Autor: usrob

7.116. Odcinki KL i MN są równo legle do podstawy AB trójkąta ABC. Stosunek pól figut KLC, MNLK 1ABNM w podanej kolejności wynosi 1: 8:7. Oblicz |KI MN AB M N do pod 7.117. W

7.114. W trójkącie ostrokątnym poprowadzono dwie proste równolegle stawy, które podzieliły wysokość trójkąta opuszczoną na tę podstawę na trzy od cinki równej długości Oblicz stosunek pól powstałych w wyniku tego podziału figur

7.113. Podstawa AB trójkąta ABC ma długość 24 cm. Na boku AC zaznaczon punkty A, A, a na boku BC punkty B,, B, w taki sposób, że A,B,ABIA,B,AB Wiedząc, że A,B,-8 cm, 4,8,1-20 cm, oblicz stosunek pól. a) trójkątów A,B,C, A,B,CIABC b) wielokątów A,B,C,A,B,B,A,I ABBA

7.112. Odcinek A,B, jest równoległy do odcinka AB. Na podstawie danych na ry- sunku oblicz stosunek pola trójkąta A,B,C do pola trójkąta ABC. b) a) 2,5 B 8 20 30 B d) 210 Matematyka Zbiór zadan Klasa 2 Zakres rozszerzony

7.111. Trójkąt ABC ma obwód równy 33 cm, a jego pole wynosi 18 cm². Oblicz ob- wód trójkąta A,B,C, podobnego do trójkąta ABC wiedząc, że pole trójkąta A,B,C, jest równe 2 cm².

7.109. W trójkącie równoramiennym ramię jest dwa razy dłuższe od podstawy, a suma promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 11 cm. Oblicz długość podstawy trójkąta. Pola trójkątów podobnych

7.107. Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, którego obwód jest równy 70 cm, a pole wynosi 210 cm².

7.105. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 25 cm. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3 cm. Oblicz pole tego trójkąta. 7 Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole koła 209 7.106. Promień

7.104. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 8 cm i 6 cm wierzchołek kąta prostego poprowadzono prostą, która podzieliła ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Oblicz: a) pola powstałych trójkątów, b) stosunek promieni okręgów wpisanych w te trójkąty.

7.103. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 8 cm. W trójkąt ten wpisano okrąg. Punkty D E są punktami styczności okręgu, odpo wiednio z ramionami AC BC tego trójkąta, przy czym |DC+CE|-|DA+AB+8 Oblicz: a) pole trójkąta ABC, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

7.102. Boki trójkąta mają długość 25 cm, 39 cm, 56 cm. Oblicz: a) wysokości tego trójkąta, b) sinus najmniejszego kąta, c) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

7.101. Boki trójkąta mają długość 21 cm, 17 cm, 10 cm. Oblicz: a) pole trójkąta, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, c) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

7.100. Promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym jest równy 5√3

Wiedząc, że kąty przy podstawie są równe 30°, oblicz pole tego trójkąta,

7.98. Dwa boki trójkąta ostrokątnego mają długość 8 i 3, a jego pole jest rów ne 6√√3. Oblicz a) miarę kąta między tymi bokami, b) długość trzeciego boku, c) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, d) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. 7.99. Promień

7.97. Dwa boki trójkąta ostrokątnego mają długość 17 cm i 25 cm, a jego pole jest równe 210 cm². Oblicz: a) sinus kąta między ramionami trójkąta, b) długość trzeciego boku, promień okręgu opisanego na tym trójkącie. 208 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 2 Zakres rozszerzony 7.98. Dwa

7.96. Dwa boki trójkąta mają długość 42 cm 20 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 21 cm. Wiedząc, że pole trójkąta jest równe 336 cm³, wyznacz: a) trzeciego boku, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. 7.97.

