punkt P=(−4,5). Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy
Matura maj 2015 zadanie 15 Jeżeli 0∘
Matura maj 2015 zadanie 16 Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20∘ mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa
Matura maj 2015 zadanie 17 Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy
Matura maj 2015 zadanie 18 Prosta l o równaniu y=m2x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m−4)x−3. Zatem:
Matura maj 2015 zadanie 19 Proste o równaniach: y=2mx−m2−1 oraz y=4m2x+m2+1 są prostopadłe dla
Matura maj 2015 zadanie 2 Dane są liczby a=−1/27, b=log(1/4)64, c=log(1/3)27. Iloczyn abc jest równy
Matura maj 2015 zadanie 20 Dane są punkty M=(−2,1) i N=(−1,3). Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt
Matura maj 2015 zadanie 21 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E,G,L połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
Matura maj 2015 zadanie 22 Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Objętość tego stożka jest równa
Matura maj 2015 zadanie 23 Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
Matura maj 2015 zadanie 24 Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9,x. Wynika stąd, że
Matura maj 2015 zadanie 25 W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy
Matura maj 2015 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2×2−4x>(x+3)(x−2).
Matura maj 2015 zadanie 27 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4×2−8xy+5y2≥0.
Matura maj 2015 zadanie 28 Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL|=1/3|BE| i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.
Matura maj 2015 zadanie 29 Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=x2−6x+3 w przedziale ⟨0,4⟩.
Matura maj 2015 zadanie 3 Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa
Matura maj 2015 zadanie 30 W układzie współrzędnych dane są punkty A=(−43,−12), B=(50,19). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P. Oblicz pierwszą współrzędną punktu P.
Matura maj 2015 zadanie 31 Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy 4/7, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1/2. Wyznacz ten ułamek.
Matura maj 2015 zadanie 32 Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Matura maj 2015 zadanie 33 Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne. Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.
Matura maj 2015 zadanie 34 W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1,a3,ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
Matura maj 2015 zadanie 4 Równość m/(5-√5)=(5+√5)/5 zachodzi dla
Matura maj 2015 zadanie 5 Układ równań x−y=3 i 2x+0,5y=4 opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie
Matura maj 2015 zadanie 6 Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x−11)=0 jest równa
Matura maj 2015 zadanie 7 Równanie (x−1)/(x+1)=x−1
Matura maj 2015 zadanie 8 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest
Matura maj 2015 zadanie 9 Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(m−1)x+3 leży punkt S=(5,−2). Zatem
Matura maj 2017 zadanie 1 Liczba 5^8⋅16^−2 jest równa:
Matura maj 2017 zadanie 10 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c, o miejscach zerowych: −3 i 1. Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy
Matura maj 2017 zadanie 11 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem f(x)=a^x. Punkt A=(1,2) należy do wykresu funkcji. Podstawa a potęgi jest równa
Matura maj 2017 zadanie 12 W ciągu arytmetycznym an, określonym dla n≥1, dane są: a1=5, a2=11. Wtedy
Matura maj 2017 zadanie 2 Liczba 3√54−3√2 jest równa
Matura maj 2017 zadanie 3 Liczba 2log2(3)−2log2(5) jest równa
Matura maj 2017 zadanie 4 Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?
Matura maj 2017 zadanie 5 Równość (x√2−2)^2=(2+√2)^2 jest
Matura maj 2017 zadanie 6 Do zbioru rozwiązań nierówności (x^4+1)(2−x)>0 nie należy liczba:
Matura maj 2017 zadanie 7 Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności 2−3x≥4.
Matura maj 2017 zadanie 8 Równanie x(x^2−4)(x^2+4)=0 z niewiadomą x
Matura maj 2017 zadanie 9 Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=√3(x+1)−12 jest liczba
Matura Maj 2018 zadanie 1 Liczba 2log 6 log 4 3 3 − jest równa
Matura maj 2018 zadanie 10 Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = ax + b , a punkt M = (3, − 2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy
Matura maj 2018 zadanie 11 Dany jest ciąg ( ) n a określony wzorem 5 2 n 6 a = − n dla n ≥ 1. Ciąg ten jest A. arytmetyczny i jego różnica jest równa 1 3 r = − . B. arytmetyczny i jego różnica jest równa r = −2 . C. geometryczny i jego iloraz jest równy 1 3 q = − . D. geometryczny i jego iloraz jest równy 5 6 q = .
Matura maj 2018 zadanie 12 Dla ciągu arytmetycznego (an ), określonego dla n ≥1, jest spełniony warunek 4 5 6 a + a + a =12. Wtedy
Matura maj 2018 zadanie 13 Dany jest ciąg geometryczny ( ) n a , określony dla n ≥1, w którym 1 a = 2 , 2 a = 2 2 , 3 a = 4 2 . Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
Matura maj 2018 zadanie 14 Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek). Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek
Matura maj 2018 zadanie 15 Dany jest trójkąt o bokach długości: 2 5 , 3 5 , 4 5 . Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości
Matura maj 2018 zadanie 16 Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α +β =111° . Wynika stąd, że
Matura maj 2018 zadanie 17 Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL = a , MN = b , a > b . Kąt KLM ma miarę 60° . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa
Matura maj 2018 zadanie 18 Punkt K = (2, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym KM = LM . Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N = (4, 3) . Zatem
Matura maj 2018 zadanie 19 Proste o równaniach y = (m+ 2) x +3 oraz y = (2m−1) x −3 są równoległe, gdy
Matura Maj 2018 zadanie 2 Liczba 3√7/3⋅3√81/56 jest równa
Matura maj 2018 zadanie 20 Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
Matura maj 2018 zadanie 21 Zadanie 21. (0–1) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa
Matura maj 2018 zadanie 22 Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa
Matura maj 2018 zadanie 23 W zestawie liczb liczb 2, 2, 2, , 2, 4, 4, 4, , 4 m m …… jest 2m liczb (m ≥1) , w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe
Matura maj 2018 zadanie 24 Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?
Matura maj 2018 zadanie 25 W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe
Matura maj 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2×2 − 3x > 5.
Matura maj 2018 zadanie 27 Rozwiąż równanie (x3 +125)(x2 − 64) = 0 .
Matura maj 2018 zadanie 28 Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność 1 1 2 2a 2b a b + ≥ + .
Matura maj 2018 zadanie 29 Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2. Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od 2 −1.
Matura Maj 2018 zadanie 3 Dane są liczby a = 3,6⋅10−12 oraz b = 2,4⋅10−20 . Wtedy iloraz a b jest równy
Matura maj 2018 zadanie 30 Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f (x) = ax (gdzie a > 0 i a ≠1), należy punkt P = (2, 9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g (x) = f (x) − 2 .
Matura maj 2018 zadanie 31 Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an ), określonego dla n ≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Matura maj 2018 zadanie 32 W układzie współrzędnych punkty A = (4,3) i B = (10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.
Matura maj 2018 zadanie 33 Dane są dwa zbiory: A ={100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B ={10,11,12,13,14,15,16}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Matura maj 2018 zadanie 34 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura Maj 2018 zadanie 4 Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A. 865,00 zł
Matura maj 2018 zadanie 5 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 2 1 2 3 − x > jest przedział A. , 1 6 −∞ 
Matura maj 2018 zadanie 6 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Liczby 1 x , 2 x są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
Matura maj 2018 zadanie 7 Równanie 0 4 2 2 2 = − + x x x A. ma trzy rozwiązania: x = − 2 , x = 0 , x = 2
Matura maj 2018 zadanie 8 Funkcja liniowa f określona jest wzorem 1 3 f (x) = 1 x − , dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie     =  3 P 0, 1 .
Matura maj 2018 zadanie 9 Wykresem funkcji kwadratowej f (x) = x2 − 6x −3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Matura sierpień 2015 zadanie 1 Jeśli a=3/2 i b=2, to wartość wyrażenia a⋅b/(a+b) jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 10 określona wzorem f(x)=(2x−8)/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0. Wówczas wartość funkcji f(√2) jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 11 Parabola o wierzchołku W=(−3,5) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem
Matura sierpień 2015 zadanie 12 Wykres funkcji liniowej y=2x−3 przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych
Matura sierpień 2015 zadanie 13 Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y=f(x) ma współrzędne (2,2). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g(x)=f(x+2) ma współrzędne
Matura sierpień 2015 zadanie 14 Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 7 tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba
Matura sierpień 2015 zadanie 15 Ciąg liczbowy określony jest wzorem an=(2^n−1)/(2^n+1), dla n≥1. Piąty wyraz tego ciągu jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 16 Sinus kąta ostrego α jest równy 3/4. Wówczas
Matura sierpień 2015 zadanie 17 W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych 2 i 5 cosinus większego z kątów ostrych jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 18 Pole rombu o boku 6 i kącie rozwartym 150∘ jest równe
Matura sierpień 2015 zadanie 19 W okręgu o środku O dany jest kąt o mierze 50∘, zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą α jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 2 Dany jest prostokąt o wymiarach 40 cm×100 cm. Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o 20%, a każdy z krótszych boków skrócimy o 20%, to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta
Matura sierpień 2015 zadanie 20 Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty A=(−4,3) oraz B=(8,7), jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 21 Punkt S=(2,−5) jest środkiem odcinka AB, gdzie A=(−4,3) i B=(8,b). Wtedy
Matura sierpień 2015 zadanie 22 Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków a,b,c, gdzie a
Matura sierpień 2015 zadanie 23 Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy 4 i wysokość jest równa 6, ma długość
Matura sierpień 2015 zadanie 24 W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe
Matura sierpień 2015 zadanie 25 Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1,2,3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
Matura sierpień 2015 zadanie 26 Rozwiąż równanie (2x−4)/x=x/(2x−4), gdzie x≠0 i x≠2.
Matura sierpień 2015 zadanie 27 Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim – 8 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 11.
Matura sierpień 2015 zadanie 28 Rozwiąż nierówność 20x≥4×2+24.
Matura sierpień 2015 zadanie 29 Kąt α jest ostry i spełnia równość tgα+1/tgα=7/2. Oblicz wartość wyrażenia sinα⋅cosα.
Matura sierpień 2015 zadanie 3 Liczba 9^5⋅5^9/45^5 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 30 Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x3+y3≥x2y+xy2
Matura sierpień 2015 zadanie 31 W prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC, a punkt R jest środkiem boku CD. Wykaż, że pole trójkąta APR jest równe sumie pól trójkątów ADR oraz PCR.
Matura sierpień 2015 zadanie 32 Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach A=(−2,2), B=(6,−2), C=(10,6)
Matura sierpień 2015 zadanie 33 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 3:4, a pole jest równe 192 (zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘. Oblicz objętość ostrosłupa.
Matura sierpień 2015 zadanie 34 Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x)=ax^2+bx+c. Zbiorem rozwiązań nierówności f(x)>0 jest przedział (0,12). Największa wartość funkcji f jest równa 9. Oblicz współczynniki a, b i c funkcji f.
Matura sierpień 2015 zadanie 4 Liczba √9/7+√7/9 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 5 Wartość wyrażenia log(5)0,04−12log(25)1 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 6 Wartość wyrażenia (a+5)2 jest większa od wartości wyrażenia (a2+10a) o
Matura sierpień 2015 zadanie 7 Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań x+3y=−5 i 3x−2y=−4 Wskaż ten rysunek.
Matura sierpień 2015 zadanie 8 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 2(x−2)≤4(x−1)+1 jest
Matura sierpień 2015 zadanie 9 Rozwiązaniem równania x2(x+1)=x2−8 jest
Matura sierpień 2018 zadanie 1 Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10% zmniejszytła się o 2018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował
Matura sierpień 2018 zadanie 10 Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=x2−2x−11 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Matura sierpień 2018 zadanie 11 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=−3(x−2)(x−9). Liczby x1, x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
Matura sierpień 2018 zadanie 12 Największą wartością funkcji y=−(x−2)2+4 w przedziale ⟨3,5⟩ jest
Matura sierpień 2018 zadanie 13 Ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, spełnia warunek a3+a4+a5=15. Wtedy
Matura sierpień 2018 zadanie 14 Dla pewnej liczby x ciąg (x,x+4,16) jest geometryczny. Liczba x jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 15 W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α jest równa 3–√. Zatem:
Matura sierpień 2018 zadanie 16 Kąt α jest ostry i cosα=35. Wtedy
Matura sierpień 2018 zadanie 17 Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L, M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α+β=114∘.
Matura sierpień 2018 zadanie 18 Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 80∘. Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę
Matura sierpień 2018 zadanie 19 Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze 60∘ jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 2 Liczba √3√2 jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 20 Proste o równaniach y=(3m−4)x+2 oraz y=(12−m)x+3m są równoległe, gdy
Matura sierpień 2018 zadanie 21 Punkt A=(−3,2) jest końcem odcinka AB, a punkt M=(4,1) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka AB jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 22 Jeżeli α oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to
Matura sierpień 2018 zadanie 23 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej 102–√. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 24 Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły. Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 25 W grupie liczącej 29 uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x^2+6x−16
Matura sierpień 2018 zadanie 27 Rozwiąż równanie (x^3+27)(x^2−16)=0.
Matura sierpień 2018 zadanie 28 W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.
Matura sierpień 2018 zadanie 29 Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (a+b)(1/a+1/b)≥4.
Matura sierpień 2018 zadanie 3 Dane są liczby x=4,5⋅10−8 oraz y=1,5⋅102. Wtedy iloraz xy jest równy
Matura sierpień 2018 zadanie 30 Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Matura sierpień 2018 zadanie 31 Punkty A=(2,4), B=(0,0), C=(4,−2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.
Matura sierpień 2018 zadanie 32 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
Matura sierpień 2018 zadanie 33 Ze zbioru A={−3,−2,−1,1,2,3} losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru B={−1,0,1,2} losujemy liczbę b. Te liczby są – odpowiednio – współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej f(x)=ax+b. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.
Matura sierpień 2018 zadanie 34 W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB.
Matura sierpień 2018 zadanie 4 Liczba log496−log46 jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 5 Równość (a+23–√)2=13+43–√ jest prawdziwa dla
Matura sierpień 2018 zadanie 6 Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y. wskaż ten układ
Matura sierpień 2018 zadanie 7 Rozwiązaniem równiania x−23(x+2)=19 jest liczba
Matura sierpień 2018 zadanie 8 Dane są funkcje f(x)=3x oraz g(x)=f(−x), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Punkt wspólny wykresów funkcji f i g
Matura sierpień 2018 zadanie 9 Punkt (1,3–√) należy do wykresu funkcji y=23–√x+b. Współczynnik b jest równy

zadania maturalne

Dla x=22–√+1 oraz y=2–√−1 wartość wyrażenia x2−2xy+y2 jest równa
tresc zadaniaz
Wartość wyrażenia x2−6x+9 dla x=√3+3 jest równa
1 Liczba log21√8 jest równa:
Liczba a=14√2√2−3 należy do przedziału:
3 Reszta z dzielenia liczby naturalnej x przez 9 jest równa 7. Reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 9 jest równa:
4 Prosta l przechodzi przez punkty A=(6,−7),B=(−10,3). Prosta k jest symetralną odcinka AB. Współczynnik kierunkowy prostej k jest równy:
Matura operon 2017 zadanie 5 Dany jest ciąg (an) o wyrazie ogólnym an=2n+1n+3. Liczby a3,a5 są wyrazami tego ciągu, a liczby (a3,x,a5) tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba x jest równa:
Matura operon 2017 zadanie 6 Dana jest funkcja określona wzorem y=x2−4√3x+12. Trzecia potęga jedynego miejsca zerowego tej funkcji to liczba:
Matura operon 2017 zadanie 7 Do wykresu funkcji wykładniczej f(x)=(14)x należy punkt:
Matura operon 2017 zadanie 8 Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od 0. Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa 0. Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
Matura operon 2017 zadanie 9 Punkty A,B,C,D należą do okręgu o środku O. Jeśli kąt ABC ma miarę 70°, to kąt DAC ma miarę:
Matura operon 2017 zadanie 10 Trójkąty ABC i DEF są podobne. Obwód trójkąta ABC jest równy 16, a jego pole 12. Pole trójkąta DEF jest równe 60. Zatem obwód trójkąta DEF jest równy:
Matura operon 2017 zadanie 11 Wykres funkcji f(x)=(4m−2)x+k−3 przechodzi tylko przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych. Oznacza to, że:
Matura operon 2017 zadanie 12 Wzór funkcji, której wykres powstaje przez symetrię osiową względem osi OX wykresu funkcji f(x)=x2−4, to:
Matura operon 2017 zadanie 13 Wyrażenie wymierne W=x−3×2−4x+4 jest określone dla:
Matura operon 2017 zadanie 14 W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne różnią się o 4, a jeden z kątów ma miarę 30°. Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość:
Matura operon 2017 zadanie 15 Rozwiązaniem nierówności (3x+9)2>0 jest:
Matura operon 2017 zadanie 16 Jeśli A=(−∞,0) i B=⟨0,5⟩ to różnica przedziałów B i A jest równa:
Matura operon 2017 zadanie 17 Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 4 i 6. Pole tego trójkąta jest równe 3√15. Oznacza to, że jeśli kąt między bokami o długościach 4 i 6 ma miarę α>90°, to:
Matura operon 2017 zadanie 18 Rzucono cztery razy monetą. Prawdopodobieństwo tego, że wypadnie co najwyżej 1 orzeł, jest równe:
Matura operon 2017 zadanie 19 Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej długości 12. Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:
Matura operon 2017 zadanie 20 Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem Sn=3n2+4n. Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
Matura operon 2017 zadanie 21 Funkcja f(x)=(m+3)x2+16x+5 osiąga wartość największą dla x=2. Oznacza to, że największa wartość tej funkcji jest równa
Matura operon 2017 zadanie 22 Sześcian ABCDA′B′C′D′ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD dolnej podstawy i wierzchołek C′ górnej podstawy. Jeśli a jest krawędzią tego sześcianu, to pole otrzymanego przekroju jest równe:
Matura operon 2017 zadanie 23 Jeśli x+1x=6, to:
Matura operon 2017 zadanie 24 Rozwiąż nierówność (4x−1)2
Matura operon 2017 zadanie 25 Narysuj wykres funkcji f(x)=2x−3. Podaj zbiór wartości tej funkcji.
Matura operon 2017 zadanie 26 Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista a spełnia warunek a
Matura operon 2017 zadanie 27 Wyznacz współczynniki b,c we wzorze funkcji f(x)=x2+bx+c, jeśli wiesz, że miejsca zerowe tej funkcji są równe (−4) i 2.
Matura operon 2017 zadanie 28 Wykaż, że jeśli liczby (3a,3b,3c) tworzą ciąg geometryczny, to liczby (a,b,c) tworzą ciąg arytmetyczny.
Matura operon 2017 zadanie 29 Rzucono trzy razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma wyrzuconych oczek jest równa co najmniej 16.
Matura operon 2017 zadanie 30 Wyznacz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a w ten sposób, że jeden bok kwadratu jest zawarty w boku trójkąta, a dwa wierzchołki kwadratu należą do pozostałych boków trójkąta.
Matura operon 2017 zadanie 31 Dane są punkty A=(4,2) i B=(1,−3). Wyznacz współrzędne punktu C należącego do osi OY, tak aby |∢ACB|=90°.
Matura operon 2017 zadanie 32 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o dolnej podstawie ABC i górnej A′B′C′. Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 60°. Pole ściany bocznej graniastosłupa jest równe 2√3. Oblicz pole trójkąta ABC′.
Matura operon 2016 zadanie 1 Druga potęga liczby (3√(-1/8)⋅4^(−1/4)/0,25) jest równa:
Matura operon 2016 zadanie 2 Wiadomo,że log550=a i log52=b. Zatem:
Matura operon 2016 zadanie 3 W listopadzie pensja pana Jana była o 10% większa niż w październiku. W grudniu pensja pana Jana zmalała i wynosiła o 40% mniej niż w październiku. Średnia arytmetyczna pensji pana Jana w październiku, listopadzie i grudniu była:
Matura operon 2016 zadanie 4 Zbiór rozwiązań nierówności to
Matura operon 2016 zadanie 5 Równanie −3(9−x2)(x+3)x(x+3)=0:
Matura operon 2016 zadanie 6 Liczba a spełniająca warunek (2+√3)/(a+1)=1/(2−√3) jest równa:
Matura operon 2016 zadanie 7 Układ równań {y=(m+2)x+2m (2m−1)x−m=y opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie dwie proste równoległe. Zatem liczba m jest równa:
Matura operon 2016 zadanie 8 Suma pierwiastków równania (x−2)(x+1)(x−3)=0 jest równa:
Matura operon 2016 zadanie 9 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Najmniejszą wartością funkcji g(x)=f(−x) w przedziale ⟨−4,−1⟩ jest liczba:
Matura operon 2016 zadanie 10 Dwusieczna kąta, pod którym przecinają się proste y=x−1 i y=−x+1, przechodzi przez punkt:
Matura operon 2016 zadanie 11 W tabeli podano wartości funkcji liniowej f(x)=ax+b dla wybranych trzech elementów należących do dziedziny funkcji. Zatem:
Matura operon 2016 zadanie 12 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b dla b=−3 oraz ab
Matura operon 2016 zadanie 13 Dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x)=(x−1)2+2 jest zbiór ⟨−2,+∞). Zbiorem wartości tej funkcji jest:
Matura operon 2016 zadanie 14 Funkcja g jest opisana wzorem g(x)=3x−1+1. Miejscem zerowym funkcji h(x)=g(x+1)−4 jest liczba:
Matura operon 2016 zadanie 15 Ile liczb całkowitych należy do zbioru rozwiązań nierówności x−1≤x(x−1)−x22≤1?
Matura operon 2016 zadanie 16 Suma wszystkich liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez 5 i mniejszych od 400 jest równa:
Matura operon 2016 zadanie 17 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony dla n≥1 i taki, że a1+a2+a3=18. Wtedy:
Matura operon 2016 zadanie 18 Ciąg (an) jest określony wzorem an=√n-2 dla n≥2. Ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od 2?
Matura operon 2016 zadanie 19 Ciąg (a,2,c) jest geometryczny. Iloczyn wyrazów tego ciągu jest równy:
Matura operon 2016 zadanie 20 W trójkącie prostokątnym kąty ostre mają miary α,β, przeciwprostokątna ma długość 13, oraz sinα+sinβ=1713 i sinα−sinβ=713. Wynika z tego, że:
Matura operon 2016 zadanie 21 Kąt α jest kątem ostrym takim, że sin2α−cos2α=12. Zatem:
Matura operon 2016 zadanie 22 Punkty G i H są środkami okręgów. Punkt E leży na okręgu o środku w punkcie G, punkt F leży na okręgu o środku w punkcie H oraz |GH|=3 i |EF|=8 (patrz rysunek). Wtedy pole koła ograniczonego okręgiem o środku w punkcie H jest większe od pola koła ograniczonego okręgiem o środku w punkcie G o:
Matura operon 2016 zadanie 23 Przekątna AC dzieli trapez ABCD na dwa trójkąty prostokątne równoramienne oraz |∢BAD|=|∢ADC|=90°. Najkrótszy bok trapezu ma długość a. Zatem najdłuższy bok ma długość:
Matura operon 2016 zadanie 24 Okrąg o promieniu 3 jest wpisany w trójkąt prostokątny. Punkt styczności dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 5 i 12. Obwód tego trójkąta jest równy:
Matura operon 2016 zadanie 25 Punkty A,M,B są współliniowe (punkt M leży między punktami A i B) i takie, że A=(−23,−9), B=(17,21) oraz |MB|=3|AM|. Iloczyn współrzędnych punktu M jest równy:
Matura operon 2016 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x(x−1)>2(x+1)−4.
Matura operon 2016 zadanie 27 Wykaż, że jeżeli x>y i 2(x−1)(x+1)−2y(2x−y)=−1, to x−y=√22.
Matura operon 2016 zadanie 28 Dany jest półokrąg oparty na średnicy AB. Punkt C leży na półokręgu, punkt D leży na średnicy, odcinki CD i AB są prostopadłe oraz |CD|=2–√. Punkt D dzieli średnicę na odcinki a,b (patrz rysunek). Wykaż, że ab=2.
Matura operon 2016 zadanie 29 Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe. Jednym z nich jest liczba −3. Wierzchołek paraboli, będącej wykresem tej funkcji, znajduje się w punkcie (−1,−8). Wyznacz wzór tej funkcji.
Matura operon 2016 zadanie 30 Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych ma jeden punkt wspólny z parabolą y=(x−1)2+1. Znajdź równanie tej prostej.
Matura operon 2016 zadanie 31 Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza. Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała 42 lata. Ile lat ma obecnie każda z dziewcząt?
Matura operon 2016 zadanie 32 Kąt rozwarty rombu ma miarę 2α. Suma długości przekątnych rombu jest równa 68 oraz tgα=2,4. Oblicz obwód rombu.
Matura operon 2016 zadanie 33 Punkty A=(−4,1) i C=(−5,5) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Prosta −x−y=0 jest symetralną boku AB. Oblicz pole tego trójkąta.
Matura operon 2016 zadanie 34 Ciąg (x−3,x,y) jest ciągiem arytmetycznym. Ciąg (x,y,2y) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego oraz wyrazy ciągu geometrycznego.
Matura operon 2015 zadanie 1 Liczba a=823⋅417 jest równa liczbie:
Matura operon 2015 zadanie 2 Liczbą wymierną jest liczba:
Matura operon 2015 zadanie 3 Wyrażenie (7–√−3–√)2 jest równe:
Matura operon 2015 zadanie 4 Funkcja f(x)=(x+6)2 ma:
Matura operon 2015 zadanie 5 Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równy 34, a przeciwprostokątna ma długość 30. Krótsza przyprostokątna trójkąta ma długość:
Matura operon 2015 zadanie 6 Jeśli cena towaru najpierw zmniejszyła się o 10%, a następnie zwiększyła się o 20%, to po tych dwóch operacjach wyjściowa cena towaru:
Matura operon 2015 zadanie 7 Maksymalny przedział otwarty, w którym funkcja f(x)=−4×2+16x−23 jest rosnąca, to:
Matura operon 2015 zadanie 8 Zbiór rozwiązań nierówności x−√3x>2 to:
Matura operon 2015 zadanie 9 W okrąg o środku O wpisano trójkąt ostrokątny ABC. Jeśli |∢ABO|=48°, to:
Matura operon 2015 zadanie 10 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=−3n+118. Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
Matura operon 2015 zadanie 11 Liczba miejsc zerowych funkcji f(x)=(x−4)2+9 to:
Matura operon 2015 zadanie 12 Zbiorem wartości funkcji f(x)=2x+3 jest zbiór:
Matura operon 2015 zadanie 13 W ciągu arytmetycznym pierwszy i drugi wyraz są odpowiednio równe: 1,−2. Dziewiąty wyraz tego ciągu jest równy
Matura operon 2015 zadanie 14 Prosta o równaniu y=4x+1 przecina osie układu współrzędnych w punktach:
Matura operon 2015 zadanie 15 Dana jest funkcja f(x)=x2+4x+10. Prosta y=m nie ma z wykresem funkcji f punktów wspólnych. Maksymalny zbiór do którego należy liczba m to:
Matura operon 2015 zadanie 16 Wiadomo, że tgα=5 i α jest kątem ostrym. Wówczas wyrażenie W=sinα−cosαsinα+cosα ma wartość:
Matura operon 2015 zadanie 17 Jeżeli stosunek przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równy 3–√, to jeden z kątów ostrych ma miarę:
Matura operon 2015 zadanie 18 Jeżeli stosunek przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równy 3–√, to jeden z kątów ostrych ma miarę:
Matura operon 2015 zadanie 19 Jeśli S=(−12,32) jest środkiem odcinka AB i A=(−13,23), to:
Matura operon 2015 zadanie 20 Odchylenie standardowe danych: 1,4,1,5,9,2,1,1 jest równe (z dokładnością do części setnych):
Matura operon 2015 zadanie 21 Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do jego płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Wysokość walca ma długość 8. Objętość walca jest równa:
Matura operon 2015 zadanie 22 Pole trójkąta jest równe 15. Dwa boki mają długości 10 i 6. Kąt między tymi bokami może mieć miarę:
Matura operon 2015 zadanie 23 Prosta l ma równanie 3x−2y=7. Prosta k prostopadła do prostej l może mieć równanie:
Matura operon 2015 zadanie 24 Liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach i o parzystej cyfrze tysięcy, setek i dziesiątek jest:
Matura operon 2015 zadanie 25 Liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach i o parzystej cyfrze tysięcy, setek i dziesiątek jest:
Matura operon 2015 zadanie 26 Sprawdź, czy liczba 3327 jest wyrazem ciągu o wyrazie ogólnym an=3n−12n+5.
Matura operon 2015 zadanie 27 Rozwiąż nierówność −x2+8x−20
Matura operon 2015 zadanie 28 Punkty A=(−2;4), B=(6,2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Wyznacz długość wysokości tego trójkąta.
Matura operon 2015 zadanie 29 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność x2−6x+y2−4y+13≥0.
Matura operon 2015 zadanie 30 Dany jest kwadrat o boku a=6. W ten kwadrat wpisano trójkąt równoboczny w ten sposób, że jeden wierzchołek trójkąta jest wierzchołkiem kwadratu, a przeciwlegly bok trójkąta jest równoległy do przekątnej kwadratu (patrz rysunek). Wykaż, że bok trójkąta jest równy 6(√6-√2).
Matura operon 2015 zadanie 31 Dana jest funkcja określona wzorem f(x)=ax2+bx+c. Wartość największa funkcji jest równa 10. Funkcja jest rosnąca jedynie w przedziale (−∞,2⟩, a do jej wykresu należy punkt A=(4,−2). Wyznacz wartości współczynników a,b,c.
Matura operon 2015 zadanie 32 Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 4, a suma kwadratów wyrazu drugiego, czwartego i siódmego jest równa 702. Wyznacz ogólny wyraz tego ciągu.
Matura operon 2015 zadanie 33 Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy 6. Ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej bryły.
Matura sierpień 2010 zadanie 1 Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje:
Matura sierpień 2010 zadanie 2 Iloczyn 81^2⋅9^4 jest równy:
Matura sierpień 2010 zadanie 3 Iloczyn 81^2⋅9^4 jest równy:
Matura sierpień 2010 zadanie 4 Wskaż nierówność, która opisuje przedział na osi liczbowej.
Matura sierpień 2010 zadanie 5 Wyrażenie x(x−1)(x+1) jest równe:
Matura sierpień 2010 zadanie 6 Kwadrat liczby x=2−√3 jest równy:
Matura sierpień 2010 zadanie 7 Zbiorem rozwiązań nierówności x(x+5)>0 jest:
Matura sierpień 2010 zadanie 8 Równanie x2−4/(x−4)(x+4)=0
Matura sierpień 2010 zadanie 9 Wierzchołek paraboli y=x2+4x−13 leży na prostej o równaniu:
Matura sierpień 2010 zadanie 10 Wskaż m, dla którego funkcja liniowa f(x)=(m−1)x+6 jest rosnąca:
Matura sierpień 2010 zadanie 11 Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział (−∞;3⟩. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji f?
Matura sierpień 2010 zadanie 12 Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej y=ax+b takiej, że a>0 i b
Matura sierpień 2010 zadanie 13 Do wykresu funkcji f(x)=ax, dla x≠0 należy punkt A=(2,6). Wtedy:
Matura sierpień 2010 zadanie 14 W ciągu arytmetycznym (an) mamy: a2=5 i a4=11. Oblicz a5.
