wzory-ktorych-nie-ma-w-tablicy-2

Matura czerwiec 2017 zadanie 1 Liczba |9−2|−|4−7| jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 10 Równanie x(x−3)(x^2+25)=0 ma dokładnie
Matura czerwiec 2017 zadanie 11 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x−3)(7−x). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej o równaniu
Matura czerwiec 2017 zadanie 12 Punkt A=(2017,0) należy do wykresu funkcji f określonej wzorem
Matura czerwiec 2017 zadanie 13 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, spełniony jest warunek 2a3=a2+a1+1. Różnica r tego ciągu jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 14 Dany jest ciąg geometryczny (x,2x^2,4x^3,8) o wyrazach nieujemnych. Wtedy
Matura czerwiec 2017 zadanie 15 Kąt α jest ostry i tgα=12/5. Wówczas sinα jest równy
Matura czerwiec 2017 zadanie 16 W okręgu o środku O dany jest kąt wpisany ABC o mierze 20∘ Miara kąta CAO jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 17 Odcinek BD jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego ABC trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 5 i 3. Wówczas miara φ kąta DBC spełnia warunek
Matura czerwiec 2017 zadanie 18 Prosta przechodząca przez punkt A=(−10,5) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu
Matura czerwiec 2017 zadanie 19 Punkty A=(−21,11) i B=(3,17) są końcami odcinka AB. Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi Ox układu współrzędnych jest odcinek A′B′. Środkiem odcinka A′B′ jest punkt o współrzędnych
Matura czerwiec 2017 zadanie 2 Iloczyn dodatnich liczb a i b jest równy 1350. Ponadto 15% liczby a jest równe 10% liczby b. Stąd wynika, że b jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 20 Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A′B′C′ w skali 5/2, przy czym |AB|=5/2|A′B′|. Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta A′B′C′ jest równy
Matura czerwiec 2017 zadanie 21 Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe 1/3π^3. Długość boku tego trójkąta jest równa Długość boku tego trójkąta jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 22 Pole trójkąta prostokątnego ABC, przedstawionego na rysunku, jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 23 Długość przekątnej sześcianu jest równa 6. Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 24 Pole powierzchni bocznej walca jest równe 16π, a promień jego podstawy ma długość 2. Wysokość tego walca jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 25 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od 20, jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 26 Rozwiąż nierówność (x−1/2)x>3(x−1/2)(x+1/3).
Matura czerwiec 2017 zadanie 27 Kąt α jest ostry i spełniona jest równość sinα+cosα=√7/2. Oblicz wartość wyrażenia (sinα−cosα^)2.
Matura czerwiec 2017 zadanie 28 Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC w punkcie D. Udowodnij, że jeżeli |AD|=|BD|, to |CD|=1/2⋅|BD|.
Matura czerwiec 2017 zadanie 29 Wykaż, że prawdziwa jest nierówność (1,5)^100
Matura czerwiec 2017 zadanie 3 Suma 16^24+16^24+16^24+16^24 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 30 Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równa 30. Ponadto a30=30. Oblicz różnicę tego ciągu.
Matura czerwiec 2017 zadanie 31 Ze zbioru liczb 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę (a,b), gdzie a jest wynikiem pierwszego losowania, b jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par (a,b) takich, że iloczyn a⋅b jest liczbą parzystą.
Matura czerwiec 2017 zadanie 32 Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość √26. Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.
Matura czerwiec 2017 zadanie 33 Punkty A=(−2,−8) i B=(14,−8) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB|=|AC|. Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y=1/2x−7. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta.
Matura czerwiec 2017 zadanie 34 Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA′B′C′D′ jest romb ABCD. Przekątna AC′ tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘, a przekątna BD′ jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 45∘. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Matura czerwiec 2017 zadanie 4 Liczba log327−log31 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 5 Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie x^6−2x^3−3 jest równe
Matura czerwiec 2017 zadanie 6 Wartość wyrażenia (b−a)^2 dla a=2√3 i b=√75 jest równa
Matura czerwiec 2017 zadanie 7 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=21−(7/3)x. Miejscem zerowym funkcji f jest
Matura czerwiec 2017 zadanie 8 Rozwiązaniem układu równań x+y=1 x−y=b z niewiadomymi x i y jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że
Matura czerwiec 2017 zadanie 9 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=x^2+bx+c oraz f(−1)=f(3)=1. Współczynnik b jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 1 Dla x=22–√+1 oraz y=2–√−1 wartość wyrażenia x2−2xy+y2 jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 10 Największą wartością funkcji y=−(x−2)2+4 w przedziale ⟨3,5⟩ jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 11 Funkcja liniowa f(x)=(1−m2)x+m−1 nie ma miejsc zerowych dla
Matura Czerwiec 2018 zadanie 12 Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x)=−(x−1)(3−x). Wskaż ten rysunek.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 13 Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an) określonego dla n≥1 są dodatnie i 3a2=2a3. Stąd wynika, że iloraz q tego ciągu jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 14 Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony wzorem an=16−12⋅n dla każdej liczby całkowitej n≥1. Różnica r tego ciągu jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 15 Liczba 1−tg40∘ jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 16 Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C, taki, że |OB|=|BC| (zobacz rysunek). Pole trójkąta AOC jest równe
Matura Czerwiec 2018 zadanie 17 Okrąg o środku S1=(2,1) i promieniu r oraz okrąg o środku S2=(5,5) i promieniu 4 są styczne zewnętrznie. Wtedy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 18 Długości boków trapezu równoramiennego są równe 12,13,2,13. Wysokość h tego trapezu jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 19 Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku 4:3:3:2. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
Matura Czerwiec 2018 zadanie 2 Dane są liczby: a=log128, b=log48, c=log412. Liczby te spełniają warunek
Matura Czerwiec 2018 zadanie 20 Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa 27π. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 21 Stożek o promieniu podstawy r i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy
Matura Czerwiec 2018 zadanie 22 Wśród 100 osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli. Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 23 Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 24 Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 25 W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe
Matura Czerwiec 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2x(1−x)+1−x
Matura Czerwiec 2018 zadanie 27 Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=x2+bx+c jest parabola, na której leży punkt A=(0,−5). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=7. Oblicz wartości współczynników b i c.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 28 Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 29 Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że |EC|=2|DE|, a na boku AB wybrano taki punkt F, że |BF|=|DE|. Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są przystające.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 3 Wskaż liczbę spełniającą nierówność (4−x)(x+3)(x+4)>0.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 30 Kąt α jest ostry i sinα+cosα=2–√. Oblicz wartość wyrażenia tgα+1tgα.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 31 Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 32 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H=16. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy 35. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 33 W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla liczb naturalnych n≥1, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S10=154. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 34 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 453–√. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura Czerwiec 2018 zadanie 4 Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował
Matura Czerwiec 2018 zadanie 5 Na rysunku przedstawiony jest przedział (−10,k⟩, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21. Stąd wynika, że
Matura Czerwiec 2018 zadanie 6 Równanie x−12x+1=0
Matura Czerwiec 2018 zadanie 7 Liczbę 2241111 można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest
Matura Czerwiec 2018 zadanie 8 Liczba 820−2⋅420220⋅410 jest równa
Matura Czerwiec 2018 zadanie 9 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=−2(x+2)−1(x−3)2 dla każdej liczby rzeczywistej x≠−2. Wartość funkcji f dla argumentu 2 jest równa
Matura maj 2015 zadanie 1 Wskaż rysunek na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności −4≤x−1≤4.
Matura maj 2015 zadanie 10 Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=2x+b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja g(x)=−3x+4. Stąd wynika, że
Matura maj 2015 zadanie 11 Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x)=x2+x+c. Jeśli f(3)=4, to
Matura maj 2015 zadanie 12 Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność 2/7
Matura maj 2015 zadanie 13 W rosnącym ciągu geometrycznym (an), określonym dla n≥1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy
Matura maj 2015 zadanie 14 W układzie współrzędnych zaznaczono punkt P=(−4,5). Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy
Matura maj 2015 zadanie 15 Jeżeli 0∘
Matura maj 2015 zadanie 16 Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20∘ mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa
Matura maj 2015 zadanie 17 Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy
Matura maj 2015 zadanie 18 Prosta l o równaniu y=m2x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m−4)x−3. Zatem:
Matura maj 2015 zadanie 19 Proste o równaniach: y=2mx−m2−1 oraz y=4m2x+m2+1 są prostopadłe dla
Matura maj 2015 zadanie 2 Dane są liczby a=−1/27, b=log(1/4)64, c=log(1/3)27. Iloczyn abc jest równy
Matura maj 2015 zadanie 20 Dane są punkty M=(−2,1) i N=(−1,3). Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt
Matura maj 2015 zadanie 21 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E,G,L połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
Matura maj 2015 zadanie 22 Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Objętość tego stożka jest równa
Matura maj 2015 zadanie 23 Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
Matura maj 2015 zadanie 24 Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9,x. Wynika stąd, że
Matura maj 2015 zadanie 25 W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy
Matura maj 2015 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2×2−4x>(x+3)(x−2).
Matura maj 2015 zadanie 27 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4×2−8xy+5y2≥0.
Matura maj 2015 zadanie 28 Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL|=1/3|BE| i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.
Matura maj 2015 zadanie 29 Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=x2−6x+3 w przedziale ⟨0,4⟩.
Matura maj 2015 zadanie 3 Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa
Matura maj 2015 zadanie 30 W układzie współrzędnych dane są punkty A=(−43,−12), B=(50,19). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P. Oblicz pierwszą współrzędną punktu P.
Matura maj 2015 zadanie 31 Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy 4/7, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1/2. Wyznacz ten ułamek.
Matura maj 2015 zadanie 32 Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Matura maj 2015 zadanie 33 Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne. Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.
Matura maj 2015 zadanie 34 W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1,a3,ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
Matura maj 2015 zadanie 4 Równość m/(5-√5)=(5+√5)/5 zachodzi dla
Matura maj 2015 zadanie 5 Układ równań x−y=3 i 2x+0,5y=4 opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie
Matura maj 2015 zadanie 6 Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x−11)=0 jest równa
Matura maj 2015 zadanie 7 Równanie (x−1)/(x+1)=x−1
Matura maj 2015 zadanie 8 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest
Matura maj 2015 zadanie 9 Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(m−1)x+3 leży punkt S=(5,−2). Zatem
Matura maj 2017 zadanie 1 Liczba 5^8⋅16^−2 jest równa:
Matura maj 2017 zadanie 10 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c, o miejscach zerowych: −3 i 1. Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy
Matura maj 2017 zadanie 11 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem f(x)=a^x. Punkt A=(1,2) należy do wykresu funkcji. Podstawa a potęgi jest równa
Matura maj 2017 zadanie 12 W ciągu arytmetycznym an, określonym dla n≥1, dane są: a1=5, a2=11. Wtedy
Matura maj 2017 zadanie 2 Liczba 3√54−3√2 jest równa
Matura maj 2017 zadanie 3 Liczba 2log2(3)−2log2(5) jest równa
Matura maj 2017 zadanie 4 Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?
Matura maj 2017 zadanie 5 Równość (x√2−2)^2=(2+√2)^2 jest
Matura maj 2017 zadanie 6 Do zbioru rozwiązań nierówności (x^4+1)(2−x)>0 nie należy liczba:
Matura maj 2017 zadanie 7 Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności 2−3x≥4.
Matura maj 2017 zadanie 8 Równanie x(x^2−4)(x^2+4)=0 z niewiadomą x
Matura maj 2017 zadanie 9 Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=√3(x+1)−12 jest liczba
Matura Maj 2018 zadanie 1 Liczba 2log 6 log 4 3 3 − jest równa
Matura maj 2018 zadanie 10 Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = ax + b , a punkt M = (3, − 2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy
Matura maj 2018 zadanie 11 Dany jest ciąg ( ) n a określony wzorem 5 2 n 6 a = − n dla n ≥ 1. Ciąg ten jest A. arytmetyczny i jego różnica jest równa 1 3 r = − . B. arytmetyczny i jego różnica jest równa r = −2 . C. geometryczny i jego iloraz jest równy 1 3 q = − . D. geometryczny i jego iloraz jest równy 5 6 q = .
Matura maj 2018 zadanie 12 Dla ciągu arytmetycznego (an ), określonego dla n ≥1, jest spełniony warunek 4 5 6 a + a + a =12. Wtedy
Matura maj 2018 zadanie 13 Dany jest ciąg geometryczny ( ) n a , określony dla n ≥1, w którym 1 a = 2 , 2 a = 2 2 , 3 a = 4 2 . Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
Matura maj 2018 zadanie 14 Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek). Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek
Matura maj 2018 zadanie 15 Dany jest trójkąt o bokach długości: 2 5 , 3 5 , 4 5 . Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości
Matura maj 2018 zadanie 16 Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α +β =111° . Wynika stąd, że
Matura maj 2018 zadanie 17 Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL = a , MN = b , a > b . Kąt KLM ma miarę 60° . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa
Matura maj 2018 zadanie 18 Punkt K = (2, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym KM = LM . Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N = (4, 3) . Zatem
Matura maj 2018 zadanie 19 Proste o równaniach y = (m+ 2) x +3 oraz y = (2m−1) x −3 są równoległe, gdy
Matura Maj 2018 zadanie 2 Liczba 3√7/3⋅3√81/56 jest równa
Matura maj 2018 zadanie 20 Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
Matura maj 2018 zadanie 21 Zadanie 21. (0–1) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa
Matura maj 2018 zadanie 22 Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa
Matura maj 2018 zadanie 23 W zestawie liczb liczb 2, 2, 2, , 2, 4, 4, 4, , 4 m m …… jest 2m liczb (m ≥1) , w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe
Matura maj 2018 zadanie 24 Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?
Matura maj 2018 zadanie 25 W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe
Matura maj 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność 2×2 − 3x > 5.
Matura maj 2018 zadanie 27 Rozwiąż równanie (x3 +125)(x2 − 64) = 0 .
Matura maj 2018 zadanie 28 Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność 1 1 2 2a 2b a b + ≥ + .
Matura maj 2018 zadanie 29 Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2. Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od 2 −1.
Matura Maj 2018 zadanie 3 Dane są liczby a = 3,6⋅10−12 oraz b = 2,4⋅10−20 . Wtedy iloraz a b jest równy
Matura maj 2018 zadanie 30 Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f (x) = ax (gdzie a > 0 i a ≠1), należy punkt P = (2, 9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g (x) = f (x) − 2 .
Matura maj 2018 zadanie 31 Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an ), określonego dla n ≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Matura maj 2018 zadanie 32 W układzie współrzędnych punkty A = (4,3) i B = (10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.
Matura maj 2018 zadanie 33 Dane są dwa zbiory: A ={100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B ={10,11,12,13,14,15,16}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Matura maj 2018 zadanie 34 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Matura Maj 2018 zadanie 4 Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A. 865,00 zł
Matura maj 2018 zadanie 5 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 2 1 2 3 − x > jest przedział A. , 1 6 −∞ 
Matura maj 2018 zadanie 6 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Liczby 1 x , 2 x są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
Matura maj 2018 zadanie 7 Równanie 0 4 2 2 2 = − + x x x A. ma trzy rozwiązania: x = − 2 , x = 0 , x = 2
Matura maj 2018 zadanie 8 Funkcja liniowa f określona jest wzorem 1 3 f (x) = 1 x − , dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie     =  3 P 0, 1 .
Matura maj 2018 zadanie 9 Wykresem funkcji kwadratowej f (x) = x2 − 6x −3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Matura sierpień 2015 zadanie 1 Jeśli a=3/2 i b=2, to wartość wyrażenia a⋅b/(a+b) jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 10 określona wzorem f(x)=(2x−8)/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0. Wówczas wartość funkcji f(√2) jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 11 Parabola o wierzchołku W=(−3,5) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem
Matura sierpień 2015 zadanie 12 Wykres funkcji liniowej y=2x−3 przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych
Matura sierpień 2015 zadanie 13 Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y=f(x) ma współrzędne (2,2). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g(x)=f(x+2) ma współrzędne
Matura sierpień 2015 zadanie 14 Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 7 tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba
Matura sierpień 2015 zadanie 15 Ciąg liczbowy określony jest wzorem an=(2^n−1)/(2^n+1), dla n≥1. Piąty wyraz tego ciągu jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 16 Sinus kąta ostrego α jest równy 3/4. Wówczas
Matura sierpień 2015 zadanie 17 W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych 2 i 5 cosinus większego z kątów ostrych jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 18 Pole rombu o boku 6 i kącie rozwartym 150∘ jest równe
Matura sierpień 2015 zadanie 19 W okręgu o środku O dany jest kąt o mierze 50∘, zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą α jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 2 Dany jest prostokąt o wymiarach 40 cm×100 cm. Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o 20%, a każdy z krótszych boków skrócimy o 20%, to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta
Matura sierpień 2015 zadanie 20 Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty A=(−4,3) oraz B=(8,7), jest równy
Matura sierpień 2015 zadanie 21 Punkt S=(2,−5) jest środkiem odcinka AB, gdzie A=(−4,3) i B=(8,b). Wtedy
Matura sierpień 2015 zadanie 22 Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków a,b,c, gdzie a
Matura sierpień 2015 zadanie 23 Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy 4 i wysokość jest równa 6, ma długość
Matura sierpień 2015 zadanie 24 W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe
Matura sierpień 2015 zadanie 25 Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1,2,3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
Matura sierpień 2015 zadanie 26 Rozwiąż równanie (2x−4)/x=x/(2x−4), gdzie x≠0 i x≠2.
Matura sierpień 2015 zadanie 27 Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim – 8 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 11.
Matura sierpień 2015 zadanie 28 Rozwiąż nierówność 20x≥4×2+24.
Matura sierpień 2015 zadanie 29 Kąt α jest ostry i spełnia równość tgα+1/tgα=7/2. Oblicz wartość wyrażenia sinα⋅cosα.
Matura sierpień 2015 zadanie 3 Liczba 9^5⋅5^9/45^5 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 30 Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x3+y3≥x2y+xy2
Matura sierpień 2015 zadanie 31 W prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC, a punkt R jest środkiem boku CD. Wykaż, że pole trójkąta APR jest równe sumie pól trójkątów ADR oraz PCR.
Matura sierpień 2015 zadanie 32 Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach A=(−2,2), B=(6,−2), C=(10,6)
Matura sierpień 2015 zadanie 33 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 3:4, a pole jest równe 192 (zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘. Oblicz objętość ostrosłupa.
Matura sierpień 2015 zadanie 34 Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x)=ax^2+bx+c. Zbiorem rozwiązań nierówności f(x)>0 jest przedział (0,12). Największa wartość funkcji f jest równa 9. Oblicz współczynniki a, b i c funkcji f.
Matura sierpień 2015 zadanie 4 Liczba √9/7+√7/9 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 5 Wartość wyrażenia log(5)0,04−12log(25)1 jest równa
Matura sierpień 2015 zadanie 6 Wartość wyrażenia (a+5)2 jest większa od wartości wyrażenia (a2+10a) o
Matura sierpień 2015 zadanie 7 Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań x+3y=−5 i 3x−2y=−4 Wskaż ten rysunek.
Matura sierpień 2015 zadanie 8 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 2(x−2)≤4(x−1)+1 jest
Matura sierpień 2015 zadanie 9 Rozwiązaniem równania x2(x+1)=x2−8 jest
Matura sierpień 2018 zadanie 1 Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10% zmniejszytła się o 2018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował
Matura sierpień 2018 zadanie 10 Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=x2−2x−11 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Matura sierpień 2018 zadanie 11 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=−3(x−2)(x−9). Liczby x1, x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
Matura sierpień 2018 zadanie 12 Największą wartością funkcji y=−(x−2)2+4 w przedziale ⟨3,5⟩ jest
Matura sierpień 2018 zadanie 13 Ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, spełnia warunek a3+a4+a5=15. Wtedy
Matura sierpień 2018 zadanie 14 Dla pewnej liczby x ciąg (x,x+4,16) jest geometryczny. Liczba x jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 15 W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α jest równa 3–√. Zatem:
Matura sierpień 2018 zadanie 16 Kąt α jest ostry i cosα=35. Wtedy
Matura sierpień 2018 zadanie 17 Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L, M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α+β=114∘.
Matura sierpień 2018 zadanie 18 Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 80∘. Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę
Matura sierpień 2018 zadanie 19 Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze 60∘ jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 2 Liczba √3√2 jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 20 Proste o równaniach y=(3m−4)x+2 oraz y=(12−m)x+3m są równoległe, gdy
Matura sierpień 2018 zadanie 21 Punkt A=(−3,2) jest końcem odcinka AB, a punkt M=(4,1) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka AB jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 22 Jeżeli α oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to
Matura sierpień 2018 zadanie 23 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej 102–√. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 24 Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły. Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 25 W grupie liczącej 29 uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równe
Matura sierpień 2018 zadanie 26 Rozwiąż nierówność x^2+6x−16
Matura sierpień 2018 zadanie 27 Rozwiąż równanie (x^3+27)(x^2−16)=0.
Matura sierpień 2018 zadanie 28 W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.
Matura sierpień 2018 zadanie 29 Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (a+b)(1/a+1/b)≥4.
Matura sierpień 2018 zadanie 3 Dane są liczby x=4,5⋅10−8 oraz y=1,5⋅102. Wtedy iloraz xy jest równy
Matura sierpień 2018 zadanie 30 Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Matura sierpień 2018 zadanie 31 Punkty A=(2,4), B=(0,0), C=(4,−2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.
Matura sierpień 2018 zadanie 32 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
Matura sierpień 2018 zadanie 33 Ze zbioru A={−3,−2,−1,1,2,3} losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru B={−1,0,1,2} losujemy liczbę b. Te liczby są – odpowiednio – współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej f(x)=ax+b. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.
Matura sierpień 2018 zadanie 34 W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB.
Matura sierpień 2018 zadanie 4 Liczba log496−log46 jest równa
Matura sierpień 2018 zadanie 5 Równość (a+23–√)2=13+43–√ jest prawdziwa dla
Matura sierpień 2018 zadanie 6 Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y. wskaż ten układ
Matura sierpień 2018 zadanie 7 Rozwiązaniem równiania x−23(x+2)=19 jest liczba
Matura sierpień 2018 zadanie 8 Dane są funkcje f(x)=3x oraz g(x)=f(−x), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Punkt wspólny wykresów funkcji f i g
Matura sierpień 2018 zadanie 9 Punkt (1,3–√) należy do wykresu funkcji y=23–√x+b. Współczynnik b jest równy

zadania maturalne

8.168. lloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych jest o 65 większy od ro kwadratów największej i najmniejszej z nich. Znajdź te liczby.
8.167. lloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest równy 192. Jakie to lice?
8.166. Akwarium ma kształt prostopadłościanu. m. Krawędzie pojemność jest
8.165. Z prostokątnego kawałka blachy o wymiarach 0, 5m * 0, 4 m ciąć we wszystkich rogach jednakowe kwadraty tak, żeby po zgięciu odpowiednich krawędzi otrzymać otwarty, prostopadłościenny pojemnik. Jakiej wymiary powinny mieć wycięte kwadraty, aby objętość pojemnika była równa 6 litrów? należy wy Krawędzie jednego akwarium wierzchołka przy podstawie mają długość 3 m, 5 m, 2 wychodzące z drugiego akwarium są odpowiednio dłuższe o stały odcinek od krawędzi pierwszego akwarium. Wyznacz wymiary większego akwarium wiedząc, że jego o 110m ^ 3 większa od pojemności pierwszego akwarium.
8.164. Śmietana pakowana jest w prostopadłościenne pudełka o pojemności 0,4 1. Podstawa pudełka jest kwadratem. Wysokość pudełka jest o 6 cm krótsza wędzi podstawy. Wyznacz wymiary pudełka. od kra
8.163. Suma objętości trzech sześcianów jest równa 73 cm ^ 3 sześcianu jest o 2 cm dłuższa od krawędzi pierwszego sześcianu, a krawędź trzecie go sześcianu jest o 1 cm krótsza od krawędzi pierwszego sześcianu. Oblicz długości krawędzi tych sześcianów. . Krawędź drugiego
8.162. Cyfra dziesiątek pewnej naturalnej liczby trzycyfrowej jest dwa razy więk sza od cyfry setek, a cyfra jedności tej liczby jest o 1 mniejsza od cyfry setek. Wyznacz tę liczbę trzycyfrową wiedząc, że różnica sześcianu cyfry setek i iloczynu pozostałych cyfr jest równa 4.
8.161. Uczniowie pewnej klasy podzielili się na trzy wieloosobowe dru o 10 osób o 76 więk grupy. giej grupie jest o 6 osób więcej niż w pierwszej, a w trzeciej grupie jest więcej niż w pierwszej. lloczyn liczby uczniów grupy drugiej i trzeciej jest szy od sześcianu liczby uczniów pierwszej grupy. Ilu uczniów liczy ta klasa? W
8.160. Iloczyn trzech liczb szej, a trzecia o 1 mniejsza od drugiej, jest równy -30. Wyznacz te liczby.
8.159. lloczyn kwadratu pewnej liczby i kwadratu liczby o 3 od niej większej jest równy 324. Wyznacz te liczby. całkowitych, z których druga jest o 3 większa od pierw
8.158. Wykaż, że istnieją trzy wartości parametru a, dla których reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x ^ 3 + x ^ 2 + (a ^ 3 – a ^ 2) * x + 6a przez dwumian (x + 3) jest równa -12.
8.158. Wykaż, że istnieją trzy wartości parametru a, dla których reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x ^ 3 + x ^ 2 + (a ^ 3 – a ^ 2) * x + 6a przez dwumian (x + 3) jest równa -12.
8.157. Wielomian W(x) = x ^ 3 + 4a ^ 2 * (a – 1) * x + 3ax – 4 jest podzielny przez dwu mian (x – 1) . a) Oblicz a. b) Wyznacz iloraz z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x – 1) . 0
8.156. Wykaż, że jeśli suma współczynników wielomianu W w(x) = x ^ 3 + (2a ^ 3 – 6a ^ 2) * x ^ 2 + 9a – 28 jest równa wartość O tylko wtedy, gdy x = 1 0, to wielomian w(x) przyjmuje
8.156. Wykaż, że jeśli suma współczynników wielomianu W w(x) = x ^ 3 + (2a ^ 3 – 6a ^ 2) * x ^ 2 + 9a – 28 jest równa wartość O tylko wtedy, gdy x = 1 0, to wielomian w(x) przyjmuje
8.155. Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W y(x) = x ^ 4 + 8x ^ 3 + (4a ^ 2 + 8) * x ^ 2 + a ^ 4 – a ^ 2 Oblicz a. b) Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu w(x) i podaj krotność wszystkich pierwiastków. 7
8.154. Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x) = x ^ 3 + (a ^ 3 – 1) * x ^ 2 + (2a ^ 2 + 4a + 23) * x – 15 a) Oblicz a. b) Rozłóż wielomian W(x) na czynniki możliwie najniższego stopnia.
8.153. Rozwiąż równanie: 3x * (x + 3) = 2(x ^ 3 + 5); 2x ^ 2 * (x ^ 2 – x – 20) * (x ^ 3 – 125) = 0; (5x – 7) * x ^ 2 + 4(5x – 7) = 20x ^ 2 – 28x ( b) 6x ^ 3 – 13x ^ 2 = 2 – 9x d) 4x ^ 3 – 13x ^ 2 – 13x + 4 = 0; 4 = 0 5 = 0; 6x ^ 3 – 11x ^ 2 – 12x + 5 = 0 f) Zadania prowadzące do równań wielomianowych
8.145. Rozwiąż równanie: x³ 3 3x ^ 3 – 7x ^ 2 – 7x + 3 = 0; x ^ 4 – 3x ^ 3 + 4x ^ 2 = 12x e) x ^ 3 – 8 = (x – 2)(x + 6) 169 x ^ 5 + 1 = 0 f) x x ^ 8 + 2x ^ 4 + 1 = 0 b) (x ^ 2 – 4x + 1)(x ^ 2 + 5) * (8 – x ^ 3) = 0 d) (9x ^ 2 – 25)(125x ^ 3 + 216) = 0 f) ( (x ^ 4 – 256)(3x ^ 2 – 6) * (x ^ 3 + 27) = 0 b) – 5(x ^ 2 – 3x) = x ^ 2 * (3x – x ^ 2) d) 4x ^ 2 * (3 – 2x) + 4x ^ 2 = 6x f) 9x ^ 2 * (x + 2) + 6x * (x + 2) = – x – 2 b) 8x ^ 5 – 32x ^ 3 – x ^ 2 + 4 = 0 d) x ^ 5 – x ^ 3 – 125x ^ 2 + 125 = 0 f) – 27x ^ 5 + 54x ^ 3 – x ^ 2 + 2 = 0 b) 3x ^ 5 – 2x ^ 4 + 2 – 3x = 0 d) x ^ 4 + 4x ^ 3 = 5x ^ 2 + 20x f) x ^ 5 – 2x ^ 3 = (2 – x ^ 2) * x ^ 2
8.144. Rozwiąż równanie: ax x ^ 5 – x ^ 3 – x ^ 2 + 1 = 0 2 2x ^ 5 + 3x ^ 3 – 16x ^ 2 – 24 = 0 x e) 8x ^ 5 – 128x ^ 3 + x ^ 2 – 16 = 0
8.143. Rozwiąż równanie: a) x ^ 2 * (x ^ 2 – 4) = 3(x ^ 2 – 4) c) x ^ 2 * (4 – x) + 9x – 36 = 0 e) (x – 1) ^ 2 – 2x * (x – 1) = 1 – x
8.142. Rozwiąż równanie: b) x ^ 3 + 64 = 0 e) x ^ 6 – 64 = 0 a) (4 – x)(x + 5) * (2x – 3) = 0 c) (x ^ 2 + 6x + 2)(8x ^ 2 – 4x) = 0 e) (2x ^ 2 + x + 1)(3x ^ 2 + 12) = 0
8.141. Rozwiąż równanie: x ^ 1 – 8 = 0 d) 81x ^ 4 – 1 8.
8.140. Rozłóż dane wielomiany na czynniki. a) 2x ^ 4 – x ^ 2 – 1 x x ^ 8 – 7x ^ 3 – 8 9 9x ^ 2 – (x ^ 2 + 2) ^ 2 b) – x ^ 4 + 10x ^ 2 – 9 d) (x ^ 2 – 3x) ^ 2 – 9x ^ 2 f) (x + 1) ^ 4 – 5 * (x + 1) ^ 2 + 4 Równania wielomianowe
8.139. Rozłóż dane wielomiany na czynniki. (x + 3) ^ 3 + 4 * (x + 3) ^ 2 + 4(x + 3); (4x – 5) ^ 3 – 9(4x – 5) ) (4x – 1) ^ 3 – (3x + 2) ^ 3 b) (2x – 3) ^ 3 – 2 * (2x – 3) ^ 2 + (2x – 3) d) 3 * (x – 2) ^ 3 – (x ^ 2 – 4)(x – 2) f) (2x + 3) ^ 3 – 8x – 12
8.138. Rozłóż dane wielomiany na czynniki. a) x ^ 3 + 4x ^ 2 + x – 6 c) 27 – (4x + 1) ^ 3 e) 5x ^ 4 + 8x ^ 3 + x ^ 2 – 2x b) 2x ^ 7 – 4x ^ 5 + 2x ^ 3 d) x ^ 3 + 4x ^ 2 – 3x – 18 f) 3sqrt(2) * x ^ 3 – x ^ 2 – 27sqrt(2) * x + 9
8.137. Rozłóż dany wielomian na czynniki wiedząc, że ma on całkowity pierwiastk. a) 2x ^ 3 + x ^ 2 – 5x + 2 c) 3x ^ 3 + 8x ^ 2 + 3x – 2 e) 2x ^ 3 – x ^ 2 – 7x + 6 b) x ^ 3 + 3x – 4 d) x ^ 3 – 7x ^ 2 + 11x – 5 f) 3x ^ 3 + 11x ^ 2 + 5x – 3
8.136. Rozłóż dane wielomiany na czynniki. a) x ^ 2 – 1 + (x ^ 2 – 1)(x ^ 2 + 1) c) (x ^ 2 + 8x + 16) * x ^ 2 – (x + 4) ^ 2 e) x ^ 3 – 8 + (x – 2)(x ^ 2 – 3x + 1) b) 3 * (x + 5) ^ 3 – (x ^ 2 + 10x + 25) d) 4 – x ^ 2 – (x – 2)(x + 2) * (x – 3) f) (3x + 1)(2x ^ 2 + 5) + 27x ^ 3 + 1 8
8.135. Rozłóż dane wielomiany na czynniki. a) ( (x + 2)(x + 2) – 4x – 8 c) 2x – 14 + 5(x – 7) * x ^ 2 e) 2x + 3 – (4x + 6)(2x – 3) b) (x – 3)(x + 3) – 4x + 12 d) 3x ^ 3 – 4x ^ 2 – (3x – 4) ^ 2 f) 2 + x + (4 + 2x) ^ 2
8.134. Rozłóż dane wielomiany na czynniki. a) x ^ 4 + 2x ^ 3 – x – 2 c) x ^ 4 – x ^ 3 – 27x + 27 e) 8x ^ 4 + 8x ^ 3 – x – 1 b) 8x ^ 4 + 24x ^ 3 + x + 3 d) 125x ^ 4 – 125x ^ 3 – 8x + 8 f) 3x ^ 4 + 2x ^ 3 – 24x – 16
8.133. Rozłóż dane wielomiany na czynniki, stosując grupowanie wyrazów. a) – 3x ^ 3 – 4x ^ 2 + 12x + 16 c) – 4x ^ 3 + 2x ^ 2 – 6x + 3 e) 2x ^ 4 + 3x ^ 3 – 2x ^ 2 – 3x b) 20x ^ 3 + 12x ^ 2 – 45x – 27 d) – 6x ^ 3 – 16x ^ 2 + 3x + 8 f) 3x ^ 4 – x ^ 3 – 15x ^ 2 + 5x
8.132. Rozłóż dane wielomiany na czynniki, stosując grupowanie wyrazów. a) 9x ^ 3 – 4x ^ 2 – 27x + 12 c) 16x ^ 3 + 16x ^ 2 – 4x – 4 e) 3x ^ 3 – 7x ^ 2 – 27x + 63 b) 5x ^ 3 – 4x ^ 2 – 5x + 4 d) 18x ^ 3 + 9x ^ 2 – 18x – 9 f) 10x ^ 3 + 15x ^ 2 + 8x + 12
8.131. Rozłóż dane wielomiany na czynniki, stosując grupowanie wyrazów. a) x ^ 3 + 3x ^ 2 – 4x – 12 c) 3x ^ 3 – 6x ^ 2 + 4x – 8 e) 4x ^ 3 + 4x ^ 2 – x – 1 b) 7x ^ 3 + 2x ^ 2 – 21x – 6 d) x ^ 3 – x ^ 2 + x – 1 f) – 9x ^ 3 – 18x ^ 2 + x + 2
8.130. Zamień sumę algebraiczną na iloczyn, stosując metodę grupowania wyrazów. a) a(x + y) + bx + by; cx – cy – ay + ax e) y ^ 2 + 2xy – 2x – y b) ax + bx – ay – by d) x ^ 2 – xy + ax – ay; 3ac – bc – b + 3c
8.129 Rozłóż dane wielomiany na czynniki, wyłączając wspólny czynnik poza nawias. a) 5x ^ 2 * (x – 1) + 7x * (1 – x) + 2(x – 1) c) (4x – 1) ^ 2 * x + (1 – 4x) * x ^ 2 – (4x – 1) e) (- 1 – x)(x ^ 2 – 1) – (x + 1) ^ 2 b) – 2x ^ 2 * (2 – x) + 3x * (x – 2) + 2(2 – x) d) x(x + 5) – x ^ 2 * (x + 5) – 2(- x – 5) f) (x ^ 2 – 9) * x – (x – 3) ^ 2
8.128. Rozłóż dane wielomiany na czynniki, wyłączając wspólny czynnik poza nawias. a) 4x ^ 4 – 4x ^ 3 + x ^ 2 c) x(3x ^ 2 + 1) – 4(3x ^ 2 + 1) e) (2x – 5) * x ^ 2 – 3x * (2x – 5) b) (x ^ 2 + 2)(2x – 3) + 5x * (x ^ 2 + 2) d) ( (5x – 1)(x ^ 2 + 1) + (5x – 1)(6 – 2x ^ 2) f) 9(x – 4) + (x – 4) * x ^ 2 + 6x * (x – 4)
8.127. Rozłóż wielomiany na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia. a) – x ^ 3 + 3x ^ 2 – 3x + 1 e) 1 + 8x ^ 3; (x – 5) ^ 3 – 8x ^ 3 b) 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 d) 216x ^ 3 – 125 f) 27x ^ 3 – (2x + 1) ^ 3
8.126. Rozłóż wielomiany na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia. 625x ^ 4 – 1 c) – 4 – 20x ^ 2 – 25x ^ 4 e) (x – 4) ^ 2 – (2x + 1) ^ 2 b) x ^ 4 – 2x ^ 2 + 1 d) 81x ^ 4 – 16; 9x ^ 2 – 6x + 1 – (2x + 5) ^ 2
8.125. Wielomian
8.124. Współczynniki a i b wielomianu W(x) = x ^ 4 + a * x ^ 3 + b * x ^ 2 – 5x + 6sa całkowitymi, a dwa pierwiastki wielomianu W W(x) są liczbami pierwszymi. a) Oblicz a i b. b) Wykaż, że wielomian W(x) ma tylko dwa pierwiastki. licz ma trzy całkowite pierwiastki. Wiedząc, w(x) . w(x) = x ^ 3 – a * x ^ 2 – x + 5 ze o jest liczbą pierwszą, wyznacz pierwiastki wielomianu W Rozkładanie wielomianów na czynniki
8.123. Wykaż, że jeśli oraz wielomian W(x) = x ^ 3 + a * x ^ 2 + x – 12ma pier stek, który jest nieparzystą liczbą pierwszą, to reszta z dzielenia wielomianu a in Z przez x – 1 jest równa -12. D
8.122. Wykaż, że jeśli ma pierwiastek, będący liczbą pierwszą, to wielomian całkowite. a in Z oraz wielomian w(x)=x^ 4 +2x^ 3 -4x^ 2 +ax**2; W(x) ma dwa pierwiastki D
8.121. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu w(x) ma pierwiastek całkowity. a) W(x) = x ^ 3 + 2x ^ 2 – 3x – 10 c) W(x) = x ^ 3 + 2x ^ 2 – 15x – 36 e) W(x) = 2x ^ 3 + 4x – 24 wiedząc, że ten wielomian b) w(x) = 3x ^ 3 + 8x ^ 2 + 3x – 2 d) W(x) = – 2x ^ 3 + 28x – 16 f) w(x) = x ^ 5 – x ^ 4 + 2x ^ 3 – 2x ^ 2 + x – 1 g) w(x) = 4x ^ 5 – 8x ^ 4 – 4x ^ 3 + 8x ^ 2 + x – 2 h) W(x) = x ^ 5 – x ^ 4 – x ^ 3 + x ^ 2 – 6x + 6 D
8.120. Wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu w(x) . a) W(x) = 1/4 * x ^ 3 – 1/2 * x ^ 2 – x + 2 c) W(x) = 1/2 * x ^ 3 + 5/2 * x ^ 2 + 5x + 12 b) w(x) = 1/3 * x ^ 3 – 7/3 * x + 2 d) w(x) = 1/2 * x ^ 4 + x ^ 3 – 13/2 * x ^ 2 – 7x + 12
8.119. Wykaż, że wielomian W(x) = x ^ 3 + 6x ^ 2 + 3x – 10r ma tylko całkowite pierwiastki.
8.118. Wykaż, że wielomian W(x) = 4x ^ 4 + 4x ^ 3 + 11x ^ 2 – x – 3 nie ma pierwiastków całkowitych. D
8.117. Wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu w(x) , jeśli: a) W(x) = x ^ 3 + 4x ^ 2 + x – 6 c) W(x) = 2x ^ 3 – 5x ^ 2 – 2x + 5 e) W(x) = x ^ 4 + x ^ 3 – 11x ^ 2 – 9x + 18 b) w(x) = 2x ^ 3 – 2x ^ 2 – 2x – 4 d) W(x) = 3x ^ 3 + 7x ^ 2 – 4 f) w(x) = 5x ^ 4 + 15x ^ 3 – 19x ^ 2 + 3x – 4 . D
8.116. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n wielomian W(x) = x ^ (2n – 1) + (n – 1) * x ^ 2 + nx + 2; x + 1 wielomianu. W(x) Następnie wyznacz W(x)
8.115. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n wielomian W(x) = n * x ^ (n + 1) – (n – 1) * x ^ n – 1jes podzielny przez dwumian x – . x – 1 0
8.114. Oblicz wartości współczynników a i b wielomianu W W(x) wiedząc, że wie lomian ten jest podzielny przez podany obok trójmian kwadratowy P(x) . Podaj wszystkie pierwiastki wielomianu W(x) . a) W(x) = x ^ 3 + a * x ^ 2 – bx + 6 b) W(x) = 3x ^ 3 + a * x ^ 2 – 15x + b; P(x) = (x – 1)(x – 2); P(x) = 3x ^ 2 + 11x – 4
8.113. Liczby x 1 ix 2 są pierwiastkami wielomianu W(x) znajdź trzeci pierwiastek wielomianu W(x) a) w(x) = x ^ 3 – (a + b) * x ^ 2 – (a – b) * x + 3 , b) w(x) = 2x ^ 3 + (a + b) * x ^ 2 + (5b + 2a) * x – 8 . Oblicz a i b. Następnie x 1 =1 , x 2 =3; x 1 =4 , x 2 =^ – 1 2
8.112. Wielomian Oblicz a. Następnie x + 1/4 b) w(x)=4x^ 3 +6ax^ 2 +(4a+2)x-12,; x – 1/2
8.111. Wyznacz liczbę a, dla której liczba c jest pierwiastkiem wielomianu W Dla obliczonej wartości a, podaj pozostałe pierwiastki tego w(x) = x ^ 3 + 2x ^ 2 – x + a D) w(x) = 3x ^ 3 – (4a + 5) * x ^ 2 + 28x – 4a , c = 1; c = 2 jest podzielny przez podany obok wielomianu dwumian. W(x) wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W W(x) . a) w(x) = 4x ^ 3 + 5x ^ 2 + ax – 2
8.110. Wykaż, że liczba c jest pierwiastkiem wielomianu W pierwiastki wielomianu Jw * (x) = x ^ 5 + 2x ^ 4 + 2x ^ 3 + 4x ^ 2 – 3x – 6; w(x) = x ^ 5 – x ^ 4 + 3x ^ 3 – 3x ^ 2 + 2x – 2; w(x) = 2x ^ 3 + 2x ^ 4 – 20x ^ 3 – 20x ^ 2 + 18x + 18; w(x) = x ^ 3 – 2x ^ 4 – 15x ^ 3 + 30x ^ 2 – 16x + 32 pozostale W(x) , o ile istnieją. c = – 2; c = 1; mathfrak c =-1; c = 2
8.109. a) W(x) = x ^ 3 – x ^ 2 – 16x – 20 b) w(x) = x ^ 3 – x ^ 2 – 8x + 8 , w(x); c = – 2; c = 1 c) w(x) = 2x ^ 3 + 7x ^ 2 + 2x – 3; c = – 3 d) W(x) = x ^ 3 + 5x ^ 2 + 5x + 25 , c = – 5 jest podzielny przez
8.108. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W(x) wiedząc, że wielomian W(x) jest podzielny przez P(x) jeśli: a) w(x) = 3x ^ 3 + 20x ^ 2 + 11x – 6 b) w(x) = 2x ^ 3 – 10x ^ 2 + 10x – 8 c) w(x) = 2x ^ 3 – 3x ^ 2 – 20x + 21 d) w(x) = 8x ^ 3 – 6x ^ 2 – 18x – 4 e) W(x) = x ^ 3 – 4x ^ 2 – 3x + 18 f) w(x) = x ^ 3 + 2x – 3; P(x) = x + 1; P(x) = x – 4; p(x) = x + 3; P(x) = x – 2; P(x) = x – 3; P(x) = x – 1 . Dany jest wielomian w(x) i liczba c. Wykaż, że liczba c jest pierwiastk wielomianu W W(x) istnieją. . Następnie wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu
8.107. Wyznacz liczbę k, dla której wielomian W P(x) , jeśli: a) W(x) = 2x ^ 3 – (3k + 2) * x ^ 2 + 6kx – 18 b) W(x) = x ^ 3 – (4k + 3) * x ^ 2 + (6k – 1) * x + 25 c) W W(x) = 2x ^ 3 + 3k ^ 2 * x ^ 2 + kx – 20 d) W(x) = x ^ 3 + 2x ^ 2 – k ^ 2 * x + 5k + 7; w(x) jest podzielny przez dwumian P(x) = x + 3; P(x) = x – 5; P(x) = x – 2; P(x) = x + 3 .
8.106. Sprawdź, nie wykonując dzielenia, czy wielomian W W(x) dwumian P(x) , jeśli: a) W(x) = x ^ 3 – 3x ^ 2 + 4x – 12 b) W(x) = 2x ^ 4 + 3x ^ 3 + 2x ^ 2 + x – 14 c) W(x) = 5x ^ 5 – 3x ^ 3 – 2x + 9 d) W(x) = – 3x ^ 7 + 8x ^ 5 + 4x ^ 2 + 1; p(x) = x – 3; P(x) = x + 2; P(x) = x – 1; P(x) = x + 1 .
8.105. Podaj przykład wielomianu w(x) szóstego stopnia, zapisanego w postaci iloczynowej i którego pierwiastkami są liczby: a) 0, 1, 2, 3, 4, 5 c) – 1, 1, 3 b) – sqrt 5 ,- sqrt 3 ,0, sqrt 3 ); sqrt(5) d) -2.
8.104. Wielomian W(x) jest zapisany w postaci iloczynu wielomianów pierwsze go i drugiego stopnia. Podaj stopień wielomianu w(x) i wyznacz pierwiastki tego wielomianu. a) w(x) = (x – 2)(x ^ 2 + 2x + 4) * (5 – 2x) * (x ^ 2 + 1) b) W W(x) = (81x ^ 2 – 4)(x ^ 2 – x – 6) * (3 – x) * (x + 5) c) W(x) = 5x * (2x ^ 2 + x + 1) * (9x ^ 2 – 6x + 1) * (4 + x ^ 2) d) W(x) = (x ^ 2 + 3x + 4)(1 – 2x + 8x ^ 2) * (x ^ 2 – 9); x – 1
8.103. Dany jest wielomian W(x) są pierwiastkami wielomian w(x) . a) w(x) = x ^ 3 – 3x ^ 2 – 4x + 12 b) w(x) = x ^ 4 – 2x ^ 2 – 3 i zbiór A. Sprawdź, które liczby ze zbioru A , A=\ -1, sqrt 2 ,3\; A=\ – sqrt 3 ,- 1 3 ,1, sqrt 3 \
8.102. Sprawdź, czy podana obok wielomianu W W(x) liczba c jest jego pierwiastkiem: a) w(x)=x^ 3 -6x^ 2 +12x-7, b) w(x) = 5x ^ 3 – 2x ^ 2 – 6x – 20 , c) w(x) = 6x ^ 4 – 3x ^ 2 + 5x + 3 , d) w(x) = x ^ 4 + 7x ^ 3 + 16x ^ 2 – 24; c = 1; c = 2; c = – 1 , . c = – 2
8.100. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, Jenia wielomianu większa od 3. a in R , dla których reszta z dzie w(x) = 2x ^ 4 – 3x ^ 3 + a * x ^ 2 + a ^ 2 * x + 2 przez dwumian jest x – 1
8.99. Reszta z dzielenia wielomianu x + 1 jest równa 2. Oblicz m. W(x) = m ^ 2 * x ^ 8 – 5x ^ 4 – 3m przez dwumian W(x) = m ^ 2 * x ^ 6 – 8x ^ 3 + 5m przez dwumian
8.98. Reszta z dzielenia wielomianu jest równa -1. Oblicz m.
8.97. Dany jest wielomian w(x) = x ^ 3 + (k ^ 2 + 1) * x ^ 2 – 2kx – 15 . oblicz resztę z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x x + 3 lub k = , to wielomian W(x) jest podzielny prez k = 3 a) Dla Uzasadnij, że jeśli Iak = 1 dwumian D b) x + 1 . k = – 5
8.96. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian P(x), jeśli: a) W(x) = – 2x ^ 3 + 4x ^ 2 – 5x + 1 , , b) W(x) = x ^ 4 – 2x ^ 3 + 4 c) W(x) = – 3x ^ 6 + 4x ^ 4 + 9 d) W(x) = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 3x + 1 , P(x) = x – 2; P(x) = x + 1; P(x) = x – 1; P(x) = x + 3 .
8.95. Wykonaj dzielenie: a) (2x ^ 6 + 3x ^ 2 – 15) / (x – 1) c) (x ^ 5 + 1) / (x + 1) e) (x ^ 7 + 1) / (x – 1) b) (- 4x + 1) / (x – 7) d) (3x ^ 4 – 2x + 8) / (x – 2) f) (- 2x ^ 5 + 4x ^ 3 + 6) / (x + 3) . b) (- 3x ^ 4 + 2x + 16) / (x – 2) d) (x ^ 6 – 1) / (x + 1) . f) (x ^ 8 – 1) / (x – 1)
8.94. Wykonaj dzielenie z resztą, stosując schemat Hornera: a) (3x + 5) / (x + 4) c) (x ^ 3 – 1) / (x + 2) e) (5x ^ 5 + 2x ^ 3 + 7) / (x – 1)
8.93. Wykonaj dzielenie, stosując schemat Hornera: a) (x ^ 3 – 3x + 2) / (x – 1) c) (- x ^ 3 + 4x + 3) / (x + 1) e) ( (2x ^ 4 – 5x + 3) / (x – 1) b) (2x ^ 3 + x + 18) / (x + 2) d) (5x ^ 3 – 7x – 26) / (x – 2) f) (- 3x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1) / (x + 1) .
8.92. Wykonaj dzielenie, stosując schemat Hornera: a) (3x ^ 4 + 3x ^ 3 + 2x ^ 2 + 3x + 1) / (x + 1) b) (2x ^ 4 + 3x ^ 3 – 2x ^ 2 + 6x – 3) / (x – 0, 5) c) ( 3x^ 4 -x^ 3 +6x^ 2 +7x-3):(x- 1 3 ) d) ( 5x^ 4 +9x^ 3 -2x^ 2 +5x-1):(x- 1 5 ).
8.91. Wykonaj dzielenie, stosując schemat Hornera: a) (x ^ 3 + 2x ^ 2 + x – 4) / (x – 1); aligned +2x^ 2 +\\ -4x^ 2 – aligned c) ( (3x ^ 3 – 4x ^ 2 – x – 6) / (x – 2) b) (x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + 2) / (x + 2) d) (2x ^ 3 + 7x ^ 2 + 8x + 15) / (x + 3)
8.90. Wykonaj dzielenie z resztą: (3x ^ 2 – 2x + 1) / (x + 2); (4x ^ 4 + 3x ^ 2 – 6x + 3) / (x + 1); (x ^ 5 + 4x ^ 3 – 2x ^ 2 + 1) / (x + 3) 161 b) ( (- 2x ^ 3 + 4x – 3) / (x – 1) d) (- 3x ^ 4 + 2x ^ 3 + 4) / (x – 3) f) (x ^ 6 – 3x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1) / (x – 2)
8.89. Wykonaj dzielenie: a) (2x ^ 4 – 15x ^ 3 + 24x ^ 2 – 5x – 6) / (2x – 3) b) (12x ^ 4 – 3x ^ 3 + 8x ^ 2 – 6x + 1) / (4x – 1) c) (- 2x ^ 4 + x ^ 3 – 16x ^ 2 + 4) / (- 2x + 1) d) (- 3x ^ 4 + 2x ^ 3 – 12x + 8) / (- 3x + 2) .
8.88. Wykonaj dzielenie: b) (x ^ 3 – x ^ 2 – 5x + 21) / (x + 3) d) (x^ 4 +5x^ 3 -12x^ 2 +5x+1):(x-1).; (x – 2/5) b) 38x³ a) (100x^ 3 -120x^ 2 +47x-6):x-; (38x^ 3 +7x^ 2 -8x-; 8x-1):(x+ 1 2 ) c) (16x^ 4 +8x^ 3 -7x^ 2 +2x+1):(x+ 1 4 ]d)(2x^ 5 +3x^ 4 -2x-3):(x+ 3 2 ]
8.87. Wykonaj dzielenie: a) (x ^ 3 – 6x ^ 2 + 12x – 16) / (x – 4) c) (x ^ 3 – 3x ^ 2 + 3x – 2) / (x – 2)
8.86. Wielomian wielomianu W(x); w(x) = (x ^ 3 + 216)(3x + 5) jest podzielny przez wielomian a ilorazem z dzielenia W(x) przez w(x) = (2x – 3) ^ 2 * (3x + 1) ^ 2 a ilorazem z dzielenia W(x); p(x) jest wielomian przez P P(x) jest wielomian jest podzielny przez wielomian P(x) jest wielomian W(x); P(x) przez a) w(x) = x ^ 6 – 2x ^ 4 + 2x ^ 3 – 2x + 1 , w(x) = x ^ 6 – x ^ 5 + 2x ^ 4 – x ^ 3 – x ^ 2 + 2x – 2 b) W a(x); a(x) a ilorazem z dzielenia Q(x). Wyznacz wielomian Q(x) jeśli: P(x) = (x ^ 3 – 2x + 1); P(x) = (x ^ 4 + x ^ 2 – 2) Dzielenie wielomianu przez dwumian liniowy. Schemat Hornera
8.84. Wielomian g(x) = 3x ^ 2 + 23x + 30 Wyznacz a(x); p(x) = 6x ^ 2 – 7x – 3 Wyznacz a(x)
8.83. Wielomian w(x) = (8x ^ 3 – 27)(2x – 7) jest podzielny przez wielomian llorazem z dzielenia W(x) przez P(x) jest wielomian Q(x) = 4x ^ 2 + 6x + 9 V nacz P(x) 4
8.82. Wielomian w(x) = 2x ^ 4 – 7x ^ 3 + 6x ^ 2 + 10x – 15 jest mian . Ilorazem z dzielenia wielomianu P(x); Q(x) = x ^ 3 – 2x ^ 2 + 5 . Wyznacz P(x) . przez P(x)
8.81. llorazem z dzielenia wielomianu . Wyznacz P(x)
8.80. Wielomian w(x) = – 6x ^ 4 + (a – b) * x ^ 3 – 21x ^ 2 + (2a – 3b) * x – 15 jest podziel ny przez wielomian P(x) = 3x ^ 2 – 2x + 5 . llorazem z dzielenia w(x) przez wielomian Q(x) = – 2x ^ 2 + x – 3 . Oblicz a i b. jest P(x) Wielomian w(x) = 6x ^ 3 – x ^ 2 + 10x – 8 jest podzielny przez wielomian W(x) przez P(x) jest wielomian Q(x) = 2x ^ 2 + x; w(x) podzielny przez wa jest wielomian
8.79. Wielomian W w(x) = – 3x ^ 3 + (3a + b) * x ^ 2 – (4a + 9b) * x + 30 jest podzielny przez wielomian P(x) = – 3x + 5 llorazem z dzielenia W w(x) przez P(x) jest wielomian Q(x) = x ^ 2 – 4x + 6 . Oblicz a i b.
8.78. Wielomian W(x) = – 10x ^ 3 + 11x ^ 2 + ax + b jest podzielny przez wielomian P(x) = 1 – 2x . llorazem z dzielenia Q(x) = 5x ^ 2 – 3x + 2 . Oblicz a i b. W(x) przez P(x) jest wielomian
8.77. Wielomian w(x) jest podzielny przez wielomian P(x) . Wielomian Q(x) = 4 + 3x jest ilorazem z dzielenia W W(x) przez P(x) Wyznacz P(x) , jeśli: a) W(x) = 16 – 9x ^ 2 b) W(x) = 9x ^ 2 + 24x + 16 c) W(x) = – 3x ^ 2 – x + 4
8.76. Podaj przykład wielomianu F(x) takiego, że wielomian w(x) = (x + 2)(x ^ 2 – x – 6) * F(x) jest podzielny przez wielomian P(x) = x ^ 3 + 6x ^ 2 + 12x + 8 .
8.75. Podaj przykład wielomianu F(x) takiego, że wielomian w(x) = (3 – x)(4 + 5x) * F(x) jest podzielny przez wielomian W p(x) = – x ^ 2 + 9x – 18
8.74. Podaj przykład wielomianu F(x) stopnia pierwszego i takiego, że wielomian w(x) = (8x ^ 3 – 1) * F(x) P p(x) = 2x ^ 2 + 5x – 3 jest podzielny przez wielomian
8.73. Podaj przykład W(x) = (x ^ 2 + 10x + 25) * F(x) jest podzielny przez wielomian
8.72. Dany jest wielomian W(x) = (9x ^ 2 – 1)(x ^ 2 – 4x) a stopnia pierwszego c) stopnia trzeciego b) przez który jest podzielny wielomian W W(x) stopnia drugiego d) stopnia czwartego, wielomianu F(x) stopnia pierwszego i takiego, że wielomian p(x) = x ^ 2 + 4x – 5
8.71. Dany jest wielomian W(x) = – 3x ^ 2 * (4 – x) * (x + 2) stopnia trzeciego, przez które jest podzielny wielomian W overline W (x) . . Wskaż trzy wielomiany . Podaj przykład wielomianu:
8.70. Podaj przykład wielomianu drugiego stopnia, przez który jest podzielny wielomian W(x) , jeśli: a) W(x) = (x + 1)(x ^ 4 + 8) * (x – 3) c) w(x) = 125x ^ 3 + 216 b) W N(x) = 27x ^ 3 – 100 d) W(x) = 8x ^ 3 – 60x ^ 2 + 150x – 125
8.69. Wskaż pięć wielomianów pierwszego stopnia, przez które jest podzielny wielomian w(x) jeśli W(x) = (x ^ 3 + 125)(6x ^ 2 + 13x – 10) * (4x ^ 2 – 9)
8.68. Wskaż cztery wielomiany pierwszego stopnia, przez które jest podzielny wielomian w(x) , jeśli W(x) = (4x ^ 2 – 9)(x ^ 2 – 4x – 5)
8.67. Podaj przykład wielomianu pierwszego stopnia, przez który jest podzielny wielomian W(x) jeśli: a) w(x) = x ^ 3 – 1 c) w(x) = 81 – x ^ 4 e) w(x) = x ^ 3 – 6x ^ 2 + 12x – 8 B) w(x) = 27x ^ 6 – 64 b) W W(x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + 1 d) W(x) = 8 + 125x ^ 3 f) W(x) = x ^ 5 – 32 h ) W(x) = 4x ^ 4 – 4x ^ 2 + 1 .
8.66. Wykaż, że liczba 3 ^ 18 – 2 ^ 18; 3 ^ 16 – 2 ^ 16; 8 ^ 15 – 5 ^ 5; 6 ^ 21 – 9 ^ 14; 2 ^ 35 – 3 ^ 28 jest podzielna przez 19. jest podzielna przez 13. jest podzielna przez 13. jest podzielna przez 15. jest wielokrotnością liczby 7. Podzielność wielomianów
8.65. Wykaż, że liczba
8.64. Wykaż, że liczba 7
8.63. Wykaż, że liczba
8.62. Wykaz, że liczba
8.61. Wykaż, że liczba 26 ^ 24 – 15 ^ 24 jest podzielna przez 41. sześcian
8.59. że liczba sqrt(sqrt(2) – 1) * root(4, 3 + 2sqrt(2)) jest liczbą naturalną. Wykaż, że liczba 209 ^ 21 – 45 ^ 21 jest podzielna przez 164. D
8.59. że liczba sqrt(sqrt(2) – 1) * root(4, 3 + 2sqrt(2)) jest liczbą naturalną. Wykaż, że liczba 209 ^ 21 – 45 ^ 21 jest podzielna przez 164. D
8.58. Wykaż, D
8.57. Wykaż, że liczba (26 – 15sqrt(3)) * (2 + sqrt(3)) ^ 3 jest liczbą naturalną. D
8.56. Wykaż, że liczba (1 – sqrt(2)) ^ 3 * (7 + 5sqrt(2)) jest liczbą całkowitą. D
8.55. Wykaż, że jeśli a + b = 4iab + 9 = 0 przez 6, to a ^ 3 – b ^ 3 = 230 , to a ^ 3 + b ^ 3 – 172 = 0 . D
8.54. Wykaż, że jeśli a – b = 5iab = 7 , to D
8.53. Wykaż, że jeśli liczba parzysta jest niepodzielna przy dzieleniu przez 6 daje resztę 2 lub 4. D
8.52. Liczba całkowita c przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Wykaż, z dzielenia liczby c ^ 3 – 2 przez 3 jest równa 2. D
8.51. Liczba całkowita c przy dzieleniu przez 6 daje resztę 2. jest podzielna przez 12. D
8.50. Liczba całkowita a przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, zaś liczba całkowita b przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Wykaż, że suma sześcianów tych podzielna przez 4. liczb jest Wykaż, że liczba że reszta tej liczby 4 + c ^ 3 D
8.49. Wykaż, że jeśli liczba całkowita przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, cian tej liczby przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2. to sześ. D
8.48. Wykaż, że liczba 536 ^ 3 – 124 ^ 3 jest podzielna przez 103. D
8.47. Wykaż, że liczba 207 ^ 3 + 148 ^ 3 jest podzielna przez 71. D
8.46. Usuń b) 1 – x ^ 3 f) 125a ^ 3 + 216 b) x ^ 3 + 18x ^ 2 + 108x + 216 d) 8x ^ 3 + 36x ^ 2 * y + 54x * y ^ 2 + 27y ^ 3; 1 – 15y + 75y ^ 2 – 125y ^ 2 . f) niewymierność z mianownika 27z ^ 3 – 1 g) 5sqrt(5) + x ^ 3 ułamka: d) 8k ^ 3 – 125 h) y ^ 3 – 2sqrt(2) . 2/(2 – root(3, 2)); 2/(root(3, 3)); 2/(3 + root(3, 5)); 1/(3 * root(3, 2)); (2 * root(3, 5))/(root(3, 25)) c) 7/(root(3, 16) – root(3, 12) + root(3, 9)) g ((root(3, 2))/(4 * root(3, 16) + 2 * root(3, 4) + 1) * h) * (root(3, 3) – 2)/(root(3, 3) + root(3, 9)) e a) b) f) d)
8.45. Zamień na iloczyny wyrażenia: a) y ^ 3 + 8 e) 64 + 27y ^ 3
8.44. Zamień na iloczyny wyrażenia: a) x ^ 3 – 3x ^ 2 + 3x – 1 c) 27 – 27y + 9y ^ 2 – y ^ 3 e) 1 + 6x + 12x ^ 2 + 8x ^ 3
8.43. Rozwiąż nierówność: a) ( (x – 2) ^ 3 + 7x ^ 2 + (2 + x)(x ^ 2 – 2x + 4) > 2x ^ 3 + 12x + 25 b) (x – 4)(x ^ 2 + 4x + 16) – 2 * (x – 1) ^ 3 >= 5(x – 4) * (x + 3) – x ^ 3 c) x ^ 2 * (x – 5) – (x – 2) ^ 3 <= 3x - 12(x - 1) d) (3 + x) ^ 3 + (2x - 1)(4x ^ 2 + 2x + 1) - 11(3x + 4) < 9x ^ 2 * (x + 1) - (x ^ 2 + 2)
8.42. Rozwiąż równanie: a) ( (x – 1) ^ 3 + 35 = 4 * (x + 1) ^ 2 – (2 – x)(4 + 2x + x ^ 2) b) (2 + x) ^ 3 + 9x = 10 – (2 – x) ^ 3 + (2x – 1) ^ 2 c) 2 * (3x – 5) ^ 2 + 3(x + 1) * (x ^ 2 – x + 1) = (x + 3) ^ 3 + 2x * (x ^ 2 – 25) + 72 d) (x – 4) ^ 3 – 12 * (x + 2) ^ 2 + 20x * (x – 4) = – 9 – (x ^ 2 + 3x + 9)(3 – x) .
8.41. Wykonaj działania i przeprowadź redukcję wyrazów podobnych: (x + 1) ^ 3 – (2x – 3) ^ 2 – (x + 3) ^ 2 + 2(x – 2) * (x + 2); (2x – 5) ^ 2 * (x – 1) – (3x + 1) ^ 2 * (x + 1) – (x – 1)(x ^ 2 + x + 1); (2x – 1) ^ 3 – (x + 1) ^ 3 + (x + 2) ^ 3 – (x + 2)(x ^ 2 – 2x + 4); (2x – 3y) ^ 2 – (3x – y)(3x + y) + (x – 2y) ^ 2 – (8x – 7y)(- 2y) d) ( (x ^ 2 – 1) ^ 3 – (x – 1)(x ^ 2 + 1) * (x + 1) + 4x ^ 2 * (x ^ 2 + 1); (3x – 1) ^ 3 – 3(x + 1) * (x ^ 2 – x + 1) + 2 * (x – 2) ^ 3 b e) ( f) (
8.40. Doprowadź dane wyrażenie do najprostszej postaci. a) (x – 1) ^ 3 + (2 – x) ^ 3 c) (x + 1)(x ^ 2 – x + 1) + (1 – x) ^ 3 e) (x + 4) ^ 3 – (4 – x)(x ^ 2 + 4x + 16) b) (2 + x) ^ 3 + 2 * (x – 1) ^ 3 d) 3(x – 2) * (x ^ 2 + 2x + 4) – (x + 3) ^ 3 f) (root(3, 5) + x) ^ 3 – (root(3, 5) – x) ^ 3 – 6 * root(3, 25) * x
8.39. Oblicz: a) (2 – root(3, 5))(4 + 2 * root(3, 5) + root(3, 25)) c) (root(3, 3) + root(3, 2))(root(3, 9) – root(3, 6) + root(3, 4)) b) ( (3 + x)(9 – 3x + x ^ 2) d) (2 – y)(4 + 2y + y ^ 2) f) (sqrt(2) – z)(z ^ 2 + 2 + sqrt(2) * z) b) (1 – 2 * root(3, 2) + 4 * root(3, 4))(1 + 2 * root(3, 2)) d) (4 * root(3, 4) + 2 * root(3, 18) + root(3, 81))(root(3, 9) – 2 * root(3, 2))
8.38. Zapisz za pomocą sumy algebraicznej wyrażenie: a) ( (x + a)(x ^ 2 – ax + a ^ 2) c) (y + 4)(16 – 4y + y ^ 2) e) (25 + 5x + x ^ 2)(x – 5)
8.37. Oblicz sześcian danej liczby. a) 1 – sqrt(3) e) 2 + root(3, 2) b) sqrt(6) + 2 f) – root(3, 3) – root(3, 9) c) (1 + 3x) ^ 3 B) (2x – 3) ^ 3 c) d) h) (root(3, 3) + 1) ^ 3; (1 – root(3, 2)) ^ 3 d) 4sqrt(2) + sqrt(6) h) root(3, 5) + 2 * root(3, 25); 3sqrt(2) – 1; 2 * root(3, 2) – root(3, 4)
8.36. Zapisz za pomocą sumy algebraicznej wyrażenie: a) ( (y + z) ^ 3 e) (5 – b) ^ 3 b) (2 + a) ^ 3 f) ( (x – 4) ^ 3
8.35. Wyznacz współczynniki bic tak, aby lomianem zerowym, jeśli: a) W(x) = – 3x + 5; W(x) = 2x – 3 b) wielomian w(x) * F * (x) – H(x) byt wie F(x)=x^ 2 +bx+c,; H(x) = – 3x ^ 3 – x ^ 2 – 2x + 20; F(x) = x ^ 2 + bx + c; H(x) = 2x ^ 3 + 7x ^ 2 – 13x – 3 Wzory skróconego mnożenia stopnia 3. Wzór na a ^ n – b ^ n
8.34. Wyznacz współczynniki a i a) W(x)=x^ 2 +3x+2, , b) W(x) = 2x ^ 2 – x + 5 , H(x) = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x – 7 . b tak, aby W(x) * F(x) = H(x) jeśli: F(x) = ax + b , H(x) = 2x ^ 3 + 3x ^ 2 – 5x – 6; F(x)=ax+b.; H(x) = – 2x ^ 3 + 7x ^ 2 – 8x + 15 . i P P(x) są równe,
8.33. Wyznacz współczynniki a i b, dla których wielomiany w(x) – F(x) * i * H * (x) * s * q równe, jeśli: a) w(x) = x ^ 3 + a * x ^ 2 + 3x + 1 , F(x)=2x^ 2 +bx-4,; H(x) = x ^ 3 – 7x ^ 2 + 8x + 5; w(x) = 2x ^ 3 + a * x ^ 2 + 5x – 3 , F(x) = x ^ 3 – 5x ^ 2 + bx + 4 b) W
8.32. Sprawdź, czy istnieją liczby a równe, jeśli: P P(x) = 3x ^ 3 + 18x ^ 2 – 5x – 17; p(x) = 5x ^ 3 + 3x ^ 2 – 2x + 8; P(x) = (3x ^ 2 – a ^ 2 * x + 2)(- 2x – 1); P(x) = 4x ^ 3 + (a – 3) * x ^ 2 – 6x – a . i b, dla których wielomiany W(x) * i * p * (x) * s * q a) w(x) = 2x ^ 3 + (3a + 1) * x ^ 2 + (b + 2) * x – 4 b) w(x) = (2ax – b) ^ 3 c) w(x) = 2ax * (2x – b) ^ 2 d) W(x) = (x ^ 2 – ax) ^ 2 – (x ^ 2 + bx) ^ 2 P P(x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2 + 5x – 4; P(x) = 8x ^ 3 – 10x ^ 2 + 6x – 1; P(x) = 16x ^ 3 – 48x ^ 2 + 36x; P(x) = – 2x ^ 3 – 3x ^ 2
8.31. Wyznacz liczbę a, dla której wielomiany W(x) i P(x) są równe, jeśli: a) w(x) = (3x ^ 2 – sigma)(x + 2a) – (2x – 1) b) w(x) = 8 + ax * (ax + 1) – (a ^ 2 + x – 5x ^ 2) * x c) w(x) = – 6x ^ 3 – 5a * x ^ 2 – ax – 2 d) w(x) = (2x ^ 2 – 3)(2x – a ^ 2) – 4
8.30. Sprawdź, czy istnieje liczba a, dla której wielomiany a) w w(x) = (x ^ 2 – ax)(x + 2a) + 8x b) w(x) = 2x ^ 4 – 3(a + 1) * x ^ 3 + 4a c) W w(x) = (x ^ 3 – 2a)(x ^ 3 + 2a) – 6x d) w(x) = (3x – a) ^ 2 * 4 * x; W(x); P(x) = x ^ 3 – 2x ^ 2; P(x) = 2x ^ 4 – 6x ^ 3 + 8; P(x) = x ^ 2 + 3ax – 16; P(x) = 36x ^ 3 + 48x ^ 2 + 16x .
8.29. Sprawdź, czy wielomiany w(x) = (3x – 1)(4 – 2x) * (x + 1) b) w(x) = (3 – 5x) ^ 2 * (x ^ 2 – 1) – 25x ^ 4 cw w(x) = (- 2x + 1) ^ 3; w(x) = 3x ^ 5 – (2x ^ 2 + 1)(x ^ 3 – 1) d) W w(x) i P(x) są równe, jeśli: P(x) = – 6x ^ 3 + 8x ^ 2 + 10x – 4; P(x) = – 30x ^ 3 – 16x ^ 2 + 30x – 9; P(x) = – 8x ^ 3 + 12x ^ 2 – 12x + 1; P(x)=x^ 5 -x^ 3 +2x^ 2 +1.
8.28. Określ stopień wielomianu W(x) oraz podaj wyraz wolny i współczy tego wielomianu przy najwyższej potędze zmiennej x – bez wykonywania dzi w(x)=(4x^ 2 -1)(3x^ 3 +2)(x^ 5 -4 a) w(x) = (- 3x ^ 4 + 1) * (2x ^ 3 – 5) ^ 3 c) w(x) = (3x + 1) ^ 2 * (2x ^ 4 – 5) b) d) W(x) = – 2x ^ 6 * (x ^ 3 + 1) ^ 4 * (2 – 3x) ^ 2
8.27. Wykonaj działania: b) (3x ^ 2 – x + 2) ^ 2 – (3x ^ 2 + x + 2) ^ 2 . d) (2x ^ 2 – 3x) ^ 2 + (x ^ 2 + 4x) ^ 2 a) (x ^ 3 – 2x + 1)(x ^ 2 + 1) + (x ^ 4 + 3x + 2)(x ^ 3 – 2x) b) (2x ^ 4 – 3x + 5)(x ^ 3 + 4x + 1) + (x ^ 3 + 2x)(x ^ 4 – 4x ^ 2) c) (3x ^ 3 – 2x ^ 2 + 5x + 1)(x + 2) + (x ^ 3 + 4x ^ 2 – 1)(x ^ 2 + 5x) d) (x ^ 3 – 2x ^ 2 + 4x + 5)(x ^ 2 – 1) – (x ^ 3 – 4x ^ 2 + 2x – 3)(x ^ 2 + 2x) .
8.26. Wykaż, że ( (a + b + c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ac . Następnie wy konaj działania: a) (x ^ 2 – x + 1) ^ 2 – (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 c) (x ^ 2 + x) ^ 2 + (3x ^ 2 + 1) ^ 2
8.25. Wykonaj działania: a) (3x ^ 2 – 4x)(3x ^ 2 + 4x) c) (3x ^ 7 + 2x) ^ 2 b) P(x) * G(x) d) [P(x)] ^ 2 * W(x) b) (x ^ 12 – 1)(x ^ 3 + x ^ 4) d) ( (x ^ 4 – x ^ 3 – x ^ 2)(x ^ 5 + 1) . b) (5x ^ 3 – 6x) ^ 2 d) (9x ^ 7 – x ^ 3)(9x ^ 7 + x ^ 3) . D
8.24. Wykonaj mnożenie: a) (x ^ 7 – x ^ 6)(x ^ 5 – x ^ 2) c) (x ^ 7 – x ^ 6 – 1)(x ^ 5 + x ^ 3)
8.23. Dane są wielomiany: w(x) = 3x ^ 2 – 2; P(x) = x ^ 3 + 2x – 1oraz; G(x) = 4x ^ 2 – 3x + 1 Wykonaj działania: a) W(x) * P(x) c) [W(x)] ^ 2 * G(x)
8.22. Dane są wielomiany: W(x) = – 3x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x – 1 , G(x) = x ^ 4 – 2x ^ 3 + 4x ^ 2 – 7 Wykonaj działania: a) P(x) + 2G * (x) c) W(x) – [P(x) – G(x)] b) 3P * (x) – 2W * (x); p(x) = 2x ^ 2 + 3x; 3* ora; d) w(x) + G(x) – 3P * (x)
8.21. Dany jest wielomian i uporządkuj go malejąco, jeśli: a) F(x) = 4 * W(x) d) F(x) = (x – 1) * W(x) b) e) W(x) = – 3x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x – 1 Wyznacz wielomian F(x) = – 0, 5 * W(x); F(x) = (x ^ 2 + 3x) * W(x) c) f(x) = x ^ 2 * W(x); F(x) f) f(x) = (2x ^ 2 – 3) * W(x) .
8.20. Wykonaj działania: \rho(x) = 0, 75x ^ 7 + 5/8 * x ^ 6 + 0, 125x ^ 5 + 2 P P(x) = – 4x ^ 3 – 12x ^ 2 + 0, 5x + 0, 4; P(x) = 5x ^ 6 – 2sqrt(2) * x ^ 5 + 4x – 1; P(x) = x ^ 4 – x ^ 3 + sqrt(3) * x ^ 2 – sqrt(2) a) (2x ^ 6 – 3x ^ 4 + 2x) – (x ^ 4 + 8x ^ 2 + 4x – 1) + x ^ 6 + 5x ^ 4 + 6x ^ 2 b) (- 3x ^ 4 + 5x ^ 3 – 6) – (4x ^ 4 + 2x ^ 3 + 4x) – (- 7x ^ 4 + 3x ^ 3 + 8) c) 7x ^ 7 – 6x ^ 5 + 2x – (4x ^ 5 + 3x ^ 2 – 6) – (7x ^ 7 – 10x ^ 5) d) 12x ^ 3 – (x ^ 7 + 4x ^ 3) – (14x ^ 3 – 5x ^ 7) .
8.19. Dane są wielomiany W(x) i P(x) Wyznacz wielomian W(x) – P(x) a) w(x) = 3/4 * x ^ 7 – 3/8 * x ^ 6 + 1/8 * x ^ 5 + 8 b) W(x) = 4x ^ 3 – 12x ^ 2 + 0, 6x + 0, 4 c) W(x) = 3x ^ 6 – sqrt(2) * x ^ 5 + 2sqrt(2) * x ^ 3 + 8x d) w(x) = sqrt(2) * x ^ 4 – 3sqrt(3) * x ^ 3 + 4x ^ 2 + 1
8.18. Dane są wielomiany W(x) i P(x) . Wyznacz wielomian W(x) + P(x) . a) W w(x) = – 4x ^ 7 + 2x ^ 5 – 3x ^ 2 + 6 b) W w(x) = 3x ^ 5 – 8x ^ 4 + 2x ^ 3 – x c) W(x) = 3 – 4x ^ 2 + 8x ^ 3 + x ^ 4 d w(x) = 1/4 * x ^ 6 – 1/2 * x ^ 5 + 6x ^ 3 – 1/8; P(x) = 4x ^ 7 – 3x ^ 5 + 2x ^ 3 + 4x ^ 2 – 8; P(x) = 9x ^ 5 + 9x ^ 4 – 6x ^ 3 + 1; P(x) = – x ^ 4 – 8x ^ 3 + 2x; P(x) = – 0, 25x ^ 6 + 0, 5x ^ 5 – 8x ^ 3 + 0, 125
8.17. Suma wszystkich współczynników wielomianu jest równa -6 oraz w(x) = – 2x ^ 4 + (a – a ^ 2) * x ^ 3 + b – 4; W(0) = 8 . Oblicz a i b. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów
8.17. Suma wszystkich współczynników wielomianu jest równa -6 oraz w(x) = – 2x ^ 4 + (a – a ^ 2) * x ^ 3 + b – 4; W(0) = 8 . Oblicz a i b. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów
8.16. Suma wszystkich współczynników wielomianu w(x) = 5x ^ 3 + (2a ^ 2 – 3) * x ^ 2 + (a + 1) * x + 2 W jest równa 11. Oblicz a.
8.15. Suma wszystkich współczynników wielomianu w(x) = 3x ^ 3 – (2a + b) * x ^ 2 + (a – b) * x + 6 jest równa 8 oraz W(- 2) = – 82 . Obliczb. podanych obok wielomianu
8.14. Wyznacz współczynnik a wielomianu W(sqrt(2) – 1) = W(1 – sqrt(2)) . w(x) = x ^ 4 + ax – 4 , wiedz
8.13. Jeden ze współczynników wielomianu W(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + cx jest wyz ny przez warunek W(1) + W(- 1) = 8 . Podaj wartość tego współczynnika.
8.12. Wyznacz współczynniki aib wielomianu W(x) = 2x ^ 4 + a * x ^ 3 + x + b wiedząc, że W W(1) = – 5 oraz W(- 1) = – 1 .
8.11. Wyznacz współczynniki ai b wielomianu W(x) = – 5x ^ 3 + ax + b wiedząc, że W(- 1) = 2 oraz W(2) = – 31 .
8.10. Wyznacz współczynnik a wielomianu W(x) = – x ^ 4 – 2x ^ 3 + ax + 3, je * xi * l * i; W(- 2) = – 1 .
8.9. Wyznacz sumę wszystkich współczynników a) W(x) = 8x ^ 7 – 2x ^ 5 + 4x ^ 3 – 10 c) W(x) = (3x ^ 10 – 2x ^ 11) ^ 50 wielomianu W(x) , jeśli: b) w(x) = – 12x ^ 5 + 6x ^ 3 + 4x + 1 d) W(x) = (- 4x ^ 7 + 2x ^ 3) ^ 5 .
8.8. Podaj przykład wielomianu W(x) zmiennej rzeczywistej x: a) stopnia piątego, który ma tylko trzy wyrazy różne od przyjmuje wartość 6, zera oraz dla x = – x = – 1 b) stopnia czwartego, który dla x = – sqrt(2) przyjmuje wartość 0.
8.7. Dany jest wielomian W(x). Oblicz jego wartość dla liczb. a) W(x) = – x ^ 3 + 4x ^ 2 – 7 b) W W(x) = x ^ 3 – x ^ 2 + 1 ; – 3, – 1, 4, 5; sqrt(2) + 1 , sqrt(3) – sqrt(2)
8.6. Podaj przykład wielomianu jednej zmiennej rzeczywistej x: a) stopnia siódmego, który różne od zera, jest uporządkowany rosnąco i ma tylko trzy wyrazy b) stopnia dziewiątego, który jest uporządkowany malejąco i ma tylko pięć wyra zów różnych od zera.
8.5. Uporządkuj dany wielomian malejąco. Następnie podaj stopień tego wielo mianu oraz wypisz jego współczynniki. a) F(x) = 4x – 3 + 5x ^ 2 – 5x ^ 4 – 8x c) H(x) = 2 – 3x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 4 b) G(x) = 9x ^ 2 + 8 – 7x – 9x ^ 2 + 7x d) w(x) = – 4x + 6 + 2x – 8x ^ 3 + 4x ^ 5
8.4. Uporządkuj dany wielomian rosnąco. Następnie nu oraz wypisz jego współczynniki. a) F(x) = 2 – 4x ^ 2 + 8x ^ 4 + 3x ^ 2 + 8 c) H(x) = x ^ 5 – 2x ^ 3 + 4 + 3x ^ 5 + 1 podaj stopień tego wielomia b) G(x) = x – 3x ^ 3 + 5x + 3x ^ 3 + 2x ^ 2 d) W(x) = 3x – 9x ^ 4 + x ^ 2 – 3x + 9x ^ 4
8.3. Dany jest jednomian stopnia n, n in N . Oblicz n, jeśli: a) G(x) = 0, 5x ^ n oraz G(4) = 32 b) G(x) = 1/3 * x ^ n * o * r * a * z * G * (3) = 243 c) G(x)= sqrt 5 x^ prime prime oraz G(sqrt(5)) = 125 d) \sigma(x) = sqrt(2) * x ^ n oraz G(2sqrt(2)) = 32 .
8.2. Dany jest jednomian F(x) . Określ jego stopień. a) F(x) = – 5 * (x ^ 2) ^ 4 c) F(x) = 8 * (x ^ 5 * x ^ 3) ^ 6 się wielomiany. Wskaż je. c) 3/(x – 1) f) 2|x| + 3 i) (2x ^ 2 + 8)/4 b) F(x) = 0, 2 * (x ^ 3) ^ 5 * x ^ 2 d) F(x) = – 0, 3 * (x ^ 2) ^ 5 * (x ^ 4 * x ^ 7)
8.1. Wśród poniższych wyrażeń algebraicznych znajdują a) 3x ^ 7 – 2x ^ 5 + 4 d) sqrt(x) + 8; sqrt(2) b) – 12x ^ 8 e) 5- 5 – pi; 3x ^ 2 – 2x + 1 h)
7.126. Punkt D należy do podstawy AB trój kąta równoramiennego ABC. Półprosta CD dzieli kąt przy wierzchołku C na na rysunku obok. Wykaż, że kąty a i B, jak |AD| |DB| = sin alpha sin beta . Test sprawdzający do rozdziału 7.
7.125. W trójkącie dwa boki mają długość a i b, a kąt zawarty między nimi jest równy a. Niech x oznacza długość odcinka dwusiecznej tego kąta, zawartego w tym trójkącie. Wykaż, że: a) jeśli alpha = 120 degrees , to x = (ab)/(a + b) b) jeśli , to alpha = 90 degrees; x = (ab * sqrt(2))/(a + b)
7.124. W kowa CD tego trójkąta jest prostopadła do boku BC, to: |CD| = a/2 b) |AC| = a * sqrt(2) D
7.123. Boki trójkąta mają długość a, b, c. Wysokości opuszczone na te boki są oc = (ab)/(a + b) odpowiednio równe h o , h b , h c . Wykaż, że jeśli h a +h b =h c . to trójkącie ABC dane są: |
7.122. Punkt M należy do podstawy AB trójkąta równoramiennego ABC, M ne A i M ne B . Wykaż, że suma odległości punktu M od ramion trójkąta jest sokości trójkąta, poprowadzonej z punktu A. równa wy D
7.121. W trójkąt prostokątny, którego przyprostokąt ne mają długość a i b, gdzie a > b , wpisano prostokąt, jak na rysunku obok. Stosunek boków prostokąta jest równy 1/2 . Wykaż, że długość krótszego boku prosto ab 2a+b lub ab a+2b . W którym przypad kata jest równa ku pole prostokąta jest większe? D
7.120. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej BC. Z punktu M leżącego na boku BC poprowadzono odcinki MD oraz MS prostopadłe odpowiednio do przyprostokątnych AC oraz AB. Wykaż, że |MD| |AB| + |MS| |AC| =1. D
7, 119 . W kąt o mierze 60 degrees wpisano dwa 7 wnętrznie do siebie. Wyznacz pole większego koła, jeśli pole mniejszego jest ro koła styczne do ramion kąta i styc ,c D
7.118. Podstawa trójkąta równobocznego jest średnicą koła o promieniu r. Oblicz stosunek pola części koła leżącej na zewnątrz trójkąta do pola części koła leżącej wewnątrz tego trójkąta.
7.117. Odległość środków dwóch kół o jednakowych promieniach r wynosi r Oblicz pole części wspólnej tych kół.
7.116. W kole z jednego punktu okręgu poprowadzono dwie cięciwy; każda ma długość 6 cm. Wiedząc, że utworzyły one kąt 60 degrees , oblicz pole części koła za wartej między tymi cięciwami.
7.115. W wycinek koła o promieniu 6 cm wpisano okrąg o promieniu 2 cm (zobacz rysunek obok). Ob licz pole wycinka koła.
7.114. Wycinek koła jest wyznaczony przez kąt środkowy, zaznaczony na rysunku poniżej. W wycinek wpisano koto o polu P. Oblicz pole wycinka, jeśli: a) P=4 pi cm^ 2 b) P=9 pi cm^ 2
7.113. Kąt wpisany w koło ma miarę 45 degrees i jest oparty Oblicz pole wycinka koła, wyznaczonego przez ten sam tuk. na łuku długości 3 cm.
7.112. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Oblicz stosunek pola koła wpisanego w ten trójkąt do pola koła opisanego na tym trójkącie.
7.111. Stosunek pola trójkąta do pola koła ny 6: . Wiedząc, że średnica tego koła ma długość 6 cm, oblicz obwód trójkąta.
7.110. Dane jest koło o środku w punkcie O i promieniu r. Oblicz pole odcinka tego koła (zaznaczonego na rysunku obok), wyznaczonego przez łuk długości L, jeśli: a) r = 2 , L L = pi c) r r = 6 , L = 5pi b) r = 3 , L = 2pi wpisanego w ten trójkąt jest rów.
