Tag: Matematyka 2 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

50. Ustal liczbę rozwiązań równania (x+3)(mx²+ 2mx-3) = 0 z niewiadomą x

ze względu na wartość parametru m, m = R.

49. Dany jest wielomian W(x) = (x-2)(x² – 2mx + 1- m²) 2 parametrem m, gdzie mЄ R.

a) Dla m = 1 rozwiąż nierówność W(x) > 14-x. b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których wielomian W(x) ma trzy pierwiastki.

48. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, me R, dla których równanie

++ (m-1)x² + m² + 4m-5=0 ma tylko dwa rozwiązania.

47. Wykaż, że liczba √37-10+117-3/37/10-117 jest naturalna.

46. Wykaz, ze dla dowolnej liczby całkowitej k, liczba k 6k+ 11k – 6 jest

40. Rozwiąż nierówność:

a) (3-x)(x-3x+2x-6) <0 b) x-21x 10 10.

D 44 Dany jest wielomian W(x) = x² + ax² + 7x + 15, gdzie a € Z. Wykaż, że jeśli wielomian W(x) ma pierwiastek będący liczbą pierwszą, to suma wszystkich j pierwiastków też jest liczbą pierwszą.

43. Wielomian W(x) = x² + px² + qx – 24 ma trzy pierwiastki X1, X2, X3, które spełniają zależność: X1 X2 + X2 X3+ X1 X3=-14. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x + 2 jest równa -40.

a) Wyznacz piq.

b) Oblicz wartość wyrażenia xxx,-5(x+x+x)).

42. Na rysunku obok przedstawiony jest frag- ment wykresu funkcji wielomianowej y = w(x), gdzie st. W(x) = 3. Funkcja ta ma dwa miejsca zerowe: 5 oraz -1, a dla argumentu 3 przyjmuje wartość 32.

32

a) Napisz wzór tej funkcji w postaci iloczynu.czyn ników stopnia pierwszego. b) Wyznacz argumenty, dla których funkcja

y= w(x) przyjmuje wartości mniejsze, niż funk-

cja f(x)=-x²+ 13x + 5.

-2

41. Wielomian W(x) jest trzeciego stopnia i ma dwa pierwiastki: -1 ora: 1, przy czym 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym. Wykres funkcji wielomianowe, y = w(x) przecina oś OY w punkcie o rzędnej 2. a) Napisz wzór funkcji y = w(x) w postaci uporządkowanej.

b) Rozwiąz nierówność w(x) > 4x³- 5x²-2x + 3.

D 39. Wykaż, że wielomian W(x) = 16x 16x+4x-1 ma trzykrotny pierwiastel

38. Wielomian W(x) = x² + (m + 1)x+(m- 3)x-3, gdzie me Z, ma trzy kowite pierwiastki. Oblicz m.

37. Wyznacz wymierne pierwiastki wielomianu a) W(x)=6x+-5x²+ 7x²-5x + 1 b) W(x)=2x-4x³ +

36 . Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x)=2x+3x²-8x+3 jest równa R(x) = x²+ 5x + 1. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez 36. wielomian F(x)-(x-1)(x+3).

35. Wielomian W(x) = x-3x + 3x²-ax + 2 jest podzielny przez wielomian P(x)-x-3x+b. Oblicz a ib.

34. Dany jest wielomian W(x) = x² + 3x²-15x²-19x + 30. a) Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) = x²-3x + 1.

D33. Wykał, że (x+3)(x-1) 2 16 dla dowolnej liczby rzeczywistej x.

D32. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od zera, wartość wyrażenia (0-1)(a + 1)2-a(1-20)-12a a jest ujemna.

D31. Wykaż, że as: 1+408 4

D30. Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych niepodzielnych

29. Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej nieparzystej x liczba 3r+9xx-3 jest podzielna przez 4.

D28. Wykaż, że liczba:

a) 51-722 jest podzielna przez 19 b) 551-3¹ jest podzielna przez 61.

D27. Wykaż, że jeśli x – y = 5 oraz x-y=1, to x-y=140.

D 26. Wykaż, że wielomian W(x) = (2×10 + 3x)15+ 1 jest podzielny przez dwumian (x+1) nie jest podzielny przez dwumian (x-1),

25. Wielomian w(x) jest trzeciego stopnia i ma trzy całkowite pierwiastki, z których

jeden jest równy-2, a drugi 4. Reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian

x+1 jest równa -10. Wiedząc, że suma wszystkich współczynników tego wielomia-

nu wynosi 0, wyznacz wzór wielomianu W(x):

a) w postaci iloczynu dwumianów stopnia pierwszego,

265

w postaci uporządkowanej malejąco.