Matura sierpień 2010 zadanie 15 W malejącym ciągu geometrycznym (an) mamy: a1=−2 i a3=−4. Iloraz tego ciągu jest równy:
Matura sierpień 2010 zadanie 16 Kąt α jest ostry i cosα=3/4. Wtedy sinα jest równy:
Matura sierpień 2010 zadanie 17 Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień równy 12. Wysokość tego trójkąta jest równa
Matura sierpień 2010 zadanie 18 Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 11, a bok AB jest od niej o 5 krótszy. Oblicz długość boku AD.
Matura sierpień 2010 zadanie 19 Punkty A,B,C,D,E,F,G,H,I,J dzielą okrąg o środku S na 10 równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku.
Matura sierpień 2010 zadanie 20 Punkty A=(−1,3) i C=(−5,5) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe:
Matura sierpień 2010 zadanie 21 Promień okręgu o równaniu (x+2)2+(y−1)2=13 jest równy:
Matura sierpień 2010 zadanie 22 Prosta l ma równanie y=−1/4x+7. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej l.
Matura sierpień 2010 zadanie 23 Objętość sześcianu jest równa 27cm3. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu?
Matura sierpień 2010 zadanie 24 Graniastosłup ma 15 krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?
Matura sierpień 2010 zadanie 25 Ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas:
Matura sierpień 2010 zadanie 26 Rozwiąż nierówność: x2−14x+24>0.
Matura sierpień 2010 zadanie 27 Rozwiąż równanie x3−3×2+2x−6=0.
Matura sierpień 2010 zadanie 28 Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Matura sierpień 2010 zadanie 29 Wyznacz równanie okręgu o środku S=(4,−2) przechodzącego przez punkt (0,0).
Matura sierpień 2010 zadanie 30 Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A=(3,8), B=(1,2), C=(6,7) jest prostokątny.
Matura sierpień 2010 zadanie 31 Wykaż, że jeżeli a>0 i b>0 oraz √a2+b=√a+b2, to a=b lub a+b=1.
Matura sierpień 2010 zadanie 32 Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma liczb oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6 i iloczyn tych liczb jest nieparzysty.
Matura sierpień 2010 zadanie 33 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE i CF. Oblicz pole trójkąta ABF wiedząc, że |AB|=10 i |CF|=11. Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt ABF.
Matura sierpień 2010 zadanie 34 Kolarz przejechał trasę długości 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o 1 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz, z jaką prędkością jechał ten kolarz.
Matura sierpień 2012 zadanie 1 Długość boku kwadratu k2 jest o 10% większa od długości boku kwadratu k1. Wówczas pole kwadratu k2 jest większe od pola kwadratu k1:
Matura sierpień 2012 zadanie 2 Iloczyn 9^−5⋅3^8 jest równy:
Matura sierpień 2012 zadanie 3 Liczba log327−log31 jest równa:
Matura sierpień 2012 zadanie 4 Liczba (2−3√2)2 jest równa:
Matura sierpień 2012 zadanie 5 Liczba −2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=mx+2. Wtedy:
Matura sierpień 2012 zadanie 6 Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x+4|≤7.
Matura sierpień 2012 zadanie 7 Dana jest parabola o równaniu y=x2+8x−14. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa:
Matura sierpień 2012 zadanie 8 Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest ⟨−2,+∞).
Matura sierpień 2012 zadanie 9 Zbiorem rozwiązań nierówności x(x+6)
Matura sierpień 2012 zadanie 10 Wielomian W(x)=x6+x3−2 jest równy iloczynowi:
Matura sierpień 2012 zadanie 11 Równanie (x+3)(x−2)(x−3)(x+2)=0 ma:
Matura sierpień 2012 zadanie 12 Dany jest ciąg (an) określony wzorem an=n(−2)n dla n≥1. Wówczas:
Matura sierpień 2012 zadanie 13 W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1=36, a2=18. Wtedy:
Matura sierpień 2012 zadanie 14 Kąt α jest ostry i sinα=7/13. Wtedy tgα jest równy:
Matura sierpień 2012 zadanie 15 W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy:
Matura sierpień 2012 zadanie 16 Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6. Długość boku BC jest równa:
Matura sierpień 2012 zadanie 17 Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa:
Matura sierpień 2012 zadanie 18 Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 243–√. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy:
Matura sierpień 2012 zadanie 19 Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu y=−1/3x+2.
Matura sierpień 2012 zadanie 20 Punkty B=(−2,4) i C=(5,1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe:
Matura sierpień 2012 zadanie 21 Dany jest okrąg o równaniu (x+4)2+(y−6)2=100. Środek tego okręgu ma współrzędne:
Matura sierpień 2012 zadanie 22 Objętość sześcianu jest równa 64. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
Matura sierpień 2012 zadanie 23 Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku a. Objętość tego stożka wyraża się wzorem:
Matura sierpień 2012 zadanie 24 Pewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000zł, a pensje pozostałych pracowników są równe: 2000zł,2800zł,3400zł,3600zł,4200zł. Mediana zarobków tych 6 osób jest równa:
Matura sierpień 2012 zadanie 25 Ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas:
Matura sierpień 2012 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x2−8x+7≥0.
Matura sierpień 2012 zadanie 27 Rozwiąż równanie x3−6×2−9x+54=0.
Matura sierpień 2012 zadanie 28 Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Matura sierpień 2012 zadanie 29 W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC|=|BC|=6 i |∢ACB|=30° (zobacz rysunek). Oblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.
Matura sierpień 2012 zadanie 30 Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że |CE|=1/2|AC|. Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DCE.
Matura sierpień 2012 zadanie 31 Wykaż, że jeżeli c<0 to trójmian kwadratowy y= x^2 + bx + c
Matura sierpień 2012 zadanie 32 Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC| oraz A=(2,1) i C=(1,9). Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej y=1/2x. Oblicz współrzędne wierzchołka B.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).
Matura sierpień 2012 zadanie 34 Kolarz pokonał trasę 114km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5kmh, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.
1. Liczbę √20 można przedstawić w postaci:
2 Potęga (a/b)−5 (gdzie a i b są różne od zera) jest równa:
Matura czerwiec 2011 zadanie 3 Liczba log1/28 jest równa:
Matura czerwiec 2011 zadanie 4 Wskaż liczbę, która spełnia równanie |4x−5|=x.
Matura czerwiec 2011 zadanie 5 Cenę pewnego towaru najpierw obniżono o 20%, a następnie nową cenę podwyższono o 10%. W wyniku obu tych zmian cena towaru zmniejszyła się w stosunku do pierwotnej o:
Matura czerwiec 2011 zadanie 6 Wielomian x2−100 jest równy:
Matura czerwiec 2011 zadanie 7 Równanie x2+25/x−5=0
Matura czerwiec 2011 zadanie 8 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność (3−x)(3+x)>(3−x)2 jest:
Matura czerwiec 2011 zadanie 9 Funkcja liniowa f(x)=−1/2x+3
Matura czerwiec 2011 zadanie 10 Liczby x1, x2 są rozwiązaniami równania 2(x−5)(x+7)=0. Suma x1+x2 jest równa:
Matura czerwiec 2011 zadanie 11 Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y=f(x). Zbiorem wartości tej funkcji jest:
Matura czerwiec 2011 zadanie 12 W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre: α=41° i β=49° . Wtedy cosα+sinβcosα równa się:
Matura czerwiec 2011 zadanie 13 Ciąg arytmetyczny (an) jest określony wzorem an=2n−1 dla n≥1. Różnica tego ciągu jest równa:
Matura czerwiec 2011 zadanie 14 W ciągu geometrycznym (an) dane są a2=√2/2 i a3=−1. Wtedy wyraz a1 jest równy:
Matura czerwiec 2011 zadanie 15 Dane są punkty A=(−2,2) i B=(4,−2). Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy:
Matura czerwiec 2011 zadanie 16 Dany jest okrąg o równaniu (x+2)2+(y−3)2=5. Środek tego okręgu ma współrzędne:
Matura czerwiec 2011 zadanie 17 Obwód prostokąta jest równy 28. Stosunek długości jego boków jest równy 3:4. Dłuższy bok tego prostokąta jest równy:
Matura czerwiec 2011 zadanie 18 Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:
Matura czerwiec 2011 zadanie 19 Dane są dwa okręgi o promieniach 12 i 17. Większy okrąg przechodzi przez środek mniejszego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa:
Matura czerwiec 2011 zadanie 20 Stożek powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 6 i 13 wokół krótszej przyprostokątnej. Promień podstawy tego stożka jest równy:
Matura czerwiec 2011 zadanie 21 Dany jest sześcian ABCDEFGH. Siatką ostrosłupa czworokątnego ABCDE jest:
Matura czerwiec 2011 zadanie 22 Jeżeli A jest zdarzeniem losowym takim, że P(A)=6⋅P(A′) , oraz A′ jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A, to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:
Matura czerwiec 2011 zadanie 23 Rozwiąż nierówność −2×2+2x+24≥0.
Matura czerwiec 2011 zadanie 24 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=2x−b/x−9 dla x≠9, a f(14)=5. Oblicz współczynnik b.
Matura czerwiec 2011 zadanie 25 Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B,C,N są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że |AM|=|CN|. Wykaż, że |BM|=|MN|.
Matura czerwiec 2011 zadanie 26 Dane są wielomiany P(x)=−2×3+3×2−1, Q(x)=2×2−x−1 oraz W(x)=ax+b. Wyznacz współczynniki a i b, tak aby wielomian P(x) był równy iloczynowi W(x)⋅Q(x).
Matura czerwiec 2011 zadanie 27 Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba 3n+2−2n+2+3n−2n jest wielokrotnością liczby 10.
Matura czerwiec 2011 zadanie 28 Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III. Oblicz medianę i średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.
Matura czerwiec 2011 zadanie 29 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba oczek w pierwszym rzucie jest o 1 mniejsza od liczby oczek w drugim rzucie.
Matura czerwiec 2011 zadanie 30 Liczby 27,x,3 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu.
Matura czerwiec 2011 zadanie 31 Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1,2,3,4 (cyfry mogą się powtarzać).
Matura czerwiec 2011 zadanie 32 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę 120° oraz |AS|=|CS|=10 i |BS|=|DS|. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Matura czerwiec 2011 zadanie 33 Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A=(1,8) i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.
Matura maj 2010 zadanie 1 Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x+7|>5.
Matura maj 2010 zadanie 2 Spodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?
Matura maj 2010 zadanie 3 Liczba (2−2⋅3−1/2−1⋅3−2)0 jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 4 Liczba log48+log42 jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 5 Dane są wielomiany W(x)=−2×3+5×2−3 oraz P(x)=2×3+12x. Wielomian W(x)+P(x) jest równy:
Matura maj 2010 zadanie 6 Rozwiązaniem równania 3x−1/7x+1=2/5 jest:
Matura maj 2010 zadanie 7 Do zbioru rozwiązań nierówności (x−2)(x+3)
Matura maj 2010 zadanie 8 Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=−3×2+3 jest parabola o wierzchołku w punkcie:
Matura maj 2010 zadanie 9 Prosta o równaniu y=−2x+(3m+3) przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie (0,2). Wtedy:
Matura maj 2010 zadanie 10 Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y=f(x). Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?
Matura maj 2010 zadanie 11 W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a3=13 i a5=39. Wtedy wyraz a1 jest równy:
Matura maj 2010 zadanie 12 W ciągu geometrycznym (an) dane są a1=3 i a4=24. Iloraz tego ciągu jest równy:
Matura maj 2010 zadanie 13 Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 14 Kąt α jest ostry i sinα=3/4. Wartość wyrażenia 2−cos2α jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 15 Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku kwadratu jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 16 Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość:
Matura maj 2010 zadanie 17 Odcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe 1, 3 i 9. Długość odcinka AD jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 18 Punkty A,B,C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 19 Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 20 Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y=−3x+5 jest równy:
Matura maj 2010 zadanie 21 Wskaż równanie okręgu o promieniu 6.
Matura maj 2010 zadanie 22 Punkty A=(−5,2) i B=(3,−2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy:
Matura maj 2010 zadanie 23 Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5×3×4 jest równe:
Matura maj 2010 zadanie 24 Ostrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 25 Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb x,3,1,4,1,5,1,4,1,5 jest równa 3. Wtedy:
Matura maj 2010 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x2−x−2≤0.
Matura maj 2010 zadanie 27 Rozwiąż równanie x3−7×2−4x+28=0.
Matura maj 2010 zadanie 28 Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że |AD|=|BE|.
Matura maj 2010 zadanie 29 Kąt α jest ostry i tgα=5/12. Oblicz cosα.
Matura maj 2010 zadanie 30 Wykaż, że jeśli a>0, to a2+1/a+1≥a+1/2.
Matura maj 2010 zadanie 31 W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.
Matura maj 2010 zadanie 32 Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeżeli wiadomo, że |AD|=12, |BC|=6, |BD|=|CD|=13.
Matura maj 2010 zadanie 33 Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek, a iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Matura maj 2010 zadanie 34 W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350m2 oraz jest o 5m dłuższy i 2m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.
Matura sierpień 2011 zadanie 1 Rozwiązaniem równania 3(2−3x)=x−4 jest:
Matura sierpień 2011 zadanie 2 Suma liczby x i 15% tej liczby jest równa 230. Równaniem opisującym tę zależność jest:
Matura sierpień 2011 zadanie 3 Rozwiązaniem układu równań: {x+3y=5 2x−y=3 jest:
Matura sierpień 2011 zadanie 4 Funkcja liniowa f(x)=(m−2)x−11 jest rosnąca dla:
Matura sierpień 2011 zadanie 5 Do wykresu funkcji liniowej f należą punkty A=(1,2) i B=(−2,5). Funkcja f ma wzór:
Matura sierpień 2011 zadanie 6 Punkt A=(0,5) leży na prostej k prostopadłej do prostej o równaniu y=x+1. Prosta k ma równanie:
Matura sierpień 2011 zadanie 7 Dla pewnych liczb a i b zachodzą równości: a2−b2=200 i a+b=8. Dla tych liczb a i b wartość wyrażenia a−b jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 8 Liczba |5−2|+|1−6| jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 9 Liczba log24+2log31 jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 10 Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x)=x2−4 jest:
Matura sierpień 2011 zadanie 11 Dane są wielomiany W(x)=x3+3×2+x−11 i V(x)=x3+3×2+1. Stopień wielomianu W(x)−V(x) jest równy:
Matura sierpień 2011 zadanie 12 W ciągu geometrycznym (an) mamy a3=5 i a4=15. Wtedy wyraz a5 jest równy:
Matura sierpień 2011 zadanie 13 Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2?
Matura sierpień 2011 zadanie 14 Dane są punkty A=(1,−4) i B=(2,3). Odcinek AB ma długość:
Matura sierpień 2011 zadanie 15 Kąt α jest ostry oraz sinα=cos47°. Wtedy miara kąta α jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 16 Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (an) określony wzorem an=2n2−9 dla n≥1?
Matura sierpień 2011 zadanie 17 Krawędź sześcianu ma długość 9. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 18 Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 3,1,1,0,x,2 jest równa 2. Wtedy liczba x jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 19 Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe:
Matura sierpień 2011 zadanie 20 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 21 Dany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60°. Pole tego rombu jest równe:
Matura sierpień 2011 zadanie 22 Kula ma objętość V=288π. Promień r tej kuli jest równy:
Matura sierpień 2011 zadanie 23 W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa 90. Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
Matura sierpień 2011 zadanie 24 Rozwiąż nierówność x2−3x+2
Matura sierpień 2011 zadanie 25 Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1⋅2⋅3⋅…⋅16, jest podzielny przez 215.
Matura sierpień 2011 zadanie 26 Kąt α jest ostry i sinα=1/4. Oblicz 3+2tg2α.
Matura sierpień 2011 zadanie 27 Liczby 2x+1, 6, 16x+2 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
Matura sierpień 2011 zadanie 28 Na bokach trójkąta równobocznego ABC (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty ABDE, CBGH, ACKL. Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny.
Matura sierpień 2011 zadanie 29 Punkty A i B leżą na okręgu i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.
Matura sierpień 2011 zadanie 30 Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.
Matura sierpień 2011 zadanie 31 Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 4m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.
Matura sierpień 2011 zadanie 32 Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące warunki: 1. Cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste, 2. Cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek, 3. Cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności, 4. W zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.
Matura sierpień 2011 zadanie 33 Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne AW, BW i CW mają następujące długości: |AW|=6, |BW|=9, |CW|=7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura maj 2011 zadanie 1 Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π.
Matura maj 2011 zadanie 2 Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189zł. Rower kosztuje:
Matura maj 2011 zadanie 3 Wyrażenie 5a2−10ab+15a jest równe iloczynowi:
Matura maj 2011 zadanie 4 Układ równań {4x+2y=106x+ay=15 ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli:
Matura maj 2011 zadanie 5 Rozwiązanie równania x(x+3)−49=x(x−4) należy do przedziału:
Matura maj 2011 zadanie 6 Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności 3/8+x/6
Matura maj 2011 zadanie 7 Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: 3(x−1)(x−5)≤0 i x>1.
Matura maj 2011 zadanie 8 Wyrażenie log4(2x−1) jest określone dla wszystkich liczb x spełniających warunek:
Matura maj 2011 zadanie 9 Dane są funkcje liniowe f(x)=x−2 oraz g(x)=x+4 określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji h(x)=f(x)⋅g(x).
Matura maj 2011 zadanie 10 Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x)=−2–√x+4. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:
Matura maj 2011 zadanie 11 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym a3=1 i a4=2/3. Wtedy:
Matura maj 2011 zadanie 12 Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an) o wyrazach dodatnich. Wtedy:
Matura maj 2011 zadanie 13 Kąt α jest ostry i cosα=5/13. Wtedy:
Matura maj 2011 zadanie 14 Wartość wyrażenia sin238°+cos238°−1/sin252°+cos252°+1 jest równa:
Matura maj 2011 zadanie 15 W prostopadłościanie ABCDEFGH mamy: |AB|=5, |AD|=4, |AE|=3. Który z odcinków AB, BG, GE, EB jest najdłuższy?
Matura maj 2011 zadanie 16 Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany α ma miarę:
Matura maj 2011 zadanie 17 Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60° jest równa:
Matura maj 2011 zadanie 18 Prosta k ma równanie y=2x−3. Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (−2,1).
Matura maj 2011 zadanie 19 Styczną do okręgu (x−1)2+y2−4=0 jest prosta o równaniu:
Matura maj 2011 zadanie 20 Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:
Matura maj 2011 zadanie 21 Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa:
Matura maj 2011 zadanie 22 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi:
Matura maj 2011 zadanie 23 Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: "Ile osób liczy twoja rodzina?" Wyniki przedstawiono w tabeli: Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa:
Matura maj 2011 zadanie 24 Rozwiąż nierówność 3×2−10x+3≤0.
Matura maj 2011 zadanie 25 Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a2+b2=7, to a4+b4=31.
Matura maj 2011 zadanie 26 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) zbiór wartości funkcji f, b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca.
Matura maj 2011 zadanie 27 Liczby x, y, 19 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny, przy czym x+y=8. Oblicz x i y.
Matura maj 2011 zadanie 28 Kąt α jest ostry i sinα/cosα+cosα/sinα=2. Oblicz wartość wyrażenia sinα⋅cosα.
Matura maj 2011 zadanie 29 Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC|=|CD| i |EB|=|BA|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.
Matura maj 2011 zadanie 30 Ze zbioru liczb {1,2,3,…,7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.
Matura maj 2011 zadanie 31 Okrąg o środku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x−3. Oblicz współrzędne punktu styczności.
Matura maj 2011 zadanie 32 Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
Matura maj 2011 zadanie 33 Punkty K, L, i M są środkami krawędzi BC, HG i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.
Matura czerwiec 2012 zadanie 1 Ułamek √5+2/√5−2 jest równy:
Matura czerwiec 2012 zadanie 2 Liczbami spełniającymi równanie |2x+3|=5 są:
Matura czerwiec 2012 zadanie 3 Równanie (x+5)(x−3)(x2+1)=0 ma:
Matura czerwiec 2012 zadanie 4 Marża równa 1,5% kwoty pożyczonego kapitału była równa 3000zł. Wynika stąd, że pożyczono:
Matura czerwiec 2012 zadanie 5 Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji y=x2+2x−3. Wskaż ten rysunek.
Matura czerwiec 2012 zadanie 6 Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem f(x)=x2−4x+4 jest punkt o współrzędnych:
Matura czerwiec 2012 zadanie 7 Jeden kąt trójkąta ma miarę 54°. Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest 6 razy większy od drugiego. Miary pozostałych kątów są równe:
Matura czerwiec 2012 zadanie 8 Krótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę 30°. Dłuższy bok prostokąta ma długość:
Matura czerwiec 2012 zadanie 9Cięciwa okręgu ma długość 8cm i jest oddalona od jego środka o 3cm. Promień tego okręgu ma długość:
Matura czerwiec 2012 zadanie 10 Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany BAD ma miarę:
Matura czerwiec 2012 zadanie 11 Pięciokąt ABCDE jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do trójkąta ECD:
Matura czerwiec 2012 zadanie 12 Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:
Matura czerwiec 2012 zadanie 13 Wyrażenie 3x+1/x−2−2x−1/x+3 jest równe:
Matura czerwiec 2012 zadanie 14 Ciąg (an) jest określony wzorem an=√2n+4 dla n≥1. Wówczas:
Matura czerwiec 2012 zadanie 15 Ciąg (2√2,4,a) jest geometryczny. Wówczas:
Matura czerwiec 2012 zadanie 16 Kąt α jest ostry i tgα=1. Wówczas:
Matura czerwiec 2012 zadanie 17 Wiadomo, że dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x)=x−7/2x+a jest zbiór (−∞,2)∪(2,+∞). Wówczas:
Matura czerwiec 2012 zadanie 18 Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej f(x)=ax+b, gdzie a>0 i b
Matura czerwiec 2012 zadanie 19 Punkt S=(2,7) jest środkiem odcinka AB, w którym A=(−1,3). Punkt B ma współrzędne:
Matura czerwiec 2012 zadanie 20 W kolejnych sześciu rzutach kostką otrzymano następujące wyniki: 6,3,1,2,5,5. Mediana tych wyników jest równa:
Matura czerwiec 2012 zadanie 21 Równość (a+2√2)2=a2+28√2+8 zachodzi dla:
Matura czerwiec 2012 zadanie 22 Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 i 6 obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej. Objętość powstałego stożka jest równa:
Matura czerwiec 2012 zadanie 23 Jeżeli A i B są zdarzeniami losowymi, B′ jest zdarzeniem przeciwnym do B, P(A)=0,3, P(B′)=0,4 oraz A∩B=∅, to P(A∪B) jest równe:
Matura czerwiec 2012 zadanie 24 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku a. Jeżeli r oznacza promień podstawy walca, h oznacza wysokość walca, to:
Matura czerwiec 2012 zadanie 25 Rozwiąż nierówność x2−3x−10
Matura czerwiec 2012 zadanie 26 Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.
Matura czerwiec 2012 zadanie 27 Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.
Matura czerwiec 2012 zadanie 28 Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to sin4α+cos2α=sin2α+cos4α.
Matura czerwiec 2012 zadanie 29 Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
Matura czerwiec 2012 zadanie 30 Suma Sn=a1+a2+…+an początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn=n2−2n. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.
Matura czerwiec 2012 zadanie 31 Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45°, a jego pole jest równe 502–√. Oblicz wysokość tego rombu.
Matura czerwiec 2012 zadanie 32 Punkty A=(2,11), B=(8,23), C=(6,14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu D.
Matura czerwiec 2012 zadanie 33 Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta.
Matura czerwiec 2012 zadanie 34 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura sierpień 2013 zadanie 1 Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3−x)>x.
Matura sierpień 2013 zadanie 2 Gdy od 17% liczby 21 odejmiemy 21% liczby 17, to otrzymamy:
Matura sierpień 2013 zadanie 3 Liczba 53⋅25/√5 jest równa:
Matura sierpień 2013 zadanie 4 Rozwiązaniem układu równań {3x−5y=0 i 2x−y=14 jest para liczb (x,y) takich, że:
Matura sierpień 2013 zadanie 5 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=2xx−1 dla x≠1. Wartość funkcji f dla argumentu x=2 jest równa:
Matura sierpień 2013 zadanie 6 Liczby rzeczywiste a,b,c spełniają warunki: a+b=3, b+c=4 i c+a=5. Wtedy suma a+b+c jest równa:
Matura sierpień 2013 zadanie 7 Prostą równoległą do prostej o równaniu y=2/3x−4/3 jest prosta dana równaniem
Matura sierpień 2013 zadanie 8 Dla każdych liczb rzeczywistych a,b wyrażenie a−b+ab−1 jest równe:
Matura sierpień 2013 zadanie 9 Wierzchołek paraboli o równaniu y=(x−1)2+2c leży na prostej o równaniu y=6. Wtedy:
Matura sierpień 2013 zadanie 10 Liczba log2100−log250 jest równa:
Matura sierpień 2013 zadanie 11 Wielomian W(x)=(3×2−2)2 jest równy wielomianowi:
Matura sierpień 2013 zadanie 12 Z prostokąta ABCD o obwodzie 30 wycięto trójkąt równoboczny AOD o obwodzie 15 (tak jak na rysunku). Obwód zacieniowanej figury jest równy:
Matura sierpień 2013 zadanie 13 Liczby 3x−4,8,2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy:
Matura sierpień 2013 zadanie 14 Punkt S=(4;1) jest środkiem odcinka AB, gdzie A=(a;0) i B=(a+3;2). Zatem:
Matura sierpień 2013 zadanie 15 Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5?
Matura sierpień 2013 zadanie 16 Punkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt α ma miarę:
Matura sierpień 2013 zadanie 17 Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość 8. Wówczas pole koła opisanego na tym sześciokącie jest równe:
Matura sierpień 2013 zadanie 18 Pole równoległoboku o bokach 4 i 12 oraz kącie ostrym 30° jest równe:
Matura sierpień 2013 zadanie 19 Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 24. Wtedy liczba jego wierzchołków jest równa
Matura sierpień 2013 zadanie 20 Objętość walca o wysokości 8 jest równa 72π. Promień podstawy tego walca jest równy:
Matura sierpień 2013 zadanie 21 Liczby 7,a,49 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy a jest równe:
Matura sierpień 2013 zadanie 22 Ciąg (an) jest określony wzorem an=n2−n, dla n≥1. Który wyraz tego ciągu jest równy 6?
Matura sierpień 2013 zadanie 23 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe:
Matura sierpień 2013 zadanie 24 Kąt α jest ostry i sinα=3√3. Wtedy wartość wyrażenia 2cos2α−1 jest równa:
Matura sierpień 2013 zadanie 25 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y=f(x). Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨−1,1⟩ jest równa
Matura sierpień 2013 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 3x−x2≥0.
Matura sierpień 2013 zadanie 27 Rozwiąż równanie x3−6×2−12x+72=0.
Matura sierpień 2013 zadanie 28 Kąt α jest ostry i tgα=2. Oblicz sinα−cosαsinα+cosα.
Matura sierpień 2013 zadanie 29 W tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,6. Oblicz liczbę x ocen bardzo dobrych (5) z matematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.
Matura sierpień 2013 zadanie 30 Uzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i a+1/a=3, to a2+1/a2=7.
Matura sierpień 2013 zadanie 31 Długość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.
Matura sierpień 2013 zadanie 32 Dane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię 6000m2. Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10m i 15m oraz powierzchnię większą o 2250m2. Oblicz wymiary pierwszej działki.
Matura sierpień 2013 zadanie 33 Punkty A=(−1,−5), B=(3,−1) i C=(2,4) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.
Matura sierpień 2013 zadanie 34 Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 72, a promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.
Matura maj 2012 zadanie 12 W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC|=|BC|=5 oraz wysokość |CD|=2. Podstawa AB tego trójkąta ma długość:
Matura maj 2012 zadanie 1 Cenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%. W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o:
Matura maj 2012 zadanie 2 Liczba (3)√(-8^-1)⋅16^(3/4) jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 3 Liczba (3−√2)^2+4(2−√2) jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 4 Iloczyn 2log139 jest równy:
Matura maj 2012 zadanie 5 Wskaż liczbę, która spełnia równanie |3x+1|=4x.
Matura maj 2012 zadanie 6 Liczby x1, x2 są różnymi rozwiązaniami równania 2×2+3x−7=0. Suma x1+x2 jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 7 Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej y=−3(x−7)(x+2) są:
Matura maj 2012 zadanie 8 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+6, gdzie a>0. Wówczas spełniony jest warunek:
Matura maj 2012 zadanie 9 Wskaż wykres funkcji, która w przedziale ⟨−4,4⟩ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Matura maj 2012 zadanie 10 Liczba tg30°−sin30° jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 11 W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i |AB|=13 oraz |BC|=12. Wówczas sinus kąta ABC jest równy
Matura maj 2012 zadanie 13 W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 5 i 7. Obwód tego trójkąta jest równy:
Matura maj 2012 zadanie 14 Odcinki AB i CD są równoległe i |AB|=5,|AC|=2,|CD|=7 (zobacz rysunek). Długość odcinka AE jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 15 Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 5 jest równe:
Matura maj 2012 zadanie 16 Punkty A,B,C,D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego ACD jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 17 Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 20°. Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę:
Matura maj 2012 zadanie 18 Dany jest ciąg (an) określony wzorem an=(−1)n⋅2−nn2 dla n≥1. Wówczas wyraz a5 tego ciągu jest równy:
Matura maj 2012 zadanie 19 Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe 4. Objętość tego sześcianu jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 20 Tworząca stożka ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Wysokość tego stożka jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 21 Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x−6y+7=0.
Matura maj 2012 zadanie 22 Punkt A ma współrzędne (5,2012). Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi Ox, a punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi Oy. Punkt C ma współrzędne:
Matura maj 2012 zadanie 23 Na okręgu o równaniu (x−2)2+(y+7)2=4 leży punkt:
Matura maj 2012 zadanie 24 Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w 10 kolorach, jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 25 Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500zł. Za pięć z tych akcji zapłacono 2300zł. Cena szóstej jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 26 Rozwiąż nierówność: x2+8x+15>0.
Matura maj 2012 zadanie 27 Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają nierówności 0
Matura maj 2012 zadanie 28 Liczby x1=−4 i x2=3 są pierwiastkami wielomianu W(x)=x3+4×2−9x−36. Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Matura maj 2012 zadanie 29 Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A=(−2,2) i B=(2,10).
Matura maj 2012 zadanie 30 W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się w punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty.
Matura maj 2012 zadanie 31 Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 6.
Matura maj 2012 zadanie 32 Ciąg (9,x,19) jest arytmetyczny, a ciąg (x,42,y,z) jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.
Matura maj 2012 zadanie 33 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60°. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.
Matura maj 2012 zadanie 34 Miasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o 24km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.
Matura maj 2013 zadanie 1 Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |x+4|
Matura maj 2013 zadanie 2 Liczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. Stąd wynika, że a jest równe:
Matura maj 2013 zadanie 3 Liczba log100−log(2)8 jest równa
Matura maj 2013 zadanie 4 Rozwiązaniem układu równań 5x+3y=3 i 8x−6y=48 jest para liczb
Matura maj 2013 zadanie 5 Punkt A=(0,1) leży na wykresie funkcji liniowej f(x)=(m−2)x+m−3. Stąd wynika, że
Matura maj 2013 zadanie 6 Wierzchołkiem paraboli o równaniu y=−3(x−2)2+4 jest punkt o współrzędnych:
Matura maj 2013 zadanie 7 Dla każdej liczby rzeczywistej x, wyrażenie 4×2−12x+9 jest równe:
Matura maj 2013 zadanie 8 Prosta o równaniu y=(2/m)x+1 jest prostopadła do prostej o równaniu y==−3/2x−1 . Stąd wynika, że:
Matura maj 2013 zadanie 9 Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y=ax+b. Jakie znaki mają współczynniki a i b?
