Kategoria: Arkusz maturalny sierpień 2018

W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB.

Ze zbioru A={−3,−2,−1,1,2,3} losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru B={−1,0,1,2} losujemy liczbę b. Te liczby są – odpowiednio – współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej f(x)=ax+b. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Punkty A=(2,4), B=(0,0), C=(4,−2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (a+b)(1a+1b)≥4

W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.

Rozwiąż równanie (x3+27)(x2−16)=0.

Rozwiąż nierówność x2+6x−16<0.

W grupie liczącej 29 uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równeA.1415 B.114 C.1429 D.1529

Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.

Ocena	6	5	4	3	2
Liczba ocen	2	3	5	5	1

Mediana przedstawionego zestawu danych jest równaA.3 B.3,5 C.4 D.4,5

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej 102–√. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równeA.50π B.100π C.200π D.250π

Jeżeli α oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to

A.sinα=6–√3 B.sinα=2–√2 C.sinα=3–√2 D.sinα=3–√3

Punkt A=(−3,2) jest końcem odcinka AB, a punkt M=(4,1) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka AB jest równaA.25–√ B.45–√ C.52–√ D.102–√

Proste o równaniach y=(3m−4)x+2 oraz y=(12−m)x+3m są równoległe, gdyA.m=4 B.m=3 C.m=−4 D.m=−3

Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze 60∘ jest równeA.18 B.9 C.183–√ D.93–√

Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 80∘. Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miaręA.120∘ B.125∘ C.130∘ D.135∘

Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L, M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α+β=114∘.

Wynika stąd, żeA.β=19∘ B.β=38∘ C.β=57∘ D.β=76∘

Kąt α jest ostry i cosα=35. WtedyA.sinα⋅tgα=1615 B.sinα⋅tgα=1516 C.sinα⋅tgα=815 D.sinα⋅tgα=620

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α jest równa 3–√. Zatem:A.α=60∘ B.α∈(40∘,60∘) C.α∈(30∘,40∘) D.α=30∘

Dla pewnej liczby x ciąg (x,x+4,16) jest geometryczny. Liczba x jest równaA.8 B.4 C.2 D.0

Ciąg arytmetyczny (an), określony dla n≥1, spełnia warunek a3+a4+a5=15. WtedyA.a4=5 B.a4=6 C.a4=3 D.a4=4

Największą wartością funkcji y=−(x−2)2+4 w przedziale ⟨3,5⟩ jestA.0 B.5 C.4 D.3

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=−3(x−2)(x−9). Liczby x1, x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. ZatemA.x1+x2=11 B.x1+x2=−11 C.x1+x2=33 D.x1+x2=−33

Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=x2−2x−11 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnychA.(−2,−3) B.(−2,−12) C.(1,−8) D.(1,−12)

Punkt (1,3–√) należy do wykresu funkcji y=23–√x+b. Współczynnik b jest równyA.7 B.33–√ C.−5 D.−3–√

Dane są funkcje f(x)=3x oraz g(x)=f(−x), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Punkt wspólny wykresów funkcji f i gA.nie istniejeB.ma współrzędne (1,0).C.ma współrzędne (0,1).D.ma współrzędne (0,0).

Rozwiązaniem równiania x−23(x+2)=19 jest liczbaA.−2 B.2 C.4 D.−4

Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y.

wskaż ten układ.A.{y=−2x+8y=−32x+132 B.{y=2x−4y=−12x+72 C.{y=x−1y=12x+12 D.{y=3x−7y=−23x+4

Równość (a+23–√)2=13+43–√ jest prawdziwa dlaA.a=13−−√ B.a=1 C.a=0 D.a=13−−√+1

Liczba log496−log46 jest równaA.log490 B.log696 C.4 D.2

Dane są liczby x=4,5⋅10−8 oraz y=1,5⋅102. Wtedy iloraz xy jest równyA.3⋅10−10 B.3⋅10−6 C.6,75⋅10−10 D.6,75⋅10−4

Liczba 2–√3√ jest równaA.216 B.215 C.213 D.223

Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10% zmniejszyła się o 2018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował A.20180 zł B.18162 zł C.2108 zł D.2028 zł