7.110. Dane jest koło o środku w punkcie O i promieniu r. Oblicz pole odcinka tego koła (zaznaczonego na rysunku obok), wyznaczonego przez łuk długości L, jeśli: a) r = 2 , L L = pi c) r r = 6 , L = 5pi b) r = 3 , L = 2pi
7.109. b) r = 12 cm , alpha = 150 degrees c) r = 5 cm , alpha = 54 degrees Pole wycinka koła jest równe P, a łuk tego wycinka ma długość L. Oblicz promień koła, jeśli: a) P=10 pi cm^ 2 , L=2,5 pi cm b) P = 30 cm ^ 2 , L = 12 cm , L=14 pi cm . c) P=210 pi cm^ 2
7.108. Promień koła jest równy r. Kąt wycinka tego koła ma miarę a. Oblicz pole wycinka, jeśli: a) r = 9 cm , alpha = 20 degrees
7.107. Każde z czterech mniejszych kół ma pro mień 1. Większe koło ma promień 2. Wykaż, że pole figury zielonej jest równe szarej. polu figury
7.106. Srednicę AB koła podzielono na cztery równe odcinki. Oblicz, jaką część tego koła stanowi figura zaznaczona kolorem a) okręgi wyznaczające te figure sa styczne wewnętrznie, a ich średni ce są zawarte w średnicy AB pola zielonym, jeśli: b) łuk wewnątrz koła jest sumą dwóch półokręgów (patrz rysunek poniżej).
7.105. W kole poprowadzono cięciwy AB i CD, któ re przecięły się w punkcie o 210~cm^{2} większe od pola trójkąta EDB. Wiedząc, że |AE|=40~cm,|ED|=16 cm oraz |BE|=10~cm oblicz:
7.104. Cięciwy AB i CD koła przecinają się w punkcie E. Wiedząc, że |\angle BED|=30^{\circ} |AE|=6~cm|ED|=3 cm oraz |EB|=2~cm , oblicz pole trójkąta AEC.
7.103. W trójkącie ostrokątnym równoramiennym ABC, |AC|=|BC| , poprowadzo no wysokości CD i BE. Pole trójkąta ABE jest o 44% większe od pola trójkąta ADC. Wiedząc, że obwód trójkąta ABC jest równy 80 cm, oblicz pole trójkąta ABC.
7.102. W trójkącie prostokątnym ABC stosunek przyprostokątnych jest równy |AC|:|AB|=5:12 Punkt D należy do przeciwprostokątnej BC oraz |CD Punkt E należy do przyprostokątnej AB i ta AEDC do pola trójkąta EBD. D|:|DB|=5:8 EDCB. Oblicz stosunek pola czworoką
7.101. W trójkącie prostokątnym ABC stosunek przyprostokątnych jest równy |AB|:|AC|=4:3 . Punkt D dzieli przyprostokątną AB na odcinki takie, że |DB|=3|AD| Punkt E należy do przeciwprostokątnej BC i odcinek DE jest prostopadły do bo ku BC. Oblicz, jakim procentem pola trójkąta ABC jest pole trójkąta DBE.
7.100. W trójkącie prostokątnym ABC, |
7.99. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne AC i AB mają odpo AB obrano punkt D tak, wiednio długość 8 cm i 12 cm. Na | cup ADC|=| triangleleft ACB| przyprostokątnej . Oblicz pole trójkąta ADC. M IN
7.98. W trójkąt równoramienny ABC o bokach długości 13 cm, 13 cm, 10 cm wpisano koło. Styczna do koła, równoległa do podstawy, odcina od trójkąta ABC trójkąt DEC. Oblicz pole trójkąta DEC.
7.97. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 40 cm. W trójkąt wpisano koło, które jest styczne do ramion trójkąta w punktach D|E . Wiedząc, że |DE| = 8 cm, oblicz: a) pole trójkąta DEC b) pole czworokąta ABED.
7.96. W trójkącie ABC na rysunku obok punkt E należy do boku AC oraz EC |AE| = 1/3 jest ; natomiast punkt F Proste pro stopadłe do podstawy AB i przecho dzące odpowiednio przez punkty EiF odcięły dwa trójkąty, których pola są odpowiednio równe 9 i 2. Oblicz pole trójkąta ABC. środkiem odcinka BC.
7.95. Odcinki KL i MN są równoległe do podstawy AB trójkąta ABC. Sto sunek pól figur KLC, MNLK i ABNM w podanej kolejności wynosi 1/8 : 7. Oblicz |KL| / |MN| / |AB|
7.94. Stosunek pól dwóch trójkątów podobnych dząc, że podstawa A 1 B 1 kąta ABC, oblicz A 1 B 1 C 1 i ABC wynosi 4/9 , trójkąta A 1 B 1 C 1 jest o 7 cm krótsza od podstawy AB troj |A 1 B 1 |i|AB| Wie
7.93. W trójkącie ostrokątnym poprowadzono dwie proste równoległe do podsta wy, które podzieliły wysokość trójkąta opuszczoną na równej długości. Oblicz stosunek pól powstałych w w tę podstawę na trzy odcink yniku tego podziału figu
7.92. Podstawa AB trójkąta ABC ma długość 24 cm. Na boku AC zaznaczono punkty A 1 ,A 2 , a na boku BC punkty B 1 ,B 2 w taki sposób, że A 1 B 1 ||AB i A 2 B 2 ||A . Wiedząc, że |A 1 B 1 |=8 cm , |A 2 B 2 |=20cm a) trójkątów A 1 B 1 C,A 2 B 2 C i ABC , oblicz stosunek pól: b) wielokątów A 1 B 1 C,A 2 B 2 B 1 A,i ABB 2 A 2
7.91. Odcinek A 1 B 1 jest równoległy do odcinka AB. Na podstawie danych na ry sunku oblicz stosunek pola trójkąta A 1 B 1 C do pola trójkąta ABC. a) b) beta n 2,5 B 1; B 1 c) 2a 8 1 30 d) A 1 B 1 C; A 1; 8 1 B в
7.90. Trójkąt ABC ma obwód równy 33 cm, a jego pole wynosi 18 cm ^ 2 . Oblicz ob wód trójkąta A 1 B 1 C 1 jest równe 2 cm ^ 2 . , podobnego do trójkąta ABC wiedząc, że pole trójkąta A 1 B 1 C
7.89. Trójkąt ABC ma obwód równy 30 cm, a pole 24 . Obwód trójkąta 24 cm ^ 2 podobnego do trójkąta ABC wynosi 15 cm. Oblicz pole trójkąta A 1 B 1 C 1 .
7.88. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 8 cm i 6 cm. Przez wierzchołek kąta prostego poprowadzono prostą, na dwa trójkąty o równych obwodach. Oblicz: która podzieliła ten trójkąt a) pola powstałych trójkątów, b) stosunek promieni okręgów wpisanych w te trójkąty. Pola trójkątów podobnych
7.87. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 8 cm. W trójkąt ten wpisano okrąg. Punkty D i E są punktami styczności wiednio z ramionami AC i BC tego trójkąta, przy czym |DC| + |CE| = |DA| + |AB| + |BE| . Oblicz: a) pole trójkąta ABC, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. okręgu, odpo a jego pole jest rów pole jest
7.86. Boki trójkąta mają długość 25 cm, 39 cm, 56 cm. Oblicz: a) wysokości tego trójkąta, b) sinus najmniejszego kąta, c) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
7.85. Boki trójkąta mają długość 21 cm, 17 cm, 10 cm. Oblicz: a) pole trójkąta, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, c) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
7.84. 30 degrees , oblicz pole tego trójkąta.
7.83. Promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym jest równy 10. Wiedząc, że kąt między ramionami jest równy 150°, oblicz pole tego trójkąta. Promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym jest równy 5 sqrt 3 . Wiedząc, że kąty przy podstawie są równe
7.82. Dwa boki trójkąta ostrokątnego mają długość 8 ne Oblicz: 6sqrt(3); 8i3, a) miarę kąta między tymi bokami, b) długość trzeciego boku, c) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, d) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
7.81. Dwa boki trójkąta ostrokątnego mają długość 17 cm i 25 cm, a jego równe 210 cm ^ 2 . Oblicz: sinus kąta między ramionami trójkąta, b) długość trzeciego boku, a c) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
7.80. Dwa boki trójkąta mają długość 42 cm i 20 cm, na tym trójkącie jest równy 21 1/4 . Wiedząc, że pole trójkąta jest równe a promień okręgu opisanego wyznacz: a) długość trzeciego boku, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. 336 cm ^ 2
7.79. W trójkącie dwa boki mają długość 15 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 12,5 cm. Wiedząc, że pole trójkąta jest równe wyznacz: 108 cm ^ 2 a) długość podstawy tego trójkąta, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
7.78. W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 32 cm, a cosinus kąta przy podstawie jest równy 0,8. Oblicz: a) pole tego trójkąta, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
7.77. Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 16 cm, Wiedząc, że pole tego trójkąta jest równe 120 cm ^ 2 , oblicz: a) długość ramienia, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
7.76. Pole trójkąta wynosi 84 cm ^ 2 , a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 4 cm. Wiedząc, że długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi, wyznacz najkrótszą wysokość tego trójkąta.
7.75. Pole trójkąta równoramiennego wynosi 168 go w ten trójkąt jest równy 5 1 4 cm . Wiadomo, że ramię jest dłuższe od podstawy 168 cm ^ 2 o 11 cm. a) Oblicz długości boków tego trójkąta. . Promień okręgu wpisane D b) Wykaż, że kąt a między ramionami tego trójkąta jest większy od nie mniejszy od 45 degrees . 30 degrees i jednoczes
7.74. Pole trójkąta równoramiennego wynosi 48 cm ^ 2 , a sinus kąta przy podstawie jest równy 0,8. Oblicz: a) obwód trójkąta, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. 7.75.
7.73. W trójkącie ABC dane są kąty: | triangleleft A|=30^ , |
7.72. Pole okręgu wpisanego w trójkąta jest równe 63 cm ^ 2 . Oblicz jego obwód wiedząc, że promień t en trójkąt jest równy 3 cm.
7.71. Z kawałka trójkątnego materiału o obwodzie 1,12 m i polu 504 cm ^ 2 wycięto koło styczne do boków tego trójkąta. Oblicz długość promienia wyciętego koła.
7.70. Dwa boki trójkąta ABC mają długość: |AC| = 6, |BC| = 12 a kąt ACB rę 120 degrees . Przez punkt C poprowadzono prostą prostopadłą do boku AC, która prze cięła bok AB w punkcie D. ma mia a) Oblicz długość odcinka CD. Db) Wykaż, że punkt D jest środkiem boku AB. Pole trójkąta, cz. 2
7.69. Dwa boki trójkąta ABC mają długość: |AC| = 4, |BC| = 6 , a kąt ACB ma mia rę 150°. Przez wierzchołek C poprowadzono prostą prostopadłą do boku BC, która przecięła bok AB w punkcie D. Oblicz: a) długość odcinka CD b) pola trójkątów ADC i CDB.
7.68. Dwa boki trójkąta mają długość równy y. Oblicz długość odcinka dwusiecznej kąta y, zawartego w tym trójkącie, jeśli: a|b . Kąt zawarty między tymi bokami jest overline v i b) a = 4 , b = 5, gamma = 60 degrees a) sigma = 8 , b=6.; gamma = 90 degrees
7.67. Środkowe CD i BE trójkąta ABC przecinają się pod kątem 45 degrees; |BE| = 12 cm kąta ABC. , jak na rysunku obok. Wiedząc, oraz |CD| = 21 cm , oblicz pole trój
7.65. Pole trójkąta ABC jest równe 24 cm ^ 2 . Środkowa CD ma długość 9 cm, a sinus kq- ta BDC jest równy 2/3 Oblicz długość boku AB.
7.64. W trapezie ABCD, AB||DC , poprowadzono przekątne, które przecięły się w p unkcie E. Pola trójkątów ABE i BCE są odpowiednio równe 78 i 52. Oblicz pole trójkąta CDE.
7.63. W trapezie ABCD, AB||DC , poprowadzono przekątne, które przecięły się w punkcie P. Wykaż, że pola trójkątów BCP i APD są równe.
7.62. Przekątne czworokąta dzielą ten czworokąt na cztery trójkąty. Dane są pola trzech trójkątów (zo bacz rysunek obok). Oblicz: a) stosunek długości odcinków, na jakie punkt przecię cia przekątnych dzieli te przekątne, b) pole czwartego trójkąta. 30 75 45 D
7.61. W trójkącie ABC wysokość poprowadzona na podstawę dzieli tę podstawę w stosunku 3/5 . Wiedząc, że pola powstałych trójkątów różnią się o 4 cm ^ 2 , oblicz pole trójkąta ABC.
7.60. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość a wysokość CD jest równa 12 cm. Oblicz pole trójkąta ABE, jeśli punkt E należy do boku AC oraz: a) |AE| = |EC| b) |AE|:|EC|=2:1.
7.59. Każdy bok czworokąta jest podzielony dwoma punktami na trzy równe odcinki. Punkt P jest dowol nym punktem leżącym we wnętrzu czworokąta, (zo bacz rysunek obok). Wykaż, że suma pól białych czwo rokątów jest dwa razy większa od sumy pól zielonych trójkątów. 10 cm,
7.58. Punkt P leży dowolnie wewnątrz trojkąta, jak na rysunku obok. Każdy bok tego trójkąta jest podzielo ny jednym bokiem odpowiedniego zielonego trójkąta na dwa równe odcinki. Wykaż, że suma pól białych trój kątów jest równa sumie pól zielonych trójkątów. D
7.56. Wierzchołki trójkątów na rysunku obok należą do dwóch przeciwległych boków równole głoboku. Wykaż, że suma pól trójkątów białych jest równa sumie pól trójkątów zielonych. .57. Wykaż, że w równoległoboku na rysunku obok suma pól wielokątów zielonych jest równa sumie pol wielokątów szarych. długość 18 cm 7
7.55. Pole trójkąta jest równe 20 cm ^ 2 a jeden z jego kątów ma miarę 150°. Wie dząc, że wysokości poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych pozostają w sto sunku 5:4, oblicz długości boków trójkąta przy kącie rozwartym. D
7.54. W Wiedząc, że pole trójkąta jest równe 7, 5 cm ^ 2 oblicz: trójkącie równoramiennym cosinus jednego z kątów jest równy – 0, 8 . a) długości boków trójkąta b) sinus kąta przy podstawie.
7.53. W trójkącie ostrokątnym dwa boki mają długość 5 cm i 8 cm. Pole tego trójkąta jest równe 10 sqrt 3 cm^ 2 . Oblicz: a) długość trzeciego boku, b) wysokość poprowadzoną na trzeci bok tego trójkąta.
7.52. W trojkącie, którego pole jest równe 27 cm ^ 2 , dwa boki mają i 6 cm. Wiedząc, że kąt między danymi bokami jest rozwarty, oblicz: a) miarę tego kąta b) długość trzeciego boku.
7.51. Dwa boki trójkąta mają długość 10 cm i 12 cm, a jego pole jest równe 30 cm ^ 2 . Jaką miarę może mieć kąt tego trójkąta między danymi bokami?
7.50. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki mają długość 10 cm i 14 cm, a kąt między nimi jest równy: a) 30 degrees b) 120° d) 1350.
7.49. W trójkącie ABC dane są: | |BC|=15 cm,sin| cup BAC|= 12 13 Oblicz pole trójkąta ABC. oraz sin|
7.48. W trójkącie ABC dane są: Oblicz pole trójkąta ABC. |AC| = 4 cm, |BC| = sqrt(37) * c * r oraz |
7.47. Wysokości trójkąta pozostają w stosunku 20/15 / 12 . a) Wykaż, że ten trójkąt jest prostokątny. b) Oblicz sumę sinusów wszystkich kątów tego trójkąta. dłuższy
7.46. W trójkącie równoramiennym ABC stosunek długości podstawy AB do ra Wiedząc, że pole trójkąta jest równe 50, oblicz: mienia BC jest równy 4 / (sqrt(5)) a) długości boków trójkąta, b) wysokość poprowadzoną z wierzchołka A.
7.45. W trójkącie równoramiennym długość podstawy wynosi 16 cm, a wysokość poprowadzona na tę podstawę jest równa 15 cm. Oblicz wysokość poprowadzoną na ramię trójkąta.
7.44. W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów jest równy 3 5 * Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 7 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
7.43. W trójkącie prostokątnym cosinus jednego z kątów jest równy 12/13 a pro mień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 13 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
7.42. Pole trójkąta prostokątnego jest równe 136, 5 cm ^ 2 wynosi 84/85 Oblicz długości boków tego trójkąta. , a cosinus jednego z kątów
7.41. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta pro stego jest równa 12 cm i dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki, których długości pozostają w stosunku 4: 9. Oblicz pole tego trójkąta.
7.40. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 20 cm i 21 cm. Oblicz odległość wierzchołka kąta prostego od przeciwprostokątnej.
7.39. Promień okręgu opisanego na trojkącie równobocznym jest o 4 cm od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz: a) wysokość trójkąta b) pole tego trójkąta.
7.38. Wyznacz wysokość trójkąta ne 3 sqrt 3 cm^ 2 równobocznego, którego pole jest rów
7.38. Wyznacz wysokość trójkąta ne 3 sqrt 3 cm^ 2 równobocznego, którego pole jest rów
7.37. Na rysunku obok dane są trzy figury: kwadrat, trójkąt równoboczny i koło, których pola są odpowiednio równe: s, t, w. Wyraź pola figur umiesz czonych poniżej za pomocą pól s, t, w. a A b)
7.36. a) Pole jednej kratki jest równe 1. Oblicz pola poniższych figur. b) + 0 D
7.35. W trójkącie ABC poprowadzono środkową CD. Wykaż, że jeśli | angle BDC|=60^ to |AC| ^ 2 – |BC| ^ 2 = |AB||CD| . Pole figury płaskiej
7.34. Boki trójkąta mają długość a, b, c, a kąty są odpowiednio równe a, B, . Wykaż, że jeśli a / b / c = 4/5 / 6 , to cos beta = cos^2 alpha . D
7.33. Wykaż, że jeśli a, B są miarami mieniem alpha okręgu opisanego na tym trójkącie, to obwód trójkąta jest równy 2R * [sin alpha + sin beta + sin(alpha + beta)] dwóch kątów trójkąta, a R – prc D
7.32. W trójkącie prostokątnym równo ramiennym ABC przyprostokątne mają długość: |AC| = |BC| = sqrt(2) Punkty D, E na leżą do przeciwprostokątnej AB oraz | langle ACD|=|
7.31. Na rysunku obok punkty A, B, C, D należą do okręgu o środku O oraz |AD| = |DC| . Wiedząc, że [BC]=8,|AC]=[AB]+6 i|
7.30. Boki trójkąta mają długość a, b, c, kąty są odpowiednio równe a, b, y, a R na tym trójkącie. Rozwiąż ten trójkąt, jeśli: jest promieniem okręgu opisanego a) a = sqrt(6); b = 2 , , R R = c = 5; beta = 45 degrees; alpha = 60 degrees b) a=2,b= sqrt 2 . d) R = 3 , alpha = 45 degrees; a= sqrt 27, beta=45^ , c < b . | |AC| = 10 cm, |BC| = 6 cm
7.29. Wykaż, że nie istnieje trójkąt ABC, w którym |BC|=179,|AC|=89,| triangleleft B|=30^
7.28. Rozwiąż trójkąt ABC, w którym: a) |BC| = 178, |AC| = 89; | angle B|=30^ b) |BC|=160,|AC|=89,|
7.27. Rozwiąż trójkąt ABC, w którym: a) |AC| = 72 , |BC|=73,| triangleleft A|=49^ b) |AC|=72,|BC|=70,|
7.26. Rozwiąż trójkąt ABC, w którym |AC| = |BC|, |AB| = 10 a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 8, 5 .
7.25. Dwa boki trójkąta ABC mają długość: ze |
7.24. Boki trójkąta ABC mają długość: |AB| = 18 cm, |BC| = 15 cm; |AC| = 12 cm . Oblicz: |BC|=2 sqrt 21 cm oraz . Wiedząc, |AC| = 8 cm a) długość środkowej CD, b) promień okręgu opisanego na trójkącie ADC.
7.23. W trójkącie ABC boki mają długość: |AB| = 10 cm , . Oblicz długości środkowych CD i BE.
7.22. W trójkącie ABC bok AC jest o Wiedząc, że | angle ABC|=135^ , oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABC. BC|=5 sqrt 2 cm 6 cm dłuższy od boku AB oraz |
7.21. W trójkącie ABC mamy dane: |AC|=4,[BC]=|AB|-2 oraz|<= ACB|=50^ Oblicz obwód trójkąta ABC.
7.20. W trójkącie ABC mamy dane: |AC| = 6 cm, |BC| = 4 cm * c Oblicz obwód trójkąta ABC. 1oraz sin| triangleleft ACB|= 2 sqrt 2 2
7.19. W trójkącie ABC dwa boki mają długość: |AB| = 2 cm * i|Ac| = 4 cm a sinus kąta BAC jest równy sqrt 15 4 . BAC jest ostry, to trójkąt ABC jest ró wnoramienny. b) Oblicz długość boku BC w przypadku, gdy | angle BAC| in(90^ ,180^ ) D a) Wykaż, że jeśli kąt
7.18. Dwa boki trójkąta ABC mają długość: |AB| = 7 cm, |BC| = 8 cm . Wiedząc, że |
7.17. Boki równoległoboku mają długość a i b, a kąt ostry jest równy y. Oblicz długość przekątnych tego równoległoboku, jeśli: a) a=4 cm,b=3 sqrt 2 cm , gamma = 45 degrees b) a = 3 cm, a = 3 cm; b = 5 cm, gamma = 30 degrees .
7.16. Boki trójkąta ABC mają długość: |BC| = 5, |AB| = 2sqrt(2) – 1 oraz |AC| = 2sqrt(2) + 1 Oblicz miarę kąta przy wierzchołku A.
7.15. Długości boków trójkąta |BC|= sqrt 2 cm ABC są równe: |AB|= sqrt 14 cm,|AC|=3 sqrt 2 cm . Wyznacz miarę kąta przy wierzchołku C. oraz
7.14. Dane są długości boków trójkąta. Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, pro największego kąta tego trójkąta. czy a) a = 10 cm stokątny rozwartokątny. Podaj miarę , b = 9 cm , c = 5 cm b) sigma=4 cm.; b = 10 cm , c = 12 cm c) a=2 sqrt 2 cm,b= sqrt 26 cm,c=3 sqrt 2 cm
7.13. Boki trójkąta ABC mają długość: [AB]=8 cm,|BC]=6 cm Oblicz cosinusy kątów tego trójkąta. Czy trójkąt rozwartokątny? |AC|=5 cm.; cx 1 jest ostrokątny, prostokątny,
7.12. Dane długość a = 3 a) są długości boków a i b trzeciego boku, jeśli: , , b = 9; Y = 120 degrees oraz kąt miedzy tymi bokami równy y. Oblicz b = 6; a = 2sqrt(2) b) b gamma = 45 degrees , .
7.12. Dane długość a = 3 a) są długości boków a i b trzeciego boku, jeśli: , , b = 9; Y = 120 degrees oraz kąt miedzy tymi bokami równy y. Oblicz b = 6; a = 2sqrt(2) b) b gamma = 45 degrees , .
7.11. Wykaż, że jeśli dwa kąty trójkąta mają po 30°, to długość dwóch boków tego trójkąta jest równa promieniowi okręgu opisanego na tym trójkącie. Twierdzenie cosinusów
7.10. W trójkącie rozwartokątnym ABC dane są długości boków: |AB| = 3sqrt(2) , |BC|=3- sqrt 3 ,|AC|=2 sqrt 3 . Wyznacz: a) miarę kąta ACB, b) promień okręgu opisanego na trójkącie ABC. D
7.9. W trójkącie równoramiennym rozwartokątnym najdłuższy Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 2 sqrt 3 , oblicz: bok ma długość 6. a) miary kątów trójkąta b) obwód tego trójkąta.
7.8. W trójkącie ABC mamy dane: |AB| = 12, |BC| = 6sqrt(2) oraz |
7.7. W trójkącie ABC mamy dane: | |AC|=3 sqrt 3 ); |BC| = 3 oraz | |<= A|=30^ ry pozostałych kątów trójkąta. . Oblicz mia
7.6. Boki trójkąta leżące naprzeciw kątów a, B. y mają odpowiednio długość a, b. c. Na trójkącie opisano okrąg o promieniu R. Oblicz: a) R, jeśli tgy = – 3/4, c = 6c; 6 cm, b) a, jeslitg * alpha = 8/15, cos gamma = (2sqrt(2))/3, c =; =17 cm, c) c, jeśli ctga alpha = 1, cos gamma = (sqrt(3))/2 d) b, jeśli tga b = 9, 66 cm, g*alpha = sqrt(3), cos beta = (sqrt(2))/2, c = 19, 32 cm .
7.5. W trójkącie ABC bok AB ma długość c, zaś kąty trójkąta przylegające do ku AB są równe a i B. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie, je sin(alpha + beta) = 3/4; s(alpha + beta) = 8/17 a) c epsilon = 8 cm * i * sin(a + beta) = epsilon/2; =- 5 13 c) c=20 cmn cos( alpha+ beta)=- b) c=13,5 cm i sin d) c=15 cm i cos( alpha na trójkącie ABC, jeśli:
7.4. W trójkącie kąty są odpowiednio równe a, beta, gamma, a boki naprzeciw kątów mają odpowiednio długość a, b, c. Oblicz: a) b,jesli:sin alpha= 1 5 i cos beta= 3 5 oraz a=8 cm , b) c, jeśli: cos alpha = – 0, 174i * cos gamma = 0, 719oraza = 19, 7 cm .
7.3. W trójkącie ABC kąty są odpowiednio równe a, B, y. Oblicz: a) długość boku AC, jeśli alpha = 48 degrees , gamma^ prime =70^ , b) długość boku AB, jeśli alpha = 17 degrees , gamma = 32 degrees; BC|=5 cm, , |AC| = 7, 55 cm .
7.2. W trójkącie ABC kąty są odpowiednio równe a, b, y, a promień okręgu opi sanego na tym trójkącie jest równy R. Oblicz: a) długość boku AB, jeśli a alpha = 28 degrees b) długość boku AC, jeśli alpha = 65 degrees , beta = 32 degrees oraz R = 8 cm , oraz R = 10 cm , gamma = 83 degrees .
7.1. Oblicz promień okręgu opisanego a) | |AC| = 3 oraz | CBA|=60^ b) |Bc| = 4 oraz |
6.74. Punkty A, B, C należą do paraboli p: y = 1/4 * (x – 4) ^ 2 i są wierzchołkami trójkąta |
6.73. Dany jest okrąg 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 – 6y = 0 oraz punkt Da) Wykaż, że punkt A należy do okręgu o. A(0, 6) b) Wyznacz równanie prostej k, nachylonej do osi OX pod kątem 60° i przechodzącej c) Oblicz współrzędne punktu B, będącego drugim punktem przecięcia prostej k z danym okręgiem. d) Wyznacz na okręgu punkt C tak, aby trójkąt ABC był równoboczny.
6.72. Dana jest parabola p / y = x ^ 2 – 3 a) Wyznacz współrzędne punktów A i B, x – y + 3 = 0 będących punktami przecięcia się paraboli b) Wyznacz współrzędne punktów C i D, będących punktami przecięcia się paraboli y + 2x = 0 Dc) Wykaż, że odcinki AB i CD przecinają się w . środku odcinka
6.71. Dany jest okrąg Da) Wykaż, że prosta k: styczności. o / (x ^ 2) + y ^ 2 + 2x – 6y + 1 = 0 jest styczna do okręgu. Oblicz współrzędne punktu y – 6 = 0 b) Wyznacz na stycznej punkty, których odległość od środka okręgu jest równa 5. Oblicz odległość tych punktów od punktu styczności.
6.70. Punkty A(- 4, 3), B(2, 0), c(2, 5) są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz: a) równania prostych, zawierających wysokości poprowadzone z wierzchołków A i C, b) punkt przecięcia się wysokości trójkąta (ortocentrum).
6.69. Punkty A(- 4, 0), B(4, 4), c(- 5, 7) są wierzchołkami trójkąta. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta. Oblicz: a) współrzędne punktu D b) długość wysokości CD.
6.68. Prosta k / x – y + 1 = 0 przecina parabolę p / y = – 0, 5x ^ 2 + 5 w punktach A i B. Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB.
6.67. Prosta k: y = – 3x + 8 przecina okrąg w punktach A i B. Oblicz: a) współrzędne punktów A i B . Oblicz współrzędne o środku w punkcie ( (1, 0) i promieniu 5 b) długość cięciwy AB.
6.66. Dane są punkty A(- 4, – 2) , B(3, – 1) , C(2, 4) , D(- 3, 3) punktu przecięcia się przekątnych tego czworokąta.
6.65. wyznacz Boki trójkąta zawierają się w prostych: k: x-3y+5=0,f;x+2y+5=0 m: 3x + y – 5 = 0 . Da) Wykaż, że trójkąt jest prostokątny. b) Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
6.64. Dane są punkty: A(0, 2) , B(2, 4) a) równania symetralnych odcinków AB i BC, b) współrzędne punktu przecięcia się tych symetralnych, c) odległość punktu przecięcia się tych symetralnych od punktów A, B, C.
6.63. Dane sa punkty A(- 6, 3) oraz B(0, 5); x – 2y + 4 = 0 współrzędne punktu C, który jest równoodległy od punktów A i B. . Na prostej k: , c(6, 2) . Wyznacz:
6.62. Zapisz równania dwóch krzywych znajdujących się na rysunku poniżej. Na stępnie oblicz współrzędne punktów wspólnych tych krzywych, wiedząc, że rysunek przedstawia: k l para
6.61. Wyznacz współrzędne punktów wspólnych (o ile istnieją) prostej boli p. a) k:x+y=0, b) k / y = x + 3 , c) k: x-2y+7=0, P p d) k / 2 * x – y – 11 = 0 p: y = x ^ 2 – 2 p: y = – 2x ^ 2 + 8x – 4; yzy = 1/2 * (x + 1) ^ 2 , p / y = x ^ 2 – 6x + 5
6.60. Wyznacz współrzędne punktów wspólnych (o ile istnieją) prostej k i okręgu o. a) k y= 1 3 x-1, b) k: y = 1 , 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 = 9 o: (x + 5) ^ 2 + y ^ 2 = 1 o: x ^ 2 + y ^ 2 + 6x + 2y = 0 0: x ^ 2 + y ^ 2 + 8x + 4y + 19 = 0; k / x + y = – x – 8 , d) k: x + 2y + 4 = 0 , Czy prosta k jest sieczną okręgu, jest rozłączna z okręgiem, czy jest styczną do tego okręgu?
6.59. Przedstaw interpretację graficzną rzędnych. Następnie rozwiąż ten układ algebraicznie. danego układu równań w układzie współ b) d) x ^ 2 + y ^ 2 – 6x – 4y + epsilon, \qquad x + 3y = 4; y + x ^ 2 + 8x = – 14, \qquad y = 4x + 22 =0 a) c) 3x + y = – 13, \qquad y = x ^ 2 + 6x + 7; x ^ 2 + y ^ 2 – 4x – 2y + 1 = 0, \qquad y = 2x – 5
6.58. Rozwiąż algebraicznie układ równań i przedstaw jego interpretację graficzną. a) [(x-1)^ 2 +(y-3)^ 2 =8 x-2=y (x + 3) ^ 2 + (y – 2) ^ 2 = 17, \qquad 5x + 3y = – 26 b) d) (x – 3) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 1, \qquad x + y = 6; aligned 3)^ 2 +(y+\\ y=-2 aligned; )^ 2 =8; (y + 2) ^ 2 = ((x+3 4x+
6.57. Rozwiąż algebraicznie układ równań i przedstaw jego interpretację graficzną. a) x – y = 1, \qquad y = x ^ 2 – 6x + 9; y = – 0, 5x ^ 2 – 2x + 3, \qquad – 2x + y = 11 b) d) 2x – y = 0, \qquad y = – 2 * (x – 1) ^ 2 + 6; y = 1/4 * x ^ 2 + x, \qquad – 5x + 2y = – 4
6.56. Udowodnij, że jeśli a + b, to równanie a ne b; x^ 2 +y^ 2 -ax+2by-0,75a^ 2 +2a 0 opisuje okrąg. Podaj współrzędne środka S i promień r okręgu.
6.55. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A, B, C, jeśli: a) A(- 1, 0), B(7, 0), c(0, 1); C(9, 1) c) A(1, 5), B(8, – 2) , b) A(1, 3), B(5, 1), C(4, 4) d) A(- 14, – 1), B(3, 16), c(11, 4) D
6.54. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A i B, jeśli jego śro dek należy do prostej k. a) A(5, 10), B(3, 12), k : y = – 2x – 2 c) A(3, 0), B(4, 1), k / y = 2x + 4 b) A(6, 4) , B(- 1, 3); 3),k:y= 1 2 x-1 1 2 d) A(7,4),B(-5,-12),k:; y = x – 5
6.53. W prostokątnym układzie współrzędnych zilustruj zbiory: A=\ (x,y):x in R^ y in R^ x^ 2 +y^ 2 +6x-8y+21=0\; B=\ (x,y):x in R^ y in R^ x^ 2 +y^ 2 +2x+2y-14=0\ , a następnie wyznacz zbiory: A cup B , A-B,B-A,A cap B .
6.52. Punkt A należy do okręgu o środku w punkcie S. Napisz równanie tego okręgu. a) S(0, 0) , A(3, 4) c) S(- 3, 2), A(3, 10) b) S(2, 1) , A(4, 2) d) S(- 2, 1), A(4, 7)
6.51. Dane jest równanie okręgu oraz punkty A, B, C. Sprawdź algebraicznie, które narysuj okrąg w układzie współrzęd tych punktów należą do okręgu. Następnie z nych i zaznacz punkty A ,B,C . A(- 1, 7), B(1, 3), C(- 2, 6) b) x ^ 2 + y ^ 2 + 8x + 2y + 16 = 0; A(- 4, 0), B(- 3, – 2), c(- 5, – 1) a) (x + 4) ^ 2 + (y – 3) ^ 2 = 25 ,
6.50. Czy równanie x ^ 2 + y ^ 2 – 6x + 2y + 10 = 0 opisuje okrąg? Odpowiedź uzasadnij
6.49. Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu opisanego równaniem: a) x ^ 2 + y ^ 2 – x – 0, 5y – 59/16 = 0 c) x ^ 2 + y ^ 2 + x – 1/2 * y – 11/16 = 0 b) x ^ 2 + y ^ 2 – sqrt(8) * y – 6 = 0 d) x ^ 2 + y ^ 2 – 3x + y – 1, 5 = 0
6.48. Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu opisanego równaniem: a) x ^ 2 + y ^ 2 – 2x – 4y – 4 = 0 c) x ^ 2 + y ^ 2 – 8x + 7 = 0 e) x ^ 2 + y ^ 2 – 2x – 6y + 9 = 0 b) x ^ 2 + y ^ 2 + 6x + 10y + 33 = 0 d) x ^ 2 + y ^ 2 – 2sqrt(3) * y – 6 = 0 f) x ^ 2 + y ^ 2 + 4y – 5 = 0 i prze
6.47. Poniższe równania opisują okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Podaj współrzędne punktu S i promień tego okręgu. a) x ^ 2 + y ^ 2 = 1 c) (1 + x) ^ 2 + (2 – y) ^ 2 = 25 b) (x – 1) ^ 2 + y ^ 2 = 2, 25; (- x – 3) ^ 2 + (- 1 – y) ^ 2 = 81 d)
6.46. Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r w postaci kanonicznej. a) S(0, 0); r = 3 d) S(- 3, 1) , r = sqrt(2) b) s(0, – 2); r = sqrt(5) e) S(3, – 2), r = 1/2 c) S(4, 0); r = 2, 5 f) S(- sqrt(3), – sqrt(2)) , r = r = 4
6.45. Wyznacz równanie ogólne symetralnej A(- 4, 5) , B(6, 1) c) A(- 1, – 2) , B(3, 2) a) Równanie okręgu odcinka AB. b) A(0, 7); B(0, – 3) d ) A(- 1, 8), B(- 5, 8)
6.44. Oblicz brakujące współczynniki w równaniu ogólnym prostej m, wiedząc, że: a) prosta chodzi przez punkt m / A * x – 2y + C = 0; P(7, 0) jest równoległa do prostej k: 5x + 14y – 1 = 0 jest równoległa do prostej k: – 3x + 4y – 5 = 0 i prze i prze b) prosta m m / x + By + C = 0 chodzi przez punkt P(1, – 3); 3x + By + C = 0 jest prostopadła do prostej k: – – 20x + 15y – 7 = 0 i przechodzi przez początek układu współrzędnych c) prosta m: d) prosta m / A * x + y + C = 0 jest prostopadła do prostej k: 2x + 4y – 13 = 0 chodzi przez punkt P(1/2, 7)
6.43. Napisz równanie ogólne a)k:5x-y+3=0 Czy proste kim są prostopadłe? m : – 15x + 25y + 10 = 0; m / 3 * y – 2 = 0 m : 15x – 3y – 2 = 0 m : 1, 5x – 1 1/3 * y + 2 1/5 = 0 do prostej: prostej m prostopadłej i przechodzącej przez punkt P(- 1, 2) b) k / y + 4 = 0 i przechodzącej przez punkt P(- sqrt(7), sqrt(2))
6.42. Dane Odpowiedź uzasadnij. a) k / 5 * x + 3y – 2 = 0 b) k k / 5 * x + 7 = 0 c) k 6/4 * x – 20y + 30 = 0 d) k / (- 2/3) * x – 3/4 * y + 1 = 0
6.41. Napisz równanie ogólne prostej m równoległej do prostej: a) k: 3x – 2y + sqrt(3) = 0 i przechodzącej przez punkt P(- 1, 1) b) k / 4 * x + 9y = 0 i przecinającej oś OY w punkcie P(0, 5) c) k / 2 * x – 11 = 0 i przecinającej oś OX w punkcie P(- 4, 0) . d) k: y – 5 = 0 i przechodzącej przez punkt P(7, sqrt(2)) są równania ogólne prostych k i m.
6.40. Dane są równania ogólne prostych k i m. Czy proste kim są równoległe? Odpowiedź uzasadnij. a) k / 2 * x – 3y + 6 = 0 , b) k / 3 * x – 4 = 0 , ck m – x + 1 1/2 * y – 2 = 0; m / 2 * y + 5 = 0; m / x – 3y – 1 = 0; m / 3 * x – 5 = 0 , k / 7 * x + 21y – 3 = 0 d) k / 2 * x + 7 = 0 ,
6.39. Dane jest równanie ogolne prostej. Podaj miarę kąta, jaki tworzy ta prosta z osią OX. a) x + y – 7 = 0 d) sqrt(3) * x – 3y + 15 = 0 b) sqrt(3) * x – y + 90 = 0 c) e) x – sqrt(3) = 0; sqrt(3) * x + y + 1 = 0 f) 3y – sqrt(3) = 0
6.38. Do prostej należą punkty P i Q. Korzystając z równania prostej przechodzą cej przez dwa dane punkty, wyznacz równanie ogólne tej prostej. a) P(0, – 4) , Q(3, 1) c) P(2, 2); Q(- 1, 0) b) P(sqrt(5), – 3); Q(sqrt(5), 8) d) P(3, 1); Q(- 1, – 7)
6.37. Punkty A i B należą do prostej k. Wyznacz równanie ogólne prostej k. a) A(0, 8) , B(2, 4) c) A(- 3, 2) , B(4, 9) b) A(3, – 4); B(11, – 4) d) A(- 2, 6), B(sqrt(2), – 3sqrt(2)) 6
6.36. Dane a) x/3 = (12 – x)/3 jest równanie prostej k. Przedstaw to równanie w postaci ogólnej. b) y = (- x + 5)/4 c) y + (x – 1)/2 = (x + 2)/3
6.35. Dane są punkty: A(- 4, 1), B(0, – 2), C(3, 2); D(- 1, 5) Korzystając z własności prostych, opisanych równaniami kierunkowymi wykaż, że czworokąt ABCD jest kwadratem. c) k: y = 3 + p – 4x; m / y = 1/8|p + 8| * x – p ^ 2 Równanie ogólne prostej
6.34. Dane są punkty: A(- 1, – 3), B(5, 0), c(3, 4), D(- 3, 1) . Korzystając z własności prostych, opisanych równaniami kierunkowymi wykaż, że czworokąt ABCD jest prostokątem. D
6.33. Dane są punkty: A(- 1, 2), B(- 6, – 1), c(5, 1), D(10, 4) . Korzystając z własno ści prostych, opisanych równoległobokiem. równaniami kierunkowym, wykaż, że czworokąt ABCD jest D
6.32. Dane są punkty A(- 5, – 4), B(1, – 1), c(- 3, 2) . Wykaż, że wysokość trójkąta y = – 2x – 4 ABC, poprowadzona z wierzchołka C, zawiera się w prostej k: D
6.31. Wykaż, że prosta k: y = – 3x + 5 jest symetralną odcinka o końcach A(- 1, – 2) * i * B * (5, 0)
6.30. Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A(- 4, – 1) , A(0, 3) , B(4, – 3); B(4, – 5) , a) b) A(- 4, – 3); A, B . B(2, 3) d) A(1, – 3); B(7, 1) D
6.29. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(- 4, – 2), B(4, – 1), c(- 2, 2) a) Napisz równania kierunkowe prostych AB, BC, AC. b) Czy trójkąt ABC jest prostokątny? Odpowiedź uzasadnij. do prostej k i prze
6.28. Napisz równanie kierunkowe prostej m, prostopadłej chodzącej przez punkt A. a) k / y = – 2/3 * x , b) k: y = -x +, y = – x + 8; A(2sqrt(3), – sqrt(3)); A(- 4, 1); A(2, 9) , A(6, – 4) c) k / y = 4x – 1 , d) k:y=0,75x+3.
6.27. Dane jest m: y = ax – 8 m : y = 4x – 8; y = – 2/3 * x + 11 : : y = (2a – sqrt(5)) * x – 19a; v=2x- underline u m m równanie prostej m: a) Napisz równanie prostej k, która jest prostopadła do prostej m i przechodzi przez punkt ( 0,3) . b) Oblicz współrzędne punktu wspólnego tych prostych. w c) Naszkicuj proste k im punkt. układzie współrzędnych; następnie zaznacz ich wspólny
6.26. Wyznacz a wiedząc, że prosta k jest prostopadła do prostej m. a) k:y=3x+6, b) k / y = (- 0, 25a + 3) * x + 2 c) k: y = 5 + (4 – 2a) * x d) k: y = – x + 3a * sqrt(5) ,
6.25. Napisz równanie kierunkowe prostej m, równoległej do prostej k i przecho dzącej przez punkt A. a) k / y = 2 , A(3, – 5) c) k:y=-2x+5,; A(-0,5;4) b) k / y = 3/4 * x , A(- 8, 3) d) k:y=0,125x-; , A(16, 20)
6.24. Dana jest prosta m: y = – 2x – 1 a) Napisz równanie prostej k, równoległej do prostej m i przechodzącej przez punkt (- 1, 5) ( b) Naszkicuj obydwie proste w układzie współrzędnych. c) Sprawdź algebraicznie, że proste k im nie mają punktów wspólnych.
6.23. Wyznacz liczbę a wiedząc, że prosta m jest równoległa do prostej k. a) k: y = (2a – 3) * x + 4 , b) k: y = 3x + a , c) k: y = (1 – a) * x , d) k: y = 8 , m : y = – 4x + 7 m : y = 4 + (4 + a) * x m : y = (2a – 5) * x – 9 m: y = (a – 10) * x + 7 P i na
6.22. Dany jest b) P(0, 6); alpha = 30 degrees d) P(3, – 4); alpha = 45 degrees f) P(sqrt(6), sqrt(8)), alpha = 150 degrees trójkąt o wierzchołkach: A(- 4, 3), B(4, – 5) * i * c * (8, 1) . Wyznacz: a) równania kierunkowe prostych, zawierających środkowe AD, BE I CF, b) współrzędne punktu przecięcia tych prostych.
6.21. Wyznacz równanie kierunkowej prostej k, przechodzącej przez punkt chylonej do osi OX pod kątem a. a) P(0, 0); alpha = 135 degrees c) P(4, 0); alpha = 120 degrees e) P(- 2sqrt(3), 5), alpha = 60 degrees
6.20. Dane są punkty A i B. Podaj, z dokładnością do jednego stopnia, miarę kąta nachylenia prostej AB do osi OX. a) A(- 4, 2); B(1, 8) c) A(12, – 3), B(6, 15) b) A(5, 6); B(9, – 4) d) A(2, – 3) , B(- 1, – 19)
6.19. Dane jest równanie prostej k. Podaj miarę kąta nachylenia tej prostej do osi OX. a) k: y = x – 1 d) k: y = – x + 2 b) k: y = sqrt(3) * x + sqrt(2) e) k: y = – (sqrt(3))/3 * x + 1/2 c) k: y = 1 – sqrt(3) * x f) k: y prime=- 3-2 sqrt 3 x 6
6.18. Napisz równanie kierunkowe prostej, przechodzącej przez punkty A i B. a) A(- 10, 58), B(2, 22); B(5, – 3) c) A(-10,7), b) A(- 8, – 95), B(4, 25) d) A(- 6, – 2); B(24, 4)
6.17. Prosta k przechodzi przez punkt , a jej współczynnik kierunkowy jest równy a. Wyznacz równanie kierunkowe A(5, 6) a) sigma = – 3 ) a = 1/2 * A * (- 1, – 9) prostej k. b) a = 2; A(- 10, 12) d) a = – 3/4 * A * (24, – 36)
6.17. Prosta k przechodzi przez punkt , a jej współczynnik kierunkowy jest równy a. Wyznacz równanie kierunkowe A(5, 6) a) sigma = – 3 ) a = 1/2 * A * (- 1, – 9) prostej k. b) a = 2; A(- 10, 12) d) a = – 3/4 * A * (24, – 36)
6.16. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A3 a) A(2, – 3), B(6, 7); A(- 3/4, – 1), B(- 1/4, 8) b) A(- 4, 1), B(2, 7); A(1/8, 1 1/2), B(1/4, – 1/2) A 1
6.15. Korzystając z własności wektorów wykaż, że jeśli A(- 3, 4), B(6, 1), c(6, 4); D(3, 5) , to czworokąt ABCD jest trapezem. Równanie kierunkowe prostej
6.14. Korzystając z własności wektorów wykaż, że jeśli A(0, – 1), B(6, 1), c(3, 5) , D(- 3, 3) , to czworokąt ABCD jest równoległobokiem. D
6.13. Dane są punkty: A(- 2, 0) , B(3, 1), c(4, 6), D(- 1, 5) ABCD jest rombem. . Wykaż, że czworokąt D
6.12. Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A(- 2, – 3), B(4, 1), C(2, 4) jest prostokątny. D
6.11. Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A(0, 2), B(6, – 2), c(7, 6) jest równoramienny. D
6.10. W trójkącie ABC dane są wierzchołki: A(- 5, – 2), B(7, 4) , C(1, 7) . Na bokach D, E, F w taki sposób, AB, BC i AC tego trójkąta zaznaczono odpowiednio punkty że |AD|; |DB|=|BE|:|EC|=|CF|:|FA|=1:2 . Oblicz współrzędne tych punktów. D
6.9. Oblicz współrzędne a) A(0,0),B(9,0 ), C(0, 6) punktu 5 przecięcia środkowych w trójkącie ABC, jeśli b) A(- 4, 0), B(- 2, – 5), c(0, 2) c) A(- 2, 7) , B(1, 2), C(4, 0) d) A(- 4, – 6), B(2, – 11), c(5, 5)
6.8. Wyznacz współrzędne punktów podziału odcinka AB: a) na cztery odcinki równej długości, jeśli A(- 5, – 7) b) na trzy odcinki równej długości, jeśli A(2, – 3) , B(3, 5) , 6(- 10, 3) , B(5, 15) . c) na sześć odcinków równej długości, jeśli A(- 1, 3)
6.7. Dany jest trojkąt ABC, gdzie: A(- 4, – 1) , B(4, 5) , c(2, 9) . Oblicz długość środkowej: a) AD b) BE c) CF.
6.6. Oblicz długości boków równoległoboku ABCD, jeśli dane są dwa jego wierz chołki i punkt P przecięcia się przekątnych. a) A(4, – 6), B(9, – 6), P(7, – 2) b) A(- 3, – 5), P(2, – 1), D(- 1, 3)
6.5. Oblicz długości przekątnych równoległoboku ABCD, jeśli: a) A(5, 1) , B(8, – 3), c(3, 9) b) A(- 4, – 5), B(5, – 3), D(- 3, 3) 6.6. Oblicz długości boków równoległoboku ABCD, jeśli dane są dwa jego wierz chołki i punkt P przecięcia się przekątnych. a) A(4, – 6), B(9, – 6), P(7, – 2) b) A(- 3, – 5), P(2, – 1), D(- 1, 3)
6.4. Dane są trzy wierzchołki równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne czwar tego wierzchołka oraz współrzędne punktu P przecięcia przekątnych, jeśli: a) A(4, 1), B(2, 6); C(- 8, 3) b) A(- 5, – 2), B(3, 1), D(- 2, 5) Narysuj równoległobok ABCD w układzie współrzędnych.
6.3. Dane są dwa wierzchołki równoległoboku ABCD i punkt P przecięcia się przekątnych. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku, jeśli: a) A(- 3, 5); B(- 2, – 1) Narysuj równoległobok b) B(4, – 2), C(2, 7), P(- 1, 2) , P(3, 1) ABCD w układzie współrzędnych.
6.2. Wyznacz b) A(- 5, – 2) , B(- 5, 7) d) A(10, 6), B(4, 0) 1) A(3 1 3 ,-5),B( 2 3 ,-3). współrzędne środka odcinka AB, jeśli: a) A(0, 4), B(- 2, 0) c) A(4, – 1) , B(- 10, 9) b) A(- 3, 1), B(3, 5) d) A(sqrt(2), – 3), B(sqrt(2), 7)
6.1. Oblicz długość odcinka AB, jeśli: a) A(3, 7) , B(- 8, 7); B(- 7, – 6) c) A(1, 9) e) A(sqrt(5) + 2, sqrt(5)), B(1, – 1)
1. Kąt a znajduje się w układzie współrzędnych w położeniu standardowym. Punkt P(- 5, 12) należy do drugiego ramienia tego kąta. Zatem: A. cos a = – 5/13 B. sin alpha = – 12/13 C . tg * alpha = – 5/12 D. ctg * alpha = – 12/5
5.49. Wyznacz alpha, alpha in(0^ ,360^ ); cos a = – (sqrt(3))/2 * i * sin alpha < 0 c ) a) ctg * alpha = - 1i * sin alpha > 0; cos alpha = (sqrt(2))/2 * i * sin a < 0 e) b) gamma = 30 degrees d) tg * gamma = - 1 wiedząc, że: b) sin alpha = 0i * cos alpha = - 1 d) f) t mathbb R alpha=- sqrt 3 3 i cos alpha>0 . tg * alpha = – sqrt(3) * i * sin alpha > 0 Test sprawdzający do rozdziału 5
5.48. Kąty trójkąta mają miary: a, beta, y. Oblicz funkcje trygonometryczne kąta jeśli: a) gamma = 60 ^ c c) cos gamma = (- sqrt(3))/2
5.47. Wiedząc, że alpha epsilon(0^ ,90^ ) cup(90^ ,180^ ) , doprowadź poniższe wyrażenia do najprostszej postaci. a) sin(180 degrees – alpha) * cos(90 degrees + alpha) – cos^2 (180 degrees – alpha); sin(90^ + alpha)* t B (180^ – alpha)+cos(180^ – alpha)* ctg(90^ + alpha) b ) c) cos(90 degrees – alpha) * sin(180 degrees – alpha) – sin(90 degrees – alpha) * cos(180 degrees – alpha) d) tg * (90 degrees + alpha) * t * g * (180 degrees – alpha) + ctg * (90 degrees – alpha) * t * g * (90 degrees – alpha)
5.46. Oblicz bez użycia tablic trygonometrycznych i kalkulatora. a) 2* cos 120^ +4* tg 210^ * sin 120^ c) cos 210^ * ctg 210^ +sin 315^ * cos 315^ e) sin 180 degrees + cos 90 degrees + cos 180 degrees + sin 270 degrees b) 3* tg 225^ * cos 300^ +sin 150^ d) sin 150^ * tg 225^ +sin^ 2 300^
5.45. Oblicz b) cos 240 degrees * sin 180 degrees + cos 0 degrees c) sin^2 (217 degrees) + cos^2 (127 degrees) + 2sin 37 degrees; .os 127^ d) tg 225^ -ctg 135^ -sin0^ e) cos 0^ +sin 90^ -sin 270^ -tg 180^
5.44. Porównaj liczby x i y. a) x = sin 135 degrees , y=tg^ 2 150^ c) x x= 1 ctg120^ ,y= 1 cos135^; B – ((sin 50 degrees – 2cos 135 degrees)/(461.20 degrees)) ^ 2; d=tg 150^ * cos 30^ +sin 90^ . b) x = – sqrt(3) * cos 120 degrees d) x = 4 ^ sin 150 degrees , y= y = sin 120 degrees; y = (1/2) ^ (3cos 120 ^ 8) bez użycia tablic trygonometrycznych i kalkulatora. a) 4* sin 300^ * cos 330^ * ctg 315^
5.43. Dane są liczby: a=sin 120^ +cos 150^ -2* tg 45^; c = (cos 150 degrees + sin 135 degrees)(cos 30 degrees + sin 45 degrees) Która z tych liczb jest liczbą wymierną?
5.42. Oblicz, b) tg 120^ * ctg 30^ +cos^ 2 135^ c) (cos 120^ -tg150^ )^ 2 d) ( (sin 135^ -tg120^ )*(cos 135^ -ctg150^ ) .
5.41. Czy cos a może się równać: a)- sqrt 7 2; 1/(sin beta) to b) d) dla pewnego kąta B dla pewnego kąta B? stosując wzory redukcyjne: a) sin 120^ * cos 150^ +tg 135^
5.40. Czy sin a) (sqrt(5))/2; – 1/(sin beta) a może się równać: b) d) (- sqrt(15))/4; tg * beta + ctg * beta dla pewnego kąta B? 3/(sqrt(10)); z*beta dla pewnego kąta B
5.39. c) cos alpha = – 1/3 * i * t * g * alpha = – 2sqrt(2); sin alpha + cos alpha = 1 1/3; tg alpha+ctg alpha=2 1 6 , , który spełnia następujące warunki: b) sin alpha = – 2/(sqrt(5)) * i * cos a = (sqrt(5))/5 d) tg * alpha = sqrt(6) * i * c * t * g * alpha = (sqrt(6))/12 Jeśli tak, to do której ćwiartki układu współrzędnych należy końcowe ramię kąta a w położeniu standardowym?
5.38. Wykaż, że jeśli alpha in(0^ ,90^ ) cup(180^ ,270^ ) oraz t * g ^ 2 * alpha + ct * g ^ 2 * alpha = 2 25/36 Zbadaj, czy istnieje kat alpha, alpha in langle0^ ,360^ ) a) sin a = (sqrt(3))/5 * i * cos a = – 4/5
5.37. Wykaż, że jeśli alpha in(0^ ,90^ ) oraz sin a * cos a = 7/18 to D
5.36. Wiedząc, że tg * alpha + ctg * alpha = 4 , oblicz: a) t * g ^ 2 * alpha + ct * g ^ 2 * alpha b) t * g ^ 4 * alpha + ct * g ^ 4 * alpha d) sin^4 alpha + cos^4 alpha c) (tg * alpha – ctg * alpha) ^ 2 D
5.35. Wiedząc, że sina a) sin a cos a sin alpha * cos alpha b) (cos alpha – sin alpha) ^ 2
5.34. Wiedząc, że a jest kątem rozwartym oraz a) sin a * cos alpha b) sin alpha – cos alpha; sin alpha + cos alpha = 7/13 c) sin a, , oblicz: . cos alpha; ct * g ^ 2 * alpha = 100 0s * alpha = 1/(sqrt(2)) oblicz: sin alpha + cos alpha
5.33. Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi, jeśli alpha in(0^ ,90^ ) cup(90^ ,180^ ) . a) c) e) cos alpha * (1/(cos alpha) – cos alpha) = sin^2 c; 2/(sin^2 alpha) – 1 = 1 + 2ct * g ^ 2 * alpha; t g a*(1+ctg^ 2 alpha) 1+tg^ 2 alpha =ctg alpha b) d) 1 – sin alpha = (ctg * alpha – cos alpha)/(ctg * alpha); 1/(1 – cos alpha) + 1/(1 + cos alpha) = 2/(sin^2 alpha); f) ctg alpha*(1+tg^ 2 alpha) 1+ctg^ 2 alpha =tg alpha
5.32. Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi, jeśli alpha in(0^ ,90^ ) cup(90^ ,180^ ) . a) 1 – 2sin^2 alpha = 2cos^2 alpha – 1; (sin alpha + cos alpha)/(cos alpha) = 1 + tg * alpha; (sin alpha + tg * alpha)/(sin alpha) = 1 + 1/(cos alpha) b) cos^2 alpha – sin^2 alpha = 2cos^2 alpha – 1 d) (sin alpha + cos alpha)/(sin alpha) = ctg * alpha * (1 + tg * alpha); cos alpha+ct B alpha cos alpha =1+ 1 sin alpha e)
5.31. Oblicz: , jeśli ctg * alpha = – 2 . sin^2 alpha = 0, 25 jeśli jeśli b) 2* cos alpha+sin alpha i; (3sin alpha + 4cos alpha)/(sin alpha – 2cos alpha) d) tg * alpha , jeśli alpha in(0^ ,90^ ) oraz 4sin^2 alpha = 3cos^2 alpha , jeśli alpha in(90^ ,180^ ) oraz 5cos^2 alpha = 2sin^2 alpha b) ctg * alpha a) c) tg alpha, jeśli alpha in(180^ ,270^ )oraz 9* sin^ 2 alpha-5* cos^ 2 alpha=2 , jeśli alpha in(270^ ,360^ )oraz 4* cos^ 2 alpha-sin^ 2 alpha=3 . d) ctg alpha.
5.30. Kąt a jest rozwarty. Oblicz wartość wyrażenia: a) cos alpha – sin^2 alpha jeśli cos^2 alpha = 0, 81 c) tg * alpha – 6ctg * alpha , jeśli t * g ^ 2 * alpha = 144
5.29. Oblicz wartość wyrażenia: a) 4* sin alpha-5* cos alpha cos alpha+3* sin alpha , j eśli tg * alpha = 5 b) (- 3cos alpha + 6sin alpha)/(8sin alpha + 3cos alpha)
5.28. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta a, alpha in langle0^ ,360^ ) , jeśli: a) cos alpha = 5/13 b) sin alpha = – 60/61 c) ctg * alpha = 3 d) ctg * alpha = 45/28
5.27. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta a ) sin alpha=- 5 13 i alpha in(180^ ,270^ ) c) tg * alpha = – 12/5 * i * (270, 360) b) a, jeśli: ctg alpha= 8 15 i alpha in(180^ ,270^ ) d) cos alpha= 2 3 i alpha in(270^ ,360^ ) .
5.26. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że alpha in(0^ ,180^ ) oraz: a) tg * alpha = 1/2 b) cos a = – 24/25 c) sin alpha = (sqrt(5))/3 d) ctg alpha=- 11 60 ,
5.25. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta a, jeśli alpha in(90^ ,180^ ) oraz: a) sin alpha = 0, 8 b) cos alpha = – 1/4 c) tg * alpha = – 1/3 d) . ctg * alpha = – 7
5.24. Skonstruuj w układzie współrzędnych kąt o takiej mierze , że: alpha b) cos alpha = – 2/7 * i * c * t * g * alpha > 0 d) ctg * alpha = – sqrt(2) * i * cos alpha > 0 a ) sin alpha = 5/6 * i * t * g * alpha < 0 c ) tg * alpha = 2 1/3 * i * sin a < 0 Podstawowe tożsamości trygonometryczne
5.23. Skonstruuj w układzie współrzędnych kąt o mierze a, wiedząc, że: a) sin a = 1/4 b) cos alpha = – 2/5 c) tg * alpha = 3 1/2
5.22. Wykaż, że jeśli alpha in langle0^ ,360^ ) oraz: a) sin alpha = cos alpha , to alpha in\ 45^ ,225^ \
5.21. Kąt a znajduje się w układzie współrzędnych w Punkt P(x, y) wybrano na końcowym ramieniu tego kąta w odległości r od punk tu o(0, 0) Oblicz współrzędne punktu P, jeśli: położeniu standardowym. b) ctg * alpha = – 3 , sin alpha > 0 d) , r r = 5; tg * alpha = 4/5, sin alpha > 1; r = (sqrt(41))/3 , b) sina = – cosa, to sin alpha = – cos alpha; alpha in\ 135^ ,315^ \ a) tg alpha= 2 3 ,cos alpha<0,; r = sqrt(13) c) tg * alpha = - 2/5, cos a > 0, r = (sqrt(29))/5 D
5.20. Kąt a jest ostry, Jaką wartość: dodatnią czy ujemną, ma poniższe wyrażenie? a) sin(90 degrees + alpha) * cos(180 degrees + alpha) + tg * (270 degrees + alpha) b) cos(90 degrees – alpha) * cos(180 degrees – alpha) * sin(360 degrees – alpha) c) ctg * (270 degrees + a) + sin(180 degrees + alpha) d) cos[(180 degrees + alpha) + sin(270 degrees + alpha)] * t * g * (180 degrees – alpha)
5.19. W której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się końcowe ramię kąta w położeniu standardowym, jeżeli: a) sin alpha < 0i * cos alpha < 0 b) sin alpha < 0itg * alpha < 0 d) cos alpha < 0itg * alpha < 0 f) cos alpha>0 i tg alpha<0. c) tg * alpha > 0ictg * alpha > 0 e) sin alpha < 0i * cos alpha > 0
5.18. Oblicz-korzystając z definicji – wartości funkcji trygonometrycznych kąta o, jeśli: a) alpha = 210 degrees b) a alpha = 240 degrees c) alpha = 135 degrees d) alpha = 330 degrees .
5.17. Jaką miarę ma kat a, jeśli alpha in(0^ ,360^ ) oraz: alpha; cos alpha = 0 a) sin alpha = 1 b) tg * alpha = 0 c) . Dla wyznaczonej miary a oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta, o ile istnieją.
5.16. Kąt a znajduje się w położeniu standardowym. Punkt p(x, y) wybrano na koń cowym ramieniu tego kąta, w odległości r od punktu o(0, 0) Oblicz współrzędne pu nktu P, jeśli: a) alpha in(180^ ,270^ ); tg * alpha = 2; tg * alpha = – 3 , b) alpha in(90^ ,180^ ) c) alpha in(270^ ,360^ ) d) alpha in(0^ ,90^ ) , r = 2sqrt(5); r = sqrt(10); r = 15; ctg * alpha = – 4/3; ctg * alpha = 1/2; r = 5
5.15. Kąt r = 7 a znajduje się w położeniu standardowym. Punkt P(x, y) leży na koń cowym ramieniu tego kąta, w odległości r od punktu o(0, 0) Oblicz współrzędne pu nktu P, jeśli: a) alpha in(0^ ,90^ ) , sin a= sqrt 2 2 , , cos alpha = – 2/3 b) alpha in(90^ ,180^ ) c) alpha in(180^ ,270^ ); cos alpha=- 3 5 , , sin alpha = – 1/2 d) alpha in(270^ ,360^ ); r = 6; r = 9; r = 10; r=2 sqrt 3 .
5.14. Punkt Odległość tego punktu od początku układu współrzędnych jest równa r. Wyznacz bra P znajduje się na końcowym ramieniu kąta a w położeniu standardowym. kującą współrzędną punktu P i oblicz funkcje trygonometryczne kąta a, jeśli: a) P(- 3, y) , b) P(x, 2) , r c) P(x, 4) , alpha in(180^ ,270^ ); r= sqrt 13 ,a in(90^ ,180^ ); r = 5 , r=8,5 alpha in(0^ ,90^ ) r= , alpha in(270^ ,360^ ). d) P(4sqrt(3), y)
5.13. Na końcowym ramieniu kąta a, umieszczonego w układzie współrzędnych w po tozeniu standardowym, znajduje się punkt P. Wyznacz odległość tego punktu od punktu o(0, 0) Następnie oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta a-o ile istnieją. a- bullet a) P(12, 5) d) P(15, – 8) b) P(- 2, 2sqrt(3)) e) P(0, – 3) c) P(- sqrt(3), – sqrt(6)) f) P(- 5, 0)
5.12. Wykaż, że: a tg5^ * tg25^ * tg45^ * tg65^ * tg85^ =1 b) cos^2 (20 degrees) + cos^2 (40 degrees) + cos^2 (50 degrees) + cos^2 (70 degrees) = 2 =) sin^4 (20 degrees) + sin^4 (70 degrees) + 2cos^2 (20 degrees) * cos^2 (70 degrees) = 1 . ctg * alpha = 4 , to , 32* sin a-sin(90^ – alpha) 6* cos(90^ – alpha)+2* cos alpha =2 5
5 .11. Wykaż, że jeśli alpha in(0^ ,90^ ) oraz –
5.10. W trójkącie prostokątnym przypro stokątne mają długość a i b, zaś przeciwpro stokątna ma długość c. Wykaż, że jeśli na przeciw boku a leży kąt a taki, że tg * alpha = 2 , to (a^ prime -c^ 2 )(b^ 2 -c^ 2 ) (a^ prime +b^ 2 +c^ 2 )^ 2 – 1 2
5.9. Dwa kąty ostre trójkąta mają miary a i B. Wykaż, że jeśli cos beta = sqrt(3) * cos alpha , to ten trójkąt jest prostokątny, a długości . w stosunku 1 / (sqrt(3)) / 2 d) ctg * alpha = 1/3; tg * alpha = 2 sina oraz jego boków pozostają D
5.8. Dana b) |
5.7. Skonstruuj trójkąt prostokątny, w którym: a) | langle langle A|=90^ ,sin|
5.6. W kość CD. Wyznacz kąty trójkąta ABC, jeśli: cos alpha = (sqrt(3))/2 h) ctg * alpha = 1 . trójkącie ABC kąty przy podstawie AB są ostre. Poprowadzono wyso a) |AC|=10,|CD|=5 sqrt 2 , | |BC| = 10sqrt(2) , |DB| = 6, |BC| = sqrt(48) . b) |AD| = 2
5.5. Wyznacz kąt az, alpha in(0^ ,90^ ), wiedząc, że: e) tg * alpha = sqrt(3) f) sin a = (sqrt(2))/2 g)
5.4. W prostokącie ABCD przekątne mają długość 4 cm i przecinają się pod kątem: a) 60 degrees Oblicz odległość punktu B od przekątnej AC. b) 45 degrees c) . 30 degrees
5.4. W prostokącie ABCD przekątne mają długość 4 cm i przecinają się pod kątem: a) 60 degrees Oblicz odległość punktu B od przekątnej AC. b) 45 degrees c) . 30 degrees
5.3. Oblicz: a) (cos 30 degrees – sin 45 degrees)(sin 60 degrees + cos 45 degrees) b) (3tg30^ -ctg 45^ )^ 2 -8* sin 30^ c) ( sqrt 2 * ctg 60^ + sqrt 3 * cos 45^ )(6tg*45^ – sqrt 72 * tg 60^ ) .
5.2. Średnica AB okręgu ma długość 10 cm. Cięciwa CD, prostopadła do średni cy AB, jest oddalona od punktu A o 9 cm. Oblicz: a) tangens kąta CBA b) sinus kąta CAB.
5.1. Oblicz obwód trójkąta ABC na rysunku poniżej z 70 % b) A c) h h = 10 cm 120 h = 5 cm dokładnością do 0,5 cm: h h = 9 cm 55 B 23 67^ – d) e) f) c 42 degrees 8 40 100 h h=3NCH/ 25 ^ 2 h=6 cm h h = 8 cm B 75 A
30. W trójkącie prostokątnym najkrótsza wysokość jest równa 15, a najkrótszy bok ma długość 17. Oblicz: a) długości pozostałych boków trójkąta, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, c) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
29. W trójkącie prostokątnym spodek najkrótszej wysokości dzieli przeciwprosto kątną w stosunku 9: 16. Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 25 cm, oblicz: a) długości boków tego trójkąta, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
28. W trójkącie równoramiennym poprowadzono dwusieczną kąta wie, która podzieliła przeciwległe ramię na odcinki długości: 7 8/23 oraz lejno od wierzchołka między ramionami trójkąta. Oblicz: a) długość podstawy, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, c) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. przy podsta 5 15 23 -k 0 –
27. W |BC| = 12 cm oblicz długości odcinków: a) na jakie punkty styczności podzieliły bok AB, b) na jakie dwusieczna kąta ACB podzieliła bok AB.
26. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: |Ac| = 6 cm . Oblicz: |AB| = 8 cm a) długość odcinka DE symetralnej boku BC, zawartego w trójkącie ABC, b) długość odcinka CF dwusiecznej kąta ACB. t rójkąt ABC wpisano okrąg. Wiedząc, że | |AB| = 20 cm, |AC| = 16 cm oraz
25. W trójkącie ABC, w którym |AC| < |BC| , wysokość CD jest równa . Sy metralna boku AB przecina bok AB w punkcie E, a bok BC w punkcie F. Wiedząc, że |EF| = 3 cm , oblicz |AD| : DB.
25. W trójkącie ABC, w którym |AC| < |BC| , wysokość CD jest równa . Sy metralna boku AB przecina bok AB w punkcie E, a bok BC w punkcie F. Wiedząc, że |EF| = 3 cm , oblicz |AD| : DB.
24. W trójkącie prostokątnym ABC na rysunku obok punkt O jest środkiem dłuższej przyprostokątnej AB. Półokrąg o średnicy AB przecina przeciwprostokąt na BC w punkcie D. Wykaż, że jeśli |AD| = |DO| , to: a) |AC| = 2|CD| b) 4|CD||DB| = 3 * |AC| ^ 2 D B beta B
23. Z punktu P, którego odległość od środka O okręgu jest równa 15 cm, popro wadzono sieczną, przecinającą okrąg w punktach A i B. Wiedząc, że promień okręgu jest równy 9 cm oraz |PA| / |AB| = 1/3 , oblicz długość cięciwy AB. D
22. Promienie dwóch okręgów są równe: r 1 =2m-1 oraz r 2 =3m . Odległość między środkami tych okręgów jest równa 14. a) Wyznacz liczbę m, dla której te okręgi mają jeden punkt wspólny. Dla wyznaczo nej liczby m podaj promienie tych okręgów. b) Dla jakich wartości m okręgi te mają dwa punkty wspólne?
21. Dwa okręgi o(O 1 ,r)i o(O 2 ,R) , gdzie r < R , są styczne wewnętrznie w punk cie A oraz |O 1 O 2 |=4 cm . a) Wyznacz promienie tych okręgów wiedząc, że ich suma jest równa 10 cm. D b) Przez punkt A poprowadzono prostą, która przecięła mniejszy okrąg w punkcie B, a większy w punkcie C. Wykaż, że O 1 B||O 2 C . Wiedząc dodatkowo, że |BC| = 6 cm oblicz AB.
20. Punkty A, B, D n ależą do okręgu o środku w punkcie O. Sieczne AB i DO przecinają się w punkcie C, jak na rysunku obok. Wykaż, to |
19. Na rysunku obok punkty A, B, C należą do okręgu o środku w punkcie O oraz dane są kąty środkowe a i B. D a) Wykaż, że jeśli alpha = 54 degrees * i * beta = 72 degrees , to OA||BC . b) Oblicz miary kątów trójkąta ABC w przypadku, gdy alpha = 50 degrees , beta=78^ . D
18. Punkty A, B, C należą do okręgu oraz | angle CBA|=| triangleleft ACB| . Przez punkty 8 i C poprowadzono styczne do okręgu, które przecięły się w punkcie D. Wied że 2| triangleleft CDB|=| triangleleft CBA| , oblicz miarę kąta między ramionami trójkąta ABC.
17. Dany jest okrąg o środku w Korzystając z danych na rysunku, oblicz a. p unkcie O i styczna do tego okręgu w punkcie P. b) 55 degrees a) 51 *0; 75\%^ 2 P
16. Na rysunku obok proste AB, BC, CA są stycznymi do danego okręgu odpowiednio w punktach L, M, K, przy czym |CM|=x,; |MB| = y, |KA| = z . Wiadomo, że x + y + z = 10; 3x = 2(y + z) Oblicz długość boku AB. cm oraz
15. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy 3 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 8,5 cm. Suma długości przyprosto kątnych tego trójkąta wynosi: A. 17,5 cm B. 20 cm C. 23 cm D. 26 cm Zadania powtórzeniowe do rozdziału 4.
14. W trójkącie ABC, w którym |AC|=|BC|=36 cm, poprowadzono dwusieczna kąta CBA, która przecięła ramię AC w punkcie D. Jeśli C |AB| = 28, 8 cm D: |AD|=4:5,to: A. B. |AB| = 40 cm C. |AB| = 45 cm D. |AB| = 54 cm
13. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 2 cm. W trójkąt wpisano okrąg. Punkt D |AD| jest punktem styczności tego okręgu z |DC| = 2/3 , to obwód trójkąta ABC jest równy: ramieniem AC. Jeśli A. 12 cm B. 9 cm C. 8 cm D. 7 cm D. 5 cm
12. W okręgu poprowadzono dwie cięciwy. Punkt przecięcia tych cięciw dzieli jedną z nich na odcinki długości 8 cm i 2 cm, a drugą na odcinki równej długości. Długość drugiej cięciwy jest równa: A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm
11. Bok AB trójkąta ABC ma długość 24 cm. Punkt przecięcia symetralnych boków BC i AC leży w odległości 5 cm od boku AB. Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy: A. 13 cm B. 12 cm C. 11 cm D. 10 cm
10. Na rysunku obok trójkąty ABC i ADC są wpisane w okrąg o środku w punkcie O. Odcinek CD jest średnicą okręgu. Jeśli |AC| = 2 oraz |
9. Boki trójkąta mają C . a * sqrt(3) = 4R promień okręgu opisanego D . a * sqrt(3) = 2R długość: 6 cm, 8 cm, 10 cm. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy: A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm
8. Bok trójkąta równobocznego ma długość a, zaś na tym trójkącie jest równy R. Wówczas: A . sigma = 2R B. a = R * sqrt(3)
7. Na rysunku obok dany nych na A . alpha = 50 degrees C . alpha = 60 degrees rysunku wynika, że: B. są styczne wewnętrznie przecinają D. się jest okrąg o środku O i kąt a dopisany do okręgu. Z da B. alpha = 55 degrees D . a = 65 degrees
6. Odległość między środkami dwóch okręgów jest równa 6. Jeśli promienie tych okręgów są równe oraz 2π, to okręgi te: A. są rozłączne wewnętrznie są rozłączne zewnętrznie C.
5. Dwa okręgi o promieniach R ir są współśrodko we, R > r . Cięciwa AB większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu. Jeśli R ^ 2 – r ^ 2 = 9 to: A. |AB| = 6 C. |AB| = 12 B . |AB| = 9 D . |AB| = 18 D . |AC| = 1 D. 10 60 degrees; 120^ prime O 130 degrees; o ^ r
4. Średnica AB okręgu ma długość 2. Jeśli długość cięciwy BC jest równa 1, to: A. |AC| = 2 B. | |AC| = sqrt(3) C. |AC| = sqrt(2)
3. Na rysunku obok dany jest okrąg o środku O, dwa kąty środkowe i kąt wpisany a. Wówczas: A. alpha = 110 degrees C. alpha = 125 degrees B . alpha = 120 degrees D . alpha=130^ .
2. Kąt środkowy ma miarę 72 i jest oparty na tuku okręgu, mającym długość 4pi . Promień tego okręgu jest równy: A. 2 B. 4 C. 5
1. W trójkącie ABC na rysunku obok kąt przy wierzchołku A jest równy 60 degrees . Dwusieczna ką ta ACB przecina bok AB w punkcie D. Jeżeli |CD| = |DB| to kąt ACB ma miarę: A. 90° C. 70° B. 80° D. 60°
4.144. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 12. Dwusiecz na kąta BAC przecina bok BC w punkcie D, którego odległość od podstawy AB jest Wiedząc, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3, oblicz: równa 4 4/11 a) długość odcinka AD b) wysokość CE. Test sprawdzający do rozdziału
4.143. W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego podzieliła przeciw prostokątną na odcinki długości 3 cm i 4 cm. Oblicz: a) długości przyprostokątnych tego trójkąta, b) długość odcinka tej dwusiecznej, zawartego w trójkącie.
4.142. Boki trójkąta mają długość: 15, 20, 25. Oblicz długość odcinka dwusiecznej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka: a) największego kąta b) najmniejszego kąta.
4.141. W trójkącie prostokątnym ABC kąty ostre są równe: | angle B|=30^ | triangleleft C|=60^ Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Wiedząc, że |AC| = 3 , oblicz: a) długość odcinka CD, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, c) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
4.140. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość: 12 cm i 9 cm. W trójkąt wpisano okrąg. Oblicz długości odcinków: a) na jakie dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną, b) na jakie punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną.
4.139. W trójkącie równoramiennym boki mają długość 12 cm, 10 cm, 10 cm. trójkąt wpisano okrąg. Oblicz długości odcinków: a) na jakie punkt styczności okręgu z ramieniem dzieli to ramię, podstawie dzieli przeciwległe temu kątowi ramię. W b) na jakie dwusieczna kąta przy
4.138. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AC| = |BC| , poprowadzo no dwusieczną kąta BAC, która przecięła bok BC w punkcie D oraz |CD| = 4 4/7 | |BD|=3 3 7 . a) Oblicz długość podstawy AB. b) Wiedząc dodatkowo, że odcinek DE jest wysokością trójkąta ABD, oblicz |AE|i| * B * E| .
4.137. W trójkącie równoramiennym poprowadzono dwusieczną kąta przy pod stawie, która podzieliła ramię na dwa odcinki mające długość: 4 cm i 6 cm. Oblicz długość podstawy tego trójkąta. Rozważ dwa przypadki.
4.136. Różnica długości dwóch boków trójkąta jest równa 6 cm. Dwusieczna kąta leżącego między tymi bokami przecina trzeci bok trójkąta w stosunku długości tych dwóch boków. . 3/1 Oblicz
4.135. Boki trójkąta mają długość 4 cm, 5 cm, 6 cm. Oblicz długości odcinków, na jakie dwusieczna największego kąta trójkąta dzieli bok, leżący naprzeciw tego kąta.
4.134. Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 12 cm. Promie okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3 cm. Oblicz długość ramienia teg trójkąta.
4.133. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AC| = |BC| , wysokość C jest równa 18 cm. Wiedząc, że promień okręgu wpisanego w ny 8 cm, oblicz długości boków tego trójkąta. ten trójkąt jest rów
4.132. Dane są długości boków trójkąta równoramiennego. Wyznacz wysokość tego trójkąta poprowadzona na podstawę. Następnie oblicz promień okręgu wpi sanego w ten trójkąt, korzystając z podobieństwa odpowiednich trójkątów. a) 5 cm, 5 cm , 8 cm b) 25 cm, 25 cm, 14 cm
4.131. Dane są długości boków trójkąta tego trójkąta poprowadzona na podstawę. Następnie w ten trójkąt, korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych i z twierdzenia nego Pitagorasa. a) 5 cm, 5 cm, 6 cm równoramiennego. Wyznacz wysokość oblicz promień okręgu wpisa b) 13 cm, 13 cm, 24 cm
4.130. Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 56 cm. Na trójkącie opisano okrąg i w trójkąt wpisano okrąg. Oblicz promienie tych okręgów wiedząc, że ich różnica wynosi 9,5 cm.
4.129. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wiedząc, że ob wód tego trójkąta wynosi 30 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 6,5 cm.
4.128. Wykaż, że suma promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym i promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa średniej arytmetycznej długości przyprostokątnych tego trójkąta.
4.127. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny, jeśli: a) przeciwprostokątna tego trójkąta jest równa 4 cm, b) odległość środka okręgu od wierzchołka kąta od tego promienia. prostego jest o 1 cm dłuższa D
4.126. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przypro stokątne mają długość: a) 6 cm i 8 cm 12 cm i 5 cm c) b) 8 cm i 15 cm d) 2 sqrt 5 cmi 4 cm .
4.125. W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wpisano okrąg. Oblicz trójkąta. długości odcinków, na jakie punkty styczności podzieliły boki tego
4.124. Wyznacz promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równora mienny, jeśli: a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 3, b) różnica długości przyprostokątnej i r jest równa 1+ sqrt 2 .
4.123. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest o 4 cm dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz obwód tego trójkąta.
4.122. Wyznacz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny, jeśli: a) boki trójkąta mają długość 10 cm, b) wy sokości trójkąta przecinają się w punkcie, którego odległość od wierzchołków jest równa 5 cm.
4.121. W trójkąt równoramienny ABC wpisano okrąg. Wiedząc, że |AC| = |BC| = 16 cm oraz |AB| = 12 cm , oblicz długości odcinków, na jakie punkt styczności podzielił bok AC.
4.120. W trójkąt ABC wpisano okrąg. Punkty D, E, F są punktami styczności tego okręgu odpowiednio z bokami AB, BC i AC. Wiedząc, że |AD| = 5 cm, |DB| = 4 cm oraz | |Fc| = 3 cm , oblicz obwód trójkąta ABC.
4.119. Kąty trójkąta ABC są równe: 50 degrees , 60^ .70^ trójkącie ABC opisano okrąg. . Na Przez punkty A, B, C poprowadzono styczne do okręgu, które przecięły się kolejno w punktach K, L, M. Wyznacz kąty trójkąta KLM.
4.118. Kąty trójkąta ABC są równe: , , 50 degrees; 60 degrees; 70 degrees . W trójkąt ABC wpisano okrąg. Punkty styczności wyznaczają wierzchołki trójkąta KLM. Wyznacz kąty trójkąta KLM.
4.117. W trójkąt równoramienny ABC wpisano okrąg o środku O. Wiedząc, że |alpha*A * O * B| = 130 degrees oblicz miary kątów tego trójkąta.
4.116. W trójkącie kąty są równe: , , 20 degrees; 60 degrees; 100 degrees . Poprowadzono dwusiecz ne kątów tego trójkąta. Oblicz miary kątów powstałych w ten sposób sześciu trójkątów.
4.115. W trójkącie ABC odcinek AD dwusiecznej kąta BAC ma długość tak jak | angle BAC|=108^ , oblicz miary pozostałych kątów trójkąta ABC. bok AB. Wiedząc, że
4.114. W trójkącie równoramiennym ABC, |AC| = |BC| , dwusieczna kąta BAC tworzy z bokiem BC kąt 120°. Wyznacz kąty trójkąta ABC. Rozważ dwa przypadki.
4.113. Symetralne boków trójkąta równoramiennego przecinają się w odległo ści 12,5 cm od wierzchołka przy podstawie i w odległości 10 cm od ramion trójkąta. Oblicz długości boków tego trójkąta. Dwusieczne kątów trójkąta. Okrąg wpisany w trójkąt
4.112. W t Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 5, oblicz |AB| .
4.111. Dane są długości boków trójkąta równoramiennego. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. a) 25 cm, 25 cm, 14 cm b) 61 cm, 61 cm, 120 cm rójkącie ostrokątnym ABC boki AC i BC są równe i mają długość 4 sqrt 5 .
4.109. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 18 cm, a ra miona BC|AC-15 cm Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, czy rozwartokątny. Oblicz wysokość CD tego trójkąta. Następnie wyznacz promień okręgu opisanego na tym trójkącie na dwa sposoby: a) korzystając tylko z twierdzenia Pitagorasa, b) korzystając z podobieństwa odpowiednich trójkątów prostokątnych. miona BC i W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 16 cm, a ra iAC – 10 cm . Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, czy rozwartokątny. Ob licz promień okręgu opisanego na tym trójkącie na dwa sposoby, jak w zadaniu
4.108. Na trójkącie prostokątnym opisano okrąg o środku w punkcie c, c > 0 . Da) Wykaż, że odległość punktu O od punktu S, będącego środkiem trójkąta, jest równa c 6 . prostokątna tego trójkąta ma długość b) Wyznacz promień tego okręgu wiedząc, że odcinek OS jest o 10 od przeciwprostokątnej. O. Przeciw ciężkości tego cm krótszy
4.107. a) należy do boku AB b) należy do boku BC.
4.106. Na trójkącie prostokątnym opisano okrąg o promieniu 10 cm. Wiedząc, że wysokość tego trójkąta poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa 8 cm, oblicz długości boków tego trójkąta. W pewnym trójkącie kąt przy wierzchołku A jest dwa razy większy od kąta przy wierzchołku B. Wyznacz stosunek długości boków tego trójkąta, jeśli środek okręgu opisanego na trójkącie ABC:
4.105. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa 4 cm. Spodek tej wysokości leży w odległości c przeciw 1 1/6 m od środka prostokątnej. Oblicz: a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, b) długości boków tego trójkąta.
4.104. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 65 cm, a wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa 60 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
4.103. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 6 cm. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta od wierzchołka kąta prostego.
4.101. Wysokość trójkąta równobocznego jest o 3 cm dłuższa od promienia okrę gu opisanego na tym trójkącie. Oblicz długość boku trójkąta.
4.100. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, którego boki mają długość 6 cm.
4.99. Dane są długości boków a, b, c trójkąta. Jak jest położony względem tego trójkąta środek okręgu opisanego na tym trójkącie, jeśli: a) a sigma = 13 , b = 12 , c = 5 , b = 6 , c = 8 c) a = 5 b) sigma = 6 , b = 24 , c = 25 , b = 6 , c = 7 ? d) a = 5
4.98. Na |CP| = 4 cm trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg o środku S. Wykaż, że: a) jeśli punkt S należy do jednej z wysokości trójkąta, to ten trójkąt jest równo ramienny, b) jeśli punkt S dzieli wysokość trójkąta w stosunku 2/1 trójkąta, to ten trójkąt jest równoboczny. licząc od wierzchołka
4.97. W trójkącie równoramiennym ABC kąt przy wierzchołku C jest równy 120°. Symetralne boków trójkąta przecinają się w punkcie P. Wiedząc, że oblicz długości boków trójkąta ABC. D
4.96. W trójkącie prostokątnym ABC, w którym przecina ten bok w ICAB|=90^ symetralna boku AB punkcie D, zaś bok BC w punkcie E. Wiedząc, że |AB| = 42 cm oraz |DE| = 28 cm , oblicz obwód trójkąta ABC.
