Autor: usrob

8.47. Zapisz za pomocą sumy algebraicznej wyrazenie: a) (y + z)³ b) (2 + a)³ f) (x-4)³

8.46. Wyznacz współczynniki a, b, m, n, dla których wielomiany równe, jeśli: a) W(x) = x + mx + nx² + 18x +9 b) W(x)=x+4x+ mx² + 12x + n c) W(x) = x² + mx 5x + nx+4 d) W(x) = x² + mx² + 6x² + nx + 1 W(x) i F(x) są F(x) = (x² + ax + b)² F(x) = (x² + ax + b)² F(x) = (x² + ax + b) F(x) = (x² + ax + b)² Wzory skróconego mnożenia stopnia 3. Wzór na an- bn

8.44. Dane są wielomiany: W(x) = (2x + b)(x² + 3x + 1), F(x) = (ax+3)(x + 1) oraz H(x) = x² + 6x²+10x + 2. Wyznacz wartości parametrów a, b, dla których W(x) – F(x) = H(x) dla dowolnej liczby rzeczywistej x. wie 8 Wielomiany 229

8.43. Wyznacz współczynniki bic tak, aby wielomian W(x) F(x) – H(x) był lomianem zerowym, jeśli: a) W(x)=-3x+5, b) w(x) = 2x-3, F(x) = x² + bx + c, H(x)=-3x³-x² 2x + 20 H(x) = 2x² + 7x²-13x-3. F(x) = x² + bx + c,

8.42. Wyznacz współczynniki ai b tak, aby W(x) F(x) = H(x), jeśli: a) w(x) = x² + 3x + 2, F(x) = ax + b, H(x) = 2x² + 3x²-5x-6 b) W(x)=2x²-x+5, F(x) = ax + b, H(x) = -2x³ + 7x²-8x+15.

8.41. Wyznacz współczynniki a i b, dla których wielomiany W(x) – F(x) H(x) sa równe, jeśli. a) W(x) = x²+ ox² + 3x + 1, F(x) = 2x² + bx – 4, H(x) = x²-7x² + 8x+5 b) w(x) = 2x²+ ax²+5x-3, F(x)=x-5x² + bx +4, H(x) = x+2x²+4x-7

8.40. Sprawdź, czy istnieją liczby a b, dla których wielomiany w(x) i P(x) sa równe, jeśli: a) W(x) = 2x² + (30+ 1)x² + (b + 2)x-4 P(x) = 2x² + 4x² + 5x-4 P(x)=8x-10x+6x 1 b) W(x) = (2ax – b)’ c) W(x) = 20x(2x-b) P(x) = 16x-48x² + 36x d) w(x) = (x²-ax)² – (x² + bx)² P(x) = -2x³-3x².

8.39. Wyznacz liczbę a, dla której wielomiany w(x) i P(x) są równe, jeśli a) W(x)=(3x²-a)(x+2a) (2x-1) P(x)=3x+18×2-5x-17 b) W(x) = 8+ ax(ax + 1) (0²+x c) W(x)=-6x-Sax²-ax-2 5x²) x P(x) = 5x² + 3x²-2x+8 P(x)=(3x²-a²x+2)(-2x-1) d) W(x)=(2x-3)(2x-a’)-4 P(x)=4x+ (a-3)x²-6x-0.

8.38. Sprawdź, czy istnieje liczba o, dla której wielomiany W(x) i P(x) są równe jeśli: a) W(x) = (x-ax) (x + 2a) + 8x b) W(x) = 2x-3(a + 1)x² + 40 P(x) = x²-2x² P(x)=2x-6x+8 c) w(x) = (x-2a)(x + 2a) – 6x P(x)=x+30x-16 d) W(x)=(3x a) 4x P(x)=36x+48x² + 16x.

