Kategoria: Arkusz maturalny czerwiec 2019

Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ∢ACB ma miarę 120∘. Ponadto wiadomo, że |BC|=10 i |AB|=107–√ (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC.

Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek 2x+z=1. Wyznacz takie wartości x i z, dla których wyrażenie x2+z2+7xz przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.

W ciągu geometrycznym przez Sn oznaczamy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych n≥1. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: S1=2 i S2=12. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Wykaż, że dla każdej liczby a>0 i dla każdej liczby b>0 prawdziwa jest nierówność 1a+1b≥4a+b

Dany jest trójkąt ABC. Punkt S jest środkiem boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów A i B od prostej CS są równe.

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek: 3×2−8x−3x−3=x−3.

Rozwiąż nierówność x(7x+2)>7x+2.

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {20,21,22,…,39,40} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 jest równe A.14 B.27 C.619 D.310

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 12. Objętość tego walca jest zatem równa A.36π2–√ B.108π2–√ C.54π D.108π

Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).Tangens kąta, jaki odcinek PH tworzy z płaszczyzną ABCD, jest równy A.2–√2 B.12 C.1 D.2–√

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Krawędź boczna DS jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek).Pole ściany BCS tego ostrosłupa jest równe A.20 B.10 C.16 D.12

Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest A.60 B.45 C.30 D.15

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę 44∘. Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka A przecina bok BC tego trójkąta w punkcie D. Kąt ADC ma miarę A.78∘ B.34∘ C.68∘ D.102∘

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96 cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A.48 cm2 B.64 cm2 C.384 cm2 D.512 cm2

Suma odległości punktu A=(−4,2) od prostych o równaniach x=4 i y=−4 jest równa A.14 B.12 C.10 D.8

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek AB o końcach w punktach A=(7,4), B=(11,12). Punkt S leży wewnątrz odcinka AB oraz |AS|=3⋅|BS|. Wówczas A.S=(8,6) B.S=(9,8) C.S=(10,10) D.S=(13,16)

Na okręgu o środku w punkcie O wybrano trzy punkty A, B, C tak, że, |∢AOB|=70∘, |∢OAC|=25∘. Cięciwa AC przecina promień OB (zobacz rysunek). Wtedy miara ∢OBC jest równa A.α=25∘ B.α=60∘ C.α=70∘ D.α=85∘

Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A=(0,0), B=(4,2), C=(2,6) jest równe A.5 B.10 C.15 D.20

Punkty B, C i D leżą na okręgu o środku S i promieniu r. Punkt A jest punktem wspólnym prostych BC i SD, a odcinki i są równej długości. Miara kąta BCS jest równa 34∘(zobacz rysunek).Wtedy A.α=12∘ B.α=17∘ C.α=22∘ D.α=34∘

Wartość wyrażenia 2sin218∘+sin272∘+cos218∘ jest równa A.0 B.1 C.2 D.4

Kąt α∈(0∘,180∘) oraz wiadomo, że sinα⋅cosα=−38. Wartość wyrażenia (cosα−sinα)2+2 jest równa A.154 B.94 C.278 D.218

Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (3x−2)2−(2x−3)(2x+3) jest po uproszczeniu równe A.5×2−12x−5 B.5×2−13 C.5×2−12x+13 D.5×2+5

W ciągu (an) na określonym dla każdej liczby n≥1 jest spełniony warunek an+3=−2⋅3n+1. Wtedy A.a5=−54 B.a5=−27 C.a5=27 D.a5=54

Chcę dostęp do Akademii!

Rysunek przedstawia wykres funkcji f zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty B=(2,−1) i C=(4,−1) należą do wykresu funkcji.Równanie f(x)=−1 ma A.dokładnie jedno rozwiązanie. B.dokładnie dwa rozwiązania. C.dokładnie trzy rozwiązania. D.nieskończenie wiele rozwiązań.