Autor: usrob

7.49. Na rysunku obok dane są trzy figury: kwadrat, trójkąt równoboczny i koło, których pola są odpowiednio równe: s, t, w. Wyraź pola figur umiesz- czonych poniżej za pomocą pól s, t, w. a) A b) 202 Matematyka Zbiór zadań klasa 2. Zakres rozszerzony d) Pole trójkąta, cz. 1

7.48. Pole jednej kratki jest równe 1. Oblicz pola poniższych figur. a) b) d) 88

7.47. W trójkącie ostrokątnym ABC kąty przy wierzchołkach A i B są odpowied nio równe ai ẞ. Wiedząc suma trzech wysokości tego trójkąta jest równa m, oblic długości boków tego trójkąta. 7. Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole kota Pole figury płaskiej 201

7.46. W trójkącie ABC dane sa:

7.41. Wykaż, że w dowolnym równolegloboku suma kwadratów długości przeką nych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków. D 7.42. W trójkącie ABC dane są kąty:

7.40. Kąty trójkąta ABC są odpowiednio równe a, B. y. Wykaz, że jeśli to 2cos-cos’α-1. BC AC 200 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 2. Zakres rozszerzony

7.39. W trójkącie ABC poprowadzono środkową CD. Wykaż, ze jeśli 80C-60°,

to AC-BC=|AB|-|CD|

7.36. W trójkącie prostokątnym równo ramiennym ABC przyprostokątne mają dlugość. AC-BC-√2. Punkty D, E na = leżą do przeciwprostokątnej AB oraz ACD=

7.35. Na rysunku obok punkty A, B, C, D naleza do okręgu o środku O oraz AD = IDC Wiedząc, ze BC=8, ACAB + 61 ABC=120°, oblicz obwód czworokąta ABCD. 7.36. W

7.33. Wykaż, że nie istnieje trójkąt ABC, w którym BC|=179, AC = 89, |B|= 30° 7.34. Boki trójkąta mają długość a, b, c, kąty są odpowiednio równe a, B. y, a R jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie. Rozwiąż ten trójkąt, jeśli a) a-√6, b-2, -45° c) R=c=5, a=60° b) a=2, b=√2, a=45° d) R-3, a-√27, 45°, c

7.32. Rozwiąż trójkąt ABC, w którym: a) [BC= 178, AC = 89, 48 = 30° b) BC = 160, AC = 89, <8 = 30° D7.33. Wykaż

7.31. Rozwiąz trójkąt ABC, w którym: a) AC=72, BC=73, |

7.29. Na boku BC trójkąta równobocznego ABC wybrano punkt P że |BP|==|PC|. Wykaż, że cosinus kąta PAC jest równy 2√7 7 Zastosowanie twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów do rozwiązywania zadań 7.30. Rozwiąż

7.28. W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC, AC = AB, poprowad no środkowe CD i BE, które przecięły się w punkcie M. Wykaż, że cos

7.25. W trójkącie ABC boki mają długość: AB iAC-8 cm. Oblicz długości środkowych CD i BE 7.26. Boki trójkąta ABC mają długość: AB 18 cm, BC= 15 cm o = 10 cm, = AC = 12 cm. Oblicz a) długość środkowej CD, b) promień okręgu opisanego na trójkącie ADC.

7.22. W trójkącie ABC mamy dane: JAC)-6 cm. BC-4 cm oraz sin ACB Oblicz obwód trójkąta ABC. 22 3 198 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 2 Zakres rozszerzony

7.21. W trójkącie ABC dwa boki mają długość: |AB| = 2 cm i |AC = 4 cm, a sinus kąta BAC jest równy √15 4 Da) Wykaż, że jeśli kąt BAC jest ostry, to trójkąt ABC jest równoramienny. b) Oblicz długość boku BC w przypadku, gdy BAC (90°, 180°).