4.95. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość stosunek długości odcinkow, na jakie symetralna przyprostokątną
4.94. Symetralne boków trójkąta prostokątnego przecinają się w punkcie odle od wierzchołka kąta prostego o 5 cm. Wiedząc, że długości przyprostokątnych głym pozostają w stosunku 3: 4, oblicz obwód tego trójkąta. 2 cm i 6 cm. Oblicz przeciwprostokątnej dzieli dłuższą
4.93. W trójkącie ABC bok AB ma długość 16 cm. Punkt D jest spodkiem wy w punkcie P w taki sposób, że |CP| : |PB| = 1/2 zawarty w trójkącie ma długość 6 cm, oblicz: Wiedząc, że odcinek tej symetralnej . a) wysokość CD, b) obwód trójkąta ABC, c) odległość punktu D od wierzchołka B, d) odległość punktu D od boku AC.
4.92. W trójkącie ABC, w którym |AC| > |BC| na odcinki AD i DB w taki sposób, że spodek wysokości dzieli bok AB przecina bok AB w punkcie E, a bok AC w punkcie F. Wiedząc, że CD. |AD| / |DB| = 3/1 . Symetralna boku AB |EF|=2,1 cm,
4.91. Na rysunku obok boki AB i BC trójkąta ABC są stycz ne do okręgu o środku w punkcie O, odpowiednio w punk D i E. Odległość punktu C od punktu O jest równa 5. Okrąg przecina bok AC kolejno w punktach PiQ. Wiedząc, że |PQ| = |PC| = 2sqrt(2) , oblicz: tach a) promień okręgu, b) długości odcinków, na jakie punkt E dzieli bok BC. E i*alpha B В
4.90. Na rysunku obok punkty A, B, C nale żą do okręgu oraz |AB| = |AC| Średnica AD za wiera wysokość AE trójkąta ABC. Wiedząc, że |AE| = 12 cm oraz |ED| = 3 cm , oblicz długości boków tego trójkąta.
4.89. Punkty A, B, C należą do okręgu. Styczna do okręgu w punkcie A przecina półprostą CB^ w punkcie P. Wykaż, że jeśli |PA| / |PC| = 3/5 to |PB| / |BC| = 9/16 .
4.88. Punkty A, B, C należą do okręgu. Styczna do okręgu w punkcie A przecina półprostą w punkcie P. Wykaż, że jeśli |PB| / |BC| = 1/3 , to |PA| / |PC| = 1/2 . CB^ D
4.87. Z punktu P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A i dwie sieczne: jedna zawiera średnicę okręgu i przecina okrąg kolejno w punktach B i C; druga przecina okrąg kolejno w punktach D i E. Wiedząc, że |AP| = 24, |PB| = 18or; |PD| / |DE| = 3/1 oraz , oblicz: a) promień okręgu, b) długość odcinka PE. D
4.86. Punkt P przecięcia cięciw AB i CD okręgu dzieli cięciwę AB na odcinki długości 8 cm i 3 cm. Wiedząc, że |CP| / |PD| = 3/2 , oblicz długość cięciwy CD.
4.85. W okręgu poprowadzono cie P. Wiedząc, dwie cięciwy AB i CD, które przecięły się w punk że |AP| = 10 cm, |BP| = 4 cm oraz PD|=2,5 cm , oblicz |CP|.
4.84. Przez punkt P leżący w odległości 11 cm od środka okręgu, poprowa dzono sieczną, która przecięła ten okrąg kolejno w punktach A i B. Wiedząc, że ie * [PA] = |AB| = 6 cm , oblicz promień tego okręgu.
4.83. Przez punkt P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A i ste na przecinającą ten okrąg kolejno w punktach B i C. Wiedząc, że |PB| = 4 cm , oblicz długość cięciwy BC. |PA| = 8
4.82. Z punktu P poprowadzono styczną do okręgu w p unkcie A oraz sieczną, przecinającą okrąg w punk tach B i C, jak na rysunku obok. Wiedząc, że |PB| = 1 cm oraz |BC| = 8 cm , oblicz PA.
4.81. Na rysunku obok dany jest okrąg o środku w punk cie O oraz kąty środkowe: a i B. Wykaż, że jeśli a a = 80 degrees i beta = 50 degrees , to OC||AB . Twierdzenie o stycznej i siecznej
4.80. Cięciwa CD okręgu jest równoległa do średnicy AB. Wykaż, że różnica miar kątów ACD i CDA jest równa 90 degrees . D
4.79. Dwa okręgi przecinają się w punktach P i Q. Poprowadzono średnicę PA A, C , w pierwszym okręgu oraz średnicę PB w drugim okręgu. Wykaz, ze punkty B są współliniowe.
4.78. Wewnątrz równoległoboku narysowano dwa półokręgi: średnicą jedne go jest krótszy bok, a średnicą drugiego – dłuższy bok równoległoboku. Wykaż, że punkt przecięcia tych półokręgów różny od wierzchołka równoległoboku należy do jednej z przekątnych tego równoległoboku. D
4.77. Cięciwy AB i CD są różnymi średnicami jednego okręgu. Wykaż, że czworo kąt ABCD jest prostokątem. D D
4.76. Punkty A, B, C dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi 5:6:7. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.
4.75. Punkty A, B, C należą do okręgu. Wiedząc, że kąty trójkąta ABC są równe: , |
4.74. W okręgu o promieniu r kreślimy średnicę AB oraz taką cięciwę AC, że |A mathbb C |=r Jaką częścią okręgu jest łuk CAB? c) r = 4 , alpha = 135 degrees; P 4; P 1; P 3; P 3
4.73. Punkty P 6 ,P 7; P 8 , P 9 należą do okręgu i dzielą okrąg w danej kolejności na dziewięć P 1; P 2; P 3; P 4 prime P 5 tuków równej długości. Oblicz: a) | triangleleft P 6 P 3 P 5 b) |
4.72. Dany jest okrąg o środku w punkcie O i promieniu r. Oblicz długość łuku, na którym jest oparty kąt środkowy a w tym okręgu, jeśli: , alpha = 72 degrees d) r = 28 , alpha = 30 degrees a) r = 15 b) r = 10 e) r = 13 , alpha = 216 degrees , alpha = 270 degrees
4.71. Oblicz miarę kąta środkowego, opartego na tuku okręgu o promieniu r, jeśli długość tego łuku jest równa d. a) r = 2 , d = pi , d = 3pi d) r = 5 b) r r = 3 e) r = 6 , d = 2pi , d d = 6 c) r r = 4 , d = 5pi f) r = 8 , d = 40
4.70. Dany jest okrąg o środku w punkcie O. Korzystając z danych na rysunku, oblicz alpha . a) b) c) 80 120 ^ 3; alpha; bullet C; 2x+140^ prime 100
4.69. Dany jest okręg o środku w punkcie O. Korzystając z danych na rysunku, wyznacz miary kątów trójkąta ABC. a) b) 30 degrees 70 30 degrees D B B
4.68. Dany jest okrąg o środku w punkcie O i prosta k styczna do tego okręgu. Korzystając z danych na rysunku, wyznacz miarę kąta d. a b) 45
4.67. Dany wyznacz miarę kąta a. a) 214 degrees; 33 degrees jest okrąg o środku w punkcie O. Korzystając z danych na rysunku, b) a 18 degrees; 95 degrees; 56 degrees
4.66. Odległość między środkami dwóch okręgów jest równa 9, a promienie tych okręgów są równe: 5 – a oraz Wyznacz wszystkie wartości a, dla których oba najmniej jeden punkt wspólny. 2a. okręgi mają co Kota i kąty
4.65. Dane są dwa okręgi o (A, 3) oraz o(B, m – 4) . Odległość między ich środkami jest równa 7. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których te okręgi mają: a) jeden punkt wspólny b) dwa punkty wspólne.
4.64. Dane są dwa okręgi o(A,r 1 ),o(B,r 2 ) takie, że: a) r 1 =2 , r 2 =3 , |AB| = k b) r 1 =k , r 2 =k-1,|AB|=5 c) r 1 =3 , r 2 =2k , |AB| = 4 d) r 1 =5-k , r 2 =k+1 , |AB| = 2 . Określ położenie okręgów w zależności od wartości parametru k.
4.63. Dane do mniejszego okręgu, a jej długość jest równa 30 cm. są gów wiedząc, że różnią się o 9 cm.
4.62. Dwa okręgi o(A,r 1 )io(B,r 2 ) są styczne zewnętrznie do siebie i oba są stycz ne wewnętrznie do okręgu o(C,r 3 ) Obwód trójkąta ABC wynosi 25 cm. Oblicz . r 3 dwa okręgi współśrodkowe. Cięciwa większego okręgu jest styczna Oblicz promienie tych okrę
4.61. Trzy okręgi o promieniu r są styczne zewnętrznie, każdy do dwóch pozosta tych. Wyznacz długości boków i miary kątów trójkąta, utworzonego przez punkty styczności.
4.60. Wyznacz promienie okręgów wiedząc że, gdyby te okręgi były styczne wnętrznie, to odległość między ich środkami byłaby były styczne wewnętrznie, to odległość między ich środkami byłaby równa 3 Wyznacz promienie tych okręgów. równa 15 cm; a gdyby te olveg ich środkami wyno że jeśli odległość ich środkami jest
4.59. Dwa okręgi są styczne wewnętrznie. Odległość między równa 3 cm. Wyznacz promienie tych okręgów, jeśli: a) jeden z nich jest dwa razy krótszy od drugiego, b) suma długości promieni jest równa 17 cm.
4.58. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość między si 12 cm. Wyznacz promienie tych okręgów, wiedząc, że: a) jeden z nich jest o 2 cm dłuższy od drugiego, b) jeden z nich jest trzy razy krótszy od drugiego.
4.57. Określ wzajemne położenie okręgów o (A,r 1 )io(B,r 2 ) , jeśli |AB| = 8 oraz: a) r 1 =1 , r 2 =9 c) r 1 = sqrt 5 ,r 2 =3 sqrt 5 e) r 1 = sqrt 8 . , r 2 =11 b) r 1 =3,; r 2 =5 d) r 1 =5; r 2 =13 f) r 1 =4- sqrt 5 , r 2 =4+ sqrt 2
4.56. Dany jest okrąg o promieniu r i prosta, której odległość od środka okręgu jest równa d. Zbadaj położenie prostej k i okręgu o w zależności od a. a) r = 4 , d = a – 3 , d d = 6 + a c) r = – a b) r = o d) r , d = 8 – a , d = sigma + 1; r = a – 1 Wzajemne położenie dwóch okręgów
4.55. Do danego okręgu poprowadzono styczną tak, że końce A, B średnicy tego okręgu są odległe od stycznej o 25 cm i o 15 cm. Oblicz promień tego okręgu.
4.54. Z punktu A poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku O i promieniu r. Półprosta mathcal AO ^ -* przecina okrąg w dwóch punktach punktu Q od poprowadzonych stycznych jest dwa razy większa niż odległość punk r= 1 2 |AP|.; P|Q Wykaż, tu P od tych stycznych, to
4.53. Z punktu A poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku O i promieniu w punkcie P. Oblicz odległość 3 cm. Odcinek AO ma długość 9 cm i przecina okrąg punktu P od tych stycznych. b) r r = pi , d = 9 ^ 0.5 d) r = log2 8 , d = 3 prostej k. B D E A B
4.52. Miara kąta utworzonego przez dwa promienie okręgu jest równa a. Pod jakim kątem widać ten okrąg z punktu przecięcia stycznych do okręgu, poprowa dzonych z końców tych promieni, jeśli: a) alpha = 45 degrees b) alpha = 60 degrees c) alpha = 100 degrees d) alpha = 141 degrees ?
4.51. Okrąg na rysunku obok jest styczny do wszystkich boków trójkąta ABC, w którym |AC| = |BC| , odpowiednio w punk Wiedząc, że |AB| = 15cr oraz |BC|=19,5 cm, tach D, E, F. oblicz długość odcinka FC.
4.50. Proste AE, AD i BC sa styczne do okręgu. Wiedząc, że AD|=17 cm oblicz obwód trój kąta ABC.
4.49. Wskaż na rysunku obok trzy pary odcinków równej długości wiedząc, że proste AC, EC, BD są styczne do okrę gu odpowiednio w punktach A, E, F.
4.48. Dany jest promień r okręgu o i odległość d środka okręgu o od Ustal położenie prostej k oraz okręgu o. a) r = 3 c) , r = 7 , d = 2sqrt(3); d = sqrt(4 ^ 2 + 3 ^ 2)
4.47. Wyraź w procentach (z dokładnością do 1%), jaką część okręgu stanowi tuk okręgu o promieniu r, jeśli długość łuku jest równa d. a) r = 3 cm , d= pi cm c) f= pi cm.d= pi^ 2 cm e) r = sqrt(3) * d * m, d = sqrt(12pi) dm b) r r = 5 cm , d = 20 cm d) r r = 0, 25pi * d * m , d = 6 cm f) r = 0, 4m, d = sqrt(5) * pi dm |AD| = 1 oraz | |DB| = 4
4.46. Cięciwa CD okręgu jest prostopadła do średnicy AB i przecina ją w punk cie P w stosunku . Wiedząc, że odległość punktu P od środka okręgu jest równa 9/1 4 cm, oblicz: a) długość okręgu b) długość cięciwy CD.
4.45. Cięciwa CD okręgu jest równoległa do średnicy AB, a odległość między nimi jest równa 5 cm. Wiedząc że różnica długości tych cięciw jest równa 2 cm, oblicz długość tego okręgu.
4.43. O oblicz odległość tej cięciwy od środka okręgu. , Promień okręgu jest równy 17 cm. Oblicz długość cięciwy tego okręgu, która znajduje się w odległości 8 cm od środka okręgu.
4.42. W kole poprowadzono średnicę AB i cięciwę AC. Wiedząc, że BC i|BC| = 7 cm , oblicz odległość cięciwy AC od środka koła: BC perp AC dcinek AB jest cięciwą okręgu o promieniu 25 cm. Wiedząc, że |AB| = 48 cm
4.41. Naszkicuj okrąg i zaznacz na nim punkty A, a) lle cięciw i ile tuków wyznaczają te punkty? Wskaż te cięciwy i łuki. B i C. b) lle cięciw i ile tuków wyznaczają cztery punkty położone na okręgu?
4.40. W trójkącie ABC, w którym ciężkości S i spodek D wysokości CD. |<\ ACB|=90^; |BD|=6,; sqrt 3 . Da) Wykaż, że jeśli |AD| = 3 oraz a jego długość jest równa oraz |AC| < |BC| zaznaczono środek to odcinek DS jest równoległy do boku AC, b) Czy odcinek DS byłby równoległy do boku AC, gdyby Odpowiedź uzasadnij. Okrąg. Położenie prostej i okręgu
4.39. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona na przeciwprostokątną odcinki, których długości pozostają w stosunku 9/16 . Wiedząc, że ob dzieli ją na wód trójkąta jest równy 30 cm, oblicz długości przyprostokątnych.
4.38. Najkrótsza wysokość trójkąta prostokątnego jest równa 8 cm, a najdłuższa wynosi 13 1 3 cm Oblicz obwód tego trójkąta.
4.37. W trójkącie równoramiennym boki mają długość: 18 cm, 15 cm, 15 cm. a) Oblicz odległości środka wysokości poprowadzonej na podstawę od boków tego trójkąta. b) Jaka jest odległość spodka tej wysokości od ramion trójkąta?
4.36. Podstawy trapezu mają długość 4 cm i 12 cm, a jego przekątne mają długość 10 cm oraz 8 cm. Oblicz długości odcinków, na jakie punkt przecięcia przekątnych dzieli te przekątne.
4.35. Boki trapezu ABCD, AB||DC, mają długość: |AB|=21 cm,|BC|=8 cm,; |DC| = 14 cm, |AD| = 5 cm . Proste AD i BC przecinają się w punkcie P. Oblicz ob wód trójkąta ABP.
4.34. Boki trójkąta ABC mają długość: |BC|=a,|AC|=b,|AB|=c. Trójkąt A 4 1 B 1 C 1 jest podobny do trójkąta ABC, a jego boki mają odpowiednio długość: |B 1 C 1 |=a+4; |A 1 C 1 |=b+6,|A 1 B 1 |=c+8 . a) Wykaż, że a / b / c = 2/3 / 4 . b) Wiedząc dodatkowo, że obwód trójkąta ABC jest równy podobieństwa trójkąta A 1 B 1 C 1 do trójkąta ABC. 27 cm, oblicz skalę
4.32. Boki trójkąta ABC mają długość: 8 cm, 10 cm, 12 cm. Trójkąt A 1 B 1 C 1 jest podobny do trójkąta ABC w skali 1/3 Oblicz obwód trójkąta A,B,C, A 1 B 1 C 1 4.33. Trójkąt A 1 B 1 C 1 jest podobny do trójkąta ABC obwód trójkąta ABC jest mniejszy od obwodu trójkąta A 1 B 3 C 3 ? w skali 1,25. O ile procent
4.31. Trójkąt ABC jest równoboczny, a jego bok ma długość należy do boku AC oraz |AD| = 1 punkt P. Wykaż, że jeśli CP|=1 , to a, a > 1 . Punkt D . Na przedłużeniu boku BC poza punkt C leży trójkąt DBP jest równoramienny.
4.30. W trójkącie ABC poprowadzono środkową AD. Wykaż, że jeśli suma miar kątów DAC i ACB jest równa mierze kąta ADC, to trójkąt DBP jest równoramienny Oblicz odległość środka D
4.29. W trójkącie ABC poprowadzono środkową AD. Punkt E jest środkiem od przecina bok AB w punkcie P. Wykaż, że CE^; |PB|=2|AP|. cinka AD. Półprosta D
4.28. Oblicz długości środkowych trójkąta, którego boki mają długość: 16 cm, 17 cm, 17 cm. D
4.27. Boki trójkąta mają długość: 9 cm, 12 cm, 15 cm. ciężkości tego trójkąta: a) od dwóch jego krótszych boków, b) od wierzchołków tego trójkąta.
4.26. Oblicz długości odcinków, na jakie środek ciężkości tego trójkąta poprowadzoną na podstawę, jeśli: a) trójkąt jest równoboczny, a jego obwód jest równy 18, 3/4 trójkąta dzieli środkową b) trójkąt jest prostokątny równoramienny, a jego ramiona mają długość 3.
4.25. W Oblicz: trójkącie ABC boki mają długość: a) wysokość CD tego trójkąta, b) długość środkowej AE, c) długość odcinka DE. |AB| = 18 cm, |BC| = |AC| = 15 cm .
4.24. Boki trójkąta mają długość 21 cm, 17 cm, 10 cm. a) Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. b) Oblicz długości trzech wysokości tego trójkąta.
4.23. Stosunek długości krótszych boków trójkąta prostokątnego jest równy Wiedząc, że obwód tego trójkąta wynosi 36 cm, oblicz: a) długości boków tego trójkąta, b) długość środkowej trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.
4.22. Boki trójkąta mają długość: 20 cm, 16 cm, 12 cm. Da) Wykaż, że trójkąt jest prostokątny. b) Oblicz sumę długości wszystkich wysokości tego trójkąta.
4.21. Kąty a, B, y trójkąta różnią się kolejno o 30°. że trójkąt jest prostokątny. b) Oblicz obwód tego trójkąta wiedząc, że różnica długości najdłuższego i najkrót szego boku tego sca po przecinku. trójkąta jest równa 4 cm. Wynik zaokrąglij do pierwszego miej D a) Wykaż,
4.20. W trójkącie prostokątnym równoramiennym najkrótsza wysokość ma dłu gość 2 cm. a) Oblicz długości boków tego trójkąta. c) Punkt M należy do przeciwprostokątnej tego trójkąta i dzieli ją w stosunku 1/3 . Oblicz odległości punktu M od przyprostokątnych.
4.19. Wysokość trójkąta równobocznego jest o 2 krótsza od boku. a) Oblicz długość boku tego trójkąta. Wynik przedstaw w postaci a + b * sqrt(c); b,c in N. . x + 7 68 B B , gdzie a, b) Jaki obwód ma trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków danego trójkąta?
4.18. Punkt D leży na przedłużeniu bo ku AB trójkąta ABC poza punkt B. Z punk tu D poprowadzono prostą prostopad ta do boku AC, która przecięła bok BC w punkcie E. Wykaż, że jeśli |BD| = |BE| to trójkąt ABC jest równoramienny
4.17. W trójkącie równoramien nym ABC kąt ACB jest równy 68 degrees Na prostej AB zaznaczono punk ty Di Ew taki sposób, że |DA| = |AC| oraz |BC| = |BE| Ob licz kąty trójkąta CDE. D
4.16. Punkty D, E, F dzielą bok AC trójkąta ABC na cztery odcinki równej długości. Przez punkty D, E, F poprowadzono odcinki równolegle do boku AB, których drugi koniec należy do boku BC. Wiedząc, że najkrótszy z tych odcinków jest krótszy od kolej nego odcinka o 7 cm, oblicz długość boku AB i dłu gości równoległych odcinków.
4.15. Długości boków trójkąta ABC pozostają w stosunku 2/3 / 4 . Środki boków tego trójkąta wyznaczają trójkąt, którego obwód jest równy 13,5 cm. Oblicz długości boków trójkąta ABC. B
4.14. Na podstawie danych na rysunku poniżej, oblicz długość podstawy AB trój kąta ABC. a) b) 6 3
4.13. Dwa boki trójkąta mają długość 4 i 9. Długość c trzeciego boku wyraża się liczbą pierwszą. a) Oblicz c. Podaj wszystkie możliwe rozwiązania. Db) Wyka dot z i że dla każdej liczby c, znalezionej w punkcie a) trójkąt jest rozwartokątny.
4.12. Wyznacz wszystkie liczby mających długość: a) sigma, 4, 8 – a; a, a > 0 b) a, a +, a + a.a+3; a + 6 , dla których istnieje trójkąt o bokach c) 2a, 7, 11 – a
4.11. Czy na rysunku poniżej proste a i b są równolegle? Odpowiedź uzasadnij. a) b) 7.5 2y 3x 22
4.10. Proste A B i A 1 B 1 przecinają się w punkcie równoległymi AA 3 , BB 1 iCC 1 – jak na ry sunku obok. O. Proste te przecięto prostymi Oblicz: a) |CC 1 | , jeśli |C 1 O|=4 cm,|OA|=3 cm,; |AA 1 |=2 cm; C 1 b) |oc 1 | jeśli OA 1 |=1,8 dm; AC 1 |=11,2 dm,|oC|=5,4 dm c) OB, jeśli |CC 1 |=4 dm,|BB 1 |=56 cm,|C 1 B|=12 dm , jeśli |AA 1 |=2 cm,|BB 1 |=5 cm,|A 1 B 1 |=4,5 cm,|CC 1 |=4 cm . d) CA 1 |
4.9. Na rysunkach poniżej proste a i b są równoległe. Oblicz x. a) b 6 c) d) b 12 6 6 10 10 e) 8 f) 7,5 12 15 20
4.8. Korzystając z danych na rysunku poniżej wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem. a) D 64 b) D 65″ 128 degrees A 76 63 degrees; 102^ prime B
4.7. Wykaż, że w dowolnym trapezie dwusieczne kątów przy tym samym ramieniu są do siebie prostopadłe. D
4.6. Dany jest kąt ostry BAC, | angle BAC|=39^ , oraz punkt P, leżący na zewnątrz te kąta. Z punktu P poprowadzono dwie proste: jedną równoległą do ramienia a drugą prostopadłą do ramienia AC. Oblicz miarę kąta ostrego przecięcia się ty prostych. 75 137 degrees t rójką
4.5. Dany jest trójkąt ABC oraz prosta k, równoległa do podstawy AB i przecho dząca przez wierzchołek C. Na podstawie danych na rysunku poniżej, wyznacz kąty trójkąta ABC. a) b) 35 670 B B 1289
4.4. Na rysunku obok zaznaczone są kąty zewnętrzne trójkąta a, beta, y. Wiedząc że alpha + gamma = 217 degrees oblicz B.
4.3. W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i B. Kąt rozwarty prze cięcia się tych dwusiecznych jest równy 137 ^ c . Ob licz miarę kąta ACB.
4.2. Punkt O jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów CAB i ABC w cie ABC. Wyznacz miarę kąta wklęsłego AOB, jeśli: a) |
4.1. Wyznacz miary dwóch kątów przyległych, jeśli jeden z nich jest cztery razy większy od drugiego.
30. Wykaż, że nierówność 2x ^ 2 + (k + 3) * x + 8 > 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x tylko wtedy, gdy k in(-11,5)
29. Wykaż, że równanie 2x ^ 2 – (k + 1) * x + 2 = 0 ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy k epsilon(- infty,-5) cup langle3,+ infty) D
28. Wykaż, że jeśli a a – 2b = 3 , to o a^ 2 +b^ 2 >= 9 5 . D
27. Wykaż, że jeśli zbiór wartości funkcji kwadratowej y = – x ^ 2 + 2kx – 3 jest prze działem (- infty,1 rangle , to lub k = 2; k = – 2 D
26. Wykaż, że jeśli wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji y = – 1/2 * x ^ 2 + 2bx – 8 znajduje się w układzie współrzędnych pod osią OX, to b in(-2,2) D
25. Drut długości 2 m t rzeba ka kwadratowa, a z w stosunku 2/3 . Jaką długość powinien mieć każdy z tych kawałków drutu, aby suma pól kwadratu podzielić na dwa kawałki: z jednego powstanie ram drugiego ramka prostokątna, której długości boków pozostają i prostokąta była najmniejsza? D
24. W m ałym zakładzie krawieckim są szyte koszulki, które sprzedaje się do hur towni po 86 zł za sztukę. Związek między kosztem produkcji K(x), a liczbą x uszytych koszulek w ciągu dnia wyraża wzór k(x) = 4x ^ 2 – 2x + 84 maksymalnie 18 koszulek. . Zakład może uszyć dziennie a) Oblicz, ile co najmniej koszulek dziennie powinien szyć ten zakład, aby osiągnął zysk z ich sprzedaży. b) Oblicz, ile koszulek dziennie powinien szyć ten zakład, aby jego dzienny zysk był największy. Jaka jest wartość największego dziennego zysku?
23. Długości przekątnych rombu wyrażają się liczbami pierwszymi, różniącymi się o 2. Wiedząc, że pole tego rombu jest mniejsze od 17 1/2 oblicz jego obwód.
22. Na spotkaniu towarzyskim każdy uczestnik spotkania przywitał się z każdym z pozostałych uczestników uściskiem dłoni. Ile co najmniej osób brało udział w tym spotkaniu, jeżeli wymieniono więcej niż 45 uścisków dłoni?
21. Suma cyfr liczby trzycyfrowej wynosi 8, zaś suma kwadratów jej cyfr jest równa 30. Jeśli w liczbie zamienimy cyfry skrajne, to otrzymana liczba będzie o 396 większa od początkowej. Wyznacz tę liczbę trzycyfrową.
20. Ojciec i córka mają razem 100 równy 1029. Ile lat ma obecnie ojciec, a ile córka? lat. 15 lat temu a, b, c iloczyn liczby lat córki i ojc a ne0; y = 2x ^ 2 – 4x + 5
19. Funkcja kwadratowa f(x) = a * x ^ 2 + bx + c ujemne wtedy i tylko funkcji f jest równa 1. a) Podaj równanie osi symetrii wykresu funkcji f. . c) Napisz w postaci ogólnej wzór funkcji g, której wykres otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji f o 3 jednostki w lewo i 4 jednostki do góry. b) Oblicz
18. Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca cina oś OY w punkcie o rzędnej – 1 1/2 funkcja f przyjmuje wartości zerowe: -3 1.^ prime Wykres funkcji f prze a) Wyznacz wzór funkcji f w postaci iloczynowej. b) Podaj maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f. c) Jakie miejsca zerowe ma funkcja y=f(-x)+1 1 2 ? , gdzie , przyjmuje wartości wtedy, gd Y x in(- infty,-6) cup(-2,+ infty) Największa wartość
17. Wykresem funkcji chołek ma współrzędne ( (- 1, 0) . kwadratowej f(x) = a * x ^ 2 – 6x + c a) Oblicz a i c. jest parabola, której wierz b) Podaj zbiór wartości funkcji, opisanej wzorem y = 8 – f(x) . c) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których większe, niż funkcja g(x) = – 2x – 2 .
16. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f(x) = – 0, 5x ^ 2 + x + 4 . a) Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f. c) Rozwiąż graficznie równanie f(x) = x + 2 .
15. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej y p w rzedziale langle-2,3 rangle
14. Rozwiąż nierówność: a) 7 – 2 * (x – 2) ^ 2 >= 5x c) 3x * (3x – 4) < 4(4 - 3x) b) 2x ^ 2 + 9 <= 6sqrt(2) * x; y * (x - (x ^ 2 - 2x)/3)/2 < x + 2; x + 2 d
13. Rozwiąż równania: a) – 2 * (x + 10) ^ 2 = 0 c) (2x ^ 2 – 3)(2x ^ 2 + 3) = 5x ^ 2 b) (x(x – 1))/2 = (x + 3)/5 d) (x ^ 2 – 3x) ^ 2 = 4(x ^ 2 – 3x) a we
12. Jedynym miejscem zerowym funkcji kwadratowej f(x) = a * x ^ 2 + bx + c jest liczba 2, a do wykresu tej funkcji należy punkt P(- 1, 18) f jest równy: . Zatem współczynnik wzorze funkcji A . – 1/2 B. 2 C.-2 D . 1/2 Zadania powtórzeniowe do rozdziału 3.
11. Wyróżnik funkcji kresu tej funkcji wynoszą (-1,4). Wskaż miejsca zerowe tej funkcji. kwadratowej jest równy 16, a współrzędne wierzchołka wy B. 1i – 3 C. 113 D. 1i – 4 A. 114
10. Wykres funkcji y = – x ^ 2 – 5x przesunięto równolegle wzdłuż osi OX o 2 jed nostki w prawo i otrzymano wykres funkcji f. Zatem funkcję f opisuje wzór: A. f(x) = – x ^ 2 – x + 6 c. f(x) = – x ^ 2 – 9x – 14 B. f(x) = – x ^ 2 – x – 14 D. f(x) = – x ^ 2 – x – 4
9. Średnia arytmetyczna miejsc zerowych funkcji kwadratowej y = 2x ^ 2 + bx + c; (10,+ infty) . Zatem: jest równa 1, a zbiorem wartości tej funkcji jest przedział A. b + c = 8 B. b b + c = – 8 C. b + c = 16; D.b+c=-16
8. B. -36 C.-30 D. -12 Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe: sqrt(2) oraz – 2sqrt(2) . Wówczas iloraz (f(1))/(f(2)) jest równy: 1/2 – 3sqrt(2) B. (sqrt(2))/4; (3sqrt(2))/4 D. 1/2 – 3/4 * sqrt(2)
7. Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej y = 3(x – 2) * (x + 6) jest równa: A.-48
6. Suma miejsc zerowych funkcji y = (x – 1) ^ 2 – 16 jest równa: A. 2 B. 8 C.-2 langle-2,3 rangle D.-8 jest prosta N M
5. Wskaż zbiór rozwiązań nierówności (3 – x)(x + 2) >= x + 2 . A . (- infty,2) B. ( (- 2, 2); c.(-2,+ infty) D.
4. Wykres funkcji y = 9 – 2 * (x + 1) ^ 2 przecina oś OY w punkcie o rzędnej: A. 11 B. 10 C. 7 D. 2
3. Funkcja kwadratowa y = – 2x * (x – 8) jest rosnąca w przedziale: A. (4,+ infty) B. (- infty,8) C. ( (- infty,4) D. (8,+ infty)
2. Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej o równaniu: A. x = 6 B. y = – 6 C . x = 1, 5 D. (0, – 3); y = – 1/4 * x ^ 2 + 3x – 8 D. y = 6
1. Wykresem funkcji kwadratowej y = 2x ^ 2 – 3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych: A. (2, – 3) B. (- 3, 0) C. (1, – 3)
3.173. Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 30, a suma kwadratów dłu gości wszystkich boków trójkąta wynosi 338. Wyznacz wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną.
3.172. W kwadrat ABCD o boku 7 cm wpi sano kwadrat MNPR tak, że punkty M, N P, R należą odpowiednio do boków AB, BC, DC oraz AD. Wiedząc, jest równe 25 cm ^ 2 oblicz długości odcinków, na jakie punkty M, N, P, R podzieliły boki że pole kwadratu MNPR kwadratu ABCD.
3.171. Przez działkę w kształcie prostoką ta o ścieżka przebiegać w sposób pokazany na rysunku. Po wierzchnia ścieżki może stanowić co najwyżej 9,75% całej powierzchni działki. Jaką najwięk szą wartość może przyjąć x? wymiarach 20m * 40 m ma 2x przekątnych jest mniejsza x = q zapytana, ile ma lat, odpowiedziała: ,,Jeżeli całkowitą liczbę 2x
3.170. Ile jest wielokątów wypukłych, od potrojonej liczby jego boków? w których liczba
3.168. Proste o równaniach y = 1/2 * x + a + 1 * o! oraz x = a , gdzie a jest liczbą rzeczywistą dodatnią, przecinają się w punkcie M i wraz z osiami układu współrzędnych ograniczają trapez pro stokątny (zobacz rysunek obok). y = 1/2 * x + a + 1 Napisz wzór funkcji P – określającej pole tego trapezu w zależności od gdzie a in(0,+ infty) b) Wyznacz liczbę a, dla której pole tra pezu jest równe 3. a 1 a a) c) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których pole trapezu jest większe od 24 i jednocześnie nie większe od 51. 3.169. Wyznacz wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne o sumie cyfr równej 9, które spełniają warunek: iloczyn liczby i jej cyfry jedności jest większy od 144.
3.167. Jak dobrać wymiary prostokąta, aby jego pole było nie mniejsze niż 5 nie większe niż 12, a długości boków były liczbami Podaj wszystkie możliwości. o 4? naturalnymi, różniącymi się M
3.166. Pewna osoba moich lat pomnożymy przez liczbę o 50 mniejszą i do otrzymanego iloczynu doda my 624, to otrzymamy liczbę ujemną”. Czy na tej podstawie można ustalić, ile lat ma ta osoba?
3.165. Kupiec ma dwie beczki wina dwóch różnych szczepów. Stosunek liczby – trów wina z pierwszej beczki do liczby litrów wina z drugiej beczki jest równy 3:2 Litr wina z pierwszej beczki kosztuje tyle złotych, ile jest równe 25% liczby litow wina, znajdującego się w drugiej beczce. Litr wina z drugiej beczki jest o 10 zł szy od litra wina z pierwszej beczki. Wiedząc, że łączna wartość win w obu becz jest równa 4800 zł, oblicz: a) ile litrów wina jest w każdej beczce cene jednego litra każdego b) z tych win.
3.164. Drut długości 64 cm podzielono na dwa kawałki. Z jednego konano kwadratową ramkę, a z drugiego ramkę prostokątną, której kawałka wy stosunek dlu gości boków jest równy 3: 1. Oblicz długości kawałków drutu, wiedząc, że suma powierzchni wyznaczonych przez obie ramki wynosi 112 cm ^ 2 .
3.163. W pewnym prostokącie jeden z boków skrócono, a drugi wydłużono tak, że pole prostokąta zmniejszyło się o 9%. Oblicz p.
3.162. Park miejski ma kształt rombu, którego obwód wynosi 2 km. alejki spacerowe wyznaczone są przez przekątne rombu, a jedna z nich jest dłuższa od drugiej. Oblicz długość tych alejek.
3.161. Prostokątny obraz bez ramy ma wymiary 82 cm * 36 cm zajmuje powierzchnię 3567 cm ^ 2 . Oblicz, jaką szerokość ma rama tego obrazu. wraz z ramą Dwie główne o 200 m o p% 3.
3.160. Robotnik przeciął blachę w kształcie trójkąta prostokątnego wzdłuż wyso kości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną, dzieląc ją na dwa trójkąty prostokątne. Wspólna przyprostokątna powstałych trójkątów ma długość 1, 2m zaś drugie przyprostokątne różnią nię kawałków blach po rozcięciu. się o 70 cm. Oblicz powierzch , a
3.159. Na jednym z osiedli mieszkaniowych znajduje się rabata k wiatowa w kształ cie trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne różnią się o 7 m. Powierzchnia rabaty wynosi . lle metrów płotka potrzeba na ogrodzenie tej rabaty? 30m ^ 2
3.158. Do turnieju siatkówki zgłosiły się reprezentacje klas pierwszych pewnego liceum. Klasy rozegrały każda z każdą po jednym meczu. Wszystkich meczów roze grano 10. lle klas brało udział w tym turnieju?
3.157. Na płaszczyźnie zaznaczono n punktów, z których dowolne trzy współliniowe. Następnie połączono te punkty odcinkami. Ile jest tych wyznaczyły one 15 odcinków?
3.156. lle boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest o 117 większa od liczby jego boków?
3.155. W trzycyfrowej liczbie naturalnej cyfra setek jest taka sama jak cyfra jed ności, zaś cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności. Jeżeli tę liczbę zmniej szymy o kwadrat sumy jej cyfr, to otrzymamy 105. Wyznacz tę liczbę trzycyfrową.
3.154. Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej jest równa 5. Jeśli tę liczbę pomno żymy przez liczbę dwucyfrową o takich samych cyfrach, ale zapisanych w odwrotnej kolejności, to otrzymamy 736. Wyznacz tę liczbę.
3.152. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystych wynosi 155. Wy znacz te liczby. W liczbie trzycyfrowej cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry setek, zaś cyfra jedności o 1 mniejsza od cyfry dziesiątek. Kwadrat cyfry dziesiątek jest równy sumie kwadratów pozostałych cyfr. Wyznacz tę liczbę.
3.151. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb znacz te liczby. parzystych jest równa 308. Wy
3.150. Suma te liczby. prowadzące do równań kwadratów dwóch liczb różniących się o 4 jest równa 400. Wyznacz
3.149. Wy znacz wszystkie wartości parametru m, m in R , dla których dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych, jeśli: a)
3.148. Wyznacz wszystkie wartości m, danego przedziału liczbowego, jeśli: b) f(x) = sqrt(4x – 2x ^ 2) d) f(x) = sqrt(- 4x ^ 2 + 4x – 1) f) f(x) = (2x ^ 2 – 3)/(sqrt(25x ^ 2 – 40x + 16)); m in R , dla których liczba x należy d
3.147. Wyznacz dziedzinę funkcji f określonej wzorem: a) f(x) = sqrt(2x ^ 2 + x + 8) c) f(x) = sqrt(3x ^ 2 + 9x – 12) e) f(x) = (5x + 7)/(sqrt(4 – (x + 1) ^ 2))
3.146. Dane są zbiory: kwadratowa g(x) = x ^ 2 + 3x przyj ; B=\ x:x in Z^ x^ 2 -7x+4>=3x^ 2 -5x\ . A=\ x:x in R^ x^ 2 <=4x\ Wyznacz zbiory: A,B,A cup B,A cap B .
3.145. Wyznacz zbiory A, , B,A cap B; A cup B oraz , jeśli: A – zbiór tych argumentów, dla których funkcja kwadratowa f(x) = x ^ 2 – 6x + 5 przyjmuje wartości nieujemne B- zbiór tych argumentów, dla których funkcja wartości większe od 4. B – A muje
3.144. Dana jest nierówność kwadratowa ( (2x – 3)(6x + 5a) <= 0 z niewiadomą x. Wyznacz liczbę d, dla której jedynym rozwiązaniem nierówności jest liczba 1 1/2
3.143. Dana jest nierówność kwadratowa ( (5a – 4x)(x – 1) >= 0 z niewiadomą x. Wyznacz liczbę a, dla której zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział
3.142. Dana jest nierówność kwadratowa (3x – 4)(2x + a) < 0 z niewiado mą x. Wyznacz liczbę a, dla której zbiorem rozwiązań tej nierówności (1 1/3, 4) jest prze dział langle-3,1)
3.141. Podaj przykład nierówności kwadratowej: a) sprzecznej b) której zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów (- infty,-1) cup(4,+ infty) c) której zbiorem rozwiązań jest zbiór R d) której zbiór rozwiązań jest jednoelementowy e) której zbiorem rozwiązań jest przedział liczbowy (2, 7) f) której zbiorem rozwiązań jest zbiór R-\ -5\ .
3.140. Rozwiąż graficznie nierówność: a) x ^ 2 – 6x + 9 <= - x + 5 d) x - 8 < x ^ 2 + x - 6 b - x ^ 2 - 1 < - x - 3 c) (2 - x)(x + 3) <= 0; 25x ^ 2 > 4(5x – 1) f) b) (2 – 8x)(x + 1) > (1 – 4x)(x + 2) d) (2 – 6x)(3x + 9) >= x ^ 2 – 9 f) (2x – 3) ^ 2 < (x - 1, 5) ^ 2 b) - 2x ^ 2 + 5(x + 1) < 2(x + 2) - 3x * (x - 1) d) 8(x - 2) - x(x - 2) >= – 16 f) 1 – 2x * (x – 3) < x(5 - 4x) b) (2x - 3) ^ 2 > (x + 2) ^ 2 d) (2x – 1)(5x + 3) + 13 <= (3x - 1) ^ 2 + x f) 2(x - 4) * (x + 4) > 3x * (2x + 3) c) x ^ 2 + 2x – 3 >= – 2x – 3 e) x ^ 2 + 2x – 3 <= 1/5 * (x - 1) ^ 2 1) 1/9 * x * (6 - x) < (x - 3) ^ 2 + 1
3.139. Rozwiąż nierówność: a) b) ((x – 1) ^ 2 – 2)/5 – (x + 3)/2 > ((x + 2) ^ 2 – 43)/10; ((x + 3)(2x – 1) – (x + 2) ^ 2)/3 <= (x - 1)/2 - (3x + 2)/3; x- x^ 2 -4 2 >– 4 2 + 1 6; x^ 2 -2x+3 3 – x^ 2 +4 24 <- (x-1)^ 2 - x-4 2 c) d)
3.138. Rozwiąż nierówność: a) (3 – 2x)(2x + 3) > 1 – 2x * (x + 3) c) x ^ 2 + 6x + 9 >= (2x – 1) ^ 2 e) (- x – 5)(5 + x) + 9x <= 2 * (x - 1) ^ 2
3.137. Rozwiąż nierówność: a) x(x + 6) <= 3(4x - 3) c) 2x * (x - 2) - 7 > – 4(x + 3) e) 9(1 – x) >= x ^ 2 – 10x + 3
3.136. Rozwiąż nierówność: a) (x – 3)(2x + 5) <= (2x - 6)(2x - 1) c) (3 - 5x)(2x + 1) < (2x + 1)(3x + 2) e) (x + 5) ^ 2 >= (2x + 10) ^ 2
3.135. Rozwiąż nierówność: a) 8x – 1 > 16x ^ 2 d) (2x – 5) ^ 2 <= 0 b) 2x ^ 2 + 4 >= 3z e) – – 1 < - (1 - x) ^ 2
3.134. Rozwiąż nierówność: 1/2 * x ^ 2 – x >= 1 d) (5x + 1) ^ 2 + 4 < 0 b) (2x - 1) ^ 2 > 16 e) 9x ^ 2 + 4(3x + 1) > 0 c) 28x >= 4x ^ 2 + 49 f) x – 7 >= 5x ^ 2 c) 9 + 25x ^ 2 <= 30x f) 9 - (2x - 1) ^ 2 >= 0
3.133. Rozwiąż nierówność: a) – 4x ^ 2 < 1; x ^ 2 < 2 - x d) b) - 2x * (5 - x) <= 0 e) 3x ^ 2 + 1 > 2, 5x
3.132. Rozwiąż nierówność: a) (x – 3) ^ 2 – 4 > 0 d) x(x + 6) >= 6x – 8 b) 4x ^ 2 – 2x > 5x ^ 2 c ) – 3x ^ 2 + 2x >= 0 f ) x ^ 2 > x c) x < 6x ^ 2 f) (5 - x)(x + 2) >= 0 c) ( (1 + x)(3 – 2x) <= 0 e) x ^ 2 - 3(x - 3) < 9 - 3x f) 4x * (x - 1) <= - 1
3.131. Rozwiąż nierówność: a) – 3(x – 2) * (x + 4) > 0 b) 9x ^ 2 + 1 > 6x d) (2x – 1)(2x – 1) >= 0 e) x ^ 2 + 4 > x
3.130. Rozwiąż nierówność: a) 2x ^ 2 + 1 > 0 d) x ^ 2 – 25 > 0 b) (x ^ 2)/4 <= 0 e)- - x ^ 2 - 4 > 0
3.129. Rozwiąż równanie: a) (x ^ 2 – 4) ^ 2 = 9(x ^ 2 – 4) c) (x ^ 2 + 2x) ^ 2 + 9 = 6x ^ 2 + 12x e) (x ^ 2 – x) ^ 2 = 20x ^ 2 – 20x b) (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 3 + x ^ 2 – 5x ^ 4 d) (x ^ 2 – x + 3)(x ^ 2 + 2x) = x(6 + x ^ 2) f) 3(x ^ 4 + 3) = (x ^ 2 – 1) ^ 2 + 12x ^ 2 b) (x ^ 2 + 6)(7 – x ^ 2) – 36 = x ^ 4 + 12x ^ 2 d) (x ^ 2 – 1) ^ 2 – 4(x ^ 2 – 1) + 4 = 0 f) (x ^ 2 – 1) ^ 2 – (9x ^ 2 – 4) = 5 – 7x ^ 2 . b) (x ^ 2 + 3) ^ 2 – 5(x ^ 2 + 3) + 4 = 0 d) (x ^ 2 – 8x) ^ 2 + 5 = 2(x ^ 2 – 8x) f) (x ^ 2 + 3x – 1) ^ 2 + 7(x ^ 2 + 3x – 1) = – 12 Nierówności kwadratowe
3.128. Rozwiąż równanie: x ^ 4 – 18x ^ 2 = (x ^ 2 – 9)(2x ^ 2 + 3) + 23 c) (2x ^ 2 – 1) ^ 2 – (2x ^ 2 + 3) ^ 2 = x ^ 4 + 56 e) (2x ^ 2 + 3)(2x ^ 2 – 3) + 10 = 5x ^ 4
3.127. Rozwiąż równanie: a) 4x ^ 2 * (x ^ 2 – 2) – 2 = 5(x – 1) * (x + 1) c) x ^ 2 * (2x – 1) * (2x + 1) = 2 – x ^ 2 * (x ^ 2 + 10) e) (x ^ 2 – 3) ^ 2 – 24 = 2x ^ 4 – 14x ^ 2
3.126. Rozwiąż równanie: a) x ^ 4 = 5x ^ 2 – 4 d) x ^ 4 – 25x ^ 2 = 0 b) x ^ 4 – 10x ^ 2 + 25 = 0; 4x ^ 4 + 9 = 37x ^ 2 e) b) x ^ 4 + 5x ^ 2 = 14 e) x ^ 2 * (x ^ 2 + 8) + 15 = 0 c) x ^ 4 = 3 – 2x ^ 2 f) x ^ 4 + 2x ^ 2 = 24 . c) x ^ 4 – 25x ^ 2 + 144 = 0 f) 4x ^ 4 + 3(3x ^ 2 – 1) = – 2x .
3.125. Rozwiąż równanie: a) x ^ 4 = 16x ^ 2 d) x ^ 4 + 12x ^ 2 + 35 = 0
3.124. Rozwiąż graficznie równanie: a) x ^ 2 + x = 6; 1/2 * x ^ 2 + 2 = – 1/2 * (x – 2) ^ 2 + 4 b) 15x^ 2 +(a^ 2 +2a-2)x=6;- 2 2 b) x = (2 – x) ^ 2 d) x ^ 2 + 5x + 6 = 4 1/4 – (x + 2 1/2) ^ 2 Równania prowadzące do równań kwadratowych
3.123. Rozwiązaniem danego równania z niewiadomą x jest liczba podana obok tego równania. Oblicz a. a a) 5+(a^ 2 -18)x+6x^ 2 =0;2 1 2
3.122. Rozwiąż równanie: a) ((x – 2)(2 – x))/2 – (x ^ 2 – 3x)/4 = – 2 + 3x – x ^ 2 1 ((3 – x)(x + 3))/3 – ((x + 2) ^ 2 – 4)/6 = (5 1/3 – x)/2; ((2x – 3)(x + 1))/5 – ((x – 1)(x + 1))/2 = x + 3; ((3x – 1) ^ 2 – 4)/3 – 10/3 * x ^ 2 – (5 + (2 – x)(x + 2))/2 = – x – 7 d ) b) c)
3.121. Rozwiąż równanie: a) (2x + 5) ^ 2 – x(x + 20) = 0 c) 8x * (7 – 3x) + 1 = 4(2 – x) * (x + 2) b) x(4 – x) = (2x + 3)(x – 2) + 8 d) (4 – x) ^ 2 – (2 + x) ^ 2 = x ^ 2 + 12 e) ( (2x – 1)(2x + 1) + 2 = 9x – 5x * (x + 3) f) (x – 6)(6 + x) = (4x + 3) ^ 2 – (2 – x) ^ 2
3.120. Rozwiąż równanie: a) 8x – 2x * (3x – 1) = 2x ^ 2 + 3 c) (2x – 4)(2x + 4) = (3x – 1) ^ 2 – 16 e) (x ^ 2 – 3x + 1)(x + 2) = x ^ 3 – 2x – 1 b) x ^ 2 – 5x + 9 = 63 – (x – 3)(x + 3) d) 6 – (1 – x) ^ 2 = (2x – 3) ^ 2 – (3x + 2) ^ 2 f) (2x – 3)(3x + 5) = (3 – 2x)(x + 3)
3.119. Rozwiąż równanie: a) (2x – 3)(2x + 3) = (x + 5) ^ 2 – 9 b) 2x * (x – 3) – (x + 1)(x + 2) = (2x – 3) ^ 2 c) (2x – 1) ^ 2 – (4x + 1)(4x – 1) = 4x * (1 – 2x) d) (2x + 1) ^ 2 – 9 * (x – 1) ^ 2 = 4 – x e) (x – 1) ^ 2 + 2 * (x – 3) ^ 2 = 18 – 10x f) (2x + 5) ^ 2 – (2x – 5) ^ 2 = 3x ^ 2 + 41x – 4
3.118. Rozwiąż równanie: a) x ^ 2 – (3x – 1) ^ 2 = 56x – 43 c) (- 2x – 1)(1 + 2x) = 8 c) 4x – x ^ 2 = 7 ) (2x + 3) ^ 2 = 8x + 8 b) 5x * (x + 2) – 3x = 0 d) (x + 1) ^ 2 – 100 = 0 f) x(x – 2) = x + 2 b) (x + 1) ^ 2 = (x + 1) d) x(2x – 1) = (1 – 2x)(1 + 2x) f) (2x + 1)(2x + 1) = 4 b) ( (3x – 1)(3x + 1) = 10x ^ 2 + 3 d) (2x – 7) ^ 2 = (4x – 1) ^ 2 f) ( (2x – 1) ^ 2 – 3x ^ 2 = 6(x – 4) b) 11 – 14x = (2x + 1) ^ 2 d) 2x ^ 2 + 11x + 21 = (- x + 5)(5 + x) e) (2x – 3)(x + 1) = 1 + (x + 2)(3x – 2) f) (3x – 1) ^ 2 – (2x – 3) ^ 2 + 2(x + 6) = x ^ 2
3.117. Rozwiąż równanie: a) (x + 1)(2x – 3) + (x + 1) * x = 0 c) (5x + 1) ^ 2 = (7x – 2) ^ 2 e) ( (3x – 1)(4x – 3) = (3x – 1)(2x – 1)
3.116. Rozwiąż równanie: a) x(x + 5) = x + 5 c) x ^ 2 = (4 – x)(x + 4) e) 81 – (3x + 7) ^ 2 = 0
3.115. Rozwiąż równanie: a) (2x + 6)(5 – x) = 0 c) x(x – 1) + 3(x – 1) = 0 e) 4 – (x + 3) ^ 2 = 0
3.114. Rozwiąż równanie: a) 3x ^ 2 + 5x = 2 d) 6(x ^ 2 + 2) = 4(3 – x) b) 5x = 2x ^ 2 + 3 e) 5x ^ 2 = 2 – 9x f
3.113. Rozwiąż równanie: a) 2x ^ 2 + 5x – 12 = 0 d) 2(x ^ 2 + 4) = – 3x b) 4x ^ 2 – 7x = 0 e) 3x ^ 2 – 6 = 0 b) 1 – 4x ^ 2 = 0 e) 2 * (x + 1) ^ 2 = 18 b) 3x ^ 2 – 7x = 20 e) 49x ^ 2 = 4x c) 3x ^ 2 + 8 = 0 f) (x+: )(x – 7 ()=0; 1/2 * (x ^ 2 + 2) = 7 f) (x – 13) ^ 2 + 1 = 0 c) 9x ^ 2 = 12x – 4 f) 16x ^ 2 + 25 = 40x
3.112. Rozwiąż równanie: a) 81x ^ 2 = 25 d) (x – 3) ^ 2 = 25
3.111. Rozwiąż równanie: a) (x + 2) ^ 2 = 0 d) 4x ^ 2 – 12x + 9 = 0
3.110. Drut długości 2 m trzeba podzielić na dwa kawałki: z jednego powstanie kwadratowa ramka, a z drugiego ramka prostokątna, której długości boków pozo stają w stosunku 1/3 . Jaką długość powinien mieć każdy aby suma pól kwadratu i prostokąta była najmniejsza? z tych kawałków drutu, Równania kwadratowe
3.109. Hotel ma 60 pokoi. Opłata za dobę hotelową w każdym pokoju wynosi 320 zł. Właściciel hotelu 30 pokoi. Wówczas dobowa opłata za każdy wynajęty udziela specjalnej zniżki firmom rezerwującym więcej niż pokój jest niższa o 4 złote pomnożone przez liczbę pokoi, które firma rezerwuje ponad liczbę 30. a) Jaka liczba rezerwowanych przez daną szy przychód na dobę? firmę pokoi dawałaby hotelowi najwięk b) Przy jakiej liczbie wynajętych pokoi właściciel hotelu osiągnie największy zysk, je śli uwzględni koszt sprzątania i obsługi każdego pokoju, równy 24 złote za dobę?
3.108. Firma ma 180 lokali użytkowych i zajmuje się wynajmem tych lokali na działalność usługową. Obecnie wszystkie lokale są wynajęte, a miesięczna opła ta za wynajem każdego lokalu wynosi 1200 zł. Firma postanowiła zoptymalizować swój miesięczny zysk i wprowadzić podwyżkę. W tym celu oszacowano, że każda podwyżka ceny o 40 zł spowoduje zmniejszenie o 5 liczby wynajmowanych pomiesz czeń. Jaką miesięczną cenę wynajmu każdego lokalu powinna ustalić ta firma, aby jej zysk był największy? lle w ynosi ten największy miesięczny zysk?
3.107. Właściciel sklepu kupuje aparaty fotograficzne, płacąc produce wi 1200 zł za sztukę. Następnie sprzedaje miesięcznie 40 sztuk takich aparato założymy, że mar serweta obrus M po 1800 zł za sztukę. Sprzedawca oszacował, że każda obniżka ceny aparatu o 10 21 w jego sklepie zwiększy liczbę sprzedanych aparatów o jedną sztukę. Jaką powinien ustalić cenę, aby jego miesięczny zysk był największy?
3.106. Na bokach kwadratu o polu 16 cm ^ 2 * z za zaznacza my punkty K, L,M, N tak, że |AK|=|DL|=|CM|=|BN| , jak na rysunku obok. Oznacz literą x długość odcinków AK, DL, CM oraz BN. Napisz wzór funkcji pola czworokąta KLMN w zależności od x. Określ dziedzinę tej funkcji. b) Jak należy wybrać punkty K, L, M, N, aby czworokąta KLMN było najmniejsze? pole
3.105. Z kawałka płótna w kształcie trójkąta rów noramiennego o podstawie 4 m i wysokości opusz czonej na tę podstawę równej 3 m hafciarka chce wyciąć prostokątny obrus w sposób przedstawiony na rysunku obok. Jakie sa, aby jego powierzchnia była największa? powinny być wymiary obru
3.104. Z kawałka płótna w kształcie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 2 mi1,5 m hafciarka chce wy ciąć prostokątną serwetkę w sposób przedstawiony na rysun ku obok. Jakie powinny być wymiary serwetki, aby jej pole było największe?
3.103. Strona książki ma obwód 68 cm. Oblicz, jakie wymiary powinna mieć strona tej książki, aby zapewnić maksymalną powierzchnię druku, jeśli ginesy boczne i dolny będą jednocentymetrowe, zaś margines górny – dwu
3.102. Gospodarz chce siatką o długości 12 m wygrodzić na podwórku prostokątny wybieg dla psa, przylegający jednym bokiem do budynku. Jakie wymiary powinien mieć ten wybieg, aby jego pole powierzchni było największe? Oblicz powierzchnię tego największego wybiegu. Strona książki ma obwód 68 cm. Oblicz, jakie wymiary powinna mieć strona tej książki, aby zapewnić maksymalną powierzchnię druku, jeśli ginesy boczne i dolny będą jednocentymetrowe, zaś margines górny – dwu
3.101. Właściciel gospodarstwa agroturystycznego chce wygrodzić w ogrodzie prostokątny plac zabaw dla dzieci. Dysponuje płotem długości 84 m, placu ma być możliwie największa. Wyznacz wymiary tego placu zabaw i oblicz jego powierzchnię (w arach). a powierzchnia
3.100. Suma długości podstawy trójkąta i wysokości opuszczonej na tę pod stawę wynosi 30 cm. Wyznacz długość podstawy tak, aby pole trójkąta było największe.
3.99. Z prostokątnego arkusza tektury o wymiarach 20 cm * 30 cm odcięto w ro gach kwadraty, których boki mają długość x cm. Następnie po zagięciu powstałych brzegów zbudowano prostopadłościenne (otwarte) pudełko, jak na rysunku poniżej. wzór funkcji opisującej a) Wyznacz pole powierzchni bocznej tego pu dełka w zależności od długości boku wyciętego kwadratu; podaj dziedzi nę tej funkcji. b) Dla jakiej długości x pole powierzch ni bocznej pudełka jest największe z możliwych? Oblicz to pole.
3.98. Krótszy bok prostokąta o wymiarach 5 cm * 8 cm zwiększamy o x cm, a dłuższy bok zmniejszamy o x cm. a) Wyznacz wzór funkcji opisującej pole nowego prostokąta w zależności od x; podaj dziedzinę tej funkcji. b) Dla jakiej długości x pole otrzymanego prostokąta jest największe? Oblicz to pole.
3.97. Większa część uczniów klasy liczącej 31 osób zachorowała na grypę. Zdrowi uczniowie postanowili wysłać chorym kolegom kartki z pozdrowieniami. Wiedząc, że każdy zdrowy uczeń wysłał do każdego chorego kolegi kartkę, oraz że liczba wysłanych kartek była największa z możliwych, oblicz ilu uczniów zachorowało na grypę.
3.96. Liczbę 18 przedstaw w sześcianów była najmniejsza. p ostaci sumy dwóch takich składników, aby suma ich
3.95. Liczbę 30 przedstaw w postaci różnicy takich dwóch liczb, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.
3.94. Liczbę 100 przedstaw w postaci sumy takich dwóch liczb, których suma kwadratów jest najmniejsza.
3.93. Rzucono kamień z prędkością początkową 10 m/s pionowo do góry. Wyso kość s[m] , jaką osiągnie kamień po t sekundach, określona jest w przybliżeniu funkcją S(t) = 10t – 5t ^ 2 . Jaką maksymalną wysokość osiągnie ten kamień?
3.92. Pewne ciało w czasie t [s] przebyło drogę S[m] , którą opisuje w s(t) = t ^ 2 + 5t + 8 , gdzie t in langle1,5 rangle . Oblicz: a) długość drogi przebytej przez to ciało w ciągu czterech sekund b) średnią prędkość ciała.
3.91. Funkcja f(x) = (- x ^ 2 + 6x + 21)/2 opisuje wydajność pracy robotnika w zależno y = g(x) 8 x[m] ści od czasu pracy x, w ciągu 8-godzinnego dnia pracy. Robotnik rozpoczyna prac o godzinie . O której godzinie jego wydajność jest największa? 7 ^ 00
3.90. Tor lotu piłki przedstawiony na rysun ku obok, opisuje wzór: h(x) = – 0, 25x ^ 2 + 2x , gdzie x in(0,8) Na jaką maksymalną wyso kość wzniosła się piłka? Ay [m]
3.89. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że w przedziale langle-5,-3 rangle funkcja f przyjmuje największą wartość, równą 3 oraz f(x)>0 iff x in R-\ -2\ . Badanie funkcji kwadratowej – zadania optymalizacyjne
3.88. Największa wartość funkcji kwadratowej f w przedziale langle-5,-4 rangle jest rów na-14. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że maksy malny przedział, w którym funkcja jest malejąca to (-1,+ infty) oraz f(1)=-4.
3.87. Największa wartość funkcji kwadratowej f w przedziale ( langle-3,0 rangle jest równa 4, a najmniejsza wartość w tym przedziale jest równa 1. Wyznacz wzór tej funkcji w postaci ogólnej wiedząc, że maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca, to (- infty,-2) .
3.86. Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 2, a największa war tość funkcji f w przedziale langle10,12 rangle jest równa 10. Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej wiedząc, że jej wykres jest symetryczny względem p rostej o równaniu x
3.85. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że funk cja f ma tylko jedno miejsce zerowe, f(2) = f(10) oraz największa wartość funkcji w przedziale ( langle8,9 rangle jest równa -2. x = 5
3.84. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że jej miej scami zerowymi są liczby 1i – 3 jest równa -8. , a najmniejsza wartość funkcji f w przedziale langle-2,0 rangle
3.83. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że jej zbio rem wartości jest przedział (- infty,6 rangle , największa wartość funkcji f w przedziale langle-7,-5) jest równa 4, a osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu . x + 3 = 0 Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że jej miej scami zerowymi są liczby 1i – 3 jest równa -8. , a najmniejsza wartość funkcji f w przedziale langle-2,0 rangle
3.82. wtedy i tylko wtedy, gdy x in(-2,4), a największa war rzedziale langle3,6 rangle jest równa 4.
3.81. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że w prze dziale langle1,2 rangle funkcja f przyjmuje największą wartość równą 5, a jej wykresem jest parabola o wierzchołku W(3, 2) . Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że funkcja f przyjmuje wartości ujemne tość funkcji f w p
3.80. Funkcja kwadratowa f ma następujące własności: f(- 3) = 0 oraz . f(- 1) = f(5) = 3 a) Czy funkcja kwadratowa ma wartość najmniejszą, czy największą? Dla jakiego argumentu ta wartość jest przyjmowana? b) Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale ( langle5,7 rangle .
3.79. Funkcja kwadratowa f opisana jest wzorem f(x) = – 3x ^ 2 – 12x + 96 a) Czy funkcja f ma wartość najmniejszą, czy największą? lle ta wartość wynosi i dla jakiego argumentu jest przyjmowana? b) Bez obliczania wartości funkcji uzasadnij, że f(sqrt(3)) < f(- sqrt(3)) c) Oblicz największą oraz najmniejszą wartość tej funkcji w przedziale langle-4,-3 rangle
3.78. Nie szkicując wykresu wartość funkcji f w podanym przedziale, jeśli: a) f(x)=- 1 3 x^ 2 +2,x in langle0,3 rangle funkcji kwadratowej, oblicz najmniejszą i największą b) f(x)=- 3 4 (x-1)^ 2 +5,x in langle 1 2 ,2 rangle d) f(x)= sqrt 3 (x-2)(x+8),x in langle-2,1 rangle c) f(x)= 2 3 x^ 2 +4x+5,x in langle-2,-1 rangle e) f(x)= 1 4 (x-5)(x+5),x in langle-1, sqrt 2 rangle f) f(x)= 1 5 (x-4)^ 2 +9,x in langle 1 2 ,1 rangle .
3.77. Naszkicuj wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu najmniejszą oraz najwięk wartość funkcji f w podanym przedziale, jeśli: a) f f(x) = – x ^ 2 + 2x + 5
3.76. Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej czytaj z wykresu najmniejszą oraz największą wartość funkcji f w podanym przedziale. a) langle1,4 rangle b) langle3,4 rangle 2 1 6 3-2- 11 3 4 5 y = f(x); [ matrix 0&1&2&3&4\\ -1&2&3&4 matrix -8-7-6-5-4-3-2-1 -2-1 y = f(x); f(x) = a * x ^ 2 + bx funkcji, wy c) langle-4,-2 rangle d) (0, 3) I2X 10 2 3 y dot y =f(x); y=|f(x)
3.75. Funkcja kwadratowa f(x) = a * x ^ 2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe 2 oraz 3, Wyznacz wartości współczynników a, b, wiedząc, że ich suma jest równa – 4. Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym f. Od
3.74. Średnia arytmetyczna miejsc zerowych funkcji kwadratowej a ne0 jest równa 3. Rzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem nosi 36. Wyznacz wartości współczynników a i b.
3.73. Funkcja kwadratowa f , dla argumentu 3 przyjmu je najmniejszą wartość, równą 8. Wyznacz wartości współczynników a i b. p = g – x; (s/v * I – iz) * v; saIyAM*(Z9I^ prime infty-); soiyAM*( infty+^ prime Z-); g = x; ( infty+^ prime epsilon t-); (8^ prime 9-); *\ z-\ -y Rightarrow x Leftrightarrow0<(x)f; 06 = A; tz = A; ne nu^ prime Z I ZI+xq+ z xD=(x); ( infty+9) cap langle0^ prime infty-) ni x lambda pg; yhm e*( alpha+ v epsilon g - )
3.72. Funkcja kwadratowa f przyjmuje wartości nie większe od 18 wtedy i tylko wtedy, Wyznacz wzór tej funkcji w postaci ogólnej wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji należy do prostej o równaniu
3.71. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej wiedząc, że suma jej miejsc zerowych jest równa 3, zbiorem wartości funkcji f jest przedział tej funkcji przecina oś OY w punkcie o rzędnej -6.
3.70. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej wiedząc, że prosta o przecina wykres tej funkcji w punktach o odciętych -5 oraz -1, zaś największa wartość tej funkcji jest równa 98. równaniu
3.69. Punkt A należy do wykresu tej funkcji kwadratowej f. Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej wiedząc, że
3.68. Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba a najmniejsza wartość tej funkcji jest równa -144,5. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w po staci ogólnej wiedząc, że maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca to ( 4,
3.67. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział funkcji f przecina oś OY w punkcie B(0, 90), a osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu . Napisz wzór funkcji f w postaci ogólnej.
3.66. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział funkcji f przecina oś OY w punkcie o rzędnej 30. Napisz wzór tej funkcji w postaci ogólnej wiedząc, że suma jej miejsc zerowych jest równa 16.
3.65. Funkcja kwadratowa f ma tylko jedno miejsce zerowe. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że prosta o równaniu symetrii wykresu tej funkcji, a punkt jest osią należy do tego wykresu.
3.64. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że dla gumentu 3 funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość, równą – zerowych tej funkcji jest liczba 1. jednym z mic j+xq+ epsilon x E I =(x)f; *(8)f=(v-),; 3+xq+ z x nabla I -=(x)f; (I^ prime infty – ); 9+xq+ z x Z I -=(x)f; ^ prime SZ-=( epsilon-)faz; ( infty+^ prime I); J+xq+ 2 * Z^ – =(x); 3+xq+ z x epsilon=(x)f; z-=x; (z-^ prime 8-) Rightarrow x; (ZL^ prime I) forall; ( infty+^ prime epsilon) cap(z^ -^ prime infty-) ni x lambda p8; infty-; *( infty+* z-); e^ prime Z
3.63. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że do wykres tej funkcji należy punkt P(-1, 1), zbiorem wartości funkcji f jest przedział ( a maksymalny przedział, w którym funkcja f jest malejąca, to ,
3.62. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej jeśli wiadomo, cja ta przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, a do jej wykresu należy punkt A że funk Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że do wykres tej funkcji należy punkt P(-1, 1), zbiorem wartości funkcji f jest przedział ( a maksymalny przedział, w którym funkcja f jest malejąca, to
3.61. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że przyjmuje ona wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy , a największa wartość tej funkcji jest równa 2
3.60. Osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu tość funkcji f jest równa -4, oblicz współczynniki bic. . Wiedząc, że najmniejsza war
3.59. Funkcja kwadratowa . Wiedząc, jest rosnąca oblicz współczynniki bic. w przedziale ma jedno miejsce zerowe, a jej wykres przecina oś OY w punkcie P(0,-8). Wyznacz wartości współczynników bic.
3.58. Funkcja kwadratowa f i malejąca w przedziale
3.57. Wyznacz współczynniki bic we wzorze funkcji kwadratowej wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby 9
3.56. Wyznacz współczynniki bic we wzorze funkcji kwadratowej wiedząc, że funkcja f ma tylko jedno miejsce zerowe oraz oraz -6. f
3.55. Dana jest d) 4) jeśli x in(- infty,-4) funkcja f(x)=\ – 1 2 x^ 2 -2x+1 jeśli x in(-4,2); 1 5 x^ 2 – 4 5 x-4 1 5 , jeśli x in(2,+ infty) a) Naszkicuj wykres funkcji f. b) Podaj zbiór wartości tej funkcji. c) Podaj przedziały monotoniczności funkcji f. d) Określ znak iloczynu: f(- 2pi) * f * (sqrt(2) + 1) 56 Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie jej własności
3.54. Naszkicuj wykres funkcji fi omów jej własności, jeśli: a) b) c) f(x)= 3 4 x+2 1 4 ,\\ x^ 2 -6x+8; f(x)=\ matrix -x+1,jesiii x in(-3\\ – 1 4 x^ 2 +2x-4,jes]\\ -4,iesiii x in(8,+o matrix; f(x)= x^ 2 +4x+5,jasin x in(-0,0)\\ x^ 2 -6x+S,jesih x in(0,+x) jeśli x in(- infty,1 rangle , jeśli x in(1,+ infty); x in(- infty,2); x in langle2,8 rangle; x in(8,+ infty); – x ^ 2 – 10x – 21; f(x)=\ – 3 4 x,jesh x in\ -0,…\\ jesh x in\ -4,0\ matrix 0,75x² x ^ 2 – 3x jeśli x in langle0,+ infty); -x-3,
3.53. Dana jest funkcja f(x)=[ matrix -2x^ 2 – mathfrak g x-6,;esil(x=(-c,0)\\ -E j [esiix in[0,+x) matrix ] a) Naszkicuj wykres funkcji f. b) Podaj zbiór wartości funkcji f. c) Oblicz wartość funkcji f dla argumentu -4. d) Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości nieujemne?
3.52. Naszkicuj wykres funkcji stawie: f(x)=[x^ 2 -2x,jetiix in(-x,3)\\ -x-6,ieih x in langle3,+x) matrix ] a) wyznacz przedziały, w których funkcja f jest malejąca b) podaj miejsca zerowe tej funkcji c) odczytaj zbiór, w którym funkcja przyjmuje wartości ujemne. a 0 i na jego pod
3.51. Ustal znaki współczynników a, b, c we wzorze funkcji kwadrato wej f(x) = a * x ^ 2 + bx + c współrzędnych.. układzie , na podstawie szkicu wykresu tej funkcji w b) c)
3.50. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji kwadrato wych fig. Następnie rozwiąż graficznie nierówność, podaną obok wzorów tych funkcji. a) f(x) = – x ^ 2 – 4x , g(x) = x ^ 2 + 2x + 4 , g(x) >= f(x) b) f(x) = – 1/4 * x ^ 2 – x – 2, g(x) = x ^ 2 + 4x + 3 , f(x) < g(x) c) f(x) = x ^ 2 - 3x - 4; g(x) = x ^ 2 + 3x - 4 , f(x) >= g(x)
3.49. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykres funkcji kwadrato wej f i wykres funkcji liniowej g. Następnie rozwiąż graficznie nierówność, podaną obok wzorów funkcji i g. a) f(x) = – x ^ 2 – 6x – 9; g(x) = x + 1 , f(x) >= g(x) b) f(x) = 1/2 * x ^ 2 + 2x + 3; g(x) = – 2x – 3 , f(x) > g(x) c) f(x) = 1/4 * x ^ 2 – 3/2 * x + 3 1/4, g(x) = 3/4 * x + 1 1/4, f(x); f(x) < g(x)
3.48. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji fi g. Na stępnie rozwiąż graficznie równanie f(x) = g(x) . a) f(x) = (x + 2) ², g(x) = 1 b) f(x) = – (x – 1) ^ 2 – 1, g(x) = – 5 c) f(x) = 1/2 * (x – 4) * (x + 2), g(x) = – x – 2 d) f(x) = – 1/4 * x ^ 2 + x, g(x) = x – 1
3.47. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej f i omów jej własności, jeśli: a) f(x) = 2(x – 1) * (x + 1) c) f(x) = 1/4 * x ^ 2 + x + 1 e) f(x) = 1/2 * (x + 1) ^ 2 – 2 b) f(x) = – (x – 1) * (x – 5) d) f(x) = – 1/2 * (x + 1) ^ 2 + 4, 5 f) f(x) = – 2x * (x – 2) .
3.46. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej f i omów własności tej funkcji poprzez odpowiedzi na następujące pytania: 1) Jaka jest dziedzina funkcji? 2) Jaki jest zbiór wartości funkcji ? 3) Czy funkcja f ma miejsce zerowe? Jeśli tak, to jakie? 4) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne? 5) W jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w j akich malejąca? 6) Czy funkcja przyjmuje wartość największą, czy najmniejszą? Jeśli tak, to dla ja kiego argumentu? a) f(x) = x ^ 2 + 1 b) f(x) = – 1/2 * x ^ 2 + 2 d) f(x) = 1/2 * x ^ 2 – 3x + 2 1/2 e) f(x) = – x ^ 2 + 2x – 2 c) f(x) = 3x ^ 2 – 6x; f(x) = – x ^ 2 – 6x – 9
3.45. Wykaż, że jeślia fli alpha in R-\ 1\ ma dwa miejsca zerowe, z których jedno jest równe -1. , to funkcja kwadratowa f(x) = (a – 1) * x ^ 2 + 2ax + a + 1 Szkicowanie wykresów funkcji kwadratowych. Odczytywanie własności funkcji kwadratowej na podstawie wykresu
3.44. Wykaż, że jeśli suma wszystkich współczynników we wzorze funkcji f(x) = a * x ^ 2 + bx + c jest równa zeru, to funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe. D
3.43. Wykaż, że dla dowolnej liczby różnej od 0 i dowolnej liczby rzeczywistej funkcja kwadratowa f(x) = a * x ^ 2 + (a + c) * x + cma co najmniej jedno miejsce zerow
3.42. Na podstawie danych punktów wyróżnionych na wykresie funkcji kwadra towej f, wyznacz wzór tej funkcji w postaci iloczynowej. Następnie podaj jej wzór w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej. a) 2 AY b) A(- 3, 1) y y = f(x) 1 2 1 A[1, 1 3/5] -3 -2 1 0 2 X y = f(x) 0 3 4 c) d) P 1 1 y = f(x) 2 2 -2 -1 0 -1 3 X A(1, – 1 1/3) 2 3 4 X y = f(x); A * (- 2, – 2) ^ – 2 3 D
3.41. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Sprowadź wzór tej funkcji do postaci iloczynowej, o ile istnieje. a) f(x) = (x – 1) ^ 2 – 4; f(x) = – 9 * (x + 2) ^ 2 + 36; f(x) = 2 * (x – 3) ^ 2 + 4 b) f(x) = – 1 * (x + 3) ^ 2 + 9 c) f(x) = 4 * (x – 5) ^ 2 – 16; f(x) = – 1/2 * (x + 7) ^ 2 – 1
3.40. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej. Podaj wzór funkcji f w postaci kanonicznej. a) f(x) = (x – 1)(x + 5) c) f(x) = 2 * (x – sqrt(6)) ^ 2 e) f(x) = 3/5 * (x – 1) * (x + 5) b) f(x) = 2sqrt(3) * x * (x + 4) d) f(x) = – 1/2 * (x + 6) * (x – 6) f) f(x) = – 2/3 * (x – 3) * (x – 4)
3.39. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej. Oblicz współ rzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f. a) f( c) (x) = – 5(x – 6) * (x + 4); f(x) = 4x * (x + 10) b) d) f(x) = 1/2 * (x – 8) * (x + 8); f(x) = – 1/3 * (x – 9) * (x – 3) )
3.38. Zapisz wzór funkcji kwadratowej f w p a) c) f(x) = 1/2 * x ^ 2 + 6x + 10; f(x) = – 2x ^ 2 + 3x – 7; f(x) = 1/8 * x ^ 2 – x + 2 d) f) a=-3 x 1 =-2; x 2 =0; a=- 1 3 x 1 =4,; x 2 =8; a= 2 3 x 1 =1- sqrt 2; x 2 =1+ sqrt 2 , ostaci iloczynowej, o ile istnieje. f(x) = 2/5 * x ^ 2 – 1, 6x; f(x) = – 4x ^ 2 + 40x – 36; f(x) = 5/7 * x ^ 2 – 2 6/7 * x – 15
3.37. Dany jest współczynnik a i miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Zapisz wzór tej funkcji w postaci iloczynowej. a= sqrt 2 x 1 =-4,x 2 = pm 2 2 a) a a= 1 3 x 0 =7; a=7 x 0 =-2 e) b)
3.36. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej. Podaj wzór tej funkcji w postaci ogólnej. a) e) f(x) = – 1/4 * (x – 2) * (x + 10); f(x) = 3/5 * (x + 5) ^ 2; f(x) = – 2(x – sqrt(3)) * (x + sqrt(3)) b) d) f) f(x) = 8x * (x – 12); f(x) = – 5(x + 3) * (x – 8); f(x) = – (x – 4) * (x – 4)
3.35. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w i wyznacz miejsca zerowe tej funkcji, o ile istnieją. a) d) f(x) = – x ^ 2 + 5x – 4; f(x) = 3x ^ 2 + 7x + 4 b) e) f(x) = 2x – 3x ^ 2; f(x) = 0, 5x ^ 2 – 6x + 8 postaci ogólnej. Oblicz wyróżnik c) f) f(x) = – 4x ^ 2 – 1; f(x) = 2x ^ 2 – 10x + 3
3.34. b) e) y = – 2x ^ 2 – 6x – 7; y = – 2x ^ 2 – sqrt(3) * x – 1 c) f) y = 9x ^ 2 + 12x + 4; y = 9x ^ 2 + x – 16 Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej. Oblicz wyróżnik i wy znacz miejsca zerowe tej funkcji, o ile istnieją. a) d) y = – 2x ^ 2 – 8x + 10; y = x ^ 2 + 2x + 6 b) y = 3x ^ 2 + 2x – 1; y = 1/4 * x ^ 2 + 3/2 * x – 4 c) f) y = – 1/2 * x ^ 2 – 4x – 8; y = – 2/3 * x ^ 2 – 4/3 * x + 2
3.33. Oceń na podstawie wartości wyróżnika, ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa: a) d) y = – 3x ^ 2 + 9x + 1; y = 2sqrt(2) * x ^ 2 – 4x + sqrt(2)
3.32. Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej f, o ile istnieją, jeśli: a) f(x) = 9x ^ 2 + 6x + 1 d) f f(x) = – (x + 1) ^ 2 – 9 b) f(x) = 3/4 * x ^ 2 – 3x; f(x) = 1/2 * x ^ 2 + 8x + 32 c) ) f(x) = (5x – 4) ^ 2; f(x) = 3/4 * x ^ 2 – 3x + 3
3.31. Dany jest wzór funkcji kwadratowej. Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji, o ile istnieją. a) d) y = 4x ^ 2 – 8x; y = x ^ 2 + 10x + 25 b) e) y = 20 – 4x ^ 2; y = 4/5 * x ^ 2 + 5; y = 1/2 * x ^ 2 + 12x; y = – x ^ 2 + 2x – 1 f)
3.30. Podaj miejsca zerowe funkcji: a) y = (x + 2)(x – 7) d) y y = (x – 8)(x * sqrt(3) + sqrt(6)) b) e) y = 3(2x – 8) * x; y = (2 – 2x)(x – 3) c) f) c) f(x) = 3 * (x – 7) ^ 2 – 27; f(x) = – 2 – 2x ^ 2; y = – 4 * (x + 5) ^ 2; y = 3 * (4 – x + sqrt(2)) ^ 2
3.29. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Wyznacz miej sca zerowe tej funkcji, o ile istnieją. a) d) f(x) = 1/2 * (x + 5) ^ 2 – 8; f(x) = 100x ^ 2 – 25 b) e) f(x) = – 3/4 * x ^ 2 + 1; f(x) = (x + 4) ^ 2
3.28. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Wyznacz miej sca zerowe tej funkcji, o ile istnieją. a) f(x) = – 1/2 * x ^ 2 + 4 b) f(x) = 2 * (x – 3) ^ 2 d) f(x) = (x + 2) ^ 2 – 36 e) f(x) = (x – 1) ^ 2 + 5 c) f(x) = 9x ^ 2 – 81 f) f(x) = – 2 * (x + 1) ^ 2 + 8
3.27. Dany jest wzór funkcji kwadratowej y = a * (x – p) ^ 2 + q , a ne0 stawie wartości a i q, liczbę miejsc zerowych tej funkcji. a) y = 3 * (x – 1) ^ 2 + 4 d) y = 1/4 * (x – 4) ^ 2 + 1 b) y = – 1/2 * (x + 3) ^ 2 + 5 e) y = – (x + 5) ^ 2 . Podaj, na pod c) y = (x + 8) ^ 2 – 2 f) y = – 2 * (x + 1) ^ 2 – 6
3.26. lle jest takich funkcji kwadratowych, których zbiorem wartości jest przedział (-4,+ infty) wyróżnik jest równy 16, a wykres przecina oś OY w punkcie a) Podaj wzory tych funkcji w postaci kanonicznej. b) Naszkicuj wykresy tych funkcji w jednym układzie współrzędnych. c) Podaj A(0, 5) równanie prostej względem której wykresy tych funkcji są symetryczne. Miejsce zerowe funkcji kwadratowej. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej
3.25. Podaj maksymalne przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej f nie szkicując jej wykresu. a) f(x) = 2/3 * x ^ 2 – 4x – 4 c) f(x) = 3/4 * x ^ 2 – 9x b) f(x) = – 1/4 * x ^ 2 + 5x – 25 d) f f(x) = – 4/5 * x ^ 2 – 12x + 19
3.24. Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej f nie szkicując jej wykresu. a) f(x) = 1/2 * x ^ 2 – 10x + 50 c) f(x) = – 1/3 * x ^ 2 + 2x + 3 b) f(x) = – 8x ^ 2 + 7 d) f(x)= 1 4 x^ 2 – 1 2 ,
3.23. Doprowadź wzór funkcji kwadratowej f do postaci kanonicznej. Podaj współ rzędne punktu przecięcia paraboli będącej wykresem funkcji f z osią OY i współ rzędne punktu A, symetrycznego do niego względem osi symetrii tej paraboli. Naszkicuj wykres funkcji f. a) f(x) = x ^ 2 – 6x + 5 c) f(x) = 2x ^ 2 – 8x + 5 e) f(x) = – 2x ^ 2 – 6x b) f(x) = – 1/2 * x ^ 2 – 4x – 7 4) f(x) = – 1/3 * x ^ 2 + 8/3 * x – 6 f) f(x) = 1/4 * x ^ 2 + 2x + 1
3.22. Oblicz współczynnik a we wzorze punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY. a) f(x)=a(x+2)^ 2 -7,; Delta = – 84 c) f (x) = a * (x – 3) ^ 2 + 5, Delta = – 10 e) f(x) = a * (- 5 – x) ^ 2 – 1, Delta = 4/5 c) Delta = 120 f) , mathcal N (0,-5); Delta = – 1, W(3/10, 1/20) funkcji kwadratowej f oraz współrzędne b) f(x)=ax^ 2 – sqrt 3 . , Delta = 24 d) f(x) = a * (4 – x) ^ 2 – 2, Delta = – 8 f) f(x) = a * (- x – 1) ^ 2 – 8; Delta = 128
3.21. Dany jest wyróżnik funkcji kwadratowej y = a * x ^ 2 + bx + ci wierzchołek W paraboli, będącej wykresem tej funkcji. Wyznacz współczynniki a, b, c. a) Delta = 12; W(4, 3) d) Delta = 36 , W(- 1, 3) b) Delta = – 8 , W (1/2, 1) e) A Delta = – 48, W(2, – 3)
3.20. Prosta k jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji kwadrato wej f. Oblicz współczynnik b we wzorze tej funkcji. a) f(x) = 4x ^ 2 – bx + 2, k / x = 0; f(x) = 1/3 * x ^ 2 + bx – 1, k / x = – 3 b) f(x) = – x ^ 2 + bx + 12, k / x = 5 d) f(x) = – 5x ^ 2 + bx – 4, k / x = – 1/2
3.19. Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwa dratowej f, stosując poznane wzory. Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej a) f(x) = 2x ^ 2 + 3z d) f(x) = x ^ 2 – 6x + 5 b) f(x) = x ^ 2 – 4 e) f(x) = 4x ^ 2 – x + 1 f) c) f(x) = – x ^ 2 + 10x – 25; f(x) = 1/2 * x ^ 2 + 2x – 3
3.18. Oblicz wyróżnik funkcji kwadratowej f, jeśli: a) f(x) = – 3x ^ 2 + 6x – 3 d) f(x) = 3(x – 1) * x + 1 b) f(x) = – 3/4 * x ^ 2 – 7x e) f(x) = (3x – 2) ^ 2 c )f(x)=-x^ 2 +2x+8 f) f(x) = – 1/4 * x ^ 2 + 2x + 2 c) f(x) = (1 – 4x)(1 + 4x) f) f(x) = (x ^ 2 – 6(x – 4))/2 . Wyka dot z , że dla każdej
3.17. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej. Sprowadź ten wzór do postaci kanonicznej, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy lub kwadrat różnicy. a) f(x) = x ^ 2 – 2x d) f(x) = 3x ^ 2 – 24x + 50 e) b) f(x) = – 2x ^ 2 + 6x + 1; f(x) = 1/2 * x ^ 2 + 3x + 1/2
3.16. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Sprowadź ten wzór do postaci ogólnej. a) f(x) = 4 * (x – 3) ^ 2 – 20 b) f(x) = 1/2 * (x + 4) ^ 2 – 6 c )f(x)=-5(x-1)^ 2 +1
3.15. Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = x ^ 2 gdzie x in R liczby całkowitej k: a) różnica f(k) – f(k – 1) jest liczbą całkowitą nieparzystą b) różnica f f(k + 3) – f(k + 1) jest liczbą podzielną przez 4. Związek między wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, a wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej
3.14. Funkcja kwadratowa f dla argumentu punkcie o rzędnej 1.
3.13. Funkcja kwadratowa f dla argumentu -3 przyjmuje najmniejszą wartość, równą 5. Wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt A 4(- 2, 10) wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. 2 przyjmuje największą wartość, rów ną 4. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej wiedząc, że jej wykres przecina oś OY w
3.12. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej cja f jest rosnąca w przedziale (-1,+ infty) i malejąca w przedziale (- infty,-1) , zbiorem wartości tej funkcji jest przedział (-2,+ infty) a jej wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych. wiedząc, że funk
3.11. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej wiedząc, że zbio rem wartości tej funkcji jest przedział (- infty,4) oraz dla argumentów przyjmuje tę samą wartość, równą -1. -2i8 funkc
3.10. Wykres funkcji kwadratowej f jest symetryczny względem prostej i przecina oś OY w punkcie o rzędnej 10. Podaj argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartość 10. x + 3 = 0
3.9. Dany jest wierzchołek W paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej f oraz punkt A należący do tej paraboli. Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicz nej, a następnie doprowadź go do postaci ogólnej. a) w(2, 0), A(5, – 3) c) W(- 1, 3), A(0, 1) e) W(- 1, – 1), A(2, – 4) b) W(3, 1), A(1, 2) d) W(2 1/2, – 3 1/8), A(5, 0) d) f) W v(- 4, 0), A(- 7, 1 4/5)
3.8. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Podaj zbiór war równanie osi tości funkcji f, maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji i symetrii jej wykresu. ) f(x) = – 1/2 * x ^ 2 + 3 a) b) f(x) = x ^ 2 – 5 c) f f(x) = 2/3 * (x + 4) ^ 2 d) f(x) = – 2 * (x – 1) ^ 2 + 7 e) f(x) = 1/4 * (x + 5) ^ 2 – 3 f) f(x) = – 1/3 * (x – 2) ^ 2 – 4
3.7. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Podaj współ rzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f oraz współrzędne punktu wspólnego paraboli i osi OY. Naszkicuj wykres tej funkcji. a) f(x) = – (x + 3) ^ 2 d) f(x) = 1/2 * (x + 3) ^ 2 – 2 b) f(x) = 2 * (x – 1) ^ 2 + 1 e) f(x) = 1/4 * (x – 1) ^ 2 c) f(x) = 1/2 * x ^ 2 – 4 f) f(x) = – 1/4 * (x – 2) ^ 2 – 1
3.6. Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, wiedząc, że jej wy y = – 1/4 * x ^ 2 kres otrzymamy przesuwając równolegle wykres funkcji a) o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX io 3 jednostki w dół wzdłuż osi OY, jednostkę w lewo wzdłuż osi OX io 5 jednostek w dół wzdłuż osi Oy, c) o 3 jednostki w lewo wzdłuż osi OX i o 4 jednostki w g órę wzdłuż osi oy i b) o 1 d) o 5 jednostek w prawo wzdłuż osi OX i o 2 jednostki w górę wzdłuż osi Oy.