24. W trzycyfrowej liczbie nieparzystej podzielnej przez 5, cyfra dziesiątek jest o mniejsza od cyfry setek. Wyznacz tę liczbę wiedząc, że sześcian cyfry dziesiątek j o 12 mniejszy od iloczynu pozostałych cyfr.

Wielomiany

23. Rozwiąż równanie:

a) (2x-5)-8-0

c) x+3x²-2x-6=0

b) 4x+35×2-9-0 d) 3x-10x+9x=2.

22. Wielomian W(x)=2x+ (b-a)x² – (3a – b)x + a + 2b jest podzielny prze dwumian x-3, natomiast reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian

x + 1 jest równa 12.

a) Oblicz a ib.

b) Wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu W(x).

21. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x² + (a-2)x² + 20³x-a + 5 przez

dwumian x 1 jest równa 6. Oblicz a.

20. Wielomian W(x) = a(x²- 1)(x+3), gdzie o 0, dla liczby 3 przyjmuje

wartość 96. a) Oblicz a

b) Wyznacz pierwiastki wielomianu F(x) = w(x) 10(x + 1).

19. Wielomian W(x) rozłóż na czynniki możliwie najniższego stopnia. Następnie

podaj jego pierwiastki. a) W(x)=x+25xx-25

b) W(x)=x-31x² + 30x

18. Usuń niewymierność z mianownika ułamka: 1

a) 245-1

b) 1 √4-342+9

17. Sprawdź, czy istnieją liczby a i b, dla których wielomiany

W(x)=x+0²x²-3x + a oraz F(x) = x²+ 4x² + (a + b)x+b-1 są równe

16 (x-1) pisz wielomian F(x) W(x)(x-4)-(1x)G(x) w postaci uporządkowe Ile pierwiastków ma wielomian F(x)?

15. Które z podanych równań jest sprzeczne? A. (x-3)-5-(x-3)

B. x+3=-4x² D. (x-1)=-27

C(2x-1)-1-0

14. lloczyn rozwiązań równania 2x(x-4)=(x-4)(x-3) wynosi:

A. O

B.-3

C. 12

D.-12

13. Liczba pierwiastków wielomianu (3x-4)(2x+x+1)(8x+ 125) jest równa:

A. 3

B. 4

C. 5

D. 7

12. Wyrażenie 5×5 – 5x² po rozłożeniu na czynniki przyjmuje postać.

A. 5(x-x-x-x)

B. 5x (x – 1)(x + 1)(x + 1)

Cx²-(x-1)(5x²+5x+5)

D. 5-x²(x-1)(x+1)²

11. llorazem z podzielenia wielomianu 2x³-3x²-4 przez dwumian x – 2 jest wielomian:

A 2x+x-2

B. 2x² + x + 2 C.2x²+2

D. 2x²-x + 2

10. Reszta z dzielenia wielomianu W(x)=2(x²-3x + 1)2- (5-2x)2 przez dwu- mian x + 1 jest równa:

A. 1

B.-7

C. 6

D-5

9, Wielomian W(x) = (2x-1)(3-x)(2x + 1) nie jest podzielny przez wielomian. A.3+5x-2x²

B. 1-4×2

C.-2x²+7x-3 D. 4x² – 4x + 1

8. Wielomian W(x)=x-3x-8 jest podzielny przez dwumian:

Ax-8

B. x + 2

C.x 2

D. x + 4

7. Jeśli P(x) = (-x-3)” oraz Q(x) = (x²-3x+9)(x+3)+9x², to stopień wielo-

mianu P(x) + Q(x) jest równy: B. 2

C. 1

D.0

A 3

D 8.298. Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest zależność **+2x-6x+92 5x².

6. Sześcian liczby 2+1/4 jest równy

C. a+b=2

D. a + b = 4

A. 6

B.

C. 6+16

D. 6(1+2+4)

5. Jeśli wielomiany W(x) = (x-a)(2x²+ 3) oraz P(x)=2x+4x² + 3x + b s

równe, to:

A. a+b=-1

B. a+b=0

4. Jeśli P(x)=x+3, gdzie x R, to wielomian W(x) = P(x) (x2-x-6) matrzy

pierwiastki: A. -3, -1, 6

B.-3, -2, 3

C. 6,-3, 1

D.-3, 2, 3

3. Suma wszystkich współczynników wielomianu W(x)-(3x-2x+1)’ jest

równa:

A. 2

B. 2

C. = 128

D.-128

2. Wielomian w(x) = x² + a²x²+ 4ax + 5 dla x = -1 przyjmuje wartość 0. Wobec

tego:

A. a=-2

B. a=-1

C. a = 1

D. a=2

1. Wyrażenie (-1-2x)(4x+1-2x) jest równe: C. 8x³- 1

A. 1+ 8x³

B. -8x³- 1

D. 1-8×2