Kategoria: Matematyka 4 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

4.34. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, polega jącego na pięciokrotnym rzucie jedną monetą, i podaj jej moc.

30. W kule o promieniu R wpisano stożek, którego tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a. Oblicz pole powierzchni całkowitej i obję tość tego stożka.

> 29. W kulę o promieniu 6 cm wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny o najwięk szej objętości. Wykaż, że ten ostrosłup jest czworościanem foremnym, którego krawędzie mają długość 4√6 cm.

28. Wśród walców wpisanych w kulę o promieniu 5 cm znajduje się taki, ktoregu pole powierzchni bocznej jest największe Oblicz objętość tego walca.

> 27. Na kuli opisano stożek, którego wysokość jest dwa razy dłuższa od średnicy kuli. Wykaż, że objętość stożka jest dwa razy większa od objętości kuli

D 26. Tworząca stożka tworzy z płaszczyzną podstawy kąt a Stozek przecięto plas czyzną, przechodzącą przez jego wierzcholek i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym B Przekrój tą płaszczyzną jest trójkątem równoramiennym, w którym kąt między ramionami jest równy 7. Wykaż, ze sina = sinẞ cos?

25. Przez wysokości stożka poprowadzono prostą, równoległą do jednej z tworzących stożka. Wykaż, że jeśli tworząca tego ma długość d, to długoit odcinka, będącego częścią wspólną poprowadzonej prostej i danego stożka jest równa 3d

24. Kulę o promieniu R przecięto płaszczyzną, oddaloną od środka kuli a otrzymanego przekroju wynosi 27 cm². Oblicz objętość i pole powierzchni kuli 2 Pole

23. Dwa walce są podobne. Promienie tych walców różnią się o 6 cm, a wysokości walców-08 cm. Oblicz różnicę pól powierzchni całkowitych obu walców, wiedząc, že objętość jednego walca jest o 936 cm³ większa od objętości drugiego walca.

22. Krawędzie prostopadłościanu mają długość 4 cm, 6 cm, 12 cm. Oblicz objętość

kuli opisanej na tym prostopadłościanie.

D 21. Kąt rozwarcia stożka ma miarę 150°, a pole przekroju osiowego stożka wyno si 9 dm² Wykaż, że objętość tego stożka jest równa 9√2√3 dm³.

20. Różnica długości boków równolegloboku jest równa 7 cm, a kąt ostry rów nolegloboku ma miarę 30°. Równoleglobok obracamy wokół dłuższego boku. Ob- licz objętość otrzymanej bryły, wiedząc, że jej pole powierzchni całkowitej wynosi 184 cm².

19. Sinus jednego z kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równy 0,96. Trójkąt obracamy wokół krótszej przyprostokątnej. Wiedząc, że objętość otrzymanej bryły wynosi 1344π cm³, oblicz pole powierzchni całkowitej tej bryły.

18. Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy dzielącą wysokość stożka w stosunku 1:2 – licząc od podstawy stożka. Oblicz stosunek objętości otrzymanych bryl

17. Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem kola o promieniu 12 cm, a kąt środ kowy tego wycinka wynosi 270°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.

16. Tworząca stożka jest cztery razy dłuższa od promienia jego podstawy. Oblicz: a) miarę kąta wycinka kola, tworzącego powierzchnię boczną stożka, b) tangens kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy,

c) sinus kąta rozwarcia stożka, wykorzystując wzór: sin2a=2sina cosa.

15. Wysokość walca jest równa 16 cm, a promień podstawy 25 cm. Oblicz pole przekroju walca płaszczyzną równoległą do osi obrotu walca, poprowadzoną w od ległości 24 cm od tej osi.

14. Wysokość walca jest równa 6 dm. Kąt między przekątnymi przekroju osiowego jest równy 60°. Oblicz objtość tego walca. Rozważ dwa przypadki.

13. Pole powierzchni bocznej walca jest równe 10% dm³. Promień podstawy walca jest o 4 dm dłuższy od jego wysokości. Oblicz objętość tego walca.