7.95. W trójkącie dwa boki mają długość 15 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 12,5 cm. Wiedząc, że pole trójkąta jest równe 108 cm³, wyznacz: a) długość podstawy tego trójkąta, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. 7.96. Dwa

7.94. W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 32 cm, a cosinus kąta przy podstawie jest równy 0,8. Oblicz a) pole tego trójkąta, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie 7.95. W

7.93. Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 16 cm, Wiedząc, że pole tego trójkąta jest równe 120 cm², oblicz a) długość ramienia, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie

7.91. Pole trójkąta równoramiennego wynosi 168 cm. Promień okręgu wpisane o 11 cm. nie mniejszy od 45° go w ten trójkąt jest równy 5 cm. Wiadomo, że ramię jest dłuższe od podstawy 4 a) Oblicz długości boków tego trójkąta. b) Wykaz, że kąta między ramionami tego trójkąta jest większy od 30° jednocześ

7.90. Pole trójkąta równoramiennego wynosi 48 cm, a sinus kąta przy podstawie jest równy 0,8. Oblicz: a) obwód trójkąta, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. 7. Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole kota 207

7.89. W trójkącie ABC dane są kąty: dA-30°, 48=45°. Wysokość CD jest

równa 3 cm.

a) Oblicz pole trójkąta ABC.

b) Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Podaj przybliżenie dziesiętne

wyniku z dokładnością do 0,1 cm.

7.90. Pole

7.86. Punkt E jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD, gdzie AB|| DC Pola trójkątów ABE i CDE są odpowiednio równe P, IP, Niech P oznacza pole trapezu ABCD. Wykaż, że P-(√R+ √B)’. Pole trójkąta, cz. 2

7.84. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym

7.83. Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB. Środkowe AL i BK przecinają się w punkcie 5 po kątem 60° (patrz rysunek obok). Wiadomo, że pole trójkąta ABS jest równe √3. a) Oblicz długości boków trójkąta ABC. b) Czy kąt ACB jest równy 30°? Odpowiedź uzasadnij. 206 Matematyka Zbiór zadań Klasa 2 Zakres rozszerzony

7.82. Dwa boki trójkąta ABC mają długość AC = 6, BC= 12, a kąt ACB ma mia rę 120°. Przez punkt C poprowadzono prostą prostopadłą do boku AC, która prze- cięła bok AB w punkcie D. a) Oblicz długość odcinka CD. Db) Wykaż, że punkt D jest środkiem boku AB

7.81. Dwa boki trójkąta ABC mają długość: AC = 4, BC = 6, a kąt ACB ma mia- rę 150°. Przez wierzchołek C poprowadzono prostą prostopadłą do boku BC, która przecięła bok AB w punkcie D. Oblicz: a) długość odcinka CD b) pola trójkątów ADC i CDB.

7.80. Dwa boki trójkąta mają długość a b. Kąt zawarty między tymi bokami jest równy 7. Oblicz długość odcinka dwusiecznej kąta y, zawartego w tym trójkącie, jeśli: a) a = 8, b = 6, y = 90° b) a = 4, b = 5, y = 60° 7.81. Dwa

7.79. Środkowe CD BE trójkąta ABC przecinają się pod kątem 45°, jak na rysunku obok. Wiedząc, je |BE = 12 cm oraz CD = 21 cm, oblicz pole trój- kąta ABC.

7.77. Pole trójkąta ABC jest równe 24 cm². Środkowa CD ma długość 9 cm, a sinus ką- ta BDC jest równy 3 Oblicz długość boku AB.

7.75. W trapezie ABCD, AB | DC, poprowadzono przekątne, które przecięły st w punkcie P. Wykaż, że pola trójkątów BCP i APD są równe. 7 Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole kota 205

7.74. Przekątne czworokąta dzielą ten czworokąt na cztery trójkąty. Dane są pola trzech trójkątów (zo- bacz rysunek obok). Oblicz a) stosunek długości odcinków, na jakie punkt przecię cia przekątnych dzieli te przekątne, b) pole czwartego trójkąta 75 30 45

7.72. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 10 cm, a wysokość CD jest równa 12 cm. Oblicz pole trójkąta ABE, jeśli punkt E należy do boku AC oraz:

a) AF = EC

b) AEEC = 2:1.