Matura maj 2013 zadanie 10 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x2≤2×3+14 jest
Matura maj 2013 zadanie 11 Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji y=f(x) określonej dla x∈⟨−7;4⟩. Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji:
Matura maj 2013 zadanie 12 Ciąg (27,18,x+5) jest geometryczny. Wtedy:
Matura maj 2013 zadanie 13 Ciąg (an) określony dla n≥1 jest arytmetyczny oraz a3=10 i a4=14. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
Matura maj 2013 zadanie 14 Kąt α jest ostry i sinα=√3/2. Wartość wyrażenia cos^2α−2 jest równa:
Matura maj 2013 zadanie 15 Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50° (tak jak na rysunku). Miara kąta α jest równa:
Matura maj 2013 zadanie 16 Liczba rzeczywistych rozwiązań równania (x+1)(x+2)(x2+3)=0 jest równa:
Matura maj 2013 zadanie 17 Punkty A=(−1,2) i B=(5,−2) są dwoma kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy:
Matura maj 2013 zadanie 18 Punkt S=(−4,7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q=(17,12). Zatem punkt P ma współrzędne
Matura maj 2013 zadanie 19 Odległość między środkami okręgów o równaniach (x+1)2+(y−2)2=9 oraz x2+y2=10 jest równa
Matura maj 2013 zadanie 20 Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest:
Matura maj 2013 zadanie 21 Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe:
Matura maj 2013 zadanie 22 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy:
Matura maj 2013 zadanie 23 Liczba (√50−√18)/√2 jest równa:
Matura maj 2013 zadanie 24 Mediana uporządkowanego, niemalejącego zestawu liczb: 1,2,3,x,5,8 jest równa 4. Wtedy:
Matura maj 2013 zadanie 25 Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 283–√. Długość podstawy tego graniastosłupa jest równa:
Matura maj 2013 zadanie 26 Rozwiąż równanie x3+2×2−8x−16=0.
Matura maj 2013 zadanie 27 Kąt α jest ostry i sinα=3√2. Oblicz wartość wyrażenia sin2α−3cos2α.
Matura maj 2013 zadanie 28 Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y,z takich, że x+y+z=0, prawdziwa jest nierówność xy+yz+zx≤0. Możesz skorzystać z tożsamości (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz.
Matura maj 2013 zadanie 29 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x∈⟨−7;8⟩. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji f b) zbiór rozwiązań nierówności f(x)
Matura maj 2013 zadanie 30 Rozwiąż nierówność 2×2−7x+5≥0.
Matura maj 2013 zadanie 31 Wykaż, że liczba 6100−2⋅699+10⋅698 jest podzielna przez 17.
Matura maj 2013 zadanie 32 Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.
Matura maj 2013 zadanie 33 Pole podstawy prawidłowego ostrosłupa czworokątnego jest równe 100cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura maj 2013 zadanie 34 Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę drogę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.
Matura czerwiec 2013 zadanie 1 Liczba ((3)√16⋅4^−2)^3 jest równa
Matura czerwiec 2013 zadanie 2 Dodatnia liczba x stanowi 70% liczby y. Wówczas
Matura czerwiec 2013 zadanie 3 Przedział ⟨−1,3⟩ jest opisany nierównością
Matura czerwiec 2013 zadanie 4 Wartość wyrażenia log(2)20−log(2)5 jest równa
Matura czerwiec 2013 zadanie 5 Liczba −3 jest miejscem zerowym funkcji f(x)=(2m−1)x+9. Wtedy
Matura czerwiec 2013 zadanie 6 Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin^2α+sin^2α⋅cos^2α+cos^4α jest
Matura czerwiec 2013 zadanie 7 Kąt α jest ostry i sinα=1/3. Wartość wyrażenia 1+tgα⋅cosα jest równa
Matura czerwiec 2013 zadanie 8 Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
Matura czerwiec 2013 zadanie 9 Przedziałem, w którym funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne, jest
Matura czerwiec 2013 zadanie 10 Funkcja g jest określona wzorem
Matura czerwiec 2013 zadanie 11 Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt α, zaznaczony na rysunku, ma miarę
Matura czerwiec 2013 zadanie 12 Iloczyn wielomianów 2x−3 oraz −4×2−6x−9 jest równy
Matura czerwiec 2013 zadanie 13 Prostokąt ABCD o przekątnej długości 213−−√ jest podobny do prostokąta o bokach długości 2 i 3. Obwód prostokąta ABCD jest równy
Matura czerwiec 2013 zadanie 14 Cosinus kąta ostrego rombu jest równy 3√2, bok rombu ma długość 3. Pole tego rombu jest równe:
Matura czerwiec 2013 zadanie 15 Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa
Matura czerwiec 2013 zadanie 16 Ciąg (an) określony jest wzorem an=−2+12n dla n≥1. Równość an=4 zachodzi dla
Matura czerwiec 2013 zadanie 17 Funkcja f(x)=3x(x2+5)(2−x)(x+1) ma dokładnie
Matura czerwiec 2013 zadanie 18 Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie
Matura czerwiec 2013 zadanie 19 Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości 1 oraz √3. Najmniejszy kąt w tym trójkącie ma miarę
Matura czerwiec 2013 zadanie 20 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) w którym różnica r=−2 oraz a20=17. Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
Matura czerwiec 2013 zadanie 21 W ciągu geometrycznym (an) pierwszy wyraz jest równy 98, a czwarty wyraz jest równy 13. Wówczas iloraz q tego ciągu jest równy
Matura czerwiec 2013 zadanie 22 Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na poniższym diagramie. Średnia ocen uzyskanych przez uczniów z tego sprawdzianu jest równa
Matura czerwiec 2013 zadanie 23 Objętość stożka o wysokości h i promieniu podstawy trzy razy mniejszym od wysokości jest równa:
Matura czerwiec 2013 zadanie 24 Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe
Matura czerwiec 2013 zadanie 25 Dana jest prosta l o równaniu y=−2/5x. Prosta k równoległa do prostej l i przecinająca oś Oy w punkcie o współrzędnych (0,3) ma równanie
Matura czerwiec 2013 zadanie 26 Liczba log4+log5−log2 jest równa:
Matura czerwiec 2013 zadanie 27 Rozwiąż równanie 3×3−4×2−3x+4=0
Matura czerwiec 2013 zadanie 28 Kąt α jest ostry i cosα=√7/4. Oblicz wartość wyrażenia
Matura czerwiec 2013 zadanie 29 Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek.
Matura czerwiec 2013 zadanie 30 Wykaż, że liczba (1+20132)(1+20134) jest dzielnikiem liczby: 1+2013+20132+20133+20134+20135+20136+20137
Matura czerwiec 2013 zadanie 31 Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an=7⋅3n+1, dla n≥1. Oblicz iloraz q tego ciągu
Matura czerwiec 2013 zadanie 32 Podstawą graniastosłupa ABCDEFGH jest prostokąt ABCD (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość 3. Przekątna prostokąta ABCD tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 30°. Przekątna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60°. Oblicz objętość tego graniastosłupa
Matura czerwiec 2013 zadanie 33 Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy ze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby i wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się o 5 złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?
Matura czerwiec 2013 zadanie 34 Wierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne: A=(−1,−5),B=(5,1),C=(1,3),D=(−2,0). Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona AD oraz BC trapezu ABCD
Matura Czerwiec 2014 zadanie 1 Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x?
Matura Czerwiec 2014 zadanie 2 Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek 12:8:3:2. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora?
Matura Czerwiec 2014 zadanie 3 Dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b wyrażenie ab+a−b−1 jest równe:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 4 Na prostej o równaniu y=ax+b leżą punkty K=(1,0) i L=(0,1). Wynika stąd, że:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 5 Dane są liczby: a=log(3)1/9, b=log(3)3, c=log(3)1/27. Który z poniższych warunków jest prawdziwy?
Matura Czerwiec 2014 zadanie 6 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=3x−4 dla każdej liczby z przedziału ⟨−2,2⟩. Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 7 Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x)=3×2+7x+c jest liczba −7/3. Wówczas c jest równe:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 8 Liczba (3^27+3^26)/(3^26+3^25) jest równa:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 9 Dane są wielomiany: W(x)=2×2−1, P(x)=x3+x i Q(x)=(1−x)(x+1). Stopień wielomianu W(x)⋅P(x)⋅Q(x) jest równy
Matura Czerwiec 2014 zadanie 10 Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu y=(x+2)(x−4) jest równa
Matura Czerwiec 2014 zadanie 11 W ciągu geometrycznym (an), określonym dla n≥1, wyraz a1=5, natomiast iloraz q=−2. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 12 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a2=11 i a4=7. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
Matura Czerwiec 2014 zadanie 13 Miara kąta α spełnia warunek: 0°
Matura Czerwiec 2014 zadanie 14 W trapezie KLMN, w którym KL||MN, kąt LKN jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: |MN|=3, |KN|=43–√, |∢KLM|=60°. Pole tego trapezu jest równe:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 15 Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej 40 studentów, jest równa 30. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie 1800 punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 16 W sześcianie EFGHIJKL poprowadzono z wierzchołka F dwie przekątne sąsiednich ścian, FI oraz FK (zobacz rysunek). Miara kąta IFK jest równa:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 17 Punkt O jest środkiem okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta LKM jest równa:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 18 Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 12 i 9, opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 19 Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {1,2,3,4,…,30} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 20 W trójkącie EFG bok EF ma długość 21. Prosta równoległa do boku EF przecina boki EG i FG trójkąta odpowiednio w punktach H oraz I (zobacz rysunek) w taki sposób, że |HI|=7 i |GI|=3. Wtedy długość odcinka FI jest równa:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 21 Na planie miasta, narysowanym w skali 1:20000, park jest prostokątem o bokach 2cm i 5cm. Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię
Matura Czerwiec 2014 zadanie 22 Proste o równaniach: y=mx−5 oraz y=(1−2m)x+7 są równoległe, gdy:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 23 Punkty M=(2,0) i N=(0,−2) są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg?
Matura Czerwiec 2014 zadanie 24 Objętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa 96π. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 25 Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 432, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 12. Wysokość tego ostrosłupa jest równa:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 26 Rozwiąż nierówność (2x−3)(3−x)≥0.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 27 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność (a+b2)2≤a2+b22.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 28 Kąt α jest ostry oraz cosα=√3/3. Oblicz wartość wyrażenia sinαcosα+cosα1+sinα.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 29 Liczby 6,2x+4,x+26 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę r tego ciągu.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 30 Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych: K={−4,−1,1,5,6} i L={−3,−2,2,3,4}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 31 Dany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD|=|DE|. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 32 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długość 4√2. Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 33 Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11km/h większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 34 Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie A=(2,1) i B=(5,2). Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x−y−3=0. Oblicz współrzędne wierzchołka C.
Matura maj 2017 zadanie 13 Dany jest trójwyrazowy ciąg geometryczny (24,6,a−1). Stąd wynika, że:
Matura maj 2017 zadanie 14 Jeżeli m=sin50°, to:
Matura maj 2017 zadanie 15 Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę:
Matura maj 2017 zadanie 16 W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest równoległy do boku AC, a ponadto |BD|=10, |BC|=12 i |AC|=24 (zobacz rysunek). Długość odcinka DE jest równa:
Matura maj 2017 zadanie 17 Obwód trójkąta przedstawionego na rysunku jest równy:
Matura maj 2017 zadanie 18 Na rysunku przedstawiona jest prosta k o równaniu y=ax, przechodząca przez punkt A=(2,−3) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia tej prostej od osi Ox. Zatem:
Matura maj 2017 zadanie 19 Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym w punkcie A=(−2,4). Prosta k jest określona równaniem y=−1/4x+7/2. Zatem prostą l opisuje równanie:
Matura maj 2017 zadanie 20 Dany jest okrąg o środku S=(2,3) i promieniu r=5. Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
Matura maj 2017 zadanie 21 Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa:
Matura maj 2017 zadanie 22 Promień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz rysunek) jest równy:
Matura maj 2017 zadanie 23 Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa:
Matura maj 2017 zadanie 24 Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: 3,5,7,9,x,15,17,19 jest równa 11. Wtedy:
Matura maj 2017 zadanie 25 Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem 24. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:
Matura maj 2017 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 8×2−72x≤0.
Matura maj 2017 zadanie 27 Wykaż, że liczba 4^2017+4^2018+4^2019+4^2020 jest podzielna przez 17.
Matura maj 2017 zadanie 28 Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C. Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz |∢APC|=α i |∢ABC|=β (zobacz rysunek). Wykaż, że α=180°−2β.
Matura maj 2017 zadanie 29 Funkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem f(x)=ax2+bx+c. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz f(−6)=f(0)=32. Oblicz wartość współczynnika a.
Matura maj 2017 zadanie 30 Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.
Matura maj 2017 zadanie 31 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są: wyraz a1=8 i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu S3=33. Oblicz różnicę: a16−a13.
Matura maj 2017 zadanie 32 Dane są punkty A=(−4,0) i M=(2,9) oraz prosta k o równaniu y=−2x+10. Wierzchołek B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek C jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM. Oblicz pole trójkąta ABC.
Matura maj 2017 zadanie 33 Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Matura maj 2017 zadanie 34 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 5√3/4, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 15√3/4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura czerwiec 2016 zadanie 1 Liczba 7^6⋅6^7/42^6 jest równa
Matura czerwiec 2016 zadanie 2 Cenę pewnego towaru podwyższono o 20%, a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o 30%. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką:
Matura czerwiec 2016 zadanie 3 Liczba (3)√3√3 jest równa
Matura czerwiec 2016 zadanie 4 Różnica 50001^2−49999^2 jest równa
Matura czerwiec 2016 zadanie 5 Najmniejsza wartość wyrażenia (x−y)(x+y) dla x,y∈{2,3,4} jest równa:
Matura czerwiec 2016 zadanie 6 Wartość wyrażenia log3(3/2)+log3(2/9) jest równa
Matura czerwiec 2016 zadanie 7 Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania (x−8)(x2−4)(x2+16)=0, wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa:
Matura czerwiec 2016 zadanie 8 Rozwiązaniem równania x−7/x=5, gdzie x≠0, jest liczba należąca do przedziału:
Matura czerwiec 2016 zadanie 9 Funkcja f określona jest wzorem f(x)=2×3/x4+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy liczba f(−√2) jest równa:
Matura czerwiec 2016 zadanie 10 Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=−2(x+5)(x−11). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca:
Matura czerwiec 2016 zadanie 11 Ciąg (an) jest określony wzorem an=6(n−16) dla n≥1. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
Matura czerwiec 2016 zadanie 12 Dany jest ciąg geometryczny (an), w którym a1=72 i a4=9. Iloraz q tego ciągu jest równy:
Matura czerwiec 2016 zadanie 13 Dany jest trapez ABCD, w którym przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC, |AD|=|DC| oraz |∢ABC|=50° (zobacz rysunek). Stąd wynika, że:
Matura czerwiec 2016 zadanie 14 Punkty A,B,C i D leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów α i β są odpowiednio równe:
Matura czerwiec 2016 zadanie 15 Słoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?
Matura czerwiec 2016 zadanie 16 Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość 20. Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę 150°. Pole tego trójkąta jest równe:
Matura czerwiec 2016 zadanie 17 Prosta określona wzorem y=ax+1 jest symetralną odcinka AB, gdzie A=(−3,2) i B=(1,4). Wynika stąd, że:
Matura czerwiec 2016 zadanie 18 Układ równań y=−ax+2a oraz y=(b/3)x−2 nie ma rozwiązań dla
Matura czerwiec 2016 zadanie 19 Do pewnej liczby a dodano 54. Otrzymaną sumę podzielono przez 2. W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większa od liczby a. Zatem:
Matura czerwiec 2016 zadanie 20 Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta ASC jest równa:
Matura czerwiec 2016 zadanie 21 Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy:
Matura czerwiec 2016 zadanie 22 Średnia arytmetyczna czterech liczb: x−1, 3x, 5x+1 i 7x jest równa 72. Wynika stąd, że:
Matura czerwiec 2016 zadanie 23 Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe k i l o równaniach y=ax+b oraz y=mx+n. Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi. Zatem:
Matura czerwiec 2016 zadanie 24 Dane są dwie sumy algebraiczne 3×3−2x oraz −3×2−2. Iloczyn tych sum jest równy:
Matura czerwiec 2016 zadanie 25 Punkty D i E są środkami przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC. Punkty F i G leżą na przeciwprostokątnej AB tak, że odcinki DF i EG są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta BGE jest równe 1, a pole trójkąta AFD jest równe 4. Zatem pole trójkąta ABC jest równe:
Matura czerwiec 2016 zadanie 26 Rozwiąż równanie (2x+1)/2x=(2x+1)/(x+1), gdzie x≠−1 i x≠0.
Matura czerwiec 2016 zadanie 27 Dane są proste o równaniach y=x+2 oraz y=−3x+b, które przecinają się w punkcie leżącym na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Ox.
Matura czerwiec 2016 zadanie 28 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x4+y4+x2+y2≥2(x3+y3).
Matura czerwiec 2016 zadanie 29 Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, ze w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.
Matura czerwiec 2016 zadanie 30 W trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=15 i |AC|=12 oraz cosα=45, gdzie α=∢BAC. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że |BD|=2|AD| i |AE|=2|CE| (zobacz rysunek). Oblicz pole:
Matura czerwiec 2016 zadanie 31 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, w którym a1+a2+a3+a4=2016 oraz a5+a6+a7+…+a12=2016. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (an).
Matura czerwiec 2016 zadanie 32 Dany jest stożek o objętości 8π, w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Matura czerwiec 2016 zadanie 33 Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10% większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek
Matura sierpień 2017 zadanie 1 Niech a=−2, b=3. Wartość wyrażenia ab−ba jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 2 Liczba 9^9⋅81^2 jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 3 Wartość wyrażenia log48+5log42 jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 4 Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła:
Matura sierpień 2017 zadanie 5 Liczba (2√7−5)^2⋅(2√7+5)^2 jest równa
Matura sierpień 2017 zadanie 6 Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb x spełniających warunek: 11≤2x−7≤15.
Matura sierpień 2017 zadanie 7 Rozważmy treść następującego zadania "Obwód prostokąta o bokach długości a i b jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta." Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?
Matura sierpień 2017 zadanie 8 Rozwiązaniem równania x+1/x+2=3, gdzie x≠−2, jest liczba należąca do przedziału:
Matura sierpień 2017 zadanie 9 Linę o długości 100 metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku 3:4:5. Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość:
Matura sierpień 2017 zadanie 10 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=x2+bx+c. Współczynniki b i c spełniają warunki:
Matura sierpień 2017 zadanie 11 Dany jest ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, o którym wiemy, że: a1=2 i a2=9. Wtedy an=79 dla:
Matura sierpień 2017 zadanie 12 Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: (81,3x,4). Stąd wynika, że:
Matura sierpień 2017 zadanie 13 Kąt α jest ostry i spełniona jest równość sinα=2√6/7. Stąd wynika, że:
Matura sierpień 2017 zadanie 14 Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B i C (zobacz rysunek). Kąt ABC ma miarę 121°, a kąt BOC ma miarę 40°. Kąt AOB ma miarę:
Matura sierpień 2017 zadanie 15 W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AC. Odcinek DE jest równoległy do boku AB, a ponadto |AE|=|DE|=4, |AB|=6 (zobacz rysunek). Odcinek CE ma długość:
Matura sierpień 2017 zadanie 16 Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe 6√3. Bok tego trójkąta ma długość:
Matura sierpień 2017 zadanie 17 Punkty B=(−2,4) i C=(5,1) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe:
Matura sierpień 2017 zadanie 18 Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. Kąt nachylenia krawędzi bocznej SA ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD to:
Matura sierpień 2017 zadanie 19 Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 20 Prosta k przechodzi przez punkt A=(4,−4) i jest prostopadła do osi Ox. Prosta k ma równanie:
Matura sierpień 2017 zadanie 21 Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem 30° i przecina oś Oy w punkcie (0,−√3) (zobacz rysunek). Prosta l ma równanie:
Matura sierpień 2017 zadanie 22 Dany jest stożek o wysokości 6 i tworzącej 3√5. Objętość tego stożka jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 23 Średnia arytmetyczna zestawu danych: x,2,4,6,8,10,12,14 jest równa 9. Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 24 Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017?
Matura sierpień 2017 zadanie 25 Z pudełka, w którym jest tylko 6 kul białych i n kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 1/3. Liczba kul czarnych jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2×2+x−6≤0.
Matura sierpień 2017 zadanie 27 Rozwiąż równanie (x2−6)(3x+2)=0.
Matura sierpień 2017 zadanie 28 Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 4x+1/x≥4.
Matura sierpień 2017 zadanie 29 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∢ACB|=90° i |∢ABC|=60°. Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego i przeciwprostokątnej AB tego trójkąta. Wykaż, że |AD|:|DB|=3:1.
Matura sierpień 2017 zadanie 30 Ze zbioru liczb {1,2,4,5,10} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.
Matura sierpień 2017 zadanie 31 Dany jest ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, w którym spełniona jest równość a21+a24+a27+a30=100. Oblicz sumę a25+a26.
Matura sierpień 2017 zadanie 32 Funkcja kwadratowa f(x)=ax2+bx+c ma dwa miejsca zerowe x1=−2 i x2=6. Wykres funkcji f przechodzi przez punkt A=(1,−5). Oblicz najmniejszą wartość funkcji f.
Matura sierpień 2017 zadanie 33 Punkt C=(0,0) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołek A leży na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczona z wierzchołka C przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D=(3,4). Oblicz współrzędne wierzchołków A i B tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej AB.
Matura sierpień 2017 zadanie 34 Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∢ACB|=90° (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta do długości przyprostokątnej BC jest równy 4:3. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, a długość odcinka SC jest równa 5. Pole ściany bocznej BEFC graniastosłupa jest równe 48. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura maj 2016 zadanie 1 Dla każdej dodatniej liczby a iloraz a−2,6a1,3 jest równy:
Matura maj 2016 zadanie 2 Liczba log√2(2√2) jest równa
Matura maj 2016 zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że:
Matura maj 2016 zadanie 4 Równość (2√2−a)^2=17−12√2 jest prawdziwa dla
Matura maj 2016 zadanie 5 Jedną z liczb, które spełniają nierówność −x5+x3−x
Matura maj 2016 zadanie 6 Proste o równaniach 2x−3y=4 i 5x−6y=7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że:
Matura maj 2016 zadanie 7 Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa:
Matura maj 2016 zadanie 8 Dana jest funkcja liniowa f(x)=3/4x+6. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:
Matura maj 2016 zadanie 9 Równanie wymierne 3x−1/x+5=3, gdzie x≠−5:
Matura maj 2016 zadanie 10 Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(1,9). Liczby −2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:
Matura maj 2016 zadanie 11 Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(1,9). Liczby −2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale ⟨−1,2⟩ jest równa:
Matura maj 2016 zadanie 12 Funkcja f określona jest wzorem f(x)=2×3/x6+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy f(−3–√3) jest równa:
Matura maj 2016 zadanie 13 W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału:
Matura maj 2016 zadanie 14 Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa −3/2. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy:
Matura maj 2016 zadanie 15 Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
Matura maj 2016 zadanie 16 Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość:
Matura maj 2016 zadanie 17 Kąt α jest ostry i tgα=2/3. Wtedy:
Matura maj 2016 zadanie 18 Z odcinków o długościach: 5,2a+1,a−1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że:
Matura maj 2016 zadanie 19 Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe:
Matura maj 2016 zadanie 20 Proste opisane równaniami y=2/m−1x+m−2 oraz y=mx+1/m+1 są prostopadłe, gdy:
Matura maj 2016 zadanie 21 W układzie współrzędnych dane są punkty A=(a,6) oraz B=(7,b). Środkiem odcinka AB jest punkt M=(3,4). Wynika stąd, że:
Matura maj 2016 zadanie 22 Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy:
Matura maj 2016 zadanie 23 Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa:
Matura maj 2016 zadanie 24 Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze:
Matura maj 2016 zadanie 25 Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31,16,25,29,27,x jest równa x/2. Mediana tych liczb jest równa:
Matura maj 2016 zadanie 26 W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.
Matura maj 2016 zadanie 27 Rozwiąż nierówność 2×2−4x>3×2−6x
Matura maj 2016 zadanie 28 Rozwiąż równanie (4−x)(x2+2x−15)=0
Matura maj 2016 zadanie 29 Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∢DEC|=|∢BGF|=90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.
Matura maj 2016 zadanie 30 Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2+2n dla n≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Matura maj 2016 zadanie 31 Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R=logAA0, gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A0=10−4 jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100cm.
Matura maj 2016 zadanie 32 Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.
Matura maj 2016 zadanie 33 Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Matura maj 2016 zadanie 34 Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Matura sierpień 2014 zadanie 1 Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.
Matura sierpień 2014 zadanie 2 Liczba 1/2⋅2^2014 jest równa:
Matura sierpień 2014 zadanie 3 Liczba c=log32. Wtedy:
Matura sierpień 2014 zadanie 4 Liczba (√5−√3)^2+2√15 jest równa
Matura sierpień 2014 zadanie 5 Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka. 10% tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii?
Matura sierpień 2014 zadanie 6 Rozwiązaniem równania (x−5)/(7−x)=1/3 jest liczba:
Matura sierpień 2014 zadanie 7 Jeśli a=b/(c−b), to:
Matura sierpień 2014 zadanie 8 Dziedziną funkcji f jest przedział:
Matura sierpień 2014 zadanie 9 Największą wartością funkcji f jest:
Matura sierpień 2014 zadanie 10 Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem f(x)=(x−2)(x+4).
Matura sierpień 2014 zadanie 11 Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział (−∞,−3⟩, może być określona wzorem:
Matura sierpień 2014 zadanie 12 Funkcja liniowa f(x)=ax+b jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że:
Matura sierpień 2014 zadanie 13 Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest równa 35. Pierwszy wyraz a1 tego ciągu jest równy 3. Wtedy:
Matura sierpień 2014 zadanie 14 Ciąg geometryczny (an) określony jest wzorem an=−3^n/4 dla n≥1. Iloraz tego ciągu jest równy:
Matura sierpień 2014 zadanie 15 Kąt α jest ostry i spełniona jest równość 3tgα=2. Wtedy wartość wyrażenia sinα+cosα jest równa:
Matura sierpień 2014 zadanie 16 Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 8. Wysokość tego trójkąta jest równa:
Matura sierpień 2014 zadanie 17 Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy AOB ma miarę:
Matura sierpień 2014 zadanie 18 Odcinki BC i DE są równoległe i |AE|=4, |DE|=3 (zobacz rysunek). Punkt D jest środkiem odcinka AB. Długość odcinka BC jest równa:
Matura sierpień 2014 zadanie 19 Dane są równania czterech prostych: k:y=12x+5l:y=2x+5m:y=−2x+3n:y=2x+5 Prostopadłe są proste:
Matura sierpień 2014 zadanie 20 Punkt P=(−1,0) leży na okręgu o promieniu 3. Równanie tego okręgu może mieć postać:
Matura sierpień 2014 zadanie 21 Punkty A=(13,−12) i C=(15,8) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie:
Matura sierpień 2014 zadanie 22 Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości 4, jest równe:
Matura sierpień 2014 zadanie 23 Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa 81√3. Objętość graniastosłupa jest równa:
Matura sierpień 2014 zadanie 24 Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe:
Matura sierpień 2014 zadanie 25 Średnia arytmetyczna liczb: x,13,7,5,5,3,2,11 jest równa 7. Mediana tego zestawu liczb jest równa:
Matura sierpień 2014 zadanie 26 Rozwiąż nierówność −x2−5x+14
Matura sierpień 2014 zadanie 27 Rozwiąż równanie x3−6×2−11x+66=0.
Matura sierpień 2014 zadanie 28 Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24.
Matura sierpień 2014 zadanie 29 Kąt α jest ostry oraz 4/sin2α+4/cos2α=25. Oblicz wartość wyrażenia sinα⋅cosα.
Matura sierpień 2014 zadanie 30 Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC|>|BC|. Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i E, że zachodzi równość |CD|=|CE|. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |∢BAC|=|∢ABC|−2⋅|∢AFD|.
Matura sierpień 2014 zadanie 31 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony dla n≥1, w którym a5=22 oraz a10=47. Oblicz pierwszy wyraz a1 i różnicę r tego ciągu.
Matura sierpień 2014 zadanie 32 Miasta A i B są oddalone o 450km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o 75 minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o 18km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości: – prędkości, z jaką pani Danuta jechała z A do B – prędkości, z jaką pani Lidia jechała z A do B
Matura sierpień 2014 zadanie 33 Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa 22, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy 4√6/5. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura sierpień 2014 zadanie 34 Zbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: 1,2,3,4,5. Ze zbioru M losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 20, w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.
Matura maj 2014 zadanie 1 Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ.
Matura maj 2014 zadanie 2 Jeżeli liczba 78 jest o 50% większa od liczby c, to:
Matura maj 2014 zadanie 3 Wartość wyrażenia 2/(√3−1)−2/(√3+1) jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 4 Suma log(8)16+1 jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 5 Wspólnym pierwiastkiem równań (x^2−1)(x−10)(x−5)=0 oraz 2x−10x−1=0 jest
Matura maj 2014 zadanie 6 Funkcja liniowa f(x)=(m2−4)x+2 jest malejąca, gdy:
Matura maj 2014 zadanie 7 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Funkcja f jest określona wzorem:
Matura maj 2014 zadanie 8 Punkt C=(0,2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y=2x−4. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD.
Matura maj 2014 zadanie 9 Dla każdej liczby x, spełniającej warunek −3
Matura maj 2014 zadanie 10 Pierwiastki x1, x2 równania 2(x+2)(x−2)=0 spełniają warunek:
Matura maj 2014 zadanie 11 Liczby 2,−1,−4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:
Matura maj 2014 zadanie 12 Jeżeli trójkąty ABC i A′B′C′ są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25cm2 i 50cm2, to skala podobieństwa A′B′AB jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 13 Liczby: x−2,6,12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 14 Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tgα=2/5, to wartość wyrażenia 3cosα−2sinαsinα−5cosα jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 15 Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y−3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 16 Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60° i ramieniu długości 23–√ jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 17 Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4/9 długości okręgu, ma miarę:
Matura maj 2014 zadanie 18 O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(−2,3). Wzór funkcji f to:
Matura maj 2014 zadanie 19 Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 20 Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:
Matura maj 2014 zadanie 21 Liczba (1(729√3+256√4+2)0)−2 jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 22 Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem y=−2x−2, należy punkt:
Matura maj 2014 zadanie 23 Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A′ zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość P(A)=2⋅P(A′), to:
Matura maj 2014 zadanie 24 Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?
Matura maj 2014 zadanie 25 Mediana zestawu danych 2,12,a,10,5,3 jest równa 7. Wówczas:
Matura maj 2014 zadanie 26 Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=2×2+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartości współczynników b i c.
Matura maj 2014 zadanie 27 Rozwiąż równanie 9×3+18×2−4x−8=0.
