Autor: usrob

28. W trójkącie ABC dane sa. AC-20, BC|-15 C-30°. Punkt D należy do boku BC oraz pole trójkąta ADC jest dwa razy większe od pola trójkąta ABD. Oblicz AD 29. W trójkącie ABC

27. W danym trójkącie poprowadzono dwusieczną jednego z kątów. Wykaz, że jeśli pola powstałych dwóch trójkątów są równe, to dany trójkąt jest równoramienny. 28. W trój

26. Punkty D, E, F są środkami boków trójkąta ABC. Punkty G, H należą do odcinka DE Wykaż, że: a) pola trójkątów AFG, FBH oraz DEC są równe, GH E b) suma pól trójkątów niebieskich jest równa polu jednego białego trójkąta. D

25. Dwa boki trójkąta mają długość: a=7 cm, b=8 cm. Promień okręgu wpisane go w ten trójkąt jest równy √5 cm. Wiedząc, że pole trójkąta wynosi 125 cm², oblicz: a) długość trzeciego boku, b) sinusy kątów tego trójkąta.

24. Dwa boki trójkąta mają długość 28 cm i 25 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 14 cm. Wiedząc, że pole trójkąta wynosi 210 cm³, wyznacz a) dlugość trzeciego boku, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

23. Dwa boki trójkąta mają długość 8 i 5, a kąt między tymi bokami jest równy: a = 60°. Oblicz: a) długość boku trójkąta, b) wysokość poprowadzoną na trzeci bok, c) długość odcinka dwusiecznej kąta a, zawartego w tym trójkącie, d) długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta a. 220 Matematyka Zbiór zadań klasa 2 Zakres rozszerzony

22. Boki trójkąta mają długość: 13 cm, 20 cm, 21 cm. Oblicz: a) pole tego trójkąta, b) sinus kąta, c) promień okręgu wpisanego w trójkąt, d) promień okręgu opisanego na trójkącie.

21. Pole trójkąta prostokątnego wynosi 240 cm², a tangens jednego z kątów 7 ostrych jest równy 1. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. 8

19. W trójkącie ABC bok BC ma długość 16 cm oraz

17. Boki trójkąta mają długość a, b, c; kąty są odpowiednio równe a, B. y. R jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie. Rozwiąż ten trójkąt, jeśli: a)=√6, b=2, B- 45° c) R=c=5, α=60° b) a=2, b = √2, a=45° d) R-3, a√27, 8=45°, c

15. Dane są dwa okręgi współśrodkowe. Cięciwa AB więk szego okręgu ma długość 10 cm i jest styczna do mniejszego okręgu. Pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi jest równe: A. 25 cm² C. 50 cm² B. 100% cm² D. 75 cm². 7. Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole koła 219 Zadania powtórzeniowe do rozdziału 7.

14. Pole wycinka koła o promieniu 12 cm jest równe 60 cm². Kąt środkowy, wy znaczający dany wycinek koła jest równy: A. 150 B. 135 C. 120° D. 90°

13. Na rysunku obok dany jest wycinek koła, którego kąt jest równy 45°, Jeśli luk tego wycinka ma długość, to pole koła jest równe A. a 8.4% C. 8 D. 16

12. Pole trójkąta wynosi 48 cm². Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3 cm. Obwód tego trójkąta jest równy: A. 16 cm B. 32 cm C. 72 cm D. 144 cm

11. Na rysunku obok punkty A i B są środkami dwóch sąsiednich boków kwadratu. Jaką część pola kwadratu stanowi pole trójką ta ABC? A. B. 3 C. 2 5 D

10. W trójkącie dwa boki mają 8 cm i 5 cm, a kąt między tymi bokami jest równy 150° Pole tego trójkąta jest równe: A. 20 cm² 8. 10√3 cm² C. 10√2 cm² D. 10 cm² 11. Na

8. Boki trójkąta mają długość: 3, 4, 5. Pole kola opisanego na tym trójkącie jest rowne A. Sπ 8. 6,25 C. 10 ▷ 25π

7. Odcinek CD jest środkową w trójkącie ABC. Trójkąt DBC ma pole Pole trójkąta ABC wynosi: B. 5 cm² C. 6 cm² D. 7,5 cm² A. 4,5 cm² 218 Matematyka, Zbiór zadań Klasa 2 Zakres rozszerzony

6. Na boku AC trójkąta ABC zaznaczono punkty D, E w taki sposób, że AEED DC. Przez punkty E, D = poprowadzono do boku AB, które po- dzieliły trójkąt na trzy rozłączne figury o polach równych odpowiednio P1, P2, P3, (zobacz rysunek obok). Zatem: P₂ równe 3 cm Ps A. P: P, 1:2 B. P₂: P=2:3 C.P₂: P=4:9 D. P₂ : P3=3:5

5. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona na przeciwprostokątną dzie ją na dwa odcinki, długości 2 cm i 8 cm. Pole tego trójkąta jest równe: A. 16 cm² B. 20 cm² C. 24 cm² D. 28 cm² D

4. Trójkąt A,B,C, o polu 36 cm² jest podobny do trójkąta ABC o polu 4 cm. Skal podobieństwa trójkąta A,B,C, do trójkąta ABC jest równa:

A. 3

B. 9

C. 12

D. 1

3. Pole jednej kratki wynosi 1. Pole figury na rysunku obok 9 A. h=3 cm 25 C. h=6,72 cm 23 D. h=5 cm 25 jest równe: A. 8 B. 8,5 C. 9 D. 9,5.

2. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 7 cm i 24 cm. Niech oznacza odległość wierzchołka kąta prostego od przeciwprostokątnej tego trójkąt Wówczas: B. h = 12,5 cm

1. Trójkąt prostokątny równoramienny ma pole równe 2 cm². Z tego wynik że przyprostokątna ma długość: A. √2 cm B. 2 cm C. 2√2 cm D. 4 cm

7.156. Wykaż, że jeśli suma wysokości trójkąta jest 9 razy większa od długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to ten trójkąt jest równoboczny. pole trójkąta, pole kota

7.154. Na bokach trójkąta ostrokątnego zbudowano kwadraty, następnie popro wadzono proste zawierające wysokości te- go trójkąta. Te proste podzieliły kwadra- ty na sześć prostokątów (zobacz rysunek obok). Wykaż, że prostokąty w tym samym kolorze mają równe pola.

7.150. W trójkącie dwa boki mają długość a i b, a kąt zawarty między nimi jest równy a. Niech x oznacza długość odcinka dwusiecznej tego kąta, zawartego w tym trójkącie. Wykaż, że: a) jeśli a = 120°, to x=- ab a+b b) jeśli a = 90°, to x= ab√√2 a+b 216 Matematyka, Zbiór zadan Klasa 2. Zakres rozszerzony

7.149. W trójkącie ABC dane są:

7.146. W trójkąt prostokątny, którego przyprostokąt ne mają długość o ib, gdzie a > b, wpisano prostokąt, jak na rysunku obok Stosunek boków prostokąta jest równy 1:2. Wykaż, że długość krótszego boku prosto- ab kąta jest równa lub ab 20+ b a+2b ku pole prostokąta jest większe? W którym przypad- 0 D7.147. Punkt M

7.145. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym O przeciwprostokątnej BC. Z punktu M lezącego na boku BC poprowadzono odcinki MD oraz MS prostopadle odpowiednio do przyprostokątnych AC MD MS AB AC =1. oraz AB. Wykaż, że

7.144. W kąt o mierze 60° wpisano dwa koła styczne do ramion kąta i styczne zewnętrznie do siebie. Wyznacz pole większego koła, jeśli pole mniejszego jest równe 5. 7. Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole koła 215 M b Zastosowanie pojęcia pola w dowodzeniu twierdzeń

7.141. W kole z jednego punktu okręgu poprowadzono dwie cięciwy; każda ma długość 6 cm. Wiedząc, że utworzyły one kąt 60°, oblicz pole części kola za wartej między tymi cięciami. 7.142. Odległość

7.139. Wycinek koła jest wyznaczony przez kąt środkowy, zaznaczony na poniżej. W wycinek wpisano kolo o polu P. Oblicz pole wycinka, jeśli a) P = 4 cm² rysunku b) P = 9x cm² 7.140. W

7.137. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Oblicz stosunek pola koła wpisanego w ten trójkąt do pola koła opisanego na tym trójkącie. 7.138. Kąt w koło ma miarę 45° i jest oparty na łuku długości 37 cm. Oblicz pole wycinka koła, wyznaczonego przez ten sam łuk. 214 Matematyka Zbiór zadan Klasa 2 Zakres rozszerzony.

7.135. Dane jest koło o środku w punkcie O i promieniu r Oblicz pole odcinka tego koła (zaznaczonego na rysunku obok), wyznaczonego przez łuk długości L, jeśli: a) r=2, L-R cr=6, 15. b) r=3,1 = 2π

7.134. Pole wycinka koła jest równe P, a luk tego wycinka ma długość L. Oblicz promień koła, jeśli: a) P = 10 cm², 1 = 2,5 cm b) P = 30 cm², L = 12 cm c) P=210 cm², L = 14 cm.

