Kategoria: Arkusz maturalny sierpień 2017

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∢ACB=90∘| (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta do długości przyprostokątnej BC jest równy 4:3. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, a długość odcinka SC jest równa 5. Pole ściany bocznej BEFC graniastosłupa jest równe 48. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Punkt C=(0,0) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołek A leży na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczona z wierzchołka C przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D=(3,4).Oblicz współrzędne wierzchołków A i B tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej AB.

Funkcja kwadratowa f(x)=ax2+bx+c ma dwa miejsca zerowe x1=−2 i x2=6. Wykres funkcji f przechodzi przez punkt A=(1,−5). Oblicz najmniejszą wartość funkcji f.

Dany jest ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, w którym spełniona jest równość a21+a24+a27+a30=100. Oblicz sumę a25+a26.

Ze zbioru liczb {1,2,4,5,10} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∢ACB|=90∘ i |∢ABC|=60∘. Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego i przeciwprostokątnej AB tego trójkąta. Wykaż, że |AD|:|DB|=3:1.

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność4x+1x≥4.

Rozwiąż równanie (x2−6)(3x+2)=0.

Rozwiąż nierówność 2×2+x−6≤0.

Z pudełka, w którym jest tylko 6 kul białych i n kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 13. Liczba kul czarnych jest równaA.n=9 B.n=2 C.n=18 D.n=12

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017?A.2016 B.2017 C.1016 D.1017

Średnia arytmetyczna zestawu danych: x,2,4,6,8,10,12,14 jest równa 9. Wtedy mediana tego zestawu danych jest równaA.8 B.9 C.10 D.16

Dany jest stożek o wysokości 6 i tworzącej 35–√. Objętość tego stożka jest równaA.36π B.18π C.108π D.54π

Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem 30∘ i przecina oś Oy w punkcie (0,−3–√) (zobacz rysunek).

Prosta l ma równanieA.y=3–√3x−3–√ B.y=3–√3x+3–√ C.y=12x−3–√ D.y=12x+3–√

Prosta k przechodzi przez punkt A=(4,−4) i jest prostopadła do osi Ox. Prosta k ma równanieA.x−4=0 B.x−y=0 C.y+4=0 D.x+y=0

Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równaA.14 B.21 C.28 D.26

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD.

Kąt nachylenia krawędzi bocznej SA ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD toA.∢SAO B.∢SAB C.∢SOA D.∢ASB

Punkty B=(−2,4) i C=(5,1) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równeA.29 B.40 C.58 D.74

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe 63–√. Bok tego trójkąta ma długośćA.32–√ B.23–√ C.26–√ D.62–√

W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AC. Odcinek DE jest równoległy do boku AB, a ponadto |AE|=|DE|=4, |AB|=6 (zobacz rysunek).

Odcinek CE ma długość

Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B i C (zobacz rysunek). Kąt ABC ma miarę 121∘, a kąt BOC ma miarę 40∘.

Kąt AOB ma miaręA.59∘ B.50∘ C.81∘ D.78∘

Kąt α jest ostry i spełniona jest równość sinα=26–√7. Stąd wynika, żeA.cosα=2449 B.cosα=57 C.cosα=2549 D.cosα=56–√7

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: (81,3x,4). Stąd wynika, żeA.x=18 B.x=6 C.x=856 D.x=685

Dany jest ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, o którym wiemy, że: a1=2 i a2=9. Wtedy an=79 dlaA.n=10 B.n=11 C.n=12 D.n=13

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=x2+bx+c.Współczynniki b i c spełniają warunki: A.b<0,c>0 B.b<0,c<0 C.b>0,c>0 D.b>0,c<0

Linę o długości 100 metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku 3:4:5. Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długośćA.4123 metra. B.3313 metra. C.60 metrów. D.25 metrów.

Rozwiązaniem równania x+1x+2=3, gdzie x≠−2, jest liczba należąca do przedziałuA.(−2,1) B.⟨1,+∞) C.(−∞,−5) D.⟨−5,−2)

Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód prostokąta o bokach długości a i b jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?A.{2(a+b)=60a+10=b B.{2a+b=6010b=a C.{2ab=60a−b=10 D.{2(a+b)=6010a=b

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb x spełniających warunek: 11≤2x−7≤15.

Liczba (27–√−5)2⋅(27–√+5)2 jest równaA.9 B.3 C.2809 D.28−207–√

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego kołaA.o mniej niż 50%, ale więcej niż 40%.B.o mniej niż 60%, ale więcej niż 50%.C.dokładnie o 60%.D.o więcej niż 60%.

Wartość wyrażenia log48+5log42 jest równaA.2 B.4 C.2+log45 D.1+log410

Liczba 99⋅812 jest równaA.814 B.81 C.913 D.936

Niech a=−2, b=3. Wartość wyrażenia ab−ba jest równaA.739 B.719 C.−739 D.−719