Matura maj 2014 zadanie 28 Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k2 przez 7 jest równa 5.
Matura maj 2014 zadanie 29 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=1x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.
Matura maj 2014 zadanie 30 Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6
Matura maj 2014 zadanie 31 Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.
Matura maj 2014 zadanie 32 Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Matura maj 2014 zadanie 33 Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Matura maj 2014 zadanie 34 Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek) jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
Matura czerwiec 2015 zadanie 1 Liczba 2√18−√32 jest równa
Matura czerwiec 2015 zadanie 2 Wartość wyrażenia (5√-32⋅2^−1)/4⋅2^2 jest równa:
Matura czerwiec 2015 zadanie 3 Przy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45018zł. Jaka jest cena netto tego samochodu?
Matura czerwiec 2015 zadanie 4 Wyrażenie 3a2−12ab+12b2 może być przekształcone do postaci:
Matura czerwiec 2015 zadanie 5 Para liczb x=2 i y=1 jest rozwiązaniem układu równań x+ay=5 i 2x−y=3, gdy:
Matura czerwiec 2015 zadanie 6 Równanie 2×2+11x+3=0:
Matura czerwiec 2015 zadanie 7 Wartość wyrażenia sin120°−cos30° jest równa:
Matura czerwiec 2015 zadanie 8 Wyrażenie 3sin3αcosα+3sinαcos3α może być przekształcone do postaci:
Matura czerwiec 2015 zadanie 9 Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y=ax+b przechodzącej przez punkty (0,−2) i (6,2). Wtedy:
Matura czerwiec 2015 zadanie 10 Prosta k przecina oś Oy układu współrzędnych w punkcie (0,6) i jest równoległa do prostej o równaniu y=−3x. Wówczas prosta k przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie:
Matura czerwiec 2015 zadanie 11 Liczba niewymiernych rozwiązań równania x2(x+5)(2x−3)(x2−7)=0 jest równa:
Matura czerwiec 2015 zadanie 12 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Funkcja f jest rosnąca w przedziale:
Matura czerwiec 2015 zadanie 13 Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an=2n dla n≥1. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
Matura czerwiec 2015 zadanie 14 Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa:
Matura czerwiec 2015 zadanie 15 Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku 3:4:5. Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę:
Matura czerwiec 2015 zadanie 16 W trójkącie ABC, w którym |AC|=|BC|, na boku AB wybrano punkt D taki, że |BD|=|CD| oraz |∢ACD|=21° (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt BCD ma miarę:
Matura czerwiec 2015 zadanie 17 Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma 7cm, a drugi ma 2cm. Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość:
Matura czerwiec 2015 zadanie 18 Boki trójkąta mają długości 20 i 12, a kąt między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego trójkąta jest równe:
Matura czerwiec 2015 zadanie 19 Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6 (zobacz rysunek). Kąt α rozwarcia tego stożka jest równy:
Matura czerwiec 2015 zadanie 20 Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie:
Matura czerwiec 2015 zadanie 21 W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę:
Matura czerwiec 2015 zadanie 22 Liczba 0,3 jest jednym z przybliżeń liczby 5/16.
Matura czerwiec 2015 zadanie 23 Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,x jest równa n, natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,x,2x jest równa 2n. Wynika stąd, że:
Matura czerwiec 2015 zadanie 24 Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9?
Matura czerwiec 2015 zadanie 25 Na loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano:
Matura czerwiec 2015 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 3×2−9x≤x−3.
Matura czerwiec 2015 zadanie 27 Rozwiąż równanie x(x2−2x+3)=0
Matura czerwiec 2015 zadanie 28 Czworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że |AD|2+|BD|2=|BC|2+|AC|2.
Matura czerwiec 2015 zadanie 29 Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność 3×2+5y2−4xy≥0.
Matura czerwiec 2015 zadanie 30 Funkcja kwadratowa f, dla x=−3 przyjmuje wartość największą równą 4. Do wykresu funkcji f należy punkt A=(−1,3). Zapisz wzór funkcji kwadratowej f.
Matura czerwiec 2015 zadanie 31 Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez 12.
Matura czerwiec 2015 zadanie 32 Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an), dla n≥1 taki, że a5=18. Wyrazy a1, a3 oraz a13 tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (an).
Matura czerwiec 2015 zadanie 33 Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Ponadto wiadomo, że A=(−2,4) i B=(6,−2). Wierzchołek C należy do osi Oy. Oblicz współrzędne wierzchołka C.
Matura czerwiec 2015 zadanie 34 Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 273–√. Długość krawędzi AB podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Matura sierpień 2016 zadanie 1 Suma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa 195. Najmniejszą z tych liczb jest:
Matura sierpień 2016 zadanie 2 Buty, które kosztowały 220 złotych, przeceniono i sprzedano za 176 złotych. O ile procent obniżono cenę butów?
Matura sierpień 2016 zadanie 3 Liczba 4^5⋅5^4/20^4 jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 4 Liczba log(3)729/log(6)36 jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 5 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x/5+√7>0 jest:
Matura sierpień 2016 zadanie 6 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=(x−1)(x−9). Wynika stąd, że funkcja f jest rosnąca w przedziale:
Matura sierpień 2016 zadanie 7 Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f, przy czym f(0)=−2 i f(1)=0. Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem początku układu współrzędnych. Funkcja g jest określona wzorem:
Matura sierpień 2016 zadanie 8 Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy −216. Iloraz tego ciągu jest równy:
Matura sierpień 2016 zadanie 9 Kąt α jest ostry i sinα=4/5. Wtedy wartość wyrażenia sinα−cosα jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 10 Jeśli funkcja kwadratowa f(x)=x2+2x+3a nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba a spełnia warunek:
Matura sierpień 2016 zadanie 11 Dla każdej liczby całkowitej dodatniej n suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn=2n2+n. Wtedy wyraz a2 jest równy:
Matura sierpień 2016 zadanie 12 Układ równań 2x−3y=5 i −4x+6y=−10
Matura sierpień 2016 zadanie 13 Liczba |3−9|/−3 jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 14 Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych (m−1;2m+5), gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą?
Matura sierpień 2016 zadanie 15 Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 6. Promień podstawy stożka jest równy:
Matura sierpień 2016 zadanie 16 Wartość wyrażenia (tg60°+tg45°)2−sin60° jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 17 Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy r, a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 18 Przekątne równoległoboku mają długości 4 i 8, a kąt między tymi przekątnymi ma miarę 30°. Pole tego równoległoboku jest równe:
Matura sierpień 2016 zadanie 19 Punkty A,B,C i D leżą na okręgu o środku S. Cięciwa CD przecina średnicę AB tego okręgu w punkcie E tak, że |∢BEC|=100°. Kąt środkowy ASC ma miarę 110° (zobacz rysunek). Kąt wpisany BAD ma miarę:
Matura sierpień 2016 zadanie 20 Okręgi o środkach S1=(3,4) oraz S2=(9,−4) i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy:
Matura sierpień 2016 zadanie 21 Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2, a przekątna ściany bocznej ma długość 3 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę α. Wtedy wartość sinα/2 jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 22 Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa 11. Podstawą tego ostrosłupa jest:
Matura sierpień 2016 zadanie 23 Jeżeli do zestawu czterech danych: 4,7,8,x dołączymy liczbę 2, to średnia arytmetyczna wzrośnie o 2. Zatem:
Matura sierpień 2016 zadanie 24 Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3?
Matura sierpień 2016 zadanie 25 Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe:
Matura sierpień 2016 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 3×2−6x≥(x−2)(x−8).
Matura sierpień 2016 zadanie 27 Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy 32, a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę 2. Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy 6, to otrzymamy liczbę 8/17. Wyznacz ten ułamek.
Matura sierpień 2016 zadanie 28 Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają warunek abc=1, to a−1+b−1+c−1=ab+ac+bc.
Matura sierpień 2016 zadanie 29 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=x2−11x. Oblicz najmniejszą wartość funkcji f w przedziale ⟨−6,6⟩.
Matura sierpień 2016 zadanie 30 W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC oraz BD przecinają się w punkcie S. Wykaż, że jeżeli |AS|=5/6|AC|, to pole trójkąta ABS jest 25 razy większe od pola trójkąta DCS.
Matura sierpień 2016 zadanie 31 Ciąg arytmetyczny (an) określony jest wzorem an=2016−3n, dla n≥1. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.
Matura sierpień 2016 zadanie 32 Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC: A=(−3;−3) i C=(2;7) oraz prosta o równaniu y=3/4x−3/4, zawierająca przeciwprostokątną AB tego trójkąta. Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta i długość odcinka AB.
Matura sierpień 2016 zadanie 33 Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS, w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°, a krawędź boczna ma długość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura sierpień 2016 zadanie 34 Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba 5.
Matura czerwiec 2019 zadanie 1 Rozwiązaniem równania (x2−2x−3)⋅(x2−9)/x−1=0 nie jest liczba:
Matura czerwiec 2019 zadanie 2 Liczba log327log3√27 jest równa:
Matura czerwiec 2019 zadanie 3 Jedną z liczb spełniających nierówność (x−6)⋅(x−2)2⋅(x+4)⋅(x+10)>0 jest:
Matura czerwiec 2019 zadanie 4 Liczba dodatnia a jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o 50%, a jego mianownik zwiększymy o 50%, to otrzymamy liczbę b taką, że:
Matura czerwiec 2019 zadanie 5 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(a+1)x+11, gdzie a to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe x=3/4. Stąd wynika, że:
Matura czerwiec 2019 zadanie 6 Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)=(m√5−1)x+3. Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby m spełniającej warunek:
Matura czerwiec 2019 zadanie 7 Układ równań {x−y=2 i x+my=1 ma nieskończenie wiele rozwiązań dla:
Matura czerwiec 2019 zadanie 8 Rysunek przedstawia wykres funkcji f zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty b=(2,−1) i C=(4,−1) należą do wykresu funkcji. Równanie f(x)=−1 ma:
Matura czerwiec 2019 zadanie 9 Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (an), określony dla liczb naturalnych n≥1, o wyrazach dodatnich. Jeśli a2+a9=a4+ak, to k jest równe:
Matura czerwiec 2019 zadanie 10 W ciągu (an) na określonym dla każdej liczby n≥1 jest spełniony warunek an+3=−2⋅3n+1. Wtedy:
Matura czerwiec 2019 zadanie 11 Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (3x−2)2−(2x−3)(2x+3) jest po uproszczeniu równe:
Matura czerwiec 2019 zadanie 12 Kąt α∈(0°,180°) oraz wiadomo, że sinα⋅cosα=−3/8. Wartość wyrażenia (cosα−sinα)2+2 jest równa:
Matura czerwiec 2019 zadanie 13 Wartość wyrażenia 2sin218°+sin272°+cos218° jest równa:
Matura czerwiec 2019 zadanie 14 Punkty B, C i D leżą na okręgu o środku S i promieniu r. Punkt A jest punktem wspólnym prostych BC i SD, a odcinki i są równej długości. Miara kąta BCS jest równa 34° (zobacz rysunek). Wtedy:
Matura czerwiec 2019 zadanie 15 Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A=(0,0), B=(4,2), C=(2,6) jest równe:
Matura czerwiec 2019 zadanie 16 Na okręgu o środku w punkcie O wybrano trzy punkty A, B, C tak, że |∢AOB|=70°, |∢OAC|=25°. Cięciwa AC przecina promień OB (zobacz rysunek). Wtedy miara ∢OBC jest równa:
Matura czerwiec 2019 zadanie 17 W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek AB o końcach w punktach A=(7,4), B=(11,12). Punkt S leży wewnątrz odcinka AB oraz |AS|=3⋅|BS|. Wówczas:
Matura czerwiec 2019 zadanie 18 Suma odległości punktu A=(−4,2) od prostych o równaniach x=4 i y=−4 jest równa:
Matura czerwiec 2019 zadanie 19 Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
Matura czerwiec 2019 zadanie 20 Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę 44°. Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka A przecina bok BC tego trójkąta w punkcie D. Kąt ADC ma miarę:
Matura czerwiec 2019 zadanie 21 Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest:
Matura czerwiec 2019 zadanie 22 Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Krawędź boczna DS jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek). Pole ściany BCS tego ostrosłupa jest równe:
Matura czerwiec 2019 zadanie 23 Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Tangens kąta, jaki odcinek PH tworzy z płaszczyzną ABCD, jest równy:
Matura czerwiec 2019 zadanie 24 Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 12. Objętość tego walca jest zatem równa:
Matura czerwiec 2019 zadanie 25 Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {20,21,22,…,39,40} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 jest równe:
Matura czerwiec 2019 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x(7x+2)>7x+2.
Matura czerwiec 2019 zadanie 27 Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek: 3×2−8x−3/x−3=x−3.
Matura czerwiec 2019 zadanie 28 Dany jest trójkąt ABC. Punkt S jest środkiem boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów A i B od prostej CS są równe.
Matura czerwiec 2019 zadanie 29 Wykaż, że dla każdej liczby a>0 i dla każdej liczby b>0 prawdziwa jest nierówność 1/a+1/b≥4/a+b.
Matura czerwiec 2019 zadanie 30 W ciągu geometrycznym przez Sn oznaczamy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych n≥1. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: S1=2 i S2=12. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
Matura czerwiec 2019 zadanie 31 Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.
Matura czerwiec 2019 zadanie 32 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy 3:4. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura czerwiec 2019 zadanie 33 Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek 2x+z=1. Wyznacz takie wartości x i z, dla których wyrażenie x2+z2+7xz przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
Matura czerwiec 2019 zadanie 34 Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ∢ACB ma miarę 120°. Ponadto wiadomo, że |BC|=10 i |AB|=10√7 (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC.
Matura maj 2019 zadanie 1 Liczba log(√2)2 jest równa
Matura maj 2019 zadanie 2 Liczba naturalna n=2^14⋅5^15 w zapisie dziesiętnym ma:
Matura maj 2019 zadanie 3 W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o
Matura maj 2019 zadanie 4 Równość 1/4+1/5+1/a=1 jest prawdziwa dla
Matura maj 2019 zadanie 5 Para liczb i jest rozwiązaniem układu równań ax+y=4 i −2x+3y=2a dla
Matura maj 2019 zadanie 6 Równanie (x−1)(x+2)/(x−3)=0
Matura maj 2019 zadanie 7 Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x)=3(x+1)−6√3 jest liczba:
Matura maj 2019 zadanie 8 Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,−4) . Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:
Matura maj 2019 zadanie 9 Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,−4) . Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨1,4⟩ jest równa
Matura maj 2019 zadanie 10 Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,−4) . Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu
Matura maj 2019 zadanie 11 W ciągu arytmetycznym an, określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a1=7 i a8=−49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
Matura maj 2019 zadanie 12 Dany jest ciąg geometryczny an , określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek a5/a3=1/9. Iloraz tego ciągu jest równy:
Matura maj 2019 zadanie 13 Sinus kąta ostrego α jest równy 4/5. Wtedy
Matura maj 2019 zadanie 14 Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α.
Matura maj 2019 zadanie 15 Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K. Wtedy
Matura maj 2019 zadanie 16 Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe
Matura maj 2019 zadanie 17 Proste o równaniach y=(2m+2)x−2019 oraz y=(3m−3)x+2019 są równoległe, gdy
Matura maj 2019 zadanie 18 Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=−4x+1 i przechodzi przez punkt P=(1/2,0), gdy:
Matura maj 2019 zadanie 19 Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A=(0,4) i B=(2,2). Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem
Matura maj 2019 zadanie 20 Dane są punkty o współrzędnych A=(−2,5) oraz B=(4,−1) . Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa
Matura maj 2019 zadanie 21 Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5dm x 3dm x 2dm
Matura maj 2019 zadanie 22 Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa
Matura maj 2019 zadanie 23 Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4,8,21,a,16,25, jest równa 14. Zatem
Matura maj 2019 zadanie 24 Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0,2,5, jest
Matura maj 2019 zadanie 25 W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe
Matura maj 2019 zadanie 26 Rozwiąż równanie (x3−8)(x2−4x−5)=0
Matura maj 2019 zadanie 27 Rozwiąż nierówność 3×2−16x+16>0.
Matura maj 2019 zadanie 28 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a2−2ab+3b2>0
Matura maj 2019 zadanie 29 Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.
Matura maj 2019 zadanie 30 Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
Matura maj 2019 zadanie 31 W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.
Matura maj 2019 zadanie 32 Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba r=−4 , a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1,a2,a3,a4,a5,a6 jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę k, dla której ak=−78.
Matura z matematyki maj 2019 zadanie 33 Dany jest punkt A=(−18,10). Prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.
Matura z matematyki maj 2019 zadanie 34 Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.
Matura maj 2015 zadanie 1 Wskaż rysunek na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności −4≤x−1≤4.
Matura maj 2015 zadanie 2 Dane są liczby a=−1/27, b=log(1/4)64, c=log(1/3)27. Iloczyn abc jest równy
Matura maj 2015 zadanie 3 Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa
Matura maj 2015 zadanie 4 Równość m/(5-√5)=(5+√5)/5 zachodzi dla
Matura maj 2015 zadanie 5 Układ równań x−y=3 i 2x+0,5y=4 opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie
Matura maj 2015 zadanie 6 Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x−11)=0 jest równa
Matura maj 2015 zadanie 7 Równanie (x−1)/(x+1)=x−1
Matura maj 2015 zadanie 8 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest
Matura maj 2015 zadanie 9 Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(m−1)x+3 leży punkt S=(5,−2). Zatem
Matura maj 2015 zadanie 10 Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=2x+b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja g(x)=−3x+4. Stąd wynika, że
Matura maj 2015 zadanie 11 Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x)=x2+x+c. Jeśli f(3)=4, to
Matura maj 2015 zadanie 12 Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność 2/7
Matura maj 2015 zadanie 13 W rosnącym ciągu geometrycznym (an), określonym dla n≥1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy
Matura maj 2015 zadanie 14 W układzie współrzędnych zaznaczono punkt P=(−4,5). Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy
Matura maj 2015 zadanie 15 Jeżeli 0∘
Matura maj 2015 zadanie 16 Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20∘ mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa
Matura maj 2015 zadanie 17 Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy
Matura maj 2015 zadanie 18 Prosta l o równaniu y=m2x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m−4)x−3. Zatem:
Matura maj 2015 zadanie 19 Proste o równaniach: y=2mx−m2−1 oraz y=4m2x+m2+1 są prostopadłe dla
Matura maj 2015 zadanie 20 Dane są punkty M=(−2,1) i N=(−1,3). Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt
Matura maj 2015 zadanie 21 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E,G,L połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
Matura maj 2015 zadanie 22 Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Objętość tego stożka jest równa
Matura maj 2015 zadanie 23 Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
Matura maj 2015 zadanie 24 Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9,x. Wynika stąd, że
Matura maj 2015 zadanie 25 W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy
Matura maj 2015 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2×2−4x>(x+3)(x−2).
Matura maj 2015 zadanie 27 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4×2−8xy+5y2≥0.
Matura maj 2015 zadanie 28 Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL|=1/3|BE| i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.
Matura maj 2015 zadanie 29 Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=x2−6x+3 w przedziale ⟨0,4⟩.
Matura maj 2015 zadanie 30 W układzie współrzędnych dane są punkty A=(−43,−12), B=(50,19). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P. Oblicz pierwszą współrzędną punktu P.
Matura maj 2015 zadanie 31 Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy 4/7, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1/2. Wyznacz ten ułamek.
Matura maj 2015 zadanie 32 Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Matura maj 2015 zadanie 33 Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne. Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.
Matura maj 2015 zadanie 34 W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1,a3,ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
Matura sierpień 2015 zadanie 1 Jeśli a=3/2 i b=2, to wartość wyrażenia a⋅b/(a+b) jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 2 Dany jest prostokąt o wymiarach 40 cm×100 cm. Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o 20%, a każdy z krótszych boków skrócimy o 20%, to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta
Matura sierpień 2015 zadanie 3 Liczba 9^5⋅5^9/45^5 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 4 Liczba √9/7+√7/9 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 5 Wartość wyrażenia log(5)0,04−12log(25)1 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 6 Wartość wyrażenia (a+5)2 jest większa od wartości wyrażenia (a2+10a) o
Matura sierpień 2015 zadanie 7 Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań x+3y=−5 i 3x−2y=−4 Wskaż ten rysunek.
Matura sierpień 2015 zadanie 8 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 2(x−2)≤4(x−1)+1 jest
Matura sierpień 2015 zadanie 9 Rozwiązaniem równania x2(x+1)=x2−8 jest
Matura sierpień 2015 zadanie 10 określona wzorem f(x)=(2x−8)/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0. Wówczas wartość funkcji f(√2) jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 11 Parabola o wierzchołku W=(−3,5) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem
Matura sierpień 2015 zadanie 12 Wykres funkcji liniowej y=2x−3 przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych
Matura sierpień 2015 zadanie 13 Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y=f(x) ma współrzędne (2,2). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g(x)=f(x+2) ma współrzędne
Matura sierpień 2015 zadanie 14 Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 7 tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba
Matura sierpień 2015 zadanie 15 Ciąg liczbowy określony jest wzorem an=(2^n−1)/(2^n+1), dla n≥1. Piąty wyraz tego ciągu jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 16 Sinus kąta ostrego α jest równy 3/4. Wówczas
Matura sierpień 2015 zadanie 17 W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych 2 i 5 cosinus większego z kątów ostrych jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 18 Pole rombu o boku 6 i kącie rozwartym 150∘ jest równe
Matura sierpień 2015 zadanie 19 W okręgu o środku O dany jest kąt o mierze 50∘, zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą α jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 20 Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty A=(−4,3) oraz B=(8,7), jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 21 Punkt S=(2,−5) jest środkiem odcinka AB, gdzie A=(−4,3) i B=(8,b). Wtedy
Matura sierpień 2015 zadanie 22 Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków a,b,c, gdzie a
Matura sierpień 2015 zadanie 23 Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy 4 i wysokość jest równa 6, ma długość
Matura sierpień 2015 zadanie 24 W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe
Matura sierpień 2015 zadanie 25 Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1,2,3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
Matura sierpień 2015 zadanie 26 Rozwiąż równanie (2x−4)/x=x/(2x−4), gdzie x≠0 i x≠2.
Matura sierpień 2015 zadanie 27 Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim – 8 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 11.
Matura sierpień 2015 zadanie 28 Rozwiąż nierówność 20x≥4×2+24.
Matura sierpień 2015 zadanie 29 Kąt α jest ostry i spełnia równość tgα+1/tgα=7/2. Oblicz wartość wyrażenia sinα⋅cosα.
Matura sierpień 2015 zadanie 30 Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x3+y3≥x2y+xy2
Matura sierpień 2015 zadanie 31 W prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC, a punkt R jest środkiem boku CD. Wykaż, że pole trójkąta APR jest równe sumie pól trójkątów ADR oraz PCR.
Matura sierpień 2015 zadanie 32 Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach A=(−2,2), B=(6,−2), C=(10,6)
Matura sierpień 2015 zadanie 33 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 3:4, a pole jest równe 192 (zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘. Oblicz objętość ostrosłupa.
Matura sierpień 2015 zadanie 34 Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x)=ax^2+bx+c. Zbiorem rozwiązań nierówności f(x)>0 jest przedział (0,12). Największa wartość funkcji f jest równa 9. Oblicz współczynniki a, b i c funkcji f.
Matura maj 2017 zadanie 1 Liczba 5^8⋅16^−2 jest równa:
Matura maj 2017 zadanie 2 Liczba 3√54−3√2 jest równa
Matura maj 2017 zadanie 3 Liczba 2log2(3)−2log2(5) jest równa
Matura maj 2017 zadanie 4 Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?
Matura maj 2017 zadanie 5 Równość (x√2−2)^2=(2+√2)^2 jest
Matura maj 2017 zadanie 6 Do zbioru rozwiązań nierówności (x^4+1)(2−x)>0 nie należy liczba:
Matura maj 2017 zadanie 7 Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności 2−3x≥4.
Matura maj 2017 zadanie 8 Równanie x(x^2−4)(x^2+4)=0 z niewiadomą x
Matura maj 2017 zadanie 9 Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=√3(x+1)−12 jest liczba
Matura maj 2017 zadanie 10 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c, o miejscach zerowych: −3 i 1. Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy
Matura maj 2017 zadanie 11 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem f(x)=a^x. Punkt A=(1,2) należy do wykresu funkcji. Podstawa a potęgi jest równa
Matura maj 2017 zadanie 12 W ciągu arytmetycznym an, określonym dla n≥1, dane są: a1=5, a2=11. Wtedy
Matura czerwiec 2017 zadanie 34 Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA′B′C′D′ jest romb ABCD. Przekątna AC′ tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘, a przekątna BD′ jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 45∘. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Matura czerwiec 2017 zadanie 33 Punkty A=(−2,−8) i B=(14,−8) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB|=|AC|. Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y=1/2x−7. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta.
Matura czerwiec 2017 zadanie 32 Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość √26. Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.
Matura czerwiec 2017 zadanie 31 Ze zbioru liczb 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę (a,b), gdzie a jest wynikiem pierwszego losowania, b jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par (a,b) takich, że iloczyn a⋅b jest liczbą parzystą.
Matura czerwiec 2017 zadanie 30 Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równa 30. Ponadto a30=30. Oblicz różnicę tego ciągu.
Matura czerwiec 2017 zadanie 29 Wykaż, że prawdziwa jest nierówność (1,5)^100
Matura czerwiec 2017 zadanie 28 Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC w punkcie D. Udowodnij, że jeżeli |AD|=|BD|, to |CD|=1/2⋅|BD|.
Matura czerwiec 2017 zadanie 27 Kąt α jest ostry i spełniona jest równość sinα+cosα=√7/2. Oblicz wartość wyrażenia (sinα−cosα^)2.
Matura czerwiec 2017 zadanie 26 Rozwiąż nierówność (x−1/2)x>3(x−1/2)(x+1/3).
Matura czerwiec 2017 zadanie 25 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od 20, jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 24 Pole powierzchni bocznej walca jest równe 16π, a promień jego podstawy ma długość 2. Wysokość tego walca jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 23 Długość przekątnej sześcianu jest równa 6. Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 22 Pole trójkąta prostokątnego ABC, przedstawionego na rysunku, jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 21 Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe 1/3π^3. Długość boku tego trójkąta jest równa Długość boku tego trójkąta jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 20 Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A′B′C′ w skali 5/2, przy czym |AB|=5/2|A′B′|. Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta A′B′C′ jest równy
Matura czerwiec 2017 zadanie 19 Punkty A=(−21,11) i B=(3,17) są końcami odcinka AB. Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi Ox układu współrzędnych jest odcinek A′B′. Środkiem odcinka A′B′ jest punkt o współrzędnych
Matura czerwiec 2017 zadanie 18 Prosta przechodząca przez punkt A=(−10,5) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu
Matura czerwiec 2017 zadanie 17 Odcinek BD jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego ABC trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 5 i 3. Wówczas miara φ kąta DBC spełnia warunek
Matura czerwiec 2017 zadanie 16 W okręgu o środku O dany jest kąt wpisany ABC o mierze 20∘ Miara kąta CAO jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 15 Kąt α jest ostry i tgα=12/5. Wówczas sinα jest równy
Matura czerwiec 2017 zadanie 14 Dany jest ciąg geometryczny (x,2x^2,4x^3,8) o wyrazach nieujemnych. Wtedy
Matura czerwiec 2017 zadanie 13 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, spełniony jest warunek 2a3=a2+a1+1. Różnica r tego ciągu jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 12 Punkt A=(2017,0) należy do wykresu funkcji f określonej wzorem
Matura czerwiec 2017 zadanie 11 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x−3)(7−x). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej o równaniu
Matura czerwiec 2017 zadanie 10 Równanie x(x−3)(x^2+25)=0 ma dokładnie
Matura czerwiec 2017 zadanie 9 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=x^2+bx+c oraz f(−1)=f(3)=1. Współczynnik b jest równy
Matura czerwiec 2017 zadanie 8 Rozwiązaniem układu równań x+y=1 x−y=b z niewiadomymi x i y jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że
Matura czerwiec 2017 zadanie 7 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=21−(7/3)x. Miejscem zerowym funkcji f jest
Matura czerwiec 2017 zadanie 6 Wartość wyrażenia (b−a)^2 dla a=2√3 i b=√75 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 5 Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie x^6−2x^3−3 jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 4 Liczba log327−log31 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 3 Suma 16^24+16^24+16^24+16^24 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 2 Iloczyn dodatnich liczb a i b jest równy 1350. Ponadto 15% liczby a jest równe 10% liczby b. Stąd wynika, że b jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 1 Liczba |9−2|−|4−7| jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 34 W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB.
Matura sierpień 2018 zadanie 33 Ze zbioru A={−3,−2,−1,1,2,3} losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru B={−1,0,1,2} losujemy liczbę b. Te liczby są – odpowiednio – współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej f(x)=ax+b. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.
Matura sierpień 2018 zadanie 32 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
Matura sierpień 2018 zadanie 31 Punkty A=(2,4), B=(0,0), C=(4,−2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.
Matura sierpień 2018 zadanie 30 Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Matura sierpień 2018 zadanie 29 Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (a+b)(1/a+1/b)≥4.
Matura sierpień 2018 zadanie 28 W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.
Matura sierpień 2018 zadanie 27 Rozwiąż równanie (x^3+27)(x^2−16)=0.
Matura sierpień 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x^2+6x−16
Matura sierpień 2018 zadanie 25 W grupie liczącej 29 uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 24 Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły. Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 23 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej 102–√. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 22 Jeżeli α oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to
Matura sierpień 2018 zadanie 21 Punkt A=(−3,2) jest końcem odcinka AB, a punkt M=(4,1) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka AB jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 20 Proste o równaniach y=(3m−4)x+2 oraz y=(12−m)x+3m są równoległe, gdy
Matura sierpień 2018 zadanie 19 Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze 60∘ jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 18 Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 80∘. Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę
Matura sierpień 2018 zadanie 17 Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L, M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α+β=114∘.