3.5. Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, której wykres otrzy mamy przesuwając równolegle wykres funkcji: a) y = 1/3 * x ^ 2 b) y = – 2x ^ 2; y = 2/5 * x ^ 2 d) y = – x ^ 2 o 5 jednostek w lewo wzdłuż osi OX, o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX, o 4 jednostki w górę wzdłuż osi OY, o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY.
3.4. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, jeśli do wykresu tej funkcji należą punkty: a) A(- 2, 9), B(0, 4) , C(4, 6) b) A(1, 6), B(- 2, – 3), c(0, 9) .
3.3. Wyznacz współczynniki b, c wiedząc, że do wykresu funkcji f należą punkty: a) A(4, 9), B(- 3, – 12) b) A(- 1, 6); B(4, – 4) .
3.2. Napisz wzór funkcji kwadratowej y = a * x ^ 2 wiedząc, że do jej wykresu należy punkt: a) A(3sqrt(2), 12) b) B(2, – 4) c) C(- 2, 8sqrt(5)) we wzorze funkcji kwadratowej f(x) = x ^ 2 + bx + c
3.1. Zapisz podany wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej f(x) = a * x ^ 2 + bx + c . Następnie wypisz współczynniki a, b, c. a) f(x) = (x – 1)(2x + 3) – 4x c) f(x) = – 3[(x – 2)(2x + 3) + 6] b) f(x) = 5 – 2 * (x + 4) ^ 2 d) f(x) = (1 – 2x) ^ 2 + 4(x – 1) + 3
24. Rozwiąż: a) równanie |x – 7|/9 = |7 – x|/3 b) nierówność 8 – 6|- x – 1| – |x + 1| >= 4 – 5|1 + x|
23. Wykaż, że jeśli x i y są liczbami rzeczywistymi ujemnymi, to (9 * |x ^ 2 – y|- (3x – 2y) ^ 2 + 4| * y| ^ 2)/3 = |3y|+ 4| * x * y|
22. Wykaż, że jeśli x jest liczbą rzeczywistą ujemną, zaś y jest liczbą rzeczywistą dodatnią, to |4x – 3| * (y – x) – 3|x – y| + y ^ 2 = (2x – y) ^ 2 D
21. Wyznacz zbiory A – zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność B- zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność B – A , , A – oraz A cup B; A cap B; A – B wiedząc, że: 8 – |x + 2| > 3; |x – 1| – 2 >= 0 D
20. Rozwiąż nierówność podwójną: a) (3x – 14)/4 <= 1 <= |x - 3| b) 1 < |4 + x| <= 6
19. Rozwiąż algebraicznie nierówność: a) |2 – x| > 1 c) |- x – 1| > 0 b) 1 – |x + 13| > – 4 b) nierówność |x + 2| <= 5 b) |x + 5| <= 0 d) |- x - 7| >= – 7
18. Rozwiąż graficznie: a) równanie 2|x + 5| = 6
17. Korzystając z odległości na osi liczbowej rozwiąż nierówność: a)|x-3|>=8
16. Korzystając z odległości na osi liczbowej rozwiąż równanie: a) 2|x + 7| = 6 b) |- x – 4| = 9
15. Rozwiąż algebraicznie równanie: a) |x – 4| = 5 b) |2 – x| + 1 = 0 c) |- x – 3| = 0
14. Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie: a) 8 – |3 – x| – |- 2x – 4| , jeśli x in langle-2,3 rangle b) |3a – 1||1 – 3b|- 9| * a * b| – 1, jeslia < 0b < 0
13. Wykaż, że: | sqrt 48 -3 sqrt 3 ||1- sqrt 3 | | sqrt 5 -2||-2- sqrt 5 | -| sqrt 3 -2|. a) |3sqrt(5) – 5sqrt(2)||5sqrt(2) – 3sqrt(5)| + |35 + 30sqrt(10)| = 130 b) |0,75* log 3 81+log 1 2 128|-log 5 |2,8-27 4 5 |=2
12. Oblicz wartość wyrażenia: D
11. Oblicz wartość wyrażenia dla podanej obok wartości zmiennej: a) |2 – a|a – 4|| + 1 7/9 a a = 0, 3 ^ – 1 b) 15 + |5 – b||10 – b| – |2b – 6||30 – b|; b = sqrt(33 ^ 2 + 44 ^ 2)
10. Najmniejszą liczbą |2 – x| <= 1 jest liczba: A. 1 B. 2 |x - 3| > 18 pierwszą należącą do zbioru rozwiązań nierównoś C. 3 D. 5
9. Zbiór (- infty,-15) cup(21,+ infty) jest zbiorem rozwiązań nierówności: A. |x + 3| > 18 B. |2x – 6| > 15 C. |x – 6| > 15 D.
8. Wskaż równanie, którego rozwiązaniami są liczby
7. Wskaż równanie sprzeczne.
6. Wskaż liczbę, która spełnia równanie |4 – 5x| – 2x = |x| A. 1 . B. 0
5. Odległość między liczbami sqrt(5) + 2i * sqrt(5) – 17 na osi liczbowej jest równa: A. 4 B. 19 C. 2 + sqrt(5)
4. Liczbą równoodległą od liczb root(3, 27) – 3sqrt(2) * i * sqrt(50) – 7 na osi liczbowej jest liczba: A 2(sqrt(2) – 1) B. 5- underline 4 sqrt 2 C. sqrt(2) – 4 D . sqrt(2) – 2 .
3. Wiadomo, że a < Oi b>. Wobec tego wyrażenie |b – 3a||a – 3b| jest równe: sigma < 0ib > 0 A. 3a^ 2 -10ab+3b^ 2 B.3(a^ 2 +b^ 2 ) C. – – 10ab D. 10ab – 3(a ^ 2 + b ^ 2)
2. Jeśli x in(-6,2) , to wyrażenie |2x – 4|- 3| * x + 6| można zapisać w postaci: A . x – 14 B . – x + 10 C . – 5x – 14 D. – -5x- underline 2
1. Wartość wyrażenia A. -0,5 B. | | sqrt 3 -2||-2- sqrt 3 2; (7 – 4sqrt(3))/2 jest równa: C. ,2 sqrt 3 + 7 2 D. 0,5
2.51. Wyznacz wszystkie liczby całkowite spełniające jednocześnie dwie nierówności: a) |x-2|<3 i 3-|x|>0 c) |x-1,2|<=4 i-2+|x|<=0 Rozwiąż nierówność podwójną: a)|x-2|<3<|x-1|+1 2.52. b) |x + 1| >= 4i|x – 2| – 4 < 0 d) 2|x-0,4|<5 i|x+0,1|-0,4<=0 b) 2 - |x + 1| <= 2|1 + x| <= 4
2.50. Zbiór A jest zbiorem rozwiązań nierówności 4 4 – 2|x| > 0 zaś zbiór B-zbio- rem rozwiązań nierówności |x + 1| – 2 <= 0 a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory A|B . b) Wypisz wszystkie liczby naturalne należące do zbioru A cup B . c) Podaj przykład liczby niewymiernej należącej do zbioru B - A . d) Wyznacz zbiór A A^ prime cap B^ prime .
2.49. Zbiór A jest zbiorem rozwiązań nierówności 3 – |x + 3| > 0 zaś zbiór B zbiorem rozwiązań nierówności |x + 4| >= 1 . B- a) Wypisz wszystkie liczby parzyste należące do zbioru A. b) Podaj przykład liczby wymiernej, która nie należy do zbioru B. A cap B i B-A . c) Wyznacz zbiory: An
2.48. Rozwiąż nierówność: a) 0,7*|x-0,1|>0 d) 2 + |- 6x + 5| > 1 b) |12x – 2| < 50 e) 1 - |2x - 7| <= 0 b) 3|x + 2| + 1 5/7 < 0 e) 3 - |- 9x + 8| >= 3 c) |0,25+x|>=1,25 f) -2|x-0,3|+3>0 c) |- x – sqrt(5)| <= 0 f) |x + sqrt(3) + 5| < 4 c) |4 - 5x| > 13 f) 3 – |2 – 5x| > 0 c) – 2|5 – x/3| + 1 1/3 > 0 f) |x – 2| >= 1 + sqrt(5)
2.47. Rozwiąż algebraicznie nierówność: a) |3x + 13| <= 100 d) |17 - 6x| >= 5
2.46. Rozwiąż algebraicznie nierówność: a) |x – sqrt(2)| < 1 d) |3 - x| < 2 - sqrt(6) b) |sqrt(3) + x| >= 2sqrt(3) e) |x – sqrt(2) + 1| > 1
2.45. Rozwiąż algebraicznie nierówność: a) |x+1,4|-8,4<=0 d) 10|x-1,3|<18 b) 0>1,4-|2,6-x| e) |0,3x+1|<=0
2.44. Korzystając z wykresu odpowiedniej funkcji rozwiąż graficznie |x + 3| <= 2; |0,5x-1|>2 a) |x – 5| > 1 d) |2x – 4| <= 0 b) e) c) |4 + x| >= 3 nierówno f) – |2(x + 1)| > – 4
2.43. Zapisz nierówność z wartością bezwzględną, jeśli dany jest jej zbiór rozwiązań. a) (- 9, 9) b) (- infty,- sqrt 3 ) cup( sqrt 3 ,+ infty) d) (- infty,-4) cup(2,+ infty) e) (- infty,5) cup(7,+ infty) B) langle-9,5 rangle h) (2 – sqrt(3), 2 + sqrt(3)) c) (- 4, 12); langle0,10 rangle f) i) (- 2pi, 4pi) .
2.42. Rozwiąż nierówność, korzystając z odległości między liczbami na osi liczbowej. a) |x + 1| – 2 > 0 d) 0 < 4 - |x - 4| b) 1 - |x - 1| <= 0 e) - |9 - x| >= – 3 c) – 3|x| + 8 > 2 f) 3 – 3|6 + x| < 0
2.41. Rozwiąż nierówność, korzystając z odległości między liczbami na osi liczbowej. a) |x – 4| < 3 d) 4 - |1 - x| >= 0 b) |x + 1| <= 2 e) |3 - x| - 1 <= 0 c) |x - 2| > 0 f) |5 + x| – 2 > 0
2.40. Rozwiąż nierówność, korzystając z odległości między liczbami na osi liczbowej. a) |x| < 4 d) |x| <= 2 b) |x| >= 6 e) |x| – 5 <= 3 c) |x| > 9 f) 2|x| – 2sqrt(3) > 0
2.39. Podaj przykład nierówności z wartością bezwzględną, której zbiorem roz wiązań jest: a) zbiór pusty c) zbiór liczb rzeczywistych b) zbiór jednoelementowy d) zbiór R-\ 3\
2.38. Podaj zbiór rozwiązań nierówności: a) |x| <= 0 b) b) |x + 1| > 5 d) |- x – 2| <= 0; - |x| <= 9; |x + 1| > 0 – – 9, – 4, – 1, 6; – 3, – 2, 0, 1 d) 2|x| < - 4
2.37. Sprawdź, która z liczb podanych obok nierówności spełnia tę nierówność, jeśli a) |5 – x| <= 2; 0, 3, 6, 7 c) |x - 4| > 0; 3 1 2 ,4,!; – 2, 3 1/2
2.36. Dane są zbiory: b) 3 3-x|=1; |2x – 6| = 0 e) A=\ x:x in R^3|2-x|=4-|x-2|\; B=\ x:x in R^[x+5]=2|-5-x|\; C=\ x:x in R^2(|x+1|-3)=|1+x|-2\ zbiorów A, B, C. b) Wyznacz zbiory: (B cup C) cap A,(A-C) cup B a) Wypisz elementy , C C – A – B c) |1 + x| – 4 = 0 f) |0,5x+1|=2 .
2.35. Rozwiąż równanie graficznie, szkicując wykres odpowiedniej funkcji. a) |x + 4| = 2 d – |x – 1| =
2.34. Rozwiąż równanie: a) |3x + 7| = 2 d) |1 – 2x| = 13 b) |x+2,4|+1,2 3 =1; (|3 – x| – 5, 3)/2 = 8; aligned 1-1|=4\\ -1-1=0\\ -1=0 aligned =0 c) -|2,5+x|=0 f) – 0, 1|- 3 – x| = – 1 c) f) (5|3 + x| – 1, 2)/8 = 0; (6 – 2|- x – 1|)/3 = – 4 b) 3|2sqrt(5) – x| = 21 – 9sqrt(5) d) 0, 2|- x – 5sqrt(2)| = 1/5 + sqrt(2); (|x + 2sqrt(3)| – 2)/(sqrt(3)) = 4 f) b) |25x – 3| = 122 e) |- 8x + 5| = 11 c) |9 – 4x| = 21 f) |- 2 – 5x| = 16
2.33. Rozwiąż równanie: a) | |x – sqrt(2)| + 3 = sqrt(2) c e (|x – 2sqrt(3)| – 1)/3 = 2 – sqrt(3); (|sqrt(2) – x| + sqrt(2))/3 = 1
2.31. Rozwiąż algebraicznie równanie: a) |x-1,2|-6,8=0 d) 7|- x – 5| = – 21 b) |3,4-x|=0,6 e) 0, 2|x – 1| = 0, 4 2.32. Rozwiąż algebraicznie równanie: a) d) (3|x – 2|)/4 = 1, 5; (4 – |- x + 2|)/3 = 4, 8
2.30. Rozwiąż algebraicznie równanie: a) | |x – 1| = 2 d) |2 + x| = 3 b ) |x – 4| = 0 e) |x – 3| + 7 = 0
2.29. Zapisz równanie z niewiadoma x typu |x – a| = b jest zbiór: a) \ – sqrt 6 , sqrt 6 \ d) \ 5,17] b) \ 2- sqrt 3 ,2+ sqrt 3 \; \ -8 1 2 ,3 1 2 \ , którego zbiorem rozwiązani c) \ -3 sqrt 5 \; \ -2 1 3 ,5 2 3 \
2.28. Zapisz równanie z niewiadomą x typu |x – a| = b , które: ma jedno rozwiązanie, równe 11, b) ma jedno rozwiązanie, równe -19, a) c) jest sprzeczne, d) ma dwa rozwiązania: – -8i8 , dwa rozwiązania: -3 7, dwa rozwiązania: 3pi * i – 7pi . e) ma f) ma
2.27. Rozwiąż dane liczbowej. a) |9 + x| = 0; |x – 21| = 3 d) ,-10,4; |x + 3| = 7 b) -4 |x + 5| = 00, 3, – 5 d) c) 3|x| = sqrt(18) f) (3|x| + 1)/2 = 5 b) |x| = – 2 e) – |x|/3 + 1 = 1 równanie, korzystając z odległości między liczbami na os b) |x + 1| = 4 e) |x – 5| = 2 c) |3 – x| = 0 f) |- 4 + x| = 5 równanie, korzystając z odległości między liczbami na osi b) |3 – x| = 8; |- 1 – x| = 7 e) c) |16 + x| = 5 f) |- 2 – x| = – 2
2.26. Rozwiąż dane liczbowej. a) |x – 2| = 3 d) |2 + x| = 1
2.25. Rozwiąż równanie: |x| = 1/5 d) 5|x| + 10sqrt(3) = 0
2.24. Sprawdź, które z podanych liczb są rozwiązaniami równania: a) 2|x| = 6; matrix -6&0,-3,3\\ 1=-6&0,-4, matrix c) |x – 2| = – 6 2
2.23. Wyznacz odległość między danymi liczbami a i b w zależności od m, jeśli: a) a = 12 – 3m , b) b = 5m – 4; i m in(- infty,2 rangle; a= 12m 5 -9,; b = 6 – 3, 6m; im in(3,+ infty) c) a = m ^ 2 + 5m – 6 , d) a = (m – 4) ^ 2 , b = (m + 3) ^ 2; m in(0,+ infty) . b b = – 8m – 17 im m in R
2.22. Zapisz poniższe zdanie, używając symbolu wartości bezwzględnej. a) Odległość liczby x od liczby 0 jest równa 8. b) Odległość liczby y od liczby 5 jest równa 1. c) Odległość liczby (- 3) od liczby a jest równa 4. d) Odległość liczby z od liczby 8 jest mniejsza od 3. e) Odległość liczby p od liczby -2 jest większa od 7. f) Odległość liczby k od liczby -1 jest nie większa od 5. g) Odległość liczby 7 od liczby m jest nie mniejsza od 2.
2.21. Zapisz odległość na osi liczbowej między danymi liczbami, używając znaku wartości bezwzględnej. Następnie oblicz tę odległość. a) – 4i – 28 d) -2 sqrt 2 I4 sqrt 2 +3; -14 2 3 i16 2 3 e) sqrt(3) – 1i * sqrt(3) + 7 c) pi i2 sqrt 3 f) 1-2 sqrt 3 i 4+2 sqrt 3
2.20. Zaznacz na osi liczbowej i zapisz za pomocą przedziału zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, których: a) odległość na osi liczbowej od liczby 1 jest mniejsza od 5 lub równa 5, b) odległość na osi liczbowej od liczby 3 jest mniejsza od 4 , c) odległość na osi liczbowej od liczby -2 jest większa od 3 lub równa , 3 d) odległość na osi liczbowej od liczby -5 jest większa od 2 i e) odległość na osi liczbowej od liczby 6 jest nie mniejsza niż 1, nie większa niż 5. f) odległość na osi liczbowej od liczby -4 jest
2.19. Wyznacz liczby, które znajdują się na osi liczbowej w odległości d od licz by a, jeśli: a) o = 2 , d = 3 c) a = -, a = – 7; d = 26 e) a = – 3 , d = pi + 1 b) a = – 2 , d = 5 d) a = sqrt(2) , d = 3 f) a = 1 + sqrt(3) , d = 4 – sqrt(3)
2.18. Dane są liczby a i b. Wyznacz na osi liczbowej liczbę c równoodległą od liczba i b Jaka jest odległość d liczby 2.18. a) a = – 2ib = 4 c) a = – 8, 4ib = 1, 5 e) a = – 3sqrt(7) * i * b = – 29sqrt(7) c od liczb a i b? b) a = – 2ib = 5; a = 3 1/3 * i * b = 87 5/6 f) a = – 9 + 4sqrt(5) * i * b = 5 – 2sqrt(5)
2.17. Oblicz: a) b) c) |1+log 1 9-|^ 5+8^ 1 3 ||-2 og 2 4-| 1 3 |^ -1 |; 2 – |2 * log5 25 – 81 ^ (3/4)| – |(1 – sqrt(3))(1 + sqrt(3))|; |-3log 1 2 0,25- sqrt[3] 216 |-|0,75^ 1 2 – sqrt 3 |* sqrt 3 d) |3^ log,2 -5|*16^ 3 4 -0,5^ -3 |-log 81 9| Odległość między liczbami na osi liczbowej. Geometryczna interpretacja wartości bezwzględnej na osi liczbowej Dane są liczby a i b. Wyznacz na osi liczbowej liczbę c równoodległą od liczba i b Jaka jest odległość d liczby
2.16. Wykaż, że jeśli a>b>0, to 2(b^ 2 -|ab|)+|b-a|*|a+b|>0.
2.15. Wykaż, że jeśli liczby byiysa ujemne, to |2x+y|*|-2x-y|-|4x^ 2 +y^ 2 |=4xy. D
2.14. Wykaż, że jeśli a jest liczbą ujemną i b jest liczbą dodatnią, to – -3a+4b|-2|3b-a|=-a-2b .. D
2.13. Wykaż, że wartość podanego wyrażenia jest stała. a) |a – 3| – |a – 2| jeśli a in(- infty,0, , jeśli a in(-2,4) ) jeśli a in(3,+ infty ) , jeśli a in(- infty,-5) b) |4 – a| + |2 + a|; |a – 3| – |a + 4| c) d) |a + 1| – |a + 5| D
2.12. Napisz wzór funkcji f bez użycia symbolu wartości bezwzględnej. Następnie naszkicuj wykres funkcji f w układzie współrzędnych. a) f(x) = x|x| c) f(x)=|0,5x-1|+x b) f(x) = |2x|/x + 1 d) f(x) = x – |4 + x|
2.11. Napisz wzór funkcji f bez użycia symbolu wartości bezwzględnej. Następnie naszkicuj wykres funkcji f w układzie współrzędnych. a) f(x) = x – |x| c) f(x) = 3 – |3 – 3x| b) f(x) = 2|x + 3|; f(x) = – |1 – 1/3 * x| + 2 d)
2.10. Zapisz podane wyrażenie bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: a) |- 2a||a – 1| , jeśli a in(- infty,-1) b) |1 + 2a| + |- 3a| jeśli a a in(- infty,-2) c) 2a-|3-|a||, jeśli a in(4,+ infty) d) |2a| – |1 – |a|| , jeśli a in(- infty,-3)
2.9. Zapisz podane wyrażenie bez użycia symbolu wartości bezwzględnej.
2.8. Oblicz wartość wyrażenia
2.7. Oblicz wartość wyrażenia:
2.6. Oblicz wartość wyrażenia: a)
2.5. Oblicz wartość wyrażenia:
2.4. Oblicz wartość wyrażenia: b
2.3. Oblicz wartość danego wyrażenia. Oceń, jaką liczbą – wymierną mierną – jest wynik obliczeń.
2.2. Oblicz wartość danego wyrażenia. Oceń, jaką liczbą – wymierną mierną – jest wynik obliczeń.
2.1. Oblicz: |- 2 1/2| + |1 1/2| d) |sqrt(2) – 3| b) |- 2 1/3 + 1 1/3|; |2 – sqrt(5)| c) |-2,6|-|-3,3| f) |- 2sqrt(3) + sqrt(12)|
32. Na rysunku jest przedstawiony wy kres funkcji f. a) Naszkicuj wykres funkcji g, określonej wzorem g(x) = f(- x) + 1 . b) Podaj dziedzinę funkcji g. c) Podaj zbiór wartości funkcji g. d) Oblicz wartość wyrażenia . [g(- 4) + g(5)][g(- 3) – g(1)] c) k(x) = – (sqrt(- x) + 7) 3 2 2 1 0 y = f(x); y = f(x) 789X -5-4-3-2-1 2 3 4 5 6 7 X -4
31. Podaj dwa kolejne przekształcenia, które można wykonać, aby z wykresu funk cji f(x) = sqrt(x) otrzymać wykres funkcji: a) g(x) = 7 – sqrt(x) b) h(x) = sqrt(7 – x)
30. a) b) (x – 1) ^ 2 = 2x – 2 Rozwiąż graficznie nierówność: – x ^ 3 >= sqrt(- x) b) |x – 2| > x ^ 2 c) \ |x|=x^ 2 -6 c) – 4/(x + 1) <= x + 6
29. Rozwiąż graficznie równanie: a) 1/(x + 5) = – x – 3
28. Naszkicuj wykres funkcji f(x)= x 2 +1, gdzie x in langle-2,0) cup(0,2 rangle . a) Podaj wzór funkcji g, której wykres otrzymamy w wyniku przekształcenia wy kresu funkcji f przez symetrię środkową względem punktu o(0, 0) b) Na podstawie wykresu funkcji g rozwiąż nierówność g(x) <= - 1 .
27. Dziedziną funkcji f jest zbiór D f = langle-4,8 rangle , a jej zbiorem wartości jest zbiór ZW f =(-1,+ infty) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji: a) y = f(- x) b) y = – f(x) c) y = f(x + 3) – 4
26. Na rysunku kres funkcji y = f(x) . jest przedstawiony wy 2 근 a) Naszkicuj wykres funkcji y = g(x) gdzie g(x) = f(x + 2) – 1 . b) Podaj zbiór rozwiązań nierówności g(x) < 0 . -3-2-1 2 4 6 1
25. Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x) . a) Naszkicuj wykres funkcji y=g(x), gdzie g(x) = f(- x) . b) Podaj maksymalne przedziały, w funkcja g jest rosnąca. których . 2 2 y = f(x) 1 2 3 4 5 -4-3-2-1 0 -1 6 7X y = f(x) 3 4 1 -4-3-2-1 1 2 6
24. Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x) a) Naszkicuj wykres funkcji y = g(x) gdzie g(x)=-f(x). b) Podaj zbiór rozwiązań równania g(x) = – 2
23. Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = – 2x + 3 . Napisz wzór funkcji: a) g, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi OX, b) h, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi OY, k, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem punktu o(0, 0) c)
22. przesunąć wykres funkcji g wzdłuż osi OY, aby otrzymać Wykres funkcji f f(x) = – 2x ^ 2 przesunięto równolegle o wektor mano wykres funkcji g. Wykaż, że g(x) = – 2x ^ 2 + 4x + 2 . vec v =[1,4] i otrzy
21. Wykres funkcji liniowej f(x) = 3x + 5 przesunięto o 2 jednostki w prawo i otrzymano wykres funkcji g. a) Podaj wzór funkcji g. b) O jaki wektor można wykres funkcji f? D
20. Funkcja f jest określona wzorem f w w f(x) = – x ^ 2 + 10 yniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji f o 3 jednostki w lewo. . Wykres funkcji g powstał a) Napisz wzór funkcji g. b) Do wykresu funkcji g należy punkt (- 2, a) Oblicz a.
19. Dane są punkty: , B A(0, – 3); B(4, – 1), c(5, 3), D(- 3, – 1) . . Korzystając z własności
18. W trójkącie ABC dane są: A(- 5, 2), B(3, – 4), C(1, 5) Wyznacz współrzędne figura ABCD była równoległobokiem. punktu D tak, aby C. -2 oraz 0 D. -4 oraz 2 y y = f(x) -2-1 2 3 4 7 8 9X 5
17. W trójkącie ABC dane są: A(- 7, – 1), B(5, 1) oraz vec BD =[-9,1] gdzie D to śro dek boku AC. Oblicz współrzędne punktu D oraz dugość boku AC.
16. Dany b) współrzędne punktu C, jeśli vec AC =-3 vec AB
15. Wykres funkcji f jest przedstawiony w zadaniu 14. Wskaż zbiór rozwiązań nierówności f(- x) + 1 > 0
14. Na rysunku obok znajduje się wy kres funkcji f, określonej w przedzia le langle-1,8 rangle . Wskaż zbiór rozwiązań równa nia
13. Funkcja y = f(x) ma dwa miejsca zerowe: -3 oraz 1. Miejscami zerowymi funkcji y = f(x + 1) są liczby: B. -4 oraz 0 A.-2 oraz 2
12. Zbiorem wartości funkcji ƒ jest przedział (- 5, 1) . Wykres funkcji f przekształ cono przez symetrię osiową względem osi OX i otrzymano wykres funkcji g. Wskaż wartości funkcji g. zbiór A. (- 5, 1) B. (- 5, 1) C. (-1,5 rangle D. (- 1, 5)
11. Dziedziną funkcji f jest przedział (- 3, 2) . Wykres funkcji f przekształcono przez symetrię osiową względem osi OY i otrzymano wykres funkcji g. Dziedziną funkcji g jest przedział:
10. Na rysunku obok przedstawiony jest wykres funkcji y=f(x).; y = x ^ 2 – 3x + 2 AY T4 3 2 1 1 y = f(x) 2 2 3 34 SX – -4-3-2+ Wykres funkcji określonej wzorem g(x) = – f * (- x) znajduje się na rysunku: A. 4 3 -2 B. AY 4 3 3 -3 2 1 20 3 4 t = g(x); y = g(x) 2 3 4/5 – 4 – 3 -24 0 23 45 X -4-3- . 3 2 1 AY 4 3 -2 y y=g( lambda –5-4-3-2 ) 1 D. -1 1 2 3 4 X – 4 – 3 – 2 – 1 0 2 3 4 5 X y angle=9(x 1 X y = g(x) 2 3 4 Dziedziną funkcji f jest przedział (- 3, 2) . Wykres funkcji f przekształcono przez symetrię osiową względem osi OY i otrzymano wykres funkcji g. Dziedziną funkcji g jest przedział:
9. W wyniku przekształcenia wykresu funkcji f f(x) = – x ^ 2 + 3x + 2 przez symetrie względem osi OX otrzymujemy wykres funkcji, określonej wzorem: A. y = x ^ 2 + 3x + 2 B. y = x ^ 2 – 3x – 2 C. y = – x ^ 2 – 3x + 2 . y
8. Na rysunku obok przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x) D . vec u =[-5,-1] 3 2 y = f(x) -4-3-2-1 1 2 3 4 5 X Wykres funkcji g(x) = f(x – 3) przedstawiony jest na rysunku: A. B. 3 2 1 y y = g(x) y y = g(x) 3 2 1 0 -2-1 0 2 3 4 1 – 2 1 2 3 4 5 6 7 X -5-4-3-2-1 1 -2 D. 4 6 y = g(x) 3 2 2 -4-3-2-1 10 C 5 a 1 3 2 1234 4 1
7. Wykres funkcji wykresu funkcji y = |x| * o wektor: A. vec u =[5,1] B. vec u =[5,-1] C. vec u =[-5,1]
6. W wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji f(x) = sqrt(x) o 4 jednostki do góry otrzymamy A. g(x) = sqrt(x) + 4 C. g(x) = sqrt(x + 4) wykres funkcji: B. g(x) = sqrt(x) – 4 D. g(x) = sqrt(x – 4); f(x) = |x + 5| + 1 powstaje w wyniku przesunięcia równoległego
5. Dany jest wektor vec u =[3,-2] . Wskaż wektor, który nie jest wektora u. A. vec a =[ 3 4 ,- 1 2 ]; S = [- 3, 2] C. vec c =[57,-38] B. b równoległy do D . vec d =[-2,3]
4. Jeśli A(9,-2)i vec AB =[-6,7] , to punkt B ma współrzędne: A. (- 3, – 5) B . (3, 5) C. (5, 3) D . (3, – 5)
3. Długość wektora A. 7 vec b =[-3,4] B. 5 jest równa: C. 4 D. 3
2. Wektorem przeciwnym do wektora dot a =[4,-5] jest wektor o współrzędnyc [1/4, – 1/5]; R 1 [- 1 4 , 7 5 ] A. C. [5, – 4] D . [- 4, 5]
1. Środek odcinka AB ma współrzędne A. B(3, 1) B. B(10, – 6); (13, – 2) C . B(23, 8) . Jeśli A(- 7, 4) , to: D. B(33, – 8)
1.105. Korzystając z wykresów odpowiednich funkcji rozwiąż nierówność: – |x| < 1/2 * x - 3 b) - 1/(x + 1) >= (x + 1) ^ 2 c) 1/(x – 4) – 1 > – |x – 5|
1.104. Korzystając z wykresów odpowiednich funkcji rozwiąż nierówność: a) x ^ 3 > x b) sqrt(x – 2) <= 5 - 1/2 * x c) sqrt(- x) >= x + 2 1.
1.103. Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f(x) = – sqrt(- x) oraz g(x) = |x| – 2 . a) Podaj argument, dla którego funkcje f|g przyjmują tę samą wartość. b) Rozwiąż nierówność f(x)> underline g (x) .
1.102. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = (x – 2) ^ 2 – 3 . Odczytaj z wykresu zbiór roz wiązań nierówności f(x) >= 1
1.101. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = sqrt(- x) Odczytaj z wykresu zbiór rozwiązań nierówności f(x) < 2
1.100. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 1/(x + 3) nierówności f(x) < 1; sqrt(x + 2) = sqrt(x - 6) + 2 Odczytaj z wykresu zbiór rozwiązań
1.99. Korzystając z wykresów odpowiednich funkcji rozwiąż równanie:
1.98. Korzystając z wykresów odpowiednich funkcji rozwiąż równanie:
1.97. Korzystając z wykresu odpowiedniej funkcji rozwiąż równanie:
1.96. Naszkicuj wykres funkcji równania Następnie podaj zbiór rozwiązań
1.95. Odczytaj z wykresu funkcji argument, dla którego funkcja f przyjmuje wartość 2. Następnie rozwiąż algebraicznie równanie
1.94. Odczytaj z wykresu funkcji f argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartość 1. Następnie rozwiąż algebraicznie równanie
1.93. Dany jest wzór funkcji f. Napisz wzór funkcji g, której wykres otrzymamy prze kształcając wykres funkcji f przez symetrię środkową względem punktu O(0, 0). Oblicz miejsca zerowe i współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji g z osią OY ile istnieją). f Zastosowanie wykresów funkcji do rozwiązywania równań i nierówności
1.92. Dana jest dziedzina i zbiór wartości funkcji f. Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g(x) = f(-x).
1.91. Na rysunku obok jest przedsta wiony wykres funkcji f. Funkcję g określa wzór: Podaj: a) zbiór wartości funkcji g b) miejsce zerowe funkcji g c) wartość wyrażenia g d) maksymalne funkcja g jest malejąca. przedziały, w których jest dziedzina i zbiór wartości funkcji f. Podaj dziedzinę i zbiór wartości g, określonej wzorem g(
1.90. Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem punk tu (0,0). Naszkicuj wykresy funkcji f oraz g we wspólnym układzie współrzęych. Napisz wzór funkcji g i podaj jej dziedzinę, jeśli: a) f(x) = x + 4, gdzie xe gdzie ) , gdzie f(-1²) langle9^ prime S- rangle ni x; mathcal I -=(x)f( partial; langle mathcal E ^ prime L- rangle Rightarrow x partial izp delta^ prime z x=(x)f(z; (0^ prime epsilon-)z; |x|=(x)f(f; langle v^ prime I rangle ni* partial|zp i x I =(x)f(p; ( forall^ prime O rangle x oizps^ prime x rfloor=(x)f(q
1.89. Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f. Naszkicuj wykres funkcji g. określonej wzorem g AY 4 3 Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji g. b) -5 2 (x-)f-=(x) delta a (x)/=i; *(x-)f-=(x); langle x rangle f=K -6-5-4-3-2-1 23456X -6-5-4-3 -2 -1 2 3 4 5 d) AY -2 (gamma) * f = A; langle x rangle f=i -6-5-4-3-241 0 2 3 4 5 -6-5-4 -2 -2-1 3 2 3 4
1.88. Funkcja f jest opisana za pomocą tabelki: a) X f(x) -4 -3 -20 -8 8 2 26 11 5 30 31 -6 -17 -12 f(x) -2 -11 -90 27 24 10 45 80 103 115 170 1 -80 . b Opisz funkcję g za pomocą tabelki, jeśli
1.87. Zapoznaj się z poniższą definicją, a następnie wykonaj ćwiczenia. ,,Punkt O nazywamy środkiem symetrii figury F wtedy, gdy obrazem figury F w symetrii środkowej względem punktu O jest ta sama figura, czyli S otimes (F)=F Figury, które mają środek symetrii nazywamy figurami środkowosymetrycznymi.” 1) Wśród a) poniższych figur znajdują się figury środkowosymetryczne. Wskaż je. b) 8 trójkąt równoboczny prosta c) B romb 26 2) Podaj przykład figury geometrycznej, która ma jeden środek symetrii, i figury symetrii. , wiele środków symetrii 3) Narysuj dwie figury, które mają jednocześnie oś symetrii i środek
1.86. Znajdź obraz danej figury w symetrii środkowej względem punktu O, jeśli: a) b) A B A c) d A+ D
1.85. Napisz wzór funkcji, której wykres otrzymamy w wyniku przekształce wykresu funkcji f(x) = (3 – x)/(2x) przez symetrię względem: a) osi OX b) osi OY. c) f(x) = – (x ^ 3 + 1) f) f(x) = (- x + 2) ^ 2 4 3 2 2 1 0 3 4 y y = f(x) -6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 X
1.84. Napisz wzór funkcji, której wykres otrzymamy w wyniku przekształcenia wykresu funkcji f(x) = (x – 1) ^ 3 przez symetrię względem: a) osi OX b) osi OY.
1.83. Funkcja f ma trzy miejsca zerowe: -5, 1, 6 oraz wiadomo, że f(0) = 4; f(3) = – 2 . Podaj miejsca zerowe funkcji g i współrzędne punktu wspólnego wy kresu funkcji g z osią OY, jeśli: a) g(x) = f(- x) b) g(x) = – f(x) c ) g( g(x) = – f * (x + 3) .
1.82. Na rysunku jest przedstawio ny wykres funkcji f. Dla każdej z funkcji g(x) = f(- x) oraz h(x) = – f(x) podaj: a) zbiór argumentów, dla których ta funkcja przyjmuje wartości ujemne b) maksymalne przedziały, w których ta funkcja jest rosnąca c) największą wartość tej funkcji d) współrzędne punktu przecięcia wy kresu tej funkcji z osią OY. 1.83.
1.81. Naszkicuj wykres funkcji: a) f(x) = – |x| = 2 d) f(x) = – sqrt(x + 4) b) f(x) = (- x) ^ 3 + 1 e) f(x) = sqrt(- x + 4)
1.80. Dana jest dziedzina i zbiór wartości funkcji f. Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g(x) = f(- x) . b D f =R-\ 3\ ,ZW f = langle-4,+ infty) 1.80. a) D f = langle-4,3),ZW f =(-1,5 rangle
1.79. Wykres funkcji g powstał symetrię osiową względem osi OY. Napisz wzór funkcji g i podaj jej dziedzinę, jeśli: w wyniku przekształcenia wykresu funkcji f przez 9+x I =(x)f(p; t-x varsigma=(x)f(e; langle v^ prime 0 rangle=x a!zpg^ prime x rangle=(x)f; ( mathfrak L ^ prime S- rangle Rightarrow* partial!zps Z-=(x)f; langle z^ prime t- rangle Rightarrow x; zpbz + x = (x) * f; x-I xz =(x)f(y; | epsilon+x|=(x)f(9; ( mathfrak I ^ prime mathcal E – rangle Rightarrow* oizp g^ prime z ( mathfrak I +x)=(x)f; langle z^ prime I- rangle Rightarrow x partial[zps^ prime z-x=(x)f(p; (0^ 4 \%-) ni x a!zp g^ prime x J =(x)f(q; t-x f =(x)f( theta; z+ underline x j=(x)f(q
1.78. Dany jest wzór funkcji f. Napisz wzór funkcji h, której wykres jest syme tryczny względem osi OY do wykresu funkcji f. Podaj dziedzinę funkcji h. Naszkicuj wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych, jeśli: a) c) e) f) .
1.77. Na podstawie wykresu funkcji f naszkicuj wykres funkcji g, określonej wzo rem g dziedzinę i zbiór wartości funkcji g. b) 3 1 -1 3 1 -6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 -2 3 -6-5-4 3 -2 -1 1 1 2 3 4 5 -2 6 X npo d *(x-)f=(x); (x) * f = A; \ x\ f=A; (x) * f = A; (x) * f = [A] d) 3 1 1 2 2 3 4 -6-5-4-3-2-1 0 1 2 2 3 -4 3 4 5 6 -6-5-4-3-2-1 2 3 4 5 6 AX
1.76. Funkcja fjest opisana za pomocą tabelki: a) b) X f(x) -5 -4 X f(x) -46 -5 -4 -3 0 1 -23 1 2 17 -22 2 i zbiór wartości z X-I=(x)f(p; z-x epsilon=(x)f(e; SI-|x|=(x)f(a; 8+xs-=(x)f(q; L+ underline x rfloor=(x)f(t; 8+ E X=(x)f(2; langle mathcal S ^ prime L-)=^ prime MZ^ prime ( epsilon^ prime v- rangle=^ prime a; e^ mathcal N =(x)f(p; mathfrak v -=(x) int(e; I-; (epsilon*I)/L; ( infty+^ prime b-)=^ prime Mz^ prime \ epsilon\ -y=^ prime a(q; (x)f-=(x)6; +x^=(x)f( ni; E-x=(x)f(q; mathcal L – 2 x=(x)f(j; z^ X=(x)f(?; OT-; 9 – 0 -7 9z- 28 11 46 67 13 Przedstaw za pomocą tabelki funkcję określoną wzorem *(x-)f=(x)6
1.75. Dana jest dziedzina i zbiór wartości funkcji f. Podaj dziedzinę funkcji g, określonej wzorem . a)
1.74. Dana jest funkcja f. Napisz wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi OX. Naszkicuj wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych.
1.73. Napisz wzór funkcji g, której wykres otrzymamy po przekształceniu wykresu funkcji f przez symetrię osiową względem osi OX.
1.72. Na rysunkach jest przedstawiony wykres funkcji f. Naszkicuj wykres funk cji g, określonej wzorem g(x)=-f(x). Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji g. a) 3 -2 y = f(x) b) overline y = overline f( x) -7-6-5-4-3 2 -1 -2 4 5 6 X -2-1 3 5 X 3
1.71. Funkcja f jest opisana za pomocą tabelki: a) b) X -42 -30 f(x) -14 X -12 15 15 17 2012 6 90 143 -23 -15 15 64 198 200 f(x) 112 -10 -15 90 143 Przedstaw za pomocą tabelki funkcję g, jeśli g(x) = – f(x)
1.70. Prostą k nazywamy osiq symetrii figury F wtedy, gdy obrazem figury F w trii względem prostej k jest ta sama figura F, czyli S dot k (F)=F Figury, które mają oś symetrii nazywamy figurami osiowosymetrycznymi”. syme 1) Poniżej przedstawione są figury osiowosymetryczne. lle osi symetrii ma każda z nich a) b) e) d) 2) Podaj przykład figury, która ma sześć osi symetrii. 3) Podaj przykład figury, która nie jest osiowosymetryczna. 4) lle osi symetrii ma trójkąt: – różnoboczny – równoramienny, który nie jest równoboczny – równoboczny?
1.69. Znajdź obrazy danych figur w symetrii osiowej względem prostej k. a)
1.68. Podaj wzór funkcji g, której wykres otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji f o wektor u, jeśli: a) f(x)=x^ 2 -x+3, vec u =[-4,-5]; f(x)=-3x^ 2 +5, vec u =[-1,2] c) Symetria osiowa. b) d) Symetria osiowa względem osi OX i OY
1.67. Dana jest dziedzina i zbiór wartości funkcji f. Podaj dziedzinę i zbiór wartości D t =(- infty,3),ZW t =(-4,1x)=f(x-7)-10; D t = langle-2,8) , ZW, = (1,9), 1), g(x) = f(x + 5) + 2 funkcji g, jeśli: a) b) O t-1-n/2W t =(- infty,6),g( x )=f(x+6)-5 d
1.66. Na rysunku obok dany jest wy kres funkcji f. Funkcję g określa wzór: g(x) = f(x + 2) + 5 . Wyznacz: a) przedziały monotoniczności funkcji g b) wartość największą i wartość naj mniejszą funkcji g oraz dla jakich ar gumentów są one przyjmowane c) wartość wyrażenia: g(-6)* g(-2)+g(0)* g(3). c) y = sqrt(x – 1) – 2 f) y = (x + 4)/2 + 3 1 0 32 -6-5-4-3-2-1 1 2 3 -2 4 y = f(x) 5 X
1.65. Naszkicuj wykres funkcji: a) y = (x + 2) ^ 2 – 4 d) b) y = |x + 3| + 1; y = 1/(x – 2) + 1 e) y y = (x + 1) ^ 3 – 1
1.64. Podaj współrzędne wektora u, o jaki należy przesunąć wykres funkcji f, aby otrzymać wykres funkcji g, jeśli: a) f(x) = |x|, g(x) = |x – 1| + 8 b) f(x) = x ^ 3, g(x) = (x + 20) ^ 3 – 4 c) f(x) = x ^ 4, g(x) = (x + 3) ^ 4 – 1 d) f(x) = 1/2 * x ^ 2, g(x) = 1/2 * (x – 1) ^ 2 + 4 e) f(x) = 3sqrt(x), g(x) = 3sqrt(x + 2) + 6 f) f(x)= 4 x ,g(x)= 4 x-5 -7.
1.63 Wykres funkcji przesuń równolegle o wektor u. Napisz wzór funkcji g, której wykres otrzymałeś, jeśli: a) f(x)= sqrt x , vec u =[1,2] c) f(x)=|x|, vec u =[4,-5] b) f(x) = x ^ 2 , vec u =[-2,3] d) f(x)= 1 x , vec u =[1,-3]
1.62. Podaj współrzędne wektora , o jaki należy przesunąć wykres funkcji f vec u otrzymać wykres funkcji g, jeśli: a) g(x) = f(x – 2) + 4 d) g(x) = f(x – 7) – 2 b) g(x) = f(x + 1) + 5 e) g(x) = f(x – sqrt(3)) + 10 f) c) g(x) = f(x + 5) – 3; g(x) = f(x + 4) – sqrt(2) . vec u =[-3,0]
1.61. Funkcja f jest opisana za pomocą tabelki: X f(x) -4 -10 -3 -8 0 -5 5 1 12 2 40 25 100 400 Opisz za pomocą tabelki funkcję g określoną wzorem: a) g(x) = f(x – 1) + 5 c) g(x) = f(x – 15) – 100 b) g(x) = f(x + 3) + 12 d) g(x) = f(x + 100) – 25
1.60. Wykres funkcji liniowej f(x) = (- x)/2 przesunięto równolegle wzdłuż osi OY o wektor vec u =[0,-2] i otrzymano wykres funkcji g. O jaki wektor v można przesunąć równolegle wykres funkcji f wzdłuż osi OX, aby otrzymać wykres funkcji g? Przepro wadź odpowiednie obliczenia. Następnie naszkicuj wykresy funkcji fig w jednym układzie współrzędnych i zaznacz wektory u i v, zaczepione w punkcie . o(0, 0)
1.59. Wykres funkcji liniowej f(x) = 2x przesunięto równolegle wzdłuż osi Ox o wektor vec u =[-3,0] i otrzymano wykres funkcji g. a) O jaki wektor można przesunąć równolegle wykres funkcji f wzdłuż osi Oy aby otrzymać wykres funkcji g? Przeprowadź odpowiednie obliczenia. Następ nie naszkicuj wykresy funkcji fi g w jednym układzie współrzędnych i zaznacz vec u wektory przesunięcia. b) Czy przesuwając równolegle wykres funkcji f(x) = x ^ 2 raz o wektor i drugi raz o wektor v otrzymamy wykres tej samej funkcji?
1.58. Dany jest wzór funkcji fi współrzędne wektora której wykres otrzymamy w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji o wektor u. a) f(x)=x^ 2 +1, vec u =[0,-5] b) f(x)=2x-1, vec u =[0,1] c) f(x)=(x+1)^ 2 , vec u =[0,2]
1.57. Punkty (- 3, 1), (2, – 4) należą do wykresu funkcji f. Podaj dwa punkty, które należą do wykresu funkcji, określonej wzorem: a) g(x) = f(x) – 6 b) h(x) = f(x) + 21 c) k(x) = f(x) – 7 + x -7 -6 5 -4 3 2 y = f(x) 1 0 1 2 3 4 5 X vec u Wyznacz wzór funkcji g. f
1.56. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział liczbowy (- 4, 6) . Wyznacz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem: a) g(x) = f(x) – 12 c) g(x) = f(x) – 212 b) g(x) = f(x) + 30 d) g(x) = f(x) + 2345
1.55. Na rysunku obok znajduje się wykres funkcji f(x)=x^ 3 , gdzie kappa in langle-1,2 rangle . Funkcję g określa wzór g(x) = f(x) – 1 . a) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji g. b) Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji g z osią OY.
1.54. . Funkcję f określa wzór f(x)=|x|, gdzie x in(-5,4) . Wykres funkcji g powsta je w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji f o wektor vec u =[0,-4] . a) Podaj wzór funkcji g. b) Naszkicuj wykresy funkcji fi g w jednym układzie współrzędnych. c) Podaj najmniejszą wartość funkcji f oraz najmniejszą wartość funkcji g.
1.53. W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji g, opisa nej wzorem g(x) = sqrt(x) + 3 . Odczytaj z wykresu: a) argument, dla którego wartość funkcji g wynosi 5, b) wartość funkcji g dla argumentu 9, c) zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja g przyjmuje dla argumentów z przedzia (0, 4) tu
1.52. W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji g, opisa nej wzorem g g(x) = x ^ 2 – 1 Odczytaj z wykresu: a) miejsca zerowe funkcji g, b) zbiór wartości funkcji g, c) maksymalny przedział, w którym funkcja g jest malejąca.
1.51. W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji g, opisa nej wzorem g(x) = 1/x + 2 . Następnie podaj: a) miejsce zerowe funkcji g, b) zbiór wartości funkcji g, c) przedziały monotoniczności funkcji g. -6-5-4-3-2-1 -1 3 4 6 X
1.50. Dany jest wzór funkcji f i wektor . Podaj wzór funkcji g, której wykres vec u otrzymamy po przesunięciu równoległym wykresu funkcji f o wektor f(x) = – 4sqrt(x), u = [0, 4] a) c) b) f(x) = 3x ^ 2 , u = [0, – 1]; f(x)= 5 varphi , vec u =[0,2]; vec u , jeśli: . f(x)=- 1 2 |x|, vec u =[0,-8]
1.49. Podaj wzór funkcji g, której wykres otrzymamy po przesunięciu równole głym wykresu OY: funkcji f wzdłuż a) o 5 jednostek do góry, jeśli b) o 3 jednostki do dołu, jeśli c) o 7 jednostek do dołu, jeśli d) o 4 jednostki do góry, jeśli e) o 2 jednostki w dół, jeśli osi f(x) = – 2x + 1; f(x) = sqrt(x); f(x) = 3x ^ 2; f(x) = |x|; f(x) = 4/x f) o 3 jednostki do góry, jeśli f(x) = 1/5 * x ^ 3 W każdym przypadku podaj współrzędne wektora przesunięcia.
1.48. Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f. Naszkicuj wykresy funk cji g(x) = f(x) + 2ora; h(x) = f(x) – 5 Odczytaj współrzędne punktów, w któ . wykresy funkcji f, g oraz h przecina rych ją oś OY. Podaj miejsca zerowe funkcji f, g oraz h (o ile takie istnieją).
1.47. Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f. Naszkicuj wykresy funk cji g oraz h Odczytaj z rysunku współrzędne punktu, w którym wykres funkcji f przecina oś OY. Oblicz wartość wyrażenia
1.46. Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f. Naszkicuj wykresy funk cji g oraz h Odczytaj z wykresu wartość funkcji f dla wartość wyraże argumentu
1.45. Podaj, o ile jednostek i w k tórą stronę należy przesunąć równolegle wykres funkcji f wzdłuż osi OY, aby otrzymać wykres funkcji g, jeśli: a) g b) c) d) W każdym przypadku podaj współrzędne wektora przesunięcia.
1.44. O jaki wektor należy przesunąć wykres funkcji f, aby otrzymać wykres funkcji
1.43. Funkcja f jest opisana za pomocą tabeli: X f(x) -3 -4 0 2 1 9 6 11 28 81 -1 Opisz za pomocą tabelki funkcję określoną wzorem:
1.42. Funkcja f jest -2 f(x) 3 opisana za pomocą tabeli: 0 2 1 0 2 1 3 2 Wykonaj tabelę, opisującą funkcję h, której wykres powstanie w wyniku przesunię równoległego wykresu funkcji f: a) o 2 jednostki do góry b) dziedziny i zbiory wartości funkcji f i h. cia jednostek do dołu.
1.41. Znajdź obrazy następujących figur w przesunięciu równoległym o podany wektor.
1.40. Dany jest wzór funkcji fi współrzędne wektora . Wyznacz wzór funkcji g, któ rej wykres otrzymamy po przesunięciu równoległym wykresu funkcji f o wektor u.
1.39. Punkty (- 2, 5), (3, 1), (4, – 6) należą do wykresu funkcji f. Podaj trzy punkty, które należą do wykresu funkcji, określonej wzorem:
1.38. Miejscami zerowymi funkcji f są liczby -4, 0 oraz 6, a jej zbiorem wartości przedział liczbowy (- 3, 5) . Podaj miejsca zerowe oraz zbiór wartości funkcji g, jeśli g(x) = f(x + 8) .
1.37. Dziedziną funkcji f jest zbiór D f = langle-8,7 rangle . Podaj dziedzinę funkcji g, jeśli: a) g(x) = f(x + 2) c) g(x) = f(x – 137) b) g(x) = f(x – 10) d) g(x) = f(x + 2009)
1.36. Na rysunku obok znajduje się wy kres funkcji f(x) = |x| gdzie x in(-5,3) . Funkcję g określa wzór g(x) = f(x – 4) a) Wyznacz dziedzinę funkcji g. b) Podaj maksymalne przedziały monoto niczności funkcji g. 5 4 y = f(x) 3 -2 – 6 – 5 -4 -3 -2 -1 10 34 5X
1.35. Funkcję f określa wzór f(x) = x ^ 3 , gdzie x in(-2,2) . Wykres funkcji g po wstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji f o wektor vec u =[-2,0] a) Podaj wzór funkcji g. b) Naszkicuj wykresy funkcji fi g w jednym układzie współrzędnych. c) Porównaj miejsce zerowe funkcji g z miejscem zerowym funkcji f.
1.34. Naszkicuj wykres funkcji g, opisanej wzorem g(x)= 1 x-1 . a) Określ dziedzinę funkcji g. b) Oblicz współrzędne punktu, w którym wykres funkcji g przecina oś OY. c) Podaj maksymalne przedziały, w których funkcja g jest malejąca.
1.33. Naszkicuj wykres funkcji g(x) = sqrt(x + 2) . b) Podaj miejsce zerowe funkcji g. a) Podaj dziedzinę funkcji g.
1.32. Naszkicuj wykres funkcji g(x) = (x – 3) ^ 2 określonej w zbiorze R. Odczytaj z wykresu: a) wartość funkcji g dla argumentu 1, b) maksymalne przedziały monotoniczności funkcji g.
1.31. Podaj współrzędne wektora vec u wiedząc, że w wyniku przesunięcia równole głego wykresu funkcji f o wektor u otrzymano wykres funkcji g, jeśli: a) f(x) = 2x ^ 2 * i * g * (x) = 2 * (x – 5) ^ 2; f(x) = 2/x * i * g * (x) = 2/(x – 3) e) f(x) = – x ^ 3 * i * g * (x) = – (x – 1) ^ 3 b) f f(x) = sqrt(x) * i * g * (x) = sqrt(x + 10) d) f(x) = 0, 5x ^ 3 * i * g * (x) = 0, 5 * (x + 8) ^ 3 f) f(x) = |x| * i * g * (x) = |x – 4|
1.30. Podaj wzór funkcji g, której wykres otrzymamy po przesunięciu równole głym wykresu funkcji f wzdłuż osi OX: a) o 3 jednostki w lewo, jeśli f(x) = sqrt(x) b) o 2 jednostki w prawo, jeśli f(x) = x ^ 2 c) o 5 jednostek w prawo, jeśli f(x) = – 1/2 * x d) o 1 jednostkę w lewo, jeśli f(x) = |x| e) o 1 jednostkę w lewo, jeśli f(x) = x ^ 3 f) o 3 jednostki w prawo, jeśli f(x) = 1/x . W przesunięcia. każdym przypadku naszkicuj wykres funkcji g oraz podaj współrzędne wektora d) y = f(x – 10) AY -6 -5-4- 3 – 2 – 1; y = f(x) 45 3 21 6 X -2 y = f(x) 4 5 6 X -6-5-4-3-2-1 1 2 AY 2 1 -> y = f(x) 4 5 6 X -2 -1 3
1.29. Na rysunku jest przedstawiony wy kres funkcji f. Naszkicuj wykresy funkcji g(x) = f(x + 2) * o * r * a * z * h * (x) = f(x – 5) . Odczytaj z wykresu wartości funkcji f dla argumen tów: -2, 0 oraz 4. Podaj wartoś wyrażenia: a) g(- 4) * g * (- 2) + g(2) b) h(3) * [h(5) – h(9)] .
1.28. Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f. Naszkicuj wykresy funk cji g(x) = f(x + 3) oraz h(x)=f(x-2). Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funk cji f, g oraz h.
1.27. Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f. Naszkicuj wykresy funk cji g(x) = f(x – 4) oraz h(x)=f(x+1). Odczytaj z wykresu dziedzinę funkcji f, g oraz h.
1.26. Podaj, o ile jednostek, i w którą stronę należy przesunąć wykres funkcji f wzdłuż osi OX, aby otrzymać wykres funkcji: a) y = f(x – 4) W każdym przypadku podaj współrzędne wektora przesunięcia. b) y = f(x + 6) c) y = f(x + 5)
1.25. Funkcja f jest opisana za pomocą tabeli: f(x) X f(x) -2 -10 -1 -5 0 0 1 5 2 10 Przedstaw za pomocą tabelki funkcję g, opisaną wzorem: a) g(x) = f(x – 9) b) g(x) = f(x + 53) .
1.24. Funkcja f jest opisana za pomocą tabeli: X f(x) -2 0 0 2 1 0 2 1 3 2 1 Wykonaj tabelę, opisującą funkcję h, której wykres powstanie w wyniku przesunię cia równoległego wykresu funkcji f: b) o 2 jednostki w lewo. a) o 3 jednostki w prawo Przeanalizuj dziedziny i zbiory wartości funkcji fih.
1.23. Obrazem punktu B w przesunięciu równoległym o wektor vec u jest punkt B 1 Wyznacz współrzędne punktu B, jeśli: . a) B 1 (1,2) , vec u =[-5,0] b) B B 1 (3,-2) , u = [- 7, 1] c) B 1 (5,1) , vec u =[4,6]
1.22. Wyznacz współrzędne punktu A 1 , będącego obrazem punktu A w przesu nięciu równoległym o wektor u, jeśli: a) A(9,-1 ), vec u =[-8,3] b) A(-3,5),; vec u =[6,0] c) A(4, 7) , vec u =[1,3]
1.21. W trójkącie ABC dane są: A(- 5, 2) , C(1, 5) . Wiedząc, że gdzie D to środek boku AB, oblicz współrzędne wierzchołka B oraz długość boku AB. Przesunięcie równoległe. Przesunięcie równoległe wzdłuż osi OX
1.20. Oblicz współrzędne wierzchołków C cup D równoległoboku że A 4(- 4, 4); ABCD, , B(- 2, – 1) , a przekątne AC i BD przecinają się w punkcie Oblicz długości boków tego równoległoboku. wiedząc, S(- 1, 3) . vec CD =[-2,-6]
1.19. Punkty A(- 3, – 1) , B(1, 2) , C(2, 5) są kolejnymi wierzchołkami równ głoboku ABCD. a) Oblicz współrzędne wierzchołka D. b) Oblicz współrzędne punktu S przecięcia się przekątnych. vec BC są rów D A B
1.18. Dane są punkty A, B, C, D. Sprawdź, czy czworokąt ABCD jest równole bokiem. Następnie oblicz jego obwód. a) A(- 2, 1) , B(- 1, – 1) , C(2, 5) , D(1, 7) b) A(2, – 5) , B(7, 0) , C(2, 5) , D(0, 3)
1.17. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(- 2, – 3), B(1, 4) , C(- 1, 3) . a) Oblicz obwód trójkąta ABC. b) Oblicz długość środkowej BD.
1.16. Wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne: A(- 4, – 2) , B(5, – 1) , C(1 , Oblicz długości boków trójkąta ABC. Sprawdź, czy trójkąt ABC jest prostoką
1.15. Punkt S jest punktem przecięcia przekątnych AD, EB i FC sześciokąta foremnego ABCDEF. Z danych na rysunku odcinków utwórz wektory, które są równe wektorowi:
1.14. Dane są cztery różne punkty A, B, C, D. Jeśli wektory vec AB i vec CD to co można powiedzieć o wektorach
1.13. Punkt S jest punktem wspólnym odcinka AB i jego symetralnej. Wyzn współrzędne punktu A, jeśli:
1.12. Punkt S jest środkiem odcinka AB. Wyznacz punkt B, jeśli: a)
1.11. Dane są punkty A i B. Wyznacz współrzędne środka S odcinka AB trzema sposobami: 1) ze wzorów; 2) z równości wektorów AS i SB; 3) z informacji,
1.10. Na odcinku AB wyznacz punkt P tak, aby wektory AP i PB były sobie równe.
1.9. Dane są punkty A które z wektorów AB, BC, CD, AD, . Sprawdź, AE, CE są równe, a które przeciwne.
1.8. Wyznacz współrzędne punktu A, jeśli:
1.7. Wyznacz współrzędne punktu B, jeśli:
1.6. Oblicz długość wektora AB, jeśli:
1.5. Oblicz długość wektorów
1.4. Oblicz współrzędne wektorów
1.3. Oblicz współrzędne wektora vec AB , jeśli: a)
1.2. Odczytaj z rysunku współrzędne wektorów:
1.1. W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj podane wektory. Początek każdego wektora obierz dowolnie
29. Kąt a jest ostry. Wiedząc, że sin na + cos alpha = (sqrt(5))/2 oblicz sin^4 a + cos^4 a .
28. Kąt a jest ostry. Wiedząc, że
27. Oblicz wartość wyrażenia.
26. Czy 5 4 Oblicz: b) tga * sqrt(3) * cos alpha . °, w odległości 10 od wierz 60 degrees od drugiego ramienia tego kąta. . Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycz (sqrt(3))/3 jest równy sqrt(2) – 1 . Oblicz: b) sqrt(2) * c * t * g ^ 2 * alpha * sin^2 alpha . b) tg * alpha = 1, 5ictga = 0, 6 ? istnieje kąt ostry a, którego: a) sin alpha = 0, 6i * cos alpha = 0, 8
25. Cosinus kąta ostrego a a) 2sin^2 a – 2
24. Sinus kąta ostrego a jest równy a) t * g ^ 2 * a
23. Kąt a jest ostry i tga
22. Punkt A leży na jednym ramieniu kąta o mierze chołka tego kąta. Oblicz odległość punktu A
21. Oblicz wartość wyrażenia. a) (sin 30 degrees – cos 45 degrees)(cos 60 degrees + sin 45 degrees) b) (tg 60^ +ctg 45^ )^ 2 -6ctg 60^
20. Kolejka prowadząca na szczyt Gubałówki pokonuje na drodze długości 1340 m różnicę wzniesień 300 m. Zakładajac, że kolejka porusza się licz, pod jakim kątem wznoszą się tory kolejki. ob wzdłuż linii prostej
19. Oblicz obwód trójkąta ABC na rysunku poniżej z dokładnością do 0,1 cm. Sko korzystaj z odpowiednich danych umieszczonych w tabeli. D. to: mathfrak a < beta< gamma B. B < gamma < a C. gamma < beta < alpha beta = 63/65 sin B = D. gamma < alpha < beta /27 b = 9.7 cm sin a 0,755 0,970 tg a 1,150 4,011 49 degrees 76 degrees ctg a 0,869 0,249
18. Korzystając z danych przedstawionych na rysunku obok, oblicz wartość wyrażenia: sin^ 2 a-4 tg beta sqrt 1-cos^ 2 alpha .
17. skonstruuj kąt ostry a, wiedząc, że: al 8a = 2, 5 b) sin alpha = 1/5 b) wartość wyrażenia (2b)/(a + b) c) cos alpha = 0.4 .
16. W trójkącie prostokątnym a jest miarą kąta leżącego naprzeciw przyprostokąt s*alpha = 2/(sqrt(5)) nel długości a, zaś b jest długością drugiej przyprostokątnej. Wiedząc, że cos a =- oblicz: a) tangens a
15. W trójkącie ostrokątnym kąty mają miary alpha, beta, gamma . Jeśli cos alpha = 5/13 (8y= 3 4 , A.
14. Wartość wyrażenia A 1 15. W B. D. -tg 30^ . ct 8 40^ . ctg.50^ jest równa:
13. Wartość wyrażenia cos^2 (40 degrees) + cos^2 (50 degrees) + cos^2 (60 degrees) jest równa: B. 1 C. 1,75 A. 1,25
12. Kat * beta * j * e * s * t * o ostry i tg beta = 3 3. Wówczas wartość wyrażenia (tg * beta + ctg * beta) ^ 2 jest równa: A. 1 3 1/3 B. 9 1/9 C. D. 11 1/9
11. Wyrażenie cos^3 a + sin^2 a * cos a jest równe: A. 1 B. COS a C. sin a D. 1/(1 + sqrt(2)) D. 2
10. Jeślia jest kątem ostrym A. 1/(sqrt(2)) – 1 D. alpha + beta = 45 ° oraz tg * (90 degrees – a) = sqrt(2) – 1 , to tangens kąta a jest równy: B. 1 – sqrt(2) C. sqrt(2) + 1
9. Dla kątów ostrych a iß prawdziwa jest równość sin 1a = cos beta tylko wtedy, gdy: A. alpha = beta B. a + beta = 90 degrees C. a – beta = 45 degrees
8. Jeśli ctg * alpha = 3tg * alpha A. alpha = 30 degrees Z tego wynika, że: C. beta in(45^ ,60^ ) dla pewnego kąta ostrego a, to: B. a = 45 ° C. a = 60 degrees D. beta in(60^ ,90^ ) D. alpha = 75 degrees
7. Tangens kąta ostrego ß jest równy 1 1 2 , A. beta in(0^ ,30^ ) B. beta in(30^ ,45^ )
6. Kąt najkrótszego D. tg * beta = 2/(sqrt(5)) C. alpha in(45^ ,60^ ) D. alpha in(60^ ,90^ ) a jest ostry i cos alpha = 0, 8 . Wówczas: A. alpha in(0^ ,30^ ) B. a in(30^ ,45^ ) C. alpha in(45^ ,60^ ) D. alpha in(60^ ,90^ ) 7
5. Kąt a jest ostry i sin a = 0,9. Zatem: Α. alpha in(0^ ,30^ ) . B. alpha in(30^ ,45^ )
4. W trójkącie prostokątnym stosunek długości boku jest równy 3: 2. Jeśli najmniejszy kąt ma miarę A. tg * beta = 3/2 B. tg * beta = 2/3 D. ctga = sqrt(3) najdłuższego boku do B, to: 2 tg * beta = (sqrt(5))/2
3. Kąt ostry w trójkącie prostokątnym równoramiennym ma miarę a. Zatem: A. tg * alpha = sqrt(2) B. tg * alpha = 1/(sqrt(2)) C. ctg * alpha = 1
2. Jeśli jest kątem ostrym i cos a = alpha = 1/4, tc : sin a = (sqrt(15))/4 sin alpha = 3/4 B. sin a = 15/16 sin alpha = 1/16
1. W trójkącie prostokątnym na rysunku poniżej dany jest kąt ostry a. Zatem: sin alpha = 1/(sqrt(10)) cos alpha = 1/3 B. D. cos alpha = 1/(sqrt(10)) sin alpha = 1/3 V10
8.52. Kąt a jest ostry. Sprawdź, czy dana równość jest tożsamością trygonome tryczna. a c) sin alpha * (ctg * alpha)/(cos alpha) = 1 sin alpha + sin alpha * t * g ^ 2 * alpha = (tg * alpha)/(cos alpha) b) cos alpha * (tg * alpha)/(sin alpha) = 1 5a + cos a * c * t * g ^ 2 * a = (ctga)/(sin a) d) cos Test sprawdzający do rozdziału 8.
8.51. Kąt a jest ostry. Wykaż, że dana równość jest tożsamością trygonometryczną. a) 1-2 sin^ 2 alpha=2 cos^ 2 alpha-1 sin a * (1/(sin alpha) – sin alpha) = cos^2 alpha b) cos^2 a – sin^2 a = 2cos^2 a – 1 d) cos a * (1/(cos alpha) – cos alpha) = sin^2 alpha
8.50. Kąt a jest ostry. Zapisz dane wyrażenia w prostszej a) sin a ctg a (tg)/(sin alpha) el cos a + cos a * t * g ^ 2 * a 1/(sin^2 a) * (1 – cos^2 a) b) sin a * cos^2 a + sin^3 a d) f) h) 1/(sin alpha) – cos alpha * c * t * g * alpha sin a + cos a * c * t * g * a (cos a + tg * alpha * sin alpha) * c * t * g * alpha 7
8.49. Wiedząc, że kąt a jest ostry oraz sin a – cos a = a) sin a * cos alpha c) tg a + ctg a oblicz: cos a – sin alpha d) ctg * alpha – tg * alpha . – cos alpha = 1/3, ob postaci. : oblicz: b) sin a + cos a d) tga – ctga .
8.48. Wiedząc, inx * cos alpha al sin d * sin^2 alpha – cos^2 alpha że a E (45 degrees, 90 degrees) oraz sin a + cos alpha = 5/4 b)
8.47. Wiedząc, że kąt a a) (sin a + cos a) ^ 2 c) tg * alpha + ctg * alpha b) sin 65 degrees , cos 30 degrees °, cos 20 degrees tg 50^ , sin 50^ , cos 50 degrees cos alpha = 1/4 jest ostry oraz sin a · cos a = ‘ oblicz: b) (sin alpha – cos alpha) d) sin^4 a + cos^4 a .
8.46. Ustaw dane liczby w porządku rosnącym, bez użycia kalkulatora i tablic try gonometrycznych. a) sin 40 degrees °, cos 40 degrees , sin 45 degrees ° c) tg 45 degrees , tg 46 degrees , ctg 46^
8.45. Wykaż, że prawdziwa jest równość: a) 1/2 * sin^2 (51 degrees) – sin 30 degrees * cos^2 (39 degrees) = 0 b) 2 sin 60^ * cos 30^ -ctg 29^ * ctg 61^ = 1 2 c) cos^ 2 27^ +cos^ 2 63^ +tg^ 2 60^ =4 2sin^2 (15 degrees) – 2cos^2 (15 degrees) + 4sin^2 (85 degrees) = 2 . d)
8.44. Oblicz, stosując wzory redukcyjne. a) tg 43^ * tg 44^ * tg 45^ * tg 46^ * tg 47^ b) d) b) ctg 25^ * ctg 35^ 0 * ctg 45^ * ctg 55^ * ctg65^ c) sin^2 (75 degrees) + sin^2 (15 degrees) – 2sin 30 degrees d) równa 1. sin^2 (10 degrees) + sin^2 (80 degrees) ° ctg 15^ * ctg 45^ * ctg 75^ (cos 52 degrees – cos 38 degrees) ^ 2 + 2sin 38 degrees * sin 52 degrees + 2cos 60 degrees e) ctg 40^ +ctg 50^ * ctg 60 ° f) tg 40^ * tg 50^ * tg 60^ D
8.43. Wykaż, że wartość danego wyrażenia jest a) cos^2 (90 degrees – 20 degrees) + cos^2 (20 degrees) c) tg 89^ * tg(90^ -89^ )
8.42. Zbadaj, czy istnieje kąt ostry a, dla którego spełnione są następujące warunki: a) sin alpha = 3/4 * i * cos alpha = 1/4 c) tg * alpha = sqrt(2) – 1ictg * alpha = sqrt(2) + 1 b) d) sin alpha = 2/(sqrt(5)) * i * cos alpha = (sqrt(5))/5 cos alpha= 8 17 ; tg alpha= 13 8 D
8.41. Dana jest jedna funkcja trygonometryczna kąta ostrego α. Zbuduj trójkąt prostokątny, którego jeden z kątów ma miarę α. Następnie, korzystając z własności tego trójkąta, oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne kąta α.
8.40. Dana jest jedna funkcja trygonometryczna kąta ostrego a. Zbuduj trójkąt pro Tokatny, którego jeden z kątów ma miarę a. Następnie, korzystając z własności tego trojkąta, oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne sin alpha = 3/Delta tga = 1/3 kąta a. ay b) cos alpha = 1/4 c) d) ctg a=7
8.39. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego a, wie dząc, że: al alpha = 1 1/3 b) tg * alpha = 5/12 c) ctg * alpha = 1 7/8 d) ctg * alpha = 2 .
8.38. Oblicz wartość wyrażenia: a) (4sin alpha – 5cos a)/(cos a + 3sin a) jeśli tg * alpha = 5 (cos alpha + 2sin alpha)/(sin alpha – cos alpha), cos alpha * cos alpha =4 b) b) (sin alpha – cos alpha)/(cos alpha) 2/3 Bez wyznaczania wartości sinusa (2 – 2sin^2 alpha)/(sin^2 alpha) (8sin alpha – cos alpha)/(7sin alpha + 6cos alpha) (2sin^2 alpha – cos^2 alpha)/(2cos^2 a + sin^2 alpha), jesiict jeśli sictg * alpha = 3 ctg * alpha = 2 . kąta a, b) d)
8.37. Cotangens kąta ostrego a jest równy cosinusa kąta a, oblicz: a) (sin alpha – cos alpha)/(sin alpha)
8.36. Tangens kąta ostrego a jest równy 2 1/2 Bez wyznaczania wartości sinusa i co sinusa kata a, oblicz: al (sin^2 alpha)/(1 – sin^2 alpha)
8.35. Cosinus kąta ostrego a jest równy oblicz: a) sin^2 alpha – 1 Bez wyznaczania wartości cosinusa kąta a, b) 1/5 sin^4 a + cos^2 a * sin^2 a . Bez wyznaczania wartości sinusa b) cos^4 a – sin^4 a .
8.34. Sinus kąta ostrego a jest równy – oblicz; a!sin^2 a – cos^2 a
8.33. Oblicz dząc, że: a) sin alpha = 3/5 pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego a, wie b) sin alpha = 3/(sqrt(10)) c) cos alpha = 24/25 d) cos alpha = 5/6
8.32. Ustal, do jakiego przedziału należy: a) sina, jeśli a in langle30^ ,45^ rangle c) cosa, jeśli alpha in(0^ ,30^ ) jeśli a in langle45^ ,60^ ) g) ctgd , jeśli a in(0^ ,45^ ) e) tga , kąt ostry między nimi jest równy y: a=6 cm, b = 2 cm , y = 45 ° b) sina, jeśli alpha in langle60^ ,90^ ) d) cosa, jeśli a in(30^ ,45^ ) tga, jeśli alpha in(30^ ,90^ ) alpha in langle30^ ,60^ ) . f) g) ctg a, jeśli Zależności między funkcjami trygonome trycznymi tego samego kąta ostrego.
8.31. W trójkącie dwa boki mają długość a i b, a Oblicz pole tego trójkąta. a) a = 8 cm, b = 7 cm , y = 60 degrees ° b)
8.30. Kąty a iß w trójkącie na rysunku poniżej są ostre. Wyznacz ich miary, korzy stając z odpowiednich funkcji trygonometrycznych kątów ostrych. a) b) V3 213 c) d) sqrt(12) trójkąta, jeśli: V27 6
8.29. W trójkącie ABC kąty a iß są a) sin alpha = 1/2 * i * c * t * g * beta = 1 cos alpha = (sqrt(2))/2 * i * c * t * g * beta = (sqrt(3))/3 c) . ostre. Wyznacz miary kątów tego b) sin alpha = (sqrt(3))/2 * i * t * g * beta = sqrt(3) d) tga = 1i * sin beta = (sqrt(2))/2
8.28. Wyznacza a,a in(0^ ,90^ ) , wiedząc, że: a) tg a = 1 b) cos alpha = 1/2 c) sin alpha = 1/2 d) ctg alpha= sqrt 3 ,
8.27. Oblicz obwód czworokąta ABCD, korzystając z odpowiednich funkcji trygono metrycznych kątów ostrych. a) ABCD – równoległobok. 4 cm 120 (60^ 30 b) ABCD – trap , CDEF-kwadrat. 135 degrees 120 3 cm 30 2 cm 105 degrees
8.26. Oblicz obwód trójkąta ABC, korzystając z odpowiednich funkcji trygonome trycznych kątów ostrych. a) 5 cm b) 60 degrees A 3 cm 130 6 cm 30 45 degrees
8.25. Oblicz: a) (cos 45 degrees – cos 30 degrees)(cos 45 degrees + cos 30 degrees) b) (3 sin 45^ +tg 60^ )*(3 sin 45^ -tg 60^ ) . c) ( sin 60^ +cos 30^ )^ 2 =(sin 30^ +cos 60^ ) d) ( – 60^ -sin 30^ )*(cos 60^ -ctg 30^ ) e) 4(ctg 45° + sin 60°) · (cos 30° + tg 45°) 2(tg 30° – sin 45°). (cos 45º- ctg 60°).
8.24. Oblicz: a) 4. cos 60 degrees * sin 30 degrees – cos 30 degrees * sin 60 degrees b) ctg 30^ * ctg 45^ :(ctg 60^ * tg 45^ ) c) 18* sin 30^ * t B 30^ :(cos 30^ * t B 60^ ) d) e) f) 6*(sin 30^ * cos 45^ * ctg 60^ ):(ctg 30^ * sin 45^ ) 12*(tg 60^ -cos 60^ )*(tg 30^ +cos 30^ ) (sin.45^ +ctg 45^ )*(6* sin 60^ -ctg 30^ ) .
8.23. Dane są długości boków aib trójkąta ostrokątnego oraz jego pole P. Wyznacz miarę kąta leżącego między danymi bokami. a) a = 10 , b = 8 , P=30, b) a = 8 , b = 7 , P=9,6 Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kątów 30 degrees , 45 degrees i 6O^
8.22. Dane są długości a i b dwóch boków trójkąta oraz miara kąta y między nimi. Oblicz pole tego trójkąta. a) a = 10 cm , b = 5 cm, y = 70 degrees b) a = 16 cm , b = 15 cm , y = 32 degrees
8.21. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, langle C|=90^ °. W tym trójkącie poprowadzo na że A * C ^ 2 = |AB||AD| . wysokość CD. Wykażemy, Oznaczmy | langle A|= alpha|| langle B|= beta . Wówczas | triangleleft BCD|= alpha i| langle DCA|= beta(dlaczego?) Obliczmy cos a na dwa sposoby. Z zależności w trójkącie prostokątnym ABC otrzymujemy równość cos alpha = |AC|/|AB| Z zależności w trójkącie prostokątnym ADC otrzymujemy zależność cos alpha = |AD|/|AC| Zatem |AC| |AB| = |AD| |AC| ,cZy|| |AC^ 2 =|AB|*|AD| Postępując analogicznie, wykaż, że: a) |BC| ^ 2 = |AB||DB| b) |CD| ^ 2 = |AD||DB|
8.20. Porównaj liczby: a) sin 20 degrees i sin 51 degrees lag 75^ i ctg 27^ g 18 degrees * i * sin 18 degrees ° b) cos 15 degrees * i * cos 62 degrees d) tg 26^ i tg 29^ f) cos 80^ l ctg 80^ . e 0
8.19. Z okna znajdującego się na wysokości h zmierzono dwa kąty a xi * beta (patrz ry sunek poniżej). 193 Jaka wysokość ma wieżowiec?
8.18. Janek stoi na stromym brzegu jeziora, 16 m nad jego poziomem. Zauważył. płynie łódź, której kąt depresji ma miarę 21 degrees . W jakiej znajduje się łódź? że po jeziorze brzegu odległości od
8.17. Kąt wzniesienia baszty, zmierzony w odległości 80 m od jej podstawy, ma
8.16. Drzewo mające 14 m wysokości, rosnące na równinie, rzuca cień długości
8.15. Promienie słoneczne padają pod kątem 16 degrees . Oblicz długość cienia, który rzu ca maszt mający 12,5 m wysokości.
8.14. W równoległoboku ABCD wysokości mają długość 4 cm i 5 cm, a kąt rozwarty ma 115 degrees . Oblicz obwód tego równoległoboku z dokładnością do 0,1 cm.
8.13. W pewnym kąt a. Oblicz obwód tego prostokąta. a) d = 9 cm , cos alpha = 0, 6 c) d=2 sqrt 17 cm,tg a=0,25 b) d) d=2 1 3 cm,sin alpha= 1 7 , d = 4sqrt(5) * c ctga = 3
8.12. W trójkącie prostokątnym naprzeciw kąta ostrego długości a. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta. a) c) q = 40 cm , sin alpha = 0.8 a = 3 cm, cos alpha = 8/17 b) a= 5 cm, sin a = (sqrt(3))/2 d) a= sqrt 6 cm. , cos a = 0, 5 prostokącie przekątna ma długość d i tworzy z jednym z boków
8.11. W trójkącie prostokątnym naprzeciw kata ostrego a leży przyprostokątna długości a. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta. a = 4 cm, tg * alpha = 8/15 b) a = 10 cm , ctgx = 2, 4 d) a = 6 cm , ctg * alpha = sqrt(3) a leży przyprostokątna a) c) a = 7 cm , tg * alpha = 1
8.10. b) cos alpha = 5/6 c) tg * alpha = 1/3 Zbuduj taki kąta alpha, alpha in(0^ ,90^ ) , dla którego: a) sin alpha = 2/(sqrt(5)) b) cos alpha = 1/(2sqrt(2)) tga = sqrt(7) d) ctga = 4 . d) ctg * alpha = 4/(sqrt(6))
8.9. Zbuduj taki kąta, alpha in(0^ ,90^ ) , dla którego: a) sin alpha = 3/5
8.8. W trojkącie prostokątnym przyprostokatna przeciwległa katowi a ma dtu gość a, druga przyprostokątna ma długość b, a przeciwprostokątna c. Wiadomo, że (b ^ 2 + c ^ 2)/(6ac) sin alpha = 2/3 Oblicz wartość wyrażenia
8.7. Oblicz wartość wyrażenia, wykorzystując dane 2 rysunku obok: b) (os * alpha + sin alpha)/(sin alpha – cos alpha) (18a + 2ctga)/(sin a * cos alpha) 7 VE
8.6. Oblicz wartość wyrażenia, wykorzystując dane z rysunku obok a 1 4* sin^ 2 a* cos^ 2 a+tg^ 2 a* ctg^ 2 a b) (sin alpha + tg * alpha) ^ 2
8.5. Oblicz wartość podanego wyrażenia, wykorzystując dane z rysunku obok. a) 1 + 2sin alpha * cos alpha b) (tga * cos a + ctga * sin alpha) ^ 2
8.4. Oblicz wszystkie wysokości w trójkącie na rysunku poniżej z dokładnością do 0,1 cm: al 10 cm b) c) 10 cm 20 110/10 cm 56 62
8.3. Korzystając z danych w trójkącie na rysunku poniżej, oblicz wysokość h 0, 1cn b) 80 h 3 ) c) 6 cm 209 32 degrees 20 cm 60 z do
8.2. Oblicz długość boku x, zaznaczonego na rysunku poniżej, z dokładnością do 0,1 cm (patrz tabela wartości funkcji trygonometrycznych, str. 261) . a) b) c) 65 degrees 15 cm 10 cm 24 20 cm 20 d) 12 cm e) 1 cm f) X 13 63 degrees 7 cm 58 degrees X
8.1. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta a w trójkącie prostokątnym na rysunku poniżej: a) b) c) 17 5 12 d) e) f) 8 12 2a
40. Punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, punkty A 1 ,B 1 , C 1 są środkami K, L, M są środkami odcinków SA, SB, SC. Udowodnij, że boków, a punkty Delta A,B,C 1 equiv Delta KLM .
39. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: |AB| = 32 cm , AC = 24 cm. Symetralna boku BC przecina ten bok w punkcie D, bok AB w punkcie Ei urzedłużenie boku AC w punkcie F. Udowodnij, że trójkąt EBD jest podobny do trojkata EAF i oblicz skalę tego podobieństwa. D
38. W prostokącie ABCD poprowadzono odcinek AE prostopadły do przekątnej DB i punkt E należy do boku DC prostokąta. Przekątna DB przecina się z odcinkiem AE Wounkcie P. Wiedząc, że |AP| = 8 cm, |PE| = 2 cm , oblicz: a) drugość przekątnej prostokąta b) długość boków prostokąta.
37. Przez punkt K przecięcia się przekątnych AC i BD trapezu poprowadzono prostą m prostopadła do obu podstaw trapezu, która przecina krótszą podstawę DC trape zu w punkcie L, a dłuższą podstawę AB w punkcie M. Wiedząc, że LM = 12 cm * o * r * a * z , že Mt =2 cm i/LC=3cm , oblicz długość przekątnej AC trapezu.
36. Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A 1 B 1 C 1 , a jego obwód jest o 25% krótszy od obwodu trójkąta A 1 B 1 C . Podaj, w jakiej skali trójkąt A 1 B 1 C jest podobny do trójkąta ABC
35. Obwód trójkąta A 1 B 1 C podobnego do trójkąta ABC w skali 0, 25 jest o 12 cm krótszy od obwodu trójkąta ABC. Wyznacz obwody tych trójkątów.
34. Boki trójkąta ABC mają długość: wykaż trójkąt ABC jest prostokątny. |AB| = 4, 8 cm , |BC| = 6, 4 cm oraz M W N AC = 8 cm trójkąt ABC jest podobny do trójkąta prostokątnego, w którym jedna wykaż, że 2 przyprostokątnych stokątnej. Podaj jest równa 8 cm, a druga jest o 4 cm krótsza od przeciwpro skalę tego podobieństwa.