7.19. Boki równolegloboku mają długość a i b, a kąt ostry jest równy y. Oblicz długość przekątnych tego równolegloboku, jeśli: a) a=4 cm, b=3√2 cm, y=45° b) a = 3 cm, b = 5 cm, y = 30°. 7.20

7.18. Boki trójkąta ABC mają długość: [BC]=S, AB-2√2-1 oraz AC-2√2+1. Oblicz miarę kąta przy wierzchołku A. 7.19.

7.16. Dane są długości boków trójkąta. Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, pro stokątny czy rozwartokątny. Podaj miarę największego kąta tego trójkąta a) a = 10 cm, b = 9 cm, c = 5 cm b) a = 4 cm, b = 10 cm, c = 12 cm c) a=2√2 cm, b=√26 cm, c=3√2 cm

7.14. Dane są długości boków a b oraz kąt miedzy tymi bokarni równy y, Oblicz długość trzeciego boku, jeśli 197 a) a = 3, b = 9, y=120° b) a-2√2, b-6, 7-45° 7.15

7.13. Wykaż, że jeśli promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy długoś jednego z boków trójkąta, to kąt trójkąta leżący naprzeciw tego boku ma miarę 30 lub 150°. 7. Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole koła Twierdzenie cosinusów

7.10. W trójkącie rozwartokątnym ABC dane są długości boków: |AB|=3√2, BC-3-√3. AC-2√3. Wyznacz: a) miarę kąta ACB, b) promień okręgu opisanego na trójkącie ABC.

7.9. W trójkącie równoramiennym rozwartokątnym najdłuższy bok ma długość Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 2√3, oblicz a) miary kątów trójkąta b) obwód tego trójkąta. 7.10. W

7.8. W trójkącie ABC mamy dane: |AB|= 12, BC|=6√2 oraz |

7.6. Boki trójkąta leżące naprzeciw kątów a, B, y mają odpowiednio długość b, c. Na trójkącie opisano okrąg o promieniu R. Oblicz a) R, jeśli tay= -3 c-6 cm, b) a, jeśli tga, cosy = 15 √ c) c, jeśli ctgα = 1, cosy = 2 b=9,66 cm, 2, c = 17 cm, √2 d) b, jeśli tga = √3, cosẞ = 2, c=19,32 cm.

7.5. W trójkącie ABC bok AB ma długość c, zaś kąty trójkąta przylegające do bo ku AB są równe ai B. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie, jeśli: a) c = 8 cm i sin(a + ẞ) == b) c = 13,5 cm i sin(a + B): 3 4 8 c) c = 20 cm i cos(a+B)=- 5 13 d) c = 15 cm i cos(a + B)= 17 196 Matematyka. Zbiór zadań Klasa 2 Zakres rozszerzony 7.6. Boki

7.4. W trójkącie kąty są odpowiednio równe a, ẞ, y, a boki naprzeciw kątów mają odpowiednio długość a, b, c. Oblicz: 3 a) b, jeśli: sina = 5 i cos ẞ= oraz a = 8 cm, 5 b) c, jeśli: cos a = -0,174 i cos y = 0,719 oraz a = 19,7 cm. 7.5. W t

7.3. W trójkącie ABC kąty są odpowiednio równe a, B. y. Oblicz::

a) długość boku AC, jeśli a = 48°, y= 70°, BC = 5 cm,

b) długość boku AB, jeśli a = 17°, y= 32°, AC = 7,55 cm.

7.4.

7.2. W trójkącie ABC kąty są odpowiednio równe a, B, y, a promień okręgu opi sanego na tym trójkącie jest równy R. Oblicz:

a) długość boku AB, jeśli u = 28°, B=32° oraz R = 8 cm, b) długość boku AC, jeśli a = 65°, y= 83° oraz R = 10 cm.

7.3

7.1. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, jeśli:

a) AC = 3 oraz

35. Dwa okręgi o: x² + y²+4x-6y+3=0 oraz o; x² + y²-4x-12y + 23=0 przecinają się w punktach A i B. a) współrzędne tych punktów. Db) Wykaż, że cosinus kąta nachylenia prostej AB do osi OX jest równy-0,6. 195 Geometria płaska 7. rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole kota

34. Punkt wspólny prostych k: y = 2x + 1 oraz m: y = -2x + 1 jest punktem prze cięcia się przekątnych prostokąta ABCD. Wiedząc, że przekątne prostokąta ma długość 10, oblicz współrzędne jego wierzchołków. 35. Dwa