Matura sierpień 2018 zadanie 16 Kąt α jest ostry i cosα=35. Wtedy
Matura sierpień 2018 zadanie 15 W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α jest równa 3–√. Zatem:
Matura sierpień 2018 zadanie 14 Dla pewnej liczby x ciąg (x,x+4,16) jest geometryczny. Liczba x jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 13 Ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, spełnia warunek a3+a4+a5=15. Wtedy
Matura sierpień 2018 zadanie 12 Największą wartością funkcji y=−(x−2)2+4 w przedziale ⟨3,5⟩ jest
Matura sierpień 2018 zadanie 11 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=−3(x−2)(x−9). Liczby x1, x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
Matura sierpień 2018 zadanie 10 Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=x2−2x−11 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Matura sierpień 2018 zadanie 9 Punkt (1,3–√) należy do wykresu funkcji y=23–√x+b. Współczynnik b jest równy
Matura sierpień 2018 zadanie 8 Dane są funkcje f(x)=3x oraz g(x)=f(−x), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Punkt wspólny wykresów funkcji f i g
Matura sierpień 2018 zadanie 7 Rozwiązaniem równiania x−23(x+2)=19 jest liczba
Matura sierpień 2018 zadanie 6 Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y. wskaż ten układ
Matura sierpień 2018 zadanie 5 Równość (a+23–√)2=13+43–√ jest prawdziwa dla
Matura sierpień 2018 zadanie 4 Liczba log496−log46 jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 3 Dane są liczby x=4,5⋅10−8 oraz y=1,5⋅102. Wtedy iloraz xy jest równy
Matura sierpień 2018 zadanie 2 Liczba √3√2 jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 1 Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10% zmniejszytła się o 2018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował
Matura Czerwiec 2018 zadanie 34 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 453–√. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 33 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla liczb naturalnych n≥1, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S10=154. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 32 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H=16. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy 35. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 31 Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 30 Kąt α jest ostry i sinα+cosα=2–√. Oblicz wartość wyrażenia tgα+1tgα.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 29 Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że |EC|=2|DE|, a na boku AB wybrano taki punkt F, że |BF|=|DE|. Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są przystające.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 28 Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 27 Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=x2+bx+c jest parabola, na której leży punkt A=(0,−5). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=7. Oblicz wartości współczynników b i c.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2x(1−x)+1−x
Matura Czerwiec 2018 zadanie 25 W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe
Matura Czerwiec 2018 zadanie 24 Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 23 Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 22 Wśród 100 osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli. Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 21 Stożek o promieniu podstawy r i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 20 Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa 27π. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 19 Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku 4:3:3:2. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
Matura Czerwiec 2018 zadanie 18 Długości boków trapezu równoramiennego są równe 12,13,2,13. Wysokość h tego trapezu jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 17 Okrąg o środku S1=(2,1) i promieniu r oraz okrąg o środku S2=(5,5) i promieniu 4 są styczne zewnętrznie. Wtedy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 16 Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C, taki, że |OB|=|BC| (zobacz rysunek). Pole trójkąta AOC jest równe
Matura Czerwiec 2018 zadanie 15 Liczba 1−tg40∘ jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 14 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony wzorem an=16−12⋅n dla każdej liczby całkowitej n≥1. Różnica r tego ciągu jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 13 Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an) określonego dla n≥1 są dodatnie i 3a2=2a3. Stąd wynika, że iloraz q tego ciągu jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 12 Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x)=−(x−1)(3−x). Wskaż ten rysunek.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 11 Funkcja liniowa f(x)=(1−m2)x+m−1 nie ma miejsc zerowych dla
Matura Czerwiec 2018 zadanie 10 Największą wartością funkcji y=−(x−2)2+4 w przedziale ⟨3,5⟩ jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 9 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=−2(x+2)−1(x−3)2 dla każdej liczby rzeczywistej x≠−2. Wartość funkcji f dla argumentu 2 jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 8 Liczba 820−2⋅420220⋅410 jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 7 Liczbę 2241111 można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 6 Równanie x−12x+1=0
Matura Czerwiec 2018 zadanie 5 Na rysunku przedstawiony jest przedział (−10,k⟩, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21. Stąd wynika, że
Matura Czerwiec 2018 zadanie 4 Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował
Matura Czerwiec 2018 zadanie 3 Wskaż liczbę spełniającą nierówność (4−x)(x+3)(x+4)>0.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 2 Dane są liczby: a=log128, b=log48, c=log412. Liczby te spełniają warunek
Matura Czerwiec 2018 zadanie 1 Dla x=22–√+1 oraz y=2–√−1 wartość wyrażenia x2−2xy+y2 jest równa
Matura Maj 2018 zadanie 1 Liczba 2log 6 log 4 3 3 − jest równa
Matura maj 2018 zadanie 34 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura maj 2018 zadanie 33 Dane są dwa zbiory: A ={100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B ={10,11,12,13,14,15,16}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Matura maj 2018 zadanie 32 W układzie współrzędnych punkty A = (4,3) i B = (10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.
Matura maj 2018 zadanie 31 Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an ), określonego dla n ≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Matura maj 2018 zadanie 30 Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f (x) = ax (gdzie a > 0 i a ≠1), należy punkt P = (2, 9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g (x) = f (x) − 2 .
Matura maj 2018 zadanie 29 Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2. Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od 2 −1.
Matura maj 2018 zadanie 28 Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność 1 1 2 2a 2b a b + ≥ + .
Matura maj 2018 zadanie 27 Rozwiąż równanie (x3 +125)(x2 − 64) = 0 .
Matura maj 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2×2 − 3x > 5.
Matura maj 2018 zadanie 25 W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe
Matura maj 2018 zadanie 24 Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?
Matura maj 2018 zadanie 23 W zestawie liczb liczb 2, 2, 2, , 2, 4, 4, 4, , 4 m m …… jest 2m liczb (m ≥1) , w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe
Matura maj 2018 zadanie 22 Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa
Matura maj 2018 zadanie 21 Zadanie 21. (0–1) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa
Matura maj 2018 zadanie 20 Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
Matura maj 2018 zadanie 19 Proste o równaniach y = (m+ 2) x +3 oraz y = (2m−1) x −3 są równoległe, gdy
Matura maj 2018 zadanie 18 Punkt K = (2, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym KM = LM . Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N = (4, 3) . Zatem
Matura maj 2018 zadanie 17 Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL = a , MN = b , a > b . Kąt KLM ma miarę 60° . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa
Matura maj 2018 zadanie 16 Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α +β =111° . Wynika stąd, że
Matura maj 2018 zadanie 15 Dany jest trójkąt o bokach długości: 2 5 , 3 5 , 4 5 . Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości
Matura maj 2018 zadanie 14 Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek). Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek
Matura maj 2018 zadanie 13 Dany jest ciąg geometryczny ( ) n a , określony dla n ≥1, w którym 1 a = 2 , 2 a = 2 2 , 3 a = 4 2 . Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
Matura maj 2018 zadanie 12 Dla ciągu arytmetycznego (an ), określonego dla n ≥1, jest spełniony warunek 4 5 6 a + a + a =12. Wtedy
Matura maj 2018 zadanie 11 Dany jest ciąg ( ) n a określony wzorem 5 2 n 6 a = − n dla n ≥ 1. Ciąg ten jest A. arytmetyczny i jego różnica jest równa 1 3 r = − . B. arytmetyczny i jego różnica jest równa r = −2 . C. geometryczny i jego iloraz jest równy 1 3 q = − . D. geometryczny i jego iloraz jest równy 5 6 q = .
Matura maj 2018 zadanie 10 Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = ax + b , a punkt M = (3, − 2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy
Matura maj 2018 zadanie 9 Wykresem funkcji kwadratowej f (x) = x2 − 6x −3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Matura maj 2018 zadanie 8 Funkcja liniowa f określona jest wzorem 1 3 f (x) = 1 x − , dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie     =  3 P 0, 1 .
Matura maj 2018 zadanie 7 Równanie 0 4 2 2 2 = − + x x x A. ma trzy rozwiązania: x = − 2 , x = 0 , x = 2
Matura maj 2018 zadanie 6 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Liczby 1 x , 2 x są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
Matura maj 2018 zadanie 5 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 2 1 2 3 − x > jest przedział A. , 1 6 −∞ 
Matura Maj 2018 zadanie 4 Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A. 865,00 zł
Matura Maj 2018 zadanie 3 Dane są liczby a = 3,6⋅10−12 oraz b = 2,4⋅10−20 . Wtedy iloraz a b jest równy
Matura Maj 2018 zadanie 2 Liczba 3√7/3⋅3√81/56 jest równa

Najnowsze wpisy

Dla x=22–√+1 oraz y=2–√−1 wartość wyrażenia x2−2xy+y2 jest równa
tresc zadaniaz
Wartość wyrażenia x2−6x+9 dla x=√3+3 jest równa
1 Liczba log21√8 jest równa:
Liczba a=14√2√2−3 należy do przedziału:
3 Reszta z dzielenia liczby naturalnej x przez 9 jest równa 7. Reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 9 jest równa:
4 Prosta l przechodzi przez punkty A=(6,−7),B=(−10,3). Prosta k jest symetralną odcinka AB. Współczynnik kierunkowy prostej k jest równy:
Matura operon 2017 zadanie 5 Dany jest ciąg (an) o wyrazie ogólnym an=2n+1n+3. Liczby a3,a5 są wyrazami tego ciągu, a liczby (a3,x,a5) tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba x jest równa:
Matura operon 2017 zadanie 6 Dana jest funkcja określona wzorem y=x2−4√3x+12. Trzecia potęga jedynego miejsca zerowego tej funkcji to liczba:
Matura operon 2017 zadanie 7 Do wykresu funkcji wykładniczej f(x)=(14)x należy punkt:
Matura operon 2017 zadanie 8 Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od 0. Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa 0. Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
Matura operon 2017 zadanie 9 Punkty A,B,C,D należą do okręgu o środku O. Jeśli kąt ABC ma miarę 70°, to kąt DAC ma miarę:
Matura operon 2017 zadanie 10 Trójkąty ABC i DEF są podobne. Obwód trójkąta ABC jest równy 16, a jego pole 12. Pole trójkąta DEF jest równe 60. Zatem obwód trójkąta DEF jest równy:
Matura operon 2017 zadanie 11 Wykres funkcji f(x)=(4m−2)x+k−3 przechodzi tylko przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych. Oznacza to, że:
Matura operon 2017 zadanie 12 Wzór funkcji, której wykres powstaje przez symetrię osiową względem osi OX wykresu funkcji f(x)=x2−4, to:
Matura operon 2017 zadanie 13 Wyrażenie wymierne W=x−3×2−4x+4 jest określone dla:
Matura operon 2017 zadanie 14 W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne różnią się o 4, a jeden z kątów ma miarę 30°. Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość:
Matura operon 2017 zadanie 15 Rozwiązaniem nierówności (3x+9)2>0 jest:
Matura operon 2017 zadanie 16 Jeśli A=(−∞,0) i B=⟨0,5⟩ to różnica przedziałów B i A jest równa:
Matura operon 2017 zadanie 17 Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 4 i 6. Pole tego trójkąta jest równe 3√15. Oznacza to, że jeśli kąt między bokami o długościach 4 i 6 ma miarę α>90°, to:
Matura operon 2017 zadanie 18 Rzucono cztery razy monetą. Prawdopodobieństwo tego, że wypadnie co najwyżej 1 orzeł, jest równe:
Matura operon 2017 zadanie 19 Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej długości 12. Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:
Matura operon 2017 zadanie 20 Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem Sn=3n2+4n. Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
Matura operon 2017 zadanie 21 Funkcja f(x)=(m+3)x2+16x+5 osiąga wartość największą dla x=2. Oznacza to, że największa wartość tej funkcji jest równa
Matura operon 2017 zadanie 22 Sześcian ABCDA′B′C′D′ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD dolnej podstawy i wierzchołek C′ górnej podstawy. Jeśli a jest krawędzią tego sześcianu, to pole otrzymanego przekroju jest równe:
Matura operon 2017 zadanie 23 Jeśli x+1x=6, to:
Matura operon 2017 zadanie 24 Rozwiąż nierówność (4x−1)2
Matura operon 2017 zadanie 25 Narysuj wykres funkcji f(x)=2x−3. Podaj zbiór wartości tej funkcji.
Matura operon 2017 zadanie 26 Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista a spełnia warunek a
Matura operon 2017 zadanie 27 Wyznacz współczynniki b,c we wzorze funkcji f(x)=x2+bx+c, jeśli wiesz, że miejsca zerowe tej funkcji są równe (−4) i 2.
Matura operon 2017 zadanie 28 Wykaż, że jeśli liczby (3a,3b,3c) tworzą ciąg geometryczny, to liczby (a,b,c) tworzą ciąg arytmetyczny.
Matura operon 2017 zadanie 29 Rzucono trzy razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma wyrzuconych oczek jest równa co najmniej 16.
Matura operon 2017 zadanie 30 Wyznacz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a w ten sposób, że jeden bok kwadratu jest zawarty w boku trójkąta, a dwa wierzchołki kwadratu należą do pozostałych boków trójkąta.
Matura operon 2017 zadanie 31 Dane są punkty A=(4,2) i B=(1,−3). Wyznacz współrzędne punktu C należącego do osi OY, tak aby |∢ACB|=90°.
Matura operon 2017 zadanie 32 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o dolnej podstawie ABC i górnej A′B′C′. Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 60°. Pole ściany bocznej graniastosłupa jest równe 2√3. Oblicz pole trójkąta ABC′.
Matura operon 2016 zadanie 1 Druga potęga liczby (3√(-1/8)⋅4^(−1/4)/0,25) jest równa:
Matura operon 2016 zadanie 2 Wiadomo,że log550=a i log52=b. Zatem:
Matura operon 2016 zadanie 3 W listopadzie pensja pana Jana była o 10% większa niż w październiku. W grudniu pensja pana Jana zmalała i wynosiła o 40% mniej niż w październiku. Średnia arytmetyczna pensji pana Jana w październiku, listopadzie i grudniu była:
Matura operon 2016 zadanie 4 Zbiór rozwiązań nierówności to
Matura operon 2016 zadanie 5 Równanie −3(9−x2)(x+3)x(x+3)=0:
Matura operon 2016 zadanie 6 Liczba a spełniająca warunek (2+√3)/(a+1)=1/(2−√3) jest równa:
Matura operon 2016 zadanie 7 Układ równań {y=(m+2)x+2m (2m−1)x−m=y opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie dwie proste równoległe. Zatem liczba m jest równa:
Matura operon 2016 zadanie 8 Suma pierwiastków równania (x−2)(x+1)(x−3)=0 jest równa:
Matura operon 2016 zadanie 9 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Najmniejszą wartością funkcji g(x)=f(−x) w przedziale ⟨−4,−1⟩ jest liczba:
Matura operon 2016 zadanie 10 Dwusieczna kąta, pod którym przecinają się proste y=x−1 i y=−x+1, przechodzi przez punkt:
Matura operon 2016 zadanie 11 W tabeli podano wartości funkcji liniowej f(x)=ax+b dla wybranych trzech elementów należących do dziedziny funkcji. Zatem:
Matura operon 2016 zadanie 12 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b dla b=−3 oraz ab
Matura operon 2016 zadanie 13 Dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x)=(x−1)2+2 jest zbiór ⟨−2,+∞). Zbiorem wartości tej funkcji jest:
Matura operon 2016 zadanie 14 Funkcja g jest opisana wzorem g(x)=3x−1+1. Miejscem zerowym funkcji h(x)=g(x+1)−4 jest liczba:
Matura operon 2016 zadanie 15 Ile liczb całkowitych należy do zbioru rozwiązań nierówności x−1≤x(x−1)−x22≤1?
Matura operon 2016 zadanie 16 Suma wszystkich liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez 5 i mniejszych od 400 jest równa:
Matura operon 2016 zadanie 17 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony dla n≥1 i taki, że a1+a2+a3=18. Wtedy:
Matura operon 2016 zadanie 18 Ciąg (an) jest określony wzorem an=√n-2 dla n≥2. Ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od 2?
Matura operon 2016 zadanie 19 Ciąg (a,2,c) jest geometryczny. Iloczyn wyrazów tego ciągu jest równy:
Matura operon 2016 zadanie 20 W trójkącie prostokątnym kąty ostre mają miary α,β, przeciwprostokątna ma długość 13, oraz sinα+sinβ=1713 i sinα−sinβ=713. Wynika z tego, że:
Matura operon 2016 zadanie 21 Kąt α jest kątem ostrym takim, że sin2α−cos2α=12. Zatem:
Matura operon 2016 zadanie 22 Punkty G i H są środkami okręgów. Punkt E leży na okręgu o środku w punkcie G, punkt F leży na okręgu o środku w punkcie H oraz |GH|=3 i |EF|=8 (patrz rysunek). Wtedy pole koła ograniczonego okręgiem o środku w punkcie H jest większe od pola koła ograniczonego okręgiem o środku w punkcie G o:
Matura operon 2016 zadanie 23 Przekątna AC dzieli trapez ABCD na dwa trójkąty prostokątne równoramienne oraz |∢BAD|=|∢ADC|=90°. Najkrótszy bok trapezu ma długość a. Zatem najdłuższy bok ma długość:
Matura operon 2016 zadanie 24 Okrąg o promieniu 3 jest wpisany w trójkąt prostokątny. Punkt styczności dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 5 i 12. Obwód tego trójkąta jest równy:
Matura operon 2016 zadanie 25 Punkty A,M,B są współliniowe (punkt M leży między punktami A i B) i takie, że A=(−23,−9), B=(17,21) oraz |MB|=3|AM|. Iloczyn współrzędnych punktu M jest równy:
Matura operon 2016 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x(x−1)>2(x+1)−4.
Matura operon 2016 zadanie 27 Wykaż, że jeżeli x>y i 2(x−1)(x+1)−2y(2x−y)=−1, to x−y=√22.
Matura operon 2016 zadanie 28 Dany jest półokrąg oparty na średnicy AB. Punkt C leży na półokręgu, punkt D leży na średnicy, odcinki CD i AB są prostopadłe oraz |CD|=2–√. Punkt D dzieli średnicę na odcinki a,b (patrz rysunek). Wykaż, że ab=2.
Matura operon 2016 zadanie 29 Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe. Jednym z nich jest liczba −3. Wierzchołek paraboli, będącej wykresem tej funkcji, znajduje się w punkcie (−1,−8). Wyznacz wzór tej funkcji.
Matura operon 2016 zadanie 30 Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych ma jeden punkt wspólny z parabolą y=(x−1)2+1. Znajdź równanie tej prostej.
Matura operon 2016 zadanie 31 Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza. Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała 42 lata. Ile lat ma obecnie każda z dziewcząt?
Matura operon 2016 zadanie 32 Kąt rozwarty rombu ma miarę 2α. Suma długości przekątnych rombu jest równa 68 oraz tgα=2,4. Oblicz obwód rombu.
Matura operon 2016 zadanie 33 Punkty A=(−4,1) i C=(−5,5) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Prosta −x−y=0 jest symetralną boku AB. Oblicz pole tego trójkąta.
Matura operon 2016 zadanie 34 Ciąg (x−3,x,y) jest ciągiem arytmetycznym. Ciąg (x,y,2y) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego oraz wyrazy ciągu geometrycznego.
Matura operon 2015 zadanie 1 Liczba a=823⋅417 jest równa liczbie:
Matura operon 2015 zadanie 2 Liczbą wymierną jest liczba:
Matura operon 2015 zadanie 3 Wyrażenie (7–√−3–√)2 jest równe:
Matura operon 2015 zadanie 4 Funkcja f(x)=(x+6)2 ma:
Matura operon 2015 zadanie 5 Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równy 34, a przeciwprostokątna ma długość 30. Krótsza przyprostokątna trójkąta ma długość:
Matura operon 2015 zadanie 6 Jeśli cena towaru najpierw zmniejszyła się o 10%, a następnie zwiększyła się o 20%, to po tych dwóch operacjach wyjściowa cena towaru:
Matura operon 2015 zadanie 7 Maksymalny przedział otwarty, w którym funkcja f(x)=−4×2+16x−23 jest rosnąca, to:
Matura operon 2015 zadanie 8 Zbiór rozwiązań nierówności x−√3x>2 to:
Matura operon 2015 zadanie 9 W okrąg o środku O wpisano trójkąt ostrokątny ABC. Jeśli |∢ABO|=48°, to:
Matura operon 2015 zadanie 10 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=−3n+118. Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
Matura operon 2015 zadanie 11 Liczba miejsc zerowych funkcji f(x)=(x−4)2+9 to:
Matura operon 2015 zadanie 12 Zbiorem wartości funkcji f(x)=2x+3 jest zbiór:
Matura operon 2015 zadanie 13 W ciągu arytmetycznym pierwszy i drugi wyraz są odpowiednio równe: 1,−2. Dziewiąty wyraz tego ciągu jest równy
Matura operon 2015 zadanie 14 Prosta o równaniu y=4x+1 przecina osie układu współrzędnych w punktach:
Matura operon 2015 zadanie 15 Dana jest funkcja f(x)=x2+4x+10. Prosta y=m nie ma z wykresem funkcji f punktów wspólnych. Maksymalny zbiór do którego należy liczba m to:
Matura operon 2015 zadanie 16 Wiadomo, że tgα=5 i α jest kątem ostrym. Wówczas wyrażenie W=sinα−cosαsinα+cosα ma wartość:
Matura operon 2015 zadanie 17 Jeżeli stosunek przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równy 3–√, to jeden z kątów ostrych ma miarę:
Matura operon 2015 zadanie 18 Jeżeli stosunek przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równy 3–√, to jeden z kątów ostrych ma miarę:
Matura operon 2015 zadanie 19 Jeśli S=(−12,32) jest środkiem odcinka AB i A=(−13,23), to:
Matura operon 2015 zadanie 20 Odchylenie standardowe danych: 1,4,1,5,9,2,1,1 jest równe (z dokładnością do części setnych):
Matura operon 2015 zadanie 21 Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do jego płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Wysokość walca ma długość 8. Objętość walca jest równa:
Matura operon 2015 zadanie 22 Pole trójkąta jest równe 15. Dwa boki mają długości 10 i 6. Kąt między tymi bokami może mieć miarę:
Matura operon 2015 zadanie 23 Prosta l ma równanie 3x−2y=7. Prosta k prostopadła do prostej l może mieć równanie:
Matura operon 2015 zadanie 24 Liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach i o parzystej cyfrze tysięcy, setek i dziesiątek jest:
Matura operon 2015 zadanie 25 Liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach i o parzystej cyfrze tysięcy, setek i dziesiątek jest:
Matura operon 2015 zadanie 26 Sprawdź, czy liczba 3327 jest wyrazem ciągu o wyrazie ogólnym an=3n−12n+5.
Matura operon 2015 zadanie 27 Rozwiąż nierówność −x2+8x−20
Matura operon 2015 zadanie 28 Punkty A=(−2;4), B=(6,2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Wyznacz długość wysokości tego trójkąta.
Matura operon 2015 zadanie 29 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność x2−6x+y2−4y+13≥0.
Matura operon 2015 zadanie 30 Dany jest kwadrat o boku a=6. W ten kwadrat wpisano trójkąt równoboczny w ten sposób, że jeden wierzchołek trójkąta jest wierzchołkiem kwadratu, a przeciwlegly bok trójkąta jest równoległy do przekątnej kwadratu (patrz rysunek). Wykaż, że bok trójkąta jest równy 6(√6-√2).
Matura operon 2015 zadanie 31 Dana jest funkcja określona wzorem f(x)=ax2+bx+c. Wartość największa funkcji jest równa 10. Funkcja jest rosnąca jedynie w przedziale (−∞,2⟩, a do jej wykresu należy punkt A=(4,−2). Wyznacz wartości współczynników a,b,c.
Matura operon 2015 zadanie 32 Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 4, a suma kwadratów wyrazu drugiego, czwartego i siódmego jest równa 702. Wyznacz ogólny wyraz tego ciągu.
Matura operon 2015 zadanie 33 Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy 6. Ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej bryły.
Matura sierpień 2010 zadanie 1 Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje:
Matura sierpień 2010 zadanie 2 Iloczyn 81^2⋅9^4 jest równy:
Matura sierpień 2010 zadanie 3 Iloczyn 81^2⋅9^4 jest równy:
Matura sierpień 2010 zadanie 4 Wskaż nierówność, która opisuje przedział na osi liczbowej.
Matura sierpień 2010 zadanie 5 Wyrażenie x(x−1)(x+1) jest równe:
Matura sierpień 2010 zadanie 6 Kwadrat liczby x=2−√3 jest równy:
Matura sierpień 2010 zadanie 7 Zbiorem rozwiązań nierówności x(x+5)>0 jest:
Matura sierpień 2010 zadanie 8 Równanie x2−4/(x−4)(x+4)=0
Matura sierpień 2010 zadanie 9 Wierzchołek paraboli y=x2+4x−13 leży na prostej o równaniu:
Matura sierpień 2010 zadanie 10 Wskaż m, dla którego funkcja liniowa f(x)=(m−1)x+6 jest rosnąca:
Matura sierpień 2010 zadanie 11 Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział (−∞;3⟩. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji f?
Matura sierpień 2010 zadanie 12 Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej y=ax+b takiej, że a>0 i b
Matura sierpień 2010 zadanie 13 Do wykresu funkcji f(x)=ax, dla x≠0 należy punkt A=(2,6). Wtedy:
Matura sierpień 2010 zadanie 14 W ciągu arytmetycznym (an) mamy: a2=5 i a4=11. Oblicz a5.
Matura sierpień 2010 zadanie 15 W malejącym ciągu geometrycznym (an) mamy: a1=−2 i a3=−4. Iloraz tego ciągu jest równy:
Matura sierpień 2010 zadanie 16 Kąt α jest ostry i cosα=3/4. Wtedy sinα jest równy:
Matura sierpień 2010 zadanie 17 Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień równy 12. Wysokość tego trójkąta jest równa
Matura sierpień 2010 zadanie 18 Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 11, a bok AB jest od niej o 5 krótszy. Oblicz długość boku AD.
Matura sierpień 2010 zadanie 19 Punkty A,B,C,D,E,F,G,H,I,J dzielą okrąg o środku S na 10 równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku.
Matura sierpień 2010 zadanie 20 Punkty A=(−1,3) i C=(−5,5) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe:
Matura sierpień 2010 zadanie 21 Promień okręgu o równaniu (x+2)2+(y−1)2=13 jest równy:
Matura sierpień 2010 zadanie 22 Prosta l ma równanie y=−1/4x+7. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej l.
Matura sierpień 2010 zadanie 23 Objętość sześcianu jest równa 27cm3. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu?
Matura sierpień 2010 zadanie 24 Graniastosłup ma 15 krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?
Matura sierpień 2010 zadanie 25 Ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas:
Matura sierpień 2010 zadanie 26 Rozwiąż nierówność: x2−14x+24>0.
Matura sierpień 2010 zadanie 27 Rozwiąż równanie x3−3×2+2x−6=0.
Matura sierpień 2010 zadanie 28 Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Matura sierpień 2010 zadanie 29 Wyznacz równanie okręgu o środku S=(4,−2) przechodzącego przez punkt (0,0).
Matura sierpień 2010 zadanie 30 Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A=(3,8), B=(1,2), C=(6,7) jest prostokątny.
Matura sierpień 2010 zadanie 31 Wykaż, że jeżeli a>0 i b>0 oraz √a2+b=√a+b2, to a=b lub a+b=1.
Matura sierpień 2010 zadanie 32 Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma liczb oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6 i iloczyn tych liczb jest nieparzysty.
Matura sierpień 2010 zadanie 33 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE i CF. Oblicz pole trójkąta ABF wiedząc, że |AB|=10 i |CF|=11. Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt ABF.
Matura sierpień 2010 zadanie 34 Kolarz przejechał trasę długości 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o 1 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz, z jaką prędkością jechał ten kolarz.
Matura sierpień 2012 zadanie 1 Długość boku kwadratu k2 jest o 10% większa od długości boku kwadratu k1. Wówczas pole kwadratu k2 jest większe od pola kwadratu k1:
Matura sierpień 2012 zadanie 2 Iloczyn 9^−5⋅3^8 jest równy:
Matura sierpień 2012 zadanie 3 Liczba log327−log31 jest równa:
Matura sierpień 2012 zadanie 4 Liczba (2−3√2)2 jest równa:
Matura sierpień 2012 zadanie 5 Liczba −2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=mx+2. Wtedy:
Matura sierpień 2012 zadanie 6 Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x+4|≤7.
Matura sierpień 2012 zadanie 7 Dana jest parabola o równaniu y=x2+8x−14. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa:
Matura sierpień 2012 zadanie 8 Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest ⟨−2,+∞).
Matura sierpień 2012 zadanie 9 Zbiorem rozwiązań nierówności x(x+6)
Matura sierpień 2012 zadanie 10 Wielomian W(x)=x6+x3−2 jest równy iloczynowi:
Matura sierpień 2012 zadanie 11 Równanie (x+3)(x−2)(x−3)(x+2)=0 ma:
Matura sierpień 2012 zadanie 12 Dany jest ciąg (an) określony wzorem an=n(−2)n dla n≥1. Wówczas:
Matura sierpień 2012 zadanie 13 W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1=36, a2=18. Wtedy:
Matura sierpień 2012 zadanie 14 Kąt α jest ostry i sinα=7/13. Wtedy tgα jest równy:
Matura sierpień 2012 zadanie 15 W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy:
Matura sierpień 2012 zadanie 16 Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6. Długość boku BC jest równa:
Matura sierpień 2012 zadanie 17 Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa:
Matura sierpień 2012 zadanie 18 Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 243–√. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy:
Matura sierpień 2012 zadanie 19 Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu y=−1/3x+2.
Matura sierpień 2012 zadanie 20 Punkty B=(−2,4) i C=(5,1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe:
Matura sierpień 2012 zadanie 21 Dany jest okrąg o równaniu (x+4)2+(y−6)2=100. Środek tego okręgu ma współrzędne:
Matura sierpień 2012 zadanie 22 Objętość sześcianu jest równa 64. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
Matura sierpień 2012 zadanie 23 Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku a. Objętość tego stożka wyraża się wzorem:
Matura sierpień 2012 zadanie 24 Pewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000zł, a pensje pozostałych pracowników są równe: 2000zł,2800zł,3400zł,3600zł,4200zł. Mediana zarobków tych 6 osób jest równa:
Matura sierpień 2012 zadanie 25 Ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas:
Matura sierpień 2012 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x2−8x+7≥0.
Matura sierpień 2012 zadanie 27 Rozwiąż równanie x3−6×2−9x+54=0.
Matura sierpień 2012 zadanie 28 Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Matura sierpień 2012 zadanie 29 W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC|=|BC|=6 i |∢ACB|=30° (zobacz rysunek). Oblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.
Matura sierpień 2012 zadanie 30 Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że |CE|=1/2|AC|. Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DCE.
Matura sierpień 2012 zadanie 31 Wykaż, że jeżeli c<0 to trójmian kwadratowy y= x^2 + bx + c
Matura sierpień 2012 zadanie 32 Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC| oraz A=(2,1) i C=(1,9). Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej y=1/2x. Oblicz współrzędne wierzchołka B.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).
Matura sierpień 2012 zadanie 34 Kolarz pokonał trasę 114km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5kmh, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.
1. Liczbę √20 można przedstawić w postaci:
2 Potęga (a/b)−5 (gdzie a i b są różne od zera) jest równa:
Matura czerwiec 2011 zadanie 3 Liczba log1/28 jest równa:
Matura czerwiec 2011 zadanie 4 Wskaż liczbę, która spełnia równanie |4x−5|=x.