12. Objętość walca jest równa 5 dm³, a pole jego powierzchni całkowitej wynosi

11. Naczynie w kształcie walca o średnicy podstawy 6 cm napełniono częściowo wodą. Następnie do tej wody wrzucono metalową kulkę, która zanurzyła się całko- wicie, podnosząc poziom wody w walcu o 0,5 cm. Wyznacz promień metalowej kulki

10. Miasto A leży na równoležniku 20° szerokości geograficznej północnej Jeżeli przyjmiemy, że Ziemia jest kulą o promieniu R, gdzie R = 6300 km oraz 3, to odległość d miasta A od równika (zobacz rysunek obok) jest w przybliżeniu równa. 20 A. 1050 km B 2100 km D. 4200 km Zadania powtórzeniowe do rozdziału 6. Równik € 3150 km

9. Gdyby promień danej sfery był o 1 m dłuższy, to powierzchnia sfery byłaby większa o 20 m² Zatem promien danej sfery jest równy:

A. 1 m

B. 2 m

C. 3 m

D. 4 m

8. Dwa stożki są podobne. Pierwszy stożek ma objętość 27 razy większą od objęto ści drugiego stożka, lle razy pole przekroju osiowego pierwszego stożka jest większe od pola przekroju osiowego drugiego stożka?

A. 3 razy

B. 9 razy

C. 27 razy

D. 54 razy

7. Wysokość stożka jest równa √44, a promień podstawy – 10. Zatem kąt środko wy wycinka kola, tworzącego powierzchnię boczną stożka, ma miarę:

A. 180

B. 210

C. 240

D. 300°

6. Tangens kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy jest równy 1 Niech P, oznacza pole powierzchni bocznej, zaś P,- pole powierzchni całkowitej tego stożka. Wówczas

A. P. 2P

B. P= 1,5P

4

D. P = 1,6P

5. Stotek o objętości 800 ma wysokość równą 24. Tworząca stożka ma długość:

A. 10

8.25

C. 26

D. 30

4. Kąt rozwarcia stożka jest równy 30°, a pole przekroju osiowego wynosi 4 dm². Tworząca stożka ma długość

A.2dm

B. 4 dm

C. 20/3 dm

D. 2√3 dm

3. Wysokości dwóch walców są równe. Wiadomo, że drugi walec ma 4 razy więk szą objętość od pierwszego walca. Wówczas promień podstawy drugiego walca jest

większy od promienia podstawy pierwszego walca:

B. czterokrotnie C. ośmiokrotnie D. szesnastokrotnie

A. dwukrotnie

2. Pole podstawy walca jest równe 9 dm³, a pole przekroju osiowego wynosi 24 dm². Zatem objętość walca wynosi: A. dm³ B. 32 dm³ C. 30 dm³ D. 24 dm³

1. Pole powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy 5 cm i wysokości 8 cm,

jest równe:

6.110. W kuli o promieniu 3 umieszczamy ostrosłupy prawidłowe czworokątne w taki sposób, że wierzchołek ostrosłupa jest środkiem kuli, zaś wierzchołki pod- stawy należą do powierzchni kuli. a) Napisz wzór funkcji opisującej objętość V ostrosłupa w zależności od długości x krawędzi jego podstawy. b) Wyznacz największą możliwą objętość ostrosłupa.

6.109. W kulę o promieniu R wpisujemy stożki. Wyznaczymy promien podstawy i wysokość h tego ze stożków, który ma największą objętość

6.108. Dany jest stożek o promieniu podstawy 6 i wysokości 8. W ten stożek wpi- sujemy prostopadłościany. Jedna podstawa prostopadłościanu zawiera się w pad- stawie stożka, a wierzchołki drugiej podstawy należą do powierzchni bocznej stoż ka. Stosunek długości krawędzi podstawy prostopadłościanu jest równy 3. Oblicz wymiary tego prostopadłościanu, którego objętość jest największa

6.107. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, którego pole wynos 9/3 cm. W ten stożek wpisujemy walce w taki sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a okrąg drugiej podstawy walca jest zawarty w po wierzchni bocznej stożka. a) Wyznacz wzór funkcji opisującej objętość V walca w zależności od promieniar jego podstawy. b) Oblicz największą możliwą objętość takiego walca, jest rów 6 Geometria przestrzenna Bryły obrotowe 157

6.106. Rozpatrujemy ostrosłupy prawidłowe trójkątne, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 24 cm. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa, którego przekrój płaszczyzną prostopadłą do podstawy i zawierającą jedną z krawędzi bocznych ostrosłupa ma największe pole powierzchni.

6.105. Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokąt nego jest równa 20. a) Wyznacz wzór funkcji opisującej objętość ostrosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy. b) Wyznacz wymiary ostrosłupa, wiedząc, że jego objętość jest największa z możliwych.

6.104. Rozpatrujemy wszystkie stożki, których pole powierzchni bocznej jest rów ne 4:√3 dm². Oblicz promień podstawy, długość tworzącej i wysokość tego stożka, którego objętość jest największa z mozliwych.