33. Przez punkt mathbb W w którym przecinają się dwu sieczne kątów AIB trójkąta ABC, prowadzimy rów do boku AB. Ta równoległa przecina proste nolegla AC / B * C odpowiednio w punktach MiN. Wykaż, że MN = |AM| + |BN| . D
32. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku AC. Z punktu D poprowadzono DE perp AB oraz E in AB,Wyka polowie wysokości CF. D
31. W trójkącie ABC boki AC i BC mają taką samą dłu gość. Na półprostej BC poza bokiem BC zaznaczono punkt D tak, że prosta przechodząca przez punkt Di pro stopadła do boku AB przecina się z bokiem AC w punkcie E. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoramienny. E E!
30. W trójkącie prostokątnym równoramiennym środkowa poprowadzona na prze ciwprostokątną ma długość 6 cm, z wierz chołka kąta ostrego tego trójkąta. Oblicz długość środkowej poprowadzonej D
29. W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest o ciwprostokątnej. Druga przyprostokątna ma długość 9 cm. Oblicz: 3 cm a) obwód trójkąta krótsza od prze b) odległość punktu przecięcia środkowych trójkąta od wierzchołka kąta prostego.
28. Przekątne równoległoboku mają długość 10 cm i 8 cm. Wykaż, że obwód czwo D rokąta powstałego z połączenia kolejno środków boków tego równoległoboku jest równy 18 cm.
27. W wiedząc, że wyraża się ona liczbą całkowitą.
26. Dany jest trójkąt równoramienny ABC S 1 |AB|=|BC| , o obwodzie 200 cm. W trójka cie tym poprowadzono środkowe AD I CE. Obwód trójkąta ACE jest o 20 cm większy od obwodu trójkąta ABD. Oblicz długości boków trójkąta ABC. trójkącie dwa boki mają długość 3,15 i 0,78. Wyznacz długość trzeciego boku,
25. Rozpatrujemy trójkąty, których boki są kolejnymi liczbami naturalnymi, a ob jest mniejszy od 17. wód a) Wyznacz długości boków trójkąta, który ma największy obwód. b) Dla wyznaczonego trójkąta oblicz długość odcinka łączącego środki dwóch krót szych boków.
24. Oblicz długości boków trójkąta równoramiennego ABC wiedząc, że |AB| = 2a + 5 , |BC| = a + 6, |CA| = 4a – 1 .
23. W trójkącie ABC przedłużono bok AB poza wierzchołek Biodłożono odcinek BD, równy odcinkowi BC. Połączono punkty ci o wykaz, že |er[DA|= 1 2 |
22. W trójkącie ABC dwusieczna poprowadzona z wierzchołka C przecina przeciw legły bok w punkcie D. Wiedząc, że langle BDC|=100 ° i że odcinek CD jest równy jedne mu z boków wychodzących z wierzchołka , oblicz miary katów trójkąta ABC. D
21. Miary kątów wewnętrznych pewnego sześciokąta pozostają w stosunku 1/2 / 3 / 4 / 3 / 2 . Wykaż, że ten sześciokąt jest figurą wklęsłą.
20. Liczba przekątnych pewnego wielokąta foremnego jest trzy razy większa od licz by jego boków. Oblicz miarę kąta wewnętrznego tego wielokąta. D
19. W trójkącie ABC poprowadzono trzy proste równoległe do podstawy AB, dzielą Cebok BC na cztery odcinki równej długości. Suma długości odcinków tych prostych zawartych w trójkącie ABC jest o 6 dm większa od podstawy AB. Oblicz długość boku AB,
18. W trójkącie ABC dane są długości boków: |AB| = 12 cm, |BC| = 8 cm, |AC| = 10 cm . Punkt D dzieli bok AB na takie dwa odcinki, że AD|:|DB|=3:5 . Przez punkt D popro wadzono prostą równoległą do boku AC, która przecięła bok BC w punkcie E. Oblicz dugości odcinków: CE, BE I DE.
17. W równoległoboku ABCD dwusieczna DE kąta rozwartego ADC i prosta BC wy znaczają dwa kąty przyległe, których miary pozostają w stosunku 2:3. Oblicz miary katów równoległoboku ABCD.
16. Kat zewnętrzny przy podstawie trójkąta równoramiennego jest większy 0.36 degrees zewnętrznego przy jego wierzchołku przeciw podstawy. Wyznacz kąty od kata tego trójkąta.
15. W trójkącie ostrokątnym ABC mo, że | DB|=2,5 cm A |EB| = 2 cm dwie wysokości CD , |CD| = 5 cm oraz |AE| = 4 cm . Wówczas: B. |EB|=2 1 4 cm C. |EB| = 3 cm i AE. Wiado |EB|=3 1 8 cm Zadania powtórzeniowe do rozdziału 7.
14. W trójkącie ABC na rysunku obok |AD|=1 1 5 cm , , |DB| = 7, 5 cm . Odcinek CD ma długość: A. 2 cm C. 4 cm B. 3 cm D. 5 cm
13. Dane są trzy trójkąty:
12. W trójkącie o bokach długości 4, 5, 6 połączono środki boków i otrzymano w ten sposób nowy trójkąt. Obwód nowego trójkąta jest równy: A. 5,5 B. 6,5
11. W trójkącie prostokątnym równoramiennym wysokość poprowadzona na prze ciwprostokątną ma długość a. Długość przeciwprostokątnej jest równa: A. 2a B. sqrt(2) * a C. a/(sqrt(2))
10. W pewnym trójkącie dwusieczna tylko jednego kąta zawiera wysokość tego trójkąta. Zatem trójkąt ten jest: A. rozwartokątny B. prostokątny C. równoramienny D. równoboczny
9. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest o 1 cm krótsza od prze ciwprostokątnej, a druga przyprostokątna ma 5 cm długości. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość: A. 5 cm B. 10 cm C. 13 cm D. 15 cm
8. Dwa boki trójkąta mają długość 4 oraz , a obwód tego trójkąta jest liczbą natu 5 1/2 tego trójkąta może mieć maksymalnie długość równą: B. 8,5 C. 7,5 D. 5, 5 ralną. Trzeci bok А. 9
7. Na rysunku obok proste a i b są równoległe. Zatem: A. x = 2 C. x = 6 B. x = 4 D. x = 8 3
6. Dany jest odcinek AB [C, A] = 5, 5 cm |C 2 B|= Bigg( 2 11 Bigg)^ -1 cm oraz punkty C 1 ,C 2 ,C 3 prime spełniające warunki: |c 2 A|=3,(7)cm |C 3 A|= sqrt 18 cm C 2 B|=3 7 9 cm |C 3 B|=3 sqrt 2 cm Do symetralnej odcinka AB spośród punktów C 1 ,C 2 ,C 3 : A. należy tylko punkt C 1 C. nie należy żaden punkt B. należą tylko punkty C 1 C 2 D. należą wszystkie punkty.
5. Na rysunku obok BA|<|CB| oraz |AD|=|DC . Prawdziwe jest zdanie: Prosta BD nie jest symetralną odcinka AC i półprosta BD nie jest dwusieczną kąta ABC. B. Frosta BD nie jest symetralną odcinka AC i półprosta 3D jest dwusieczną kąta ABC. 5 Frosta BD jest symetralną odcinka AC i półprosta * jest dwusieczną kąta ABC. BD^ -* D. Prosta BD jest symetralna odcinka AC i półprosta BD nie jest dwusieczną kąta ABC.
4. Punkt C dzieli odcinek AB długości 48 cm na dwa odcinki, których stosunek dłu gości jest równy |AC| / |BC| = 3/5 . Z tego wynika, że: |AC| = 30 cm i |BC| = 18 cm boxed AC =18 cm i |BC| = 30 cm B. AC = 20 cm i BC = 28 cm D. AC = 28 cm i |BC| = 20 cm
3. Na rysunku obok proste a i b są równoległe, zaś prosta k jest prostopadła do prostej I. Zatem: A. c = 35 degrees C alpha = 45 degrees B. a = 40 degrees D. alpha = 50 degrees D. kąt o mierze 175° b 130%
2. Figurą wypukłą i nieograniczoną jest: A odcinek B. koło C. okrąg
1. Kąty przyległe a, B są zaznaczone na rysunku: A B. D.
7.150. Na rysunku obok punkty B, C, D są współliniowe. Trójkąty BCA i CDE są prostokąt ne, a czworokąt ACEF jest kwadratem. Da) Wykaż, że trójkąty ABC i CDE są podobne. b) Wiedząc dodatkowo, że |AC| : |AB| = 3/4 , oblicz skalę podobieństwa trójkąta CDE do trójkąta ABC.
7.149. Podstawa AB trójkąta ostrokątnego ABC ma długość 10 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość 8 cm. W ten trójkąt wpisano kwadrat tak, że dwa jego wierzchołki należą do podstawy AB, a dwa długość boku kwadratu. do boków ACI BC. Oblicz
7.148. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 6 cm, a wyso kość CD ma 12 cm. W trójkąt ten wpisano kwadrat, którego dwa wierzchołki należą do podstawy AB, a dwa – do ramion AC i BC. Oblicz długość boku kwadratu.
7.147. W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 30 cm, a ramię 25 cm. Oblicz odległość środka podstawy od ramienia tego trójkąta.
7.146. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: |AB| = 8 cm |AC| = 4cn . Punkt D dzieli bok AB w stosunku |AD:|DB|=1:3 . Punkt E należy do i boku BC i odcinek DE jest prostopadły do boku BC. Oblicz |CE| / |EB| .
7.145. W trójkącie równoramiennym ABC są dane: |AC| = |BC| = 26 cm, |AB| = 20 cm Oblicz odległość środka S wysokości . AC. CD od ramienia
7.144. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta proste go dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki, jest o 2 krótszy od tej wysokości, a drugi o 3 od niej dłuższy. Oblicz długość przeciwprostokątnej. z których jeden
7.143. Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 20 cm. Spodek najkrótszej wyso Wyznacz długości kości dzieli przeciwprostokątna na dwa odcinki w stosunku 9 : 16. boków tego trójkąta.
7.142. Boki trójkąta rozwartokątnego Na boku AB zaznaczono punkt D w taki sposób, że | langle CDB big|=| langle ACB big| ). Oblicz dlugości ABC mają długość: |AB| = 10, |BC| = 8, |AC| = 5 odcinków CD i DB.
7.141. W trójkącie ABC dane są długości boków: . Na boku AC zaznaczono punkt BC|=8 cm |AC| = 12 cm D 1 a na boku BC punkt Ew taki sposób, że Wiedząc, że DE = 4 cm, oblicz długość odcinka AB. DC=2 cm, CEl = 3 cm .
7.140. W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki długości AD = 4 cm ||DB|=10 cm Bok BC ma 16 cm długości. Wyznacz długości odcinków, na metralna boku AB podzieli bok BC.
7.139. W trapezie podstawy mają długość 10 cm i 4 cm, a wysokość jest równa ?cm. Wyznacz odległości punktu przecięcia się przekątnych trapezu od podstaw.
7.138. W trapezie długości podstaw wynoszą 5 cm i 8 cm, a długości ramion: 3 cm 14 cm. Ramiona trapezu przedłużono do przecięcia w punkcie P. Oblicz obwód trój Kta, którego jednym z wierzchołków jest punkt P, a dwa pozostałe są końcami dłuż 52 podstawy trapezu.
7.137. W trójkącie prostokątnym ABC, w którym | C|=90^ °, |AB| = 51 cm , BC = 24 cm, poprowadzono odcinek DE długości 15 cm, równoległy do boku AC Eh, że E in BC D in AB . Oblicz długości odcinków CEI AD.
7.136. Obwód trójkąta ABC jest równy 21 cm. Prosta równoległa do podstawy AB przecina wysokość CD w punkcie P, a boki AC i BC – odpowiednio w punktach E i F. Wiedząc, że |DP| / |PC| = 1/2 , oblicz obwód trójkąta CEF.
7.135. Trójkąt 4 1 B 1 C 1 jest podobny do trójkąta ABC w skali s. Wiedząc, że obwód trójkąta ABC jest o 60% krótszy od obwodu trójkąta A 1 B 1 C 1 , oblicz: a) skalę s b) o ile procent obwód trójkąta A 1 B,C 1 jest dłuższy od obwodu trójkąta ABC.
7.134. Obwód trójkąta ABC podobnego do trójkąta A 1 B 1 C jest równy 14 cm. Wiedząc, że: A 1 B 1 |=2 cm 1 |B 1 C 1 |=3 1 3 cm oraz |A 1 C 1 |=4 cm , oblicz: a) skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta A 1 B 1 C 1 b) długości boków trójkąta ABC.
7.133. Boki trójkąta ABC mają długość: |AB| = 8 cm BC = 10 cm |AC|=12 cm. jest podobny do trójkąta ABC i jego obwód jest równy 6 cm. Oblicz: a) skalę podobieństwa trójkąta A 1 B 1 C 1 do trójkąta ABC Trójkąt A,B, C, b) długości boków trójkąta A 1 B 1 C 1
7.132. Obwód trójkąta ABC jest równy 9 cm. Trójkąt A 1 B 1 C 1 jest podobny do trój kąta ABC w skali k = 4 , a dwa jego boki mają długość: |A 1 B 1 |=10 cm,|A 1 C 1 |=12 cm . Oblicz długość boków trójkąta ABC. podobieństwo trójkątów W zadaniach – 2astos
7.131. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość |CA| = 5, 5 cm , |CB| = 30 cm . Trójkąt A 1 B 1 C 1 jest podobny do trójkąta ABC, a|A 1 B 1 |=122 cm . Oblicz długości pozostałych boków trójkąta A 1 B 1 C 1 .
7.130. Na rysunku poniżej a) D 4 3 9 trójkąty ABC i DEF są podobne. Wyznacz długość x. b) B a 6 beta 2 3 4 D 8 alpha A D 6. c) d) 3 alpha E E in alpha 3 B 9 7.
7.129. Wykaż, że trójkąt ABC jest podobny do wskazanego poniżej trójkąta i podaj skalę tego podobieństwa. a ADEC b) ADEC D. 2y 2x B c) ADEF d) AABD 60″ e ^ (1/2 * Lambda ^ 2) E 2. 60 degrees 4 B B 2 e) ACDB f) AADC 5 5 1/3
7.128. Wykaż podobieństwo trójkątów: a) ABS I ACDS AB||CD b) triangle ABDi triangle AEC DA 8 ABD I ADEC d) A ABC i ACDB
7.127. Czy dane trójkąty są podobne? Odpowiedź uzasadnij. a) ABC i AADE, jeśli ED||CB b) AABC I ADEF 4,5 D 6 B d ABCI ADER d) Delta*A * D * C * i * Delta * B * D * C 8 el AABD i ABCD, jeśli AB| ne|BC| f) ΔΑΒCi ΔΟΕΕ 6 5 6 7,2 D 4,8 D7.
7.126. Na bokach AB, BC i CA trójkąta równobocznego ABC zaznaczono odpowied nio punkty E, F, D tak, że |AE|=|BF|=|CD|= 1 3 |AB|.WVkaz, , że trójkąt EFD jest równo boczny oraz że boki tego trójkąta są prostopadłe do boków trójkąta ABC. c D bullet O Podobieństwo trójkątów
7.125. Punkt D należy do boku AB trójkąta równobocznego ABC (zobacz rysunek obok). Bok B do punktu E. Wykaż, że jeśli |BE| = |AD| równoramienny. CB przedłużono poza punkt jest to trójkąt CDE D
7.124. Prosta przecina dwa okręgi współśrodkowe odpowiednio w punktach A, D i B, C, jak na rysunku obok. Wykaż, że AB = CD.
7.123. Trójkąty ABC i CDE są równoramienne, |AC| = |BC| |CD|=|CE oraz langle ACB]=| langle DCE|,Wykai , że AD = |BE| . Prosta przecina dwa okręgi współśrodkowe od powiednio w punktach A,D:B,C, jak na Wykaż, że |AB| = |CD| . D
7.122. w trójkącie równobocznym o boku a przedłużono bok Ac poza punt A o odcinek AA 1 punkt ,, AA 1 |=1 , bok AB poza punkt Bo odcinek BB 1 ,|BB 1 |=1 , bok BC poza Co odcinek CC 1 ,|CC 1 |=1 Udowodnij, że trójkąt A 1 B 1 C 1 jest równoboczny. 0
7.121. Na jednej z dwóch prostych przecinających się w punkcie O zaznaczamy punkty A, B w taki sposób, że punkt O jest środkiem odcinka AB. Na drugiej prostej Laznaczamy punkty C, D w taki sposób, że punkt O jest również środkiem odcin ka CD. Wykaż, że pr. AC || pr. BD.
7.120. W trójkątach ostrokątnych ABClA,B,C 1 , poprowadzono wysokości CDIC 1 D Wykał, że MABC= Delta A,B,C 1 ,, jeżeli | langle A|=| langle A 1 |,| langle B|=| langle B 1 ||||CD|=|C 1 D 1 | D
7.119. W trójkątach ABCiA, B, C poprowadzono dwusteczne CDic,D 1 ,V Wykaż, że wiedząc, że |CD|=|C 1 D 1 | , |DA|=|D 1 A 1 | oraz | langle CDA big|=| langle C 1 D 1 A big| . ABC= 14,8,, 0
7.118. W trójkątach ABC i A 1 B 1 C 1 poprowadzono środkowe BD i B 1 D 1 , Wykaz , że ed BD=|B 1 D 1 | . |BC|=|B 1 C 1 | Goraz angle DBC=| langle D 1 B 1 C 1 big| ), to Delta ABC= Delta A 1 B,C 1 . 0
7.117. trójkątach ABCI iA 1 B 1 C 1 poprowadzono dwusieczne BD i B 1 D 1 , Wykaz, že =||BC=|B 1 C 1 |,| langle B|=| langle B 1 |||BD|=|B 1 D 1 | , to Delta ABC= Delta A 1 B 1 C 1 0
7.116. Udowodnij, że dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli przyprosto katna i przeciwległy jej kąt ostry jednego trójkąta równają się przyprostokątnej przeciwległemu kątowi ostremu drugiego trójkąta. D
7.115. Czy trojkaty w poniższych parach są przystające? Odpowiedz uzasadnij. b) 624 62^ ) d) 30 7,5 7,5 sqrt(3) 60 2 SS D
7.114. Boki trójkąta ABC mają długość: |AB| = 13 cm , |BC| = 14 cm , |AC| = 15 cm . Niech D oznacza spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka A. Oblicz CD.
7.113. W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku ku B – m * i * a * r beta , przy czym a < beta . Wykaż, że kąt między wysokością poprowadzoną A ma miarę a, zaś kąt z wierzchołka Ci dwusieczną kąta przy wierzchołku C jest równy przy wierzchot (beta - alpha)/2 Rozważ trzy przypadki, gdy kąt przy wierzchołku B jest kątem ostrym, prostym lub rozwartym.
7.112. Udowodnij, że jeżeli środkowa trójkąta równa się połowie boku, do którego została poprowadzona, to trójkąt jest prostokątny. D
7.111. W trójkącie ABC na wysokości CD wybrano punkt H taki, że | langle AHD|=| langle ABC| . Wykaż, że proste AH i BC są prostopadłe.
7.110. Wykaż, że jeżeli jedna z wysokości trójkąta jest jednocześnie środkową tego trójkąta, to ten trójkąt jest równoramienny. D
7.109. W trójkącie ABC poprowadzono wysokości BD i CE. Wykaż, że ABD i ACE są równe. miary kątów D
7.108. W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 30 cm. Środek ciężkoś ci tego trójkąta znajduje się w odległości 2 2 3 cm od podstawy. Oblicz obwód danego trójkąta. D
7.107. W trójkącie równoramiennym boki maja długość 13 cm, 13 cm, 10 cm. Oblicz długość środkowych w tym trójkącie.
7.106. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego maja długość 16 cm i 12 cm. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta od wierzchołka kąta prostego.
7.105. W różnicę długości środkowej ka kąta prostego. trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 6 cm i 8 cm. Oblicz i wysokości tego trójkąta, poprowadzonych z wierzchot b = 1, 4m
7.104. W trójkącie prostokątnym równoramiennym przyprostokątna ma długość 4. Oblicz długość środkowych tego trójkąta.
7.103. Oblicz miary kątów trójkąta prostokątnego ABC, wiedząc, że środkowa i wy Wysokość poprowadzone z wierzchołka C dzielą kąt prosty C na trzy równe części.
7.102. W trójkącie równoramiennym o obwodzie 32 cm wysokość poprowadzona podstawę jest równa 8 cm. Oblicz długość boków tego trójkąta.
7.101. W trójkącie prostokątnym poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego. Spodek wysokości podzielił przeciwprostokątną na odcinki długości a i b. Oblicz tę wysokość. a) a = 5 cm b = 2dm a= sqrt 2 cm b= sqrt 18 cm b) a = 0.2dm d) 1 b=1- dm 4 a = 2sqrt(3 1/16) * d * m
7.100. W trójkącie prostokątnym wysokości mają długość: 12 cm, 15 cm, 20 cm. Jaka długość mają odcinki, na które spodek wysokości, poprowadzonej z wierzchoł ka kąta prostego, podzielił przeciwprostokątną?
7,99. Oblicz długość boku trójkąta prostokątnego równoramiennego wiedząc, że najkrótsza wysokość tego trójkąta jest o 1 krótsza od pozostałych wysokości. Wynik przedstaw w postaci gdzie a, b, c są liczbami naturalnymi. a + b * sqrt(c) ,
7.98. Oblicz długość boku trójkąta równobocznego wiedząc, że jest on o 1 dłuższy od wysokości tego trójkąta. Wynik przedstaw w postaci a + b * sqrt(c) , gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi.
7.97. Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, którego wysokość ma długość: a) 2sqrt(3) 3sqrt(6) c) 15 d) sqrt(2) .
7.96. Obwód trójkąta ABC wynosi 21 cm. Wysokość CD dzieli go na dwa trójkąty, których obwody wynoszą odpowiednio 12 cm i 15 cm. Oblicz wysokość CD.
7.95. Sprawdź, czy dany trójkąt jest prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny, jeśli długości jego boków pozostają w stosunku: a) 4/3 / 5 b) 2/3 / 4 c) 2/1 / (sqrt(5)) d) sqrt(10) / (sqrt(6)) / (sqrt(5)) .
7.94. Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest ostrokątny, prosto kątny czy rozwartokątny: a) 4 cm, 5 cm, 6 cm c) 2 sqrt 3 cm,2 sqrt 6 cm,10 sqrt 0,36 cm b) 10 cm, 7 cm, 7 cm d) ( sqrt 2 +1)cm,( sqrt 2 -1)cm,2 sqrt 2 cm .
7.93. Dane są odcinki o długościach a ib, a > b . Skonstruuj odcinek, którego dłu gość jest równa: a) a * sqrt(2) b) b * sqrt(12) c) 0, 5sqrt(a ^ 2 + b ^ 2) d) 1/3 * sqrt(a ^ 2 – b ^ 2)
7.92. W prostokącie ABCD bok AB ma długość 10 cm, a bok BC ma DC obrano punkt E tak, że DEl:|EC]:4 . Czy trójkąt ABE jest prostokątny? Odpo 4 cm. Na boku wiedź uzasadnij.
7.91. Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest prostokątny: a c) 1,6 dm; 1,2 dm; 1 dm sqrt 2 cm ; sqrt 3 cm; sqrt 5 cm b) 4 dm; 85 cm; 75 cm d) 1 m; 5 dm; 1,25 m.
7.90. Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 10 cm, a dwa jego krótsze boki pozostają w stosunku 8 : 15. Wyznacz długości boków tego trójkąta.
7.89. W trójkącie prostokątnym średni bok jest krótszy od najdłuższego o 2 cm. Wiedząc, że najkrótszy bok ma długość 8 cm, oblicz długość pozostałych boków trójkąta.
7.88. Punkt M leży na symetralnej odcinka AB, w odległości 11 cm od odcinka AB i 61 cm od końców tego odcinka. Oblicz długość odcinka AB.
7.87. Punkt P należy do dwusiecznej kata prostego i leży w odległości 2 cm od obu tego kąta, Jaka jest odległość tego punktu od ramion wierzchołka kąta?
7.86. Wielkość telewizora wyraża się długością przekątnej ekranu, mierzo wynosza lach (1cal = 2, 54 cm) . Oblicz, ile cali ma telewizor, którego wymiary ekranu wynosza 42 cm na 31,5 cm. Wynik podaj z dokładnością do 1 cala.
7.85. Miejscowości A, B i C są położone nad tym samym Jeziorem – jak pokazano na rysunku obok. Z miejscowości A da C prowadzi droga długości 2,7 km, a droga z miejscowo Si C do B jest o 900 m dłuższa. O ile krótsza jest odległość W linii prostej od A do B od drogi prowadzącej przez C?
7.84. Oblicz długości nieznanych odcinków na rysunkach poniżej: b) 10 17 26 8 10 5
7.83. Oblicz x: a) 3 + 2sqrt(2) b) x + 1 6 + sqrt(2)
7.82. Narysuj dowolny trójkąt ABC i wykreśl przy dwóch jego wierzchołkach po jednym kącie zewnętrznym. Czy suma tych dwóch kątów może równać się kątowi polpełnemu? Odpowiedź uzasadnij. Twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie odwrot ne do twierdzenia Pitagorasa
7.81. Udowodnij, że w każdym trójkącie jest kąt, który ma co najmniej 60 degrees się 60 degrees , i kąt 2
7.80. W trojkącie ABC prowadzimy dwusieczne kątów Bic, które przecinają D
7.79. Wewnątrz trójkąta ABC wybrano dowolny punkt S. Uzasadnij, że ||
7.78. W trójkącie ABC bok AB jest najdłuższy. Na boku AB odłożono odcinki AC 1 oraz | langle C 1 CC 2 |= | langle A|+|
7.77. w trójkącie ABC na rysunku obok boki ACI BC są równe. Punkty B, C, D są współliniowe oraz DF perp AB . Wykaż, że trójkąt CDE jest równoramienny.
7.76. wykaż, że jeśli w trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta przy podsta wie dzieli dany trójkąt na dwa trójkąty równoramienne, to kąty danego trójkąta są równe: 36 degrees , 72 degrees , 72 degrees . D
7.75. Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC zaznaczono punkty oraz |BC 2 |=|BC|,W vee kaz, że | langle C 1 CC 2 |=45 °. c 1 ic 2 w taki sposób, że AC 1 |=|AC| D
7.74.W trójkącie prostokątnym ABC przedłużono przeciwprostokątną AB i zazna czono na przedłużeniach punkty Di E tak, že AD|=|AC| oraz |BE| = |BC| ). Wykaż, że 14DCE = 135 D
7.73. wykaż, że jeżeli kąt przyległy do jednego z kątów trójkąta jest dwa razy więk szy od drugiego kąta tego trójkąta, to trójkąt jest równoramienny
7.72. W trójkącie ABC połączono środki boków i otrzymano trójkąt KLM. Wykaz, że kąty trójkąta KLM mają takie same miary, jak kąty trójkąta ABC. D
7.71. W trójkącie ABC połączono środki boków, otrzymując trójkąt A 1 B 1 C 1 . Obwód trójkąta A,B,C jest o 20 cm mniejszy od obwodu trójkąta ABC. Oblicz obwód trój. kąta ABC. D
7.70. Obwód trójkąta ABC wynosi 27 cm. Połączono środki boków tego trójkąta i otrzymano trójkąt A 1 B 1 C . Oblicz obwód tego trójkąta.
7.69. Boki trójkąta ABC mają długość: AB = 10 cm, BC = 11 cm, AC = 12 cm. Połączono środki boków tego trójkąta, otrzymując trójkąt A1B1C1. Oblicz obwód tego trójkąta.
7.68. Dwa boki trójkąta różnobocznego mają długość 3 i 7. Trzeci bok leży naprzeciw największego kąta w tym trójkącie. Wyznacz długość trzeciego boku wiedząc, że wyraża się ona liczbą naturalną.
7.67. Dwa boki trójkąta różnobocznego mają długość 5 i 7. Trzeci bok leży naprzeciw najmniejszego kąta w tym trójkącie. Wyznacz długość trzeciego boku wiedząc, że wyraża się ona liczbą naturalną.
7.66. Dwa boki trójkąta mają długość 1 cm i 4 cm. Oblicz obwód tego trójkąta, jeżeli wiadomo, że długość trzeciego boku wyraża się liczbą naturalną.
7.65. Wyznacz wszystkie wartości a, dla których boki pewnego trójkąta mają dłu a 3 1, a + 2, 5 – c b) a, 2a, 6 c) a, 6 – a, 3a + 4 .
7.64, Czy można zbudować a) 2, 4, 6 trójkąt o bokach mających długość: b) 2 – sqrt(2), 5, 2 + sqrt(2) c) 10, 12, 14?
7.63. Dany jest trójkąt równoramienny ABC o podstawie AC. Ramię AB przedłu zewnątrz trójkąta o odległość BD i punkt D połączono z punktem C. Oblicz drugość AC, jeżeli obwód trójkąta CBD wynosi 24 cm, a obwód trójkąta ADC wynosi iono na 39 cm
7 62. W Oblicz obwód tego trójkąta. trójkącie równoramiennym jeden z boków ma długość 4 cm, a drugi 9 cm.
7 61. W równoległoboku ABCD dwusieczna DE kąta rozwartego ADC i prosta BC wyznaczają dwa katy przyległe, których miary pozostają w stosunku 2 : 3. Oblicz 2/3 miary kątów równoległoboku ABCD.
7.60. Znajdź kąty trójkąta równoramiennego, w którym pięć razy mniejszy od przyległego do niego kąta zewnętrznego. kąt przy podstawie jest
7.59. Suma dwóch kątów trójkąta jest równa trzeciemu kątowi. Wykaż, że jest to trójkąt prostokątny.
7.58. Oblicz miary kątów trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest o 26 degrees większy od drugiego. p
7.57. Przez punkt M równoległą do boku AB trójkąta, która przecięła bok BC |CN|/|CB| w punkcie N. Wiedząc, że AC=24 cm i AB|=20 cm , oblicz MN oraz
7.56. Na boku AC trójkąta ABC obrano punkt K tak, že |CK|/|AK| = 3/4 Przez punkt k po prostą równoległą do boku AB. Przecięła ona bok BC trójkąta w punk prowadzono cie L. Oblicz BLi LC, jeśli |BC| = 49 cm . Na boku AC trójkąta ABC obrano punkt M tak, że |AM|/|MC| = 5/7 poprowadzono prostą,
7.55. W trapezie ABCD, w którym AB || CD, przedłużono ramiona AD I BC do przecię cia się w punkcie E. Oblicz CE, jeśli |AD| = 1dm, |BC| = 1, 5dm , |DE| = 2dm .
7.54. W trapezie ABCD, AB || CD, mamy dane: AB|=12 cm , |CD| = 7 cm , |AD| = 8 cm . O ile należy wydłużyć ramię AD, aby przecięło się z przedłużeniem ramienia BC?
7.53. Dane są odcinki, których długości są równe a | b , a > b . Skonstruuj odcinek, którego długość będzie równa: a) d) 1/5 * a (b ^ 2)/a b) e) (2b)/3 (ab)/(a – b) c) f) (3(a + b))/7 a^ 2 a+b .
7.52. Na jednym z ramion kąta o wierzchołku o leżą punkty mieniu – punkty A 1 |B (patrz rysunek poniżej). A i B, a na drugim ra B Czy proste AA 1 iBB 1 są równoległe, jeśli: a) | OA = 4, 2dm , AB|=2 clm,|OA 1 |=6,3 dm,|OB 1 =9,3 dm b) |OA|=6,8 cm,|OB|=22,8 cm,|OB 1 |=28,5 cm,|A 1 B 1 |=20 cm .
7.51. Czy na rysunku poniżej proste a ib są równolegle? Odpowiedź uzasadnij.
7.50. Wykaż, że proste ki/ na rysunku poniżej są równoległe.
7.49. Proste AB sunku poniżej: i A 1 B , przecięto prostymi równoległymi AA 1 ,BB 1 i CC 1 , jak na ry 18 A Oblicz: a) CC 1 , jeśli |c 1 O|=4 cm , OA = 3 cm, |AA 1 |=2 cm b) OC 4 !, jeśli |OA 1 |=1,8 dn , |AC 1 |=11,2 dm, |OC|=5,4 dm OB, jeśli |CC 1 |=4 dm , BB 1 =56 cm , C 1 B=1,2 m o CA 1 , jeśli |AA 1 |=2 cm , |BB 1 |=5 cm,|A 1 B 1 |=4,5cm , CC 1 =4 cm . D
7.48. Ramiona kąta MON przecięto prostymi równoległymi AA 1 iBB 1 jak na rysun ku poniżej: M. B 14. N B 1 ^ Oblicz: a) |AB|,jes|i|OA|=17 cm , OA 1 =2 dm, OB 1 =49 cm b) 10A), jeśli |OB|=10,5 cm. OA 1 =38 mm, A,B,=0,95 dm OB 1 ), jeśli |OA| = 16 cm , AB = 4, 8dm A 1 B 1 =0,4 m d |A 1 B 1 | , jeśli |OA| = 6, 3 cm , AB|=8,7 cm,|0B 1 |=22,5 cm .
7.47. Na a) 3 rysunkach poniżej proste a i b są równoległe. Oblicz x.
7.47. Na a) 3 rysunkach poniżej proste a i b są równoległe. Oblicz x.
7.46. W jakim wielokącie wypukłym stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do sumy miar wszystkich kątów zewnętrznych jest równy:
7.45. Kąt zewnętrzny wielokąta foremnego jest równy 18°. Ile przekątnych ma ten wielokąt? jakim wielokącie wypukłym stosunek sumy miar wszystkich kątów zewnętrznych jest
7.44. W pięciokącie kąty wewnętrzne kolejno mają się Oblicz miary tych kątów. Czy ten pięciokąt jest wypukły? do siebie jak 1/3 / 3 / 4 / 4 .
7.43. Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego jest równy 150°. Jaki to wielokąt?
7.42. Oblicz miarę kąta wewnętrznego: a) ośmiokąta foremnego b) osiemnastokąta foremnego.
7.41. Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych: a) sześciokąta b) siedmiokąta
7.40. Na przyjęciu spotkało się 20 osób, ile nastąpiło powitań, jeśli
7.39 Na brzegu jeziora mieszkało 16 rybaków. Mroźną zimą, gdy gruba tafla lodu pokryła jezioro, rybacy, odwiedzając się nawzajem, wydeptali ścieżki tak, że domy dowolnych dwóch rybaków były połączone ścieżką. Ile było ścieżek?
7.37. Wyznacz liczbę przekątnych: B) sześciokąta b) ośmiokąta 7.38. W jakim wielokącie liczba przekątnych jest: trzy razy większa od liczby boków b) pięć i pół raza większa od liczby boków c) osiem razy większa od liczby boków. c) piętnastokąta.
7.36. Które z poniższych figur są łamanymi, które są łamanymi zwyczajnymi, a które tärmanymi zwyczajnymi zamkniętymi? Odpowiedź uzasadnij. a) b) c) d) e)
7.35. W kątach przyległych ABC, DBC poprowadzono dwusieczne i prostą, równo legla do AD, która przecina te dwusieczne odpowiednio w punktach Ei F, zaś ramię przecina w punkcie K. Wykaz, že |EK| = |KF| BC wielokąt. Wielokąt foremny. Suma kątów w wielokącie
7.34. W trójkącie ABC dwusieczna kąta B przecina bok AC w punkcie B, prowadzimy równoległą do BC, przecinającą bok AB w punkcie |B 1 C 1 |=|BC 1 | B 1 Przez punkt C 1 ,Wykai, że 2
7.33. Prosta m przecina dwie równoległe proste odpowiednio w punktach Bi A. Na prostej k zaznaczono punkt C w taki sposób, że BC = |AB| (zobacz rysunek obok). Wykaż, że półprosta AC jest dwusieczną kąta DAB. 7
7.32. Na płaszczyźnie dane są cztery punkty A, B, C, D (zobacz rysunek obok). Prosta AB tworzy z prostą BC kąt 40 degrees , zaś kąt przyległy do kąta ACB ma 110^ . W/kai że jeśli półprosta AC jest dwusieczną kąta BAD, to pro sta AD jest równoległa do prostej BC. , 40 110 ^ 2 C
7.31. Wykaż, że czworokąt ABCD na rysunku poniżej jest trapezem. a) b) D 70 30 30^ bullet alpha + 30 degrees ° B D
7.31. Wykaż, że czworokąt ABCD na rysunku poniżej jest trapezem. a) b) D 70 30 30^ bullet alpha + 30 degrees ° B D
7.30 Wykaż, że proste k i l na rysunku poniżej są równoległe.
7.29. Wyznacz kąty trójkąta ABC na rysunku poniżej.
7.28. Z punktu leżącego na zewnątrz kąta ABC o mierze proste: jedną między tymi prostymi. do BC, a druga równoległą aja A 8 – 30 degrees D 7.30. Wykaż, że proste kil na rysunku poniżej są równoległe. a) b) 135 c+50^ ) /a a ° poprowadzono dwie Wyznacz miarę kąta 41 degrees prostopadła do AB.
7.27. Wyznacz miary kątów trójkąta ABC, korzystając z danych na rysunkach oraz wiedząc, że k || I: a 40 C/50 b) ( 125 degrees % 170″ A d) 130 degrees 30 8 150 140 degrees
7.26. Skonstruuj dwusieczne kątów trójkąta równobocznego. Czy dwusieczne ką- tow tego trójkąta zawierają się w symetralnych jego boków? Dwie proste przecięte trzecią prostą. Suma kątów w trójkącie
7.25. Skonstruuj symetralne boków trójkąta różnobocznego: b) prostokątnego a) ostrokątnego Czy dwusieczne kątów tych trójkątów zawierają się w symetralnych ich boków? c) rozwartokątnego
7.24. Które spośród punktów P,Q, R, S należą do dwusiecznej kąta AOB? 2,(3) 2 10 9 167 1,4 2 2 1/3 B
7.23. Narysuj dowolny kąt rozwarty, którego miara jest mniejsza od 180°. Następnie za pomocą cyrkla i linijki podziel ten kąt na 4 równe kąty o wspólnym wierzchołku.
7.22. Za pomocą cyrkla i linijki skonstruuj kąt o mierze 90°. Następnie: b) oblicz, w jakiej odległości od ramion kąta prostego znajduje się punkt P należący do dwusiecznej tego kąta, jeżeli jego odległość od wierzchołka kąta jest równa sqrt(8)
7.21. Dany jest odcinek warunki: a) |C 1 A|= 20 9 i||C 1 B|=2 2 9 b) b) |C 2 A|= 3 2 i |C 2 B|=1,(5) c) |c 3 A|= sqrt 6 i |c 3 B|=2 sqrt 3 d) |c 4 A|=2 sqrt 2 i |c 4 B|= sqrt 8 e) |C 5 A|= sqrt 3 -1i|C 5 B|= sqrt 4-2 sqrt 3 . Które z punktów C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 ,C 5 należą do symetralnej odcinka AB? równe części. AB oraz punkty: C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 iC 5 spełniające następujące
7.20. Narysuj odcinek. Za pomocą cyrkla i linijki podziel go na cztery
7.19. Narysuj odcinek AB o długości 6 cm. a) Za pomocą cyrkla i linijki skonstruuj symetralną tego odcinka. się punkt P należący do symetral b) W jakiej odległości od punktów A, B znajduje nej odcinka AB, jeżeli jego odległość od tego odcinka jest równa 4 cm?
7.18. Odległość między dwiema prostymi równoległymi kiljest równa 7 cm. Punkt A leży w odległości 4 cm od prostej k. Jaka jest odległość punktu A od prostej /? Rozważ dwa przypadki.
7.17. Narysuj trzy proste k, l, , których punkty przecięcia są wierzchołkami trójką m ta, Zaznacz na zewnątrz tego trójkąta punkt A. Wyznacz odcinki, których długości są odległościami punktu A od prostych k, I, m.
7.16. Miarę kąta wyrażoną 9, 41 degrees w stopniach zapisz za pomocą minut i sekund. c) 0, 68 degrees b) 0,24° d) 0.74 degrees Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie, odległość punktu od prostej, odległość między prostymi równoległymi, symetralna odcinka, dwusieczna kąta
7.15. Miarę kąta wyrażoną w minutach i sekundach wyznacz w stopniach według wzoru: 23^ prime 51^ prime prime = 23^ 60 + 51^ 3600 = 23^ *60 60*60 + 51^ 3600 = 1431^ 3600 =0,3975^ a) 9^ prime 18^ prime prime b) 54^ prime 36^ prime prime c) underline 48^ prime 45^ prime prime d) 32^ prime 6^ prime prime
7.14. Dwie przecinające się proste wyznaczają cztery kąty wypukle, przy czym róż nica kątów przyległych wynosi 44 degrees . Wyznacz miary tych kątów.
7.13. Dwie przecinające się proste wyznaczają cztery kąty wypukłe, z których jeden jest osiem razy większy od kąta do niego przyległego. Wyznacz miary tych kątów.
7.12. Oblicza alpha i beta:; 158 degrees a a) b) 15 degrees; 27 degrees; [a] c) 20
7.11. Wiedząc, że |4AOC| = 115 degrees , angle DOBI=140^ , oblicz | angle AOB|,|< perp BO(; |4COD|
7.10. Oblicza, wiedząc, że punkty A 1, B, Csq wspólliniowe.
7.9. Przez wierzchołek kąta: a) rozwartego, b) ostrego AOB poprowadzono dwie proste prostopadłe do ramion. Oblicz dAOB| wiedząc, że te proste tworzą kąt ostry 15 degrees
7.8. Wyznacz miary kątów AOB i BOC, wiedząc, że |dAOB|+|
7.7. Z punktu A prowadzimy cztery różne półproste: dwa kąty: wklęsły i wypukły. , A * C ^ – 1 , AD, AE^ .Z cate- rech kątów: BAC, CAD, DAE, EAB każdy następny jest dwa razy większy od poprzed niego. Wyznacz te kąty. AB^ –
7.6. Dwie półproste o wspólnym początku, wyznaczają Wyznacz miary tych kątów wiedząc, że różnią sią o 100°.
7.5. Które z podanych figur a) półpłaszczyzna c) koto e) odcinek są figurami ograniczonymi? b) wielokąt d) suma f) kąt dwóch prostych równoległych
7.4. a) Które figury na poniższym rysunku są wypukłe, a które są wklęsłe? b) c) e) f) d) g) h) i)
7.3. Punkty A, B, C, D należą położone jak na rysunku poniżej. Wiedząc, że |AD| = 12 cm, |AC| = 6 cm * i|BD| = 8 cm , oblicz długości odcinków AB, BC, do jednej prostej i są B CD.
7.2. Punkt C należy do odcinka AB. Środkiem odcinka AC jest punkt D, a odcinka BC jest punkt E. Oblicz długość odcinka AB, wiedząc, że środkiem |DE| = 11 cm .
7.1. Punkty i D dzielą odcinek AB na takie trzy odcinki AC, CDi DB, dla których |AC| ! : |CD| / |DB| = 5/8 / 3 . Wiedząc, że |CD| = 32 cm , oblicz długość odcinka AB i DB.
20. Do wykresu funkcji f(x) = loga x , gdzie x in(0,+ infty) , należy punkt a) Oblicz a. b) Wyznacz wartość wyrażenia f(40) – f(5) . c) Narysuj wykres funkcji f. p(1/2, – 1) d) Wyznacz zbiór argumentów, dla których spełniona jest nierówność f(x) <= 2 .
19. Narysuj wykres funkcji f(x) = 2 ^ (- x) , gdzie x in R a) Porównaj liczby f(\pi) * i * f * (3) . Podaj zbiór rozwiązań nierówności f(x) >= 2 .
18. Kacper pociął sznur na pewną liczbę kawałków równej długości. Gdyby liczba kawałków była o 3 większa, to każdy kawałek byłby o 5 cm krótszy. Gdyby liczba ka wałków była o 2 mniejsza, to każdy kawałek byłby o 5 cm dłuższy. Na ile kawałków Kacper pociął sznur? Jaką długość miał sznur przed pocięciem go na kawałki?
17. Naszkicuj wykres funkcji f(x)= 5 x , a) Podaj wszystkie pary liczb b) Wyznacz gdzie x in R-\ 0\ całkowitych, spełniające równanie xy = 5 . zbiór argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 1.
16. Rozważamy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy 12. Niech x ozna cza długość jednego z boków takiego prostokąta. a) Wyznacz wzór funkcji określającej pole prostokąta w zależności od xi podaj jej dziedzinę. b) Naszkicuj wykres tej funkcji. c) Czy funkcja pola przyjmuje wartość największą? Jeśli tak, to podaj tę wartość. d) Oblicz długość x, dla której pole prostokąta jest równe 5.
15. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej f. Odczytaj z wykresu własności tej funkcji. a) f(x) = – 2x ^ 2 + 2 al b) f(x) = (x + 1) ^ 2 – 4 c) f(x) = – 1/2 * x ^ 2 + 3x – 4 1/2
14. Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej podaj zbiór wartości tej funkcji, równanie osi symetrii paraboli będącej jej wykresem oraz mak symalne przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca. b) f(x) = (x – 1) ^ 2 – 4 c) f(x) = 1/2 * x ^ 2 + 3x + 2 1/2 a) f(x) = 8 – 2x ^ 2
13. Podaj dwa przykłady funkcji kwadratowych, które i zapisz wzory tych funkcji w postaci kanonicznej. c) y = 9x ^ 2 + 6x – 3 nie mają miejsc zerowych
12. Doprowadź wzór funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej i wyznacz miejsca zerowe tej funkcji. a) y = 2x ^ 2 – 28x + 98 b) y = – x ^ 2 + 10x
11. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej f(x) = – 4 * (x – 0, 5) ^ 2 + 8 . a) Podaj współrzędnej wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f. D wyznacz współrzędne punktu wspólnego wykresu tej funkcji c) Doprowadź wzór funkcji do postaci ogólnej. i osi rzędnych.
10. Wskaż nierówność fałszywą: A. log0, 5 3 < log0, 5 5 C. (0, 1) ^ sqrt(5) < (0, 1) ^ sqrt(3) B. (sqrt(2)) ^ 3 < (sqrt(2)) D. Og 4 3
9. Miejscem zerowym funkcji y = log3 x jest liczba: A. 0 B. 1 C. 3 B. x >= 2 D. x >= – 2 n * (1/2) ^ x \le 4 B. s = 30 km D. s = 20 km C. 5 czas (h] 12 10 8+ 6 4 2 D. 7,5 5 10 15 20 25 30 prędkość (km/h) 8 -6 5 4 f(x) = (1/2) ^ x – 3 – 2 – 1 D. 1/3
8. Na rysunku obok znajduje się wykres funk f(x) = (1/2) ^ x gdzie x in R Zatem wtedy i tylko wtedy, gdy: A x <= 2 C xS-2
7. Pojazd poruszający się ruchem jed nostajnym pokonuje ustaloną drogę s. Na rysunku obok znajduje się wykres proporcjonalności odwrotnej, opisu jacy czas przejazdu tego pojazdu w za leżności od jego prędkości. Z wykresu wynika, że: A s = 35 km s = 25 km
6. Kran dostarczający 6 litrów wody na minutę napełnia wannę w ciągu 15 minut. Przy jakim dopływie gu 12 minut? A. 4,5 wody (w litrach na minutę) wanna zostałaby napełniona w cią B. 4,8
5. Zbiorem wartości funkcji f(x) = 2 – (x + 1) , gdziex x in R , jest A. (- infty,1) B. langle1,+ infty) przedział: (- infty,2) C. langle2,+ infty ) D. 16
4. Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe: -513. Osią symetrii paraboli bę. dącej wykresem tej funkcji jest prosta o równaniu: A. x = – 1 B. y = – 1 C. x = – 2 D. y = – 2
3. Funkcja kwadratowa A. (- infty,4) przecina oś OY w punkcie o współrzędnych: C. (0,-12 ) D. (0,12 ) f(x) = (x – 4) ^ 2 + 5 jest rosnąca w przedziale: (- infty,5) C. (4,+ infty) D. 5,+ infty)
2. Wykres funkcji (2, 0) A. f(x) = 3 * (x – 2) ^ 2 B. (0, 3)
1. Wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej f(x) = – 3 * (x + 2) ^ 2 jest punkt o współrzędnych: A. (2, 0) B. (- 2, 0) C. (- 3, – 2) D. (- 3, 2)
6.62. Wykaż, że: a) 1/2 < log 5 < 1 c) - 1 < log1 2 < 0 b) log1 3, 0, log1/4 pi, - 1 d) 0, log3 1/2, 0, 5 * log3 2, 1 + log3 1/10 1 1/2 < log2 3 < 2 b) 1 d) - 3 < log1/2 5 < -
6.61. Zapisz podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej. a) log 3, log 5, 1, log 2 c) 1, log1 (sqrt(2) – 1), log1 3, log1 5 D
6.60. Naszkicuj wykres funkcji fi podaj jej zbiór wartości. a) f(x) = log2 x , gdzie x in(0,8) c) x in ( 1 2 ,4 ) f(x) = log1 x , gdzie b) f(x) = log0, 5 x , gdzie x in langle1,4) x in ( 1 3 ,9 ) d) f(x)=log sqrt 3 x , gdzie
6.59. Do wykresu funkcji f(x) = log x należy punkt a) Oblicz a. b) Naszkicuj wykres funkcji f. P(4, – 2) . c) Dla jakich argumentów wartości funkcji f są nie mniejsze niż-1? d) Wyznacz wartość wyrażenia 6.f f(sqrt(2)) .
6.58. Do wykresu funkcji f(x) = logx x należy punkt P(9, 2) a) Oblicz a. b) c) Naszkicuj wykres funkcji f. Dla jakich argumentów wartości funkcji f sa . ujemne?
6.57. Liczbę bakterii w dogodnym środowisku po t dniach od chwili rozpoczęcia badań opisuje funkcja f(t) = c * a ^ t ‘, gdzie t in langle0,+ infty) . Wiedząc, że po jednym dniu Cadań liczba bakterii była równa 15 000, a po dwóch dniach wynosiła 45 000, oblicz: a) współczynniki cia 6) ile bakterii liczyła ta kolonia w chwili rozpoczęcia badań 10 ile bakterii liczyła ta kolonia po tygodniu badań. Funkcja logarytmiczna
6.56. W laboratorium podgrzano pojemnik z płynem, a następnie pozwolono, by tyr wystygł. Temperaturę płynu T(^ C) opisuje wzór funkcji T(t) = 90 * 1, 5 ^ (- 0, 2t) , gdzie 1 oznacza czas stygnięcia w minutach. a) Jaką temperaturę miał płyn, gdy rozpoczął się proces stygnięcia? 6) Jaką temperaturę miał płyn po 5 minutach studzenia, a jaką po 10 minutach?
6.55. b) (1/3) ^ 0, (1/3) ^ – 1, (1/3) ^ sqrt(2), (1/3) ^ 1.5 d) (sqrt(3)) ^ sqrt(2), (sqrt(3)) ^ (1, 4), (sqrt(3)) ^ (2 – sqrt(2)), root(4, 3) Uporządkuj w kolejności rosnącej liczby: a) (sqrt(2)) ^ 7, 2 ^ pi, 4 ^ (1, 5), (0, 5) ^ (- 2sqrt(2)) (sqrt(3) – 1) ^ sqrt(3), (sqrt(3) – 1) ^ 2, (sqrt(3) – 1) ^ 1.8, 2/(sqrt(3) + 1) b)
6.54. Zapisz dane liczby w kolejności od najmniejszej do największej. a) 10 ^ 2 , 10 ^ – 1 , 10 ^ sqrt(3) , 10 ^ – 0.5 c) sqrt[3] 0,5 ; 0,5; sqrt[4] 0,5 ; sqrt[3] 0,5 sqrt 0,5
6.53. Naszkicuj wykres funkcji fi podaj jej zbiór wartości. a) f(x) = 3 ^ x “, gdzie x in(-1,2) f(x) = 2 ^ (- x) , gdzie x in(-2,3) x in (- 1 2 ,1 ) b) f(x) = 4 ^ (- x) , gdzie d) f(x) = (sqrt(2)) ^ 3 “, gdzie x in(0,6)
6.52. Do wykresu funkcji wykładniczej a) Napisz wzór funkcji f. Naszkicuj wykres funkcji f. f(x) = a ^ x należy punkt P(- 2, 4) . c) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości nie większe niż 1?
6.51. Do wykresu funkcji wykładniczej f(x) = a ^ x należy punkt P(3, 8) . a) Napisz wzór funkcji f. b) Naszkicuj wykres funkcji f. c) Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości mniej sze od 2.
6.50. Ile par liczb całkowitych (a, b) a) xy = – 9 spełnia równanie: b) xy = – 30 c) xy = 16 ? d) xy = 64 Funkcja wykładnicza
6.49. lle par liczb naturalnych (a, b) spełnia równanie: b) x – y = 15 a) xy = 7
6.48. Na podstawie wykresu funkcji y = – 8/x wypisz wszystkie pary liczb całkowitych (a, b) , spełniające równanie xy = – 8 .
6.47. Studentka postanowiła przepisać na komputerze rękopis swojej pracy magi sterskiej w określonym czasie, przepisując codziennie stałą liczbę stron. Jeśli przepi sze dziennie o 6 stron więcej niż zaplanowała, to skończy tę Jeśli przepisze dziennie o 2 strony mniej, to skończy przepisywanie o 3 dni później niż zamierzała. Ile stron liczy praca magisterska tej studentki? pracę o 5 dni wcześniej.
6.46. Odległość między miastami A i B jest równa 48 km. Autobus je trasę z miasta B do miasta A w określonym czasie t. Gdyby jechat z prędkością mniejszą niż zwykle, to przyjechałby do miasta A o 16 minut później Gdyby jechał z prędkością o wcześniej. Oblicz t. większą, to przyjechatby do miasta B 0 8 minut PKS pokonu 15 km/h 12 km/h
6.45. Odległość między miastami A i B jest równa 45 km. Pociąg trasę z miasta A do B ze średnia prędkością v. Gdyby jechał z prędkością o 25 km/więk 25 km/h szą, to przyjechatby do miasta B o 18 minut wcześniej. Gdyby jechał z prędkością 05 km/h mniejszą, to przyjechałby do miasta Bo 6 minut później. Oblicz prędkość.
6.44. Brygada 16 robotników na wykonanie pewnej liczby części samochodowych potrzebuje 8 godzin i 15 minut. Ile czasu potrzeba na wykonanie tej samej pracy brygadzie 12 robotników, przy założeniu, ze wydajność pracy każdego robotnika się
6.43. Zapas żywności w stołówce szkolnej dla 60 osób wystarczy na 5 dni. Na ile dni wystarczyłoby tej żywności, jeśli liczba osób stołujących się w szkole wzrosłaby o 40 osob (zakładamy, że racje żywieniowe pozostaną takie same)?
6.42. Samochód osobowy jadący ze średnią prędkością 70 km/h pokonuje pewną cirogę w czasie 2 godzin i 12 minut. W jakim czasie pokona tę drogę motorowerzysta jadący ze średnia prędkością 22 km/h? 2 jaka prędkością należy jechać, aby tę drogę 6,42. pokonać w czasie 3,5 h?
6.41. Pieszy przebył drogę długości 6 km ruchem jednostajnym. Napisz wzór funkcji opisującej czas t pokonania drogi 6 km przez pieszego w za leżności od prędkości v [km/h] ruchu pieszego i naszkicuj jej wykres. Oblicz, ile minut potrzebuje pieszy na przejście drogi długości 6 km, jeżeli poru sza się z prędkością 5 km/h . Z jaką prędkością szedł pieszy, który drogę 6 km pokonał w czasie 100 minut?
6.40. Rozpatrujemy wszystkie równoległoboki o polu 14, którego jeden z boków ma długość x, a wysokość poprowadzona na ten bok jest równa y. a Napisz wzór funkcji określającej wysokość y w zależności od x. Naszkicuj wykres tej funkcji.
6.39. Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu 10, których długości boków są równe xi y. a) Napisz wzór funkcji określającej długość boku y w zależności od długości boku x. b) Naszkicuj wykres tej funkcji.
6.38. Do wykresu proporcjonalności odwrotnej y = a/x 1024 należy dany punkt A. Wy anacz współczynnik a i narysuj wykres otrzymanej proporcjonalności odwrotnej. a) A(- 1, – 4) b) A(2, – 1) c) A(1/2, 3)
6.37. Uzupełnij tabelkę tak, aby zmienne x i y były odwrotnie proporcjonalne. a) X -50 25 2 0,4 10 – 5sqrt(2) y – 1/3 2 ^ – 3 10sqrt(2) 2 ^ 15 157 sci b) х y 24 2 ^ 3 16sqrt(2) 256 4 * root(3, 2)
6.36. Sprawdź, czy zmienne nie proporcjonalne. a) X 5 1/3 6 xiy, których zależność przedstawia tabela, są odwrot 3 2 3 |- sqrt 2 Bigg|-4 10 ( 6 11 )^ – sqrt 2 0.5 1 5 0,25 3- 8 2 – sqrt(3) sqrt(6) – sqrt(5) sqrt(2) – 1 3 – 2sqrt(2) 2 2sqrt(2) – sqrt(7) 4 – sqrt(15) 2 + sqrt(3) sqrt(6) + sqrt(5) sqrt 2 +1 3+2 sqrt 2 2 sqrt 2 + sqrt 7 4 + sqrt(15) у 0,4 b) x у 5 – 2sqrt(6) 5 + 2sqrt(6)
6.35. Pani Monika wykonuje ręcznie figurki na choinkę, które sprzedaje do hurtow ni. Cotygodniowy dochód pani Moniki (w zł) w zależności od liczby n sprzedanych figurek opisuje funkcja d(n) = (n ^ 2)/2 + 2n – 48 , gdzie n in\ 1,2,3,…,50\ ). Oblicz, ile figu rek musi sprzedać tygodniowo a) pokryć stałe koszty pani Monika, aby: tygodniowej działalności b) uzyskać tygodniowy dochód w wysokości 832 zł. Proporcjonalność odwrotna
6.34. Pewne ciało w czasie t [s] przebyło drogę S [m], którą opisuje S(t) = t ^ 2 + 5t + 8 , gdzie t in(1;5) . Oblicz: a) b) długość drogi przebytej przez to ciało w ciągu czterech sekund średnią prędkość ciała. wzór
6.33. Rzucono kamień z prędkością początkowa 10 m/pionowo do góry Wyso: kość S[m] ), jaką osiągnie kamień po t’ sekundach, jest w przybliżeniu funk 10 m/s cją S(t) = 10t – 5t ^ 2 ? Jaką największa wysokość osiągnie ten kamien?
6.32 Funkcja f(x)= -x^ 2 +6x+21 2 opisuje wydajność pracy robotnika w zależności od czasu pracy x, w ciągu 8-godzinnego dnia pracy. Robotnik rozpoczyna pracę o go dzinie 7 ^ 00 o której godzinie jego wydajność jest największa?
6.31. Tor lotu piłeczki, przedstawiony na wzór: rysunku obok, opisuje h(x) = 0,25x? + 2x, gdzie x e (0; 8). Na jaką największą wysokość wzniosła się piteczka? y [m] 1+ 0 4 c) Wyznacz wymiary prostokąta, którego pole jest równe 5. kąta w zależności od x i podaj jej dziedzinę. (x)4=1 [u]*
6.30. b) Oblicz wartość sumy w przypadku, gdy x = 2 oraz gdy x = 4. c) Przedstaw wzór funkcji f w postaci kanonicznej. ) Czy funkcja f ma wartość najmniejszą? Jeśli tak, podaj tę wartość i dla jakiego argumentu jest ona przyjmowana.
6.29. Rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne, których suma długości przypro stokątnych x i y jest równa 16. a) Wyznacz pole tego trójkąta jako funkcję zmiennej x i podaj jej dziedzinę. b) Oblicz pole trójkąta w przypadku, gdy x = 10. c) Dla jakiej wartości x pole tego trójkąta jest równe 14? Dd) Wykaż, że funkcja pola osiąga największą wartość dla argumentu 8. Liczba 20 jest sumą dwóch składników, z których jeden jest równy x. a) Wyznacz wzór funkcji f określającej wartość sumy kwadratów tych składników w zależności od x i podaj jej dziedzinę.
6.28. Rozważamy wszystkie trójkąty, których suma długości podstawy xi wysokości poprowadzonej na tę podstawę jest równa 10. Wyznacz wzór funkcji P określającej pole takiego trójkąta w zależności od xi po- daj jej dziedzinę. b) Oblicz pole trójkąta w przypadku, gdy x przyjmuje kolejno wartości 2, 4, 6, 8. c) Naszkicuj wykres funkcji f. d) czy funkcja f ma wartość największą? Jeśli tak, podaj tę wartość i dla jakiego argumentu jest ona przyjmowana.
6.27. Dany jest kwadrat o boku długości 3. Jeden z jego boków zwiększono o X, a drugi zmniejszono oxi w ten sposób otrzymano nowy prostokąt. a) Wyznacz wzór w postaci kanonicznej funkcji Pokreślającej pole nowego b) Oblicz pole prostokąta w przypadku, gdy x przyjmuje kolejno wartości prosto 2 Na podstawie wykresie tej funkcji rozstrzygnij, czy funkcja f przyjmuje wartość największą lub wartość najmniejszą.
6.26. Dany jest prostokąt o bokach długości 2 i 4. Krótszy bok zwiększono o x, a dłuższy zmniejszono o xi w ten sposób otrzymano nowy prostokąt. a) Wyznacz wzór funkcji P określającej pole nowego prostokąta w zależności od x i podaj jej dziedzinę. b) Oblicz pole nowego prostokąta w przypadku, gdy x przyjmuje kolejno wartości c) Przedstaw wzór funkcji f w postaci kanonicznej. d) Naszkicuj wykres funkcji f w prostokątnym układzie współrzędnych. forall+i( epsilon-x)z=(x)f 9t – (5 – x) * v = (x) * f 5t-x8-z^ x- =(x)f xg+ z x-=(x), (5-x)( epsilon+x)=(x) (6+x)((-x)z=(x)f z ^ x + xg – 6 = (x) * f xz – x * z/I = (x) * f nabla+ z ( epsilon-x)-=(x)f 9 + xg – xz = (x) * f z(I+x) epsilon-=(x)f forall-X S + Z X-=(X) j x epsilon- 2 x=(x)f () – 2 I epsilon^ prime epsilon^ prime Z^ prime I
6.25. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f. Wyznacz: 1) współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f; 2) miejsca zerowe funkcji f (o ile istnieją); 3) współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY oraz współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji f. Na podstawie wykonanych obliczeń naszkicuj wykres funkcji f. a) d) b) e) f) Funkcja kwadratowa – zastosowania
6.24. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f. Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji, a następnie współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji. a) d) f(x) = -2x ? 3x ) b) f(x) = 3x – 42x c) e) f(x) = 5x + 10x + 5 f)
6,23. Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej f, doprowadzając najpierw wzór tej funkcji do postaci kanonicznej. a) f(x)=2×2 – 4x – 6 c) e) f(x)= – 10 x² + 3x -3 3 4 b) d) f(x) = 0,5x + 8x +32 f) f(x) = 4x 24x 28
6.22. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji. a) f(x) = (x – 1)? – 4 c) e) b) f(x) = (x + 3) +9 f(x) =-9(x + 2)? + 36 f) f(x) =-0,5(x + 7) – 1 d)
6.21. Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej f. f(x)=x^ 2 – a) + 10x x + 25 f(x) = 1/2 * x ^ 2 + 8x + 32 b) f(x) = – x ^ 2 + 2x – 1 d) f(x) = – 1/3 * x ^ 2 – 2x – 3 1
6.20. Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej f. a f(x) = 9x ^ 2 – 81 f(x) = – 3/4 * x ^ 2 + 1 b) f(x) = – 1/2 * x ^ 2 + 4 d) f(x) = – 100x ^ 2 – 1
6.19. Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej f. a) f(x) = 4x ^ 2 – 8x d f(x) = – 8x ^ 2 + 4x b) f(x) = 1/2 * x ^ 2 + 12x d) f(x) = 3/4 * x ^ 2 – 3x
6.18. Sprawdź, które z liczb podane obok wzoru funkcji kwadratowej f są jej miej scami zerowymi. a) f(x)=x^ 2 -5x+6; c) f(x) = 9x ^ 2 + 6x + 1 ; L, 2, 3 -1 – 1/3, – 1/2, – 2 b) f(x)=-x^ 2 +3x+10; -2,1,5 , -1,- 1 5 , d) f(x) = 5x ^ 2 – 4x – 1 ;
6.17. Doprowadź wzór funkcji f do postaci kanonicznej. Następnie wyznacz zbiór wartości funkcji foraz maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji. a) f(x) = – 2x ^ 2 + 4x d) f(x) = – x ^ 2 + 12x – 36 b) f(x) = 2x ^ 2 + 28x e) f(x) = 2x ^ 2 – 12x + 12 c) f(x) = x ^ 2 + 10x + 17 f) f(x) = – 1/2 * x ^ 2 – 4x + 12
6.16. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f. Wyznacz paraboli, będącej wykresem tej funkcji. a) f(x) = – 2x ^ 2 + 4x – 2 d) f(x) = – x ^ 2 – 6x b) f(x) = 36 – 12x + x e) f(x) = 3x ^ 2 – 12x – 63 f) y = – 3x ^ 2 – 18x – 20 współrzędne wierzchołka W c) f(x) = x ^ 2 + 8x f) f(x) = 2x ^ 2 – 20x + 40
6.15. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej. Stosując odpowiedni wzór skróconego mnożenia wyznacz wzór tej funkcji w y = x ^ 2 + 2x + 1 1 = x ^ 2 – 2x + 3 postaci kanonicznej. c) y = – x ^ 2 – 2x + 1 d) y = – 4x ^ 2 + 4x – 1 e) y = 2x ^ 2 + 8x + 5
6.14. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Sprowadź wzór do postaci ogólnej. a) f(x) = 3 * (x + 2) ^ 2 – 6 c) f(x) = (x + 5) ^ 2 – 24 b) f(x) = – 2 * (x – 3) ^ 2 + 18 d) f(x) = 1/2 * (x – 2) ^ 2 – 10 -1 1 1 2 3 4 5 -1 1 2 ten
6.13. Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej podaj: • zbiór wartości funkcji f • współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji f równanie osi symetrii tej paraboli • • maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f. a) f(x) = 3/4 * x ^ 2 – 7 c) f(x) = sqrt(3) * (x + sqrt(2)) ^ 2 – 1 e) f(x) = 3 * (x – sqrt(5)) ^ 2 – 16 b) f(x) = – 2/3 * (x – 8) ^ 2 d) f(x) = – 2/5 * x ^ 2 + 3 1 f(x) = – 25 * (x + 3/4) ^ 2 – 1 f)
6.12. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Naszkicuj wykres tej funkcji, znajdując współrzędne wierzchołka, współrzędne punktu przecięcia wy kresu z osią OY oraz współrzędne kilku innych punktów należących do tego wykresu. Następnie podaj zbiór wartości funkcji tej funkcji. a) f(x) = x ^ 2 – 4 d) f(x) = 2 * (x + 1) ^ 2 – 3 fi maksymalne przedziały monotoniczności b) f(x) = – x ^ 2 + 1 c) f(x) = – (x + 3) ^ 2 e) f(x) = – (x – 2) ^ 2 – 1 ) f(x) = 1/4 * (x – 4) ^ 2
6.11. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Podaj współ rzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem metrii tej paraboli. równanie osi sy tej funkcji oraz c) f(x) = 4 * (x + 1) ^ 2 f) f(x) = 6 – 2 * (x + 4) ^ 2 a) f(x) = 2 * (x – 3) ^ 2 + 1 d) f(x) = – 5x ^ 2 – 3 b) f(x)=(x + 5)2 – 2 e) f(x)=–(x-7)
6.10. Funkcję kwadratową f opisuje wzór w postaci kanonicznej. Uzupełnij tabelkę znajdującą się poniżej danego wzoru funkcji. Jakie współrzędne ma wierzchołek pa raboli będącej wykresem funkcji f? 1 (2 1/2, 2 1/4)
6.9. Dany jest wierzchołek W paraboli będącej wykresem pewnej funkcji kwadra towej oraz punkt A należący do tego wykresu. Wyznacz współrzędne punktu B na leżącego do tego wykresu i symetrycznego do punktu A względem osi symetrii tej paraboli. a) W(1, 0) , A(- 5, – 36) b) W(- 3, 1); A(- 6, 19) c) W(4, – 5), A[7, – 1/2]
6.8. Punkty A i B o te] samej rzędnej należą do paraboli, będącej wykresem pewnej funkcji kwadratowej. Wyznacz równanie osi symetrii tej paraboli. a) A(0, 5); B(14, 5) b) A(- 1, 2) , B(7, 2) c) A(- 9, 0) , B(7, 0)
6.7. Parabola na rysunku poniżej jest wykresem funkcji kwadratowej f. Napisz rów nanie osi symetrii tej paraboli. Następnie wyznacz współrzędne punktów Ci D żących do tej paraboli, które są symetryczne odpowiednio do danych punktów A i B względem tej osi symetrii. nale a) f(x) = – 0, 5x ^ 2 + 3; A(1, 2 1/2) 23 X D b) f(x) = (x – 1) ^ 2 A(-1.4) c) f(x) = 1/2 * (x + 4) ^ 2 – 2; 6 1/2 * 1 1/8 -7- -5 2 -1 D 1; -4-3 A2- 1 W A(- 3, – 1 1/2) – 2
6.6. Parabola na rysunku poniżej jest wykresem danej funkcji kwadratowej. Odczytaj współrzędne wierzchołka paraboli, podaj równanie osi symetrii tej paraboli, maksy malne przedziały monotoniczności danej funkcji oraz zbiór wartości tej funkcji. a) b) y=x²-4√+4 y = 5 y r = 0.5x ^ 2 + 2x + 1
6.5. Na rysunku obok przedstawione są wykresy funkcji kwadratowych: y=- 2 3 x^ 2 ,y= sqrt 2 x^ 2 , v = – 2x , y = 1/5 * x ^ 2 . Dopasuj wzory funkcji wykresów. do ich
6.4. Napisz wzór funkcji kwadratowej y = a * x ^ 2 , gdzie a ne0,do wykresu której należy punkt: a) P(-1,3 )
6.3. Funkcja kwadratowa ma wzór: f(x) = – 5/4 * x ^ 2 . Sprawdź, wykonując obliczenia, które z podanych punktów: A(-2,5),B(-2,-5),C(-2 sqrt 2 ,-10), , D(0,5;-0,625) należą do wykresu funkcji
6.2. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f. Naszkicuj wykres funkcji f w układzie współrzędnych. Na podstawie wykresu omów własności tej funkcji. a) f(x) = – 1/3 * x ^ 2 b) f(x) = 3x ^ 2
6.1. Zapisz dany wzór funkcji kwadratowej f w postaci f(x) = a * x ^ 2 + bx + c . Następnie wypisz współczynniki a, b, c. a) f(x) = 3x – 6x ^ 2 + 2(x ^ 2 – 1, 5x) c) f(x) = 2x ^ 2 + x(5pi – x) e) f(x) = (3x – 7) ^ 2 b) f(x) = x ^ 2 – 2(sqrt(2) * x ^ 2 + 4) d) f(x) = (4 – x)(4 + x) + 3(x – 1) f) f(x) = 2 – (x – sqrt(3)) ^ 2
35. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 1 para liczb (- 1, 1) spet nia równanie x/(n + 1) + y/(n – 1) = 2/(n ^ 2 – 1) z dwiema niewiadomymi xiy. х
34. Chemik ma dwa roztwory soli o różnych stężeniach. Jeśli zmiesza 2 kg pierw szego roztworu i 4 kg drugiego roztworu, to otrzyma roztwór 50%. Jeśli natomiast zmiesza 4 kg pierwszego roztworu i 6 kg drugiego roztworu, to otrzyma roztwór 48%. Jakie było stężenie procentowe każdego z roztworów? D
33. W trójkącie równoramiennym jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego. Wiedząc, że obwód tego trójkąta jest równy 20, oblicz długości jego boków. Roz patrz dwa przypadki.
32. Pani Kowalska otrzymuje stałe wynagrodzenie miesięczne oraz dodatkowo za nadgodziny. Za każdą godzinę nadliczbową otrzymuje 50% wię. wynagrodzenie godzinę etatową. W marcu miała 20 nadgodzin i otrzymała 3600 zł, zaś kwietniu miała 16 nadgodzin i otrzymała 3492 zł. Oblicz: a) stawkę za godzinę nadliczbową cej niż za w b) stawkę za godzinę etatową wysokość stałego wynagrodzenia miesięcznego.
31. Pan Nowak ma sklep z owocami i warzywami. W hurtowni kupił 80 kg jabłek oraz 20 kg papryki czerwonej za łączną kwotę 328 zł. Do ceny hurtowej jabłek skle pikarz doliczył 20% marży, zaś do ceny hurtowej papryki doliczył 25% marży. Wów czas za 5 kg jabłek i 2 kg papryki trzeba było zapłacić w sklepie pana Nowaka 29 Ile kosztuje 1 kg jabłek oraz 1 kg papryki czerwonej w hurcie, a ile w detalu? zł ax + y = 3 oraz
30. Aleksander trenuje kolarstwo. W poniedziałek podczas treningu przejechat pewną drogę w ciągu 1 godziny i 20 minut. We wtorek jadąc z prędkością o 7 km/h większą pokonał ten sam dystans w czasie o 14 minut krótszym. Oblicz prędkość, z jaką jechał Aleksander drugiego dnia. Jak długi dystans zaplanował chłopiec na poniedziałkowy i wtorkowy trening?
29. W dwóch koszach znajdują się gruszki. Gdyby przełożyć 2 gruszki z drugiego kosza do pierwszego, to w obu koszach byłoby tyle samo gruszek. Gdyby natomiast przełożyć 4 gruszki z pierwszego kosza do drugiego, to w drugim koszu byłoby dwa razy więcej gruszek niż w pierwszym. Ile gruszek jest w każdym koszu?
28. Wyznacz obecny wiek ojca i wiek córki wiedząc, że 5 lat temu ojciec był 6 razy starszy od córki, a za 4 lata ojciec będzie trzy razy starszy od córki.
27. Suma cyfr dodatniej liczby dwucyfrowej jest równa 11. Jeżeli zamienimy cyfry tej liczby miejscami, to otrzymamy liczbę o 27 większą od szukanej. Wyznacz szuka ną liczbę
26. Trzy proste opisane odpowiednio równaniami 2x-3y =5 2x-3y=5 1 2 , 4x – y = 1 przecinają się w tym samym punkcie. a) Wyznacz współrzędne tego punktu. b) Oblicz a
25. Funkcje liniowe f(x) = 2x – m + 12 12 oraz g(x) = – 0, 5x + m dla argumentu 6 przyjmują tę samą wartość. Oblicz mi podaj rzędna punktu, w którym wykresy funk cji fig się przecinają.
24. Wyznacz współczynniki a, b we wzorze funkcji liniowej je je wykres przechodzi przez punkt P(- 4, 6) f(x) = ax + b wiedząc, , a miejscem zerowym tej funkcji jest
23. Wyznacz liczby tego układu para liczb. a i b tak, aby rozwiązaniem układu równań była podana obok bx – ay = – 18, \qquad (a – 2b) * x – by = 2 (- 4, 6) b) (b + 0, 5a) * x + ay > – 2, \qquad 2(a – b) * x – 4y = 4b + a ) (2,-3 a)
22. Rozwiąż algebraicznie dany układ równań i przedstaw jego ilustrację graficzną.
21.Rozwiąż dany układ równań metodą graficzną. Pamiętaj o sprawdzeniu
20. Rozwiąż dany układ równań metoda przeciwnych współczynników.a
19. Rozwiąż dany układ równań metodą podstawiania. 2b – 8a = 4 4a-b=3
18. Sprawdź, czy para liczb (a, b) jest rozwiązaniem danego układu równań. a) b) 2x + 3y = 10 4x – 5y = – 16 x + y = 0, \qquad x * log6 4 – y * log6 9 = 2 (- 1, 4) (1, – 1)
17. Wyznacz liczbę a, dla której para liczb (2, – sqrt(8)) spełnia równanie 3x – ay = 2
16. Wykaż, że para liczb (sqrt(3) – 2, sqrt(3) + 2) spełnia równanie x sqrt 3 +2 + y sqrt 3 -2 =-14.
15. Rozwiązaniem układu równań 3 (1 3/4, – 2 1/4) B. D. x + y = 0, 5 ^ – 1, \qquad x – y = log1 81 jest para liczb: – (3,-1 C. (3, – 1) x + 2y = 4, \qquad sqrt(3) * x – y = 0 D. (- 3, 5) 15. A. (- 1, 3) , prze
14. Obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy 4. Jeśli x oznacza długość przyprostokątnej, zaś – długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, to za leżności między xiy opisuje układ równań: A. (x+ + 2 * y = 4 W2y 2y – x = 0 B. 2x+y=4\\ sqrt 3x-y=0 2x + y = 4, \qquad sqrt(2) * x – y = 0 C
13. Różnica dwóch liczb naturalnych xi y jest równa 19. Jeśli większą liczbę podzie. limy przez mniejszą y, to otrzymamy iloraz 2 i resztę 3. Który układ równań opisuje warunki zadania? A. x – y = 19, \qquad x = 3y + 2 B. x = y + 19, \qquad x = 2y + 3 C. y – x – 19, \qquad x = 2y + 3 D. y – x + 19, \qquad x = 3y + 2
12. Wskaż parę równań, które opisują dwie proste równoległe: A. x – y = 2, y – x = 1 C. x – 2y = 0 , y = 2x B. x + y = 2 , x – y = 2 D. x = 1 , y = 2
11. Proste kil, opisane odpowiednio równaniami cinają się w punkcie o współrzędnych: A. (- 2, 7) x + y = 5 B. (7, – 2) C. (- 1, – 6) oraz x – 2y = 11 D. (6, – 1)
10. Układ równań A. jest nieoznaczony C. jest sprzeczny B. y = 1, \qquad y = – 7x (x – y)/2 – (y + 2x)/4 = 3 C. y = 1 – 7x, \qquad 8x = 1 D. 7x + y = 1, \qquad 2y + 14x = 2 B. spełnia para liczb (- 4, 0) D. spełnia para liczb (0, – 4)
9. Wybierz układ równań, którego rozwiązania są parami liczb mającymi postać (x, 1 – 7x) , x in R A y = 7x, \qquad y = 1
8. Które z poniższych układów są sprzeczne? 3x – y = 8, \qquad 3x – y = 4 A lill II. – 5x + y = 6, \qquad y = 5x + 6 B. tylko ! B. 5x – 3y = 20, \qquad – 9x + y = 8 y – 6x = 3, \qquad x – y = 8 był nieoznaczony, wystarczy dopisać rów y = 4/7 * x – 2 C. y= D. y = 7/4 * x + 2 0, 6x – 0, 2y = 1, \qquad y = 3x – 4 D. ll i III C. li II D. 7x-4y 8
7. Aby układ równań nanie: A, 4x – 7y = 10 B. y = 1, 75x – 2
6. Para (- 2, – 10) jest rozwiązaniem układu równań: – 7x + 3y = – 16 x – y = – 8 x + 3y = – 32, \qquad y = 5x + 1
5. Wskaż równanie prostej, która jest równoległa do osi OY y = 1 B. x + y = 0 C. x – y = 2
4. Jeśli bok prostokąta długości x zwiększymy o 3, a bok długości y zmniejszymy o 2, to otrzymamy prostokąt, którego pole będzie o 9 lata. Zależność między x i y opisuje równanie: większe od pola danego prosto C. – 3x + 2y = 3 D. 3y – 2x = 15 D. x = 4 A – 3y + 2x = 15 B. 3x – 2y = 3
3. Równanie 2x – 0, 125y = 1 A. (x, 16x – 8) , x in R C. (x, 1 4 x- 1 8 ),x in R C. x – 0, 75y = 0 D. 0, 75x + y = 0 spełniają wszystkie pary liczb mające postać: B. (x,8-16x),x in R D. (x, 1 8 – 1 4 x ),x in F
2. Liczba dodatnia x jest o 25% mniejsza od liczby dodatniej y. Zależność między liczbami dodatnimi x i y opisuje równanie: A. x+25\%x=y B. x – y = 0, 25
1. Jednym A, (- 6, – 4) z rozwiązań równania (- 9, – 7) B. 3x – 5y = 6 jest para liczb: C. (7, 3) niu o- iu D. (12, 4)
5.75. Z miast A i B leżących w odległości 35 km wyruszyły naprzeciwko siebie po równoległych torach dwa pociągi osobowe i spotkały się po 15 minutach jazdy. Gdy by pociąg jadący z miasta A jechał z prędkością średnią dwa razy większą, zaś pociąg jadący z miasta B jechał z prędkością średnią cztery razy mniejszą, to pociągi te spotkałyby się również po 15 minutach jazdy. Z jakimi prędkościami średnimi jecha ty obydwa pociągi?
5.74. Miejscowości A, B oraz C leżą przy tej samej drodze, przy czym miejscowość B leży pomiędzy A i C. Odległość między miejscowościami A i B jest równa 18 km. Dwóch chłopców wyruszyło jednocześnie: Jacek z miejscowości A i Wojtek z miej scowości B, idąc ze stałą prędkością. Gdyby obaj szli naprzeciw siebie, to spotkaliby się po 3 godzinach marszu. Gdyby obaj szli w kierunku miejscowości C, to po 2 go dzinach marszu odległość między nimi byłaby równa 20 km. Z jaką prędkością idzie każdy chłopiec?
5.73. Basia i Kasia mieszkają w odległości 5 km od siebie. Obie dziewczyny wy ruszyły naprzeciwko siebie jednocześnie ze swoich domów i doszły na umówione spotkanie po upływie pół godziny, Oblicz średnie prędkości obu dziewcząt wiedząc, że prędkość Basi była o 50% większa od prędkości Kasi.
5.72. W z syropem cukrowym o stężeniu 40%, aby otrzymać mieszaninę o stężeniu 25%? jakim stosunku wagowym należy zmieszać syrop cukrowy o stężeniu 20%
5.71. Ile trzeba wziąć gramów złota próby 960, a ile próby 375, żeby otrzymać 200 g złota próby 750?
5.70. ile gramów srebra próby 750 i ile gramów srebra próby 375 należy stopić, aby otrzymać 50 g srebra próby 510?
5.69. Dwa kawałki stopu – jeden o zawartości 80% czystego złota, drugi o zawarto ści 40% czystego złota stopiono z 2,4 g czystego złota i otrzymano 12 g stopu o za wartości 78% złota. Jaka była masa każdego z kawałków stopu?
5.68. W dwóch naczyniach znajduje się roztwór wodny soli: w pierwszym stężenie procentowe roztworu wynosi 25%, a w drugim jest równe 45%. Po ile kilo gramów każdego roztworu należy wziąć, aby otrzymat 8 kg mieszaniny o stężeniu naczyniu
5.67. W sklepie są wafle waniliowe po 4 zł za kilogram i czekoladowe po 6 zł za kilogram. Sprzedawca chce zrobić mieszankę tych wafli Ile wafli każdego rodzaju powinien zmieszać, aby otrzymać 20 kg mieszanki? w cenie 5,50 zł za kilogram.
5.66. Janek postanowił kupić rower górski. W chwili podjęcia decyzji miał 500 zł oszczędności, kwotę niewystarczającą do zakupu wymarzonego roweru. Zaczął więc odkładać swoje comiesięczne kieszonkowe w wysokości 50 zł, ale cena roweru wzrasta co miesiąc o 20 zł. Gdyby cena roweru nie zmieniała się, to Janek uzbierałby na niego pieniądze o 4 miesiące wcześniej. Jaka była początkowa cena ilu miesiącach Janek będzie mógł kupić wymarzony rower? roweru? Po
5.65. Z okazji uroczystości rozpoczęcia roku szkolnego ustawiono w sali gimna stycznej ławki dla wszystkich uczniów. Gdyby na każdej ławce usiadło 6 uczniów, to zabrakłoby dwóch ławek. Gdyby zaś na każdej ławce usiadło 8 uczniów, to zostałyby 3 ławki. Ilu uczniów jest w tej szkole i ile ławek ustawiono w sali gimnastycznej?
5.64. Postanowiono obsadzić drogę wierzbami. Jeżeli na każdych 7 metrach posa dzić po 2 wierzby, to zostanie 118 wierzb. Jeżeli na każdych 7 metrach posadzić po 3 wierzby, to zabraknie 120 wierzb. Ile wierzb przygotowano do sadzenia i jak długa jest droga?
5.63. Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 308. Jeżeli większą z nich podzielimy przez mniejszą, to otrzymamy iloraz 7 oraz resztę 28. Wyznacz te liczby.
5.62. Różnica dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równa 10. Jeżeli większą z nich podzielmy przez mniejszą, to otrzymamy iloraz 3 i resztę 2. Wyznacz te liczby.
5.61. Za każde bezbłędnie rozwiązane zadanie uczeń otrzymuje 10 punktów, ale traci 5 punktów za każde źle rozwiązane zadanie. Po rozwiązaniu 20 zadań uczeń zgromadził 80 punktów. Ile zadań uczeń rozwiązał dobrze, a ile źle?
5.60. Sprawdzian testowy z matematyki składał się z 50 pytań. Za każdą prawid towa odpowiedź uczeń otrzymywał 3 punkty, zaś za każdą odpowiedź błędną tracit 1 punkt. Na ile pytań uczeń odpowiedział poprawnie, skoro ze sprawdzianu otrzy mał 78 punktów?
5.59. Jeśli długość danego prostokąta powiększymy o 4 cm, a szerokość o 3 cm, to jego pole zwiększy się o 43 cm ^ 2 . Jeśli natomiast jego długość zwiększymy o 7 cm, a szerokość pozostawimy bez zmiany, to jego pole powiększy się o 28 cm ^ 2 . Oblicz długość i szerokość danego prostokąta.
5.58. Przed 10 laty ojciec był cztery razy starszy od córki. Za 10 lat oboje będą razem 100 lat. lle lat ma obecnie ojciec, a ile córka? mieli
5.57. Szesnaście lat temu matka była będzie o 70% większy od wieku córki. Ile lat ma obecnie matka, a ile córka? 3 razy starsza od córki. Za 10 lat wiek matki
5.56. Przed dwoma laty ojciec był 10 razy starszy od syna, a za 13 lat będzie od niego 2,5 raza starszy. Ile lat ma obecnie ojciec, a ile syn?
5.55. Firma państwa Kowalskich produkuje kurtki męskie i damskie. W ubiegłym roku wielkość całej produkcji wyniosła 7000 sztuk. Okazało się jednak, że 1,5% kur tek męskich oraz 2% kurtek damskich miało wady. Ile kurtek męskich, a ile dam skich wyprodukowała ta firma w ubiegłym roku, jeśli wszystkich kurtek wadliwych było 135?