Matura czerwiec 2011 zadanie 5 Cenę pewnego towaru najpierw obniżono o 20%, a następnie nową cenę podwyższono o 10%. W wyniku obu tych zmian cena towaru zmniejszyła się w stosunku do pierwotnej o:
Matura czerwiec 2011 zadanie 6 Wielomian x2−100 jest równy:
Matura czerwiec 2011 zadanie 7 Równanie x2+25/x−5=0
Matura czerwiec 2011 zadanie 8 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność (3−x)(3+x)>(3−x)2 jest:
Matura czerwiec 2011 zadanie 9 Funkcja liniowa f(x)=−1/2x+3
Matura czerwiec 2011 zadanie 10 Liczby x1, x2 są rozwiązaniami równania 2(x−5)(x+7)=0. Suma x1+x2 jest równa:
Matura czerwiec 2011 zadanie 11 Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y=f(x). Zbiorem wartości tej funkcji jest:
Matura czerwiec 2011 zadanie 12 W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre: α=41° i β=49° . Wtedy cosα+sinβcosα równa się:
Matura czerwiec 2011 zadanie 13 Ciąg arytmetyczny (an) jest określony wzorem an=2n−1 dla n≥1. Różnica tego ciągu jest równa:
Matura czerwiec 2011 zadanie 14 W ciągu geometrycznym (an) dane są a2=√2/2 i a3=−1. Wtedy wyraz a1 jest równy:
Matura czerwiec 2011 zadanie 15 Dane są punkty A=(−2,2) i B=(4,−2). Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy:
Matura czerwiec 2011 zadanie 16 Dany jest okrąg o równaniu (x+2)2+(y−3)2=5. Środek tego okręgu ma współrzędne:
Matura czerwiec 2011 zadanie 17 Obwód prostokąta jest równy 28. Stosunek długości jego boków jest równy 3:4. Dłuższy bok tego prostokąta jest równy:
Matura czerwiec 2011 zadanie 18 Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:
Matura czerwiec 2011 zadanie 19 Dane są dwa okręgi o promieniach 12 i 17. Większy okrąg przechodzi przez środek mniejszego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa:
Matura czerwiec 2011 zadanie 20 Stożek powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 6 i 13 wokół krótszej przyprostokątnej. Promień podstawy tego stożka jest równy:
Matura czerwiec 2011 zadanie 21 Dany jest sześcian ABCDEFGH. Siatką ostrosłupa czworokątnego ABCDE jest:
Matura czerwiec 2011 zadanie 22 Jeżeli A jest zdarzeniem losowym takim, że P(A)=6⋅P(A′) , oraz A′ jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A, to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:
Matura czerwiec 2011 zadanie 23 Rozwiąż nierówność −2×2+2x+24≥0.
Matura czerwiec 2011 zadanie 24 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=2x−b/x−9 dla x≠9, a f(14)=5. Oblicz współczynnik b.
Matura czerwiec 2011 zadanie 25 Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B,C,N są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że |AM|=|CN|. Wykaż, że |BM|=|MN|.
Matura czerwiec 2011 zadanie 26 Dane są wielomiany P(x)=−2×3+3×2−1, Q(x)=2×2−x−1 oraz W(x)=ax+b. Wyznacz współczynniki a i b, tak aby wielomian P(x) był równy iloczynowi W(x)⋅Q(x).
Matura czerwiec 2011 zadanie 27 Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba 3n+2−2n+2+3n−2n jest wielokrotnością liczby 10.
Matura czerwiec 2011 zadanie 28 Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III. Oblicz medianę i średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.
Matura czerwiec 2011 zadanie 29 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba oczek w pierwszym rzucie jest o 1 mniejsza od liczby oczek w drugim rzucie.
Matura czerwiec 2011 zadanie 30 Liczby 27,x,3 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu.
Matura czerwiec 2011 zadanie 31 Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1,2,3,4 (cyfry mogą się powtarzać).
Matura czerwiec 2011 zadanie 32 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę 120° oraz |AS|=|CS|=10 i |BS|=|DS|. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Matura czerwiec 2011 zadanie 33 Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A=(1,8) i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.
Matura maj 2010 zadanie 1 Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x+7|>5.
Matura maj 2010 zadanie 2 Spodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?
Matura maj 2010 zadanie 3 Liczba (2−2⋅3−1/2−1⋅3−2)0 jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 4 Liczba log48+log42 jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 5 Dane są wielomiany W(x)=−2×3+5×2−3 oraz P(x)=2×3+12x. Wielomian W(x)+P(x) jest równy:
Matura maj 2010 zadanie 6 Rozwiązaniem równania 3x−1/7x+1=2/5 jest:
Matura maj 2010 zadanie 7 Do zbioru rozwiązań nierówności (x−2)(x+3)
Matura maj 2010 zadanie 8 Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=−3×2+3 jest parabola o wierzchołku w punkcie:
Matura maj 2010 zadanie 9 Prosta o równaniu y=−2x+(3m+3) przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie (0,2). Wtedy:
Matura maj 2010 zadanie 10 Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y=f(x). Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?
Matura maj 2010 zadanie 11 W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a3=13 i a5=39. Wtedy wyraz a1 jest równy:
Matura maj 2010 zadanie 12 W ciągu geometrycznym (an) dane są a1=3 i a4=24. Iloraz tego ciągu jest równy:
Matura maj 2010 zadanie 13 Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 14 Kąt α jest ostry i sinα=3/4. Wartość wyrażenia 2−cos2α jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 15 Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku kwadratu jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 16 Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość:
Matura maj 2010 zadanie 17 Odcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe 1, 3 i 9. Długość odcinka AD jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 18 Punkty A,B,C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 19 Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 20 Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y=−3x+5 jest równy:
Matura maj 2010 zadanie 21 Wskaż równanie okręgu o promieniu 6.
Matura maj 2010 zadanie 22 Punkty A=(−5,2) i B=(3,−2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy:
Matura maj 2010 zadanie 23 Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5×3×4 jest równe:
Matura maj 2010 zadanie 24 Ostrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa:
Matura maj 2010 zadanie 25 Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb x,3,1,4,1,5,1,4,1,5 jest równa 3. Wtedy:
Matura maj 2010 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x2−x−2≤0.
Matura maj 2010 zadanie 27 Rozwiąż równanie x3−7×2−4x+28=0.
Matura maj 2010 zadanie 28 Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że |AD|=|BE|.
Matura maj 2010 zadanie 29 Kąt α jest ostry i tgα=5/12. Oblicz cosα.
Matura maj 2010 zadanie 30 Wykaż, że jeśli a>0, to a2+1/a+1≥a+1/2.
Matura maj 2010 zadanie 31 W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.
Matura maj 2010 zadanie 32 Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeżeli wiadomo, że |AD|=12, |BC|=6, |BD|=|CD|=13.
Matura maj 2010 zadanie 33 Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek, a iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Matura maj 2010 zadanie 34 W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350m2 oraz jest o 5m dłuższy i 2m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.
Matura sierpień 2011 zadanie 1 Rozwiązaniem równania 3(2−3x)=x−4 jest:
Matura sierpień 2011 zadanie 2 Suma liczby x i 15% tej liczby jest równa 230. Równaniem opisującym tę zależność jest:
Matura sierpień 2011 zadanie 3 Rozwiązaniem układu równań: {x+3y=5 2x−y=3 jest:
Matura sierpień 2011 zadanie 4 Funkcja liniowa f(x)=(m−2)x−11 jest rosnąca dla:
Matura sierpień 2011 zadanie 5 Do wykresu funkcji liniowej f należą punkty A=(1,2) i B=(−2,5). Funkcja f ma wzór:
Matura sierpień 2011 zadanie 6 Punkt A=(0,5) leży na prostej k prostopadłej do prostej o równaniu y=x+1. Prosta k ma równanie:
Matura sierpień 2011 zadanie 7 Dla pewnych liczb a i b zachodzą równości: a2−b2=200 i a+b=8. Dla tych liczb a i b wartość wyrażenia a−b jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 8 Liczba |5−2|+|1−6| jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 9 Liczba log24+2log31 jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 10 Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x)=x2−4 jest:
Matura sierpień 2011 zadanie 11 Dane są wielomiany W(x)=x3+3×2+x−11 i V(x)=x3+3×2+1. Stopień wielomianu W(x)−V(x) jest równy:
Matura sierpień 2011 zadanie 12 W ciągu geometrycznym (an) mamy a3=5 i a4=15. Wtedy wyraz a5 jest równy:
Matura sierpień 2011 zadanie 13 Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2?
Matura sierpień 2011 zadanie 14 Dane są punkty A=(1,−4) i B=(2,3). Odcinek AB ma długość:
Matura sierpień 2011 zadanie 15 Kąt α jest ostry oraz sinα=cos47°. Wtedy miara kąta α jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 16 Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (an) określony wzorem an=2n2−9 dla n≥1?
Matura sierpień 2011 zadanie 17 Krawędź sześcianu ma długość 9. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 18 Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 3,1,1,0,x,2 jest równa 2. Wtedy liczba x jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 19 Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe:
Matura sierpień 2011 zadanie 20 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa:
Matura sierpień 2011 zadanie 21 Dany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60°. Pole tego rombu jest równe:
Matura sierpień 2011 zadanie 22 Kula ma objętość V=288π. Promień r tej kuli jest równy:
Matura sierpień 2011 zadanie 23 W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa 90. Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
Matura sierpień 2011 zadanie 24 Rozwiąż nierówność x2−3x+2
Matura sierpień 2011 zadanie 25 Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1⋅2⋅3⋅…⋅16, jest podzielny przez 215.
Matura sierpień 2011 zadanie 26 Kąt α jest ostry i sinα=1/4. Oblicz 3+2tg2α.
Matura sierpień 2011 zadanie 27 Liczby 2x+1, 6, 16x+2 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
Matura sierpień 2011 zadanie 28 Na bokach trójkąta równobocznego ABC (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty ABDE, CBGH, ACKL. Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny.
Matura sierpień 2011 zadanie 29 Punkty A i B leżą na okręgu i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.
Matura sierpień 2011 zadanie 30 Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.
Matura sierpień 2011 zadanie 31 Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 4m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.
Matura sierpień 2011 zadanie 32 Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące warunki: 1. Cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste, 2. Cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek, 3. Cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności, 4. W zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.
Matura sierpień 2011 zadanie 33 Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne AW, BW i CW mają następujące długości: |AW|=6, |BW|=9, |CW|=7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura maj 2011 zadanie 1 Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π.
Matura maj 2011 zadanie 2 Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189zł. Rower kosztuje:
Matura maj 2011 zadanie 3 Wyrażenie 5a2−10ab+15a jest równe iloczynowi:
Matura maj 2011 zadanie 4 Układ równań {4x+2y=106x+ay=15 ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli:
Matura maj 2011 zadanie 5 Rozwiązanie równania x(x+3)−49=x(x−4) należy do przedziału:
Matura maj 2011 zadanie 6 Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności 3/8+x/6
Matura maj 2011 zadanie 7 Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: 3(x−1)(x−5)≤0 i x>1.
Matura maj 2011 zadanie 8 Wyrażenie log4(2x−1) jest określone dla wszystkich liczb x spełniających warunek:
Matura maj 2011 zadanie 9 Dane są funkcje liniowe f(x)=x−2 oraz g(x)=x+4 określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji h(x)=f(x)⋅g(x).
Matura maj 2011 zadanie 10 Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x)=−2–√x+4. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:
Matura maj 2011 zadanie 11 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym a3=1 i a4=2/3. Wtedy:
Matura maj 2011 zadanie 12 Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an) o wyrazach dodatnich. Wtedy:
Matura maj 2011 zadanie 13 Kąt α jest ostry i cosα=5/13. Wtedy:
Matura maj 2011 zadanie 14 Wartość wyrażenia sin238°+cos238°−1/sin252°+cos252°+1 jest równa:
Matura maj 2011 zadanie 15 W prostopadłościanie ABCDEFGH mamy: |AB|=5, |AD|=4, |AE|=3. Który z odcinków AB, BG, GE, EB jest najdłuższy?
Matura maj 2011 zadanie 16 Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany α ma miarę:
Matura maj 2011 zadanie 17 Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60° jest równa:
Matura maj 2011 zadanie 18 Prosta k ma równanie y=2x−3. Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (−2,1).
Matura maj 2011 zadanie 19 Styczną do okręgu (x−1)2+y2−4=0 jest prosta o równaniu:
Matura maj 2011 zadanie 20 Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:
Matura maj 2011 zadanie 21 Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa:
Matura maj 2011 zadanie 22 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi:
Matura maj 2011 zadanie 23 Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: "Ile osób liczy twoja rodzina?" Wyniki przedstawiono w tabeli: Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa:
Matura maj 2011 zadanie 24 Rozwiąż nierówność 3×2−10x+3≤0.
Matura maj 2011 zadanie 25 Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a2+b2=7, to a4+b4=31.
Matura maj 2011 zadanie 26 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) zbiór wartości funkcji f, b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca.
Matura maj 2011 zadanie 27 Liczby x, y, 19 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny, przy czym x+y=8. Oblicz x i y.
Matura maj 2011 zadanie 28 Kąt α jest ostry i sinα/cosα+cosα/sinα=2. Oblicz wartość wyrażenia sinα⋅cosα.
Matura maj 2011 zadanie 29 Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC|=|CD| i |EB|=|BA|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.
Matura maj 2011 zadanie 30 Ze zbioru liczb {1,2,3,…,7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.
Matura maj 2011 zadanie 31 Okrąg o środku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x−3. Oblicz współrzędne punktu styczności.
Matura maj 2011 zadanie 32 Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
Matura maj 2011 zadanie 33 Punkty K, L, i M są środkami krawędzi BC, HG i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.
Matura czerwiec 2012 zadanie 1 Ułamek √5+2/√5−2 jest równy:
Matura czerwiec 2012 zadanie 2 Liczbami spełniającymi równanie |2x+3|=5 są:
Matura czerwiec 2012 zadanie 3 Równanie (x+5)(x−3)(x2+1)=0 ma:
Matura czerwiec 2012 zadanie 4 Marża równa 1,5% kwoty pożyczonego kapitału była równa 3000zł. Wynika stąd, że pożyczono:
Matura czerwiec 2012 zadanie 5 Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji y=x2+2x−3. Wskaż ten rysunek.
Matura czerwiec 2012 zadanie 6 Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem f(x)=x2−4x+4 jest punkt o współrzędnych:
Matura czerwiec 2012 zadanie 7 Jeden kąt trójkąta ma miarę 54°. Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest 6 razy większy od drugiego. Miary pozostałych kątów są równe:
Matura czerwiec 2012 zadanie 8 Krótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę 30°. Dłuższy bok prostokąta ma długość:
Matura czerwiec 2012 zadanie 9Cięciwa okręgu ma długość 8cm i jest oddalona od jego środka o 3cm. Promień tego okręgu ma długość:
Matura czerwiec 2012 zadanie 10 Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany BAD ma miarę:
Matura czerwiec 2012 zadanie 11 Pięciokąt ABCDE jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do trójkąta ECD:
Matura czerwiec 2012 zadanie 12 Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:
Matura czerwiec 2012 zadanie 13 Wyrażenie 3x+1/x−2−2x−1/x+3 jest równe:
Matura czerwiec 2012 zadanie 14 Ciąg (an) jest określony wzorem an=√2n+4 dla n≥1. Wówczas:
Matura czerwiec 2012 zadanie 15 Ciąg (2√2,4,a) jest geometryczny. Wówczas:
Matura czerwiec 2012 zadanie 16 Kąt α jest ostry i tgα=1. Wówczas:
Matura czerwiec 2012 zadanie 17 Wiadomo, że dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x)=x−7/2x+a jest zbiór (−∞,2)∪(2,+∞). Wówczas:
Matura czerwiec 2012 zadanie 18 Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej f(x)=ax+b, gdzie a>0 i b
Matura czerwiec 2012 zadanie 19 Punkt S=(2,7) jest środkiem odcinka AB, w którym A=(−1,3). Punkt B ma współrzędne:
Matura czerwiec 2012 zadanie 20 W kolejnych sześciu rzutach kostką otrzymano następujące wyniki: 6,3,1,2,5,5. Mediana tych wyników jest równa:
Matura czerwiec 2012 zadanie 21 Równość (a+2√2)2=a2+28√2+8 zachodzi dla:
Matura czerwiec 2012 zadanie 22 Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 i 6 obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej. Objętość powstałego stożka jest równa:
Matura czerwiec 2012 zadanie 23 Jeżeli A i B są zdarzeniami losowymi, B′ jest zdarzeniem przeciwnym do B, P(A)=0,3, P(B′)=0,4 oraz A∩B=∅, to P(A∪B) jest równe:
Matura czerwiec 2012 zadanie 24 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku a. Jeżeli r oznacza promień podstawy walca, h oznacza wysokość walca, to:
Matura czerwiec 2012 zadanie 25 Rozwiąż nierówność x2−3x−10
Matura czerwiec 2012 zadanie 26 Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.
Matura czerwiec 2012 zadanie 27 Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.
Matura czerwiec 2012 zadanie 28 Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to sin4α+cos2α=sin2α+cos4α.
Matura czerwiec 2012 zadanie 29 Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
Matura czerwiec 2012 zadanie 30 Suma Sn=a1+a2+…+an początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn=n2−2n. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.
Matura czerwiec 2012 zadanie 31 Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45°, a jego pole jest równe 502–√. Oblicz wysokość tego rombu.
Matura czerwiec 2012 zadanie 32 Punkty A=(2,11), B=(8,23), C=(6,14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu D.
Matura czerwiec 2012 zadanie 33 Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta.
Matura czerwiec 2012 zadanie 34 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura sierpień 2013 zadanie 1 Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3−x)>x.
Matura sierpień 2013 zadanie 2 Gdy od 17% liczby 21 odejmiemy 21% liczby 17, to otrzymamy:
Matura sierpień 2013 zadanie 3 Liczba 53⋅25/√5 jest równa:
Matura sierpień 2013 zadanie 4 Rozwiązaniem układu równań {3x−5y=0 i 2x−y=14 jest para liczb (x,y) takich, że:
Matura sierpień 2013 zadanie 5 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=2xx−1 dla x≠1. Wartość funkcji f dla argumentu x=2 jest równa:
Matura sierpień 2013 zadanie 6 Liczby rzeczywiste a,b,c spełniają warunki: a+b=3, b+c=4 i c+a=5. Wtedy suma a+b+c jest równa:
Matura sierpień 2013 zadanie 7 Prostą równoległą do prostej o równaniu y=2/3x−4/3 jest prosta dana równaniem
Matura sierpień 2013 zadanie 8 Dla każdych liczb rzeczywistych a,b wyrażenie a−b+ab−1 jest równe:
Matura sierpień 2013 zadanie 9 Wierzchołek paraboli o równaniu y=(x−1)2+2c leży na prostej o równaniu y=6. Wtedy:
Matura sierpień 2013 zadanie 10 Liczba log2100−log250 jest równa:
Matura sierpień 2013 zadanie 11 Wielomian W(x)=(3×2−2)2 jest równy wielomianowi:
Matura sierpień 2013 zadanie 12 Z prostokąta ABCD o obwodzie 30 wycięto trójkąt równoboczny AOD o obwodzie 15 (tak jak na rysunku). Obwód zacieniowanej figury jest równy:
Matura sierpień 2013 zadanie 13 Liczby 3x−4,8,2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy:
Matura sierpień 2013 zadanie 14 Punkt S=(4;1) jest środkiem odcinka AB, gdzie A=(a;0) i B=(a+3;2). Zatem:
Matura sierpień 2013 zadanie 15 Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5?
Matura sierpień 2013 zadanie 16 Punkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt α ma miarę:
Matura sierpień 2013 zadanie 17 Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość 8. Wówczas pole koła opisanego na tym sześciokącie jest równe:
Matura sierpień 2013 zadanie 18 Pole równoległoboku o bokach 4 i 12 oraz kącie ostrym 30° jest równe:
Matura sierpień 2013 zadanie 19 Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 24. Wtedy liczba jego wierzchołków jest równa
Matura sierpień 2013 zadanie 20 Objętość walca o wysokości 8 jest równa 72π. Promień podstawy tego walca jest równy:
Matura sierpień 2013 zadanie 21 Liczby 7,a,49 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy a jest równe:
Matura sierpień 2013 zadanie 22 Ciąg (an) jest określony wzorem an=n2−n, dla n≥1. Który wyraz tego ciągu jest równy 6?
Matura sierpień 2013 zadanie 23 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe:
Matura sierpień 2013 zadanie 24 Kąt α jest ostry i sinα=3√3. Wtedy wartość wyrażenia 2cos2α−1 jest równa:
Matura sierpień 2013 zadanie 25 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y=f(x). Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨−1,1⟩ jest równa
Matura sierpień 2013 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 3x−x2≥0.
Matura sierpień 2013 zadanie 27 Rozwiąż równanie x3−6×2−12x+72=0.
Matura sierpień 2013 zadanie 28 Kąt α jest ostry i tgα=2. Oblicz sinα−cosαsinα+cosα.
Matura sierpień 2013 zadanie 29 W tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,6. Oblicz liczbę x ocen bardzo dobrych (5) z matematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.
Matura sierpień 2013 zadanie 30 Uzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i a+1/a=3, to a2+1/a2=7.
Matura sierpień 2013 zadanie 31 Długość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.
Matura sierpień 2013 zadanie 32 Dane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię 6000m2. Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o 10m i 15m oraz powierzchnię większą o 2250m2. Oblicz wymiary pierwszej działki.
Matura sierpień 2013 zadanie 33 Punkty A=(−1,−5), B=(3,−1) i C=(2,4) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.
Matura sierpień 2013 zadanie 34 Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 72, a promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.
Matura maj 2012 zadanie 12 W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC|=|BC|=5 oraz wysokość |CD|=2. Podstawa AB tego trójkąta ma długość:
Matura maj 2012 zadanie 1 Cenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%. W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o:
Matura maj 2012 zadanie 2 Liczba (3)√(-8^-1)⋅16^(3/4) jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 3 Liczba (3−√2)^2+4(2−√2) jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 4 Iloczyn 2log139 jest równy:
Matura maj 2012 zadanie 5 Wskaż liczbę, która spełnia równanie |3x+1|=4x.
Matura maj 2012 zadanie 6 Liczby x1, x2 są różnymi rozwiązaniami równania 2×2+3x−7=0. Suma x1+x2 jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 7 Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej y=−3(x−7)(x+2) są:
Matura maj 2012 zadanie 8 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+6, gdzie a>0. Wówczas spełniony jest warunek:
Matura maj 2012 zadanie 9 Wskaż wykres funkcji, która w przedziale ⟨−4,4⟩ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Matura maj 2012 zadanie 10 Liczba tg30°−sin30° jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 11 W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i |AB|=13 oraz |BC|=12. Wówczas sinus kąta ABC jest równy
Matura maj 2012 zadanie 13 W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 5 i 7. Obwód tego trójkąta jest równy:
Matura maj 2012 zadanie 14 Odcinki AB i CD są równoległe i |AB|=5,|AC|=2,|CD|=7 (zobacz rysunek). Długość odcinka AE jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 15 Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 5 jest równe:
Matura maj 2012 zadanie 16 Punkty A,B,C,D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego ACD jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 17 Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 20°. Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę:
Matura maj 2012 zadanie 18 Dany jest ciąg (an) określony wzorem an=(−1)n⋅2−nn2 dla n≥1. Wówczas wyraz a5 tego ciągu jest równy:
Matura maj 2012 zadanie 19 Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe 4. Objętość tego sześcianu jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 20 Tworząca stożka ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Wysokość tego stożka jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 21 Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x−6y+7=0.
Matura maj 2012 zadanie 22 Punkt A ma współrzędne (5,2012). Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi Ox, a punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi Oy. Punkt C ma współrzędne:
Matura maj 2012 zadanie 23 Na okręgu o równaniu (x−2)2+(y+7)2=4 leży punkt:
Matura maj 2012 zadanie 24 Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w 10 kolorach, jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 25 Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500zł. Za pięć z tych akcji zapłacono 2300zł. Cena szóstej jest równa:
Matura maj 2012 zadanie 26 Rozwiąż nierówność: x2+8x+15>0.
Matura maj 2012 zadanie 27 Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają nierówności 0
Matura maj 2012 zadanie 28 Liczby x1=−4 i x2=3 są pierwiastkami wielomianu W(x)=x3+4×2−9x−36. Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Matura maj 2012 zadanie 29 Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A=(−2,2) i B=(2,10).
Matura maj 2012 zadanie 30 W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się w punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty.
Matura maj 2012 zadanie 31 Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 6.
Matura maj 2012 zadanie 32 Ciąg (9,x,19) jest arytmetyczny, a ciąg (x,42,y,z) jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.
Matura maj 2012 zadanie 33 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60°. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.
Matura maj 2012 zadanie 34 Miasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o 24km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.
Matura maj 2013 zadanie 1 Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |x+4|
Matura maj 2013 zadanie 2 Liczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. Stąd wynika, że a jest równe:
Matura maj 2013 zadanie 3 Liczba log100−log(2)8 jest równa
Matura maj 2013 zadanie 4 Rozwiązaniem układu równań 5x+3y=3 i 8x−6y=48 jest para liczb
Matura maj 2013 zadanie 5 Punkt A=(0,1) leży na wykresie funkcji liniowej f(x)=(m−2)x+m−3. Stąd wynika, że
Matura maj 2013 zadanie 6 Wierzchołkiem paraboli o równaniu y=−3(x−2)2+4 jest punkt o współrzędnych:
Matura maj 2013 zadanie 7 Dla każdej liczby rzeczywistej x, wyrażenie 4×2−12x+9 jest równe:
Matura maj 2013 zadanie 8 Prosta o równaniu y=(2/m)x+1 jest prostopadła do prostej o równaniu y==−3/2x−1 . Stąd wynika, że:
Matura maj 2013 zadanie 9 Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y=ax+b. Jakie znaki mają współczynniki a i b?
Matura maj 2013 zadanie 10 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x2≤2×3+14 jest
Matura maj 2013 zadanie 11 Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji y=f(x) określonej dla x∈⟨−7;4⟩. Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji:
Matura maj 2013 zadanie 12 Ciąg (27,18,x+5) jest geometryczny. Wtedy:
Matura maj 2013 zadanie 13 Ciąg (an) określony dla n≥1 jest arytmetyczny oraz a3=10 i a4=14. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
Matura maj 2013 zadanie 14 Kąt α jest ostry i sinα=√3/2. Wartość wyrażenia cos^2α−2 jest równa:
Matura maj 2013 zadanie 15 Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50° (tak jak na rysunku). Miara kąta α jest równa:
Matura maj 2013 zadanie 16 Liczba rzeczywistych rozwiązań równania (x+1)(x+2)(x2+3)=0 jest równa:
Matura maj 2013 zadanie 17 Punkty A=(−1,2) i B=(5,−2) są dwoma kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy:
Matura maj 2013 zadanie 18 Punkt S=(−4,7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q=(17,12). Zatem punkt P ma współrzędne
Matura maj 2013 zadanie 19 Odległość między środkami okręgów o równaniach (x+1)2+(y−2)2=9 oraz x2+y2=10 jest równa
Matura maj 2013 zadanie 20 Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest:
Matura maj 2013 zadanie 21 Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe:
Matura maj 2013 zadanie 22 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy:
Matura maj 2013 zadanie 23 Liczba (√50−√18)/√2 jest równa:
Matura maj 2013 zadanie 24 Mediana uporządkowanego, niemalejącego zestawu liczb: 1,2,3,x,5,8 jest równa 4. Wtedy:
Matura maj 2013 zadanie 25 Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 283–√. Długość podstawy tego graniastosłupa jest równa:
Matura maj 2013 zadanie 26 Rozwiąż równanie x3+2×2−8x−16=0.
Matura maj 2013 zadanie 27 Kąt α jest ostry i sinα=3√2. Oblicz wartość wyrażenia sin2α−3cos2α.
Matura maj 2013 zadanie 28 Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y,z takich, że x+y+z=0, prawdziwa jest nierówność xy+yz+zx≤0. Możesz skorzystać z tożsamości (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz.
Matura maj 2013 zadanie 29 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x∈⟨−7;8⟩. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji f b) zbiór rozwiązań nierówności f(x)
Matura maj 2013 zadanie 30 Rozwiąż nierówność 2×2−7x+5≥0.
Matura maj 2013 zadanie 31 Wykaż, że liczba 6100−2⋅699+10⋅698 jest podzielna przez 17.
Matura maj 2013 zadanie 32 Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.
Matura maj 2013 zadanie 33 Pole podstawy prawidłowego ostrosłupa czworokątnego jest równe 100cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura maj 2013 zadanie 34 Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę drogę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.
Matura czerwiec 2013 zadanie 1 Liczba ((3)√16⋅4^−2)^3 jest równa
Matura czerwiec 2013 zadanie 2 Dodatnia liczba x stanowi 70% liczby y. Wówczas
Matura czerwiec 2013 zadanie 3 Przedział ⟨−1,3⟩ jest opisany nierównością
Matura czerwiec 2013 zadanie 4 Wartość wyrażenia log(2)20−log(2)5 jest równa
Matura czerwiec 2013 zadanie 5 Liczba −3 jest miejscem zerowym funkcji f(x)=(2m−1)x+9. Wtedy
Matura czerwiec 2013 zadanie 6 Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin^2α+sin^2α⋅cos^2α+cos^4α jest
Matura czerwiec 2013 zadanie 7 Kąt α jest ostry i sinα=1/3. Wartość wyrażenia 1+tgα⋅cosα jest równa
Matura czerwiec 2013 zadanie 8 Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
Matura czerwiec 2013 zadanie 9 Przedziałem, w którym funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne, jest
Matura czerwiec 2013 zadanie 10 Funkcja g jest określona wzorem
Matura czerwiec 2013 zadanie 11 Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt α, zaznaczony na rysunku, ma miarę
Matura czerwiec 2013 zadanie 12 Iloczyn wielomianów 2x−3 oraz −4×2−6x−9 jest równy
Matura czerwiec 2013 zadanie 13 Prostokąt ABCD o przekątnej długości 213−−√ jest podobny do prostokąta o bokach długości 2 i 3. Obwód prostokąta ABCD jest równy
Matura czerwiec 2013 zadanie 14 Cosinus kąta ostrego rombu jest równy 3√2, bok rombu ma długość 3. Pole tego rombu jest równe:
Matura czerwiec 2013 zadanie 15 Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa
Matura czerwiec 2013 zadanie 16 Ciąg (an) określony jest wzorem an=−2+12n dla n≥1. Równość an=4 zachodzi dla
Matura czerwiec 2013 zadanie 17 Funkcja f(x)=3x(x2+5)(2−x)(x+1) ma dokładnie
Matura czerwiec 2013 zadanie 18 Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie
Matura czerwiec 2013 zadanie 19 Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości 1 oraz √3. Najmniejszy kąt w tym trójkącie ma miarę
Matura czerwiec 2013 zadanie 20 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) w którym różnica r=−2 oraz a20=17. Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
Matura czerwiec 2013 zadanie 21 W ciągu geometrycznym (an) pierwszy wyraz jest równy 98, a czwarty wyraz jest równy 13. Wówczas iloraz q tego ciągu jest równy
Matura czerwiec 2013 zadanie 22 Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na poniższym diagramie. Średnia ocen uzyskanych przez uczniów z tego sprawdzianu jest równa
Matura czerwiec 2013 zadanie 23 Objętość stożka o wysokości h i promieniu podstawy trzy razy mniejszym od wysokości jest równa:
Matura czerwiec 2013 zadanie 24 Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe
Matura czerwiec 2013 zadanie 25 Dana jest prosta l o równaniu y=−2/5x. Prosta k równoległa do prostej l i przecinająca oś Oy w punkcie o współrzędnych (0,3) ma równanie
Matura czerwiec 2013 zadanie 26 Liczba log4+log5−log2 jest równa:
Matura czerwiec 2013 zadanie 27 Rozwiąż równanie 3×3−4×2−3x+4=0
Matura czerwiec 2013 zadanie 28 Kąt α jest ostry i cosα=√7/4. Oblicz wartość wyrażenia
Matura czerwiec 2013 zadanie 29 Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek.
Matura czerwiec 2013 zadanie 30 Wykaż, że liczba (1+20132)(1+20134) jest dzielnikiem liczby: 1+2013+20132+20133+20134+20135+20136+20137
Matura czerwiec 2013 zadanie 31 Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an=7⋅3n+1, dla n≥1. Oblicz iloraz q tego ciągu
Matura czerwiec 2013 zadanie 32 Podstawą graniastosłupa ABCDEFGH jest prostokąt ABCD (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość 3. Przekątna prostokąta ABCD tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 30°. Przekątna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60°. Oblicz objętość tego graniastosłupa
Matura czerwiec 2013 zadanie 33 Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy ze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby i wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się o 5 złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?