6.103. Rozpatrujemy wszystkie stożki, których tworząca ma długość 4 cm. a) Napisz wzór funkcji opisującej objętość stożka w zależności od wysokości h Na podstawie otrzymanego wzoru funkcji wyznacz wysokość h i promień pod stawy stożka, którego objętość jest największa z możliwych. Podaj tę największą objętość. b) Napisz wzór funkcji opisującej objętość stożka w zależności od promienia jego podstawy. Na podstawie otrzymanego wzoru funkcji wyznacz promień podstawy, dla którego objętość stożka jest największa z możliwych.

6.102. Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni bocznej

ne 12 cm². a) Wyznacz promień podstawy i wysokość tego walca, którego przekątna przekroju osiowego ma najmniejszą długość. b) Czy walec z punktu a) ma najmniejszą objętość? Odpowiedź uzasadnij.

6.101. Z drutu 120 cm konstruujemy prostokątną ramkę obracamy ja wokół jej osi symetrii. a) Wyznacz wymiary ramki, dla której objętość powstałej bryły jest największa z możliwych. Oblicz tę objętość oraz pole powierzchni bocznej bryły. b) wymiary ramki, dla której pole powierzchni bocznej otrzymanej bryły jest największe z możliwych. Oblicz to największe pole powierzchni bocznej oraz objętość bryły. Cry można skonstruować prostokątną ramkę tak, aby pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły bylo największe z możliwych? Odpowiedź uzasadnij 156 Matematyka Zbiór zadan Klasa 4 Zakres rozszerzony

6.100. Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, których stosunek długości kra- wędzi w podstawie jest równy 2 i których objętość jest równa 72 litry. a) Wyznacz funkcję, opisującą pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu w za- Jeżności od krótszej podstawy b) Podaj wymiary tego prostopadłościanu, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze z możliwych.

6.99. Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 48 cm. Wyznacz wymiary tego gra niastosłupa, który ma największą objętość. Oblicz tę największą objętość.

6.98. W stożek wpisano dwie kule, styczne ze- wnętrznie do siebie – jak na rysunku obok. Wykaz, że jeśli objętość większej kuli jest 27 razy większa od objętości drugiej kuli, to kąt rozwarcia stożka jest równy 60° Zastosowanie analizy matematycznej w rozwiązywaniu zadań z geometrii przestrzennej

6.97. Dany jest stożek o wysokości h i promieniu podstawy r. Oblicz długość kra wędzi sześcianu wpisanego w stożek w taki sposób, že dolna podstawa sześcianu zawiera się w podstawie stożka, a wierzchołki górnej podstawy sześcianu należą do powierzchni bocznej stożka.

6.96. Z kawałka drewna w kształcie stożka wytoczo- no na tokarce bryle, składającą się z walca i malego stożka o takiej samej podstawie. Kąt rozwarcia małego stożka jest taki sam, jak kąt rozwarcia początkowego stożka, zobacz rysunek obok. Wysokość otrzymanej bryły jest równa wysokości początkowego stożka, a stosunek promienia podstawy tego stożka do pro- mienia podstawy walca wynosi 3 2 Oblicz, jaką część objętości początkowego stożka stanowią ścinki drewna.

6.95. W stożek wpisano walec w taki sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w pod- stawie stożka, a okrąg drugiej podstawy walca zawiera się w powierzchni bocznej stożka jak na rysunku obok. Jaką część objętości stożka stanowi objętość walca, jeśli promień podsta wy stożka jest dwukrotnością promienia pod- stawy walca?

6.94. Różnica promieni dwóch kul jest równa 6 cm, a różnica objętości tych kul wynosi 1248 cm³ Wyznacz promienie tych kul. Jaka jest skala podobieństwa większej kuli do mniejszej?

6.92. Wysokość stożka podzielono na cztery równe części. Przez te punkty podzia fu poprowadzono trzy płaszczyzny, równolegle do podstawy, które podzieliły stożek na cztery różne bryły. Wiedząc, ze najmniejsza z tych brył ma objętość równą 1 lit, oblicz objętości pozostałych trzech bryl. 6.93. Pole przekroju płaszczyzną, równoległą do płaszczyzny podstawy stożką, jest o 36% mniejsze od pola powierzchni podstawy. W jakim stosunku ten przekrój dzieli objętość stożka?

6.91. Wysokość ostrosłupa jest równa 21 cm, a pole podstawy wynosi 1350 cm³. a) W jakiej odległości od podstawy znajduje się płaszczyzna przekroju, równoległa do płaszczyzny podstawy, jeśli pole tego przekroju jest równe 150 cm¹?

b) Oblicz objętość ostrosłupa odciętego tą płaszczyzną przekroju.