8.37. Sprawdź, czy wielomiany W(x) i P(x) są równe, jeśli: a) w(x)=(3x-1)(4-2x)(x + 1) b) w(x)=(3-5x) (x²-1)-25** c) w(x) = (-2x+1)3 d) W(x) = 3×5 – (2x² + 1)(x³-1) P(x)=-6x+8x²+10x-4 P(x)=-30x-16×2 + 30x-9 P(x)=-8x+12x²-12x + 1 P(x)=x-x²+2x² + 1. 228 Matematyka. Zbiór zadań klasa 2 Zakres rozszerzony

8.36. Podaj przykład dwóch wielomianów stopnia szóstego zmiennej rzeczywistejx, których iloczyn jest wielomianem, przyjmującym dla liczby -1 wartość 14, a jego współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest równy 6. Równość wielomianów 8.37. Sprawdź

8.35. Podaj przykład dwóch wielomianów zmiennej rzeczywistej x, których iloczyn jest wielomianem stopnia siódmego, przyjmującym dla liczby 2 wartość 26, a jego wyraz wolny jest równy 15. 8.36. Podaj

8.34. Wykonaj mnożenie wielomianów sposobem pisemnym: a) (3x-2x+x+2)(-2x+x-3x² + 2x² + 3x + 1) b) (-2x+x³-3x² + x + 4)(-3x+2x² + x²+2x-3) c) (x²-2x² + 2x²-6x + 1)(-5×3 + 2x² – 3x + 4) d) (-2x + 4x³-3x² + 2x² + 5)(-3x + 5x-3x² + 2).

8.33. Określ stopień wielomianu W(x) oraz podaj wyraz wolny i współczynnik tego wielomianu przy najwyższej potędze zmiennej x – bez wykonywania działań. a) w(x) = (-3x² + 1)(2x-5)¹ b) w(x) = (4x²-1) (3x+2)(x-4) c) w(x)=(3x+1)2(2x-5) d) w(x)=-2x (x + 1)^(2-3x)²

8.32. Wykonaj działania: b) (3x²-x + 2)² – (3x² + x + 2)² d) (2x²- 3x)² + (x² + 4x)². a) (x-2x+1)(x² + 1) + (x² + 3x + 2)(x² – 2x) b) (2x-3x+5)(x + 4x + 1) + (x² + 2x)(x² – 4x²) c) (3x-2x²+5x+1)(x+2)+(x+4x²-1)(x²+5x) 2+4x+5)(x²-1)-(x3-4x²+2x-3)(x² + 2x). d) (x²-2x²+

8.31. Wykaz, ze (a+b+c)² = a² + b² + c²+2ab+ 2bc + 2ac. Następnie wy konaj działania 227 a) (x²-x+1)-(x²+x+1)² c) (x²+x)² + (3x² + 1)?

8.30. Wykonaj działania: a) (3x²-4x)(3x² + 4x) c) (3x² + 2x)² b) (x¹² – 1)(x² + x^) d)(^ー^)(x+1). b) (5x²-6x)² d) (9x²-x³)(9x² + x³). 8. Wielomiany

8.29. Wykonaj mnożenie: a) (x²-x°)(x5 x²) c) (x²-x 1)(x+x¹)

8.28. Dane są wielomiany: W(x)=3x-2, P(x) = x²+ 2x-1 oraz G(x) = 4x²-3x+1. Wykonaj działania: a) w(x) P(x) b) P(x) G(x) d) [P(x)] w(x). c) [w(x)] G(x)

8.27. Dane są wielomiany: W(x) = -3×3 + 2x² + 5x-1, P(x) = 2x² + 3x oraz G(x)=x-2x+4x²- 7. Wykonaj działania: a) P(x) + 26(x) b) 3P(x)-2W(x) c) W(x) – [P(x) – G(x)] d) w(x) + G(x)-3P(x).

8.26. Dany jest wielomian W(x)=-3x + 4x² + 2x-1 Wyznacz wielomian F(x) I uporządkuj go malejąco, jeśli a) F(x) = 4 w(x) b) F(x)=-0,5 W(x) c) F(x) = x²-W(x) d) F(x) = (x-1)-W(x) e) F(x) = (x²+3x) W(x) 1) F(x) = (2x²-3) W(x).

8.25. Wykonaj działania; a) (2x-3x+2x) (x²+ 8x²+4x-1)+x” + 5x+6x² b) (-3x+5x-6)-(4x+2x+4x) (-7x+3x²+8) c) 7x-6x+2x-(4x + 3x²-6)-(7x 10x³) d) 12x (x²+ 4x)-(14x³-5x’).