Matura czerwiec 2013 zadanie 34 Wierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne: A=(−1,−5),B=(5,1),C=(1,3),D=(−2,0). Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona AD oraz BC trapezu ABCD
Matura Czerwiec 2014 zadanie 1 Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x?
Matura Czerwiec 2014 zadanie 2 Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek 12:8:3:2. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora?
Matura Czerwiec 2014 zadanie 3 Dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b wyrażenie ab+a−b−1 jest równe:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 4 Na prostej o równaniu y=ax+b leżą punkty K=(1,0) i L=(0,1). Wynika stąd, że:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 5 Dane są liczby: a=log(3)1/9, b=log(3)3, c=log(3)1/27. Który z poniższych warunków jest prawdziwy?
Matura Czerwiec 2014 zadanie 6 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=3x−4 dla każdej liczby z przedziału ⟨−2,2⟩. Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 7 Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x)=3×2+7x+c jest liczba −7/3. Wówczas c jest równe:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 8 Liczba (3^27+3^26)/(3^26+3^25) jest równa:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 9 Dane są wielomiany: W(x)=2×2−1, P(x)=x3+x i Q(x)=(1−x)(x+1). Stopień wielomianu W(x)⋅P(x)⋅Q(x) jest równy
Matura Czerwiec 2014 zadanie 10 Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu y=(x+2)(x−4) jest równa
Matura Czerwiec 2014 zadanie 11 W ciągu geometrycznym (an), określonym dla n≥1, wyraz a1=5, natomiast iloraz q=−2. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 12 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a2=11 i a4=7. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
Matura Czerwiec 2014 zadanie 13 Miara kąta α spełnia warunek: 0°
Matura Czerwiec 2014 zadanie 14 W trapezie KLMN, w którym KL||MN, kąt LKN jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: |MN|=3, |KN|=43–√, |∢KLM|=60°. Pole tego trapezu jest równe:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 15 Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej 40 studentów, jest równa 30. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie 1800 punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 16 W sześcianie EFGHIJKL poprowadzono z wierzchołka F dwie przekątne sąsiednich ścian, FI oraz FK (zobacz rysunek). Miara kąta IFK jest równa:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 17 Punkt O jest środkiem okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta LKM jest równa:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 18 Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 12 i 9, opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 19 Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {1,2,3,4,…,30} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 20 W trójkącie EFG bok EF ma długość 21. Prosta równoległa do boku EF przecina boki EG i FG trójkąta odpowiednio w punktach H oraz I (zobacz rysunek) w taki sposób, że |HI|=7 i |GI|=3. Wtedy długość odcinka FI jest równa:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 21 Na planie miasta, narysowanym w skali 1:20000, park jest prostokątem o bokach 2cm i 5cm. Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię
Matura Czerwiec 2014 zadanie 22 Proste o równaniach: y=mx−5 oraz y=(1−2m)x+7 są równoległe, gdy:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 23 Punkty M=(2,0) i N=(0,−2) są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg?
Matura Czerwiec 2014 zadanie 24 Objętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa 96π. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 25 Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 432, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 12. Wysokość tego ostrosłupa jest równa:
Matura Czerwiec 2014 zadanie 26 Rozwiąż nierówność (2x−3)(3−x)≥0.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 27 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność (a+b2)2≤a2+b22.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 28 Kąt α jest ostry oraz cosα=√3/3. Oblicz wartość wyrażenia sinαcosα+cosα1+sinα.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 29 Liczby 6,2x+4,x+26 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę r tego ciągu.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 30 Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych: K={−4,−1,1,5,6} i L={−3,−2,2,3,4}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 31 Dany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD|=|DE|. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 32 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długość 4√2. Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 33 Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11km/h większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.
Matura Czerwiec 2014 zadanie 34 Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie A=(2,1) i B=(5,2). Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x−y−3=0. Oblicz współrzędne wierzchołka C.
Matura maj 2017 zadanie 13 Dany jest trójwyrazowy ciąg geometryczny (24,6,a−1). Stąd wynika, że:
Matura maj 2017 zadanie 14 Jeżeli m=sin50°, to:
Matura maj 2017 zadanie 15 Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę:
Matura maj 2017 zadanie 16 W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest równoległy do boku AC, a ponadto |BD|=10, |BC|=12 i |AC|=24 (zobacz rysunek). Długość odcinka DE jest równa:
Matura maj 2017 zadanie 17 Obwód trójkąta przedstawionego na rysunku jest równy:
Matura maj 2017 zadanie 18 Na rysunku przedstawiona jest prosta k o równaniu y=ax, przechodząca przez punkt A=(2,−3) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia tej prostej od osi Ox. Zatem:
Matura maj 2017 zadanie 19 Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym w punkcie A=(−2,4). Prosta k jest określona równaniem y=−1/4x+7/2. Zatem prostą l opisuje równanie:
Matura maj 2017 zadanie 20 Dany jest okrąg o środku S=(2,3) i promieniu r=5. Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
Matura maj 2017 zadanie 21 Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa:
Matura maj 2017 zadanie 22 Promień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz rysunek) jest równy:
Matura maj 2017 zadanie 23 Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa:
Matura maj 2017 zadanie 24 Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: 3,5,7,9,x,15,17,19 jest równa 11. Wtedy:
Matura maj 2017 zadanie 25 Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem 24. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:
Matura maj 2017 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 8×2−72x≤0.
Matura maj 2017 zadanie 27 Wykaż, że liczba 4^2017+4^2018+4^2019+4^2020 jest podzielna przez 17.
Matura maj 2017 zadanie 28 Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C. Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz |∢APC|=α i |∢ABC|=β (zobacz rysunek). Wykaż, że α=180°−2β.
Matura maj 2017 zadanie 29 Funkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem f(x)=ax2+bx+c. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz f(−6)=f(0)=32. Oblicz wartość współczynnika a.
Matura maj 2017 zadanie 30 Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.
Matura maj 2017 zadanie 31 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są: wyraz a1=8 i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu S3=33. Oblicz różnicę: a16−a13.
Matura maj 2017 zadanie 32 Dane są punkty A=(−4,0) i M=(2,9) oraz prosta k o równaniu y=−2x+10. Wierzchołek B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek C jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM. Oblicz pole trójkąta ABC.
Matura maj 2017 zadanie 33 Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Matura maj 2017 zadanie 34 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 5√3/4, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 15√3/4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura czerwiec 2016 zadanie 1 Liczba 7^6⋅6^7/42^6 jest równa
Matura czerwiec 2016 zadanie 2 Cenę pewnego towaru podwyższono o 20%, a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o 30%. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką:
Matura czerwiec 2016 zadanie 3 Liczba (3)√3√3 jest równa
Matura czerwiec 2016 zadanie 4 Różnica 50001^2−49999^2 jest równa
Matura czerwiec 2016 zadanie 5 Najmniejsza wartość wyrażenia (x−y)(x+y) dla x,y∈{2,3,4} jest równa:
Matura czerwiec 2016 zadanie 6 Wartość wyrażenia log3(3/2)+log3(2/9) jest równa
Matura czerwiec 2016 zadanie 7 Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania (x−8)(x2−4)(x2+16)=0, wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa:
Matura czerwiec 2016 zadanie 8 Rozwiązaniem równania x−7/x=5, gdzie x≠0, jest liczba należąca do przedziału:
Matura czerwiec 2016 zadanie 9 Funkcja f określona jest wzorem f(x)=2×3/x4+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy liczba f(−√2) jest równa:
Matura czerwiec 2016 zadanie 10 Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=−2(x+5)(x−11). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca:
Matura czerwiec 2016 zadanie 11 Ciąg (an) jest określony wzorem an=6(n−16) dla n≥1. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
Matura czerwiec 2016 zadanie 12 Dany jest ciąg geometryczny (an), w którym a1=72 i a4=9. Iloraz q tego ciągu jest równy:
Matura czerwiec 2016 zadanie 13 Dany jest trapez ABCD, w którym przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC, |AD|=|DC| oraz |∢ABC|=50° (zobacz rysunek). Stąd wynika, że:
Matura czerwiec 2016 zadanie 14 Punkty A,B,C i D leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów α i β są odpowiednio równe:
Matura czerwiec 2016 zadanie 15 Słoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?
Matura czerwiec 2016 zadanie 16 Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość 20. Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę 150°. Pole tego trójkąta jest równe:
Matura czerwiec 2016 zadanie 17 Prosta określona wzorem y=ax+1 jest symetralną odcinka AB, gdzie A=(−3,2) i B=(1,4). Wynika stąd, że:
Matura czerwiec 2016 zadanie 18 Układ równań y=−ax+2a oraz y=(b/3)x−2 nie ma rozwiązań dla
Matura czerwiec 2016 zadanie 19 Do pewnej liczby a dodano 54. Otrzymaną sumę podzielono przez 2. W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większa od liczby a. Zatem:
Matura czerwiec 2016 zadanie 20 Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta ASC jest równa:
Matura czerwiec 2016 zadanie 21 Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy:
Matura czerwiec 2016 zadanie 22 Średnia arytmetyczna czterech liczb: x−1, 3x, 5x+1 i 7x jest równa 72. Wynika stąd, że:
Matura czerwiec 2016 zadanie 23 Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe k i l o równaniach y=ax+b oraz y=mx+n. Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi. Zatem:
Matura czerwiec 2016 zadanie 24 Dane są dwie sumy algebraiczne 3×3−2x oraz −3×2−2. Iloczyn tych sum jest równy:
Matura czerwiec 2016 zadanie 25 Punkty D i E są środkami przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC. Punkty F i G leżą na przeciwprostokątnej AB tak, że odcinki DF i EG są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta BGE jest równe 1, a pole trójkąta AFD jest równe 4. Zatem pole trójkąta ABC jest równe:
Matura czerwiec 2016 zadanie 26 Rozwiąż równanie (2x+1)/2x=(2x+1)/(x+1), gdzie x≠−1 i x≠0.
Matura czerwiec 2016 zadanie 27 Dane są proste o równaniach y=x+2 oraz y=−3x+b, które przecinają się w punkcie leżącym na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Ox.
Matura czerwiec 2016 zadanie 28 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x4+y4+x2+y2≥2(x3+y3).
Matura czerwiec 2016 zadanie 29 Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, ze w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.
Matura czerwiec 2016 zadanie 30 W trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=15 i |AC|=12 oraz cosα=45, gdzie α=∢BAC. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że |BD|=2|AD| i |AE|=2|CE| (zobacz rysunek). Oblicz pole:
Matura czerwiec 2016 zadanie 31 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, w którym a1+a2+a3+a4=2016 oraz a5+a6+a7+…+a12=2016. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (an).
Matura czerwiec 2016 zadanie 32 Dany jest stożek o objętości 8π, w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Matura czerwiec 2016 zadanie 33 Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10% większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek
Matura sierpień 2017 zadanie 1 Niech a=−2, b=3. Wartość wyrażenia ab−ba jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 2 Liczba 9^9⋅81^2 jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 3 Wartość wyrażenia log48+5log42 jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 4 Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła:
Matura sierpień 2017 zadanie 5 Liczba (2√7−5)^2⋅(2√7+5)^2 jest równa
Matura sierpień 2017 zadanie 6 Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb x spełniających warunek: 11≤2x−7≤15.
Matura sierpień 2017 zadanie 7 Rozważmy treść następującego zadania "Obwód prostokąta o bokach długości a i b jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta." Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?
Matura sierpień 2017 zadanie 8 Rozwiązaniem równania x+1/x+2=3, gdzie x≠−2, jest liczba należąca do przedziału:
Matura sierpień 2017 zadanie 9 Linę o długości 100 metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku 3:4:5. Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość:
Matura sierpień 2017 zadanie 10 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=x2+bx+c. Współczynniki b i c spełniają warunki:
Matura sierpień 2017 zadanie 11 Dany jest ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, o którym wiemy, że: a1=2 i a2=9. Wtedy an=79 dla:
Matura sierpień 2017 zadanie 12 Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: (81,3x,4). Stąd wynika, że:
Matura sierpień 2017 zadanie 13 Kąt α jest ostry i spełniona jest równość sinα=2√6/7. Stąd wynika, że:
Matura sierpień 2017 zadanie 14 Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B i C (zobacz rysunek). Kąt ABC ma miarę 121°, a kąt BOC ma miarę 40°. Kąt AOB ma miarę:
Matura sierpień 2017 zadanie 15 W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AC. Odcinek DE jest równoległy do boku AB, a ponadto |AE|=|DE|=4, |AB|=6 (zobacz rysunek). Odcinek CE ma długość:
Matura sierpień 2017 zadanie 16 Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe 6√3. Bok tego trójkąta ma długość:
Matura sierpień 2017 zadanie 17 Punkty B=(−2,4) i C=(5,1) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe:
Matura sierpień 2017 zadanie 18 Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. Kąt nachylenia krawędzi bocznej SA ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD to:
Matura sierpień 2017 zadanie 19 Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 20 Prosta k przechodzi przez punkt A=(4,−4) i jest prostopadła do osi Ox. Prosta k ma równanie:
Matura sierpień 2017 zadanie 21 Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem 30° i przecina oś Oy w punkcie (0,−√3) (zobacz rysunek). Prosta l ma równanie:
Matura sierpień 2017 zadanie 22 Dany jest stożek o wysokości 6 i tworzącej 3√5. Objętość tego stożka jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 23 Średnia arytmetyczna zestawu danych: x,2,4,6,8,10,12,14 jest równa 9. Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 24 Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017?
Matura sierpień 2017 zadanie 25 Z pudełka, w którym jest tylko 6 kul białych i n kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 1/3. Liczba kul czarnych jest równa:
Matura sierpień 2017 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2×2+x−6≤0.
Matura sierpień 2017 zadanie 27 Rozwiąż równanie (x2−6)(3x+2)=0.
Matura sierpień 2017 zadanie 28 Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 4x+1/x≥4.
Matura sierpień 2017 zadanie 29 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∢ACB|=90° i |∢ABC|=60°. Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego i przeciwprostokątnej AB tego trójkąta. Wykaż, że |AD|:|DB|=3:1.
Matura sierpień 2017 zadanie 30 Ze zbioru liczb {1,2,4,5,10} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.
Matura sierpień 2017 zadanie 31 Dany jest ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, w którym spełniona jest równość a21+a24+a27+a30=100. Oblicz sumę a25+a26.
Matura sierpień 2017 zadanie 32 Funkcja kwadratowa f(x)=ax2+bx+c ma dwa miejsca zerowe x1=−2 i x2=6. Wykres funkcji f przechodzi przez punkt A=(1,−5). Oblicz najmniejszą wartość funkcji f.
Matura sierpień 2017 zadanie 33 Punkt C=(0,0) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołek A leży na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczona z wierzchołka C przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D=(3,4). Oblicz współrzędne wierzchołków A i B tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej AB.
Matura sierpień 2017 zadanie 34 Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∢ACB|=90° (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta do długości przyprostokątnej BC jest równy 4:3. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, a długość odcinka SC jest równa 5. Pole ściany bocznej BEFC graniastosłupa jest równe 48. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura maj 2016 zadanie 1 Dla każdej dodatniej liczby a iloraz a−2,6a1,3 jest równy:
Matura maj 2016 zadanie 2 Liczba log√2(2√2) jest równa
Matura maj 2016 zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że:
Matura maj 2016 zadanie 4 Równość (2√2−a)^2=17−12√2 jest prawdziwa dla
Matura maj 2016 zadanie 5 Jedną z liczb, które spełniają nierówność −x5+x3−x
Matura maj 2016 zadanie 6 Proste o równaniach 2x−3y=4 i 5x−6y=7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że:
Matura maj 2016 zadanie 7 Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa:
Matura maj 2016 zadanie 8 Dana jest funkcja liniowa f(x)=3/4x+6. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:
Matura maj 2016 zadanie 9 Równanie wymierne 3x−1/x+5=3, gdzie x≠−5:
Matura maj 2016 zadanie 10 Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(1,9). Liczby −2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:
Matura maj 2016 zadanie 11 Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(1,9). Liczby −2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale ⟨−1,2⟩ jest równa:
Matura maj 2016 zadanie 12 Funkcja f określona jest wzorem f(x)=2×3/x6+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy f(−3–√3) jest równa:
Matura maj 2016 zadanie 13 W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału:
Matura maj 2016 zadanie 14 Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa −3/2. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy:
Matura maj 2016 zadanie 15 Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
Matura maj 2016 zadanie 16 Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość:
Matura maj 2016 zadanie 17 Kąt α jest ostry i tgα=2/3. Wtedy:
Matura maj 2016 zadanie 18 Z odcinków o długościach: 5,2a+1,a−1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że:
Matura maj 2016 zadanie 19 Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe:
Matura maj 2016 zadanie 20 Proste opisane równaniami y=2/m−1x+m−2 oraz y=mx+1/m+1 są prostopadłe, gdy:
Matura maj 2016 zadanie 21 W układzie współrzędnych dane są punkty A=(a,6) oraz B=(7,b). Środkiem odcinka AB jest punkt M=(3,4). Wynika stąd, że:
Matura maj 2016 zadanie 22 Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy:
Matura maj 2016 zadanie 23 Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa:
Matura maj 2016 zadanie 24 Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze:
Matura maj 2016 zadanie 25 Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31,16,25,29,27,x jest równa x/2. Mediana tych liczb jest równa:
Matura maj 2016 zadanie 26 W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.
Matura maj 2016 zadanie 27 Rozwiąż nierówność 2×2−4x>3×2−6x
Matura maj 2016 zadanie 28 Rozwiąż równanie (4−x)(x2+2x−15)=0
Matura maj 2016 zadanie 29 Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∢DEC|=|∢BGF|=90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.
Matura maj 2016 zadanie 30 Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2+2n dla n≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Matura maj 2016 zadanie 31 Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R=logAA0, gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A0=10−4 jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100cm.
Matura maj 2016 zadanie 32 Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.
Matura maj 2016 zadanie 33 Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Matura maj 2016 zadanie 34 Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Matura sierpień 2014 zadanie 1 Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.
Matura sierpień 2014 zadanie 2 Liczba 1/2⋅2^2014 jest równa:
Matura sierpień 2014 zadanie 3 Liczba c=log32. Wtedy:
Matura sierpień 2014 zadanie 4 Liczba (√5−√3)^2+2√15 jest równa
Matura sierpień 2014 zadanie 5 Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka. 10% tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii?
Matura sierpień 2014 zadanie 6 Rozwiązaniem równania (x−5)/(7−x)=1/3 jest liczba:
Matura sierpień 2014 zadanie 7 Jeśli a=b/(c−b), to:
Matura sierpień 2014 zadanie 8 Dziedziną funkcji f jest przedział:
Matura sierpień 2014 zadanie 9 Największą wartością funkcji f jest:
Matura sierpień 2014 zadanie 10 Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem f(x)=(x−2)(x+4).
Matura sierpień 2014 zadanie 11 Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział (−∞,−3⟩, może być określona wzorem:
Matura sierpień 2014 zadanie 12 Funkcja liniowa f(x)=ax+b jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że:
Matura sierpień 2014 zadanie 13 Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest równa 35. Pierwszy wyraz a1 tego ciągu jest równy 3. Wtedy:
Matura sierpień 2014 zadanie 14 Ciąg geometryczny (an) określony jest wzorem an=−3^n/4 dla n≥1. Iloraz tego ciągu jest równy:
Matura sierpień 2014 zadanie 15 Kąt α jest ostry i spełniona jest równość 3tgα=2. Wtedy wartość wyrażenia sinα+cosα jest równa:
Matura sierpień 2014 zadanie 16 Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 8. Wysokość tego trójkąta jest równa:
Matura sierpień 2014 zadanie 17 Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy AOB ma miarę:
Matura sierpień 2014 zadanie 18 Odcinki BC i DE są równoległe i |AE|=4, |DE|=3 (zobacz rysunek). Punkt D jest środkiem odcinka AB. Długość odcinka BC jest równa:
Matura sierpień 2014 zadanie 19 Dane są równania czterech prostych: k:y=12x+5l:y=2x+5m:y=−2x+3n:y=2x+5 Prostopadłe są proste:
Matura sierpień 2014 zadanie 20 Punkt P=(−1,0) leży na okręgu o promieniu 3. Równanie tego okręgu może mieć postać:
Matura sierpień 2014 zadanie 21 Punkty A=(13,−12) i C=(15,8) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie:
Matura sierpień 2014 zadanie 22 Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości 4, jest równe:
Matura sierpień 2014 zadanie 23 Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa 81√3. Objętość graniastosłupa jest równa:
Matura sierpień 2014 zadanie 24 Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe:
Matura sierpień 2014 zadanie 25 Średnia arytmetyczna liczb: x,13,7,5,5,3,2,11 jest równa 7. Mediana tego zestawu liczb jest równa:
Matura sierpień 2014 zadanie 26 Rozwiąż nierówność −x2−5x+14
Matura sierpień 2014 zadanie 27 Rozwiąż równanie x3−6×2−11x+66=0.
Matura sierpień 2014 zadanie 28 Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24.
Matura sierpień 2014 zadanie 29 Kąt α jest ostry oraz 4/sin2α+4/cos2α=25. Oblicz wartość wyrażenia sinα⋅cosα.
Matura sierpień 2014 zadanie 30 Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC|>|BC|. Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i E, że zachodzi równość |CD|=|CE|. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |∢BAC|=|∢ABC|−2⋅|∢AFD|.
Matura sierpień 2014 zadanie 31 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony dla n≥1, w którym a5=22 oraz a10=47. Oblicz pierwszy wyraz a1 i różnicę r tego ciągu.
Matura sierpień 2014 zadanie 32 Miasta A i B są oddalone o 450km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o 75 minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o 18km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości: – prędkości, z jaką pani Danuta jechała z A do B – prędkości, z jaką pani Lidia jechała z A do B
Matura sierpień 2014 zadanie 33 Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa 22, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy 4√6/5. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura sierpień 2014 zadanie 34 Zbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: 1,2,3,4,5. Ze zbioru M losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 20, w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.
Matura maj 2014 zadanie 1 Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ.
Matura maj 2014 zadanie 2 Jeżeli liczba 78 jest o 50% większa od liczby c, to:
Matura maj 2014 zadanie 3 Wartość wyrażenia 2/(√3−1)−2/(√3+1) jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 4 Suma log(8)16+1 jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 5 Wspólnym pierwiastkiem równań (x^2−1)(x−10)(x−5)=0 oraz 2x−10x−1=0 jest
Matura maj 2014 zadanie 6 Funkcja liniowa f(x)=(m2−4)x+2 jest malejąca, gdy:
Matura maj 2014 zadanie 7 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Funkcja f jest określona wzorem:
Matura maj 2014 zadanie 8 Punkt C=(0,2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y=2x−4. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD.
Matura maj 2014 zadanie 9 Dla każdej liczby x, spełniającej warunek −3
Matura maj 2014 zadanie 10 Pierwiastki x1, x2 równania 2(x+2)(x−2)=0 spełniają warunek:
Matura maj 2014 zadanie 11 Liczby 2,−1,−4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:
Matura maj 2014 zadanie 12 Jeżeli trójkąty ABC i A′B′C′ są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25cm2 i 50cm2, to skala podobieństwa A′B′AB jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 13 Liczby: x−2,6,12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 14 Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tgα=2/5, to wartość wyrażenia 3cosα−2sinαsinα−5cosα jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 15 Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y−3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 16 Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60° i ramieniu długości 23–√ jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 17 Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4/9 długości okręgu, ma miarę:
Matura maj 2014 zadanie 18 O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(−2,3). Wzór funkcji f to:
Matura maj 2014 zadanie 19 Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 20 Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:
Matura maj 2014 zadanie 21 Liczba (1(729√3+256√4+2)0)−2 jest równa:
Matura maj 2014 zadanie 22 Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem y=−2x−2, należy punkt:
Matura maj 2014 zadanie 23 Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A′ zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość P(A)=2⋅P(A′), to:
Matura maj 2014 zadanie 24 Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?
Matura maj 2014 zadanie 25 Mediana zestawu danych 2,12,a,10,5,3 jest równa 7. Wówczas:
Matura maj 2014 zadanie 26 Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=2×2+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartości współczynników b i c.
Matura maj 2014 zadanie 27 Rozwiąż równanie 9×3+18×2−4x−8=0.
Matura maj 2014 zadanie 28 Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k2 przez 7 jest równa 5.
Matura maj 2014 zadanie 29 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=1x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.
Matura maj 2014 zadanie 30 Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6
Matura maj 2014 zadanie 31 Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.
Matura maj 2014 zadanie 32 Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Matura maj 2014 zadanie 33 Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Matura maj 2014 zadanie 34 Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek) jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
Matura czerwiec 2015 zadanie 1 Liczba 2√18−√32 jest równa
Matura czerwiec 2015 zadanie 2 Wartość wyrażenia (5√-32⋅2^−1)/4⋅2^2 jest równa:
Matura czerwiec 2015 zadanie 3 Przy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45018zł. Jaka jest cena netto tego samochodu?
Matura czerwiec 2015 zadanie 4 Wyrażenie 3a2−12ab+12b2 może być przekształcone do postaci:
Matura czerwiec 2015 zadanie 5 Para liczb x=2 i y=1 jest rozwiązaniem układu równań x+ay=5 i 2x−y=3, gdy:
Matura czerwiec 2015 zadanie 6 Równanie 2×2+11x+3=0:
Matura czerwiec 2015 zadanie 7 Wartość wyrażenia sin120°−cos30° jest równa:
Matura czerwiec 2015 zadanie 8 Wyrażenie 3sin3αcosα+3sinαcos3α może być przekształcone do postaci:
Matura czerwiec 2015 zadanie 9 Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y=ax+b przechodzącej przez punkty (0,−2) i (6,2). Wtedy:
Matura czerwiec 2015 zadanie 10 Prosta k przecina oś Oy układu współrzędnych w punkcie (0,6) i jest równoległa do prostej o równaniu y=−3x. Wówczas prosta k przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie:
Matura czerwiec 2015 zadanie 11 Liczba niewymiernych rozwiązań równania x2(x+5)(2x−3)(x2−7)=0 jest równa:
Matura czerwiec 2015 zadanie 12 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Funkcja f jest rosnąca w przedziale:
Matura czerwiec 2015 zadanie 13 Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an=2n dla n≥1. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
Matura czerwiec 2015 zadanie 14 Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa:
Matura czerwiec 2015 zadanie 15 Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku 3:4:5. Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę:
Matura czerwiec 2015 zadanie 16 W trójkącie ABC, w którym |AC|=|BC|, na boku AB wybrano punkt D taki, że |BD|=|CD| oraz |∢ACD|=21° (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt BCD ma miarę:
Matura czerwiec 2015 zadanie 17 Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma 7cm, a drugi ma 2cm. Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość:
Matura czerwiec 2015 zadanie 18 Boki trójkąta mają długości 20 i 12, a kąt między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego trójkąta jest równe:
Matura czerwiec 2015 zadanie 19 Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6 (zobacz rysunek). Kąt α rozwarcia tego stożka jest równy:
Matura czerwiec 2015 zadanie 20 Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie:
Matura czerwiec 2015 zadanie 21 W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę:
Matura czerwiec 2015 zadanie 22 Liczba 0,3 jest jednym z przybliżeń liczby 5/16.
Matura czerwiec 2015 zadanie 23 Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,x jest równa n, natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,x,2x jest równa 2n. Wynika stąd, że:
Matura czerwiec 2015 zadanie 24 Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9?
Matura czerwiec 2015 zadanie 25 Na loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano:
Matura czerwiec 2015 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 3×2−9x≤x−3.
Matura czerwiec 2015 zadanie 27 Rozwiąż równanie x(x2−2x+3)=0
Matura czerwiec 2015 zadanie 28 Czworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że |AD|2+|BD|2=|BC|2+|AC|2.
Matura czerwiec 2015 zadanie 29 Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność 3×2+5y2−4xy≥0.
Matura czerwiec 2015 zadanie 30 Funkcja kwadratowa f, dla x=−3 przyjmuje wartość największą równą 4. Do wykresu funkcji f należy punkt A=(−1,3). Zapisz wzór funkcji kwadratowej f.
Matura czerwiec 2015 zadanie 31 Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez 12.
Matura czerwiec 2015 zadanie 32 Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an), dla n≥1 taki, że a5=18. Wyrazy a1, a3 oraz a13 tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (an).
Matura czerwiec 2015 zadanie 33 Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Ponadto wiadomo, że A=(−2,4) i B=(6,−2). Wierzchołek C należy do osi Oy. Oblicz współrzędne wierzchołka C.
Matura czerwiec 2015 zadanie 34 Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 273–√. Długość krawędzi AB podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Matura sierpień 2016 zadanie 1 Suma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa 195. Najmniejszą z tych liczb jest:
Matura sierpień 2016 zadanie 2 Buty, które kosztowały 220 złotych, przeceniono i sprzedano za 176 złotych. O ile procent obniżono cenę butów?
Matura sierpień 2016 zadanie 3 Liczba 4^5⋅5^4/20^4 jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 4 Liczba log(3)729/log(6)36 jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 5 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x/5+√7>0 jest:
Matura sierpień 2016 zadanie 6 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=(x−1)(x−9). Wynika stąd, że funkcja f jest rosnąca w przedziale:
Matura sierpień 2016 zadanie 7 Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f, przy czym f(0)=−2 i f(1)=0. Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem początku układu współrzędnych. Funkcja g jest określona wzorem:
Matura sierpień 2016 zadanie 8 Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy −216. Iloraz tego ciągu jest równy:
Matura sierpień 2016 zadanie 9 Kąt α jest ostry i sinα=4/5. Wtedy wartość wyrażenia sinα−cosα jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 10 Jeśli funkcja kwadratowa f(x)=x2+2x+3a nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba a spełnia warunek:
Matura sierpień 2016 zadanie 11 Dla każdej liczby całkowitej dodatniej n suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn=2n2+n. Wtedy wyraz a2 jest równy:
Matura sierpień 2016 zadanie 12 Układ równań 2x−3y=5 i −4x+6y=−10
Matura sierpień 2016 zadanie 13 Liczba |3−9|/−3 jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 14 Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych (m−1;2m+5), gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą?
Matura sierpień 2016 zadanie 15 Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 6. Promień podstawy stożka jest równy:
Matura sierpień 2016 zadanie 16 Wartość wyrażenia (tg60°+tg45°)2−sin60° jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 17 Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy r, a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 18 Przekątne równoległoboku mają długości 4 i 8, a kąt między tymi przekątnymi ma miarę 30°. Pole tego równoległoboku jest równe:
Matura sierpień 2016 zadanie 19 Punkty A,B,C i D leżą na okręgu o środku S. Cięciwa CD przecina średnicę AB tego okręgu w punkcie E tak, że |∢BEC|=100°. Kąt środkowy ASC ma miarę 110° (zobacz rysunek). Kąt wpisany BAD ma miarę:
Matura sierpień 2016 zadanie 20 Okręgi o środkach S1=(3,4) oraz S2=(9,−4) i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy:
Matura sierpień 2016 zadanie 21 Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2, a przekątna ściany bocznej ma długość 3 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę α. Wtedy wartość sinα/2 jest równa:
Matura sierpień 2016 zadanie 22 Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa 11. Podstawą tego ostrosłupa jest:
Matura sierpień 2016 zadanie 23 Jeżeli do zestawu czterech danych: 4,7,8,x dołączymy liczbę 2, to średnia arytmetyczna wzrośnie o 2. Zatem:
Matura sierpień 2016 zadanie 24 Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3?
