Kategoria: Arkusz maturalny czerwiec 2015

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 273–√. Długość krawędzi AB podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Ponadto wiadomo, że A=(−2,4) i B=(6,−2). Wierzchołek C należy do osi Oy. Oblicz współrzędne wierzchołka C.

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an), dla n≥1 taki, że a5=18. Wyrazy a1, a3 oraz a13 tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (an).

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez 12.

Funkcja kwadratowa f, dla x=−3 przyjmuje wartość największą równą 4. Do wykresu funkcji f należy punkt A=(−1,3). Zapisz wzór funkcji kwadratowej f.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność 3×2+5y2−4xy≥0.

Czworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że |AD|2+|BD|2=|BC|2+|AC|2.

Rozwiąż równanie x(x2−2x+3)=0.

Rozwiąż nierówność 3×2−9x≤x−3.

Na loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano: A) 4 losyB) 20 losówC) 50 losów

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9? A) 6B) 10C) 12

Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,x jest równa n, natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,x,2x jest równa 2n. Wynika stąd, że: A) x=49B) x=21C) x=14

Liczba 0,3 jest jednym z przybliżeń liczby 516. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy: A) 4%B) 0,04%C) 2,5%

W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę: A) 30°B) 45°C) 60°

Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie: A) 16 wierzchołkówB) 9 wierzchołkówC) 16 krawędzi

Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6 (zobacz rysunek). Kąt α rozwarcia tego stożka jest równy: A) 30°B) 45°C) 60°

Boki trójkąta mają długości 20 i 12, a kąt między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego trójkąta jest równe: A) 60B) 120C) 603–√

Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma 7cm, a drugi ma 2cm. Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość: A) 12cmB) 9cmC) 6cm

W trójkącie ABC, w którym |AC|=|BC|, na boku AB wybrano punkt D taki, że |BD|=|CD| oraz |∢ACD|=21° (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt BCD ma miarę: A) 57°B) 53°C) 51°

Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku 3:4:5. Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę: A) 45°B) 90°C) 75°

Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa: A) 13B) 12C) 7

Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an=2n dla n≥1. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa: A) 2(1−210)B) −2(1−210)C) 2(1+210)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Funkcja f jest rosnąca w przedziale: A) ⟨−1;1⟩B) ⟨−1;5⟩C) ⟨5;6⟩

Liczba niewymiernych rozwiązań równania x2(x+5)(2x−3)(x2−7)=0 jest równa: A) 0B) 1C) 5

Prosta k przecina oś Oy układu współrzędnych w punkcie (0,6) i jest równoległa do prostej o równaniu y=−3x. Wówczas prosta k przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie: A) (−12,0)B) (−2,0)C) (2,0)

Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y=ax+b przechodzącej przez punkty (0,−2) i (6,2). Wtedy: A) a=23,b=−2B) a=3,b=−2C) a=32,b=2

Wyrażenie 3sin3αcosα+3sinαcos3α może być przekształcone do postaci: A) 3B) 3sinαcosαC) 3sin3αcos3α

Wartość wyrażenia sin120°−cos30° jest równa: A) sin90°B) sin150°C) sin0°

Równanie 2×2+11x+3=0: A) nie ma rozwiązań rzeczywistychB) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywisteC) ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywisteD) ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste

Para liczb x=2 i y=1 jest rozwiązaniem układu równań {x+ay=52x−y=3, gdy: A) a=−3B) a=−2C) a=2

Wyrażenie 3a2−12ab+12b2 może być przekształcone do postaci: A) 3(a2−b2)2B) 3(a−2b2)2C) 3(a−2b)2

Przy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45018zł. Jaka jest cena netto tego samochodu? A) 34663,86złB) 36600złC) 44995złD) 55372,14zł

Wartość wyrażenia −32√5⋅2−14⋅22 jest równa: A) −12B) 12C) 1

Liczba 218−−√−32−−√ jest równa: A) 2−32 B) 2−12 C) 212