8.24. Dane są wielomiany w(x) 1 P(x). Wyznacz wielomian W(x) – P(x). 1 a) w(x) = 2x²-2x+ 8 x+8 8 P(x) = 0,75×7 + 5+0,125×5 +/2 8 b) w(x)=4x-12x² + 0,6x + 0,4 P(x)=-4x-12x+0,5x + 0,4 c) W(x) = 3x – √2x²+2√2x²+8x P(x)=5x-2√2x+4x-1 d) w(x) = √2x¹-3√3x²+ 4x²+1 P(x) = x²-x³+ √3x-√2

8.23. Dane są wielomiany W(x) i P(x). Wyznacz wielomian W(x) + P(x). a) W(x)-4x+ 2x³-3x²+6 b) W(x)-3x-8x+2x³-x c) w(x) = 3-4x² + 8x² + x^ d) w(x) = 1 8 x+6x³- 2 P(x)=4x-3x+2x+4x-8 P(x)=9x+9x-6x+1 P(x) = -x^-8x²+ 2x P(x) -0,25x+0,5x58x¹+0,125 – 226 Matematyka. Zbiór zadań Klasa 2. Zakres rozszerzony

8.22. Wielomian w(x) = ax + bx² + cx + d, gdzie a = 0, dla liczby 5 przyjmuje wartość 317, zaś dla liczby 1 przyjmuje wartość 12. Wykaż, że co najmniej jeden z jego współczynników nie jest liczbą całkowitą Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

8.19. Dany jest wielomian W(x) z parametrem m, m = R. Określ stopień tego wielomianu ze względu na wartość m. a) W(x)=(m-1)x+(m + 1)x²+ (m²-2m-3)x+m-3 b) W(x)-(m+ 4m-21)x+(2m-6)x+(m+7)²+3x+1

8.22. Wielomian w(x) = ax + bx² + cx + d, gdzie a = 0, dla liczby 5 przyjmuje wartość 317, zaś dla liczby 1 przyjmuje wartość 12. Wykaż, że co najmniej jeden z jego współczynników nie jest liczbą całkowitą Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

8.17. Suma wszystkich współczynników wielomianu w(x) = -2x² + (a-a”) x² + b – 4 jest równa-6 oraz W(0) = 8. Oblicz a i b. 8.18. Wyznacz współczynniki wielomianu W(x), jeśli: a) W(x)=-3x +(a + 3b)x² + cx-b oraz W(1) = 4, W(-1) = 2, W(2) = 11 W(x)=2x+(+5)+(60-b)x-12 oraz w(1)=3, w(-1)–15

8.15. Suma wszystkich współczynników wielomianu W(x)=3x-(2a + b)x² + (a – b)x + 6 jest równa 8 oraz W(-2)=-82. Oblicza i b 8. Wielomiany 225

8.13. Jeden ze współczynników wielomianu W(x) = ax + bx²+ cx jest my przez warunek W(1) W(-1)= 8. Podaj wartość tego współczynnika. Wyznacz współczynnik a wielomianu W(x) x ax – 4, wiedząc,

8.10. Wyznacz współczynnik a wielomianu W(x) = -x-2x² + ax + 3, jeśli W(-2)–1 8.11. Wyznacz współczynniki a i b wielomianu W(x)=-5x+ ax + b wiedząc, że w(-1) = 2 oraz W(2) = -31.

8.9. Wyznacz sumę wszystkich współczynników wielomianu W(x), jeśli a) W(x)=8x-2x+4x²-10 c) W(x)=(3x-2x) b) W(x)=-12x+6x+4x+1 d) W(x) = (-4x²+ 2x³)5.

8.8. Podaj przykład wielomianu W(x) zmiennej rzeczywistej x: a) stopnia piątego, który ma tylko trzy wyrazy różne od zera oraz dla x = -1 przyjmuje wartość 6, b) stopnia czwartego, który dla x=-√2 przyjmuje wartość 0.

8.6. Podaj przykład wielomianu jednej zmiennej rzeczywistej x: a) stopnia siódmego, który jest uporządkowany rosnąco i ma tylko trzy wyrazy różne od zera, b) stopnia dziewiątego, który jest uporządkowany malejąco i ma tylko pięć wyra zów różnych od zera 8.7. Dany jest wielomian W(x). Oblicz jego wartość dla podanych obok wielomianu liczb. a) W(x)x+4x-7; -3,-1, 4, 5

8.5. Uporządkuj dany wielomian malejąco. Następnie podaj stopień tego wielo- mianu oraz wypisz jego współczynniki. a) F(x)=4x-3+5x²-5x-8x c) H(x) = 2-3x+2x² + 4x” b) G(x)=9x²+8-7x-9x² + 7x d) W(x)=-4x+6+ 2x – 8x³ + 4x³ 224 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 2 Zakres rozszerzony

