Tag: Matematyka 3 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

8.130. Pary liczb (x, y) spełniające uklad równań są współ x+y-4x-16-0 rzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym.

8.129. Dane są dwa punkty A(1, 1) i 8(3, 3). Wyznacz na prostej k: x-y+3=0 taki punkt C, aby pole trójkąta ABC było równe 6.

8.128. Wyznacz równanie prostej, zawierającej dwusieczną tego kąta, utworzo nego przez proste k: x + 3y-1-0 oraz m: 6x-2y + 1 = 0, do obszaru którego należy punkt P(3, 1).

8.127. Wyznacz równania prostych, w których zawierają się dwusieczne kątów,

pod jakimi przecinają się proste k: 4x + 2y + 101m: 11x – 2y + 7 = 0.

8.126. Punkt W jest wierzchołkiem paraboli opisanej równaniem: y= y= (x-4). Na ramionach paraboli wyznacz punkty A i B tak, aby kąt AWB był prosty, a trój. kąt AWB byl trójkątem równoramiennym.

8.125. Dane są punkty A(-2, 5), B(4, 3). Wyznacz na prostej k: x + 2y – 4 = 0 punkt C tak, aby kąt BCA był równy 90°.

8.124. Dana jest prosta k: y = 2x + 7 oraz punkt C(5, 2). a) Wyznacz na prostej k punkty A B leżące w odległości 5 od punktu C. b) Oblicz pole trójkąta ABC. c) Oblicz cosinus kąta ACB.

8.122. Punkty A(-5,-4), B(3,-2) są wierzchołkami kwadratu ABCD. Oblicz współ rzędne wierzchołków CID. 8.123. Punkty przecięcia paraboli y=x-2x 8 z prostą k: 2x + y − 1 = 0 są końcami przekątnej rombu, którego pole jest równe 60. Oblicz współrzędne wierz- chołków tego rombu.

8.121. Dane są wierzchołki A(0, 1) C(6, 5) kwadratu ABCD. Oblicz współrzęd wierzchołków B D.

8.120. Dane sa punkty A(-6,-3), 8(3, 0). Wyznacz punkt C, leżący na prostej k y = 4 tak, aby pole trójkąta ABC było równe 30.

8.119. Dane są wierzchołki A(-1,-4), B(7, 2) równolegloboku ABCD. Wiedzą że pole równolegloboku jest równe 50, wyznacz równanie ogólne prostej, zawie rającej bok CD

8.118. Dane są wierzchołki A(0, 0), 8(6, 0) rombu ABCD. Wiedząc, że kąt BAD rombu jest równy 30°, oblicz współrzędne wierzchołków CID.

8.117. Okrąg o jest styczny do osi OX w punkcie A(4, 0) i jednocześnie jest styczny do ujemnej półosi OY. a) Napisz równanie okręgu o b) Wyznacz na okręgu punkty B C tak, aby trójkąt ABC był równoboczny

8.116. Dane są punkty: C(0,5) oraz D(3,-4). Wiedząc, że odcinek CD jest wyso kością trójkąta równobocznego ABC, wyznacz a) równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC b) równanie okręgu wpisanego w trójkąt ABC.

8.115. Dane są punkty A(-4,-1), 8(2,-3), C(5, 6).

Da) Wykaz, że trójkąt ABC jest prostokątny. b) Wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie

8.114. Dane są punkty: A(-1, 0), 8(5, 2), C(2, 6), D(-3, 6) Da) Wykaż, że czworokąt ABCD jest deltoidem

b) Oblicz obwód i pole tego deltoidu.

8.113. Dane se punkty A(1, 4), B(11, 1), C(2, 4), D(-2, 2). Da) Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem prostokątnym. b) Oblicz obwód i pole tego trapezu

8.112. Wykaz dwoma sposobami, czworokąt ABCD jest kwadratem.

D8.111. Wykaz dwoma sposobam, ze jell Al-5,-2), 8(-1,-4), (3,4), (1, to czworokąt ABCD jest prostokątem je jeśli A(-4,-2), 8(1, 0). C(-1.5). Df &

8.110. Wykaz dwoma sposobami, że jeśli A(-5,-4), B(2, 0), C(1, 8), D(-6, 4), to czworokąt ABCD jest rombem.

8.109. Wykaż dwoma sposobami, że jeśli A(-3, 2), B(7,-4), C(9, 2), D(-1, 8). to czworokąt ABCD jest równoleglobokiem.

8.108. Dla jakich wartości parametru m, me R, okręgi opisane równaniami: oj: (x-m)+(y+1)-1 oraz oy: (x+2)+(y-m+3)= 25 są rozłączne wewnętrznie?