7.71. Każdy bok czworokąta jest podzielony dwo- ma punktami na trzy równe odcinki. Punkt P jest do wolnym punktem leżącym we wnętrzu czworokąta, (zobacz rysunek obok). Wykaż, że suma pól białych czworokątów jest dwa razy większa od sumy pól nie- bieskich trójkątów.

7.70. Punkt P leży dowolnie wewnątrz trójkąta, jak na rysunku obok. Każdy bok tego trójkąta jest podzielony jednym bokiem odpowiedniego niebieskiego trójkąta na dwa równe odcinki Wykaż, że suma pól białych trój. kątów jest równa sumie pól niebieskich trójkątów.

7.67. Pole trójkąta jest równe 20 cm², a jeden z jego kątów ma miarę 150°. Wie- dząc, że wysokości poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych pozostają w sto- sunku 5:4, oblicz długości boków trójkąta przy kącie rozwartym. 12 13 orar sin CBA-0,8 204 Matematyka. Zbiór zadań klasa 2. Zakres rozszerzony D7.68. Wi

7.66. W trójkącie równoramiennym cosinus jednego z kątów jest równy -0,8. Wiedząc, że pole trójkąta jest równe 7,5 cm², oblicz a) długości boków trójkąta b) sinus kąta przy podstawie. 7.67. Pole

7.65. W trójkącie ostrokątnym dwa boki mają długość 5 cm i 8 cm. Pole tego trój- kąta jest równe 10√3 cm². Oblicz: a) trzeciego boku, b) wysokość poprowadzoną na trzeci bok tego trójkąta. 7.66. W

7.64. W trójkącie, którego pole jest równe 27 cm², dwa boki mają długość 18 cm 16 cm. Wiedząc, że kąt między danymi bokami jest rozwarty, oblicz a) miarę tego kąta b) długość trzeciego boku. 7.65. W trójkącie

7.63. Dwa boki trójkąta mają długość 10 cm 12 cm, a jego pole jest równe 30 cm² Jaką miarę może mieć kąt tego trójkąta między danymi bokami? 7.64. W trójkącie

7.62. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki mają długość 10 cm 14 cm, a kąt między nimi jest równy a) 30° b) 120° c) 135 7.63. Dwa

7.61. W trójkącie ABC dane są. BC-15 cm, sin

7.59. Wysokości trójkąta pozostają w stosunku 20 15:12 Da) wykaż, że ten trójkąt jest prostokątny. b) Oblicz sume sinusów wszystkich kątów tego trójkąta. 7.60. W tró

7.58. W trójkącie równoramiennym ABC stosunek długości podstawy AB do ra mienia BC jest równy 4 √5. Wiedząc, że pole trójkąta jest równe 50, oblicz: a) długości boków trójkąta, b) wysokość poprowadzoną z wierzchołka A. 7.59. Wysokości

7.57. W trójkącie równoramiennym długość podstawy wynosi 16 cm, a wysokość poprowadzona na tę podstawę jest równa 15 cm. Oblicz wysokość poprowad na ramię trójkąta 7. Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole koła 203 7.58. W trójkącie

7.56. W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów jest równy 3 okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 7 cm. Oblicz pole tego trójkąta. 5 Promien 7.57. W trójkącie

7.55. W trójkącie prostokątnym cosinus jednego z kątów jest równy 12 13 a pro mień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 13 cm. Oblicz pole tego trójkąta 7.56. W trójkącie

7.54. Pole trójkąta prostokątnego jest równe 136,5 cm², a cosinus jednego z kątów 84 Oblicz długości boków tego trójkąta. wynosi 85 7.55. W

7.53. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta pro- stego jest równa 12 cm dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki, których długości pozostają w stosunku 4:9. Oblicz pole tego trójkąta. 7.54. Pole

7.51. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest o 4 cm dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz a) wysokość trójkąta b) pole tego trójkąta. 7.52. W trójkąci