5.54. Za 16 biletów do cyrku zapłacono 303 zł. Bilet dla dziecka kosztował 15 zł, zas dla osoby dorosłej był o 60% droższy. Oblicz, ile kupiono biletów dla dorosłych, a ile dla dzieci.
5.53. Pan Kwiatkowski i pan Kowalski wpłacili swoje oszczędności o łącznej war tości 10 000 zł do różnych banków. Pan Kwiatkowski ulokował swoje oszczędności w banku, w którym oprocentowanie roczne wynosiło 1,2\% , zaś pan Kowalski w ban ku, który proponował oprocentowanie roczne w wysokości 1,4\% . Po roku łączna kwota odsetek wyniosła 138,4 zł. Ile złotych ulokował w banku każdy z panów?
5.52. Jakie wynagrodzenie roczne otrzymała każda z dwóch menadżerek, jeśli pierwsza zarobiła w tym czasie o 49 280 zł więcej niż druga, a 0,9 zarobku pierwszej było równe tyle, co 125% zarobku drugiej menadżerki?
5.51. w 1980 roku łączna emisja zanieczyszczeń pyłowych i gazowych w Polsce wynosiła 7,3 mln ton. W ciągu 12 lat emisja zanieczyszczeń pyłowych zmniejszyła o 70%, a zanieczyszczeń gazowych – 0 37% tak, że w sumie masa tych zanieczysz się czeń wyniosła 3,84 mln ton. Oblicz, jaka była emisja zanieczyszczeń pyłowych, a jaka gazowych w 1992 roku.
5.50. Liczbę 135 rozłóż na dwa składniki tak, aby jeden składnik był o 30 większy od 40% drugiego
5.49. Suma szukanych dwóch liczb dwucyfrowych jest równa 80. Jeżeli mniejsza z nich dopiszemy do większej z lewej strony, to otrzymamy liczbę o 3168 mniejsza od tej, którą byśmy otrzymali po dopisaniu większej z nich do mniejszej z lewej strony. Wyznacz te liczby.
5.48. Szukana liczba dwucyfrowa jest 21 razy większa od różnicy między jej cyfra dziesiątek i cyfrą jedności. Jeżeli przestawimy cyfry tej liczby i od nowo otrzyma nej liczby odejmiemy 12, to różnica będzie trzy razy większa od sumy cyfr szukanej liczby. Znajdź tę liczbę.
5.47. Suma cyfr szukanej liczby dwucyfrowej jest równa 11. Jeżeli do tej liczby do damy 63, to otrzymamy liczbę napisana za pomocą tych samych cyfr, ale w odwrot nej kolejności. Wyznacz szukaną liczbę. 142
5.46. Suma cyfr szukanej liczby dwucyfrowej jest równa 12. Jeżeli cyfry tej liczby przestawimy, to otrzymamy liczbę większą o 18 od szukanej liczby. Wyznacz szukaną liczbę.
5.45. Suma a drugą zmniejszymy o 20%, to ich suma zmniejszy się o 52. Co to za liczby?
5.44. Jedna z szukanych liczb jest o 25% mniejsza od drugiej liczby. Jeśli do mniej szej liczby dodamy 9, to otrzymana suma będzie o 20% większa od drugiej szukanej liczby. Wyznacz te liczby. dwóch liczb jest równa 800. Jeżeli jedną z nich zwiększymy o 25%,
5.43. Znajdź ułamek mający następującą własność: jeśli do licznika tego ułamka a do mianownika dodamy 1, to otrzymamy liczbę równa 1/2 dodamy 3, miast od licznika odejmiemy 5, a od mianownika 3, to otrzymamy liczbę równą Jeśli nato 1/3
5.42. Liczba x jest o 120 większa od liczby y. Iloraz liczby x przez liczbę ny 6. Wyznacz liczby xiy. y jest rów
5.41. Liczba naturalna a jest o 3 większa od podwojonej liczby naturalnej b. Jeśli od liczby b odejmiemy 1, to otrzymana różnica będzie trzy razy mniejsza od liczby a. Wyznacz liczby aib.
5.40. Rozwiąż dany układ równań metodą przeciwnych współczynników. a) (x – 4)(x + 4) = (x + 2) – y, \qquad (2x – y)/2 – (x – y)/3 = 1 (x – 2) ^ 2 – 2(x – 2y) = 1 – (3 – x)(3 + x), \qquad 2x + y = 4 b) c) funkcji b) c) (x – 1)/2 – (y + 1)/3 = 1 (2x – 1) ^ 2 – (3y + 1) ^ 2 = (2x – 3y)(2x + 3y) – 32 (3x – 2y)(3x + 2y) – 9(x – 1) * (x + 1) = x – y – 4(y – 2) * (y + 2) d) y-2 X-2 = 2 3 Zastosowanie układów równań do rozwiązywania zadań
5.39. Wykresy funkcji liniowych b) Oblicz a. f(x) = (m – n) * x – 5n + moraz g(x) = – 3x + 3m – 8n – 2 przecinają oś OY w tym samym fnależy punkt A(-7,-20 ). Oblicz min. punkcie. Do wykresu
5.38. Wykresy trzech funkcji liniowych: b) Oblicz współrzędne punktu C. f(x)=3x-7,g(x)=(a-1)x+3(a+2) ra2 h(x) = 5x + 9 przecinają się w jednym punkcie. a) Wyznacz współrzędne tego punktu.
5.37. Wykres funkcji liniowej y = f(x) przechodzi przez punkty A(21, 8) * i * B * (- 9, – 12) . Wykres funkcji liniowej a) g(x) = 1 1/6 * x – 9 przecina wykres funkcji w punkcie C. Wyznacz wzór funkcji f.
5.36. Do wykresu funkcji liniowej f(x) = ax + b należą punkty Mi N. Ułóż układ równań z niewiadomymi a i b. Następnie oblicz a i b oraz napisz wzór funkcji f. a) M(-2, 109), N(1, 13) M(32, 8) , N(- 16, 14) c) b) M(20, – 1) , N(- 15, – 15) d) M(26,7), N(- 6, 15)
5.35. Rozwiąż dany układ równań metodą przeciwnych współczynników. a) (r – 3y)/5 = (5x – y)/3 – (x + y)/2, \qquad 3(x – 1) = 5(y + 1) 2 – 0, 3(y – 2) = (x – 1)/5, \qquad (y – 3)/4 – (4x + 9)/20 = – 1.5 2 3x – 2y, \qquad 5, \qquad 1/2 * (2x – 3y) + 5 = (4x – 3y)/2 + y (3y – 5x)/3 + 1
5.34. Rozwiąż dany układ równań metodą przeciwnych współczynników. a) x/3 + y/5 = 5, \qquad x/2 = y/3 – 2 b) x/3 – 16/15 = 1/5 * y, \qquad 1/3 * x + y/5 = 34/15 c) (2x)/5 + y/3 = 1, \qquad x/2 – (2y)/9 = – 4 1/2 d) e) c) d) e) f) d) 1, 2x – (2y)/3 = 16, \qquad (2y)/3 + 0, 2x = 5 e) 1/8 * x + 7 = 0, 75y, \qquad 0, 5x – 1/6 * y = 6 d) f) sqrt(2/3 * x – 1/5 * y = 6)
5.33. Rozwiąż dany układ równań metodą przeciwnych współczynników. a) -3x +2y =-7 5x + 2y = – 7, \qquad 5x + 2y = 1 0, 3x – 0, 7y = 5, \qquad 4x + 7y = – 15 b) 3x – 7y = 4, \qquad x = 2 1/3 * y + 1 2x-5y = 11 \ 3 4 x-2y=4 c) 5x – 3y = 9, \qquad 7x + 4y = 29 2/3 * x – 4y = 6 f) {3
5.32. Rozwiąż dany układ równań metodą podstawiania. a) b) (x – 3)(x + 3) + 3y – x + 2 = (x – 2) ^ 2 + y = 2 y 2(y-x)+ 4 = 2y ly-(x + 1)² = 2 – (x – 1)? (x-1)^ 2 -(y+3)^ 2 =(x-y)(x+y)-2y\\ +5=y – (x – 2) * (y + 1) = 6 2 = x(x – y) – y(x – y) + y (x+1)(y-2)-(x-2)\\ (x-y)^ 2 +x+2=x(x 27y^ 2 -3(2x-3y)^ 2 \\ (x-3)^ 2 -(y-1)^ 2 + (27y^ 2 -3(2x-3y)^ 2 -2x=y+5-12x(x-3y) (x – 3) ^ 2 – (y – 1) ^ 2 + 10x = 10 + x ^ 2 – y ^ 2 4y = (2x – 5)(- 5 – 2x) + (2x + 3) ^ 2 – 34 ((3x-2)^ 2 -(3x-y)(3x+y)=y(y-2) Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metodą przeciwnych współczynników
5.31. Rozwiąż dany układ równań metodą podstawiania. a) b) (x – 3)(y + 1) = xy – 5, \qquad (x + 1)(y – 3) = 7 + x(y – 5) (2x – y)(y + 5) = y(2x – y – 4), \qquad 3(8x – y) = 2(11y – w) (1x – y) (x-y)(x+2)-1\\ (x-y)\\ 2x-3y\\ 2 matrix = x+y 6 3(x-1)(x+3)-2(y+1)(y+2\\ y-1 4 = x 2 -1 x+3)-2(y+1)(y+2)+2y^ 2 =3(x^ 2 -y) x+2)=x(x-y)+4 c) 2x + 1 8x – 11 x+y A 6y – 5x B D x – 2y y + 2 2x – 3y + 1 d)
5.30. Na rysunku obok trapez ABCD jest równora mienny, a jego podstawa AB jest trzy razy dłuższa od podstawy DC. Korzystając z informacji podanych na rysunku, oblicz obwód tego trapezu.
5.29. Czworokąt ABCD jest równoległobo kiem, którego bok AB jest o 3 dłuższy od boku BC. Korzystając z informacji podanych na ry sunku obok, oblicz długości boków tego rów noległoboku.
5.28. Oblicz miary kątów wewnętrznych wielokąta na rysunku poniżej: a) ABC – trójkąt równoramienny, |AC| = |BC| b) ABCD-romb D 5y + 40 degrees 6y – 8x równań para liczb (5, 14) 100 degrees – 5i
5.27. Wyznacz wartości a i b, dla których podana obok układu jest rozwiązaniem tego układu. a) -2ax+by=6\\ ax-3y=1 (-23,-8) (5+a)x-3y=b+3\\ (b-1)x+5y=a+8 (2 1 2 ,-1) b) d) 5x-ay=8\\ bx-2av=4 (2,1) (a + 2) * x + (2 – b) * y = 2b, \qquad (b – 2) * y – ax = 4 c)
5.26. Punkt A jest punktem wspólnym prostych kil. Wyznacz współrzędne punktu bez szkicowania tych prostych. a) k / y = 3x – 4 , ly y = – x + 8 , 1 : y=2x+3 A k / y = – x + 6 b) k / y = 0, 5x – 1 , ty y = 1, 5x + 3 d) k / y = 3x – 2 , !y=-2x+8 d) c) e) c) d) e) f)
5.25. Rozwiąż dany układ równań metodą podstawiania. (x – 3)/2 – (2x + y)/4 = (x – y)/8 (2(x – y))/7 – (x – 3y)/21 = y/3 a) x+2y 2 – x-y 8 = 3y+1 4 2x+2y =7 b) ( (1 – 2x)/3 – (5 – 3y)/3 = 0 big)=y+x+2 3x x/4 – 7/4 = – 1, \qquad (5x)/3 + (3y)/3 = 16 2 8 \ 2x-3y 3 – x+3y 6 =x-4y 3x – 4y =11 (4y – 3x)/18 – (y + 4)/6 = y/9, \qquad (y – x)/2 = 8y + 4x
5.24. Rozwiąż dany układ równań metodą podstawiania. a) x/6 + y/6 = 1/2, \qquad x/6 – y/2 = 1/6 b) aligned x 2 + y 6 =1 2 3 \\ underline x + y -1 aligned 6 2 c) x/2 – y/4 = 1, \qquad x/3 – y/6 = 2/3
5.23. Rozwiąż dany układ równań metodą podstawiania. a) 2(x + y) – 3(x – y) = 4 big| 5 (x+y)-7 big(x-y big)=2 3(2x – y) – 2(x + 4y) = 6 – 10y 0, 5(x – 3y) – (4y – x) + 8 = 0 16 – 2(3x – 5y) = 9y – 2x |20-3(x-2y)=5y+9 b) 4x + 3y = 11, \qquad – 5x + 2y = – 31 2x – 5y = 9, \qquad 4x + 19y = 47 4(3x+y)- Big\\ 3(2x+3y)+ y)-(x-2y)=4y+7x 3y)+5(x-y)=-18 3x-8-(5x-\\ 4-2(x-y)+ x+3y-2(x-\\ 3(4x-y)-1 – 2(x – y) = 4(y + 6) – (5x + 4y) = x – 2y -y)+3x=0 y)-11(x+y)=5-13y
5.22. Rozwiąż dany układ równań metodą podstawiania. d) 3x – 2y = 9, \qquad 5x + y = 2 0, 6x + 1, 2y = 1, \qquad x + 2y = 7 b) e) 3x +2y = 4 \ 3 5 x+ 2 5 y=0,8 7x + 11y = 19, \qquad 3x – 2y = – 12 d) f) c) f)
5.21. Rozwiąż dany układ równań metodą podstawiania. a) d) x = 2 + y, \qquad 3x – 2y = 9 x = 4 + y, \qquad 2x – 2y = 8 b) e) x + 5y = 7, \qquad 3x – 2y = 4 x + y = 3, \qquad y = 3, 5 – x c) f) 5x + y = 4, \qquad x – 2y = 3 0, 25x + 0, 25y = 1, \qquad 0, 75x + 0, 75y = 3 d) f) +2 e) f)
5.20. Rozwiąż graficznie a) c) e) układy równań: (x + 3)(x – 1) + y = (x – 1) ^ 2, \qquad x – 2y = 10 (x + 1) ^ 2 – 2(y + 3) = (x + 2) ^ 2, \qquad x + y = 2 (x + 2y) ^ 2 – 4y * (y + 1) = x ^ 2 + 4xy, \qquad (x – 3)(x + 3) – 2y = x ^ 2 – 5 b) c) d) (y + 2)/5 – (2 – x)/2 = 2, \qquad 1/2 * x + y < 5 (x + 2)/3 - (y - 1)/2 = 1/6, \qquad 2x - 3y = - 6 (y - 1)/2 - (y + 2)/3 = 0, \qquad (y - x)/2 - (y + x)/4 = y - 3/4 * x + 1 2 b) 13 - (3x - 1)(3x + 1) = 2y - (3x - 2) ^ 2, \qquad y + x = 4 x(x - 1) - (y - 1) ^ 2 = (x - y)(x + y), \qquad x - 2y = - 1 (+ y) - 4x ^ 2 = x - y ^ 2 [ matrix 4+(2x-y)(2x+y)-4x^ 2 \\ x-2 2 + 3x-y 3 =2 Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metodą podstawiania
5.19. Rozwiąż graficznie układy równań: a) (x + y)/2 – (x – y)/4 = 3, \qquad x – 2y = 2 (x – 2y)/3 – (x – y)/2 = 1, \qquad (x + 2y)/2 – (x + 4y)/2 = 2 x+3y 3 + x 12 = x+1,5y 3
5.18 Dopisz brakujące równanie układu tak, aby powstały układ równań: a) 3x – 5y = 7 4x – y = 0 9x + y = 8 był sprzeczny b) był nieoznaczony d) był sprzeczny f) 7x + 5y = 9 big|3 big(x-5 big)=2x+4 4x – 5y = 11 był oznaczony był oznaczony był nieoznaczony e)
5.17. Wskaż układ sprzeczny, oznaczony i nieoznaczony, jeśli: a
5.16. Napisz układ dwóch równań z graficzną przedstawia poniższy rysunek. Podaj jego rozwiązanie, o ile istnieje. a) -4 b) Y 4 -3 -2 – 1 10 2 -1 0 1 2 f) -5-5 4-3-5 6 X -4-3 -2 -1 d) A -2 – 10 -2 4 – 45 8 9 10 x -5 e) f) 2 3 -1 2 4 6 X 6 2 4 5 6 X
5.15. Rozwiąż graficznie układy równań. Podaj zbiór rozwiązań układu oznaczone go i układu nieoznaczonego. a) x – y = 4, \qquad 3x = 3y + 12 0, 25x – y = 2, \qquad x = 4y + 8 b) 2x + y = 5, \qquad x + y = 1 2(x+y)=-3\\ 3(x+1)=2( y)=-3+2y 1)=2(x+4) c) y = 1/2 * x – 3 x-2y=4 3y – 4 = y + 6, \qquad 5(y – x) = 25 – 5x dwiema niewiadomymi, którego interpretację d) e)
5.14. Poniższe układy równań są układami oznaczonymi. Rozwiąż graficznie każdy nich. Sprawdź algebraicznie poprawność rozwiązania. z a) d) x – y = 4, \qquad x + y = – 2 y = – 1, \qquad 4x + 3y = 1 b) e) x – 2y = 8, \qquad x + y = 2 x – 4y = 12, \qquad 2x + y = 6 c) f) y = 3x + 4, \qquad x + 2 = 0 2x + 5y = 20, \qquad 3x + y + 9 = 0
5.13. Na poniższym rysunku przedstawiona jest ilustracja graficzna pewnego ukła du równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Napisz ten układ i podaj, czy jest to układ oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny. W przypadku, gdy istnieje rozwiązanie układu, zapisz je. a) b) c) -36 x 26 1 Х 4 X -4 -2 – U 2
5.12. Sprawdź, która para liczb z danych obok układu równań par spełnia ten układ. 3x – 2y = 4, \qquad 5x + y = 11 2x – y = 4, \qquad y = 2x – 6 (4, 4), (1, 2), (2, 1) (- 2, – 8), (2, 0), (5, 6) 2x – 3y = 1, \qquad y = (2x – 1)/3 0, 5x + 0, 4y = 6, \qquad – 7x + 3y = 2 (0, 2/3), (- 8, 25), (4, 10) (- 10, – 7), (5, 3) , (3,5 ) b) d)
5.11. Podaj wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich, będących rozwiązaniami danego równania. a) x + 3y = 18 b) x + 5y = 35 c) 7x + 3y = 21 d) 3x + 25y = 40 . Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Graficzne rozwiązywanie układów równań
5.10. Napisz równania prostych k, l, m, które wyznaczają trójkąt ABC na rysunku poniżej. a) b) -4 8 m B. -1 6 X -6-5-4-3-2- 8 9 10
5.9. Prosta na rysunku poniżej jest wiadomymi x i y. Zapisz to równanie w postaci a) b) -3 -1 22 – 4 X stopnia z nie AY 2 2 -1 4 3 -2 -1 c) AY d) AY 4 -1 10 2 보 -4-3-2-1 3
5.8. Opisz wszystkie pary liczb (x, y) spełniające równanie: a) 2x + 3y = 5 d) 4x – 0y = 7 b) e) 0x – 10y = 2 6 – y = 3 c) – 5x + 6y = 0 f) – 2x + 4y = 8 . wykresem równania pierwszego ax + by = c , gdzie a,b,c in Z,
5.7. Podaj przykład równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y, którego rozwiązania możemy opisać jako pary liczb mające postać: a) (x,5x-7 ), x in R d) (x,6x),x in R b) (9,y),y in R e) (4y-1,y),y in R c) (x,-2),x in R f)
5.6. Zapisz każdą z poniższych wypowiedzi w postaci równania a, b, c in mathcal Z Z. a) Różnica liczb xiy wynosi –3. b) Podwojona liczba x jest 4 razy większa od liczby y. c) Suma liczb xiy jest o 3 większa od różnicy tych liczb. d) Różnica podwojonej liczby x oraz 50% liczby y jest równa 33 1 3 \% ax + by = c , gdzie sumy tych liczb.
5.5. Które z poniższych równań opisują tę samą prostą? a) 12x – 9y = 21 1 1/4 * x – 1/4 * y = 5 d) 1- b) y = 5x – 20 e) y = 1 1/3 * x – 2 1/3 4/3 * x – 1/3 * y – 2 1/3 = 0 f) 0.5x – 0, 1y – 2 = 0
5.4. Podaj trzy przykłady par liczb spełniających dane równanie. Następnie w pro stokątnym układzie współrzędnych naszkicuj wykres równania i zaznacz na nim punkty, których współrzędne są równe tym parom liczb. a) – 3x + 5y = 10 b) 0x – 3y = 9 c) 4x + 0y = – 12 d) 5x – 4y = 0 . )
5.3. Wyznacz liczby a, b tak, aby obie pary liczb dane obok równania spełniały to równanie. a) 9x – 2y = 15 b) 1/5 * x – 2/5 * y = 0, 6 c) 0, 3x – 0, 5y = 1, 2 d) 5sqrt(2) * x – 2/3 * y = 0 (a, 15) , (- 17, b) (3 3 4 ,0 ) (b,-5 (- 6, a), (b, 9) (a, 120), (b, – 21)
5.2. Dane jest równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x iy oraz trzy pary liczb x, y ) obok tego równania. Sprawdź, które z tych par liczb spełniają dane równanie. 0x – 5y = 8 1/3 b) 1, 2x + 0y = 6 c) 0, 625x – 0, 25y = 0 H) sqrt(3) * x – sqrt(192) * y = 10sqrt(3) (20, – 5/3), (- 9, – 3 1/3), (- 57, – 1 2/3) (0, 6) , (5, – 12), (- 10, 8) (1/5, 1/2), (4sqrt(5), sqrt(500)), (- 4, – 10) (0, – 1 1/4), (- 6, – 2), (4, 1/2)
5.1. Wśród poniższych równań znajdują się równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Wskaż je. a) 2x – y ^ 2 = 0 d) 5x = 3 – sqrt(2) * y b) 3x – 5y = 1 e) xy = 8 c) x x – sqrt(y) = 2 6) – 1/3 * y = 5 – x
33. Wykaż, że liczba 1/(3sqrt(2) + 4) jest miejscem zerowym funkcji liniowej . f(x) = (3sqrt(2) – 4) * x + 12sqrt(2) – 17
32. Wykaż, że jeśli funkcja liniowa f(x) = ax + b – 2 jest malejąca i jednocześnie jej D wykres przecina oś OY poniżej punktu P(0, – 2) , to iloczyn a. b jest dodatni. D
31. Wyznacz wszystkie wartości m, f(x) = 3m – (2m – 14) * x jest: a) rosnąca dla których funkcja liniowa b) malejąca c) stała
30. Dana jest funkcja liniowa f(x) = – 6x – b . b = 3 a) Dla mi układu współrzędnych. b) wyznacz współrzędne punktów przecięcia się wykresu tej funkcji z osia jakich wartości b miejsce zerowe funkcji f jest liczbą mniejszą od -2?
29. Funkcja liniowa f(x) = (3m – 8) * x + 5 – 4m jest proporcjonalnością prostą. a) Wyznacz liczbę m. b) Dla obliczonej wartości m podaj wzór funkcji f. c) Czy funkcja f jest rosnąca?
28. Funkcje fokreśla wzór f(x) = { x – 2 , jeśli xe(-2,4) x+1, jeśli xe (4.+00) a) Oblicz miejsca zerowe funkcji f. b) Podaj współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji f z osią oy. c) Naszkicuj wykres funkcji fi omów jej własności.
27. Dane są dwie funkcje liniowe: a) Wyznacz argument, nie oblicz tę wartość. f(x) = – 1/3 * x + 5 g(x) = 2/3 * x – 100 oraz . którego funkcje fig przyjmują tę samą wartość; następ b) Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie i jednocześnie funkcja g przyjmuje wartości ujemne? 3 2 x-7, jeśli x in(- infty,-2)
26. We wspólnym układzie współrzędnych sporządź wykresy funkcji liniowych określonych wzorami: f(x) = 2/3 * x – 4ig * (x) = – 2x + 4 . zerowe funkcji g. a) Oblicz miejsce zerowe funkcji f oraz miejsce b) Podaj zbiór wszystkich argumentów, dla których obie funkcje przyjmują jedno cześnie wartości ujemne. c) Oblicz współrzędne punktu przecięcia się wykresów tych funkcji i sprawdź po prawność rozwiązania z rysunkiem. d) Podaj, dla jakich argumentów wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g.
25. Na rysunku obok znajduje się wykres ilustrujący zależność między liczbą litrów a benzyny w zbiorniku, liczbą przejechanych kilometrów przez panią Ewę w czasie podróży samochodem nad Bałtyk, na trasie 500 km. 60 50 40 30 20 10 100 200 300 400 500 600 700 [km) a) Oblicz, ile średnio litrów benzyny na sto kilometrów spala samochód pani Ewy. b) Napisz wzór funkcji określającej zależność między liczbą litrów benzyny w zbior niku, a liczbą przejechanych kilometrów na tej trasie. ) W kolejnym roku pani Ewa planuje wybrać się samochodem w góry. W zbiorniku mieści się 50 litrów benzyny. Napisz wzór funkcji k, określającej liczbę przeje chanych kilometrów w zależności od ilości v spalanej benzyny, bez tankowania, i naszkicuj wykres tej funkcji.
24. Wykres funkcji liniowej przez punkty (0, 4) * i * (2, 0) , zaś do wykresu funkcji liniowej g należą punkty (0, – 10) i (- 5, 0) . Wykaż, że wykresy funkcji fig sa do siebie równoległe.
23. Funkcja liniowafjest opisana wzorem: f(x) = (2x – 1) ^ 2 – (x – 2)(2 + x) – 3x * (x – 2) .
23. Funkcja liniowafjest opisana wzorem: f(x) = (2x – 1) ^ 2 – (x – 2)(2 + x) – 3x * (x – 2) .
22. Wyznacz wzór funkcji liniowej wiedząc, że ta funkcja przyjmuje wartości ujem ne wtedy i tylko wtedy, gdy x in(7,+ infty) , a do jej wykresu należy punkt (- 1, 4) .
21. Dana jest funkcja liniowa f(x) = 3x – 19 . a) b) Oblicz, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości nie mniejsze od 2.
20. Naszkicuj wykres funkcji liniowej f(x) = – 2x + 6 . Następnie odczytaj z wykresu: a) która z liczb jest większa: f(2 – sqrt(3)) czy f(2 + sqrt(3)) b) dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości ujemne.
19. Funkcja fjest określona wzorem f(x) = – 3x + 5 , gdzie x in N Czy funkcja f ma miejsce zerowe? N. a) b) Czy funkcja fprzyjmuj * epsilon wartość największą? Uzasadnij odpowiedzi na postawione pytania.
18. Naszkicuj wykres funkcji liniowej y = x/3 – 2 i omów jej własności.
17. Wykres funkcji liniowej f przechodzi przez punkty M(12, 84) * i * N * (- 10, – 180) . a) Wyznacz wzór funkcji f. b) Oblicz miejsce zerowe tej funkcji.
16. Funkcję liniowa f opisuje wzór f(x) = (3 – pi) * x – pi + 5 a) Podaj współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji f z osią OY. b) Oblicz wartość funkcji f dla argumentu -1.
15. Wykresy funkcji liniowych f(x) = (7 – k) * x – 3k 3k oraz g(x) = 2x + 15 są równolegte dla pewnej wartości k. Liczba k jest: A. ujemna B. pierwsza C. złożona D. niewymierna Zadania powtórzeniowe do rozdziału 4.
14. Wykresy funkcji liniowych f(x) = 2x – 5 oraz cie o współrzędnych: A. (- 7, 19) B. (- 7, – 23) g(x) = 12 – x C. (1, 7) przecinają się w punk D. (7, 5)
13. W korporacji taksówkowej obowiązuje następujący system opłaty za przejazd: za pierwszy kilometr 6 zł 30 gr, a za każdy następny (rozpoczęty) kilometr 1 zł 80 gr. Wzór funkcji f opisującej wysokość opłaty za przejazd w zależności od liczby n prze kilometrów to: A. f(n) = 1, 8n + 4, 5 jechanych C. f(n) = 6.3n + 1, 8 B. f(n) = 1, 8n + 6, 3 D. f(n) = 6, 3n – 4, 5
12. Motocyklista pokonuje trasę 32 m w 4 sekundy. Ile kilometrów przejedzie ten motocyklista w ciągu 1,5 godziny, jadąc z tą samą prędkością? A. 40 km B. 10, 5 km C. 48 km D. 43,2 km
11. Wykres funkcji liniowej y = ax + b przechodzi przez I, III i IV ćwiartkę układu współrzędnych, jeśli: A J > 0ib < 0 B. a > 0ib > 0 C. a < 0ib < 0 D. a < 0ib > 0
10. Funkcja liniowa f(x) = (9 – m ^ 2) * x + m jest stała tylko wtedy, gdy: m = 0 Alm B. m = – 3 C. m = 3 D. m in\ -3,3\ )
9. Dane są funkcje liniowe: y = – 3 II. y = – 2 + sqrt(3) * x Funkcję malejącą opisuje wzór: A. I B. 11 C. 2 D. 8 III. y = x * log3 1/3 + 3 C. III IV. y= (7 – 3)x – y = (pi – 3) * x – 1 D. IV
8. Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = – 0, 25x + log 100 jest liczba: A. 40 B. 20
7. Wykres funkcji liniowej g(x)=6-4k+k) przecina oś OY w punkcie (0, 10) wtedy i tylko wtedy, gdy: A. k = – 4 B. k = – 1 C. k = – 10 D. k = 10
6. Funkcja liniowa f(x) = 3/4 * x – 12 przyjmuje wartości nieujemne wtedy i tylko wte dy, gdy: A, x in(16,+x) B. x in(- infty,16) C. x in langle16,+ infty) D. x in(- infty,16)
5. Liczba 3 jest wartością funkcji f(x)= 5 6 A B. 6/5 dla argumentu: D 2/9
4. Punkt B(- 8, 2) należy do wykresu funkcji liniowej f(x) = 0, 25x + b . Wobec tego! A. b = – 4 B. b = – 2 C. b = 2 D. b = 4 y = 6 D.y w wysokości 28 zł 1 y = f(x) 4 -3 -7 -1 f(x) = 4/9 * x – 1/3 ch 1/3
3. Współczynnik kierunkowy występujący we liniowej f, której wykres przedsta wzorze funkcji wiony jest A. C. – 3/2 – 2/3 obok, jest równy: B. 3/2 D. 1
2. Do wykresu proporcjonalności prostej należy punkt (6, sqrt(20)) . Zatem funkcja ta ma wzór: A. y = 6x B. y = 2sqrt(5) * x C. y = (sqrt(5))/3 * x
1. Wielkości xi y podane w tabelce poniżej są wprost proporcjonalne. х у Zatem iloczyn liczb a i b jest równy: A. 180 B. 5/4 а 12 15 b 3,5 4,2 C. 0,8 D. 3
4.91. Pewna firma telefoniczna proponuje opłat miesięcznych za telefon: pod! abonentowi do wyboru dwa warianty 1 – za każdy impuls 12 groszy i jednocześnie opłatę stałą 11 – za każdy impuls 47 groszy i jednocześnie brak opłaty stałej. a) Dla każdego wariantu zapisz wzór funkcji opisującej zależność między miesięcz ną opłatą za telefon a liczbą wykorzystanych w miesiącu impulsów, przy założe niu, że miesięczna liczba wykorzystanych impulsów jest nie większa niż tysiąc. wariantów korzystniej jest wybrać, jeśli zakładamy, że miesięcznie wyko c) Oblicz, przy jakiej liczbie impulsów wybór pomiędzy podanymi wariantami opłat nie wpływa na wysokość opłat. b) Który z rzystuje się 200 impulsów?
4.90. Korporacja taksówkowa MULTI – TAXI proponuje klientowi następujące zasa dy usługi: za pierwszy kilometr jazdy 3 zł 60 gr, oraz za każdy następny (rozpoczęty) kwotę 1 zł 60 gr. Konkurencyjna korporacja TRANS – TAXI proponuje następujące za sady usługi: 4 zł za pierwszy kilometr jazdy, a za każdy następny (rozpoczęty) kwotę 1 zł 40 gr. W obu korporacjach umowa dotyczy tras nie dłuższych niż 40 km. a) Dla każdej z powyższych korporacji zapisz wzór funkcji określającej wysokość opłaty za przejazd taksówką, w zależności od liczby n naliczonych przez takso metr kilometrów jazdy. b) Przy jakiej liczbie kilometrów obie korporacje zażądają takiej samej zapłaty? c) W przypadku której korporacji klient zapłaci mniej za przejazd trasą długości 16 km? 126 Matematyka.
4.89. W pewnym kraju od zarobek obu dziewcząt będzie identyczny? podatku dochodowego zwolnione są dochody nieprze kraczające 800 dolarów. Za dochody przekraczające 800 dolarów, ale nie większe niż 2000 dolarów, podatnik płaci podatek w wysokości 5% od dochodu pomniejszonego o 800 dolarów. Jeśli dochód przekracza 2000 dolarów, podatnik płaci 60 dolarów plus 20% nadwyżki powyżej 2000 dolarów. a) Napisz wzór funkcji, która opisuje wysokość podatku w tym kraju w zależności od dochodu podatnika. b) Naszkicuj wykres tej funkcji. C) Oblicz, jaki podatek zapłaci podatnik o dochodach równych 1800 dolarów, a jaki -o dochodach 5800 dolarów.
4.88. Magda i Ola podjęły pracę wakacyjna w dwóch różnych pizzeriach. Magda otrzymuje stałą dzienną stawkę w wysokości 52 zł, a także 1,60 zł za każdą dostar czoną klientowi pizzę. Ola podpisała umowę, która gwarantuje jej stałą stawkę dzienną w wysokości 40 zł oraz 2,20 zł za każdą dostarczoną pizzę. a) Która z dziewcząt wybrała korzystniejsze warunki pracy przy założeniu, że dzien na średnia liczba dostaw wynosi 15? b) Przy jakiej liczbie dostaw dzienny
4.87. Obwód trójkąta równoramiennego o bokach długości x a) jest równy 8. Wyznacz wzór funkcji określającej długość boku y w zależności od x. x, x, y b) Podaj dziedzinę tej funkcji. c) Wyznacz argument x, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość równą 1. d) Naszkicuj wykres tej funkcji.
4.86. Obwód prostokąta o bokach długości x i y jest równy 14. a) Wyznacz wzór funkcji określającej długość boku y w zależności od x. b) Podaj dziedzinę wyznaczonej funkcji. c) Dla jakiej wartości x funkcja przyjmuje wartość równą 47 d) Naszkicuj wykres tej funkcji.
4.85. Turysta wyruszył ze schroniska o godzinie 700, kierując się prosto pod górę. W ciągu pierwszej godziny przeszedł 3 km, a w ciągu następnej przeszedł 5 km, po nieważ droga biegła grzbietami gór. Następnie odpoczywał przez 40 minut, podzi wiając piękny krajobraz. Pozostałą część trasy szedł z prędkością 3 km/h i przybył do celu o godzinie 11 ^ 00 a) Naszkicuj wykres funkcji, opisującej drogę turysty w zależności od czasu. b) lle kilometrów przeszedł turysta? objętość [litry)
4.84. W wannie o pojemności 200 litrów znajdowało się 20 litrów wody. Po od kręceniu kurków do wanny naplywa 15 litrów wody w ciągu minuty. Napisz wzór funkcji, określający zależność liczby litrów wody w wannie od czasu, jaki upłynął od odkręcenia kranów do momentu ich zakręcenia, kiedy wanna była pełna. Naszkicuj wykres tej funkcji.
4.83. W 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 czas Įmin] a) Odczytaj z wykresu, ile wody było w zbiorniku po odkręcenia kranu napływowego. b) c) Po ilu 10 minutach od momentu minutach od momentu odkręcenia kranu w zbiorniku znajdowało się 70 litrów wody? Napisz wzór funkcji, określający zależność liczby litrów wody w pojemniku od czasu, jaki upłynął po odkręceniu kranu napływowego, do chwili napełnienia zbiornika woda.
4.82. W zbiorniku znajdowało się 240 litrów wody. Po odkręceniu kurka odpływo wego woda wypływała ze zbiornika ze stałą prędkością 20 litrów na minutę. a) le trwało całkowite opróżnienie zbiornika? b) Napisz wzór czasu, jaki upłynął od odkręcenia kurka odpływowego. funkcji V, określający zależność liczby litrów wody w zbiorniku od c) Naszkicuj wykres funkcji V. Na ry zbiorniku o pojemności 260 litrów znajdowało się 10 litrów wody. sunku poniżej jest przedstawiony fragment wykresu ilustrującego proces napełnia nia wodą tego zbiornika po odkręceniu kranu napływowego.
4.81. Na rysunku obok jest przedstawiony wykres ilustrujący proces wyciekania wody z pojemnika. a) lle litrów wody było początkowo w pojemniku? b) lle litrów wody znajdowało się w pojemniku po 4 minutach? C) Po jakim czasie w pojemniku było 10 litrów wody? d) Napisz wzór funkcji, określający zależność licz by litrów wody w pojemniku od czasu wycieka nia wody. 40 35 30 25 20 15 10 5 angle L^ * 0 i 2 3 4 6. t (min)
4.80. Kolarz przejechał drogę mającą długość 180 km ze stałą prędkością 45 km/h. Napisz wzór funkcji określający odległość kolarza od mety (km) w zależności od cza su jazdy (h). Naszkicuj wykres tej funkcji.
4.79. Pierwszego stycznia 2018 r. Janek dostał od babci 120 zł i postanowił od tego czasu oszczędzać. Do kwoty otrzymanej od babci będzie dokładał co miesiąc, przez 2 lata, 80% miesięcznego kieszonkowego, które otrzymuje od rodziców w wysokości 70 zł. a) Napisz wzór funkcji określający miesięcy oszczędzania. stan oszczędności Janka w zależności od liczby b) Po ilu miesiącach oszczędzania jego stan posiadania będzie 8-krotnie większy od kwoty, jaką otrzymał od babci?
4.78. Do hurtowni dostarczono 14 ton jabłek. Codziennie, licząc od następnego dnia, wydawano jej magazynu 200 kg jabłek, aż do wyczerpania zapasów. Napisz wzór funkcji, określający zależność między liczbą kilogramów jabłek pozostałych w magazynie a liczbą dni, które minęły od dnia dostarczenia jabłek do hurtowni, do dnia, kiedy magazyn był pusty.
4.77 Dana jest funkcja liniowa f(x) =-5x + 25. s^ prime ^ 8 * LZ^ prime a) Oblicz wartość funkcji f dla argumentu równego b) wyznacz liczby naturalne, które spełniają nierówność f(2k) 21-k. Zastosowanie własności funkcji liniowej w zadaniach praktycznych
4.76. Funkcja liniowa f jest opisana wzorem f(x) = 16x + 32. a) Wyznacz zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości należące do przedziału (-48, 124). b) Rozwiąż nierówność . y=(y-)f 5 0 > (z + 0) * f * z – (epsilon – nu) * f
4.75. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których funkcja liniowa f(x) = (m – 2)x – 3+ m jest rosnąca i jednocześnie wykres tej funkcji przecina oś OY poniżej punktu P(0,7).
4.74. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których funkcja liniowa f(x)= -5mx + 4m 3 1 jest malejąca i jednocześnie poniżej punktu P(0, 3). wykres tej funkcji przecina oś OY
4.73. Funkcję liniową h określa wzór h(x) =-=x- 8 4 a) Dla k = 3 oblicz miejsce zerowe funkcji h. gdzie k jest parametrem. b) Wyznacz wszystkie wartości k, dla których miejsce zerowe funkcji h jest liczbą większą od 102.
4.72. Dany jest wzór funkcji liniowej g(x) = 5x + b-2 4 gdzie b jest parametrem. oblicz argument, dla którego funkcja g przyjmuje wartość 9. b) Wyznacz wszystkie wartości b, dla których wartość funkcji g dla argumentu a) Dla b=-2 jest mniejsza od 3. 1 2k +1
4.71, Dany jest wzór funkcji liniowej f(x) = 4x 3 b +9. gdzie b jest parametrem. a) Dla b =-2 oblicz wartość funkcji dla argumentu -1. b) Wyznacz wszystkie wartości b, dla których wykres funkcji f przecina oś Oy powy żej punktu P(0, 6).
4.70. Funkcja liniowa f jest opisana wzorem f(x)=-3x +7. a) Na podstawie wykresu tej funkcji podaj, jaki zbiór wartości odpowiada argu należącym do przedziału (0, 2). b) Wyznacz wartość k, dla której mentom
4.69. Wyznacz wszystkie liczby naturalne x, dla których wartości funkcji liniowej też są liczbami naturalnymi
4.68. Naszkicuj wykres funkcji liniowej f(x) = – 2x + 9 9. Na podstawie wykresu wy znacz wszystkie pary liczb naturalnych, które są współrzędnymi punktów należących do wykresu tej funkcji. 122 Matematyka, zbiór zadań. Kres podstawowy z/x – L = (x) * f
4.67. Wykresy funkcji liniowych: f(x) = 6 , g(x) = – 2x + 8 oraz h(x) = (m – 1) * x + 3 przecinają się w jednym punkcie. a) Podaj współrzędne tego punktu. b) Oblicz m. Porównaj liczby: f(2), g(2) * i * h * (2) .
4.66. Dana jest funkcja liniowa f(x) =-3. a) Wyznacz wzór funkcji g, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji f i przechodzi przez punkt P(1,2). b) Naszkicuj wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych. c) Oblicz, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości ujemne i jednocześ nie funkcja g przyjmuje wartości dodatnie.
4.65. Dana jest funkcja liniowa f(x) = – 3x + 6 . a) Napisz wzór funkcji liniowej g, której wykres jest równoległy do osi OX i przecina oś OY w tym samym punkcie, co wykres funkcji f. b) Wyznacz wzór funkcji liniowej h, której miejscem zerowym jest liczba – 3 , a jej wykres jest równoległy do wykresu funkcji f. c) Naszkicuj w układzie współrzędnych czworokąt, ograniczony wykresami funkcji to czworokąt? f. g, hi osią OX. Jaki f(x)= x 2 -3.
4.64. Dane są funkcje liniowe: f(x) = 3x + 12 oraz g(x) = – 2x – 4 . a) Oblicz iloczyn miejsc zerowych tych funkcji. b) Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresów tych funkcji. c) Dla jakich argumentów wartości funkcji f są mniejsze od 3 i jednocześnie war tości funkcji g są większe od -2?
4.63. Dane są dwie funkcje liniowe: f(x) = 1/2 * x + 4 oraz g(x) = – 0, 5x + 1 . a) Oblicz współrzędne punktu przecięcia się wykresów tych funkcji. b) Porównaj liczby f(- 4) * i * g * (- 4) . c) wyznacz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których obie funkcje przyjmują jednocześnie wartości nieujemne.
4.62. Dane są dwie funkcje liniowe: f(x) = – 3x + 4orazg * (x) = – x – 2 . a) Oblicz, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości mniejsze niż funk cja g. b) Wyznacz zbiór argumentów, dla których obie funkcje przyjmują wartości róż znaków. nych f są nie o Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy obu funkcji i sprawdź po prawność swoich obliczeń.
4.61. Dane są dwie funkcje liniowe: f(x) = – 2x + 5 oraz g(x) = x – 4 . a) Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się wykresów obu funkcji. b) Oblicz, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości większe niż funk cja g. c) Oblicz, dla jakich argumentów obie funkcje przyjmują jednocześnie wartości ujemne. d) Naszkicuj wykresy obu funkcji we wspólnym układzie współrzędnych i sprawdź na rysunku poprawność swoich obliczeń.
4.60. Dane są dwie funkcje liniowe: f(x) = 2x + 6 oraz g(x)=- 1 2 x+1. a) Oblicz, dla jakiego argumentu obie funkcje przyjmują tę samą wartość. Ile ta wartość wynosi? b) Wyznacz zbiór argumentów, dla których obie funkcje przyjmują jednocześnie wartości dodatnie. c) Naszkicuj wykresy obu funkcji we wspólnym układzie współrzędnych i sprawdź na rysunku poprawność swoich obliczeń.
4.59. Na rysunku poniżej, we wspólnym układzie współrzędnych przedstawione są wykresy dwóch funkcji liniowych fig. y = g(x) 3 -2 y = f(x) 1-10-9 3 -1 9 10 11 Na podstawie rysunku: a) Podaj zbiór argumentów, dla których obie funkcje przyjmują jednocześnie war tości ujemne. b) Odczytaj zbiór wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji większe od wartości funkcji g. c) Podaj, która z tych funkcji jest rosnąca, a która malejąca. d) Wyznacz wzory funkcji fig.
4.58. Na poniższym rysunku przedstawione są wykresy dwóch funkcji liniowych fig. y = f(x) 4 -3 1 y = g(x) -11-10-9-8 6 -5 -4 9. 7 8 9 9 10 11 X Odczytaj z rysunku: a) Dla jakiego argumentu obie funkcje przyjmują tę samą wartość? lle ta wartość wynosi? b) Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości większe, niż funkcja g? c) Dla jakich argumentów obie funkcje przyjmują jednocześnie wartości dodatnie? d) Dla jakich argumentów spełnione są jednocześnie dwie nierówności: f(x) >= 0 ig * (x) < 3 ?
4.57. Funkcje liniowe f(x) = – 0, 75x + 6orazg * (x) = (2a + 3) * x + 4(a – 1) mają wspólne miejsce zerowe. a) Oblicz a. b) Dla wyznaczonej wartości a podaj wzór funkcji g.
4.56. Naszkicuj w układzie współrzędnych wykres funkcji fi na jego podstawie omów jej własności. (-3, jeśli x in(- infty,-1) a) f(x)= 3x, jeśli x in langle-1,1 rangle 3, jeśli x in(1,+ infty) f(x)= 2x+4, icsi x in\ -3,0)\\ -2x+6, iesil x<(0,3)\\ -2, iesi:x in(-x,-3) cup1 b) (3, +00)
4.55. Funkcja f określona jest wzorem f(x)= a) Oblicz wartość funkcji dla argumentu -9. b) Oblicz miejsca zerowe funkcji f. x-10, jeśli x in(- infty,-3) 2x+1, jeśli xe(-3,+0) a Podaj współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji fi osi OY. d) Naszkicuj wykres funkcji f.
4.54. Wyznacz miejsca zerowe funkcji f, jeśli: a) f(x)= 3x+2, iosh x in(-x,0)\\ 7x+6, iesi x in;0,+ infty ) ) b) )
4.53. Naszkicuj wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu miejsca zerowe tej funkcji. a) f(x)= -x-2, esi x in(-x,1\\ x-4, iesii x in i ^ 1 1,+x) 3 4 ) -x-3, jeśli x in(- infty,0) f(x)=-3, jeśli in langle0,4) 3 2x-6, 4 jeśli x in langle4,+ infty) b) f(x)= x-2, les||x in(-x,4)\\ 2,|es||x in(4,+ infty) d) f(x) = ) x+2, jeśli x in(- infty,-3) 3 -x, jeśli x in langle-3,2 rangle (2x-6, jeśli x in(2,+ infty) f(x)= -3x, iesti x in(-3,0)\\ 5x-15, iesii x in(0, ) c)
4.52. Funkcja liniowa f jest opisana wzorem f(x) = – 2x + 3sqrt(3) . a) Wyznacz argumenty, dla których funkcja działu (- 3sqrt(3), 2sqrt(3)) . D b) Wykaż, że liczba f | 3 sqrt 3 -4 2 Big| f przyjmuje wartości należące do prze jest wymierna.
4.51. Funkcja liniowa h przyjmuje wartości dodatnie dla każdego argumentu, a jej wykres przechodzi przez punkt (123, 71) . Wyznacz wzór funkcji h.
4.50. Wykres funkcji liniowej g przecina oś OY w punkcie muje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy cji g. . Funkcja g przyj . Wyznacz wzór funk (0, – 21) x in(- infty,24)
4.49. Wykres funkcji liniowej f przecina oś OY w punkcie (0,9). Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x in(- infty,15) . Wyznacz wzór funkcji f.
4.48. Wykres funkcji liniowej f(x) = – 4x – 8 przecina oś OX w punkcie A i oś OY w punkcie B. Wykres funkcji liniowej g(x) = – x + 4 przecina oś OX w punkcie Cioś OY w punkcie D. Czy prosta przechodząca przez punkty A i D jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty B i C? Odpowiedź uzasadnij. Własności funkcji liniowej – zadania różne
4.47. Do wykresu funkcji liniowej f należą punkty A(- 3, 0) * i * B * (0, 3) , zaś wykres funkcji g przechodzi przez punkty C(0, – 2) 1 D(2, 0) . Wykaż, że wykresy funkcji fig są równoległe.
4.46. Wykres funkcji liniowej f jest równoległy do wykresu funkcji liniowej g. Ob- m, jeśli: a) f(x) = – 5x + m + 2 g(x) = 1 – (m + 2) * x b) f(x) = 0, 5x + 4 – 3m g(x) = (9m – 8, 5) * x – 4n c) f(x) = 6 – (m ^ 2 + 2m) g(x) = x + 3m + 7 d) f(x) = (m ^ 2 + 1) * x + m – 2 g(x) = (2m ^ 2 – 3) * x – 2m – 1 . Dla wyznaczonej wartości m naszkicuj wykresy obydwu funkcji w jednym układzie współrzędnych. D
4.45. b) f(x)=-0,25x+4, , g(x) = 4 f(x) = (9 – x)/3, g(x) = – 1/3 * x + 1 f) f(x) = 3sqrt(3) * x + sqrt(3) * x , g(x) = 4sqrt(3) * x – 8 Dany jest wzór funkcji liniowej f oraz współrzędne punktu P. Wyznacz wzór funkcji liniowej g wiedząc, że jej wykres jest równoległy do wykresu funkcji fi prze chodzi przez punkt P. a) f(x) = – 8x , P(12, 0) c) f(x) = 6 – 4x, P(- 1/2, 5) e) f(x) = 5 , P(3, pi) b) f(x) = (sqrt(5) + 2) * x + 4 , P(0, – 10) d) f(x) = (5 – 2x)/8, P(- 8, 13) f) f(x) = (9x – 6)/3, P(sqrt(3), sqrt(27))
4.44. Dane są wzory dwóch funkcji liniowych f oraz g. Nie szkicując wykresów tych funkcji ustal, czy wykres funkcji f jest równoległy do wykresu funkcji g. a) f(x) = 3x – 7 , g(x) = 3 f(x) = – 21x + 5 , g(x) = – 21x d) e) f(x) = (- 8 – 4x)/2, g(x) = – 4x + 1
4.43. Wykres funkcji liniowej y = (4k ^ 2 – 12k + 9) * x – 6 przechodzi tylko ćwiartkę układu współrzędnych. Oblicz k. przez III i IV
4.42. Wyznacz wszystkie wartości k, dla których wykres funkcji liniowej y = (k – 1) * x – 2k – 4 przechodzi przez II, II i IV ćwiartkę układu współrzędnych.
4.41. Wyznacz wszystkie wartości a, dla których wykres funkcji liniowe przechodzi przez I, II i Ill ćwiartkę układu współrzędnych. y = – 2ax + a + 6
4.40. Wyznacz liczbę a, y = (1/3 * a – 1) * x + a ^ 2 – 9 dla której wykres funkcji liniowej y = przechodzi przez początek układu współrzędnych. licz
4.39. Dany jest punkt A należący do wykresu funkcji liniowej f(x) = ax + b . Wyznacz a i b. Następnie określ, przez które ćwiartki układu współrzędnych przechodzi wy kres funkcji. a) f(x) = 3(m – 1) + 4mx A(- 5, 31) b) f(x) = – 0, 25(m + 1) * x – 8m + 4 A(100, 78) c f(x) = (9 – 4m) * x + m ^ 2 + 3A * (1, 8) d 1)f(x)=2m-(m+1)x A(1,-2)
4.38. Określ znaki współczynników a, b we wzorze funkcji liniowej f(x)=ax+b, której wykres jest przedstawiony poniżej. a) Y y = f(x) b) y = f(x) c) d) y = f(x) Х y = f(x) wykres funkcji f jest równoległy do osi OX
4.37. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których funkcja liniowa: a) y = (m + 1) * x + 2 jest rosnąca c) y = (2 – m) * x + 3n jest stała e y = 3x + 7 + mx jest malejąca A) f(x)=3+(3- sqrt 2 ); b) y = (2m + 3) * x – m jest malejąca d) y = 4mx – 2x + 5 jest rosnąca y = 1 + m jest stała. f)
4.36. Określ, czy funkcja liniowa f jest rosnąca, malejąca czy stała. a) f(x) = 5x – 3 d) f(x) = (1 – sqrt(3)) * x b) f(x) = – 3x + 5 e) f(x) = 2x + 7 – sqrt(5) * x c) f(x) = 4 + sqrt(3)
4.35. Funkcja liniowaf jest określona wzorem f(x) = – 2/5 * x + 1 . a) Oblicz miejsce zerowe funkcji f. b) Naszkicuj wykres funkcji f. c) Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości nie mniejsze niż 5?
4.34. Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = a) Naszkicuj wykres funkcji f. b) Sprawdź rachunkowo, czy punkt P(- 3, – 3) należy do wykresu tej funkcji. c) Wyznacz algebraicznie zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje war tości nieujemne i sprawdź poprawność obliczeń na podstawie narysowanego wykresu.
4.33. Funkcja liniowa jest określona wzorem y = – 2x – 8 . a) Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. b) Naszkicuj wykres tej funkcji. c) Wyznacz algebraicznie zbiór wszystkich argumentów, dla których dana funkcja przyjmuje wartości większe od 2 i sprawdź poprawność obliczeń na podstawie narysowanego wykresu. f(x)= x 3 -2.
4.32. Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = 1/4 * x – 2 . a) Podaj współrzędne punktu, w którym wykres funkcji f przecina oś OY. b) Oblicz miejsce zerowe tej funkcji. c) Naszkicuj wykres funkcji f. d) Wyznacz algebraicznie zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje war tości dodatnie i sprawdź poprawność obliczeń na podstawie narysowanego wy kresu.
4.31. Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji liniowej. Podaj wzór wzorze tej funkcji, korzystając z interpretacji współczynników występujących we funkcji liniowej a) b) AY 4 -2 -1 AY -4 -3 -2 1 c) -4 3 -2 -1 4 5 X 6 -5 -4 -3 -2 -1 -4 -3 -2 -1 -2 e) 2 -1 2 -1 -1 + – 4 -2 -1 -1 o -2
4.30. Dany jest wzór funkcji liniowej. Naszkicuj wykres tej funkcji, korzystając z in terpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej. a) y = 2, 5x – 3 d) y = – 2/3 * x b) y = – 2x + 1 e) y = 1/2 * x + 3 e) c) y = 3/4 * x f) y = – 4x + 6
4:29. Do wykresu funkcji liniowej należą punkty Kil. Oblicz wartość współczynnika kierunkowego występującego we wzorze tej funkcji, a następnie wyznacz wzór tej funkcji. a) K(4, 2 1/2), L(- 5, – 4 1/4) c) K(sqrt(8), – 4), L(- sqrt(2), – 7) e) K(- 1/2, 1 1/4), L(- 1/8, 1/2) b) K(7, – 2), L(- 14, 4) K(3/4, pi), 2(1/2, pi) d) K k(2 1/2, 1/2), L(- 6, – 1 1/5) f) K
4.28. Dane są punkty Ai B należące do wykresu funkcji liniowej. Oblicz współczyn nik kierunkowy występujący we wzorze tej funkcji. a) A(- 8, 9), B(4, – 6) d) A(36, 18), B(- 4, – 2) b) A(26, – 10), B(6, 14) e) A(g, sqrt(3)), B(9, sqrt(3)) c) A(4, 7), B(- 6, – 12) f) A(- 5, 8 3/4), B(1, 9 1/4)
4.27. Funkcja liniowa f opisana jest wzorem f(x) = liczbę m, dla której: a) funkcja f jest proporcjonalnością prostą b) wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie (0, 17) c) do wykresu funkcji f należy punkt (- 10, 28) d) miejscem zerowym funkcji f jest liczba 3. Dla wyznaczonej wartości m podaj wzór funkcji fi sprawdź poprawność obliczeń. sia Znaczenie współczynnika kierunkowego występującego we wzorze funkcji liniowej
4.26. Funkcja f(x) = – 5 – m(x – 3) przecina oś OX w punkcie o odciętej -2. a) Oblicz m. b) Dla wyznaczonej wartości m podaj wzór funkcji fi naszkicuj jej wykres w ukła dzie współrzędnych. f(x) = (1/2 * m – 3) * x + 6m – 3 . Wyznacz
4.25. Do wykresu funkcji liniowej f(x) = (3m – 2) * x + m + 4 należy punkt A(- 20, – 74) . a) Oblicz m. b) Dla wyznaczonej wartości m napisz wzór funkcji fi wyznacz miejsce zerowe.
4.24. Wyznacz liczbę m, dla której miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba podana obok wzoru tej funkcji, jeśli: a) f(x)=(m+3)x-4; 2 c) f(x)=x+2m-5; -1 e) f(x)=6mx; 7 b) f(x)=(m^ 2 -1)x-3; 1 d) f(x) = (4m – 2) * x + m + 3 ; f) f(x)=2x+m^ 2 -2;-5 . 1/2
4.23. Do wykresu funkcji liniowej f należy punkt A. Wyznacz liczbę k, następnie oblicz wartość wyrazu wolnego we wzorze tej funkcji, jeśli: a) f(x) = 3/4 * x – (3k + 5) * A * (- 8, 1) c) f(x) = – (2k + 15) + 2, 3xA * (10, 30) b) f(x) = – 3 2/5 * x – (4 – 3k) A(*5,-2) d) f(x)=.(10k-12)-4,5x A(-2,-9) .
4.22. b) P(0, sqrt(2)) , x 0 =- sqrt 8 Do wykresu funkcji liniowej f należy punkt A. Wyznacz liczbę m, a następnie oblicz wartość współczynnika kierunkowego we wzorze tej funkcji, jeśli: a) f(x) = (3 – 2m) * x + 6 A(- 2, 8) b) f(x) = 11 -(4m +1)x A(5, – 14) c) f(x) = (6 – 4m) * x – 18A * (6, – 6) d) f(x) = 100 – (25m + 4x A(- 1, 4) .
4.21. Wyznacz wzór funkcji liniowej wiedząc, że do jej wykresu należy punkt P, a miejscem zerowym tej funkcji jest liczba x 0 . a) P(0, – 3) , x 0 =2
4.20. Wykaż, że: y = – 3x – 2 2/5 e) y = sqrt(2) – sqrt(32) a) liczba a * sqrt(2) – 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (sqrt(2) + 1) * x – 1 ; b) liczba 2 + sqrt(3) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (2 + sqrt(3)) * x – (7 + 4sqrt(3)) .
4.19. Wyznacz miejsca zerowe danej funkcji liniowej. a) y = 0, 2x – 0, 3 b) d) y = – 3pi * x + pi ^ 2 D
4.18. Wyznacz miejsca zerowe funkcji liniowej f. a) f(x) = 2x – 10 b) f(x) = 0, 5x + 1 d) f(x) = (sqrt(5) – 2) * x – sqrt(5) * x e) f(x) = 1/4 * x + 5 1/2
4.17. Oblicz współrzędne punktów przecięcia wykresu danej funkcji liniowej z osia układu współrzędnych. Następnie naszkicuj wykres omów jej włas- mi ności. a) y = 1/2 * x – 4 d) y = 3/4 * x + 3 tej funkcji i c) y = – 1 f) y = (8 – 4x)/4 c) f(x) = – sqrt(2) * x + sqrt(6) f) f(x) = (2 – 4x)/2 + 2x – 1 c) y = 2sqrt(2) – sqrt(8) * x f) y = (sqrt(3) – 2) * x – sqrt(3) b) y = – 1/3 * x + 2 y = (x – 5)/5 e)
4.16. Oblicz współrzędne punktów przecięcia wykresu danej funkcji liniowej z osia mi układu współrzędnych. Z a) y = 2x + 8 d) y = sqrt(3) – 3 b) y = sqrt(2) * x – 2 c) y = – pi * x + pi + 1 e) y = – (x + 2)/2 + 5 f) f) y = (2 – x)/3 – x y =
4.15. Napisz wzór funkcji liniowej wiedząc, że do jej wykresu należą punkty AiB , a) A(0, – 2) , B(5, 3) c) A(0, 54) , B(- 18, 0) e) A(sqrt(3), 6), B(0, 2sqrt(3)) b) A(0, 8) B(- 2, 2) d) A(18, – 2 1/2), B(0, – 1/4) f) A(1 – sqrt(2), 4 + sqrt(2)) ), B(0, 3) .
4.14. Na rysunku b) f(x) = 4x + 2 e) f(x) = (- 10x + 6)/2 c) f(x) = 3 f) f(x) = (9x – 3)/3 poniżej przedstawiony jest wykres funkcji liniowej y = ax + b . Wiedząc, że do wykresu funkcji należą punkty (0, b) oraz (1, a + b) napisz wzór tej funkcji. a) b) c) AY +3 +2 3 2 +1 -3- 4 x d) e) -4 -3 -2 -3 2 10 f) -4 + + X -4-3 2 4 X 2 ter
4.14. Na rysunku b) f(x) = 4x + 2 e) f(x) = (- 10x + 6)/2 c) f(x) = 3 f) f(x) = (9x – 3)/3 poniżej przedstawiony jest wykres funkcji liniowej y = ax + b . Wiedząc, że do wykresu funkcji należą punkty (0, b) oraz (1, a + b) napisz wzór tej funkcji. a) b) c) AY +3 +2 3 2 +1 -3- 4 x d) e) -4 -3 -2 -3 2 10 f) -4 + + X -4-3 2 4 X 2 ter
4.13. Dany jest wzór funkcji liniowej. Naszkicuj wykres tej funkcji. Skorzystaj z fak tu, że do wykresu funkcji f(x) = ax + b należą punkty o współrzędnych: (0,b) oraz (1, a+b) . a) f(x) = – 2x + 3 d) f(x) = – 4
4.12. b) y = 1 – x e) y = (3x – 4)/2 c) y = sqrt(2) * x v = (8 – 5x)/4 f) y = Do wykresu proporcjonalności prostej należy punkt A. Wyznacz wzór tej funk cii i naszkicuj jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych. a) 8,2) b) (- 1/4, 1/2) c) (sqrt(3), 4sqrt(3))
4.11. Dla każdej z poniższych funkcji liniowych podaj współczynnik kierunkowy a oraz wyraz wolny b. a) y = x + 7 d) y = – 4
4.10. Wśród poniższych funkcji znajdują się funkcje liniowe. Wskaż je. a) y = 2 d) y = sqrt(x) – 7 b) y = (- x)/(sqrt(2)) e) y = 3x ^ 2 – 1 c) y = 2/x + 5 f) y = 1 – x/(sqrt(3)) łodyg Inu można otrzymać
4.9. Wiadomo, że z 90 kg suchych b) c) lle kilogramów płótna otrzyma się z 8,1 kg suchych łodyg Inu? lle kilogramów suchych łodyg Inu potrzeba na wykonanie 6 kg Inianego płótna? Funkcja liniowa. Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej
4.8. Na trasie 60 km samochód c) pana Nowaka spala w baku jest 12,8 litra lle litrów benzyny potrzebuje ten samochód na przejechanie 255 km? 8 kg Inianego płótna. a) Napisz wzór proporcjonalności prostej określający liczbę kilogramów otrzyma nego płótna Inianego, w zależności od liczby x kilogramów suchych łodyg Inu wziętych do produkcji.
4.7. Samochód jedzie ze stałą prędkością 4 km/h . a) Napisz wzór proporcjonalności prostej określający trach), jaką przebył samochód jadąc z ta sama stala z ta dzinach). długość drogi s (w kilome prędkością w czasie t (w go b) ile kilometrów przejedzie ten samochód w ciągu 25 minut? c) W jakim czasie, jadąc z tą samą prędkością, samochód przebędzie drogę 153,6 km? średnio 4,8 litra benzyny. a) Napisz wzór proporcjonalności prostej określający zużycie paliwa (w litrach) w zależności od liczby x przejechanych kilometrów. b) ile kilometrów przejedzie samochód pana Nowaka, jeśli benzyny?
4.6. Robotnik w ciągu 6 godzin wykonał 108 detali. a) Zakładając, że wydajność robotnika nie ulegnie zmianie, napisz nalności prostej, określający liczbe wykonanych detali w ciągu x godzin pracy. wzór proporcjo b) Robotnik wykonał 156 detali. Jak długo pracował? c) Pewnego dnia robotnik pracował tylko przez 3 godziny i 10 minut. Ile detali wy konał w tym czasie?
4.5. Pompa w ciągu 8 godzin wypompowała 54 800 litrów wody. a) Napisz wzór proporcjonalności prostej określający liczbę litrów wypompowanej wody w ciągu x godzin przez tę pompę. 1 4 y – 2, 4 36 4 b) Oblicz, ile litrów wody wypompuje ta pompa w ciągu 12,5 godziny. c) Pompa wypompowała 89 050 litrów wody. Ile godzin pracowała?
4.4. Rozważmy trójkąty, których podstawa ma długość 4 cm. Czy pole trójkąta jest wprost proporcjonalne do wysokości opuszczonej na tę podstawę? Jeśli tak, to na pisz wzór tej proporcjonalności prostej.
4.3. Bochenek chleba kosztuje 2,10 zł. sqrt(50) b) X 10 2 1 1/5 12 1/2 a) Napisz wzór proporcjonalności prostej, określający koszt zakupów w zależności od liczby x zakupionych bochenków. b) Na obóz harcerski zakupiono 28 bochenków chleba. Ile zapłacono? c) lle bochenków chleba można kupić za 1050 zł?
4.2. O wielkościach xi y wiadomo, że są wprost proporcjonalne. Podaj współczyn nik proporcjonalności. Uzupełnij tabelkę. a) x 0, 4sqrt(2) 4/15
4.1. Sprawdź, czy podane w tabelkach wielkości x i y są wprost proporcjonalne? Jeśli zmiennej y od zmiennej x. tak, to podaj współczynnik proporcjonalności i napisz wzór opisujący zależność 9 6 3 3 -2 -1 1 -4 sqrt(6) b) х 0,2 2 0,1 4 10 0,5 30 -6 1/3 – 2/9 0,6 – 2.5 – 0, 4 1 2/3 y 3 х 1 sqrt(3) y 2sqrt(3) 6-8 – 8sqrt(3) * sqrt(2) a) c) d) tym nk y
30. Wykresy funkcji samym punkcie. a) Oblicz k. f(x) = 5x + 1orazg * (x) = ((2x – k)(3x + 1))/(y ^ 2 – 4) * p * r * z przecinają oś OY w tym b) Dla obliczonej w punkcie a) wartości k wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funk cji g.
29. Funkcja f określona jest że f(2) = 3 . a) Wyznacz a i f(x) = (2ax + 3)/(x + 1) wzorem f(x) = ustal wzór funkcji f. Db) Uzasadnij, że funkcja f nie ma miejsc zerowych. gdzie x ne-1 . Ponadto wiadomo, c) Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY. d) Wyznacz zbiór wartości funkcji f.
28. Wyznacz miejsca zerowe funkcji f, o ile istnieją: a) c) f(x) = (x ^ 2 – 8x + 16)/(3 + x) f(x) = (2x * (x + 6) * (x – 3))/(x ^ 2 – 3x) b) d) f(x) = (4x ^ 2 – 100)/(sqrt(- x – 2)) f(x) = (sqrt(x) – 1)/(x ^ 2 – 2x + 1) . wartości ujemne. Następnie podaj
27. Wyznacz dziedzinę funkcji f określonej wzorem: a) c) f(x) = (x + 1)/(x ^ 2 – 3) f(x) = (sqrt(2x + 14))/(sqrt(9 – x)) b) d) f(x) = (3x – 7)/(x ^ 2 + 10) f(x) = (2sqrt(x + 2))/(x ^ 2 – 4x + 4)
26. Funkcja f opisana jest wzorem: f(x) = jeśli x in langle10,+ infty) a) Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji fi osi OY. b) Oblicz wartość funkcji f dla argumentu 9sqrt(2) . c) Sprawdź, czy punkt A(9, 2) należy do wykresu funkcji f. D d) Uzasadnij, że wykres funkcji f nie ma punktów wspólnych z osią OX.
25. Funkcja f opisana jest wzorem f(x) = (x + 2)(x – 4) , gdzie x in R a) Oblicz miejsca zerowe funkcji f. D b) Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi równość f(1 – a) = f(1 + a) . int 2 3 x* i sin x in(- infty,10) f(x)= 2 3 x-8,1\\ 9- 1 4 x^ 2 ,
24. Funkcja h jest określona wzorem h(x) = x ^ 2 + 6x , gdzie . a) Oblicz h(sqrt(2) – 1) R. x in R b) Wyznacz argument, dla którego funkcja h przyjmuje wartość 9. c) Oblicz miejsca zerowe funkcji h.
23. Naszkicuj wykres funkcji g(x)=- -2,2) x in(-5,-2) cup(2,5) maksymalne przedziały monotoniczności funkcji g.
22. Naszkicuj wykres funkcji określonej wzorem: f(x)={ f(x)= -x, osh x in\ -4,2)\\ -2, ief||x in(2,5) Nastepnie podaj zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje g(x)= x^ 2 ,jesli x in(-2\\ 4,jesli x in(-5,
21. f(x)= -6,iesii x in(- infty,-3)\\ (x-3)(x+5) 2 ,jesii x in(-3,+ infty) Funkcja f jest określona wzorem f(x)=3(x – 3)(x +5) Da) Wykaż, że f(- sqrt(10)) = f(1) . b) Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji fi osi OY.
20. Omów własności funkcji, której wykres jest przedstawiony na rysunku obok. AY -4 -3 – 2 -1 y = f(x)
19. Funkcja f każdej liczbie naturalnej dwucyfrowej przyporządkowuje sumę cyfr tej liczby a) Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartość 3. b) Jaką największą, a jaka najmniejszą wartość przyjmuje ta funkcja? c) Czy funkcja f jest monotoniczna? Odpowiedź uzasadnij. d) Czy funkcja jest różnowartościowa? Odpowiedź uzasadnij.
18. Funkcję h opisuje wzór h(x) = 3x – 4 , gdzie x in Z Z. a) Wyznacz punkt wspólny wykresu funkcji h z osią OY. b) Czy funkcja h ma miejsca zerowe? Odpowiedź uzasadnij. Podaj najmniejszy argument, dla którego funkcja h d) Wyznacz liczbę całkowitą, spetniającą równanie f(2x)=3-x. przyjmuj * epsilon wartość dodatnią. X.
17. Na rysunku obok przedstawiony jest wykres funk cji g. a) Oblicz wartość wyrażenia g(3) – g(- 3) . b) Napisz wzór funkcji g. c) Wyznacz argumenty, dla których – 7 * g(x) < 0 . d) Czy funkcja g jest różnowartościowa? y = g(x) 2 10 3 4 X
16. Funkcję f opisuje poniższa tabelka: X 5 -3 f(x) 2 -2 5 a) Podaj miejsce zerowe funkcji f. 3 1 2 2 0 b) Podaj argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości niedodatnie. c) Oblicz wartość wyrażenia 2* f(-3)+f(0)^ f( 5) d) Czy funkcja f ma punkt wspólny z osią OY?
15. Wartość funkcji f(x) = – x ^ 2 + ax + 2 dla argumentu -2 jest większa od 6 wtedy i tylko wtedy, gdy: A. a > – 4 B. a < - 4 C. a < 0 D. a>6 Zadania powtórzeniowe do rozdziału 3.
14. Do wykresu funkcji f(x) = wtedy, gdy: A k = 4 B. k = – 3 C. k = – 2 wtedy i tylko D. k = – 1
13. Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f określonej w prze dziale (- 5, 8) . -2 -1 0 y = f(x) ) -3 -2 -1 5 8 Wskaż zdanie fałszywe: A. Suma najmniejszej i największej wartości funkcji f jest równa 0. B. Funkcja f przyjmuje wartości nieujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x in langle-5,-4 rangle cup langle5,8\ C. Wartość funkcji f dla argumentu sqrt(26) jest ujemna. D. f(sqrt(2) – 1) = f(- 1 – sqrt(2)) f(x) = (4kx – 5k – 1)/(x ^ 2 + 1) należy punkt P(- 1, 8 1/2)
12. Funkcja h(x)=log 0,2 (x+25). , gdzie x in(-25,+ infty) , dla argumentu O przyjmuje wartość: A. -2 B. 25 C. D. 2 1/5
11. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje połowę sześcianu tej liczby, pomniejszoną o 4. Funkcję f opisuje wzór: A. f(x) = (x ^ 3 – 4)/2 c. f(x) = 1/2 * (x – 4) ^ 3 C. B. f(x) = 0, 5x ^ 3 – 4 D. f(x) = 1/2 * x ^ 6 – 4
10. A. O D. -5 funkcji f opisanej wzorem: B. f(x) = x ^ 2 + 4 D. f(x) = 4 – x ^ 2 x)= x,jesi x in1\\ x-1, ies|i x in(1,+ infty) x in(- infty,1 rangle Liczba miejsc zerowych funkcji g(x) ={ B. 1 C. 2 jest równa: D.
9. Liczby – 2 oraz – sqrt(5) C. 15 2 są miejscami zerowymi A. f(x) = x ^ 2 – 4x + 4 C. f(x) = (2x + 4)(2x + 4)
8. Funkcja f(x) = 10x – x ^ 2 przyjmuje wartość 25 dla argumentu: A. 5
7. Na rysunku obok przedstawiony jest wykres funkcji f określonej w przedziale (- 6, 6) . Funkcja f jest rosnąca: A. w przedziale langle1,4 rangle B. w zbiorze (-6,-2) cup langle2,6) C. w przedziale (- 3, 1) przedziałach: (- 6, – 2) oraz (2, 6) . D. w 4 3 -2 y = f(x) 4 6 X N 6-5 -4 -2
6. Funkcja f opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych: { (- 10, 6) , (- 7, 4) (- 1, 0) (0, – 5), (1, – 8) (3,-8),(5,-9)\ . Wobec tego: A. miejscem zerowym funkcji jest punkt (- 1, 0) ; B. funkcja f jest stała; C. funkcja f jest monotoniczna; D. funkcja f jest różnowartościowa.
5. Funkcja g określona jest wzorem funkcji g nie należy liczba: A. 4 B.-1 C. (0, 2) D. (- 6, 0) g(x) = 3x – 7 , gdzie x in Z C. 1 Z. Do zbioru wartości D. 44 D. 1) i 2) y = f(x) 4 -3-2- 4 5 1 AY +-3 01 10 y = f(x) -5 -2 -1 5 X
4. Wykres funkcji f(x) = 2x – 12 , gdzie x in R , przecina oś OY w punkcie: A.(0,-12) B. (6, 0)
3. Na rysunku obok funkcji y = f(x) . Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór: przedstawiony jest wykres B. (- infty,3) D. (- infty,1) cup(1,3) A. (3,+ infty) C (-4,+ infty)
2. Na rysunku obok przedstawiony jest wykres Dziedziną funkcji fjest zbiór: B. (- 2, 2) funkcji y = f(x) . A. -5,5) C. (- 2, 2) D. (- 5, 5)
1. Na poniższych rysunkach przedstawione są zbiory punktów. 1) 2) +1 – A 5 -3 -2 -1 4 X 3) AY Wykres pewnej funkcji zmiennej x przedstawia rysunek: ) A. 1) i 3 B. tylko 3) C. 2)13)
3.110. Poniższy wykres przedstawia zależność pomiędzy prędkością, z jaką porusza się ciało, a czasem 27 24 21 18 12 9 6 3+ V prędkość [5] 8 9 10 11 12 13 14 15 czas (s] a) Jakim ruchem poruszało się ciało w ciągu pierwszych 6 sekund? Oblicz przyspie szenie, z jakim poruszało się to ciało. b) Od 6 sekundy ciało poruszało się ruchem jednostajnym. Podaj prędkość tego ruchu. c) Jaką drogę przebyło to ciało w ciągu pierwszych 12 sekund? d) Oblicz średnią prędkość tego ciała w ją w km/h . czasie pierwszych 12 sekund ruchu. Wyraz
3.109. Z tego samego miejsca wyruszyli sta. Obaj jechali tą samą trasą i w to samo miejsce swojej szkoły. Rowerzysta wyruszył o godz. 8 ^ 00 , a motocyklista wyjechał o godz. 9 ^ 00 a i jechał ze stałą prędkością 60 km/h . na spotkanie absolwentów do w tę samą stronę rowerzysta i motocykli a) Októrej godzinie motocyklista dogoni rowerzystę? b) po jakim czasie od przyjazdu do szkony motorcyklisty, na miejsce dotarł rowerzy sta? 60 50 40 30 20- -10 wykres drogi rowerzysty 800 1000 11 ^ 00 1200 1300 czas (h
3.108. Od domu Ani do domu jej koleżanki Marty prowadzi droga w linii prostej. Ania wybrała się do Marty w odwiedziny. Najpierw szła pieszo do przystanku auto busowego, później czekała na autobus, a następnie wsiadła do autobusu, który do do posesji koleżanki (przystanek autobusu znajduje się koło przedstawia przebytą przez Anię drogę w zależności od czasu. wiózł ją bezpośrednio domu Marty). Wykres AS 40- 30 20 10- 3 To 2 czas th a) Z jaką prędkością szła Ania do przystanku autobusowego? b) lle minut czekała Ania na autobus? c) Jaką drogę pokonała Ania autobusem? d) Z jaką średnią prędkością jechał autobus? droga (km)
3.107. Poniższy wykres przedstawia przebieg temperatury w ciągu pewnej marco wej doby di: -1 1000 120 1500 200 2400 godz.) Przeanalizuj rysunek i odpowiedz na poniższe pytania. a) b) O której godzinie zanotowano najniższą temperaturę, i ile ona wynosiła? lle stopni wynosiła różnica pomiędzy najwyższą i najniższą temperaturą tej doby? c) W jakich godzinach temperatura rosła? d) W jakich godzinach temperatura wynosiła 4°C?
3.106. Przez rozpuszczalność substancji rozumiemy maksymalną ilość tej substan cji, wyrażoną w gramach, którą można rozpuścić w 100 gramach rozpuszczalnika danej temperaturze. Wykres poniżej przedstawia tę zależność dla trzech substan w cji: siarczanu miedzi, chlorku sodu i azotanu potasu. Korzystając z wykresu odpowiedz na poniższe pytania. a) Której substancji można rozpuścić najwięcej w temperaturze 10°C? b) w jakiej temperaturze siarczan miedzi i chlorek sodu mają taką sama rozpuszczalność w wodzie? c) W jakiej temperaturze rozpuści się maksymalnie 60 w 100 g wody? g azotanu potasu d) z wykresu można odczytać, że w temperaturze 20°C rozpusz czalność siarczanu miedzi wynosi 20g / 100 g wody. Oblicz stężenie procentowe tego roztworu. 70 60 50 40 30 20 10- chlorek sodu Siarczan miedzi (8/100 g wody azotan potasu rozpuszczalnosc 10 20 30 40 50 60
3.105. Naszkicuj wykres funkcji fi na jego podstawie omów własności funkcji, jeśli: a f(x)= 2, log xe(-4,-2)\\ -x, efi x<=(-2,4)\\ sqrt x ,&iesi x notin(4,9) 2. jeśli x in(-x,-2) b) f(x)= xl, jeśli x in\ -2,4\ 4. Jeśli x in(4,+ infty) Zastosowanie wiadomości o funkcjach do opisywania, interpretowania i przetwarzania informacji wyrażonych w postaci wykresu funkcji
3.104. Narysuj wykres funkcji określonej wzorem } f(x)= 3- sqrt x , les| x in[0,1,4,9\\ x 2 ,jesil x in\ -6,-4,-2\ Następnie: a) Uzasadnij, że funkcja f jest różnowartościowa. b) Uzasadnij, że dla każdego argumentu x in D – 3 <= f(x) <= 3 a) Oblicz wartość wyrażenia: prawdziwa jest nierówność log 1 f(1)+ ( 1 3 )^ f(-4) - Big[f(-6) Big)^ f(9)
3.103. Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem f(x)= -4 x ,jesii x in\ -\\ 3,jesii x in\ 0,3 ) x in\ 0,3,4,5\ x in\ -4,-2,-1,1,2\ .Następnie odpowiedz na pytania poniżej. a) Czy zachodzi równość f(- 2) f(- 1) = f(1) * f * (2) ? b) Czy funkcja f jest różnowartościowa? c) Czy funkcja f ma miejsca zerowe?
3.102. Narysuj wykresfunkcji fokreślonej wzorem f(x) =< Następnie: a) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji f. b) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są niedo datnie. c) Oblicz iloczyn argumentów, dla których funkcja f przyjmuje największą i naj mniejszą wartość.
3.101. Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku obok. Na podstawie tego wykresu podaj: a) dziedzinę funkcji f; b) zbiór wszystkich tych argumentów, dla których wartość funkcji f wynosi 2; c) najmniejszą oraz największą wartość funk cji f (o ile istnieją); d) maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f. 1 y = f(x) -3- +3 +1 y = f(x) 4 5 – 4 -2 -1 6 f(x)= 2x, ies||x in\ -2,-1,0\ \\ 3-x, if li x in\ 1,2,3,4\
3.100. Wykres funkcji fjest przedstawiony na rysunku obok. Na podstawie tego wykresu: a) Oblicz wartość wyrażenia f(- 5) + f(0) – 2f * (6) . b) Podaj zbiór wartości funkcji f. ) Podaj miejsca zerowe funkcji f. d) Uzupełnij zapis: f(x)>0 Leftrightarrow……….
3.99. Wykres funkcji f jest przedsta wiony na rysunku obok. Na podstawie wykresu funkcji: a) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji f. b) Odczytaj zbiór których funkcja ści niedodatnie. argumentów, dla f przyjmuje warto c) Określ przedziały monotoniczno ści funkcji f. d) Podaj zbiór wszystkich argumen tów, dla których funkcja f przyj muje największą wartość. Jaka jest największa wartość funkcji? Czy funkcja przyjmuje najmniejszą wartość? y = f(x) B- -1 – 1 3 5 X -7-6 -3- y = f(x) -5 -4 3 -2 -1 -1 10 to 6 X -2 Y 8 7 6 5 4 3 -2 1 y = f(x) -5-4-3-2 -1 6 8 9 X
3.98. Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku obok. Na podstawie wykresu funkcji: a) Podaj zbiór wartości funkcji f. b) Uzupełnij zapis: f(x)>0 Leftrightarrow f(x)<0 Leftrightarrow....... c) Uzasadnij, że funkcja nie jest różnowar tościowa. d) Wskaż argument, dla którego funkcja f przyjmuje wartość największą. Czy ist nieje najmniejsza wartość tej funkcji?
3.97. Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku obok. Na podstawie wykresu funkcji: a) Podaj dziedzinę i zbiór wartości b) Oblicz wartość wyrażenia f(-4 ). [f(- 2) – f(5)] . funkcji f. c) Podaj przedziały, w których funkcja f jest malejąca. d) Podaj zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.
3.96. Na podstawie wykresu funkcji f przedstawionego na rysunku obok, odpo wiedz na poniższe pytania. a) Jaka jest dziedzina i zbiór wartości funk cji f? b) Dla jakich argumentów wartość funkcji f wynosi 2? c) W jakim przedziale funkcja jest rosną. ca? d) Dla jakiego argumentu wartość funkcji f jest największa? Ile wynosi największa wartość funkcji? AY -4 +3 -2 -1 0 -1 y = f(x) 5 6 7 8 X -4 3 -2 -1 -2 +4 3 4
3.95. Poniżej są przedstawione wykresy pewnych funkcji. Omów własności tych funkcji według następującego porządku: 1) dziedzina funkcji 2) zbiór wartości funkcji 3) miejsca zerowe funkcji 4) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (wartości ujemne) 5) maksymalne przedziały monotoniczności funkcji 6) różnowartościowość funkcji 7) najmniejsza oraz największa wartość funkcji. a) b) 3 y = f(x) 3 3 -2 -1 0 V = f(x) 2-1 ON 2 3 X -5-4-3-2-1 4 5 X c) AY 4 13 -2 d) 4 3 2. +1 y y = f(x) 2 3 y = f(x) 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 -5 3-2-1 -2 4 5 X 2 3 -2 -3 e) AY 5 -4 3 -2 f) 3 2 1 y = f(x) y = f(x) 3 -2 -1 10 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 X -2 3
3.94. Kiedy funkcja monotoniczna jest funkcją różnowartościową? Odpowiedź uza sadnij. Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu
3.93. Funkcja f każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 5. Czy funkcja ta jest różnowartościowa? Odpowiedź uzasadnij.
3.92. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje liczbę do niej przeciw ną. Czy funkcja ta jest różnowartościowa? Odpowiedź uzasadnij.
3.91. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej różnej od zera przyporządkowuje jej od wrotność. Czy funkcja ta jest różnowartościowa? Odpowiedź uzasadnij.