Zadania różne z geometrii analitycznej

8.107. Dla jakich wartości parametru m, m = R, okręgi opisane równaniami: 0(x-m)+(y-2m) 1 oraz o: (x-2)+(y+1)=16 są wzajemnie zewnętrzne?

8.106. Wyznacz wartości parametru m, dla których okręgi o, x²+(y-6)² = m

oraz (x+8)² + y² = 9 są rozłączne zewnętrznie.

8.105. Dla jakich wartości parametru m (m = R) okręgi opisane równaniami: o (x+5)²+(y+m)²-16 oraz o: (x-2m) (y+ m)-9 przecinają się w dwóch punktach?

8.104. Wyznacz wartości parametrum, me R, dla których okręgi 0: (x-3)²+(y-m)²= 1 oraz o₂ (x + m)² + (y-1) = 9 mają tylko jeden punkt wspólny.

8.103. Wyznacz wartości parametru m, m = R, dla których okręgi 01: (x-2)+ (y + 4)² = 20 oraz oz (x – m)² + (y + 2m) = 5 mają tylko jeden punkt wspólny

8.102. Wyznacz wartości parametru m, dla których okręgi o, x²+(y+4)= m² oraz 02(x-3)+ y² = 49 są styczne wewnętrznie.

8.101. Wyznacz wartości parametrum, dla których okręgio: (x+4)+(y+1)=5 oraz 03 (x+1)²+(y m)² = 20 są styczne zewnętrznie

8.100. Wyznacz współrzędne punktów wspólnych dwóch okręgów o; 10, (o ile a) x²+ y²-6x+2y-10=0,

0: x²+ y² – 10x+4y+ 24 = 0

o: (x-2)+(y+3)-25,

8.99. Określ wzajemne położenie okręgów 0 1 0₂, jeśli: a) 0,(x+2)²+(y-3)-4, b) o: (x+3)²+ y² 10, oxy-10x+4y+20=0, d)x+y-12x+35-0 e) ox²+ y²-8x+15=0, 0: (x-2)²+(y+2)=12 0(x+2)+(y-3)² = 40 02: x² + y²+ 4y = 0 O: x²+ y²-10x+2y+17=0 02: x²+ y²-6y+5=0 02: (x+4)²+(y+ 2)²=5 Geometria analityczna

8.98. Wyznacz równanie okręgu o promieniu 5, który jest styczny do osi OY ijed nocześnie styczny do prostej k: 3x+4y-6=0. Wzajemne położenie dwóch okręgów

8.97. Okrąg przechodzi przez punkt A(4, 1), zaś jego środek należy do prostej k: x-y=0. Wiedząc, że okrąg ten jest styczny do prostej 1: y-5=0, wyznacz jego równanie.

8.96. Wyznacz współrzędne środka okręgu stycznego do prostej * √3x y-2-2√3 = 0 i jednocześnie stycznego do dodatnich półosi układu

8.95. Zbadaj liczbę punktów wspólnych okręgu o z prostą /, w zależności od war tości parametru m (me R), jeśli: a) o (x+2)²+(y+ 4)²=2; 1: y = x+m

b) o. (x-3)+(y-2)²= 8,1 y=x+m ) o (x-1)+(y-1)=m, lxy-1-0

d) o: x²+ y²=25; 1: 4x + 3y m=0

8.94. Oblicz tangens kąta ostrego, jaki tworzą styczne do okręgu ox²+y 8x 6y+21=0, przechodzące przez punkt P(2, 1).

8.93. Sieczna k: x-y+1=0 przecina okrąg o: x²+ y²-6x-2y+1=0 w punk- cox²-6x-4y+3=0, A-4, 3) d) tach A i B. Przez punkty A i 8 poprowadzono styczne do okręgu, które przecinają się w punkcie C. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC. 8.94. Oblicz tangens kąta ostrego, jaki tworzą styczne do okręgu ox²+y 8x 6y+21=0, przechodzące przez punkt P(2, 1).