Matura sierpień 2016 zadanie 25 Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe:
Matura sierpień 2016 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 3×2−6x≥(x−2)(x−8).
Matura sierpień 2016 zadanie 27 Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy 32, a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę 2. Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy 6, to otrzymamy liczbę 8/17. Wyznacz ten ułamek.
Matura sierpień 2016 zadanie 28 Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają warunek abc=1, to a−1+b−1+c−1=ab+ac+bc.
Matura sierpień 2016 zadanie 29 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=x2−11x. Oblicz najmniejszą wartość funkcji f w przedziale ⟨−6,6⟩.
Matura sierpień 2016 zadanie 30 W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC oraz BD przecinają się w punkcie S. Wykaż, że jeżeli |AS|=5/6|AC|, to pole trójkąta ABS jest 25 razy większe od pola trójkąta DCS.
Matura sierpień 2016 zadanie 31 Ciąg arytmetyczny (an) określony jest wzorem an=2016−3n, dla n≥1. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.
Matura sierpień 2016 zadanie 32 Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC: A=(−3;−3) i C=(2;7) oraz prosta o równaniu y=3/4x−3/4, zawierająca przeciwprostokątną AB tego trójkąta. Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta i długość odcinka AB.
Matura sierpień 2016 zadanie 33 Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS, w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°, a krawędź boczna ma długość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura sierpień 2016 zadanie 34 Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba 5.
Matura czerwiec 2019 zadanie 1 Rozwiązaniem równania (x2−2x−3)⋅(x2−9)/x−1=0 nie jest liczba:
Matura czerwiec 2019 zadanie 2 Liczba log327log3√27 jest równa:
Matura czerwiec 2019 zadanie 3 Jedną z liczb spełniających nierówność (x−6)⋅(x−2)2⋅(x+4)⋅(x+10)>0 jest:
Matura czerwiec 2019 zadanie 4 Liczba dodatnia a jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o 50%, a jego mianownik zwiększymy o 50%, to otrzymamy liczbę b taką, że:
Matura czerwiec 2019 zadanie 5 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(a+1)x+11, gdzie a to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe x=3/4. Stąd wynika, że:
Matura czerwiec 2019 zadanie 6 Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)=(m√5−1)x+3. Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby m spełniającej warunek:
Matura czerwiec 2019 zadanie 7 Układ równań {x−y=2 i x+my=1 ma nieskończenie wiele rozwiązań dla:
Matura czerwiec 2019 zadanie 8 Rysunek przedstawia wykres funkcji f zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty b=(2,−1) i C=(4,−1) należą do wykresu funkcji. Równanie f(x)=−1 ma:
Matura czerwiec 2019 zadanie 9 Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (an), określony dla liczb naturalnych n≥1, o wyrazach dodatnich. Jeśli a2+a9=a4+ak, to k jest równe:
Matura czerwiec 2019 zadanie 10 W ciągu (an) na określonym dla każdej liczby n≥1 jest spełniony warunek an+3=−2⋅3n+1. Wtedy:
Matura czerwiec 2019 zadanie 11 Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (3x−2)2−(2x−3)(2x+3) jest po uproszczeniu równe:
Matura czerwiec 2019 zadanie 12 Kąt α∈(0°,180°) oraz wiadomo, że sinα⋅cosα=−3/8. Wartość wyrażenia (cosα−sinα)2+2 jest równa:
Matura czerwiec 2019 zadanie 13 Wartość wyrażenia 2sin218°+sin272°+cos218° jest równa:
Matura czerwiec 2019 zadanie 14 Punkty B, C i D leżą na okręgu o środku S i promieniu r. Punkt A jest punktem wspólnym prostych BC i SD, a odcinki i są równej długości. Miara kąta BCS jest równa 34° (zobacz rysunek). Wtedy:
Matura czerwiec 2019 zadanie 15 Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A=(0,0), B=(4,2), C=(2,6) jest równe:
Matura czerwiec 2019 zadanie 16 Na okręgu o środku w punkcie O wybrano trzy punkty A, B, C tak, że |∢AOB|=70°, |∢OAC|=25°. Cięciwa AC przecina promień OB (zobacz rysunek). Wtedy miara ∢OBC jest równa:
Matura czerwiec 2019 zadanie 17 W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek AB o końcach w punktach A=(7,4), B=(11,12). Punkt S leży wewnątrz odcinka AB oraz |AS|=3⋅|BS|. Wówczas:
Matura czerwiec 2019 zadanie 18 Suma odległości punktu A=(−4,2) od prostych o równaniach x=4 i y=−4 jest równa:
Matura czerwiec 2019 zadanie 19 Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
Matura czerwiec 2019 zadanie 20 Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę 44°. Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka A przecina bok BC tego trójkąta w punkcie D. Kąt ADC ma miarę:
Matura czerwiec 2019 zadanie 21 Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest:
Matura czerwiec 2019 zadanie 22 Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Krawędź boczna DS jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek). Pole ściany BCS tego ostrosłupa jest równe:
Matura czerwiec 2019 zadanie 23 Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Tangens kąta, jaki odcinek PH tworzy z płaszczyzną ABCD, jest równy:
Matura czerwiec 2019 zadanie 24 Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 12. Objętość tego walca jest zatem równa:
Matura czerwiec 2019 zadanie 25 Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {20,21,22,…,39,40} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 jest równe:
Matura czerwiec 2019 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x(7x+2)>7x+2.
Matura czerwiec 2019 zadanie 27 Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek: 3×2−8x−3/x−3=x−3.
Matura czerwiec 2019 zadanie 28 Dany jest trójkąt ABC. Punkt S jest środkiem boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów A i B od prostej CS są równe.
Matura czerwiec 2019 zadanie 29 Wykaż, że dla każdej liczby a>0 i dla każdej liczby b>0 prawdziwa jest nierówność 1/a+1/b≥4/a+b.
Matura czerwiec 2019 zadanie 30 W ciągu geometrycznym przez Sn oznaczamy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych n≥1. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: S1=2 i S2=12. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
Matura czerwiec 2019 zadanie 31 Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.
Matura czerwiec 2019 zadanie 32 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy 3:4. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Matura czerwiec 2019 zadanie 33 Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek 2x+z=1. Wyznacz takie wartości x i z, dla których wyrażenie x2+z2+7xz przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
Matura czerwiec 2019 zadanie 34 Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ∢ACB ma miarę 120°. Ponadto wiadomo, że |BC|=10 i |AB|=10√7 (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC.
Matura maj 2019 zadanie 1 Liczba log(√2)2 jest równa
Matura maj 2019 zadanie 2 Liczba naturalna n=2^14⋅5^15 w zapisie dziesiętnym ma:
Matura maj 2019 zadanie 3 W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o
Matura maj 2019 zadanie 4 Równość 1/4+1/5+1/a=1 jest prawdziwa dla
Matura maj 2019 zadanie 5 Para liczb i jest rozwiązaniem układu równań ax+y=4 i −2x+3y=2a dla
Matura maj 2019 zadanie 6 Równanie (x−1)(x+2)/(x−3)=0
Matura maj 2019 zadanie 7 Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x)=3(x+1)−6√3 jest liczba:
Matura maj 2019 zadanie 8 Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,−4) . Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:
Matura maj 2019 zadanie 9 Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,−4) . Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨1,4⟩ jest równa
Matura maj 2019 zadanie 10 Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,−4) . Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu
Matura maj 2019 zadanie 11 W ciągu arytmetycznym an, określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a1=7 i a8=−49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
Matura maj 2019 zadanie 12 Dany jest ciąg geometryczny an , określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek a5/a3=1/9. Iloraz tego ciągu jest równy:
Matura maj 2019 zadanie 13 Sinus kąta ostrego α jest równy 4/5. Wtedy
Matura maj 2019 zadanie 14 Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α.
Matura maj 2019 zadanie 15 Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K. Wtedy
Matura maj 2019 zadanie 16 Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe
Matura maj 2019 zadanie 17 Proste o równaniach y=(2m+2)x−2019 oraz y=(3m−3)x+2019 są równoległe, gdy
Matura maj 2019 zadanie 18 Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=−4x+1 i przechodzi przez punkt P=(1/2,0), gdy:
Matura maj 2019 zadanie 19 Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A=(0,4) i B=(2,2). Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem
Matura maj 2019 zadanie 20 Dane są punkty o współrzędnych A=(−2,5) oraz B=(4,−1) . Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa
Matura maj 2019 zadanie 21 Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5dm x 3dm x 2dm
Matura maj 2019 zadanie 22 Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa
Matura maj 2019 zadanie 23 Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4,8,21,a,16,25, jest równa 14. Zatem
Matura maj 2019 zadanie 24 Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0,2,5, jest
Matura maj 2019 zadanie 25 W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe
Matura maj 2019 zadanie 26 Rozwiąż równanie (x3−8)(x2−4x−5)=0
Matura maj 2019 zadanie 27 Rozwiąż nierówność 3×2−16x+16>0.
Matura maj 2019 zadanie 28 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a2−2ab+3b2>0
Matura maj 2019 zadanie 29 Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.
Matura maj 2019 zadanie 30 Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
Matura maj 2019 zadanie 31 W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.
Matura maj 2019 zadanie 32 Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba r=−4 , a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1,a2,a3,a4,a5,a6 jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę k, dla której ak=−78.
Matura z matematyki maj 2019 zadanie 33 Dany jest punkt A=(−18,10). Prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.
Matura z matematyki maj 2019 zadanie 34 Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.
Matura maj 2015 zadanie 1 Wskaż rysunek na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności −4≤x−1≤4.
Matura maj 2015 zadanie 2 Dane są liczby a=−1/27, b=log(1/4)64, c=log(1/3)27. Iloczyn abc jest równy
Matura maj 2015 zadanie 3 Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa
Matura maj 2015 zadanie 4 Równość m/(5-√5)=(5+√5)/5 zachodzi dla
Matura maj 2015 zadanie 5 Układ równań x−y=3 i 2x+0,5y=4 opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie
Matura maj 2015 zadanie 6 Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x−11)=0 jest równa
Matura maj 2015 zadanie 7 Równanie (x−1)/(x+1)=x−1
Matura maj 2015 zadanie 8 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest
Matura maj 2015 zadanie 9 Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(m−1)x+3 leży punkt S=(5,−2). Zatem
Matura maj 2015 zadanie 10 Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=2x+b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja g(x)=−3x+4. Stąd wynika, że
Matura maj 2015 zadanie 11 Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x)=x2+x+c. Jeśli f(3)=4, to
Matura maj 2015 zadanie 12 Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność 2/7
Matura maj 2015 zadanie 13 W rosnącym ciągu geometrycznym (an), określonym dla n≥1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy
Matura maj 2015 zadanie 14 W układzie współrzędnych zaznaczono punkt P=(−4,5). Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy
Matura maj 2015 zadanie 15 Jeżeli 0∘
Matura maj 2015 zadanie 16 Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20∘ mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa
Matura maj 2015 zadanie 17 Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy
Matura maj 2015 zadanie 18 Prosta l o równaniu y=m2x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m−4)x−3. Zatem:
Matura maj 2015 zadanie 19 Proste o równaniach: y=2mx−m2−1 oraz y=4m2x+m2+1 są prostopadłe dla
Matura maj 2015 zadanie 20 Dane są punkty M=(−2,1) i N=(−1,3). Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt
Matura maj 2015 zadanie 21 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E,G,L połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
Matura maj 2015 zadanie 22 Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Objętość tego stożka jest równa
Matura maj 2015 zadanie 23 Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
Matura maj 2015 zadanie 24 Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9,x. Wynika stąd, że
Matura maj 2015 zadanie 25 W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy
Matura maj 2015 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2×2−4x>(x+3)(x−2).
Matura maj 2015 zadanie 27 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4×2−8xy+5y2≥0.
Matura maj 2015 zadanie 28 Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL|=1/3|BE| i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.
Matura maj 2015 zadanie 29 Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=x2−6x+3 w przedziale ⟨0,4⟩.
Matura maj 2015 zadanie 30 W układzie współrzędnych dane są punkty A=(−43,−12), B=(50,19). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P. Oblicz pierwszą współrzędną punktu P.
Matura maj 2015 zadanie 31 Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy 4/7, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1/2. Wyznacz ten ułamek.
Matura maj 2015 zadanie 32 Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Matura maj 2015 zadanie 33 Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne. Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.
Matura maj 2015 zadanie 34 W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1,a3,ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
Matura sierpień 2015 zadanie 1 Jeśli a=3/2 i b=2, to wartość wyrażenia a⋅b/(a+b) jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 2 Dany jest prostokąt o wymiarach 40 cm×100 cm. Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o 20%, a każdy z krótszych boków skrócimy o 20%, to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta
Matura sierpień 2015 zadanie 3 Liczba 9^5⋅5^9/45^5 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 4 Liczba √9/7+√7/9 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 5 Wartość wyrażenia log(5)0,04−12log(25)1 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 6 Wartość wyrażenia (a+5)2 jest większa od wartości wyrażenia (a2+10a) o
Matura sierpień 2015 zadanie 7 Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań x+3y=−5 i 3x−2y=−4 Wskaż ten rysunek.
Matura sierpień 2015 zadanie 8 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 2(x−2)≤4(x−1)+1 jest
Matura sierpień 2015 zadanie 9 Rozwiązaniem równania x2(x+1)=x2−8 jest
Matura sierpień 2015 zadanie 10 określona wzorem f(x)=(2x−8)/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0. Wówczas wartość funkcji f(√2) jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 11 Parabola o wierzchołku W=(−3,5) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem
Matura sierpień 2015 zadanie 12 Wykres funkcji liniowej y=2x−3 przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych
Matura sierpień 2015 zadanie 13 Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y=f(x) ma współrzędne (2,2). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g(x)=f(x+2) ma współrzędne
Matura sierpień 2015 zadanie 14 Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 7 tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba
Matura sierpień 2015 zadanie 15 Ciąg liczbowy określony jest wzorem an=(2^n−1)/(2^n+1), dla n≥1. Piąty wyraz tego ciągu jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 16 Sinus kąta ostrego α jest równy 3/4. Wówczas
Matura sierpień 2015 zadanie 17 W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych 2 i 5 cosinus większego z kątów ostrych jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 18 Pole rombu o boku 6 i kącie rozwartym 150∘ jest równe
Matura sierpień 2015 zadanie 19 W okręgu o środku O dany jest kąt o mierze 50∘, zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą α jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 20 Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty A=(−4,3) oraz B=(8,7), jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 21 Punkt S=(2,−5) jest środkiem odcinka AB, gdzie A=(−4,3) i B=(8,b). Wtedy
Matura sierpień 2015 zadanie 22 Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków a,b,c, gdzie a
Matura sierpień 2015 zadanie 23 Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy 4 i wysokość jest równa 6, ma długość
Matura sierpień 2015 zadanie 24 W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe
Matura sierpień 2015 zadanie 25 Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1,2,3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
Matura sierpień 2015 zadanie 26 Rozwiąż równanie (2x−4)/x=x/(2x−4), gdzie x≠0 i x≠2.
Matura sierpień 2015 zadanie 27 Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim – 8 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 11.
Matura sierpień 2015 zadanie 28 Rozwiąż nierówność 20x≥4×2+24.
Matura sierpień 2015 zadanie 29 Kąt α jest ostry i spełnia równość tgα+1/tgα=7/2. Oblicz wartość wyrażenia sinα⋅cosα.
Matura sierpień 2015 zadanie 30 Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x3+y3≥x2y+xy2
Matura sierpień 2015 zadanie 31 W prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC, a punkt R jest środkiem boku CD. Wykaż, że pole trójkąta APR jest równe sumie pól trójkątów ADR oraz PCR.
Matura sierpień 2015 zadanie 32 Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach A=(−2,2), B=(6,−2), C=(10,6)
Matura sierpień 2015 zadanie 33 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 3:4, a pole jest równe 192 (zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘. Oblicz objętość ostrosłupa.
Matura sierpień 2015 zadanie 34 Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x)=ax^2+bx+c. Zbiorem rozwiązań nierówności f(x)>0 jest przedział (0,12). Największa wartość funkcji f jest równa 9. Oblicz współczynniki a, b i c funkcji f.
Matura maj 2017 zadanie 1 Liczba 5^8⋅16^−2 jest równa:
Matura maj 2017 zadanie 2 Liczba 3√54−3√2 jest równa
Matura maj 2017 zadanie 3 Liczba 2log2(3)−2log2(5) jest równa
Matura maj 2017 zadanie 4 Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?
Matura maj 2017 zadanie 5 Równość (x√2−2)^2=(2+√2)^2 jest
Matura maj 2017 zadanie 6 Do zbioru rozwiązań nierówności (x^4+1)(2−x)>0 nie należy liczba:
Matura maj 2017 zadanie 7 Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności 2−3x≥4.
Matura maj 2017 zadanie 8 Równanie x(x^2−4)(x^2+4)=0 z niewiadomą x
Matura maj 2017 zadanie 9 Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=√3(x+1)−12 jest liczba
Matura maj 2017 zadanie 10 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c, o miejscach zerowych: −3 i 1. Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy
Matura maj 2017 zadanie 11 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem f(x)=a^x. Punkt A=(1,2) należy do wykresu funkcji. Podstawa a potęgi jest równa
Matura maj 2017 zadanie 12 W ciągu arytmetycznym an, określonym dla n≥1, dane są: a1=5, a2=11. Wtedy
Matura czerwiec 2017 zadanie 34 Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA′B′C′D′ jest romb ABCD. Przekątna AC′ tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘, a przekątna BD′ jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 45∘. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Matura czerwiec 2017 zadanie 33 Punkty A=(−2,−8) i B=(14,−8) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB|=|AC|. Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y=1/2x−7. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta.
Matura czerwiec 2017 zadanie 32 Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość √26. Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.
Matura czerwiec 2017 zadanie 31 Ze zbioru liczb 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę (a,b), gdzie a jest wynikiem pierwszego losowania, b jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par (a,b) takich, że iloczyn a⋅b jest liczbą parzystą.
Matura czerwiec 2017 zadanie 30 Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równa 30. Ponadto a30=30. Oblicz różnicę tego ciągu.
Matura czerwiec 2017 zadanie 29 Wykaż, że prawdziwa jest nierówność (1,5)^100
Matura czerwiec 2017 zadanie 28 Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC w punkcie D. Udowodnij, że jeżeli |AD|=|BD|, to |CD|=1/2⋅|BD|.
Matura czerwiec 2017 zadanie 27 Kąt α jest ostry i spełniona jest równość sinα+cosα=√7/2. Oblicz wartość wyrażenia (sinα−cosα^)2.
Matura czerwiec 2017 zadanie 26 Rozwiąż nierówność (x−1/2)x>3(x−1/2)(x+1/3).
Matura czerwiec 2017 zadanie 25 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od 20, jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 24 Pole powierzchni bocznej walca jest równe 16π, a promień jego podstawy ma długość 2. Wysokość tego walca jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 23 Długość przekątnej sześcianu jest równa 6. Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 22 Pole trójkąta prostokątnego ABC, przedstawionego na rysunku, jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 21 Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe 1/3π^3. Długość boku tego trójkąta jest równa Długość boku tego trójkąta jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 20 Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A′B′C′ w skali 5/2, przy czym |AB|=5/2|A′B′|. Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta A′B′C′ jest równy
Matura czerwiec 2017 zadanie 19 Punkty A=(−21,11) i B=(3,17) są końcami odcinka AB. Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi Ox układu współrzędnych jest odcinek A′B′. Środkiem odcinka A′B′ jest punkt o współrzędnych
Matura czerwiec 2017 zadanie 18 Prosta przechodząca przez punkt A=(−10,5) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu
Matura czerwiec 2017 zadanie 17 Odcinek BD jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego ABC trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 5 i 3. Wówczas miara φ kąta DBC spełnia warunek
Matura czerwiec 2017 zadanie 16 W okręgu o środku O dany jest kąt wpisany ABC o mierze 20∘ Miara kąta CAO jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 15 Kąt α jest ostry i tgα=12/5. Wówczas sinα jest równy
Matura czerwiec 2017 zadanie 14 Dany jest ciąg geometryczny (x,2x^2,4x^3,8) o wyrazach nieujemnych. Wtedy
Matura czerwiec 2017 zadanie 13 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, spełniony jest warunek 2a3=a2+a1+1. Różnica r tego ciągu jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 12 Punkt A=(2017,0) należy do wykresu funkcji f określonej wzorem
Matura czerwiec 2017 zadanie 11 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x−3)(7−x). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej o równaniu
Matura czerwiec 2017 zadanie 10 Równanie x(x−3)(x^2+25)=0 ma dokładnie
Matura czerwiec 2017 zadanie 9 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=x^2+bx+c oraz f(−1)=f(3)=1. Współczynnik b jest równy
Matura czerwiec 2017 zadanie 8 Rozwiązaniem układu równań x+y=1 x−y=b z niewiadomymi x i y jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że
Matura czerwiec 2017 zadanie 7 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=21−(7/3)x. Miejscem zerowym funkcji f jest
Matura czerwiec 2017 zadanie 6 Wartość wyrażenia (b−a)^2 dla a=2√3 i b=√75 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 5 Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie x^6−2x^3−3 jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 4 Liczba log327−log31 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 3 Suma 16^24+16^24+16^24+16^24 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 2 Iloczyn dodatnich liczb a i b jest równy 1350. Ponadto 15% liczby a jest równe 10% liczby b. Stąd wynika, że b jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 1 Liczba |9−2|−|4−7| jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 34 W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB.
Matura sierpień 2018 zadanie 33 Ze zbioru A={−3,−2,−1,1,2,3} losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru B={−1,0,1,2} losujemy liczbę b. Te liczby są – odpowiednio – współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej f(x)=ax+b. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.
Matura sierpień 2018 zadanie 32 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
Matura sierpień 2018 zadanie 31 Punkty A=(2,4), B=(0,0), C=(4,−2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.
Matura sierpień 2018 zadanie 30 Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Matura sierpień 2018 zadanie 29 Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (a+b)(1/a+1/b)≥4.
Matura sierpień 2018 zadanie 28 W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.
Matura sierpień 2018 zadanie 27 Rozwiąż równanie (x^3+27)(x^2−16)=0.
Matura sierpień 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x^2+6x−16
Matura sierpień 2018 zadanie 25 W grupie liczącej 29 uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 24 Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły. Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 23 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej 102–√. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 22 Jeżeli α oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to
Matura sierpień 2018 zadanie 21 Punkt A=(−3,2) jest końcem odcinka AB, a punkt M=(4,1) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka AB jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 20 Proste o równaniach y=(3m−4)x+2 oraz y=(12−m)x+3m są równoległe, gdy
Matura sierpień 2018 zadanie 19 Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze 60∘ jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 18 Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 80∘. Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę
Matura sierpień 2018 zadanie 17 Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L, M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α+β=114∘.
Matura sierpień 2018 zadanie 16 Kąt α jest ostry i cosα=35. Wtedy
Matura sierpień 2018 zadanie 15 W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α jest równa 3–√. Zatem:
Matura sierpień 2018 zadanie 14 Dla pewnej liczby x ciąg (x,x+4,16) jest geometryczny. Liczba x jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 13 Ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, spełnia warunek a3+a4+a5=15. Wtedy
Matura sierpień 2018 zadanie 12 Największą wartością funkcji y=−(x−2)2+4 w przedziale ⟨3,5⟩ jest
Matura sierpień 2018 zadanie 11 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=−3(x−2)(x−9). Liczby x1, x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
Matura sierpień 2018 zadanie 10 Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=x2−2x−11 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Matura sierpień 2018 zadanie 9 Punkt (1,3–√) należy do wykresu funkcji y=23–√x+b. Współczynnik b jest równy
Matura sierpień 2018 zadanie 8 Dane są funkcje f(x)=3x oraz g(x)=f(−x), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Punkt wspólny wykresów funkcji f i g
Matura sierpień 2018 zadanie 7 Rozwiązaniem równiania x−23(x+2)=19 jest liczba
Matura sierpień 2018 zadanie 6 Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y. wskaż ten układ
Matura sierpień 2018 zadanie 5 Równość (a+23–√)2=13+43–√ jest prawdziwa dla
Matura sierpień 2018 zadanie 4 Liczba log496−log46 jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 3 Dane są liczby x=4,5⋅10−8 oraz y=1,5⋅102. Wtedy iloraz xy jest równy
Matura sierpień 2018 zadanie 2 Liczba √3√2 jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 1 Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10% zmniejszytła się o 2018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował
Matura Czerwiec 2018 zadanie 34 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 453–√. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 33 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla liczb naturalnych n≥1, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S10=154. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 32 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H=16. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy 35. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 31 Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 30 Kąt α jest ostry i sinα+cosα=2–√. Oblicz wartość wyrażenia tgα+1tgα.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 29 Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że |EC|=2|DE|, a na boku AB wybrano taki punkt F, że |BF|=|DE|. Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są przystające.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 28 Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 27 Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=x2+bx+c jest parabola, na której leży punkt A=(0,−5). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=7. Oblicz wartości współczynników b i c.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2x(1−x)+1−x
Matura Czerwiec 2018 zadanie 25 W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe
Matura Czerwiec 2018 zadanie 24 Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 23 Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 22 Wśród 100 osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli. Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 21 Stożek o promieniu podstawy r i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 20 Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa 27π. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 19 Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku 4:3:3:2. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
Matura Czerwiec 2018 zadanie 18 Długości boków trapezu równoramiennego są równe 12,13,2,13. Wysokość h tego trapezu jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 17 Okrąg o środku S1=(2,1) i promieniu r oraz okrąg o środku S2=(5,5) i promieniu 4 są styczne zewnętrznie. Wtedy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 16 Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C, taki, że |OB|=|BC| (zobacz rysunek). Pole trójkąta AOC jest równe
Matura Czerwiec 2018 zadanie 15 Liczba 1−tg40∘ jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 14 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony wzorem an=16−12⋅n dla każdej liczby całkowitej n≥1. Różnica r tego ciągu jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 13 Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an) określonego dla n≥1 są dodatnie i 3a2=2a3. Stąd wynika, że iloraz q tego ciągu jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 12 Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x)=−(x−1)(3−x). Wskaż ten rysunek.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 11 Funkcja liniowa f(x)=(1−m2)x+m−1 nie ma miejsc zerowych dla
Matura Czerwiec 2018 zadanie 10 Największą wartością funkcji y=−(x−2)2+4 w przedziale ⟨3,5⟩ jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 9 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=−2(x+2)−1(x−3)2 dla każdej liczby rzeczywistej x≠−2. Wartość funkcji f dla argumentu 2 jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 8 Liczba 820−2⋅420220⋅410 jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 7 Liczbę 2241111 można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 6 Równanie x−12x+1=0
Matura Czerwiec 2018 zadanie 5 Na rysunku przedstawiony jest przedział (−10,k⟩, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21. Stąd wynika, że
Matura Czerwiec 2018 zadanie 4 Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował
Matura Czerwiec 2018 zadanie 3 Wskaż liczbę spełniającą nierówność (4−x)(x+3)(x+4)>0.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 2 Dane są liczby: a=log128, b=log48, c=log412. Liczby te spełniają warunek
Matura Czerwiec 2018 zadanie 1 Dla x=22–√+1 oraz y=2–√−1 wartość wyrażenia x2−2xy+y2 jest równa
Matura Maj 2018 zadanie 1 Liczba 2log 6 log 4 3 3 − jest równa
Matura maj 2018 zadanie 34 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura maj 2018 zadanie 33 Dane są dwa zbiory: A ={100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B ={10,11,12,13,14,15,16}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Matura maj 2018 zadanie 32 W układzie współrzędnych punkty A = (4,3) i B = (10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.
Matura maj 2018 zadanie 31 Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an ), określonego dla n ≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Matura maj 2018 zadanie 30 Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f (x) = ax (gdzie a > 0 i a ≠1), należy punkt P = (2, 9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g (x) = f (x) − 2 .
Matura maj 2018 zadanie 29 Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2. Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od 2 −1.
Matura maj 2018 zadanie 28 Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność 1 1 2 2a 2b a b + ≥ + .
Matura maj 2018 zadanie 27 Rozwiąż równanie (x3 +125)(x2 − 64) = 0 .
Matura maj 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2×2 − 3x > 5.
Matura maj 2018 zadanie 25 W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe
Matura maj 2018 zadanie 24 Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?
Matura maj 2018 zadanie 23 W zestawie liczb liczb 2, 2, 2, , 2, 4, 4, 4, , 4 m m …… jest 2m liczb (m ≥1) , w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe
Matura maj 2018 zadanie 22 Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa
Matura maj 2018 zadanie 21 Zadanie 21. (0–1) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa
Matura maj 2018 zadanie 20 Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
Matura maj 2018 zadanie 19 Proste o równaniach y = (m+ 2) x +3 oraz y = (2m−1) x −3 są równoległe, gdy
Matura maj 2018 zadanie 18 Punkt K = (2, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym KM = LM . Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N = (4, 3) . Zatem
Matura maj 2018 zadanie 17 Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL = a , MN = b , a > b . Kąt KLM ma miarę 60° . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa
Matura maj 2018 zadanie 16 Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α +β =111° . Wynika stąd, że
Matura maj 2018 zadanie 15 Dany jest trójkąt o bokach długości: 2 5 , 3 5 , 4 5 . Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości
Matura maj 2018 zadanie 14 Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek). Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek
Matura maj 2018 zadanie 13 Dany jest ciąg geometryczny ( ) n a , określony dla n ≥1, w którym 1 a = 2 , 2 a = 2 2 , 3 a = 4 2 . Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
Matura maj 2018 zadanie 12 Dla ciągu arytmetycznego (an ), określonego dla n ≥1, jest spełniony warunek 4 5 6 a + a + a =12. Wtedy
Matura maj 2018 zadanie 11 Dany jest ciąg ( ) n a określony wzorem 5 2 n 6 a = − n dla n ≥ 1. Ciąg ten jest A. arytmetyczny i jego różnica jest równa 1 3 r = − . B. arytmetyczny i jego różnica jest równa r = −2 . C. geometryczny i jego iloraz jest równy 1 3 q = − . D. geometryczny i jego iloraz jest równy 5 6 q = .
Matura maj 2018 zadanie 10 Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = ax + b , a punkt M = (3, − 2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy
Matura maj 2018 zadanie 9 Wykresem funkcji kwadratowej f (x) = x2 − 6x −3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Matura maj 2018 zadanie 8 Funkcja liniowa f określona jest wzorem 1 3 f (x) = 1 x − , dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie     =  3 P 0, 1 .
Matura maj 2018 zadanie 7 Równanie 0 4 2 2 2 = − + x x x A. ma trzy rozwiązania: x = − 2 , x = 0 , x = 2
Matura maj 2018 zadanie 6 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Liczby 1 x , 2 x są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
Matura maj 2018 zadanie 5 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 2 1 2 3 − x > jest przedział A. , 1 6 −∞ 
Matura Maj 2018 zadanie 4 Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A. 865,00 zł
Matura Maj 2018 zadanie 3 Dane są liczby a = 3,6⋅10−12 oraz b = 2,4⋅10−20 . Wtedy iloraz a b jest równy
Matura Maj 2018 zadanie 2 Liczba 3√7/3⋅3√81/56 jest równa

Strona główna
Dlaczego warto?
O mnie
Opinie
Kontakt
Chce dołączyć!

Dumnie wspierane przez WordPressa