3.90. Sprawdź, które z poniższych funkcji są różnowartościowe. a) f(x) = |x – 1| – 1 , gdzie x in\ -1,0,1,2,3,4\ b) f(x) = (x + 2)/(x – 3) gdzie x in\ -3,-2,-1,0,2\ c) f(x) = x ^ 3 – x , gdzie x in\ -2,-1,0,1,2,3\ d) f(x) = – 2x ^ 2 + 4 , gdzie x in\ -3,-2,-1,0,1\ , jeśli x in\ -3,-2,-1,0\ ) f(x)= (x-1)&-2|&3\\ x,jesli x in(0,+ infty) (x)= x,|es||x<\\ sqrt x ,jes|i x in(0,+ infty) infty,0 ) e) f) )
3.89. Na poniższym rysunku są przedstawione wykresy pewnych funkcji, które nie są różnowartościowe. Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów wartość funkcji f jest równa 4. a) AY -5 4 -3 2 1 b) Y -4 -3 -2 y = f(x) y = f(x) 3-2-1 -6 -5 -4 -3 -2 4 -5 4 3 2 1 -2 3 2 3 4 5 6 X -2 3
3.88. Na rysunku są przedstawione wykresy pewnych funkcji. Która funkcja jest różnowartościowa, a która nie jest różnowartościowa? Odpowiedź uzasadnij. a) b) y = f(x) -5-4-3-2-1 3 2 1 4 5 X 1 -2 -3 y = x)\ c) d) y = f(x) -5-4-3-2-1 3 +2 1 10 -1 y = f(x) -5 -4 -3 2-1 2 3 5 X 1 -2 2 3 4 5 – -4 e) A Y -4 3 2 F1 10 -1 f) y = f(x) y = f(x) ++ 3 4 -1 -D1 -2 1 -2 -3 23 4 5 X -54 -2 -1 2 5 X
3.87. Funkcja f opisana jest za pomocą tabelki. Czy funkcja f jest różnowartościo- wa? Odpowiedź uzasadnij. a) b) Х – 3 -1 0 1 2 f(x) -5 -3 -2 -1 0 х -2 1 f(x) 4 2 1 0 2 4
3.86. Poniżej są przedstawione wykresy pewnych funkcji. Podaj maksymalne prze dziaty , w których każda z funkcji jest: rosnąca, malejąca, stata. a) 1 Y 3 -2 1 b) 3 1 y = f(x) y = f(x) 6 X -5 A 3-2 6 X 5-4-3-2 19 3 c) d) LA 3 -2 -1 3 2 1 y = f(x) 4 5 y=f(x ) 4 5 6 3 6 X 54-3-2 -5 -4 -3 -2-1 2 3 X -5 e) Y 5 4 +2 -1 0 f) 4 3 +2 1 01 ? ا ب y = f(x) 6 -5 -4 -3 -2 -1 y = f(x) 4/5 2 3 4 5 7 X -5 -4 – 3 –1 6 X -2 Funkcje różnowartościowe
3.85. Poniżej są przedstawione wykresy pewnych funkcji. Podaj maksymalne prze działy liczbowe, w których dana funkcja jest rosnąca. a) AY -3 2 b) AY -3 2 -1 y = f(x) 6 X y = f(x) 1 2 3 4 -1 5 6 X -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 2 3 4 -6 -5 4 3 -2 -1 c) AY 4 3 3 -2 -1 d) AY -4 3 y = f(x) y = f(x) -6 -5 -A-3 -2 -1 -1 10 -6-5-4 -3-2 -1 3 4 5 6 X -11 -2 2 3 4 5 6 X -2
3.84. Które z poniższych wykresów są wykresami funkcji monotonicznych? a) b) v = f(x) y = f(x) 1 c) Ar d) y I = f(x) ) y = f(x) -1 1 0 1 0 +1
3.83. Wśród poniższych wykresów znajdują się wykresy funkcji malejących. Wskaż je. a) b) Y c) AY y = f(x) l = f(x) 1 +1 – 1 y = f(x) d) e) f) y = f(x) y = f(x) y = f(x) X X
3.82. Wśród poniższych wykresów znajdują się wykresy funkcji rosnących. Wskaż je. Y b) c) Y y = f(x) y = f(x) y = f(x) +1 d) AY e) f) y = f(x) y = f(x) y = f(x) 1 1 10 X х
3.81. Dany jest wykres funkcji y = g(x) . Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argu mentów, dla których funkcja g przyjmuje wartości niedodatnie. a) b) c) AY 3 2 -1 4 y t = g(x) -2 -1 10 3D1 y=g(x ) 1 +3 2 i = g(x) -4 -3 -2 -1 4 -4 -3 -2 -1 4 x 4-3 -2 -1 10 -1 1 2 3 4 X -2 -3 -3 Monotoniczność funkcji
3.80. Dany jest wykres funkcji y = f(x) . Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argu mentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne. a) AY +3 +2 10 2 3 b) c) -3 2 1 4 -3 -2 -A0 Y 3 2 1 10 y = f(x) 3 4 X y = f(x) 1 2 3 1 y = f(x) 3 4 X -4 -3 3- 1 2
3.79. Dany jest wykres funkcji y = f(x) . Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argu mentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie oraz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne. b) y = fix) 2 4 a) 4 3 2 AY -4 3 -2 y = f(x) 4 – 10 5 6 X -7-6-5 -4 -3 -2 -1 10 2 1 x 2 3 d) c) 4 3 -2 1 d) NY -3 2 1 y = f(x) 3 4 y = f(x) 1 2 3/4 4 -4 3 – 2 – 1 5 X -5 4 – 3 – 2 10 – $ X 2 -4 e) f) AY -4 3 -2 -1 -3 2 +1 y = f(x) 5 6 7 X1 y = f(x) n 2 3 4 5 X 22 5 -4 -3 – 0 -3
3.78. Wyznacz miejsca zerowe funkcji f, opisanej wzorem: a) f(x)= 9-3x,\\ 5x-12 jeśli x in(- infty,2) , x in langle2,+ infty) c) f(x)= (2x+1)x 1 &x>0\\ 1\\ (x-5)^ 2 ,jes|ix in langle4,+ infty) jeśli x in(- infty,4) b) f(x)= x^ 2 -25, iesi x\\ 1 4 x-1, iesii x f(x)= 2 3 x-4,ieshi x<(-x,8)\\ 1 4 x^ 2 -1,jesi x in(8,+x) x in(- infty,-3) x in langle-3,+ infty)
3.77. Wyznacz miejsca zerowe funkcji f opisanej wzorem: a) f(x)= c) | -x, jeśli x in(-3,1) x-2, jeśli xe (1,5) f(x)= 4-x^ 2 ,jesi x<1\\ 2x-3,ies|i x in(0,2) x in langle-2,0 rangle b) f(x)= d) [x+1, jeśli x in(- infty,0) |3x, jeśli xe(0, +0) f(x)= 1 x ,iesh x in(0,3)\\ & sqrt x -3, insh x in(3, x in(3,10)
3.76. Wyznacz dziedzinę funkcji oraz miejsca zerowe tej funkcji, o ile istnieją. a) d) f(x) = (2x ^ 2 – 4x)/(x – 2) f(x) = (x ^ 2 – x)/(x ^ 2 – 2x + 1) b) e) f(x) = 3/(sqrt(3 – x)) f(x) = (x ^ 2 + 5x)/(x ^ 2 + 4) f(x) = (4x ^ 2 + 4x + 1)/(4x ^ 2 – 1) f(x) = (1 – 8x + 16x ^ 2)/(sqrt(4x – 1)) c) f)
3.75. Wyznacz dziedzinę funkcji f oraz miejsca zerowe tej funkcji (o ile istnieją). a) f(x) = x * sqrt(x – 2) C) f(x) = (x ^ 2 – 6x + 9) * sqrt(4 – x) e) f(x) = ((x – 1)(x ^ 2 + 8))/4 b) d) f) f(x) = ((2x – 3)(x + 5))/(7x ^ 2) f(x) = (x ^ 2 + 1)/(3x – 9) f(x) = (5x ^ 2 – 20)/(sqrt(1 – x)) 9
3.74. Wyznacz dziedzinę a) d) f(x) = (sqrt(9 – 2x))/3 f(x) = ((3x – 18)(x + 1))/(x ^ 2 – 9) b) f(x) = 9x ^ 2 e) f(x) = x ^ 2 – 6x + 9 0,5 -2 -1 o wyznaczeniu dzie c) f(x) = (4x ^ 2 – 1)/5 f) f(x) = x ^ 2 + 36 funkcji f oraz miejsca zerowe tej funkcji (o ile istnieją). b) e) f(x) = 7/(x – 2) f(x) = (2x ^ 2 – 50)/x c) f(x)= x(4x+1)(x-3) 8x+2 ; f(x) = (x ^ 2 + 8x + 16)/(x ^ 2 + 4x) f)
3.73. Oblicz miejsca zerowe funkcji f (o ile istnieją). Pamiętaj dziny funkcji. a) f(x) = – 3x + 48 d) f(x) = sqrt(0, 5x – 4)
3.72. Dziedziną funkcji f jest zbiór R. Wyznacz a tak, aby miejscem zerowym funkcji f była liczba podana obok wzoru tej funkcji. a) f(x)=0,5x-4a; 4 c) f(x)=3x^ 3 -2x^ 2 a; b) f(x) = 2a – 2x ^ 2 ; d) f(x)= 2ax-4 x^ 2 +4 ;
3.71. Wyznacz, o ile istnieją, miejsca zerowe funkcji f. a) f(x)=8+4x,x in\ -1,-2,3,4] c) f(x)=3x^ 2 -9,x in R-Q e) f(x)= 3x-2 5 ,x in R } b) f(x)=(x+8)(2x-6),x in N d) f(x)=5-x^ 2 ,x in Q f) f(x) = x(x + 5) * (2x – 1) , x in Z
3.70. Wyznacz dziedzinę funkcji f, a następnie sprawdź, które z podanych liczb są miejscami zerowymi funkcji f, jeśli: a) f(x) = (- x ^ 2 + 1)/(x + 3) * 3, -1, 0, 1 c) f(x) = sqrt(3x – 6) ; 2,3,4,5 b) f(x)= 2x+4 y^ 2 -4 ;-3,-2,4,5 d) f(x)=(x-1)(x+3)(2x-8);-3,-1,2,4
3.69. Na podstawie nieja) a) X -5 -1 f(x) 6 tabeli opisującej funkcję f podaj jej miejsca zerowe (o ile ist b) 0 3 8 0 4 2 0 х -1 f(x) -6 1 2 3 1. -4 3 -2 4/- 1 -5
3.68. Na podstawie wykresu funkcji f podaj jej miejsca zerowe (o ile istnieją). a) b) y = f(x) ) -3 2 -1 y = f(x) f(x) = – 4x ^ 2 + 2sqrt(2) b) o , gdzie x ER-. Sprawdź, x in R-Q d) 3 -1 -3 c) d) AY -4 3 -2 -1 0 +4 +3 +2 +1 y l = f(x) y = f(x) 3 -5 -4 -B -2 -1 1 -2 4 8 X
3.67. Do dziedziny funkcji f należy liczba podana obok wzoru tej funkcji. Sprawdź, czy dana liczba jest miejscem zerowym funkcji f. a) f(x)= -2x+7 4 ; 3 1 2 c) f(x)=(x-5)log 2 x; e) f(x) = 5; o b) f(x)=0; sqrt(3) d) f(x) = 3 ^ (x + 4) – 81 ; 1 f) f(x) = – x ^ 2 – 5x – 6 ; 5 -2
3.66. Funkcja fokreślona jest wzorem wartości funkcji f należą liczby: c) sqrt(8) czy do zbioru a) – sqrt(8) Miejsce zerowe funkcji
3.65. Funkcja f określona jest wzorem zbioru wartości funkcji f należą liczby: a) 5 b) 1 1 f(x) = 1/2 * x ^ 2 + 1 f(x) =x+1, c) 4 1/8 gdzie x in C Q. Sprawdź, czy do d) -1.
3.64. Która z liczb: -2, 7 wiedź uzasadnij.
3.63. Która z liczb: Odpowiedź uzasadnij. wartości tej funkcji, jeśli: b) f(x)=x,D f = langle-3,1) cup langle2,4) d) f(x) = – x , D f =(-1,+ infty) f) f(x)=- sqrt x ,D f = langle1,+ infty) 2, 5 jest wartością funkcji g(x) = – 2x + 3 , gdzie x in Z ? OX oraz OY -2, 3 4 , 6 jest wartością funkcji h(x) = 3 – |x| , gdzie x in mathbb N Odpo
3.62. Na podstawie wykresu funkcji f wyznacz zbiór a) f(x)=x,D f =(-2,+ infty) c) f(x)=-x, f = langle-4,5) e) f(x)= sqrt x ,D f =(0,4
3.61. Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. +5 -4 y = f(x) -10-98-7 -6 -5 4 -3 -2 -1 2 4 5 6 8 9 10 11 12 x Na podstawie wykresu: a) podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji f b) podaj współrzędne punktów, w których wykres funkcji przecina oś wartość funkcji f, o ile istnieją, a także ar c) odczytaj najmniejszą oraz największą gumenty, dla których te wartości są przyjmowane d) uzupełnij zapisy: 1)f(x)=-2 Leftrightarrow 2) f(-1)* log 4 f(0)-f(- pi-2)=………..
3.60. Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. -4 3 2 – 1 y = f(x) 10-9 -8 -7 -6-5-4-3 -2 -1 6 1 -4 -2 1 y = f(x) 10 1-1 3 6 6 7 X 6 1 9 10 11 12 X Na podstawie wykresu: a) podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji f podaj współrzędne punktów, w których wykres funkcji przecina oś OX oraz OY c) odczytaj najmniejszą oraz największą wartość funkcji f, a także argumenty, dla których te wartości są przyjmowane b) d) uzupełnij zapis: 1)f(x)=2 Leftrightarrow…. 2) f(- sqrt 32 )* f(-1)+log 1 f(4)=………….. 2
3.59. Na rysunku przedstawiono wy kres funkcji f. Na podstawie wykresu odczytaj: a) dziedzinę funkcji f wartości funkcji f c) wartość funkcji f dla argumentu 5 argumentów, dla których b) zbiór d) zbiór funkcja f przyjmuje najmniejsza wartość.
3.58. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Na podstawie wykresu: a) odczytaj dziedzinę funkcji f zbiór c) oblicz wartość wyrażenia (2) [f(6) – f(- 3)] b) podaj wartości funkcji f d) podaj argument, dla którego wartość funkcji f wynosi 3.
3.57. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Na podstawie wykresu odczytaj: a) dziedzinę funkcji f biór wa i funkcji f c) f(- 4) * o * r * a * z * f * (1) d) argumenty, dla których wartość funkcji wynosi 2. AY 4 -3 -2 1 y = f(x) -5 -4 -3 -2-1 AY -2 y = f(x) 1 – 2 х y = f(x) 2 1 -7-6 4 -3 -2 -1 3 4 X +4 3 2 – 1 10 y = f(x) 5 -4 -3-2 -1 4 X
3.56. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Na podstawie wykresu funkcji f: a) podaj dziedzinę funkcji f zbiór wartości funkcjif c) oblicz wartość wyrażenia f(- 5) f(- 3) + f(1) b) podaj d) odczytaj argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartość równą 3.
3.55. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Na podstawie wykresu odczytaj: a) dziedzinę funkcji f b) zbiór wartości funkcji f c) wartość funkcji f dla argumentu (- 3) d) argument, dla którego funkcja f przyjmuje wartość równą 2.
3.54. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Na podstawie wykresu odczytaj: a) dziedzinę funkcji f b) zbiór wartości funkcji f c) wartość funkcji f dla argumentu (- 2) d) argumenty, dla których funkcja f przyjmuje war tość równą 4.
3.53. Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy funkcji. Odczytaj z wy kresu zbiór wartości każdej funkcji. Podaj najmniejszą oraz największą wartość funk cji, o ile istnieje, oraz argument (argumenty), dla którego (dla których) ta wartość jest przyjmowana. a) Y -3 2 b) Y -4 3 -2 0 y = f(x) -5 4 -3 -2 -1 3 4 5 6 X -4 -3 -2 1 y = f(x) 2 3 4 X -2 c) Y 4 d) y = f(x) b) f(x) = 3 – 2|x| , D f =\ -8,-2,3\ d) f(x)= x-4 2x , D f =\ -4,-2,1,2,3\ -2 -1 18 -2 y = f(x) 2 3 4 5 6 X -4 -3 -2 -1 2 3 4 X 5 4 -3 -2 -1 lo -3 e) f) -4 +3 2 -1 -3 -2 y = f(x) y = f(x) -1 2 V 10 4 X
3.52. Funkcja f każdej liczbie całkowitej ze zbioru porządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 5. Podaj zbiór wartości funkcji f. \ -2,-1,0,4,8,10,13,15\ przy
3.51. Funkcja f każdej liczbie naturalnej ze zbioru \ 0,1,2,3,4,5,6,7\ przyporząd kowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 4. Podaj zbiór wartości funkcji f.
3.50. Wyznacz zbiór wartości funkcji f, jeśli: a) f(x) = sqrt(3) , D f =\ -4,-3,-2,-1,0,1\ } c) f(x) = sqrt(2x – 1) ) , D f =\ 1,5,13,25\ e) f(x)= 3-log 4 x 5 , f =\ 1 4 , 1 2 ,1,2,4\ f) f(x) = 4 – 6 * 3 ^ (x – 2) , D f =\ -1,0,1,2,3\
3.49. Wyznacz dziedzinę funkcji f, jeśli: a) f(x) = sqrt(2x – 16) c) f(x) = 5/(sqrt(9 – 3x)) e) f(x) = sqrt(x + 4) + 1/(sqrt(2x – 5)) b) f) f(x) = 5/(3x – 8) c) f) f(x) = (2x – 7)/(x(x + 8)) f(x) = (x ^ 3 + 2)/((x + 7)(x ^ 2 + 1)) ) f(x) = (4 + x)/(16 – x ^ 2) f(x) = (4 – 5x)/(81 – 9x ^ 2) f(x) = (2x)/(9x ^ 2 – 6x + 1) f(x) = (2x + 5)/(x ^ 2 – 14x + 49) f(x) = (3x + 5)/((x + 3)(x – 1)) – 8/(x ^ 2 – 6x + 9) f(x) = (2x + 1)/(4x ^ 2 – 121) – 5/(x ^ 2 – 2) f(x) = (8x + 3)/(25x ^ 2 – 50) + (x + 9)/(4x ^ 2 – 28x + 49) d) f) b) f(x) = sqrt(8 – 4x) d) f) f(x) = (x + 1)/(sqrt(x + 9)) f(x) = (2x + 3)/(sqrt(7 – x)) – sqrt(x + 2) c) f) c) f)
3.48. Wyznacz dziedzinę funkcji f, jeśli: f(x) = 2/(x ^ 2 – 1) + (5x)/(x ^ 2 + 9) f(x) = (x + 1)/(x ^ 2 + 81) + (x + 15)/(x ^ 2 + 4) f(x) = (x – 6)/((2x + 7) * x ^ 2) – (4x)/(x ^ 2 + 10x + 25) a) c) e)
3.47. a) d) b) f(x) = 5/(4x ^ 2 – 9) f(x) = (3x + 8)/(64x ^ 2 – 9) e) Wyznacz dziedzinę funkcji f, jeśli: f(x) = (x + x ^ 2)/(4x ^ 2 + 4x + 1) f(x) = (x ^ 2 + 1)/(25x ^ 2 + 20x + 4) b) e) f(x) = 3/(4x ^ 2 + 12x + 9) f(x) = (x + 2)/(9x ^ 2 + 24x + 16)
3.46. Wyznacz dziedzinę funkcji f. jeśli: a) d) f(x) = (2x)/(x ^ 2 – 1) f(x) = (2x – 5)/(25 – 4x ^ 2)
3.45. Wyznacz dziedzinę funkcji f, jeśli: a) d) f(x) = (x + 4)/((x – 1)(x + 3)) f(x) = (3x + 2)/((3x – 4)(5x – 1)) b) e) f(x) = (5x)/(x ^ 2 + 3) f(x) = 1/((x – 9) * x * (x + 5))
3.43. Naszkicuj wykres przykładowej funkcji, której dziedziną a) D=(-4,1) cup(1,5) 3.44. Wyznacz dziedzinę funkcji f, jeśli: a) f(x) = (5x – 1)/3 jest zbiór D, b) D=(-3,3) cup\ 4,5\ b) f(x) = (x – 2)/x c) f(x) = (x ^ 2 – 4)/5 jeśli: d) f(x) = (3x + 1)/(x – 2) e) f(x) = 3x ^ 3 – 7
3.42. Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy funkcji. Podaj dziedzinę każdej funkcji. a) -3 3 +1 b) 3 -2 y y = f(x) 5 y = f(x) 4 5 6 X -2 -1 3 4 6 X -2 c) 2 2 -1 -1 d) y = f(x) ) -3 2 1 y = f(x) – .. 5 -4 -3 -2-1 1 -2 2 3 4 6 X -3 -2 2 3 4 5 6 7 78 X 7 e) AY +4 -3 2 10 1 2 3 4 X -2 -2 f) y = f(x) AY 4 3 . y = f(x) -6 -5 -4 -3 -2 – -7 -6 5 4 3 2 1 10 3D1 2 3 4 5 X
3.41. Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy funkcji. Podaj dziedzinę każdej z nich. a) b) c) AY 3 – 2 +1 y = f(x) -2 -1 y = f(x) -5 -4 -3 -2 -1 3 4 5 v = f(x) 6 X 3 -2-1 114 5 X f) d) e) AY -3 1 2 y = f(x) 2 3 4 2 1 y = f(x) 3-2 -1 y = f(x) 2 3 4 X 5 5 6 X 4 3X -2-1 1
3.40. Funkcja f opisana jest wzorem: f(x) = a) Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji fi osi OY. b) Oblicz wartość funkcji f dla argumentu 4. c) Wyznacz argumenty, dla których wartość funkcji f wynosi 3. d) Sprawdź, czy do wykresu funkcji f należy punkt A(sqrt(11), 10) Dziedzina funkcji liczbowej
3.39. Punkt A należy do wykresu funkcji f. Oblicz a, jeśli: a) f(x)=- 1 2 x^ 2 +5ax, A(1, 1/2) , jeśli x in(- infty,1) jeśli x in(1,+ infty) 4+2ax, x in(- infty,2) a-3x, jeśli xe (2, + ) c) f(x)= 5-3ax,\\ x^ 2 +a, d) f(x)= jeśli b) f(x) = 2a * x ^ 3 – 4 , A(- 1, 2) A(- 1, 11) A(3, – 8) f(x)= x^ 2 -1,ie\\ 8-2x,j epsilon jeśli x in langle-3,-2 rangle cup(3,5) jeśli x in(-2,3)
3.38. Sprawdź, wykonując obliczenia, który z punktów podanych obok wzoru funk cji f należy do wykresu tej funkcji. a) f(x) = – x ^ 2 + 1 , A(3, – 8) , B(- 2, 5) , c(sqrt(2), – 1) b) f(x) = x ^ 3 – 3x , A(- 1, – 3) , B(sqrt(5), – sqrt(5)) , C(root(3, – 8), log2 0, 25) jeśli r in(- infty,-4) |-x+7, jeśli x in\ -4,+ infty) c) f(x)= 2x+5,\\ -x+7, jeśli x in(- infty,1) d) f(x)= -x^ 2 +4,\\ sqrt 2x-1 , jeśli x in langle1,+ infty) /2x-1, jeśli x E A(2, 5), B(- 5, 12), C(- 2 1/2, 0) A(0,2), B(1,1), C(- 3, – 5)
3.37. Naszkicuj wykresy następujących funkcji. Odczytaj z rysunku współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji f z osią OX oraz z osią OY. jeśli x in langle0,4) , jeśli x in\ -4,-3,-2,-1\ ) , jeśli x in langle0,9 rangle jeśli x in(-4,0) x in(-3,0) e , jeśli x in\ -1,0,1\ } f)f(x)={(x-1)”, jeśli x in\ 0,1,2\ x in(1,+ infty) x, jeśli x in(2,+ infty) a) f(x) = -2, jeśli x in(-x,-1) x, jeśli xe(-1,3) f(x)= (x-2)^ 2 ,jessi x in\ 0,1,2\ \\ x,iesit x in(- infty,0) jeśli x in(- infty,-1) f(x)= -x,it\\ 3-x^ 2 \\ x,jes c) b) f(x)= sqrt x ,\\ x+2 d) f(x)= – sqrt x ,\\ x,je -X, jeśli
3.36. Wyznacz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f z osią OX oraz współrzędne punktu wspólnego tego wykresu z osią OY (o ile istnieją), jeżeli: a) f(x) = 0, 5x ^ 2 – 8 , x in(- infty,1) , x in mathbb N c) f(x) = 5x – 20 e) f(x) = – 2(x – 4) * (x + 3) , x in langle1,+ infty) b) f(x) = – 3x + 10 , x in mathbb N d) f(x) = x ^ 2 + 4x + 4 , x in mathbb Z f) f(x) = x ^ 2 + 1 , x in mathbb R
3.35. Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji z osią f z nie współrzędne punktu wspólnego tego wykresu z osią OY, jeżeli: a) f(x)= 2x-7 3 ,x in R c) f(x)=4(x-1)(x+2), x in R e) f(x) = x ^ 2 – 12x + 36 , x in f b) f(x)=8-2) , x in R d) f(x) = (x + 5) ^ 2 , x in R f) f(x) = 4x ^ 2 – 9 , x in R
3.34. Naszkicuj wykres funkcji a) f(x) = – sqrt(x) , x in langle1,+ infty) b) f(x) = x, x € (-4, -2) U(-1, 1) (2, 3) d) f(x) = x, x e (-0, -1) U (1, +0) b) f(x)=-*, x in\ -3,-2,-1\ cup(0,4) d) f(x) = – 1 , x in(2,+ infty) b) f (x) = sqrt(x) , x in\ 0,1\ cup langle4,9\ ) f (x) = sqrt(x) , x in(0,1) cup\ 4,9\ d) b) f(x)=- sqrt x , x in\ 0,1\ cup langle4,+ infty) d) f(x)=- sqrt x ,x in langle1,9) , a następ OX 1 f, jeśli: c) f(x) = – sqrt(x) , x in(0,1) cup(4,9)
3.33. Naszkicuj wykres a) f(x) = x x in(0,4) funkcji f, jeśli: c) f(x) = sqrt(x) , x in langle0,4 rangle cup\ 9\
3.32. Naszkicuj wykres funkcji f. jeśli: a) f(x)=-x, r in(3,4) c) f(x) = – x , x in langle-4,1) cup langle2,3 rangle
3.31. Naszkicuj wykres funkcji f. jeśli: a) f(x)=x, x in(-3,2) c) f(x) = x , x in(- infty,-2) cup\ 1,2,3\
3.30. Narysuj wykres funkcji f, jeśli: z)f(x)= 1, ies|i* e\ -3,-2,-1,0\\ – sqrt x ,jesii x in\ 1,4,9\ a f(x)= 2 x ,jesii x in\ -2,-1,- 1 2 , 1 2 ,1,2\ , jeśli x = 0 b) Podaj współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji fi osi OY.
3.29. Naszkicuj wykres funkcji f, która każdej liczbie rzeczywistej ujemnej przypo rządkowuje liczbę 3, liczbie 0 przyporządkowuje liczbę 2, zaś każdej liczbie dodatniej przyporządkowuje liczbę 0. a) Podaj wzór funkcji f. b) Podaj współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji f: 1) z osią OY,2) z osią ox.
3.28. Naszkicuj wykres funkcji f, jeśli: f(x)= -2, ies|i x in langle-4\\ 1, ies|i x in(2,5) a) -4,2) b) f(x)= -3,jesii x in langle-3,0\\ 4,ies|i x in(0,4) )
3.27. Narysuj wykres funkcji określonej wzorem f(x) = x ^ 3 , gdzie x in\ log 2 2 3 +log 2 6, 1 2 log 3 9, -1 2 log sqrt 2 2,log 1,log 1 80-log 1 5
3.26. Funkcja f każdej liczbie x ze zbioru X=\ 3,4,7,12\ przyporządkowuje pier wiastek kwadratowy z liczby o 3 od niej mniejszej. a) Narysuj wykres tej funkcji. b) Napisz wzór funkcji f.
3.25. Dany jest zbiór A=\ sqrt[3] -8 ,log 2 16, sqrt[4] 81 , 1 3 log 9 27,log 5 20-log 5 4\ Funkcja f każdej liczbie ze zbioru A przyporządkowuje liczbę o 1 od niej mniejszą. a) Narysuj wykres tej funkcji. b) Napisz wzór funkcji f.
3.24. Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. Podaj współrzęd ne punktów, w których wykres funkcji f przecina: 1) os OY. 2) oś OX. b) a) c) AY 3 +2 y = f(x) +3 y = f(x) y = f(x) 2 1 10 -1 -4 – 10 2
3.23. Który zbiór punktów jest wykresem pewnej funkcji zmiennej x? Odpowiedź uzasadnij. a) b) c) 4 -3 2 2 -1 -1 -3 2 -1 12 3 4 X 4 X d) AY -2 -1 e) AY 4 -3 -2 – 1 10 f) +3 3 4 X -4-3 – 1 4 X -4 N
3.22. Funkcja f opisana jest wzorem f(x) = 5(5 – 4x) + 4x ^ 2 , gdzie x in R R. Wykaz, że dla każdej liczby rzeczywistej a funkcja f przyjmuje wartości nieujemne. Wykres funkcji
3.21. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje kwadrat tej liczby powiększony o 5. a) Napisz wzór funkcji f. b) Wykaż, że f(- 2sqrt(3)) = f(2sqrt(3)) . c) Sprawdź, czy do wykresu funkcji f należą punkty A(- 12, 149) oraz B(- 3, – 4) . d) Uzasadnij, że funkcja f nie przyjmuje wartości równej 4.
3.20. Funkcja g każdej liczbie pierwszej z przedziału langle0,15 rangle przyporządkowuje licz bę o 2 od niej mniejszą. a) Sporządź tabelkę funkcji g. wartość wyrażenia (g(11)) g(7)-g(5) b) Oblicz lle punktów, o obu współrzędnych będących liczbami pierwszymi, należy do wy c) kresu funkcji g?
3.19. Funkcja h każdej liczbie całkowitej przyporządkowuje podwojoną sumę tej liczby i liczby 3. a) Napisz wzór funkcji h. b) Oblicz wartość funkcji h dla argumentu -51. c) Wyznacz argument, dla którego wartość funkcji jest równa 8. d) Czy funkcja h przyjmuje wartość równą 5? Odpowiedź uzasadnij.
3.18. Funkcja f każdej liczbie ze zbioru \ -4,-3,-2,-1,0,1,2\ przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 2. a) Sporządź tabelkę funkcji f. b) Narysuj wykres funkcji f. c) Podaj zbiór tych argumentów, dla których wartość funkcji f jest równa 1.
3.17. Funkcja f każdej liczbie ze zbioru { -8,-4,-2,0,4\ przyporządkowuje 25% różnicy tej liczby i liczby 6. a) Napisz wzór funkcji f. b) Wyznacz wszystkie wartości funkcji f. C) Oblicz wartość wyrażenia delta 1 2 [-(f(-8)+f(4))] . d) Narysuj wykres funkcji f.
3.16. Funkcja f opisana jest za pomocą wzoru f(x)=- 2 3 x+4,a je) dziedziną jest pięcioelementowy zbiór D f a) Uzupełnij tabelkę funkcji f. х f(x) – 4 1/2 16 3,5 9 3 b) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji f. c) Oblicz wartość wyrażenia f(- 4, 5) . f(9) – 3f * (0, 75)
3.15. Funkcja g opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych w następują- cy sposób: \ (0,0),(1,-1) , (4, – 2) , (9,-3),(16,-4)\ ). a) Oblicz wartość wyrażenia 1/3 * [g(4) – g(16)] ^ (1) ). b) Podaj opis słowny funkcji g. c) Napisz wzór funkcji g.
3.14. Funkcja f każdej liczbie ze zbioru \ -1,0,1,2,3\ przyporządkowuje kwadrat tej liczby pomniejszonej o 1. a) Zapisz funkcję f za pomocą zbioru b) Napisz wzór funkcji f. par uporządkowanych. c) Dla jakich argumentów wartość funkcji jest równa 4? d) Narysuj wykres funkcji f. 2 3 zbioru par upon 1 TO 2 2 y = g(x) 10 1 -4 -3 – -1 X
3.13. Funkcja g każdej liczbie ze zbioru \ -1,0,1,2\ przyporządkowuje jej sześcian pomniejszony o 3. a) Napisz wzór funkcji g. b) Uzupełnij tabelkę funkcji g х g(x) -4 1 5 c) Narysuj wykres funkcji g.
3.12. Funkcja h opisana jest za pomocą tabelki: X -5 h(x) 0 -4 1 -3 2 -2 3 -1 4 5 1 6 2 7 a) Podaj wartość funkcji h dla argumentu 0. b) Podaj argument, dla którego funkcja h przyjmuje wartość 2. c) Podaj wzór funkcji h. d) Narysuj wykres funkcji h.
3.11. W prostokątnym układzie współrzędnych (rysunek obok) przedstawiony jest wykres funkcji g. a) Uzupełnij tabelkę X g(x) funkcji g: -3 -2 -1 1 b) Podaj opis słowny funkcji g. c) Podaj wzór funkcji g.
3.10. W prostokątnym układzie współrzędnych (rysunek obok) przedstawiony jest wykres funkcji f a) Przedstaw funkcję f za pomocą rządkowanych b) Podaj dziedzinę funkcji f. c) Podaj zbiór wartości funkcji f. d) Podaj wzór funkcji f.
3.9. Na rysunku obok przedstawiony jest graf pewnej funkcji g. a) Dla jakich argumentów wartość funkcji g jest równa -4? b) Jaką wartość przyjmuje funkcja g dla argumentu -1? c) Podaj wzór funkcji g. d) Narysuj wykres funkcji g. g:X -30 -20 -10 bullet-9 30 10 .-1
3.8. Na rysunku obok przedstawiony jest graf pewnej funkcji f. a) Podaj opis słowny tego przyporządkowania. b) Podaj wzór funkcji f. f: X 1,5 0,25 . 50 1 Y 4 5 0,75
3.7. Funkcja f opisana jest za pomocą wzoru f(1/8), f(1/2), f(1), f(4), f(32) . a) Oblicz f b) Przedstaw tę x in\ 1 8 , 1 2 ,1,4,32\ f(x) = log2 x , gdzie funkcję za pomocą zbioru par uporządkowanych.
3.6. Funkcja fjest opisana za pomocą wzoru f(x) = a) Oblicz f(- 4), f(- 3), f(- 2), f(- 1) . b) Przedstaw tę funkcję za pomocą tabelki.
3.5. W prostokątnym układzie współrzędnych przedstawiono wykresy przyporząd przekształcających zbiór X w zbiór Y. kowań AY b) 6 4 34 -1 2 1 6 -654 -2 X 3D1 Które z tych przyporządkowań jest funkcją odwzorowującą zbiór X w zbiór Y? Odpowiedź uzasadnij. W przypadku funkcji – podaj jej dziedzinę i zbiór wartości. gdziex x in\ -4,-3,-2,-1\ . 1) 2) f(x) = (1/3) ^ (x / 2)
3.4. Funkcja f sposób, że f(1) = 4, f(4) = 6, f(5) = 4, f(7) = 3, f(8) = 0 . a) Narysuj graf funkcji f. b) Czy funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y? Y=\ 0,3,4,6,8\ , w taki
3.3. Wykonaj siedem rzutów kostką sześcienną do gry. Każdemu rzutowi przypo rządkuj liczbę wyrzuconych oczek (zakładamy, że kostka tak upadnie, że za każdym razem będziemy mogli odczytać wynik). Zapisz otrzymane pary liczb w postaci: \ (x,y) : x – n numer rzutu, y – liczba otrzymanych oczek). Podaj dziedzinę opisanej w ten sposób funkcji, zbiór wartości tej funkcji oraz war tość funkcji dla argumentu 4. odwzorowuje zbiór X=\ 1,4,5,7,8\ } w zbiór
3.2. Które z podanych przyporządkowań są funkcjami? Odpowiedź uzasadnij. Każdemu państwu europejskiemu przyporządkowujemy jego obecną stolicę. b) Każdemu aktorowi filmowemu przyporządkowujemy tytuł filmu, w którym zagrał. a) c) Każdemu uczniowi Twojej klasy przyporządkowujemy ocenę z matematyki na świadectwie ukończenia szkoły podstawowej. d) Każdej liczbie całkowitej przyporządkowujemy jej kwadrat.
3.1. Który z poniższych grafów jest grafem funkcji odwzorowującej zbiór X w Odpowiedź uzasadnij. a) Y b) Х 1 3 5 Y zbiór Y? b c) X d) Х a 3.3 W przypadku funkcji podaj jej dziedzinę i zbiór wartości.
40. Wykaż, że liczba sqrt(11) jest liczbą niewymierną.
39. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest wielokrotnością liczby 8.
38. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierówność: a ^ 2 + b ^ 2 + 2 >= 2(a + b) D
37. Wykaż, że D D 38. jeśli x ^ 2 + y ^ 2 = 7 oraz xy = 1ix < 0 , to x + y = - 3 .
36. Wykaż, że jeśli xi y są liczbami rzeczywistymi, x ^ 2 + y ^ 2 = 2ix + y = 1 , to xy = – 1/2
35. Wykaż, że liczba 3 ^ 16 – 2 ^ 16 jest podzielna przez 65.
34. Wykaż, że liczba 5 ^ 12 – 1 jest podzielna przez 124. d)
33. Wykaż, że jeślin n in N + , to liczba 5 ^ n + 5 ^ (n + 1) + 5 ^ (n + 2) jest podzielna przez 155. D
32. W pewnym mieście przez trzy kolejne lata badano zmianę liczby ludności. W pierwszym roku liczba ludności wzrosła o 4 1/0 , w drugim zmalała o 4%, a w trzecim się nie zmieniła. Ile wyniosła średnia, procentowa zmiana liczby ludności w ciągu tych trzech lat? Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku. D
31. Średni wiek uczestników szkolnego kółka teatralnego wynosi 11 lat. Najstarszy uczestnik ma 17 lat, a średni wiek pozostałych jest równy 10 lat. Ilu uczniów uczest niczy w zajęciach kółka teatralnego?
30. Wiedząc, że logs 12 = a raz * log5 2 = b, oblicz : a) log5 6 b) log5 9 c) log5 root(5, 3) d) log3 50
29. Oblicz wartość wyrażenia: i y = 243 ^ 28 b) r = 128 ^ 36 i y = 4 ^ (12 degrees) d) x = (2sqrt(2)) ^ 28 i y = ((sqrt(8))/64) ^ – 6 [ 81 625 )^ -0.39 = (1 2 3 )^ -1 -(0,125)^ 1 [ 125^ 3 -(0,2)^ -1 (0,5)^ -2 .0,2)^ -3 ^ 3 4 b) przybliżenie liczby 100 ^ (- 3/4) jest równe 0,031623, wyznacz przybliżenia b) 100 ^ (5/4) V128 +log 323 log (2/2) log
28. Wiedząc, że liczb: a) 100 ^ (1/4)
27. Oblicz: a) sqrt(9) * [(1, 5) ^ – 1 + 9 ^ (- 1, 5)] – 27 ^ (- 2/3) c) root(3, 0, 375) * root(3, 9) + (3 ^ – 1 – root(4, 16/81)) ^ – 2
26. Porównaj liczby: a) x = 81 ^ 20 * i y = 1024 ^ 8 x = (1/27) ^ – 48 c) x=
25. Sprowadź wyrażenie y: (y y ): y = sqrt(2sqrt(2)) staci i oblicz jego wartość dla y= y y ne0 , do najprostszej po
24. Rozłóż wyrażenia na czynniki: a) 9 – x ^ 4 25 – 4 * (x – y) ^ 2 c) b) 2x ^ 2 – 16x + 32 d) (2x – 1) – y(1 – 2x) [y ^ 3 / (y ^ 2 * y ^ 3)] ^ 4 / ([(1/y) ^ 4 * 1/(y ^ – 2)] ^ – 3)
23. Rozwiąż nierówności: a) (3x – 2) ^ 2 – 5x – (3x + 2)(3x – 2) < (2 - 3x) ^ 2 - 9x ^ 2 + 4 b) c) d) 2 * (x - 3) ^ 2 - 1/2 >= ((2x – 3)(2x + 3))/2 – x (x – 3) ^ 2 – (x ^ 2 – 3)/3 – 9 < ((x - 2)(x + 2))/6 + 1/2 * x ^ 2 1 - (3x - 2) ^ 2 >= (x – 36)/3 – 9(x + 1) * (x – 1)
22. Wyznacz wartość a tak, aby podana obok równania liczba była rozwiązaniem tego równania: a) (3x + 1)(x + a) – 3(x – 1) * (x – a) = 4 ; 0,5 b) (x+a)^ 2 -(x-a)^ 2 =40; 2 c) (2x-a)(2x+a)-(2x+a)^ 2 =2;-1 d) (x – a)(x + a) – (x – a) ^ 2 = 8 ; 4
21. Rozwiąż równania: a) 12 – 2 * (x – 1) ^ 2 = 4(x – 2) – (x – 3)(2x – 5) b) (3x – 1) ^ 2 – 5 * (2x + 1) ^ 2 + (6x – 3)(2x + 1) = (x – 1) ^ 2 c) 5 * (x – 1) ^ 2 – 2 * (x + 3) ^ 2 = 3 * (x + 2) ^ 2 – 7(6x – 1) d) 2x ^ 2 + (x + 5) ^ 2 – 2 * (x + 7) ^ 2 = 2(3x – 72, 5) + (x – 6) ^ 2
20. Sprowadź wyrażenia do najprostszej postaci i oblicz ich wartość dla podanych obok wartości zmiennych:
19. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: a) (sqrt(3) + sqrt(2))/(sqrt(3) – sqrt(2)) – (sqrt(3) – sqrt(2))/(sqrt(3) + sqrt(2)) + (1 – 16sqrt(6))/4 b) w postaci a + b * sqrt(c) , (sqrt(7) – sqrt(6))/(sqrt(7) + sqrt(6)) – (sqrt(7) + sqrt(6))/(sqrt(7) – sqrt(6)) + (8sqrt(42) + 3)/2
18. Rozwiąż równanie: 2x + 2 = sqrt(3) – sqrt(3) * x . Przedstaw rozwiązanie gdzie a,b, c oznaczają liczby całkowite ic>0.
17. Wykonaj działania: a) 2(root(3, 64) – sqrt(3 ^ 4)) * (3 * root(3, 8) – 2 * root(5, – 1)) c) (0, 25 * root(3, 27) – 1/3 * root(4, 256)) * sqrt(4 * (- 10) ^ 4) b) 2 ^ 5 * x + 2 ^ 7 * x = 14 ^ 2 / 0, 5 – 2 ^ 6 * x b) (3sqrt(75) – 2sqrt(12)) / (11sqrt(3)) d) (sqrt(144) + 6 * root(3, – 343))/18 * (root(4, 81) * 0, 2sqrt(50))
16. Rozwiąż równania: a) 8 1 6 )^ 3 : (8 1 6 )^ 2 * x= (1 1 6 )^ 2
15. Liczba log3 root(3, 0, (3)) jest liczbą: A. mniejszą od -2 C. niewymierną C. 6 D – 1/2 B. całkowitą nieujemną wymierną ujemną D. Zadania powtórzeniowe do rozdziału 2.
14. Suma A. -2 B. – 3(x + 1) * (x + 3) C. (3x – 3)(3 – x) D. (x + 3)(- 3x + 3) og 6 9+log 6 4 jest równa: B. 2
13. Wyrażenie x ^ 2 – (2x + 3) ^ 2 po rozłożeniu na czynniki ma postać: A. 3(3 – x) * (x + 1)
12. Zbiorem rozwiązań nierówności (x – 3)(x + 2) <= x(x + 2) jest: A. zbiór pusty C. przedział - infty,3 rangle B. przedział (-2,+ infty) D. zbiór liczb rzeczywistych
11. Kwadrat liczby x jest o 1 większy od kwadratu liczby x pomniejszonej o 1. Zatem: A. x = 0 B. 9 < x < 1 C. x = 1 D. x > 1
10. Równanie x ^ 4 * (x ^ 2 + 14x + 49) = 0 : A. ma tylko dwa rozwiązania C. jest sprzeczne C. a in\ -2,2\ B. ma D. a in R-\ 2,-2\ tylko jedno rozwiązanie D. jest tożsamościowe.
9. Rozwiązaniem równania j ^ 2 * x + 4 = 0 jest liczba (- 1) wtedy i tylko wtedy, gdy: A. a = – 4 B. a = 2
8. Dane są liczby: a = (- 2 ^ – 2) ^ 3, b = [(- 8) ^ 2] ^ (1/3), c = root(3, – 8 ^ 2) . Wówczas prawdziwa jest podwójna nierówność: A. a <= b <= c B. b <= c <= a c <= b <= a D. c <= a <= b
7. Przybliżenie liczby 10 ^ (- 0, 8) jest równe 0,158489. Przybliżeniem dziesiętnym liczby dokładnością do trzeciego miejsca po przecinku jest liczba: B. 3,170 C. 15,849 10 ^ (0, 2) z A. 0,015 D. 1,585
6. Liczbę 6.5 * 10 ^ – 7 można zapisać w postaci: A. 65 * 10 ^ – 6 B. 0,0000065 C. 2sqrt(a ^ 2 + b ^ 2) D. sqrt(2(a ^ 2 + b ^ 2)) C. 65 * 10 ^ – 3 D. – 6, 5 * 10 ^ 7
5. Wyrażenie: ,,pierwiastek kwadratowy z podwojonej sumy kwadratów liczb a ib^ prime prime można zapisać symbolicznie w następujący sposób: A. sqrt(2a ^ 2 + b ^ 2) B. sqrt(2 * (a + b) ^ 2)
4. Wyrażenie (2 1/4) ^ 0.5 A. 2,5 B. (a:a^ 3 )^ -1 a^ -4 , gdzie a ne0 , otrzymamy: C. a ? D. a ^ – 6 B. równa sqrt(3) + 2 D. odwrotnością liczby 2 + sqrt(3) jest równe: 3/2 1 2 2/3 C. D. 0.5sqrt(2)
2. Po uproszczeniu wyrażenia A. a ^ 6
3. Liczba B. a ^ 2 1 2- sqrt 3 jest: równa 2 – sqrt(3) C. mniejsza od sqrt(3) A
1. Jola wykonała obliczenia: 1. (1 + 3/4) ^ – 1 = 4/7 Poprawne obliczenia są: ll. root(3, 0, 2 ^ 6) = 0, 04 A. tylko w przykładzie II przykładach li II C. tylko w 1. (2 + sqrt(5))/2 = 1 + sqrt(5) B. tylko w przykładach li Il D. we wszystkich przykładach
2.170. Samochód przejechał trasę z A do B w ciągu 1 godziny. Pół godziny jechał z prędkością 68 km/h , pozostałe 30 minut – z prędkością 42 km/h . Jaka była średnia prędkość samochodu na trasie z A do B?
2.169. Autobus jechał z miasta A do B z prędkością 72 km/h. Po przyjeździe do B natychmiast zawrócił niosła 57,6 km/h. Z jaką prędkością jechał autobus z B do A? do A) wy- do A. Średnia prędkość na całej trasie (z A do Biz B
2.168. Odległość z miasta A do 70 km/h , zaś prędkość samochodu? B samochód osobowy przejechał z prędkością Jaka była średnia z powrotem trasę tę pokonał z prędkością 50 km/h .
2.167. Z miejscowości A do B jednocześnie wyjechały dwie ciężarówki. Pierwsza połowę czasu przeznaczonego na przebycie drogi jechała z prędkością 50 km/h , drugą połowę czasu – z prędkością 40 km/h . Natomiast druga ciężarówka połowę drogi jechała z prędkością 40 km/h , a pozostałą część – z prędkością 50 km/h . Która z ciężarówek była pierwsza w miejscowości B? Odpowiedź uzasadnij.
2.166. W czterech kolejnych latach inflacja w Polsce była równa: 7,3%, 10,1%, 5,5%, 1,9%. Jaka była średnia inflacja w tych czterech latach? Wynik podaj z dokład nością do drugiego miejsca po przecinku.
2.165. W pewnym mieście liczba mieszkańców wzrastała przez trzy kolejne lata odpowiednio o 1%, o 3% i o 5%. Oblicz średni, procentowy wzrost liczby ludności w ciągu tych trzech lat. Wynik podaj z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
2.164. Średnia płaca netto w zakładzie zatrudniającym 34 osoby jest równa 1820 zł. Po wypłaceniu pensji nowo przyjętemu pracownikowi średnia płacy dla wszystkich zatrudnionych osób wzrosła o 2%. Jaką płacę otrzymał nowy pracownik?
2.163. W pewnym zakładzie pracuje 11 osób. Średnia wieku zatrudnionych wynosi 32 lata. Jeden z pracowników zakładu zachorował i poszedł na zwolnienie lekarskie. Średnia wieku pozostałych w pracy wynosi teraz 31 lat. Ile lat ma pracownik, który przebywa na zwolnieniu? liczba osób
2.162. Na wycieczkę pojechało 21 osób o średniej wieku 23 lata. Średnia ta wzrośnie do 24 lat, jeśli doliczy się wiek przewodnika. Ile lat ma przewodnik?
2.161. Dwie trzecie pewnego towaru sprzedawca sprzedał z zyskiem 25%, 20% z zyskiem 40%, a pozostałą część – z zyskiem 30%. Jaki procentowy zysk uzyskał ze sprzedaży tego towaru? Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku. towaru
2.160. Poniższy diagram przedstawia wynagrodzenie netto pracowników pewnej firmy. 10 9 8 1 1600 1860 2620 3150 4200 wynagrodzenie miesięczne (netto) [zt] a) Oblicz średnie wynagrodzenie netto w tej firmie. b) Oblicz procent pracowników, którzy zarabiają więcej niż wynosi średnie wyna grodzenie w tej firmie. c) Jaki procent najwyższego wynagrodzenia stanowi wynagrodzenie najniższe? Wyniki podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.
2.159. W klasie Illa próbny egzamin maturalny z biologii pisało 20 uczniów. W tej klasie średni wynik z tego egzaminu był równy 60%. W klasie Illb próbny egzamin maturalny z biologii pisało 5 uczniów, Średni wynik uzyskany przez tych uczniów był równy 40%. Jaki był średni wynik próbnego egzaminu maturalnego z biologii ucz niów z klasy Illa i z klasy Illb?
2.158. Zmieszano trzy gatunki cukierków: 12 kg cukierków „Wiosennych” w ce nie 25 zł za kilogram, 5kg cukierków „Jesiennych” w cenie 15 zł za kilogram i 3 kg cukierków „Zimowych” w cenie 40 zł za kilogram. Jaka powinna być cena 1 kilogra ma tak otrzymanej „Mieszanki wybornej”?
2.157. Nauczyciel powiedział uczniom, że ocena semestralna jest średnią ważo ną ocen cząstkowych. Przy czym najważniejsze są prace klasowe (waga 50), tro chę mniej ważne są odpowiedzi ustne (waga 30), a najmniej ważne są kartkówki (waga 20). Jakiej oceny semestralnej może spodziewać się osoba, która otrzymała: a) z klasówek: 5,5,3;2 odpowiedzi 4; z kartkówki 1 z klasówek: 1,5,3;z odpowiedzi 4; z kartkówki 5. b) b) 1 d) 3 4 16 3 3 uczniów klas pierwszych 3 pewnego liceum ilustruje liczba ocen 2 16 34 52 8 3 c, h h a, mathcal C (a,b,c>0)
2.156. Wyniki poniższa tabela: sprawdzianu dla ocena 6 5 4 3 2 1 a) Oblicz średnią ocen ze sprawdzianu. b) Oblicz, ile procent uczniów otrzymało ze sprawdzianu co najmniej 4. c) Oblicz, ile procent uczniów otrzymało ze sprawdzianu ocenę poniżej średniej. Wyniki zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
2.155. Oblicz średnią arytmetyczną i geometryczną poniższych liczb i porównaj te średnie: a) 2 c) 8 8 12 12 18
2.154. Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości: a) P = (c + d)/2 * h ; b) p=2* pi* r*(r+h); c) P = 2(ab + bc + ac) ; P = (a + b + c)/2 * (a + b – c)/2 d) P= Średnie
2.153. Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości: a) C) P= d 1 * d 2 2 R = (a * sqrt(6))/4 d 1 b) d) P = (a ^ 2 * sqrt(3))/4 V= 1 12 * a^ 3 * sqrt 2 ; m K, c a(a > 0) a
2.152. Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości: a) x=x 0 +v* t ; v=v 0 -a* t ; b) c) C p = m s m s +m r *100\% x 0r Vo, a m n m s v 1 ,v 3 , m 1 ; d) m m 1 * v 1 +m 2 * v 2 =(m 1 +m 2 )* v 3 ;
2.151. Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości: d = V/m a) d = c) p* V=n* R* T; m, V P, T b) F=m* a; d) a= sqrt K c ;
2.150. Wykaż, że jeśli dwie dowolne liczby rzeczywiste a i b spełniają nierówność a ^ 2 * b ^ 2 >= 7 , to * a ^ 4 + b ^ 4 >= 14 .
2.149. Wykaż, że jeśli dwie dowolne liczby rzeczywiste a i b spełniają nierówność ab <= - 3, to * g ^ 2 + b ^ 2 > 6 . D
2.148. Wykaż, że jeśli dwie dowolne liczby rzeczywiste a, b spełniają nierówność ab > 5 , to a ^ 2 + b ^ 2 > 10 D
2.147. Wykaż, że jeśli a jest liczbą niewymierną, to również liczby: 5a + 2i * (a – 3)/4 są niewymierne. D
2.146. Liczba sqrt(11) jest liczbą niewymierną. Wykaż, że liczby: 7 sqrt 11 +5, -3 sqrt 11 + 2 są liczbami niewymiernymi. to a = b = c . D (sqrt(11) – 1)/(sqrt(11))
2.145. Wykaż, że: a) liczba sqrt(7) jest niewymierna; b) liczba sqrt(p) , gdzie p jest liczbą pierwszą, jest niewymierna.
2.144. Wykaż, że jeśli a, b, c in R i a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = ab + bc + ac , D 2
2.143. Wykaż, że jeślia a ne0 ib b ne0 oraz b) 2x ^ 2 + 25y ^ 2 >= 10xy d) (3x ^ 2)/4 + (y ^ 2)/3 – xy >= 0 2a + 49/a > 14 a = b. b) a b + b a =2. , to D
2.142. Wykaż, że jeśli a>0,t0: a) a – 8 + 17/a > 0 D
2.141. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierów ność: a) x ^ 2 + 2xy + 3y ^ 2 >= 0 c) xy <= (x ^ 2 + 9y ^ 2)/6 D
2.140. Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają nierównośća a > b > c , to D a> b+c 2 . D
2.139. Wykaż, że jeśli a<1 i b>-4,to 4a-2b 2 <4.
2.138. Wykaż, że jeśli a > 3 i b > 4 , to (2a + 3b)/6 > 3 D 2.
2.137. Wykaż, że reszta z dzielenia przez 16 sumy kwadratów czterech kolejnych równa 8. D liczb parzystych jest D
2.136. Wykaż, że reszta z dzielenia przez 8 nieparzystych jest równa 2. sumy kwadratów dwóch kolejnych liczb
2.135. Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest liczbą parzystą.
2.134. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą. D
2.133. Wykaż, że iloczyn przez 2. trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 6. D
2.132. Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest podzielny D
2.131. Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3. D
2.130. Wykaż, że suma czterech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 4. D
2.129. Wykaz, że jeśli n e N, to liczba 3 ^ n + 3 ^ (n + 3) + 2 ^ (n + 2) jest podzielna przez 4. D
2.128. Wykaż, że jeśli gamma in N n >= 1 , to liczba 4 ^ (n + 2) – 4 ^ n jest podzielna przez 60. D
2.127. Uzasadnij, dlaczego poniższe zdania są fałszywe. a) Liczbą niewymierną nazywamy liczbę, którą można ułamka. przedstawić w postaci b) Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z elementów, które należą jedno cześnie do zbioru A i do zbioru B. c) Z=Z, cup Z d) Pierwiastkiem której b ^ 2 = a . kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką liczbę b, dla D
2.126. Podaj kontrprzykład pokazujący, że poniższe twierdzenie jest fałszywe. a) Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 3 i przez 6, to ta liczba jest podzielna przez 18. b) Jeżeli kwadrat liczby rzeczywistej jest dodatni, to ta liczba rzeczywista też jest dodatnia. c) Jeżeli przekątne czworokąta są prostopadłe, to czworokąt jest rombem. d) Jeżeli przekątne czworokąta są równej długości, to czworokąt jest prostokątem.
2.125. Poniższe twierdzenia są zdaniami prawdziwymi. Sformułuj twierdzenia od do nich i oceń, czy są prawdziwe. wrotne 8 i przez 2. Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 16, to jest ona podzielna przez Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 21, to jest podzielna przez 3 i przez 7. c) Jeśli wszystkie boki równoległoboku mają taką samą długość, to równoległobok ten jest rombem. a) b) d) Jeśli trójkąt jest rozwartokątny, to co najmniej jeden kąt tego trójkąta jest ostry.
2.124. Dane są zdania pi q. Zapisz twierdzenie p Rightarrow q i twierdzenie odwrotne do niego q q Rightarrow p , a następnie oceń wartości logiczne tych implikacji. Czy równoważność poq jest zdaniem prawdziwym? a) p: Romb jest kwadratem. q: Każdy kąt rombu ma miarę 90 degrees . b) p: Liczba naturalna jest podzielna przez 20. q: Liczba naturalna jest podzielna przez 10 i przez 2. c) p: Suma dwóch liczb jest dodatnia. q: Dwie liczby są dodatnie. d) p: Trójkąt jest równoboczny. q: Wszystkie kąty trójkąta mają miarę 60°. e) p: Trójkąt nie jest prostokątny. q: Trójkąt jest równoboczny. f) p: Liczba całkowita jest podzielna przez każdą liczbę naturalną dodatnią. q: Liczba jest równa 0. g) p: lloczyn dwóch liczb jest ujemny. q: lloraz dwóch liczb jest ujemny. h) p: Czworokąt jest równoległobokiem. q: Czworokąt ma parę boków równych.
2.123. Sformułuj twierdzenie Pitagorasa i tezę. Następnie zapisz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa; podaj za łożenie i tezę tego twierdzenia. w postaci implikacji. Wypisz założenia
2.122. Poniżej znajdują się twierdzenia, niektóre z nich to zdania fałszywe. Dla każ dego twierdzenia wypisz założenie i tezę. Sformułuj twierdzenie odwrotne do dane go. Oceń wartość logiczną danego twierdzenia i twierdzenia do niego odwrotnego. a) Jeśli liczba jest parzysta, to jest podzielna przez 12. Jeśli trójkąt ma tylko dwa kąty ostre, to jest ostrokątny. c) Jeśli liczba jest podzielna przez 3 i Jeśli przekątne czworokąta przecinają się pod kątem prostym, to czworokąt jest b) d) przez 5, to jest podzielna przez 15. kwadratem. e) Jeśli Jeśli dwie liczby mają różne znaki, to ich iloczyn jest liczbą ujemną. 8) Jeśli f) dwie liczby są ujemne, to ich iloczyn jest liczba dodatnią. liczba całkowita jest podzielna przez 100, to liczba ta jest podzielna przez 25. h) Jeśli czworokąt ma dwie przekątne równej długości, to ten czworokąt jest trapezem równoramiennym.
2.121. Janek słuchał muzyki nadawanej przez radio. Gdy usłyszał ulubioną pio senkę, trzykrotnie zwiększył głośność radia. O ile decybeli wzrósł poziom natężenia dźwięku w pokoju Janka?
2.120. Poziom natężenia hałasu w jadącym samochodzie osobowym jest równy 70 dB, a w pobliżu startującego samolotu odrzutowego wynosi 130 dB. Ile razy głoś niej jest w pobliżu startującego samolotu odrzutowego niż w jadącym samochodzie osobowym?
2.119. Oblicz wartość pH kwasu solnego wiedząc, że stężenie jonów wodorowych w tym kwasie jest równe 0,05 mol/dm^ 3 , . Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.
2.118. W roztworze zmniejszono 75 razy stężenie jonów wodorowych. O ile wzro sło pH tego roztworu?
2.117. W roztworze zwiększono 150 razy stężenie jonów wodorowych. O ile zma lato pH tego roztworu?
2.116. Ile razy należy zwiększyć, lub zmniejszyć, stężenie jonów wodorowych w roztworze, aby: a) pH wzrosło o 2 b) pH zmalało o 1.
2.115. Oblicz stężenie molowe jonów wodorowych pH = 4 a) b) pH = 0 c) pH = 3, 5 1/(log6 10) oraz w roztworze, w którym: d) pH = 8, 75
2.114. Wykaż, powołując się na odpowiednie własności logarytmów, że podane liczby są równe: a) c) log5 3o * r * a * z * 1/(log3 5) 4/(log 10) 1/2 * log 4 + log 8 oraz b) log2 3 * log3 4 d) oraz 2 log 96 ^ (0, 25) – 1/4 * log 2/27 Zastosowanie logarytmów
2.113. Oblicz: a) 2 ^ logx 7 36 ^ (logn 5 – 1/4) e) 36 3 ^ (1/2) * log3 16 b) 32 27^ log 3 2- 1 3 c) 10 ^ (2 + log 3) g) 3 ^ (2 – log3 4) 5 ^ (- 1 + 2 * log5 4) d) 5 h) 2 Hog, 27 D
2.112. Wykaż, że: a) log 6 ^ 2 2+log 6 4* log 6 3+log 6 ^ 2 3=1 b) log 5 ^ 2 10-log 5 10* log 5 4+log 5 ^ 2 2=1
2.111. Wiedząc, że: a) log3 2 = a * log3 7 = b , oblicz log3 14 oblicz log7 36 oblicz log4 1, 8 b) log7 4 = al * log7 3 = b , c) log4 3 = ai * log4 5 = b , d) log5 4 = al * log5 27 = b , oblicz log5 6 D
2.110. Wykaż, powołując się na odpowiednie własności logarytmów, że podane liczby są równe: a) log125 oraz 3log5 c) log7 12 – log7 2o * r * a * z * log7 6 b) log5 12 oraz 2 * log5 2 + log5 3 d) 5 * log9 2 + 2 * log9 1/4 oraz log9 2 e) 3 * log 3 + 2 * log 2 – log6 oraz log18 f) log3 2o * r * a * z – 7 * log3 1/2 – 3 * log3 4
2.109. Oblicz: a) logsqrt(5) 5 * root(3, 5) e) log4 8 * root(4, 2) b) log5 x = 3 f) log4 x = 0 c) log1/2 x = – 2 g) log2 x = 10 c) logx 3 = 1/2 g) logx 27 = 3 c) log0, 64 0, 8 g) log0, 0016 5 c) log2 8 * sqrt(2) g) logsqrt(3) root(3, 9) d) log1 x = – 1/2 h) log2sqrt(2) x = – 3 d) logx 2 = 1/3 h) logx 36 = – 2 d) log0, 125 0, 5 h) log4 0, 0625 d) log1/3 81 * sqrt(3) h) log2sqrt(2) 4 * sqrt(8) b) logx 81 = 4 f) logx 64 = – 3 b) log 1,1 1,33] log0, 2 625 f) b) log sqrt[3 3 27 f) log1/5 25 * sqrt(5) D
2.108. Oblicz: a) log 0 ,0,0 e) log0, 16 0, 064 2.
2.107. Oblicz x, jeśli: a) logx 25 = 2 e) logx 1/9 = – 2
2.106. Oblicz x, jeśli: a) log3 x = – 1 e) log2 x = – 2/3
2.105. Oblicz: a) og 3 243 e) log2 1/1024 b) log1/2 32 f) log1/6 216 c) 625 ^ (1/3) * sqrt(5) f) 100000 ^ (- 1/7 * sqrt(2)) sqrt[3] 6 approx1.8 c) log1000 g) log5 625 d) log2/3 81/16 h) log 1 5 ^ 1
2.104. Korzystając z danych z poprzedniego zadania, oblicz przybliżoną wartość potęgi: a) 256 ^ ((sqrt(3))/2) d) 0, 0001 ^ (- root(3, 2)) b) 243 ^ ((root(3, 4))/4) e) 0,00032 Określenie logarytmu
2.103. b) 24 * 32 ^ (- 3/5) + ((sqrt(2))/22) ^ ((sqrt(2))/2) d) (0, 2 ^ – 1 * 5 ^ sqrt(3)) ^ sqrt(3) / (125 ^ (1/3) * 5 ^ sqrt(3)) Dane są przybliżone wartości pierwiastków: sqrt 2 approx1.4 sqrt 3 approx1.75 sqrt 5 approx2.25 sqrt[3] 2 approx1,25 sqrt[3] 4 approx1,6 Oblicz, bez użycia kalkulatora, przybliżoną wartość potęgi: a) 81 ^ sqrt(5) b) 1024 ^ sqrt(2) e) 0, 0016 ^ (root(3, 2)) c) 0, 0625 ^ sqrt(3) f) (1/32) ^ (1/4) d) 32 ^ (root(3, 6))
2.102. Oblicz: a) (5 ^ sqrt(2)) ^ sqrt(8) * 25 ^ 2 / (root(4, 625 ^ 5)) Big(64^ 1 6 *1024^ -0.3 +0,25^ pi Big)^ 0 .(27^ sqrt 2 3 )^ sqrt 2 c)
2.101. Oblicz: a) (6 ^ 0.5 + 2 ^ 0.5) ^ 2 2 c) (2 ^ (1, 5) – 6 ^ (0, 5)) ^ 2 b) (10 ^ 0.5 – 5 ^ 0.5) ^ 2 d) (7 ^ 1.5 + 14 ^ 0.5) ^ 2 Potega o wykładniku rzeczywistym
2.100. Oblicz: b) 10 ^ – 0.75 a) (5 ^ 0.5 – 3 ^ 0.5)(5 ^ 0.5 + 3 ^ 0.5) c) (2 ^ (2, 5) + 3 ^ (0, 5))(2 ^ (2, 5) – 3 ^ (0, 5)) 10 ^ (17/4) c) 104 d) 10 ^ (- 11/4) b) (7 ^ (1, 5) + 2 ^ (1, 5))(7 ^ (1, 5) – 2 ^ (1, 5)) d) (3 ^ (0, 25) + 3 ^ (0, 5))(3 ^ (0, 25) – 3 ^ (0, 5)) * (3 ^ (0, 5) + 3) 9 4 8 b)
2.99. 10 ^ (10/3) b) 10 3 10 ^ (- 2/3) c) 10 3 10 ^ (5/3) d) 10 3 Wiedząc, że przybliżenie liczby 10 ^ (0, 25) jest równe 1,778279, wyznacz przybliżenia liczb: 10 ^ (9/4) a) 104
2.98. Wiedząc, że przybliżenie liczby 10 ^ (1/3) jest równe 2,154435, wyznacz przybliżenia liczb: 10 ^ (4/3) a) 103
2.97. Wykonaj wskazane działania i zapisz wynik w postaci potęgi liczby 3: a) 9^ 0.5 * ( 1 3 )^ -0.75 : sqrt[6] 27 3 ^ 3 * 9 ^ 3 * 81 ^ 6 b) 6.270,25 + 31,75 6.9 3-3 1 3
2.96. Wykonaj wskazane działania i zapisz wynik w postaci potęgi liczby 5: a) 5^ 3 *125^ – 5 3 : sqrt[4] 625^ 2 * sqrt[3] 5 b) 15*5^ 2 -50\%0,2^ 1
2.95. Wykonaj wskazane działania i zapisz wynik w postaci potęgi liczby 2: a) 1 (4 ^ 3 * 16 ^ 4)/(64 ^ (3/4)) : 5/32 5 4.83 12/32? – 1 1 1 2 23.43 +(67.3 2)
2.94. Przedstaw liczbę w postaci jednej potęgi: a) 2 * 5 ^ (1, 5) + 3 * 5 ^ 1.5 도 c) 2*2^ overline 2 +6*2^ 2.5 e) 6 * 2 ^ 0.6 – 2 ^ 1.5 b) 4 * 3 ^ (0, 25) – 3 ^ (0, 25) d) 7 * 3 ^ – 0.5 + 2 * 3 ^ (- 1/2) 5 3^ 3 +6.3^ 2 2 f)
2.93. Oblicz: a) c) e) b) 2 ^ (1/2) * 8 ^ (1/2) + 12 ^ (1/2) * 3 ^ (1/2) 5 ^ (1/2) * 5 ^ (1/2) + 7 ^ (1/2) * 7 ^ (1/2) 108 ^ (1/3) * 2 ^ (1/3) + 5 ^ (1/3) * 25 ^ (1/3) 4sqrt(2 * root(3, 2)) c) root(4, root(3, 3) * sqrt(3sqrt(3))) b) d) f) 3 ^ (1/2) * 3 ^ (1/2) + 32 ^ (1/2) * 2 ^ (1/2) 72 ^ (1/2) * 2 ^ (1/2) + 11 ^ (1/2) * 11 ^ (1/2) 4 ^ (1/3) * 16 ^ (1/3) + 3 ^ (1/3) * 9 ^ (1/3) d) 36 * root(6, 6sqrt(6)) 81 ^ (3/4) b) 814 9 ^ (- 3/2) e) 9 2 e) c) f) (1/64) ^ (- 2/3) (81/625) ^ – 0.75 b) 5 ^ – 3 * 125 ^ 3 * 6254 d) big 3^ 3 *2^ 3 3 *3^ -2 )^ 3 4
2.92. Zapisz liczbę w postaci jednej potęgi o wykładniku wymiernym: a) 5sqrt(5sqrt(5))
2.91. Oblicz: a) 2 * (0, 3) ^ – 1 + 4 * 8 ^ 3 – 12 * 27 ^ (- 1/3) b) 625 ^ 0.25 – 1, 5 * 100 ^ (3/2) + 0, 25 ^ (- 2, 5) c) 0, 008 ^ (- 1/3) – (0, 2) ^ – 2 * 8 + (12 1/4) ^ (1/2) * (- 4) c) d) e) f) 1/2 * 216 ^ (2/3) + (5, 27 ^ – 3) ^ 0 – 81 ^ 0.75 * (0, 5) ^ – 1 (0, 125 ^ (- 2/3) * 0, 25 ^ – 2) ^ (1/3) + (81 ^ 0.5 * 9 ^ – 2) ^ (- 1/4) Bigg[ ( 2 3 )^ – 4 3 Bigg]^ 2 3 -1.5: ( 3 2 )^ 1 9 Bigg]*121^ 5 8
2.90. Oblicz: a) 2 * 16 ^ (- 1, 5) * 32 ^ (1, 2) c) [ ( 16 49 )^ -3 2 * ( 7 4 )^ 5 * ( 4 7 )^ -3 5 Bigg]^ 1 4
2.89. Oblicz: 125 ^ (2/3) a) 1253 d) (8/27) ^ (- 4/3)
2.88. Oblicz: 32 ^ (1/5) a) 325 8 ^ (- 1/3) d) 8 64 ^ (1/3) b) 643 25 ^ (- 1/2) e25 2 81 ^ (1/2) c) 812 f) 243 ^ (- 1/5)
2.87. Oblicz wartość wyrażenia dla podanych obok wartości zmiennych: a) ((a ^ – 2)/(1 – a ^ – 2) + (b ^ – 2)/(1 – b ^ – 2)) ^ – 2 * d * l * a * a a = sqrt(2), b = sqrt(3) b) (1+a^ -1 )^ -2 +(1-a^ -1 )^ -2 d|a a=- 1 2 Potęga o wykładniku wymiernym
2.86. Wykonaj działania, wiedząc, że x ne0 : a) (x ^ – 3 – 2x ^ – 2 + 3x ^ – 1 + 1)(x ^ – 1 – 1) c) (3x ^ – 2 – 3x ^ – 1 – 2)(x ^ – 3 + 1) b) 3 – 2sqrt(2) oraz (3 + 2sqrt(2)) ^ – 1 d) 4 + sqrt(15) oraz (4 – sqrt(15)) ^ – 1 b) (- x ^ – 4 + 3x ^ – 2)(2x ^ – 3 + x ^ – 4) d) (x ^ – 1 – 2x ^ – 2)(2x ^ – 5 – 3x ^ – 2 + x)
2.85. Wykaż, że dane dwie liczby są równe: a) sqrt(6) + sqrt(5) oraz (sqrt(6) – sqrt(5)) ^ – 1 c) 2 – sqrt(3) oraz (2 + sqrt(3)) ^ – 3
2.84. Wykaż, że dane dwie liczby są równe: a) [(1 ^ – 1 + 1 ^ – 1) ^ – 1 + 1 ^ – 1] ^ 1 oraz [(2 ^ – 1 + 2 ^ – 1) ^ – 1 + 2 ^ – 1] ^ – 1 1) (***-•.cz Bigg[ ( 1 2 )^ -1 + ( 1 2 )^ -1 ]^ -1 + ( 1 2 )^ -1 \ ^ -1 b) [(4 ^ – 1 + 4 ^ 1) ^ – 1 + 4 ^ – 1] ^ – 1 c) [(6 ^ – 1 + 6 ^ 1) ^ – 1 + 6 ^ – 1] ^ – 1 oraz oraz Bigg\ ( 1 3 )^ -1 + ( 1 3 )^ -1 Bigg]^ -1 + ( 1 3 )^ -1 \ ^ -1 D
2.83. Zapisz wynik obliczeń w postaci a 10%, gdzie d in langle1,10)ik in Z : a) (2, 5 * 10 ^ 21)(4 * 10 ^ – 3) c) 2, 1 * 10 ^ 15 + 11, 9 * 10 ^ 15 e) (52 * 10 ^ – 2 – 78 * 10 ^ – 3) g) 1,3*10^ 14 ):(2,6*10^ 10 ) b) (1, 2 * 10 ^ – 25)(0, 5 * 10 ^ 27) 17, 9 * 10 ^ – 1 + 26.5 * 10 ^ – 2 2, 5 * 10 ^ – 3 – 35 * 10 ^ – 5 h) (2.4 * 10 ^ – 37) / (0, 06 * 10 ^ .32) d) f) D
2.82. Zapisz liczby w postaci a. 10 ^ k , gdzie a in(1,10)ik in Z a) 4100 e) 0,05 b) 1015000 f) 0,234 c) 274500000 g) 0,0000657 h) 0,00030405 c) +4,75
2.81. Oblicz: a) (2 ^ – 2 + 5 ^ 9)/((0, 5) ^ – 2 – 5 * (- 2) ^ – 2 + (2/3) ^ – 2) [( 1 2 )^ -1 -(0,25)^ -1 (0,375)^ 1 -(0,6)^ 1 b) d) (1 5/7) ^ – 2 * (7/12) ^ – 2 1 7 9 )^ -2 *(4,5)^ -2 f) (0, 2) ^ 2 / ((0, 5) ^ – 2) h) (3, 6) ^ – 3 / ((0, 9) ^ – 3) (0,6)^ 0 -(0,1)^ -1 (3;2^ 3 )^ 4 *(1,5)^ 3 -(- 1 3 )^ 1 binom 1 5 ^ 2 ^ 2 ((2 2 3 )^ 4 -(3^ -1 -2^ 4 )^ -2 ( 2 21 )^ -1 b) d
2.80. Oblicz, stosując prawa działań na potęgach: a) (0, 6) ^ – 8 * (1 2/3) ^ – 8 c) (3, 75) ^ – 3 * (1, 6) ^ – 3 e) (2, 4) ^ – 3 / ((0, 6) ^ – 3) g) (1 5/11) ^ – 2 / ((4/11) ^ – 2)
2.79. Oblicz, stosując prawa działań na potęgach: a) (3 ^ – 2) ^ – 3 / (3 ^ 8) c) (5 ^ – 1) ^ – 3 / (5 ^ 6) e) [ ( 4 3 )^ -2 ]* ( 4 3 )^ 6 g) [(4, 2) ^ – 1] ^ 8 * (4, 2) ^ – 6 b) (4 ^ – 5) ^ – 2 / (4 ^ 9) d) (2 ^ 2) ^ 4 / (2 ^ – 6) f) 2 h) [(3, 4) ^ – 5] ^ – 4 * (3, 4) ^ – 21
2.78. Oblicz, stosując prawa działań na potęgach: a) 3 ^ – 2 * 3 ^ 4 c) 4 ^ – 4 * 4 ^ 2 e) g) (2/3) ^ – 8 * (2/3) ^ 6 (1 2/3) ^ 10 * (1 2/3) ^ – 8 5 ^ 2 * 5 ^ – 6 b) d) 2 ^ – 8 * 2 ^ 5 f) (4/7) ^ – 4 * (4/7) ^ 5 h) (2, 6) ^ – 4 * (2, 6) ^ 3
2.77. Oblicz, stosując prawa działań na potęgach: a) 3 ^ – 3 * (1/9) ^ – 3 5 ^ – 1 * (1/125) ^ – 1 c) 51. e) g) (2/3) ^ – 1 * (3/4) ^ 2 (2, 8) ^ – 4 * (5/14) ^ – 4 b) d) f) h) – 4 ^ – 4 (- 1/6) ^ – 2 (- 0, 4) ^ – 1 (4 1/5) ^ – 1 4 ^ 2 * (1/16) ^ – 2 6 ^ – 2 * (1/36) ^ – 2 (1 1/6) ^ – 3 * (3/7) ^ – 3 (5 1/3) ^ – 3 * (0, 75) ^ – 3
2.76. Oblicz: a) 5 ^ – 1 b) binomial(3,5) ^ 3 c) (0, 1) ^ – 4 d) (1 1/2) ^ – 2 – 2 ^ – 3 (2 ^ – 2)/3 (0,3) 3 (- 2 1/3) ^ 3 (- 3) ^ – 2 2/(7 ^ – 1) (- 0, 2) ^ – 2 (- 3 1/4) ^ – 2
2.75. Wiadomo, że: b) d) f) (sqrt(3) – 2)/(sqrt(3) + 2) – 12/(sqrt(3)) 1/(3 + sqrt(6)) + 1/(3 – sqrt(6)) (sqrt(6) – sqrt(3))/(sqrt(6) + sqrt(3)) – (sqrt(3) + sqrt(6))/(sqrt(3) – sqrt(6)) a) a ^ 2 + b ^ 2 = 25 oraz ab = 12 Oblicz (a – b) ^ 2 oraz |a + b| . b) a ^ 2 + b ^ 2 = 13c oraz (a + b) ^ 2 = 225 Oblicz ab oraz (a – b) ^ 2 . c) a ^ 2 – b ^ 2 = 36 oraz 7 – b = 2 . Oblicz a + b oraz aib. d) (a + b) ^ 2 = 225 , (a – b) ^ 2 = 121 oraz a > b . Oblicz ab oraz a ^ 2 – b ^ 2 . Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
2.74. Wykaż, że podane liczby są liczbami całkowitymi: a) c) e) 1/(sqrt(2) – 1) – sqrt(2) (2sqrt(6) – 1)/(sqrt(6) + 3) – sqrt(32 2/3) (sqrt(7) + sqrt(5))/(sqrt(7) – sqrt(5)) + (sqrt(7) – sqrt(5))/(sqrt(7) + sqrt(5))
2.73. Przedstaw odwrotność danej liczby w postaci a + b * sqrt(c) , gdzie a, b, c są liczba mi wymiernymi i mathcal C >=0 . a) 3 – 2sqrt(2) e) 9 – sqrt(6) b) sqrt(3) – 4 f) 4sqrt(3) – 7 c) 5 + sqrt(5) g) 2sqrt(7) – 6 d) 2 + 3sqrt(2) h) 6sqrt(2) + 9 d) h)
2.72. Sprawdź, czy liczba b jest odwrotnością liczby a: a) a = sqrt(7) – sqrt(6) b = sqrt(7) + sqrt(6) d) a = 2sqrt(3) + sqrt(11) b = 2sqrt(3) – sqrt(11) b) a = sqrt(3) – 2 d) a = sqrt(5) – sqrt(6) b = – sqrt(5) – sqrt(6) b = sqrt(2) – sqrt(3) e) a = sqrt(6) – 2sqrt(2) b = sqrt(6) + 2sqrt(2) f) a = – sqrt(2) – sqrt(3)
2.71. Usuń niewymierność z mianownika ułamka: a) e) (21sqrt(5))/(sqrt(5) * 1) (sqrt(2) + 3)/(3 – sqrt(2)) b) f) (3 – sqrt(2))/(sqrt(2) + 2) (4 – 2sqrt(3))/(4 + 2sqrt(3)) c) (sqrt(3) + 4)/(2sqrt(3) + 2) (2sqrt(6) – sqrt(2))/(2sqrt(6) + sqrt(2)) d) h) 2/(sqrt(5) – 3) (2sqrt(6))/(sqrt(6)) (3sqrt(6) – 6)/(3 * 6 * sqrt(6)) (3sqrt(15) + sqrt(3))/(sqrt(3) – 3sqrt(15)) b = sqrt(3) + 2 g)
2.70. Usuń niewymierność z mianownika ułamka: a) e) 10/(sqrt(3) + 1) (sqrt(2))/(sqrt(2) – 2) b) f) 1/(sqrt(2) – 1) (2sqrt(5))/(7sqrt(5) + 1) c) g) 4/(sqrt(5) + 1) (3sqrt(3))/(sqrt(3) – 3)
2.69. Rozwiąż równania: x ^ 2 – 4x + 4 = 0 c) 49 + 14x + x ^ 2 = 0 a) e) 10x – x ^ 2 = 25 g) – 16x = 64x ^ 2 + 1 b) 16x – 9x ^ 3 b) 9x ^ 2 – (x – 2) ^ 2 d) (x – 7) ^ 2 – (4 – 3x) ^ 2 f) 4 * (x + 3) ^ 2 – 49 * (1 – x) ^ 2 c) x ^ 3 – 4x ^ 2 + 4x f) 8y * x ^ 2 – 8yx + 2y e) 36y + 12xy + x ^ 2 * y b) x ^ 2 – 9 = 0 d) 0, 25x ^ 2 – 1 = 0 f) 25x ^ 2 – 81 = 0 h) – 0, 36x ^ 2 + 0, 49 = 0
2.68. Rozłóż wyrażenia na czynniki: a) 2x ^ 3 – 2x d) x ^ 3 + 2x ^ 2 + x
2.67. Rozłóż wyrażenia na czynniki: a) 25a ^ 2 – (b – 2) ^ 2 c) (2x + 1) ^ 2 – (x + 5) e) 25 * (x – 1) ^ 2 – 9(2 + x) 2
2.66. Rozłóż wyrażenia na czynniki, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: a) d) x ^ 4 – 2x ^ 2 + 1 16 – 8x ^ 2 + x ^ 4 b) x ^ 4 + 6x ^ 2 + 5 e) 625 – 50x ^ 2 + x ^ 2 c) x ^ 4 – 18x ^ 2 + 81 f) x ^ 4 – 10x ^ 2 + 25
2.65. Rozłóż mnożenia: a) x ^ 4 – 25 d) 16x ^ 4 – 625 b) (2a + 3b) ^ 2 – c ^ 4 e) 4 – (2a – 3b) ^ 2 c) (m – 9n) ^ 2 – 9m ^ 2 f) 1 – (b ^ 2 + c ^ 2) 2 wyrażenia na czynniki, korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego b) 9 – x e) 256x ^ 4 – 81 c) 81x ^ 4 – 1 f) x ^ 4 – 2
2.64. Rozłóż wyrażenia na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia: a) (5p + 3q) ^ 2 – 25 d) a ^ 2 – (x + y) ^ 2
2.63. Rozłóż wyrażenia na czynniki, korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia: a) b ^ 2 – 36 d) m ^ 2 – 16n ^ 2 b) 49 – y ^ 2 e) g ^ 2 * b ^ 2 – 2 c) 4x ^ 2 – 25y ^ 2 f) 9 – x ^ 4 * y ^ 2
2.62. Rozłóż wyrażenia na czynniki, korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia: a) x ^ 2 + 2x + 1 v ^ 2 – 8y + 16 d) b) 9 – 6x + x ^ 2 e) 49 + 14y + y ^ 2 c) 4x ^ 2 + 4x + 1 f) – 2mn + m ^ 2 + n ^ 2
2.61. Rozwiąż nierówności: a) 2(x – 1) –(x+ 3)?< x(x - 2) + 1 c) 2(x - 5)2 - 3(x+2) <6-x? e) x(x - 1) + (2 - x)(2 + x) < - x + 3 g) (x + sqrt(2))(x - sqrt(2)) - (x + sqrt(2)) ^ 2 < 0 b) (x + 4) ^ 2 - (x + 1) ^ 2 >= 4(x – 1) d) (x – 2) ^ 2 – (x + 5)(x – 5) > – 4(x + 5) f) 4(x – 1) * (x + 1) – (2x – 1) ^ 2 > 3 h) (2 – x) ^ 2 – 5 >= (x – sqrt(3)) ^ 2
2.60. Rozwiąż równania: (x – 1) ^ 2 – (x + 4) ^ 2 = – 2x + 1 1 b) (x + 5) ^ 2 – (x – 3) ^ 2 = x + 1 a) c) (x + 1) ^ 2 + (x – 3)(x + 3) – 2 = 2(x – 1) d) (2 – x)(2 + x) + (x + 3) ^ 2 = x – 7 e) (x + 3) ^ 2 – (4 – x)(4 + x) = 2 * (x – 1) ^ 2 + 1 (x – 5) ^ 2 – (x – 3) ^ 2 = 4(x – 2) g) (x – sqrt(3))(x – sqrt(3)) – (x + sqrt(3))(x + sqrt(3)) – sqrt(12) = 0 f) h) (x + 2sqrt(5)) ^ 2 + (x – 2sqrt(5)) ^ 2 = 46
2.59. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla podanych obok wartości zmiennych: a) (4 + 3y)(4 – 3y) – (4 – y) ^ 2 b) (3x + 1)(3x + 1) + (1 + 5x)(1 – 5x) c) (a + 0, 2) ^ 2 – (a – 0, 2) ^ 2 y = 0, 5 x = 0, 1 a = 50 d) 16(0, 25 + 0, 5b) * (0, 25 – 0, 5b) – 4 * (2b – 1) ^ 2 – 16b b = – sqrt(2) e) (2a-b)^ 2 – ( 1 2 a-1 ) ( 1 2 a+1 )-(4a^ 2 +b^ 2 ); f) 3 * (1 – 3x) ^ 2 + (- 1)(3x – 5) * (5 + 3x) – 2 * (3x + 2) ^ 2 ; g) (sqrt(3) – sqrt(2b))(3 + 2b) * (sqrt(3) + sqrt(2b)) ; h) (sqrt(2) – sqrt(3x))(sqrt(2) + sqrt(3x)) * (2 + 3x) ; a = 0, 2 b = – 0.25 x = 1/6 b = sqrt(3) x = 2sqrt(2) b) (- 4x + 3y) ^ 2 e) (- x ^ 2 + 1)(- x ^ 2 – 1) c) (- 2a – 5b) ^ 2 f) big[6d+ big(-5b big) big]^ 2 h) (5 – sqrt(5) * x)(sqrt(5) * x – 5) ) (x ^ 3 + sqrt(2))(- sqrt(2) – x ^ 3)
2.58. Uprość wyrażenie: a) (1 – x)(1 + x) * (1 + x ^ 2) b) 5y ^ 2 – 3(y + 1) * (y – 1) c) 7(z ^ 2 – 2) – 4(z + 3) * (z – 3) d) 10(a ^ 2 – 15) – 12(a – 4) * (a + 4) e) 2 * (a – b) ^ 2 – 2 * (a + b) ^ 2 + 4(a + b) * (a – b) f) m+1)^ 2 -(2m-2)^ 2 +(2m+3)^ 2 -(4m-4)^ 2 g) 2(3 – x) * (1 + x) – (1 – 2x) ^ 2 + (- 2 – x) ^ 2 h) 9 ^ 2 – (1 – x)(2 + x) – 3 * (5 – x) ^ 2
2.57. Zapisz za pomocą sum algebraicznych wyrażenia: a) (x ^ 2 – 7) ^ 2 d) (- 3x + 7y)(3x + 7y) g) (- 3x + sqrt(3))(3x + sqrt(3))
2.56. Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, oblicz: a) (x-10)(x+10 ) c) (4x + 2y)(4x – 2y) e) (13x + 14y)(13x – 14y) b) (y + 11)(y – 11) d) (1 – sqrt(5) * x)(1 + sqrt(5) * x) f) (sqrt(3) * a – sqrt(6) * b)(sqrt(3) * a + sqrt(6) * b)
2.55. Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, oblicz: a) (5 – b) ^ 2 d) (7x – 1) ^ 2 b) (a – 4) ^ 2 e) (2sqrt(2) – 5x) ^ 2 c) (3a – 2b) ^ 2 f) (sqrt(2) * x – sqrt(8) * y) ^ 2
2.54. Korzystając z a) (x + 9) ^ 2 d) (4x + 5y) ^ 2 b) (sqrt(3) – 1)(sqrt(3) + 1) d) (3 + sqrt(7))(sqrt(7) – 3) f) (3sqrt(5) – 7)(3sqrt(5) + 7) (10sqrt(6) + 3)(10sqrt(6) – 3) h) odpowiedniego wzoru skróconego b) (8 + y) ^ 2 e) (sqrt(2) + b) ^ 2 mnożenia, oblicz: c) (2a + 3) ^ 2 f) (3a + sqrt(3)) ^ 2
2.53. Oblicz: b) (3-5) c) (sqrt(2) – 4) ^ 2 d) (sqrt(7) – 5) ^ 2 +) (2sqrt(2) – 3sqrt(3)) ^ 2 ) (3sqrt(5) – 4sqrt(6)) ^ 2 h) (2sqrt(10) – 5sqrt(2)) ^ 2 a) (2 – sqrt(5))(2 + sqrt(5)) c) (4 – sqrt(2))(sqrt(2) + 4) e) (3 – 2sqrt(2))(3 + 2sqrt(2)) g) (1 – 4sqrt(5))(1 + 4sqrt(5))
2.52. Oblicz: (1 – sqrt(3)) ^ 2 e) (sqrt(2) – sqrt(3)) ^ 2
2.51. Oblicz: a) (sqrt(2) + 2) ^ 2 d) 71 * 69 liczb a i b, h) 580 * 620 b) 34 ^ 2 – (10 + 3)(10 – 3) d) (30 – 6)(30 + 6) – 23 ^ 2 f) 202 ^ 2 – 203 ^ 2 h) 58 ^ 2 + 62 ^ 2 c) (2sqrt(5) + 1) ^ 2 b) (6 + sqrt(3)) ^ 2 d) (3 + 2sqrt(3)) ^ 2 e) (2sqrt(5) + 3sqrt(7)) ^ 2 (4sqrt(3) + 5sqrt(2)) ^ 2 g) (6sqrt(2) + 2sqrt(6)) ^ 2 h) (7sqrt(2) + 3sqrt(10)) ^ 2 2.52. Oblicz: (1 – sqrt(3)) ^ 2 e) (sqrt(2) – sqrt(3)) ^
2.50. Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: a) 29 ^ 2 + (40 – 1)(40 + 1) c) (20 – 7)(20 + 7) + 24 ^ 2 e) 101 ^ 2 – 99 ^ 2 g) 55 ^ 2 + 45 ^ 2
2.49 Podaj wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch następnie korzystając z tego wzoru, oblicz: a) 101 * 99 e) 198 * 20 b) 28 * 32 202 f) 504 * 496 c) 47 * 53 g) 1003 * 997
2.48. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, oblicz: a) 12 ^ 2 e) 32 ^ 2 2.49. b) 212 f) 982 c) 19 ^ 2 g) 101 ^ 2 d) 18 ^ 2 h)
2.47. Rozwiąż równania: a) (x – 3) * x + 7(x – 3) = 0 c) (x – 2) – x(x – 2) = 0 e) – (x – 1) * x = 9(x – 1) g) (x – 1)(x – 6) = – 2x * (x – 1) b) x ^ 2 + 4x = 0 e) 5x = – 20x ^ 2 b) 2(3x + 5) * x + 4(3x + 5) d) 3(x – 4) – (x – 4)(x – 1) f) 4x * (3x – 8) – 8(x + 5) * (3x – 8) h) 3(5x + 2) – 3(2x + 1) * (- 5x – 2) c) 5x – x ^ 2 = 0 f) – 2x ^ 2 = – 8x b) 2(x + 1) – x(x + 1) = 0 d) x(x + 5) = 3(x + 5) f) (x + 2)(x + 3) – 5(x + 3) = 0 h) (2x + 1)(x – 4) = 9(x – 4)
2.46. Rozwiąż równanie: a) (x – 5)(x + 3) = 0 d) 7x = x ^ 2
2.45. Wyłącz wspólny czynnik poza nawias: a) (4x + 3) * x – 5(8x + 6) c) (x – 6)(x + 1) + 2(x + 1) e) (1 – x)(x – 5) + (1 – x)(x + 3) g) (1 – 5x)(x + 2) + (5x – 1)(8 – 2x)
2.44. Wyłącz wspólny czynnik poza nawias: a) (3x + 7) * x – (7 + 3x) * x ^ 2 c) (a – b) * z + 5(b – a) e) (2x – 1) * y + (1 – 2x) – z(1 – 2x) g) 3(7x – 3) * x ^ 2 + 6x * (3 – 7x) b) y ^ 3 * (4y + 3) + (3 + 4y) * y d) 3x * (2a – 5b) – x ^ 2 * (5b – 2a) f) x ^ 2 * (4 – x) – x(x – 4) + (4 – x) h) (2y – 6) * y – 2(y – 3) * y ^ 2
2.43. Wyłącz wspólny czynnik poza nawias: a) (a + b) * x + (a + b) * y c) (2a + b) * y – 6(2a + b) e) x ^ 2 * (10a – 1) – x(10a – 1) g) 3(x – 4) * x – (x – 4) c) 2x + 7y f) – x + y – 1 c) – 10x ^ 2 + 5x f) 100a ^ 3 * b ^ 2 + 50a ^ 2 * b i) – 72x ^ 5 * a ^ 5 – 24a ^ 2 * x ^ 3 b) (5 – x) * a + (5 – x) * b d) (4z + 3) * x – (4z + 3) (7b – 5a)(x + y) + (x – y)(7b – 5a) h) (2y + 3) + 2(2y + 3) * y ^ 2 f)
2.42. Wyłącz wspólny czynnik poza nawias: a) 3x – 6 d) x ^ 2 * y – x * y ^ 2 g) 12x ^ 2 * y ^ 4 – 8x ^ 4 * y ^ 3 b) 12y + 20x e) 9a ^ 3 – 6a ^ 2 * b h) – 21b * a ^ 4 + 35a * b ^ 5
2.41. Wyłącz liczbę (- 1) poza nawias: a) – 3x ^ 2 – 5y d) – 1 – 4x b) – x + 2y ^ 2 e) y ^ 2 + 4y – 6
2.40. Rozwiąż nierówności: a) 5x * (x – 7) – 2(x ^ 2 + 1) <= (1 - 3x)(6 - x) b) 1 - (1 - x)(- x - 1) - 2x > 6 – x c) – 2(7x – 4) * (x – 7) <= 1 + 7(7 - 2x ^ 2) d) - 4(x + 2) * (1 + x) > 2(1 – 2x ^ 2) 2(1 – 3x) * (4 – x) + 3(x + 5) * (1 – 2x) + 50x <= 0 f) 4x * (6 - x) + (4x - 1)(x - 3) - 2, 5(6 - 4x) < 0 e) g) 1 - (x + 7)(3 + 2x) + 3(x - 5) * (4 + x) <= x ^ 2 h) 2x * (13 - 4x) - (3x - 1)(1 - 2x) + 0, 5(4x ^ 2 + 10) >= 13
2.39. Rozwiąż równania: a) x-3)(x+2)+(5-x)(x+1)=0 2x+1)(x-4)=2(1-x)(5-x) c) 4x – (x + 5)(x – 7) = x(1 – x) b) d) (x – 2)(4 + x) = (x + 3)(x – 1) e) 2 + (2x – 3)(x + 1) = 3x – 2(5 – x ^ 2) f) 4(x + 5) – 0, 5(x – 3) * (6 – 2x) = x ^ 2 + 1 1 – (2x – 1)(x + 3) + 5(x + 0, 8) = 0 g) h) (x – 2)(x – 5) + 1 3/4 = x – (32x – 56)/4
2.38. Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci: a) (x – y)(2x + 3y) + (x + 2y)(- x + 5y) b) (x + y + 1)(2x – y) + (- 1)(x – 1) * (2x + 3y) c) – (x + 5) * (2x + y – 3) + (4x – 2y)(x – y + 3) – 2(x ^ 2 + y ^ 2) d) (3x + y)(x – 5y) – x(x + 4y – 1) – 2x * (x – 9y) e) 3-(2+3x)(4x-9)+(5-x)2x f) 2x * (- x + 7) – 5(x + 3) * (6 – 4x) + (1 – 2x)(- 1 – x)
2.37. Wykonaj działania: a) (2x + y)(x – 3y) – x ^ 2 c) 4x – (4x + y)(1 – 2y) e) (3x + 2y + 1)(2x – y) b) -2(2a+1)(4-3a ) 8(3/2 – 7/4 * y) * (y + 7) d) 8 6) – 1/2 * (3 – 5a) * (4a + 2) h) (sqrt(3) – b)(2b + 1) b) – 2y ^ 2 + (- 2y + x)(x + 5y) d) (1 + y – 3x)(y + x) (4y – 3x)(4 + 3y + 5x) f)
2.36. Wykonaj mnożenie: a) 5(x – 4) * (2x + 3) – 3(1/3 + 5/6 * b) * (2b – 6) 2/3 * (x + 3/7) * (7x – 15) c) -3 e) g) sqrt(2) * (y – sqrt(2)) * (y + sqrt(8))
2.35. Wykonaj mnożenie: a) (x + 1)(y – 3) c) (3x – 5y)(7y + 2x) e) (a – 3)(2a – 7) g) (- y ^ 2 – 1)(9 – 4y ^ 2) b) (2 – x)(4y + 5) d) (8x – 1/2 * y)(6x + 2y) d) f) (b + 2)(4 – 5b) h) (5/2 * x – 6)(- 2x ^ 2 + 1)
2.34. Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci. Podaj konieczne założenia. Następnie oblicz ich wartość dla podanych wartości zmiennych: +2)*(-1) ; x = 1/3 8(3/4 * x – 1) + (- 15x ^ 2 + 5x) / (- 5x) – (- 3x + 2) a) 8. b) -4* ( 1 4 x- 5 9 )+(16x^ 2 -8x):(-4x)+(-1)*(2 *(2+) x); x = 1, 5 c) – 2(3 – a – a ^ 2) + 5(1 + a – 2a ^ 2) – (9a ^ 3 – 12a ^ 2 – 3a) / (- 3a) ; a = – 0, 2 d) (12a ^ 4 * b ^ 4 – 9a ^ 2 * b ^ 3) / (- 3a ^ 2 * b) – (2 + 3a ^ 2 * b) * b ^ 2 a = – 1 , b = – 2
2.33. Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci. Podaj konieczne założenia. a) x- big[5x-(2x-1) big] c) (2a ^ 2 – a + 3)(- 4a) + 16(a ^ 2 – 0, 5) e) (- 10x ^ 3 + 5x ^ 2 – 20x) / (5x) + 1 b) 9m ^ 2 – (- 1)[7m ^ 2 – 2m – (m ^ 2 – 3m)] d) (2x ^ 2 – 5xy + 4) * 2 * x * y – 7xy f) (- 4x ^ 2 + 12x ^ 3 * y ^ 2 – 16x ^ 4 * y ^ 3) / (- 4x ^ 2)
2.32. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych: a) iloczyn liczby a i kwadratu liczby b b) iloczyn sześcianu zmiennej x i ilorazu zmiennej przez y c) iloraz sumy liczb a i b przez różnicę liczb cid d) różnicę iloczynu liczba, bi sześcianu liczby c pierwiastek kwadratowy z sumy zmiennej x i połowy zmiennej y f) sumę iloczynu zmiennych x, y i pierwiastka stopnia trzeciego z sumy kwadratów zmiennych xiy e)
2.31. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych: a) sumę potrojonej zmiennej x i podwojonej zmiennej y b) podwojoną sumę liczby a i połowy liczby b c) różnicę liczby a i potrojonej sumy zmiennych xiy d) kwadrat różnicy zmiennych xiy e) sumę kwadratu liczby a i sześcianu liczby b f) sześcian różnicy kwadratów zmiennych xiy.