8.92. Napisz równania ogólne stycznych do danego okręgu o i przechodzących przez punkt A, jeśli b)oxy-9,A(-5,3) ox²+ y²+6x+2y+5-0, A(-2,2) e)x+y+20x-6y+30-0, A(-7, 9) 1) oxy-6x+By+21-0, A(S-1)

8.91. Napisz równania kierunkowe stycznych do danego okręgu o i nachylonych do osi OX pod kątem a, jeśli: b) (x-1)+-4; a 120° a)x-1; a=60° c) x²+ y²-10x=0; α = 150° d)x+y-2x+4y-3-0; -135° Matematyka Zbiór zadań Klasa 3 Zakres rozszerzony 208

8.90. Napisz równania kierunkowe stycznych do danego okręgu o i prostopadłych do prostej k, jeśli: a) o: (x+2)²+(y-3)²=1 k: y=x k: y =-x b) o: (x-5)+ y²-9 c) oxy-2x+12y +28-0 k: y=0,5× ky–0,75x d) o; x²+ y² – 14x + 24 = 0

8.89. Napisz równanie kierunkowe stycznych do danego okręgu o równoległych do prostej k, jeśli: a) o. (x-2)+(y-1)-4 k: y=2x b) o: (x+3)+(y-5)-16 )oxy-2x-15-0 k: y=-3x d) ox²+ y²-8x-6y+16=0 k: y = -x

8.88. Dany jest okrąg o. x²+ y2-8x-2y-8=0. Wyznacz równanie ogólne pro- stej k, która jest styczna do tego okręgu w punkcie: a) A(91) b) B(4,-4) c) c(0, 4) d) D(7,5)

8.87. Wyznacz równanie okręgu: a) stycznego do prostych k: y = 2x + 4 oraz I: y = 2x – 6 wiedząc, że środek tego okręgu należy do osi Ox b) stycznego do prostych k: 4x + 3y = 0 oraz / 4x + 3y + 8 = 0 wiedząc, że środek tego okręgu należy do osi OY.

8.86. Wyznacz równanie okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych i przechodzącego przez dany punkt A. a) A(3,0) b) A(8,1) c) A(-4,2) d) c(-9,-8)

8.85. Określ położenie prostej k względem okręgu o, jeśli: a) kxy-4-0, o: (x-1)+ y²-4 0:x²+y+2x-4y-0 b) kx-2y-1-0, ky-3x+5=0, dkx-4y-4-0, 0x²+ y²-6x+By+9-0

8.84 Oblicz, o ile istnieją, punkty wspólne okręgu o prostej k, jeśli a) 0: (x+3)+(x-2)-10, k:x-y+7-0 b) o: (x-1)+(y-7-18, k: 2x-2y-1-0 8 Geometria analityczna 207 c) o.x²+ y²-8x-4=0, d) o: x² + y²+ 2x + 10y + 17 = 0, k: x + 2y +6=0 k: x + 3y+ 19=0

8.83. Dane są punkty A i B oraz prosta k. Wyznacz współrzędne środka S i pro mien r okręgu, przechodzącego przez punkty A, B wiedząc, że środek okręgu należy do prostej k. a) A(1, 4), B(7,0), k: x+2y=0 b) A(0, -8), 8(4, 0), k: 2x-3y+5=0

8.82. Dany jest promień okręgu oraz punkty A i B należące do tego okręgu Wyznacz współrzędne środka tego okręgu. a) A(-3, 4), 8(5, 0),rs b) A(1,3), 8(5, -1), r-2√2

8.81. Dany jest punkt A oraz proste kil. Wyznacz równanie okręgu przechodzące go przez punkt A wiedząc, że środek tego okręgu należy jednocześnie do prostej k i do prostej /. a) A(-2, 2), k: y=-3x+6, 1: x-1=0 b) A(8, 1), k. y=-3x+13, 1 x 2y-2=0

8.80. Napisz równanie okręgu o środku w punkcie 5 wiedząc, że punkt A należy do tego okręgu. a) A(3, 10), 5(-3, 2) b) A(4,7), 5(-2,1)