7.133. Promień kola jest równy r. Kąt wycinka tego koła ma miarę a. Oblicz pole c) r = 5 cm, α = 54°. wycinka, jeśli: a) r=9 cm, α=20° b) r=12 cm, a=150°

7.132. Kazde z czterech mniejszych kół ma pro- mień 1. Większe koło ma promień 2. Wykaż, że pole figury niebieskiej jest równe polu figury szarej 213

7.131. Średnicę AB koła podzielono na cztery równe odcinki. Oblicz, jaką część pola tego koła stanowi figura zaznaczona kolorem niebieskim, jeśli: a) okręgi wyznaczające tę figurę są styczne wewnętrznie, a ich średni ce są zawarte w średnicy AB b) tuk wewnątrz kola jest sumą dwóch półokręgów (patrz rysunek poniżej) 7. Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole kota

7.130. Wysokość CD trójkąta ABC ma długość 5 cm i dzieli bok AB na dwa od cinki: AD = 4 cm, [DB] = 8 cm. Poprowadzono prostą EF równoległą do CD, która przecięła boki ABI BC odpowiednio w punktach F i F. Wiedząc, że odcinek EF dzieli ten trójkąt na dwie figury o równych polach, oblicz jego długość. Pole koła, pole wycinka kota

7.129. W trójkąt równoramienny ABC wpisano okrąg. Następnie poprowadzono dwie proste równolegle do podstawy AB: prostą /-styczną do okręgu prostą k przechodzącą przez środek okręgu. Te proste podzieliły trójkąt na trzy wielokąty, których pola pozostają w stosunku 1:3.5 (licząc od pola trójkąta). Wykaż, że trój kąt ABC jest równoboczny.

7.128. W ostrokątnym trójkącie równoramiennym ABC, ACBC, wysokość CD przecięła się z wysokością AE w punkcie S. Wysokość AE dzieli ramię BC trójkąta na odcinki BE i FC, których długości pozostają w stosunku [BE]. FC 1.2 a) Oblicz sinus kąta EAB. c) Wyznacz stosunek pola trójkąta ADS do pola trójkąta SEC. D 7

7.127. W trójkąt ABC wpisano kolo, które jest styczne do boków AC 1 BC odpo wiednio w punktach Di E. Wiadomo, że AD = EB = 7 cm oraz DE = 10,08 cm Da) Wykaż, że trójkąt ABC jest równoramienny. b) Oblicz pole trójkąta ABC 7.128. W o

7.126. W kole poprowadzono cięciwy AB i CD, któ- re przecięły się w punkcie E. Pole trójkąta AFC jest o 210 cm² większe od pola trójkąta EDB. Wiedząc, te AE = 40 cm, |ED = 16 cm oraz |BE = 10 cm, oblicz: a) długość odcinka CE, b) pola trójkątów AEC i FDB, c) miarę kąta przecięcia się cięciwy AB z cięciwą CD. 212 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 2 Zakres rozszerzony

7.123. W trójkącie prostokątnym ABC stosunek przyprostokątnych jest równy AC AB =5:12 Punkt D nalezy do przeciwprostokątnej BC oraz CD:\DB)=5:8. Punkt E należy do przyprostokątnej AB i ED I CB. Oblicz stosunek pola czworoką ta AEDC do pola trójkąta EBD. 7.124. W tr

7.122. W trójkącie prostokątnym ABC stosunek przyprostokątnych jest równy AB AC-4.3. Punkt D dzieli przyprostokątną AB na odcinki takie, że D8-3 AD Punkt E należy do przeciwprostokątnej BC odcinek DE jest prostopadły do bo- ku BC. Oblicz, jakim procentem pola trójkąta ABC jest pole trójkąta DBF 7.123. W tr

7.121. W trójkącie prostokątnym ABC, A=90, przyprostokątna AC ma długość 12 cm Odcinek DE, prosto- padły do przeciwprostokątnej BC, dzieli trójkąt na dwie figury o polach równych P=6 cm i P₂-90 cm². Oblicz długoś ci boków trójkąta 7.122. W

7.119. W trójkąt równoramienny ABC o bokach długości 13 cm, 13 cm, 10 cm wpisano koło. Styczna do koła, równoległa do podstawy, odcina od trójkąta ABC trójkąt DEC. Oblicz pole trójkąta DEC. 7 Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole koła 211 7.120. W

7.118. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 40 cm. W trójkąt wpisano kolo, które jest styczne do ramion trójkąta w punktach DiE Wiedząc, że |DE = 8 cm, oblicz: a) pole trójkąta DEC b) pole czworokąta ABED. 7.119. W trójkąt

7.117. W trójkącie ABC na rysunku obok punkt F należy do boku AC oraz EC AE = 1:3, natomiast punkt F jest środkiem odcinka BC. Proste pro- stopadłe do podstawy AB i przecho- dzące odpowiednio przez punkty E IF odcięły dwa trójkąty, których pola są odpowiednio równe 9 i 2. Oblicz pole trójkąta ABC. 7.118.