2.30. Porównaj liczby, nie używając kalkulatora: a) sqrt 2 -1,4 i 1,4- sqrt 2 c) 3 – root(3, – 5) * i * root(3, 5) + 3 e) sqrt(3) * i * root(4, 9) B) sqrt(10) * i * root(6, 1000) b) sqrt 3 -1 3 4 i1 3 4 – sqrt 3 d) – 1 – root(5, – 1) * i * root(5, – 2 ^ 5) f) 2 * root(3, 2) * i * root(6, 128) h) 2- sqrt[5] -7 2- sqrt[10] (-7)^ 2
2.29. Oblicz wartość wyrażenia: a) sqrt(9 * 16 + 9 * 4 + 9 * 5) c) root(3, 27 * 2 + 27 * 9 + 27 * 16) e) sqrt(33 ^ 2 + 44 ^ 2) g) sqrt(12 ^ 2 * 5 ^ 2 – 12 ^ 2 * 4 ^ 2) b) (sqrt(5) – 2) * sqrt(5) + 2sqrt(5) d) f) h) (3sqrt(2) – 4sqrt(6))/(sqrt(2)) (3sqrt(6) – 3sqrt(2))/(sqrt(3) – 1) (4sqrt(15) – 2sqrt(3))/(2sqrt(3)) + 1 b) root(3, 375) – root(3, – 192) – root(3, – 81) d) root(4, 3) + root(4, 48) – root(4, 243) -2 sqrt[4] 2 + sqrt[4] -(-2 sqrt 8 * sqrt 50 * sqrt[3] 250 f) 516-24 ) h) sqrt[3] 10 sqrt 8 * sqrt 50 * sqrt[3] 250*2^ 2 + sqrt[3] -2 b) sqrt(25 * 9 + 14 * 25 + 2 * 25) d) root(3, 15 * 64 + 64 * 3 + 9 * 64) f) sqrt(15 ^ 2 * 3 ^ 2 + 4 ^ 2) * 15 ^ 2 h) root(4, 11 ^ 2) * 9 ^ 2 + 11 ^ 2 * 6 ^ 2 + 2 ^ 2 * 121
2.28. Oblicz wartość wyrażenia: a) root(3, 2000) + root(3, – 432) + root(3, 2) c) root(4, 2) – root(4, 32) + root(4, 162) e) 2 * root(3, – 125) + 2 * root(3, 54) – root(3, – 250) g) sqrt 6 sqrt 162*32 * sqrt[3] 54 – sqrt[6] 128
2.27. Wykonaj działania. Jaka liczbą: wymierną czy niewymierną jest wynik obli czeń? a) sqrt(2) * sqrt(6) – 2sqrt(3) c) (2sqrt(2) – 3) – (3 + 2sqrt(2)) e) 5(- 2sqrt(3)) + 6sqrt(3) / 2 + 4sqrt(3) B) (2sqrt(10) – 2sqrt(2))/(2sqrt(2)) – sqrt(5)
2.26. Skróć ułamki: a) e) (2 + 4sqrt(5))/2 – (5 – 2sqrt(50))/5 b) (6 – 3sqrt(2))/3 (sqrt(12) – 2sqrt(27))/(sqrt(3)) c) (- 4 + 3sqrt(28))/8 (sqrt(8) – 4)/(sqrt(2) – 2) d) h) – (2 + sqrt(8))/2 (5 + sqrt(6))/(sqrt(24) + 10)
2.25. Oblicz wartość a) sqrt(32) + sqrt(72) – sqrt(50) wyrażenia: c) sqrt(80) – sqrt(125) + sqrt(500) sqrt(242) – sqrt(300) + sqrt(338) – sqrt(48) g) sqrt(12) + sqrt(75) + sqrt(24) + sqrt(96) e) d) root(5, 0, 32) / (root(5, 1000)) b) sqrt(12) + sqrt(243) – sqrt(108) d) sqrt(28) – sqrt(175) + sqrt(252) sqrt(800) + sqrt(80) – sqrt(200) + sqrt(500) f) h) sqrt(392) – sqrt(150) + sqrt(578) – sqrt(486)
2.24. Włącz czynnik pod znak pierwiastka: a) 2sqrt(5) 3sqrt(6) 5sqrt(11) 2sqrt(17) 4sqrt(10) b) 3 * root(3, 2) 2 * root(3, 3) 5 * root(3, 5) 4 * root(3, 7) 10 * root(3, 6) c) 5 * root(4, 3) 4 * root(4, 4) 2 * root(5, 6) 3 * root(5, 8) 2 * root(7, 5)
2.23. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: a) sqrt(18) sqrt(8) sqrt(75) sqrt(63) sqrt(162) root(3, 81) root(3, 500) root(3, 192) root(3, 135) b) root(3, 16) c) root(4, 64) root(4, 243) root(5, 320) root(5, 2048) root(6, 576)
2.22. Oblicz: a) sqrt(2) * sqrt(8) b) root(3, 4) / (root(3, 13, 5)) c) sqrt(18 7/9) c) root(5, – 0, 00032) g) root(6, 0, 04 ^ 3) d) sqrt(7 9/16) d) root(5, 0, 000729) h) root(3, – 0, 5 ^ 6) b) 4 * root(3, 0, 125) + 2sqrt(9 * 16) – 5 * root(4, 625) d) 10 * root(3, 0, 0000128) + 6 * root(5, – 0, 00243) – 6 f) sqrt(2 * 3) * sqrt((- 6)(- 4)) + 2 + 2 * root(3, – 45 * 75) 4 * root(4, 3 ^ 8) / (root(3, – 2 ^ 3)) / (sqrt((- 0, 08) / (- 2))) * root(3, – 0, 1 ^ 6) h) c) root(4, 162) * root(4, 0, 5)
2.21. Oblicz: b) sqrt(1 19/81) b) root(3, – 0, 216) f) root(4, (- 0, 81) ^ 2) a) 2sqrt(36) – 4 * root(5, 32) + 2sqrt(3 * 27) c) 2 * root(3, – 64) – 7 * root(6, 64) – 5 * root(5, – 32) e) 6sqrt(2 * 5 * 8 * 5) – root(3, – 32 * 9 * (- 6)) – 3 i * sqrt(150) / (sqrt(6)) + root(5, 64 / (- 2)) * root(3, 2 ^ 7 / 16) g)
2.20. Oblicz: a) root(3, 0, 001) e) sqrt(0, 16)
2.19. Oblicz: a) sqrt(5 4/9)
2.18. Stosując odpowiednie prawo działań na pierwiastkach, oblicz: a) sqrt(1/4) sqrt(4/25) * sqrt(16/81) sqrt(49/100) b) root(3, 64 / (- 125)) root(3, (- 8) / 27) root(3, 1/729) root(3, 343/8000) ) root(4, 81/16) * root(5, 32/3125) * root(5, – 243/100000) c) root(4, (- 1) / (- 16))
2.17. Oblicz, stosując odpowiednie prawo działań na pierwiastkach: a) sqrt(196 * 25) sqrt 36 121 sqrt(1, 69 * 9) sqrt(1, 44 * 0, 49) b) root(3, 8 * 125) root(3, – 64 * 216) * root(3, 0, 001(- 343)) root(3, – 0, 027(- 512)) c) root(4, 16 * 625) root(4, – 81(- 10000)) root(5, – 32 * 243) root(6, 64 * 729)
2.16. Oblicz: a) sqrt(13 ^ 2) matrix sqrt 121 & sqrt 1,69 \\ sqrt[3] 256 & sqrt[5] 729 \\ sqrt[3] -216 & sqrt[3] 100 \\ matrix root(5, 100000) b) sqrt((- 5) ^ 4) root(3, (- 8) ^ 3) root(3, (- 7) ^ 6)
2.15. Oblicz: a) sqrt(49) sqrt(81) b) root(4, 81) root(4, 625) c) root(3, 125) root(3, – 1)
2.14. Wykonaj dane działania. Następnie oblicz wartość wyrażenia dla x = 3 a) (4x ^ 4) ^ 5 / ((2x ^ 2) ^ 7) / ((2x ^ 3) ^ 3) b) big(3x^ 2 )^ 7 :(9x^ 2 )^ 4 ]^ 3 :(9x^ 2 )^ 2 Pierwiastek arytmetyczny. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej
2.13. Rozwiąż równania: a) 2 ^ 17 * x – 16 ^ 4 * 3 = 5(4 ^ 8 * x – 3 * 2 ^ 17) ) c) 3 ^ 13 * x – 4 * 9 ^ 6 = 27 ^ 4 * (2x – 5) e) x/(2 ^ 5) + (1/4) ^ 2 = (- 1/8) ^ 2 * x + 1/(2 ^ 3) b) 27 ^ 3 * 2 * x – 3 ^ 1 = 3 ^ 10 * x + 2 * 3 d) (4 ^ 5 * x + 32 ^ 2) * 2 ^ 5 = 2 ^ 16 . f) x/(4 ^ 4) – 1/((- 2) ^ 6) = – (- 1/16) ^ 2
2.12. Przedstaw poniższe wyrażenia w postaci potęgi o podstawie a (a ne0) : a) ((a ^ 3 * a ^ 4) ^ 3 * (a ^ 2) ^ 5)/((a ^ 3 * a ^ 2) ^ 3) b) ((a ^ 8 / (a ^ 5)) ^ 1 / (a ^ 4))/((a ^ 9) ^ 2 / (a ^ 21)) c) ((a ^ 3 * a ^ 3) ^ 2)/(a ^ 5 / ([(a ^ 3) ^ 3 * a ^ 5] ^ 2))
2.11. Wykaż, że liczba: c) 37000 g) 3 ^ 5 * 100 ^ 4 d) 423100 h) 5 ^ 6 * 4 ^ 4 * (10 ^ 3) ^ 2 [ ( 0,75 0,25 )^ 2 – (0,5)^ 3 (-0,125)^ 2 ]^ 2 b) d) (- 0, 027) ^ 5 * (- 3, 5) ^ 2 – 12 1/4 * (- 0, 027) ^ 5 b) d) f) a) 5 ^ 13 + 5 ^ 14 + 5 ^ 15 jest podzielna przez 31; ((9 * 5 ^ 12 – 5 ^ 13) * 8 ^ 3)/(2 ^ 9 * 625 ^ 3) ((5 ^ 20 + 5 ^ 14) * (3 ^ 1) ^ 4)/((5 ^ 16 + 5 ^ 14) * 9 ^ 5) (8 * 3 ^ 4 * 3 ^ 11 – 9 * 3 ^ 12)/(46(3 ^ 18 / (3 ^ 4))) b) 3 ^ 25 + 3 ^ 26 + 3 ^ 27 + 3 ^ 28 jest podzielna przez 40; c) 4 ^ 2018 + 4 ^ 2019 + 4 ^ 2020 jest wielokrotnością liczby 14; d) 6 ^ 20 + 3 * 6 ^ 19 – 4 * 6 ^ 18 jest wielokrotnością liczby 100.
2.10. Oblicz: a) c) e) ((1024 – 2 ^ 7) * 343)/(2 ^ 7 * 7 ^ 5) (1080 * 6 ^ 4 + 6 ^ 7)/((6 ^ 3) ^ 2) (7 ^ 12 * 3 + 4 * 7 ^ 12)/((7 ^ 12 / (7 ^ 8)) ^ 3) D
2.9. Oblicz: a) c) 10000 f) 2 ^ 7 * 5 ^ 6 (3 ^ 2 + (- 2) ^ 3)/((- 4) ^ 2) / (1/16) (1 5/9) ^ 2 * (- 0, 375) ^ 3 * (3 ^ 2)/14 * (- 5 1/3) ^ 3
2.8. Jowiszem wynosi 778 milionów kilometrów, czyli b) 0,0121*10^ prime prime =12100000 d) 0, 00005 * 10 ^ n = 5000 Zapisz daną liczbę w postaci a*10^ prime , gdzie a in langle1,10)in in mathbb N : b) a) 150 e) 10,04
2.7. Wyznacz n, jeśli: a) 2.7 * 10 ^ n = 2700000 c) 5, 004 * 10 ^ n = 50040
2.6. Wpisz w kratkę odpowiedni wykładnik potęgi: a) c) f) (- 2/5) ^ 3 * i – (2/5) ^ 3 – 1/(2 ^ 0) * i * (- 1) ^ 25 (2/5) ^ 5 * (6 1/4) ^ 3 (- 2, 8) ^ 6 * (25/49) ^ 3 (0, 7) ^ 2 * (21/100) ^ 4 9 (- 0, 25) ^ 10 / (- 10/(4 ^ 10)) c) f) c) (32 ^ 3) ^ 5 / (64 ^ 4) f) [(0, 4) ^ 5 / ((0, 8) ^ 5)] ^ 6 * 16 ^ 9 c) (3 ^ 5 * 9) ^ 2 * 81 (18 ^ 2 * 81 ^ 3) ^ 2 / ((4 * 3 ^ 15) ^ 2) f) Średnica Słońca wynosi 1 390 000 km, czyli 1,39*10^ Box km . b) Ziemia jest oddalona od Słońca o 150 milionów kilometrów, czyli o 1,5*10-km c) f) (- 3 1/5) ^ 3 / ((1 3/5) ^ 3) c) Neptun jest oddalony od Słońca o około 4,5 miliarda kilometrów, czyli 0,45-10^ Box km . d) Odległość między Słońcem a 77,8*10^ Box km .
2.5. Przedstaw liczbę w postaci potęgi 243 ^ 2 / (9 ^ 3) a) 81 * 27 d) (33 ^ 3 / (11 ^ 3)) ^ 2 / (27 ^ 2) b) o podstawie 3: e) (9 ^ 3 * 243) ^ 5 / (729 ^ 6)
2.4. Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 2: a) 4 ^ 5 * 8 ^ 2 / (2 ^ 9) d) 16 ^ 11 / ((4 * 2 ^ 4) ^ 3) b) (2 ^ 19 * 2 ^ 13) ^ 3 * 128 e) (14 ^ 3 / (7 ^ 3)) ^ 5 * 4
2.3. Oblicz, stosując prawa działań na potęgach: a) d) (1 1/2) ^ 8 / ((- 1, 5) ^ 6) b) ( 0,4)^ t1 : (- 2 5 )^ 8 (2 1/7) ^ 2 / ((45/49) ^ 2) b) e)
2.2. Oblicz, stosując prawa działań na potęgach: a) d) – 4 ^ 2 * (- 4) ^ 3 (- 1 1/5) ^ 3 * (- 1 2/3) ^ 7 b) (0, 2) ^ 3 * (0, 2) ^ 3 e) (1,8)^ 4 * 1 4 – 1 6 )^ 4
2.1. Porównaj liczby: a) (1/2) ^ 3 * i * 1/(2 ^ 3) d) – 6 ^ 4 * i * (- 6) ^ 4 b) e) (3 ^ 2)/4 * i * (3/4) ^ 2 – 1/(7 ^ 3) * i – (- 1/7) ^ 3
40. Oszacuj liczbę sqrt(3) * z dokładnością do 0,1. Następnie wykaż (bez użycia kalkula tora), że liczba (5sqrt(3) – 6, 5)/2 (1, 1 1/4) należy do przedziału 1,1
39. Przybliżenie pewnej liczby z niedomiarem jest równe 14, a błąd procentowy tego przybliżenia wynosi 12,5%. Wyznacz tę liczbę.
38. Zapisz liczby a calnych = 1 2+ 1 1+ a) Porównaj liczby aib. b) c) 1 3 Podaj przybliżenie dziesiętne każdej z liczb a, b z dokładnością do drugiego miej sca po przecinku. Oblicz błąd bezwzględny każdego z powyższych przybliżeń (podaj ten błąd w postaci ułamka zwykłego) dla każdej z liczb a ib.
37. W wyborach do samorządu szkolnego, które odbyły się w czerwcu 2012 r., startowały obu grup w dwie grupy uczniów: „Pracowici” oraz , Grupa z fantazją”. Poparcie dla roku szkolnym 2011/2012 na podstawie dwóch przeprowadzonych son przedstawia wykres poniżej. daży 50% 40% badanie z listopada 2011 r. badanie z 34% marca 2012 r. 35\% 30% 28% 20% 20% 10% 0% Grupa z fantazja” „Pracowici” i w punktach procentowych zmianę poparcia dla obu grup oraz b = 0, 3(6) w postaci ułamków zwykłych nieskra Wyraź w procentach startujących w wyborach.
36. Pan Goździk założył roczną lokatę o stałym oprocentowaniu w wysokości 25 000 i zł. Po roku bank dopisał odsetki pomniejszone o 20% podatku dochodowego wówczas pan Goździk miał oprocentowanie tej lokaty na lokacie 26 400 zł. Oblicz: a) b) kwotę podatku dochodowego.
35. Czapka i szalik kosztują tyle samo. Jeśli czapka stanieje o 4%, a szalik zdrożeje o 12\% , to o ile procent więcej niż obecnie trzeba będzie zapłacić za dwie czapki i jeden szalik?
34. Wyznacz liczbe, której 16% jest liczbą o 9 mniejszą od
33. Rozwiąż nierówność i podaj największą liczbę całkowita parzystą, która spełnia tę nierówność. 2x + 3(1 – 2x) >= (8x + 10)/4
32. Rozwiąż nierówność i podaj najmniejszą liczbę całkowitą, która nie spełnia tej nierówności. x – (3(x – 1))/6 > 3x + 5 1/2
31. Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych parzystych jest o 112 większy od kwadratu liczby mniejszej. Co to za liczby?
30. Dane jest równanie z niewiadomą x. Wyznacz liczbę m, dla której obok równania jest jego rozwiązaniem. a) 3x * (x – 4m) + x = 1, 5x * (2x + 6) ; 1/2 liczba podana b) (1-2x)(x+m)=(3+2m)2x ; 1/4
29. Rozwiąż równania: a) 2x ^ 2 = 8 d) 2(1 – 3x) = 5 – 6x g) (2x – 1)/(x + 1) = 7 b) x = 3k – 1 , k in N ; y = 3 d) x = 4k – 3 , k in N ; y = 4 b) (x + 1)(2x – 6) = 0 e) (9 – x) ^ 2 = 0 h) sqrt(x ^ 2 + 64) = 17 c) x ^ 2 = 5x f) i) (3x – 2) * 4 = (24x + 6)/2 – 11 3sqrt(x + 2) = 0
28. Oblicz, jaką otrzymamy resztę z dzielenia liczby x przez liczbę y, jeśli: a) x = 6k – 2 , k in N ; y = 6 c) x = 7k – 5 , k in N ; y = 7
27. Dane są dwie dzielenia przez a) 36 x > y c) 9.
26. Dzień 11 listopada 2018 roku, w stulecie odzyskania wypadł w niedzielę. Jakim dniem tygodnia był dzień 11 listopada 1918 roku? niepodległości przez Polskę, kolejne liczby całkowite x i y, gdzie . Liczba x w wyniku po 6 daje resztę 4. Wyznacz resztę z podzielenia liczby 3(x + y) przez: b) 12
25. Oblicz: a) |2 – sqrt(5)| – |sqrt(5) – 1| b) 4*|0,5 pi-1,57|-|2 pi-6,3|
24. Dane są przedziały liczbowe: A= langle-2,4 rangle,B= langle1,8) . Sprawdź, która z liczb: 0= 12+ sqrt 3 4 , b= 1 3 -(8 1 3 -5,4)]0,25 125*(-0,75)+94.1 ,c=0.12 c = 0, 124 * 8, 56 + 0, 124 * 1, 44 należy do części wspólnej tych przedziałów.
23. Dane są liczby: x = 0, 2(5) oraz y = 0, 4(12) . Znajdź rozwinięcie dziesiętne liczby x + y :
22. Podaj przykład liczby: a) wymiernej, która spełnia warunek: 4/13 < 2/13 - x < 5/13 b) niewymiernej y, która spełnia warunek: 2sqrt(2) < sqrt(2) + 4y < 3sqrt(2) .
21. Dany jest zbiór A = a) Wypisz liczby niewymierne należące do zbioru A. b) Ustaw liczby wymierne należące do zbioru A w kolejności od najmniejszej do największej.
20. Zaznacz na osi liczbowej przedziały: A= a) najmniejszą liczbę naturalną, która należy do 6). Następnie podaj: zbioru A cup B ; b) największą liczbę całkowitą, która należy do zbioru B – A ; c) przykład liczby niewymiernej, która należy do zbioru A – B ; przykład liczby wymiernej, która należy do zbioru AnBi której odwrotność też należy do zbioru A cap B d) B. A= \ – sqrt 2,25 ;-1 3 4 ;- pi 2 ;2 3 8 ;2,(37); sqrt 2 \
19. b) A cup C e) D cup A с) B – C f) C cap D Dane są przedziały: A=(- infty,4),B=(1,7) , które są podzbiorami przestrzeni R. Zapisz za pomocą przedziałów lub sumy przedziałów zbiory: a) A^ prime d) (A cap B)^ prime b) B^ prime e) B-A^ prime c) (A cup B)^ prime f) (A-B)^ prime A = (- 4, 3 1/2), B = (1/3, 6)
18. Dane są zbiory: A=\ x:x in R]x>=-2\ , B=\ x:x in R:x<8\ . C=\ x:x in R|-5 4 ). Zaznacz na osi liczbowej zbiory: a) A – B d) B cap D
17. Niech zbiór liczb całkowitych Z oznacza przestrzeń. Zbiory A i B są podzbiorami tej przestrzeni oraz Wyznacz zbiory: A=\ x:x in Nix<=5\ ), B=\ x:x in Z|x>-3\ . b) (A cup B)^ prime e) A^ prime cup B^ prime c) AB f) A^ prime cap B^ prime a) A cup B AB) d) (
16. Dane są zbiory A=\ x:x=a sqrt 2 , gdzie sigma in\ 1,2,3,4,5\ \ ), b in\ 0,2,4,6,8\ \ . Wyznacz zbiory A cup B,A cap B,A-B , B – A . B=\ x;x= b sqrt 2 przy resztę 3, to gdzie
15. Liczba 3 jest przybliżeniem z niedomiarem liczby 3,2. bliżenia jest równy: A. 1/16 B. 1/15 C. 0,2 D. 75% Błąd względny tego 6 1/5 D. 6 Zadania powtórzeniowe do rozdziału 1.
14. Kilogram śliwek jest droższy od kilograma jabłek o 50%. Zatem kilogram jabłek jest śliwek o: tańszy od kilograma A. 25% B. 33 1 3 \% C. 50%
13. Zbiorem A. (- infty, 3 2 ) rozwiązań nierówności B. (- infty,1) D. 7 przez 5 otrzymamy D. 6 B. spełnia tylko liczba 0 D. jest sprzeczne (1 – 4x)/2 + x > – 0, 5 jest przedział: C. (1,+ infty) D. (3/2, + x)
12. Równanie x ^ 2 = x : A. spełnia tylko liczba 1 C. spełniają dwie liczby: 011
11. Jeśli w wyniku podzielenia liczby dzieląc liczbę 4a przez 10 otrzymamy resztę: B. 3 C. 4 całkowitej a A. 2
10. Dane są przedziały A= langle0,7),B=(3,9) ic C = (5, 10) . Najmniejszą liczbą naturalną należąca do zbioru B-(A cap C) jest liczba: A. O B. 4 C.
9. Niech przedział (- infty,5) będzie przestrzenią. Dopełnieniem przedziału (- infty,1) w tej przestrzeni jest przedział: A. (1, 5) B. (1, 5) C. (1,+ infty) D. (5,+ infty) 1,9 3
8. Wskaż liczbę niewymierną, która należy do przedziału (- 1, 0) . A. 0 B. – 0, 5pi C. – 0, 5sqrt(5) D. 1 – sqrt(2)
7. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których prawdziwa jest nierówność x<=1,9) jest przedstawiony na osi liczbowej: A. C. B. D. -3 -2 -1 2 4 -1 + 3 1 2 4 X 1 1,9 3 4 -3-2 -1
6. Rozwinięcie dziesiętne nieskończone 0, (18) przedstawia liczbę: A. 18/101 B. 9/50 C. 2/11 D. niewymierna
5. Ile liczb naturalnych dwucyfrowych należy do zbioru A=\ x;x=2n in in N\ ? A. 90 B. 50 C. 49 D. 45
4. Zbiór X ma 6 elementów, zbiór Y ma 5 elementów, a do zbioru XU Y należy 8 elementów. Oznacza to, że liczba elementów zbioru X Y jest równa A. 3 B. 2 C. 1 D. 6
3. Niech A oznacza zbiór liczb ralnych podzielnych przez 2. Wówczas zbiór A cap B oznacza: A. zbiór liczb całkowitych podzielnych przez 6 B. zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 6 C. zbiór liczb naturalnych podzielnych D. zbiór liczb całkowitych podzielnych przez 2 lub przez 3 przez 2 lub przez 3.
2. Niech A=\ 3,5,7,9\ , B=\ 1,2,3,4,5\ . Wówczas A. A-B= emptyset B. A-B=\ 1,2,4\ ] C.A-B=\ 7,9\ ) D. A-B=\ 1,2,4,7,9\ całkowitych podzielnych przez 3; B- zbiór liczb natu
1. Niech A oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez 4, które są nie większe od 16. Wówczas: A. A=\ 4,8,12,16\ B. A=\ 0,4,8,12\ subset C,A=\ 0,4,8,12,16\ D. A=\ 4,8,12\
1.175. Nie używając kalkulatora sprawdź, czy: a) liczba * (8sqrt(3) – 5)/6 * n * a * l * e * z należy do przedziału należy do przedziału b) liczba * (5 – 5sqrt(3))/7 (1/2, 1 5/6) (- 4/7, – 1/2)
1.174. Porównaj liczby x i y (nie używając kalkulatora): x = (2sqrt(3) – 1)/6 * o * r * a * z * y = 1/2 a) x= x = (4 + sqrt(3))/8 y = 5/8 oraz c) x= y = (4 + 3sqrt(5))/9 x = (3sqrt(5) – 4)/10 * o * r * a * z * y = (2sqrt(5) + 1)/10 b) x = 1, 5 oraz d)
1.173. Wyraź szukane wielkości w centymetrach. Podaj przybliżenia dziesiętne z dokładnością do 0,1 cm: a) długości przekątnej kwadratu, którego bok ma długość 4 cm; trójkąta równobocznego, którego bok ma długość 1,5 cm; b) wysokości c) obwodu koła o promieniu 1,8 cm.
1.172. Podaj przybliżenie dziesiętne liczb z dokładnością do 0,001: a) 100sqrt(5) d) 15pi b) 1/6 * sqrt(2) e) 10sqrt(7) c) 3sqrt(3) f) 0.2sqrt(11) sqrt 2 =1,4142135… sqrt 3 = 1,7320508,… sqrt 5 = 2360679… V6 = 2,4494897… sqrt(7) = 2, 645751 aligned 7513…\\ 926… aligned pi = 3, 14159
1.171. Wyznacz liczbę x, jeśli: a) przybliżenie z nadmiarem liczby x jest równe 13,6; btąd względny tego przybli żenia wynosi 0,00369 b) przybliżenie z niedomiarem liczby x jest równe 24,1; błąd względny tego przybli żenia wynosi 0,001657 c) przybliżenie z nadmiarem liczby x jest równe 121, a błąd procentowy przybliżenia wynosi 0,5% tego d) przybliżenie z niedomiarem liczby x jest równe 6, a błąd procentowy tego przy bliżenia wynosi 4%.
1.170. Wyznacz liczbę x, jeśli: Rysy 2499 m 2495 m granica Polski z Ukraina 535 km 520 km Wielka Brytania 244, 1 250 Gujana 743 morska granica Polski 440 km 425 km a) przybliżenie z nadmiarem liczby x jest równe 13,8; błąd bezwzględny tego przy bliżenia wynosi 0,012 b) przybliżenie z nadmiarem liczby x jest równe 1, 05 ; błąd bezwzględny bliženia wynosi 0,003 tego przy c) przybliżenie z niedomiarem liczby x jest równe 8,4; błąd bezwzględny tego przy bliżenia wynosi 0,26 d) przybliżenie z niedomiarem liczby x jest równe 24, 102 błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,0014.
1.169. Ocen, w którym przybliżeniu popełniono mniejszy błąd: a) wysokość rzeczywista wysokość przybliżona b) długość rzeczywista długość przybliżona Mont Blanc 4807 m 4800 m
1.168. Jaki błąd bezwzględny i jaki błąd procentowy popełniono, podając przy bliżone powierzchnie wybranych państw europejskich? państwo rzeczywista powierzchnia przybliżenie powierzchni (w tys. km (w tys. km^ 2 ) Francja 551,5 550 Polska 312,685 310
1.167. Granice lądowe Wenezueli mają w przybliżeniu łączną długość 5000 km. Dokładne długości granic tego kraju z innymi państwami przedstawia poniższa ta- bela. Oblicz błąd bezwzględny i błąd procentowy przybliżonej długości granic lado wych Wenezueli. dane państwo długość Wenezueli z danym panstwem granicy lądowej (w km) Kolumbia 2050 Brazylia 2200
1.166. Pani Nowakowa oszacowała wartość prezentów z okazji Swiąt Bożego Narodzenia na kwotę 450 zł. Mężowi kupiła krawat za 562 corce – bluzkę za 125 zł, synowi – spodnie za 90 zł, zięciowi – koszulę za wnuczce – lalkę za 83 zł. Oblicz blad bezwzględny, błąd względny i błąd procentowy 21, zas 75 oszacowania wartości zakupów, dokonany przez panią Nowakową.
1.165. Oszacuj wyniki obliczeń, a następnie oblicz na kalkulatorze dokładne warto ści wyrażeń. Oblicz błąd bezwzględny swojego oszacowania. a) 2 * 13.6 + 44.32 + 671 c) 450/14, 9 + 18, 9 * 4 b) 4 * 256 + 19 * 39 4, 68 * 5, 13 + 99 * 201 d) jaka była inflacja 34 dla członków rodziny
1.164. a) 3520 b) 0,1495 Zaokrąglij dana liczbę do setek: b) 15247 c) 69, 3457 d) 0,0651 d) 300,9148 d) 137 c) 231591
1.163. Zaokrąglij daną liczbę do części setnych: a) 1,254
1.162. Zaokrąglij daną liczbę do jednego a) 0,234 b) 0, 4719 miejsca po przecinku: c) 0,51403
1.161. W pewnym kraju obliczono inflację w dwóch kolejnych latach i zauważono, że w drugim roku inflacja była niższa o 120 punktów bazowych w stosunku do roku poprzedniego. Oznaczało to obniżenie inflacji o w tych dwóch latach. 109 1 11 \% Oblicz, Przybliżenia, błąd bezwzględny i błąd względny, szacowanie
1.160. Pewien bank podwyższył oprocentowanie kredytu hipotecznego o 80 punk tów bazowych, co oznaczało podwyżkę o 12,5%. Oblicz wysokość oprocentowania kredytu hipotecznego po podwyżce.
1.159. Rada Polityki Pieniężnej na początku roku obniżyła depozytową stopę pro centową (która określa oprocentowanie jednodniowych depozytów składanych przez banki komercyjne w banku centralnym) z 2,75% do 2.5\% . Podaj obniżkę depo zytowej stopy procentowej: a) w punktach procentowych b) w punktach bazowych c) w procentach.
1.158. W banku obniżono oprocentowanie kredytu z 20% do 18,5%. a) O ile punktów procentowych zmniejszono oprocentowanie? b) O ile procent staniał kredyt w tym banku?
1.157. Bank zwiększył oprocentowanie kredytu z 20% do 21.5\% . a) O ile punktów procentowych zwiększono oprocentowanie kredytu? b) O ile procent zwiększono oprocentowanie kredytu?
1.156. Poparcie dla partii mathcal A ^ prime prime w marcu było równe 24%. W kwietniu poparcie dla tej partii wzrosło o 3 punkty procentowe. a) lle procent było równe poparcie dla partii „A” w kwietniu? b) O ile procent wzrosło poparcie dla partii „A” w kwietniu?
1.155. W pewnej szkole badano czytelnictwo w klasach pierwszych. Poniższa tabe la przedstawia, jaki procent wszystkich książek wypożyczonych przez klasy pierwsze ze szkolnej biblioteki w roku szkolnym 2018/2019 wypożyczyły klasy: la, Ib, i lc. la 23,4% ib 31,2% Ic 32,76% a) Wyraź w punktach procentowych i w punktach bazowych różnice w czytelni ctwie pomiędzy tymi klasami. b) O ile procent więcej wypożyczyła książek ze szkolnej biblioteki la? klasa lc od klasy c) O ile procent mniej wypożyczyła książek ze szkolnej biblioteki klasa la od klasy Ib?
1.154. Tabela poniżej przedstawia, ile procent uczniów pewnej szkoły brało udział w zajęciach SKS przed remontem i po remoncie sali gimnastycznej. zajęcia przed remontem sali po remoncie sali siatkówka koszykówka 5,5% 7,7% 6% 7,5% piłka ręczna 3,6% 5,4% piłka nożna 8% 9% O ile punktów procentowych i o ile punktów bazowych wzrosło zainteresowanie poszczególnymi zajęciami? O ile procent zwiększyła się grupa osób uczęszczająca na dane zajęcia sportowe?
1.153. Pani Julia Malinowska wzięła kredyt w wysokości 6000 zł z banku, w którym oprocentowanie roczne dla kredytów gotówkowych wynosi 24%, z miesięczną ka- pitalizacją odsetek. Kredyt zaczęła spłacać po dwóch miesiącach od daty pożyczki i spłaciła w ciągu kolejnych 6 miesięcy, w równych ratach kwoty kredytu, do których niespłaconą kwotę kredytu. Oblicz kwotę odsetek, jaką były doliczane odsetki za pani Julia zapłaciła bankowi oraz jaki procent pożyczonej kwoty stanowiły te odsetki. Punkty procentowe
1.152. Klient zawarł z bankiem umowę na udzielenie mu kredytu w wysokości 12000 zł na jeden rok, przy rocznym oprocentowaniu 16%. Kwota kredytu ma być spłacana w czterech równych kwartalnych ratach. Do rat mają być dopisane odsetki od kwoty, która pozostała do spłaty. a) Podaj kwoty wszystkich rat. b) Oblicz, jaki procent kwoty kredytu stanowi suma wszystkich odsetek. kwota odsetek 144 wysokość spłaty 1344
1.151. Kredytobiorca otrzymał w banku kredyt w wysokości 7200 zł, który chce spłacić w ciągu pół roku, w ratach miesięcznych. Tabela przedstawia sposób spłaty kredytu. Kwota odsetek liczona jest według wzoru: kwota tuienia * 0, 02 . kwota zadłużenia 7200 6000 4800 3600 2400 1200 a) Uzupełnij tabelkę. wysokość raty 1200 1200 1200 1200 1200 1200 b) Podaj kwotę odsetek, którą musiał oddać bankowi kredytobiorca. c) Oblicz, o ile procent więcej złotych kredytobiorca oddał bankowi niż pożyczył? d) Jakie było roczne oprocentowanie kredytu?
1.150. Pani Teresa Kowalska postanowiła ulokować na rok swoje oszczędności w jednym z dwóch różnych banków. W banku A oprocentowanie roczne wynosi 4%, a odsetki kapitalizowane są co kwartał. W banku B oprocentowanie roczne wyno si 5%, z roczną kapitalizacją odsetek. Który z banków powinna wybrać pani Teresa Kowalska chcąc uzyskać większe odsetki? Odpowiedź uzasadnij.
1.149. Po czterech latach oszczędzania na lokacie stan konta pani Wandy przy rocz nej kapitalizacji odsetek wzrósł z 40000 oprocentowania Oblicz wysokość rocznego zł do 50499,08 zł.
1.148. Lokata 26000 zł jest oprocentowana w wysokości 4% w stosunku rocznym. W banku obowiązuje kapitalizacja: roczna (bank po roku dopisuje do kapitalu należne odsetki) b) półroczna (bank po półroczu dopisuje do kapitału należne odsetki a) c) kwartalna (bank po upływie trzech miesięcy dopisuje do kapitału należne odsetki) Jaka będzie wartość lokaty po jednym roku? (Pomijamy podatek od dochodów ka pitałowych.)
1.147. Pewne towarzystwo ubezpieczeniowe udziela następujących zniżek w ubez pieczeniu OC za bezszkodowa jazdę samochodem: liczba lat bezszkodowej jazdy 1 2 3 4 5 6 i więcej oraz, między innymi, takich zwyżek: wysokość zniżki w % 10 20 30 40 50 60 1. za wiek właściciela poniżej 25 lat-30\% za okres posiadania przez właściciela prawa jazdy poniżej 3 lat – 25% za wiek samochodu powyżej 10 |at-59 4. za użytkowanie samochodu jako taksówki -40\% Jaki procent podstawowej stawki zapłacą za ubezpieczenie OC swoich samochodów następujące osoby (podano wszystkie potrzebne informacje): 2. 3. a) b) Jan Nowak, wiek 23 lata, prawo jazdy od 4 lat, 2 lata bezszkodowej jazdy, samo chód: 15-letni mercedes; Katarzyna Wtorek, wiek 28 lat, prawo jazdy od 5 lat, 3 lata bezszkodowej jazdy, samochód: 2-letni fiat; c) Grzegorz Bronowski, wiek 54 lata, prawo jazdy od 25 lat, 10 lat bezszkodowej jazdy, samochód – taksówka: 5-letni ford; d) Jan Skibicki, wiek 20 lat, prawo jazdy od 1 roku, ubezpiecza swój pierwszy samochód, 20-letni mercedes.
1.146. Pracodawca zawarł z pracownikiem umowę o dzieło na pewną kwotę. Ustalona kwota stanowi przychód pracownika, od którego odlicza się tzw. koszty uzyskania przychodu, które w tego rodzaju umowie stanowią 50% przychodu. Uzy skana różnica jest dochodem pracownika. Od uzyskanego dochodu pracodawca potrąca 20% podatku dochodowego i wypłaca pracownikowi kwotę w wysokości różnicy przychodu i potrąconego podatku. Oblicz, jaka wypłatę otrzyma pracownik, z którym pracodawca zawarł umowę o dzieło na kwotę 26 000 zł.
1.145. musi odprowadzić do urzędu skarbowego podatek dochodowy, który Pracodawca oblicza się w następujący sposób: – 20% kwoty brutto stanowią koszty uzyskania przychodu. Przychód pomniejszony o koszty uzyskania przychodu stanowi dochód studenta. umówił – Podatek dochodowy jest równy 18% kwoty dochodu, z zaokrągleniem do pełne- go złotego Kwota netto, wypłacona studentowi za jego pracę, to przychód pomniejszony o po datek dochodowy. Oblicz: a) jaka kwota została wypłacona studentowi, jeżeli w umowie wpisana była kwota 2150 zł b) jaka kwota brutto (w pełnych złotych) powinna być wpisana do tej umowy, jeżeli student się z pracodawcą na wynagrodzenie netto w wysokości 2000 zł?
1.144. Pani Janina Nowak inwestuje na giełdzie za pośrednictwem pewnego biura maklerskiego. Za każdą zrealizowana transakcję kupna lub sprzedaży biuro pobiera prowizję w wysokości 1,5% wartości transakcji. Nowak zainwestowała 20 000 zł, kupując 480 akcji spółki A po 12,5 zł za akcje, Pani a resztę przeznaczyła na kupno akcji spółki B po 20 zł za akcję. Osobno zapłaciła prowizje. Po pewnym czasie, gdy za akcje spólki A płacono po 16 zł 40 gr, a akcje spółki B wzrosły o 18% w stosunku do ceny kupna, pani Nowak złożyła w biurze maklerskim zlecenie sprzedaży wszystkich posiadanych akcji. Zanim jednak zlecenie zostało wy konane, akcje spółki B potaniały o 5% w stosunku do ostatnio notowanej ceny. Oblicz: a) lle akcji spółki B kupiła pani Nowak? b) Po jakiej cenie zostały sprzedane akcje spółki B? c) O ile procent wzrosła cena akcji spółki A? d) Jaką kwotę otrzymała pani Nowak po sprzedaży wszystkich swoich akcji? e) W jakiej wysokości zapłaciła prowizję? f) Jaki zysk (w złotówkach oraz procentowy) osiągnęła pani Nowak na tej transakcji? Podczas wakacji pewien student zawarł umowę zlecenie w firmie ustu gowej na wykonanie pracy. W umowie pracodawca wpisał kwotę brutto wynagro dzenia. Ustalona przez pracodawcę kwota brutto stanowi tzw. przychód studenta.
1.143. Tabela poniżej przedstawia inflację roczną w latach 1987-2018. Inflacja to wskaźnik średniego wzrostu cen towarów i usług. W tabeli powyżej przed stawiona jest inflacja roczna, czyli wskaźnik średniego wzrostu cen w danym roku, w stosunku do roku poprzedniego. Wykorzystując dane w tabeli, możemy obliczyć inflację na przestrzeni kilku lat. W tym celu zdefiniujmy roczny czynnik wzrostu cen (RCWC), który dla inflacji p% jest równy 1 + p/100 Żeby obliczyć łączną inflacje w la tach 1998, 1999, 2000 (z dokładnością do 0,1%), najpierw wyznaczamy RCWC dla tych lat. Otrzymujemy: 1,118; 1,073 ; 1,101. Następnie mnożymy te trzy wskaźniki: 1, 321 = 1 + (32, 1)/100 1,118*1,073*1,101 approx1,321.Z otrzymanego wyniku odczytujemy: Zatem łączna inflacja była równa 32,1% a) b) Postępując analogicznie, oblicz łączna inflację w latach 2008, 2009, 2010, 2011. Jeśli inflacja roczna przekracza 50%, to nazywamy ją hiperinflacją. Odczytaj beli, w jakich czterech kolejnych latach w Polsce była hiperinflacja i oblicz łączną inflację w tych latach. z ta c) Deflacja jest to stały spadek przeciętnego poziomu cen wpływający na wzrost siły nabywczej pieniądza. W warunkach deflacji po pewnym czasie można kupić za tę samą kwotę więcej towarów i usług. W których latach w Polsce odnotowa no deflację?
1.142. lle gramów złota próby 960 należy dołożyć do 55,7 g złota próby 583, aby otrzymać stop złota próby 750?
1.141. Działkowicz musi zrobić oprysk winorośli 0,2-procentowym roztworem dithane 500, ale kupił 10-procentowy koncentrat tego środka. Ile musi wziąć kon centratu, aby przygotować płyn o żądanym stężeniu, jeśli chce przygotować płyn na 3-krotne napełnienie opryskiwacza plecakowego o pojemności 5 litrów?
1.140 Pani Marta stosuje 3-procentową zalewę octową do marynaty z ogórków. Ile litrów octu 10% i ile litrów wody powinna zmieszać, aby otrzymać 2,5 litra takiej zalewy?
1.139. Jola i Bartek wyruszyli jednocześnie z tego samego domu do kroku Joli jest o 10% mniejsza od długości kroku Bartka, ale Jola robi w tym samym czasie o 20% kroków więcej niż Bartek. Kto pierwszy dotrze do szkoły? szkoły. Długość 3-procentową marynaty z ogórków. Ile litrów octu 10% i ile litrów wody powinna zmieszać, aby otrzymać 2,5 litra takiej zalewy?
1.138. Wczoraj na lekcji matematyki w klasie Ib obecnych uczniów było 8 razy tyle, co nieobecnych. Dzisiaj nie przyszło jeszcze dwóch i nieobecni niów obecnych. uczniów jest w klasie? stanowią 20% ucz
1.137. Cena biletu na mecz to się, że na mecz przychodziło o 50% widzów więcej, a dochód uzyskany ze sprzeda ży biletów na jeden mecz wzrósł o 25%. O ile złotych obniżono cene biletu? piłki nożnej wynosiła 150 zł. Gdy cenę obnizono okaza
1.136. Po dwukrotnej podwyżce ceny towaru, za każdym razem o ten sam procent, jego cena końcowa jest o 21% większa od pierwotnej. O ile procent dokonywano każdorazowo podwyżki ceny towaru?
1.135. Po dwukrotnej obniżce ceny towaru, za każdym razem o ten cent, jego cena końcowa stanowi 64% ceny pierwotnej. O ile procent dokonywana każdorazowo obniżki ceny towaru?
1.134. Cenę pewnego towaru podniesiono o 25%, a po pewnym czasie obniżono do początkowej wartości. O ile procent została obniżona cena towaru?
1.133. Cenę pewnego towaru najpierw podniesiono o 10%, a następnie obniżono 20%. O ile procent końcowa cena towaru była niższa od początkowej ceny?
1.132. Cenę pewnego towaru dwukrotnie podnoszono o 10%. O ile procent należałoby jednorazowo podnieść cenę towaru, aby uzyskać ten sam efekt?
1.131. Cenę piekarnika najpierw podniesiono o 5%, a potem obniżono o 30%. Ile początkowo kosztował piekarnik, jeśli obecnie, po obu zmianach cen, kosztuje 2087 zł 40 gr?
1.130. Cena pewnego towaru wraz z 7% podatkiem VAT wynosi 59 zł 92 ten sam towar, jeśli podatek VAT zostanie zwiększony do 23%? dzie kosztował
1.129. Za wykonanie pewnej usługi, do której dolicza się 23% podatku VAT, klient zapłacił 2528 zł 88 gr. lle zapłaciłby za tę samą usługę, gdyby podatek VAT wynosił 7%? gr. lle bę-
1.128. Za położenie 1 m kabla elektrycznego od słupa linii niskiego napięcia do bu dynku trzeba zapłacić 120 zł plus 7% podatku VAT. Oblicz, ile złotych zapłaci inwestor za położenie 28 m kabla.
1.127. Rzeka Jangcy ma 6300 km długości, a rzeka Tygrys – 1950 km. O ile procent rzeka Jangcy jest dłuższa od rzeki Tygrys? O ile procent rzeka Tygrys jest krótsza od rzeki Jangcy? Wynik podaj z dokładnością do części dziesiątych.
1.126. Powierzchnia jeziora Hańcza wynosi 3.1 km ^ 2 ?, a powierzchnia Wielkiego Stawu wynosi 0, 3 km ^ 2 O ile procent powierzchnia jeziora Hańcza jest większa od powierzchni Wielkiego Stawu? O ile procent mniejsza jest powierzchnia Wielkie go Stawu od powierzchni jeziora Hańcza? Wynik podaj z dokładnością do części setnych.
1.125. Ekipa Jurka utożyta 300 m światłowodu. W tym samym czasie ekipa Wojtka utożyła 270 m światłowodu. a) O ile procent światłowód ułożonego przez ekipe Wojtka? ułożony przez ekipę Jurka jest dłuższy od światłowodu b) O ile procent światłowód ułożony przez ekipę Wojtka jest krótszy od światło wodu ułożonego przez ekipe Jurka?
1.124 Liczba x stanowi 80% liczby y. Jakim procentem liczby x jest liczba y? Liczba x stanowi 33 1 3 \% liczby y. Jakim procentem liczby x jest liczba y? Liczba x stanowi 28 4 7 \% liczby y. Jakim procentem liczby x jest liczba y? d) Liczba x stanowi 66 2 3 \% liczby y. Jakim procentem liczby x jest liczba y?
1.123. Jakim procentem liczby x jest liczba y,
1.122 Wyznacz liczbę, której 40% jest równe 6. b) Wyznacz liczbę, której 2% jest równe 15. c) Wyznacz liczbę, której 1,8% jest równe 360 d) Wyznacz liczbę, której 320% jest równe 20.
1.121. Oblicz: a) 30% liczby 1,2 c) 1,4% liczby 1000 1.122. b)
1.120. Podaj przykład liczby: a) ujemnej, spełniającej nierównośc: x ^ 2 > 25 b) dodatniej, spelniającej nierównośc: 2/x > 2 c) ujemnej, spełniającej nierówność: – 3/x > 1 d) będącej rozwiązaniem nierówności: 1/(x + 2) > 1 e) będącej rozwiązaniem nierówności: – 2/(x + 1) > 3 f) będącej rozwiązaniem nierówności: – 3/(4 – x) > 2 Procenty
1.119. Wyznacz liczbę a, dla której zbiorem rozwiązań danej nierówności jest zbiór podany obok tej nierówności: a) 3x + a >= 2x + 1 ; langle-5,+ infty) c) – 4(x + a) < 12 ; (-2,+ infty) R g) ax + 2 >= x – 10 ; (-6,+ infty) e) 3(2x – a) <= 6(1 + x) ; b) - x + 4 >= 2x + a ; (- infty,-3) d) 2(x – a) > 3(x + a) ; (- infty,10) R h) 2(x – 5) < ax - 16 ; (-1,+ infty) f) 4x - 1 <= ax + 1 ;
1.118. Rozwiąż nierówności: a) (sqrt(3) – 3) * x > sqrt(3) c) (1+ sqrt 5 ) x<=1+ sqrt 5 e) (3 - pi) * x < - 1 g) - 2x + 4 >= 6 – x * sqrt(2)
1.117. Rozwiąż nierówność i zapisz zbiór rozwiązań za pomocą przedziału: a) c) – (2 + x)/3 + (3 – x)/6 < 1 3/4 * x - (4x + 1)/2 >= – x – 3/8 (x – (3 – 2x)/2)/5 > 2 x – (3(x + 2))/4 > 1 + x b) x- (5 – 4x)/3 + x >= – 2x + 1/4 d) f) ((x – 2, 0)/3 – 2x)/4 >= (x + 2)/5 6) (2 – sqrt(2)) * x > sqrt(2) d) (2 – sqrt(5)) * x >= sqrt(5) – 2 f) 3x – 3sqrt(3) * x <= 6 h) 6 + x * sqrt(7) < 3x + 2sqrt(7) e)
1.116. Rozwiąż nierówności: a) 2(x – 1) – 3(x – 2) < 6 c) e) g) 1 8 (5,6x 6x-4)<=0,3x+4,5 (x - 5)/7 < (3x + 2)/21 (4 - x)/5 - (x + 2)/3 >= (2 – 8x)/15 b) 5 >= 2x + 1 >= – 5 d) 3 > – x >= – 7 f) h) – x + 6 <= 2x <= 3x + 1 5x - 6 <= - 3x + 2 <= x - 2 b) - 3(2x + 4) + 5(x - 2) >= – x + 5 d) – 1 2/3 * (x + 6) >= 1/6 * (x + 3) + 0, 5 (x + 2)/3 – (x + 4)/4 > (x + 1)/12 (x – 5)/2 – (3 – x)/6 <= (x + 4)/3 f) h)
1.115. Rozwiąż nierówności podwójne: a) – 6 < x + 4 < 0 c) - 3 + 3x < 2x - 5 <= x e) - 1 <= - x + 3 < 8 g) 2 - x <= 2x + 1 < - x - 5
1.114. Rozwiąż nierówności: a) 4, 2(x + 5) + 1, 8 <= - 2, 4 c) 3(2 - 4x) + 2x >= 5(1 – 2x) II. 3, 5(x – 7) > 2, 5x – 14, 5 III. x + 8 < 18 II. (2x - 3)(- 0, 6) >= 1, 5 II. II. (x(6x – 5))/3 <= 2x ^ 2 + 3 1/3 (x + 1)/4 > 0, 25x – 3 – 3/5 * (x + 1) >= 6 III. (- 1)(x + 2) <= 0 III. x(x - 2) > x ^ 2 – 2x + 5 b) 2x – 5 > 2(x + 3) d) – 2(3x + 1) < 3(2 - x) na osi licz
1.113. Rozwiąż poniższe nierówności. Wskaż nierówności równoważne. a) I. 1/2 * x > 5 b) I. 3(x + 3) <= 2(x - 1) c) 1. x(x + 1) >= x ^ 2 – 2 d) l. x > x – 2
1.112. Czy c) x ^ 2 > 9ix > 3 e) x+3 2 >3* x i x+3> x + 3 > 6 * 2x g) x + 2 > 0 i x ^ 2 + 2x > 0 d) x ^ 2 <= 4ix <= 2 f) - 2(x + 5) >= 4 ix + 5 <= - 2 h) 0, 5x ^ 2 + 1 > 0 i – 3x ^ 2 <= 0
1.111. Rozwiąż nierówność i zaznacz zbiór rozwiązań tej nierówności bowej: a) 2x – 7 > – 1 c) 0.5x + 6 <= x e) g) (2x)/3 < - 2x + 1 (2(x + 6, 5))/3 >= 5x – 13 b) – 3x + 7 < - 2 d) x - 9 >= 3x f) x/4 – 1 <= x/2 h) - 4(x + 5) > 3x – 6 dane nierówności są równoważne? Odpowiedź uzasadnij. a) x ^ 2 + 3 > 0 1 – x ^ 2 < 0 b) x ^ 2 + 1 > 0 i x ^ 2 + 2 > – 3
1.110. Sprawdź, czy podane obok nierówności liczby należą do zbioru rozwiązań tej nierówności: a) x ^ 2 > 4 ; 5; 0; sqrt(3) zx^ 3 ; -1; 0; 1 2 c) x ^ 2 >= x ^ 3 e) 6 – x ^ 2 > x + 3 ; 0; -10 b) x^ 2 <=3x, - sqrt 5 ; 0; 2,5 d) x^ 2 <-4x;-10 ; - sqrt(3) ; O f) 4x(x+8)<=16(x+3); 2;-7
1.109. Iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych parzystych jest równy kwadrato wi większej z nich. Co to za liczby? 1 -1 z niewiadomą x jest
1.108. Iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych parzystych jest równy kwadrato wi mniejszej z nich. Co to za liczby?
1.107. Wyznacz cztery kolejne liczby naturalne a) parzyste, których suma wynosi 68 b) nieparzyste, których suma wynosi 112.
1.106. Wyznacz 1 trzy kolejne liczby calkowite: a) parzyste, których suma wynosi (- 162) b) nieparzyste, których suma wynosi (- 147) .
1.105. Dane jest równanie z niewiadoma x. Wyznacz wartość liczby a, dla której podana obok równania liczba jest jego rozwiązaniem. a) 2(x + 4) + a = 0, 5x + 9, 5 : 5 c) 2x x^ 2 +9 = 2x+0 27 ;= e) (x – a)(2x + 1) = (2x – a)(x + 1) ; -1 b) (3x – 4)(3x + a) = 9x ^ 2 + 1 ; 7 2x ^ 3 = (x ^ 2 + a)/4 d) 3 – 2x ^ 3 = f) (3x+1)(x+9)-3(x-1)(x-a)=4; 0,5 g) 3(2x + a) * (3x + 2) – 2 * (3x + 1) ^ 2 = 43 , 1 h) (ax – 5)/6 + (x + a)/4 = (5 – ax)/3 – (3a – 7x)/4 – x x; 1
1.104. Wyznacz liczbę a, dla której podana obok równania liczba. a) 2x + a = 5 ; 7 c) a^ 2 x-1 =x i ^ 2 e) (x+a)(x+2)=6; 4 sqrt -x =30+a;- B) -x = 30 + a; -25 b) 1 + sqrt(3) * x = x + 2 d) 2x + 3 + x * sqrt(3) = 4 f) sqrt(5) * (x – sqrt(5)) = 10 – x rozwiązaniem równania b) x ^ 2 – 7 = a + x -2 d) 2x+3 a =-x+9; 6 3x 1 f) (2x + 1) * a ^ 2 = 3x h) sqrt 7+x =- 1 3 a i -3
1.103. Rozwiąż równania: a) sqrt(2) * x – 5 = 0 c) 2 2 – sqrt(2) * x = x – 4 e) (x + 2sqrt(2)) * sqrt(2) = sqrt(3) * x – 1
1.102. Rozwiąż równania: a) c) e) g) (3x – 4)/2 = (4x – 5)/3 2/(x ^ 2) = 1/3 (3(x – 1))/5 – (x – 3)/2 = (x – 8)/10 (x(x – 1))/4 – (2x ^ 2 + 1)/2 = – 3/4 * x ^ 2 – 0, 25(x + 2) II. (3x – 1)/(x + 2) = 2/3 II. 3x * (x + 2) = 0 II. (x ^ 2 + 2x + 6)/(x ^ 2) = 1 b) d) f) (x ^ 2 – 16)/(x – 4) = 0 III. (x – 4) – (2x – 9) = 0 I. (x ^ 2 – 4)/(x – 2) = 0 (3x – 1)/(x ^ 2 + 1) = 3/x x/2 = 8/x 1/(x – 1) + 2 = 0 (3(x – 11))/4 = (3(x + 1))/5 – (2(2x – 5))/11 (x + (4 – x)/3)/5 = (x – (x – 5)/5)/3 h)
1.101. Rozwiąż poniższe równania. Czy równania określone w takiej samej dziedzi nie są równoważne? a) 1.(2x-4)-(x+5)=3x-1 II. (x+3)2x=2x^ 2 -24 III. 1, (x – 1)/(x + 2) = 0 1 * (x + 2)/3 = (x + 1)/2 b) I. c) I. d) 1. 3+x x =0
1.100. Rozwiąż równania nania. a) 2x – 3(x + 6) = 4x + 2 c) e) g) (3x – 1)/3 = (2x + 5)/2 (x + 3)/(x – 1) = 2/3 (x – 2)/(x + 4) – 5/6 = 0 z niewiadomą x. Pamiętaj o określeniu dziedziny rów b) d) (x – 5)/(x + 2) = 0 (2, 5x – 1)/4 – 5/8 * x = 0, 25 + x 1) 3/4 * (x + 4) = 0, 75x + 3 h) 2/(x + 3) + 1/x = 0 1
1.99. Sprawdź, czy podane a) 2x + 10 = 7x – 5 ; 3; 3 obok równania liczby 1; 1 2 b) – 3x + 5 = 4(2x – 0, 5) ; są rozwiązaniami tego równania:
1.98. Wykaż, że dane równanie nie jest tożsamościowe i nie jest sprzeczne. a) x ^ 3 = x b) | |=x c) (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 1 sqrt(x ^ 2 + 4) = x + 2 d) Rozwiązywanie równań metodą równań równoważnych
1.97. Wykaż, że dane równanie jest tożsamościowe. a) 2x * (x + 4) – x(x + 8) = x ^ 2 c) (3x – 6)/3 – (2x + 10)/2 + 7 = 0 c) A= emptyset f) A=\ – pi, pi\ b) – 4(x – 3) * x + 2x ^ 2 = 2(6x – x ^ 2) d) (2(x – 3))/5 + (4(1, 5 + 2x))/5 = 2x D
1.96. Podaj przykład równania, którego dziedzina jest zbiór R, a zbiorem rozwiązań jest dany zbiór A. a) A=\ 7\ d) A = R b) A=\ 0,-4\ e) A=\ 1,2,3\ D
1.95. Rozwiąż równanie. Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny równania. a) sqrt(x ^ 2 + 1) = 1 d) sqrt(x) * (x + 3) = 0 b) sqrt(x ^ 2 + 5) = 3 e) 4/(sqrt(x)) = 1 c) sqrt(x + 1) = 0 f) (x + 2)/(sqrt(- x)) = 0
1.94. Rozwiąż równanie. Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny równania. a) d) 12/x = 4 ((x – 1)(x + 5))/(x + 3) = 0 b) e) 16/(x ^ 2) = 1 (x – 7)/(x ^ 2 – 49) = 0 c) (x + 2)/(x – 2) = 0 (36 – x ^ 2)/(x(x – 6)) = 0
1.93. Wyznacz dziedzinę równania: a) d) x/(x ^ 2 + 1) = x – 1 x/((x + 4) ^ 2) = 3/(x ^ 2 – 9) b) e) (2x)/(x(x + 1)) = 0 (sqrt(x))/(x – 1) = 0 c) f) (3x – 6)/(25 – x ^ 2) = (x ^ 2)/x 1/(sqrt(x)) = 3/(4 – x ^ 2)
1.92. Wyznacz dziedzinę równania: a) d) (2x)/(x – 2) = 0 (6 – x)/(x + 4) = x + 5 b) e) (4x + 1)/3 = 1/(x ^ 2 – 1) (x + 5)/(x ^ 2 – 9) = 1 + x c) (x + 5)(x – 3) = 0 (x + 1)(x – 2) * x = 0 f) c) f) 4/(3x ^ 2) = 4 1/(3 – x ^ 2) = 2/x może być
1.91. Dziedziną równania jest zbiór R. Wyznacz zbiór rozwiązań tego równania. a) x(x – 4) = 0 d) 2x ^ 2 * (x ^ 2 – 64) = 0 b) (x + 11)(x – 9) = 0 e) (x ^ 2 – 7)(x ^ 2 + 81) = 0
1.90. Dziedzina równania jest zbiór R. Wyznacz zbiór rozwiązań tego równania. a) 2x = 3x d) x ^ 2 = – 9 g) (x + 1) ^ 2 = 0 b) 3(x + 2) = 0 e) (x + 5)(x + 5) = 0 h) x ^ 2 = 2 c) (x – 7) ^ 2 = 0 f) x ^ 2 + 1 = 0
1.89. Dziedziną równania jest zbiór R. Sprawdź, czy podane obok dane równanie: a) 2 – x ^ 2 = 3x + 4 – 2, – 1, 0 c) (x ^ 2 – 2)/(x ^ 2 + 2) = 0 – sqrt(2), 0, 1 b) d) liczby spełniają 27 + x ^ 3 = 3 – x – 3, 1, 3 sqrt((x ^ 4 + 1)/68) = 0, 25x – 2, 1, 2
1.88. Sprawdź, czy suma trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych równa: a) 132 b) 521 Przypomnienie i o równaniach c) 315 uzupełnienie wiadomości
1.87. Sprawdź, czy suma a) 325 b) przez 15 trzech kolejnych liczb b) 273 c) przez 10 całkowitych może być równa: c) 420
1.86. Dane są dwie kolejne liczby całkowite a i b, gdzie g < b . Liczba a w wyniku podzielenia przez 5 daje resztę 3. Wyznacz resztę z podzielenia liczby 3(a + b) : a) przez 30
1.85. Sprawdź, czy suma czterech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 5 jest podzielna: a) przez 5 b) przez 10 c) przez 20
1.84. Sprawdź, czy suma trzech kolejnych liczb parzystych a) przez 12 b) przez 6
1.83. Liczba k jest całkowita. Podaj resztę z dzielenia liczby x przez a) x = 6k + 4 , y = 6 d) x = 6k + 4 , y = 3 b) x = 10k – 3 , y = 10 e) x = 10k – 3 , y = 5 liczbę y, jeśli: c) x = 8k – 1 , y = 8 f) x = 8k – 1 , y = 4 jest podzielna: c) przez 3
1.82. Niech k oznacza dowolną liczbę całkowitą. Zapisz symbolicznie, używając k: a) liczbę całkowitą, będącą wielokrotnością liczby 8 b) liczbę całkowita, która w wyniku podzielenia przez 5 daje resztę 4 c) liczbę przeciwną do liczby 2k – 3 d) odwrotność liczby nieparzystej e) cztery kolejne liczby parzyste, z których największą jest liczba 2k trzy kolejne liczby nieparzyste, z których najmniejszą jest liczba 2k – 5 g) dwie kolejne liczby całkowite niepodzielne przez 3 f) h) trzy kolejne liczby całkowite niepodzielne przez 4.
1.81. Zapisz liczbę x w ogólnej postaci wiedząc, że: a) liczba x jest o 5 większa od liczby naturalnej p b) liczba naturalna x jest o 2 mniejsza od liczby naturalnej n c) liczba x jest 7 razy większa od liczby naturalnej a d) liczba x jest 3 razy mniejsza od liczby naturalnej m e) liczba x jest naturalną wielokrotnością liczby 4 liczba x jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest n f) g) reszta z dzielenia liczby naturalnej x przez 4 jest równa 3 h) reszta z dzielenia liczby naturalnej x przez 3 jest równa 2.
1.80. wypisz elementy a) A=\ x:x=3n+1* n in N] ) aligned x=3n+1 1\\ c=4k+2 i aligned c) C=\ x:x=4k+2 i k in Z i k<=1\ ) d) - 2079/138 b) B=\ x:x=5n+3 in in N\ d) D=\ x;x=6k+5 k in Z ik>-3\
1.79. W wyniku przez 19 otrzymujemy wynik -22 i resztę 18 (reszta jest dodatnia!), co opisuje działanie: – 400 = 19(- 22) + 18 . Wy konaj dane dzielenie z resztą. Następnie zapisz dzielna jako wynik odpowiedniego działania, według podanego wzoru. podzielenia z resztą liczby 400 b) – 146/54 C) – 1231/66 każdego z podanych niżej zbiorów. a) – 248/23
1.78. W wyniku podzielenia z resztą liczby 500 przez 13 otrzymujemy wynik 38 i resztę 6, co opisuje działanie: 500 = 13 * 38 + 6 . Wykonaj dane dzielenie z reszta. Następnie zapisz dzielna jako wynik odpowiedniego działania, według podanego wzoru. a) 248/23 b) 146/54 c) 1231 : 66 d) 2079 : 138
1.77. Ola ma w skarbonce kwotę 243 zł, którą chce wymienić na jak największą liczbę monet o nominale: a) 2 zł, b) 5zt. Ile monet danego nominału będzie miała Ola po tej wymianie? Zapisz kwotę Oli za pomocą działania, które uwzględnia liczbę monet danego nominału i pozostałą resztę.
1.76. Dwa autobusy wyruszają z tego samego miejsca postoju w dwóch różnych kierunkach i po przebyciu swojej trasy wracają na miejsce startu. Pierwszy autobus wraca po 3 godzinach i 15 minutach i wyrusza ponownie w drogę po 15 minutach po stoju. Drugi autobus wraca po 4 godzinach i 50 minutach i wyrusza po postoju. Oba autobusy wyruszyły z miejsca postoju o godzinie minutach godzinie najwcześniej autobusy wyruszą ponownie jednocześnie z miejsca postoju? 25 510. O której
1.75. Dwie krawcowe 20 minut, natomiast drugiej iej – 25minut . Obie zaczynają pracę o godzinie 700. a) O której godzinie obydwie krawcowe pierwszy raz skończą jednocześnie obszy wać obrusy? b) Ile razy skończą jednocześnie obszywać obrusy w ciągu ośmiogodzinnego dnia pracy?
1.74. w pewnej chwili planety Wenus i Merkury zajmują określone położenie względem Słońca. Po upływie ilu dni znajdą się w tym samym położeniu, jeśli Wenus wykonuje pełny obieg wokół Słońca w ciągu 225 dni, a Merkury – w ciągu 88 dni? obszywają brzegi obrusów. Pierwszej ta czynność zabiera
1.73. Bartek i Jurek postanowili zmierzyc odległość namiotu od przystani za po mocą swoich kroków (idąc tą samą trasa). Bartek stawia kroki o długości 48 cm , zaś Jurek – o długości 56 cm. W jakiej odległości od namiotu znajduje się przystań, jeśli ślady stóp chłopców pokryły się 15 razy (ostatni ślad na brzegu jeziora)? Wynik podaj w metrach
1.72. Zapisz liczbę naturalną x w ogólnej postaci, jeśli ta liczba jest podzielna przez: a) 5 b) 213 c) 316 d) 619 e) 814 f) 1519
1.71. Wyznacz NWD(a, b) oraz NWW * (a, b) , jeśli: a) g = 780 , b = 1326 c) g = 700 , b = 1650 e) a = 360 , b = 132 a = 220 , b = 165 d) a=396, b = 2970 a = 294 , b = 490 b) f)
1.70. Litera X oznacza w liczbie 479999×45 cyfre setek. Wpisz w miejsce X taka cyfrę, aby dana liczba była podzielna przez 15. Podaj wszystkie rozwiązania.
1.69. Litera X oznacza w liczbie 342725X4 cyfrę dziesiątek. Wpisz w miejsce X taka cyfre, aby dana liczba była podzielna przez 6. Podaj wszystkie rozwiązania.
1.68. Liczba 325 jest podzielna przez 13. Oceń, czy podane poniżej liczby są rów nież podzielne przez 13. Nie wykonuj obliczeń. a) 325 – 130 * 7 c) 11 * 325 – 13 * 19 b) 4 * 325 + 169 * 11 d) 3250 + 17 * 128 b) zn(-3, 3) e) (-50,3) cap Z d) R – (- 5, 0) h) R – (- 3, 4) c) Z cap(-6,-2) f) langle-1,+ infty) cap N
1.67. Które z podanych liczb: 2,3,4,5,6,8,95, dzielnikami liczby: a) 23141208 b) 7523487 c) 342100440 d) 27000000?
1.66. Wyznacz zbiór wszystkich naturalnych dzielników liczby: a) 27 b) 43 c) 48 d) 2310 d) 65
1.65. Rozłóż na czynniki pierwsze następujące liczby: a) 246 b) 125 c) 12870
1.64. Wypisz wszystkie liczby całkowite większe od (- 6) i jednocześnie mniejsze od 10. Ile jest wśród nich liczb: a) naturalnych c) złożonych e) nieparzystych g) które są kwadratami liczb całkowitych b) pierwszych d) parzystych podzielnych przez 3 f) h) które są sześcianami liczb całkowitych
1.63. Wyznacz część wspólną zbiorów: a) N cap(-1,4) d) (-4 1 3 ,0 ) sim z Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb catkowitych
1.62. Zapisz dany zbiór za pomocą przedziału lub sumy przedziałów: a) R – (3, + x) e) R-\ 4\ b) R-(- infty,7) f) R-\ -8,0, c) R – (- 1, 1) ) g) R-\ 1,2,3\
1.61. Zaznacz na osi liczbowej zbiór A, a następnie wyznacz zbiór A’, jeśli: a) A = (- 3, 3) c) A = (- 2, 4) e) A = (- 5, + x) b) A = (- 1, 2) d) A=(- infty,4) f) A=(-1,2) cup(4,5)
1.60. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B, a następnie wyznacz zbiory A cup B , A A cap B , A – B oraz B – A , jeśli: a) A=(-1,1 rangle cup langle3,6 rangle,B= langle0,2) b) A= langle-2,1),B=(-4,-1 rangle cup langle0,3) c) A= langle-3,0 rangle cup(5,7),B= langle-4,-2 rangle cup(3,6) d) A=(-1,1) cup(2,4) , B= langle-2,0) cup(3,5 rangle A – B oraz
1.59. Zaznacz na osi liczbowej zbiory Ai B, a następnie wyznacz zbiory: A cup B,A cap B , BB-A, jeśli: A – B a) A=(-1,4),B= langle2,5 rangle c) A=(- infty,6),B=(4,7) b) A = (- 2, 1) , B= langle1,4) d) A=(2,+ infty) , B=(- infty,3)
1.58. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B, a następnie wyznacz zbiory B-A, jeśli: a) A= langle-5,1 rangle,B=(-2,4) c) A=(- infty,2),B= langle sqrt 2 ,+ infty) b) A=(3,9),B= langle3,7 rangle d) A = (- 2, 6), B = (1, 3)
1.57. Zaznacz na osi liczbowej zbiory Ai B, a następnie wyznacz zbiory A cup BiA cap B : b) A=(- infty,2) , B= langle2,4 rangle a) A= langle-2,3) , B = (0, 6) c) A=(( sqrt 3 ,+ infty),B=(-4,2) d) A=(- infty, pi) B= Bigg(- infty,3 1 3 )
1.56. Wymień wszystkie liczby naturalne należące do przedziału
1.55. Wymień wszystkie liczby całkowite należące do przedziału langle-0,5 pi; sqrt 7 rangle .
1.55. Wymień wszystkie liczby całkowite należące do przedziału langle-0,5 pi; sqrt 7 rangle .
1.54. Podaj co najmniej dwie liczby niewymierne, które należą do podanego prze działu: a) (4;6) b) langle-11;-10 rangle c) (-1;-0,5)
1.54. Podaj co najmniej dwie liczby niewymierne, które należą do podanego prze działu: a) (4;6) b) langle-11;-10 rangle c) (-1;-0,5)
1.53. Wypisz: c) f) 4/(2 – pi) * i * 3/(2 – pi) 4/(2sqrt(2) – 2) * i * 3/(sqrt(2) – 1) 2 c) (0, 4) f) (3, + x) 2) x in langle-1,5 rangle wtedy, gdy – 1 <= x <= 5 b) x in(- infty,0 rangle ) wtedy, gdy ........ d) x in(-3,-2) wtedy, gdy ....... f) x in langle- pi,2 pi rangle wtedy, gdy ....... a) wszystkie liczby całkowite, należące do przedziału (- 2, 7) b) wszystkie liczby naturalne, należące do przedziału (- 3, 3) c) najmniejszą liczbę naturalną, która należy do przedziału (10, 100) (1/2, 789 1/3) d) największą liczbę naturalną, która należy do przedziału e) największą liczbę całkowitą, która nie należy do przedziału (-5, +) f) najmniejszą liczbę całkowitą, która jest większa od wszystkich liczb należących (- 100, - 23 5/6) do przedziału (-100, - 23
1.52. Uzupełnij zapisy według wzoru: 1) x in(- infty,5)wte , gdy x < 5 a) x in langle4,1) wtedy, gdy c) x in(2,7) wtedy, gdy e) x in langle sqrt 2 ,+ infty) wtedy dy,gdy.......
1.51. Zaznacz na osi liczbowej przedziały: a) langle1,3) d) (-1, 1) b) (- 3, 2) ) (- x, 2) e)
1.50 Porównaj dwie liczby niewymierne, bez użycia kalkulatora:
1.49. Podaj przykład dwóch liczb:
1.48. Podaj przykład dwóch liczb całkowitych a równość: a) 7/15 < a/b < 8/15 b) 13/14 < a/b < 27/28
1.47. Podaj przykład dwóch liczb wymiernych x, y, które spełniają nierówność: 3 5
1.46. Podaj przykład liczby, która jest mniejsza zarówno od liczby do niej przeciw nej, jak i od swojej odwrotności.
1.45. Podaj najpierw liczbę przeciwną do danej liczby, a potem liczbę będącą od- wrotnością danej liczby. a) 5 b) 0, (5) c) -1 d) (sqrt(3))/3 e) – pi + 2 f) (4 + sqrt(32))/4
1.44. Wyłącz ułamek przed nawias według wzoru: 1/2 * sqrt(5) – 3 = 1/2 * (sqrt(5) – 6) 5 + (sqrt(3))/4 a) 5+ d) – 2 + (sqrt(2))/2 2/(- pi) + sqrt(3) g) b) e) h) 1/3 – sqrt(2) 1/5 – 5sqrt(5) 1/(sqrt(3)) – 3 c) f) (- 24 + 8sqrt(2))/- 8 – (4 + 20sqrt(2))/4 (3 – sqrt(3))/(2sqrt(3) – 6) c) pi – 1/5 f) – 3/2 – 2pi 1) sqrt(2) + 3/(2pi)
1.43. a) d) g) Skróć ułamki: (2 – 4sqrt(2))/2 (- 6 + 12sqrt(3))/24 -4-12n -4- 12 pi 12pi + 4 b) 12 – 4sqrt(3) d) 6sqrt(5) + 36sqrt(7) – 12 f) 6sqrt(3) – 2sqrt(2) + 2 h) -2 pi- pi4 sqrt 5 b) e) h) (3 – 12sqrt(5))/- 6 – (3 – 6sqrt(3))/3 (pi – pi ^ 2)/(1 – pi)