8.4. Uporządkuj dany wielomian rosnąco. Następnie podaj stopień tego wielomia- nu oraz wypisz jego współczynniki. a) F(x)=2-4x²+ 8x + 3x²+ 8 c) H(x)=x³-2×3+4+3x² + 1 b) G(x)=x -3x²+ 5x + 3x²+ 2x² d) W(x)=3x-9x+x²-3x+9x²

8.3. Dany jest jednomian stopnia n, n = N. Oblicz n, jeśli:

a) G(x) = 0,5x” oraz G(4) = 32

1 b) G(x)=x” oraz G(3) = 243

c) G(x) = √5x” oraz G(√5) = 125

d) G(x) = √2 x” oraz G(2√2) = 32.

8.2. Dany jest jednomian F(x). Określ jego stopień.

f) 2x + 3

i) 2x²+8 4

a) F(x)=-5-(x²)*

b) F(x) = 0,2(x)-x*

c) F(x) = 8-(x²-x³)

d) F(x) = -0,3-(x) (x*x)

8.1. Wśród poniższych wyrażeń algebraicznych znajdują się wielomiany Wskaż je. a) 3x-2x+4 b) -12x d) √x+8 e) 5-R 8) √2 h) 3x²-2x+1

40. W trójkącie prostokątnym ABC, BCA-90°, cosinus kąta CAB wynosi 0,5 Punkt D jest punktem styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt z przeciwprosts kątną AB. Wykaż, że stosunek pol trójkątów ADC DBC jest równy 3.2. 223 8. wielomiany Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej 8.1. Wśród

39. W trójkącie prostokątnym ABC, w którym C-90°, poprowadzono odo nek CD w taki sposób, że D = AB oraz 48CD=2

38. W trójkącie ABC kąt ACB jest równy 120° oraz AC = 2BC Dwusiec kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Wykaz, że stosunek promienia okr opisanego na trójkącie ABC do promienia okręgu opisanego na trójkącie DBC równy 3.1. D 39. W trójkącie

37. W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości AE i BF, które prze- cięły się w punkcie M. Wykaż, że promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie ABM. 222 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 2. Zakres rozszerzony

36. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 26 cm. Wyso- kość AE jest równa 24 cm. Oblicz: a) obwód trójkąta ABC, b) długości odcinków, na jakie wysokość CD podzieliła wysokość AE, c) stosunek pola trójkąta ADS do pola trójkąta CSF, gdzie S jest punktem wspólny wysokości AE i CD.

34. W trójkącie prostokątnym ABC dane sa: AC-3 cm, CAB-90°, KABC-30°. Przyprostokątna AB jest średnicą półkola, jak na rysunku obok. Punkt D jest punktem przecięcia półokręgu z bokiem BC. Oblicz: a) długość cięciwy DB, 30 b) pole odcinka koła, zaznaczonego na rysunku obok. D

33. Pole wycinka kola jest równe 40 cm³, a luk tego wycinka ma długość 10 cm. Oblicz: a) promień kola b) miarę kąta środkowego tego wycinka. 34.

32. Pole koła jest równe 72 cm². Cięciwa CD przecina średnicę AB w punkcie E, odległym o 5 cm od środka koła. Wiedząc, że pole trójką ta EBD jest 9 razy większe od pola trójkąta ACE, oblicz odległość cięciwy CD od środka koła. 33. Pole

31. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego ABC pozostają w stosunku AC: AB = 3:4. Symetralna przeciwprostokątnej BC przecina bok BC w punk- cie D i bok AB w punkcie E. Jaką część pola trójkąta ABC stanowi pole trójką ta EBD? AN 7. Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole koła 221 32. Pole

30. W trapezie ABCD, w którym ABDC, przekątne przecinają się w punkcie [. Wiedząc, że pola trójkątów ABE i CDE są odpowiednio równe 90 cm² 40 cm², oblicz pole trójkąta AED. 31. Przypr

29. W trójkącie ABC, w którym AC = 12 cm, BC = 4 cm, dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Wiedząc, że pole trójkąta ADC jest o 6√3 cm² większe od poła trójkąta DBC, oblicz pole trójkąta ABC. 30. W tra