Akademia Matematyki Piotra Ciupaka
Matematyka dla licealistów i maturzystów
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30∘. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu. Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta.Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC. Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=1x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x−3). Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2 ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k2 przez 7 jest równa 5. Rozwiąż równanie 9×3+18×2−4x−8=0. Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=2×2+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartości współczynników b i c. Mediana zestawu danych 2,12,a,10,5,3 jest równa 7. Wówczas
A.a=4 B.a=6 C.a=7 D.a=9 Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?
A.100 B.90 C.45 D.20 Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A′ – zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość P(A)=2P(A′) , to
A.P(A)=2/3 B.P(A)=1/2 C.P(A)=1/3 D.P(A)=1/6 Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem y=−2x−2, należy punkt
A.A=(1,−2) B.B=(2,−1) C.C=(1,1/2) D.D=(4,4) Liczba (1(729−−−√3+256−−−√4+2)0)−2 jest równa
A.1/225 B.1/15 C.1 D.15 Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest
A.sześć razy dłuższa od wysokości walca
B.trzy razy dłuższa od wysokości walca
C.dwa razy dłuższa od wysokości walca
D.równa wysokości walca Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa
A.5 B.7 C.8 D.10 O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(−2,3). Wzór funkcji f to
A.f(x)=−13x+73 B.f(x)=−12x+2 C.f(x)=−3x+7 D.f(x)=−2x+4 Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4/9 długości okręgu, ma miarę
A.160∘ B.80∘ C.40∘ D.20∘ Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60∘ i ramieniu długości 23–√ jest równa
A.3–√ B.3 C.33–√ D.2 Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y−3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa
A.0 B.1 C.2 D.4 Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tgα=25, to wartość wyrażenia 3cosα−2sinα/sinα−5cosα jest równa
A.−11/23 B.24/5 C.−23/11 D.5/24 Liczby: x−2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa
A.0 B.2 C.3 D.5 Jeżeli trójkąty ABC i A′B′C′ są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa A′B′/AB jest równa
A.2 B.1/2 C.2–√ D.√2/2 Liczby 2,−1,−4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an) określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać
A.an=−3n+5 B.an=n−3 C.an=−n+3 D.an=3n−5 Pierwiastki x1,x2 równania 2(x+2)(x−2)=0 spełniają warunek
A.1×1+1×2=12 B.1×1+1×2=14 C.1×1+1×2=−1 D.1×1+1×2=0 Dla każdej liczby x, spełniającej warunek −3 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f.Funkcja f określona jest wzorem
A.f(x)=−12(x−3)(x+1)
B.f(x)=12(x−3)(x+1)
C.f(x)=−12(x+3)(x−1)
D.f(x)=12(x+3)(x−1) Funkcja liniowa f(x)=(m2−4)x+2 jest malejąca, gdy
A.m∈(−∞,−2) B.m∈(2,+∞) C.m∈{−2,2} D.m∈(−2,2) Wspólnym pierwiastkiem równań (x2−1)(x−10)(x−5)=0 i 2x−10/x−1=0 jest liczba
A.10 B.5 C.1 D.−1 Suma log816+1 jest równa
A.log817 B.3/2 C.7/3 D.3 Wartość wyrażenia 23–√−1−23–√+1 jest równa
A.2 B.23–√ C.−2 D.−23–√ Jeżeli liczba 78 jest o 50% większa od liczby c, to
A.c=39 B.c=48 C.c=52 D.c=60 Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.Wskaż ten układ.
A.{y=x−1y=−2x+4 B.{y=x−1y=2x+4 C.{y=x+1y=−2x+4 D.{y=x+1y=2x+4