33. Proste k: y = x oraz m: y = -x+8 przecinają się w punkcie A, należącym do paraboli p: y = a(x-2)’. a) Oblicz współrzędne punktu A oraz współczynnik a. b) Każda z prostych kim przecina parabolę p w drugim punkcie: prosta k w punk- cie B, prosta m w punkcie C. Oblicz współrzędne tych punktów. c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC. 34. Punkt

32. Rozwiąż dany układ algebraicznie. Następnie przedstaw ilustrację graficzną tego układu. a) 4y²-(x+2) b) y=x²-2x+1 x²-2x+ y²-4y+1=0 33. Proste

31. Rozwią dany układ algebraicznie. Następnie przedstaw ilustracje grafic tego układu. a) -3 (x-2)+(-3)-20 b) 32. Rozwiąż

30. Prosta ki y3-x przecina parabolę p: y=x+6x+9 w punktach A 18. a) Oblicz współrzędne punktów A i B. Db) Wykał, że oś symetrii paraboli przecina odcinek AB w punkcie, który dzieli ten odcinek w stosunku 3:2. 31. Rozwią

29. Dane są punkty: A(-2, 6), B(-4, 0). Wyznacz na osi Oy punkt C taki, že < ACB = 90°. 194 Matematyka zbiór zadań Klasa 2. Zakres rozszerzony 30. Prosta

28. Dany jest punkt C(-4, 4) oraz prosta k: x-5y+11=0. Wyznacz na prostej k punkty A i 8 spełniające warunek: JAC JBC √13. 29. Dane

27. Dane są punkty A(-4, 0), B(2,-2) oraz prosta k: x + y -6 = 0. Wyznacz na prostej k punkt C tak, aby ACBC. 28. Dany

26. Dane są punkty: A(-4,-5), 8(2,-5), C(-2,-1). Wykaż, że środek okręgu opisa nego na trójkącie ABC ma współrzędne (-1,-4), a jego promień jest równy √10. 27. Dane

25. Doprowadź równanie okręgu o: x²+ y²+3x-5y-0,5 = 0 do postaci kano- nicznej. Podaj współrzędne środka i promień tego okręgu. 26. Dane s

24. Dane są proste k: ax + 2y -4=0 oraz m: 8x+ay-12=0. Wyznacz liczbę a, dla której te proste: a) są równolegle b) są prostopadle. Sprawdź, czy dla wyznaczonej liczby a istnieje postać kierunkowa równania prostej k i równania prostej m. 25. Doprowadź

23. Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB, jeśli A(-2, 0), B(7,3). 24. Dane są proste k: ax + 2y -4=0 oraz m: 8x+ay-12=0. Wyznacz liczbę a, dla której te proste: a) są równolegle b) są prostopadle. Sprawdź, czy dla wyznaczonej liczby a istnieje postać kierunkowa równania prostej k i równania prostej m.

22. Wyznacz równanie ogólne prostej, do której należą punkty: a) A(5,-6), B(-2, 8) b) A(-3, 9), 8(-3, 12)

21. Wyznacz równanie prostej, nachylonej do osi OX pod kątem a przechodzącej przez punkt P, jeśli a) a-30°, P(√3,-1) b) a = 120°, P(-√6,√8) c) cos a- = 2P(9,-1)

20. Wyznacz równanie: a) prostej, równoległej do prostej k: 2x-3y+1=0 przechodzącej przez P(-17, 2). punkt b) prostej, prostopadłej do prostej k:-x+5y-7=0 i przechodzącej przez punkt P(-3, 11).

18. Dane są punkty: A(-6, 1), B(3,-2), C(4, 1), D(-5, 4). Wykaż, że czworoką ABCD jest prostokątem. 6. Geometria analityczna 193

17. Dane są punkty: A(-3, -1), B(1, 4), C(-1,7), D(-5, 2). Wykaż, że czworok ABCD jest równoleglobokiem.

15. Prosta k: y = 2x + 1 przecina parabolę p: y = (x-1) w punktach A B. Środek odcinka AB ma współrzędne: A. (0,5) 8. (2,5) C. (1,3) D. (1,5)