Kategoria: Matura Sierpień 2018

W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB.

Ze zbioru A={−3,−2,−1,1,2,3} losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru B={−1,0,1,2} losujemy liczbę b. Te liczby są – odpowiednio – współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej f(x)=ax+b. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Punkty A=(2,4), B=(0,0), C=(4,−2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (a+b)(1/a+1/b)≥4.

W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.

Rozwiąż nierówność x^2+6x−16

W grupie liczącej 29 uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równe

Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły. Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej 102–√. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe

Jeżeli α oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to

Punkt A=(−3,2) jest końcem odcinka AB, a punkt M=(4,1) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka AB jest równa

Proste o równaniach y=(3m−4)x+2 oraz y=(12−m)x+3m są równoległe, gdy

Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze 60∘ jest równe

Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 80∘. Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę

Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L, M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α+β=114∘.

Kąt α jest ostry i cosα=35. Wtedy

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α jest równa 3–√. Zatem:

Dla pewnej liczby x ciąg (x,x+4,16) jest geometryczny. Liczba x jest równa

Ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, spełnia warunek a3+a4+a5=15. Wtedy

Największą wartością funkcji y=−(x−2)2+4 w przedziale ⟨3,5⟩ jest

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=−3(x−2)(x−9). Liczby x1, x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem

Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=x2−2x−11 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

Punkt (1,3–√) należy do wykresu funkcji y=23–√x+b. Współczynnik b jest równy

Dane są funkcje f(x)=3x oraz g(x)=f(−x), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Punkt wspólny wykresów funkcji f i g

Rozwiązaniem równiania x−23(x+2)=19 jest liczba

Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y. wskaż ten układ

Równość (a+23–√)2=13+43–√ jest prawdziwa dla

Liczba log496−log46 jest równa

Dane są liczby x=4,5⋅10−8 oraz y=1,5⋅102. Wtedy iloraz xy jest równy

Liczba √3√2 jest równa

Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10% zmniejszytła się o 2018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował