Tag: Matematyka 3 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

8.28. Dane są punkty A(0,-2), B(6, 0). Wyznacz na prostej k x-2y= 0 punkt P tak, aby kąt APB byl prosty,

8.27. Dane są punkty A(-2, -2), B(4, 2). Wyznacz na osi OY punkt P tak, aby |

8.26. Dane są wektory [3,-1,-|-2,5),-1,-2) Wykaż, że jeśź wekto pir a u-b v, są prostopadle, to 12b +5a=0.

8.25. Dane są wektory u = [1, 2], V = [3, -6], p = a, parametru a, jeśli wiadomo, że wektory r = (a + 1) u+vip, są prostopadle. Wyznacz wartość

8.24. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których dane wektory u i v są równolegle a) u=(0, -2], V=-4-0,0] b) u=[a-2, 3], v=[a-2, a²+20+4]

D 8.23. Wykaż, że przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe, jeśli: a) A(-4, 1), B(-2, 3), C(-4, 5), D(-6, 3) b) A(-8, 0), B(-1, 1), C(0, 11), D(-12, 9)

8.22. Wykaż, że dane wektory u v są prostopadłe. a) u =[12,9], V=[-3, 4] 10

8.21. Oblicz długości boków oraz miary kątów trójkąta ABC, jeśli: a) A(-7, 1), B(1,-1), C(-2, 4) a) u = [1, 2], v = [4, -2] c) u = [√3, 1], v = [1,0] b) A(-4,-2√3), 8(2,-2√3), c(-4, 4√3) c) A(√3, √3), 8(3, √3), c(3+ √3,3+ √3) 34 d) A(0, 3), 8(3√3, 6), c(-3√3,6)

8.20. Wyznacz miarę kąta a utworzonego przez wektory uv, jeśli b) = [-3, 3], v = [2, 0] d) u = [−√3, -1], v = [2√3, -2]

8.19. Oblicz cosinus kąta az utworzonego przez wektory u i v, jeśli: a) ü= [2√2, 1], v = [0,-5] =[-√5, 2], V= [√5,0] d) u = [√6, 3√2], v = [2√2,4] b) ü= c) u=(-4, 8), v = [1, 2]

8.18. Oblicz sinus kąta a utworzonego przez wektory u i v, jeśli: a) u = [√3, √6], v = [2,0] b) u = [-3, 4], v = [0, 5] c) u = [7,-1), V=1-2, 2] d) u = [12,-5], v = [6, 8]

8.17. W trójkącie ABC punkt D(-3, 1) dzieli bok AB w stosunku 1:2, licząc od wierzcholka A Punkty Mi N są odpowiednio środkami odcinków AC i DC oraz MN-[2, -1] Wiedząc, że BC=1-2, 10], oblicz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC

8.16. W trójkącie ABC dane są punkt B(4, 4) oraz środek ciężkości S(2, 1). Wiedząc, że punkt M jest środkiem boku AB i MB=13, -2], oblicz współrzędne wierzchołków A, C.

8.15. Punkty D(4,-2), (6, 1), F(0,3) są środkami boków odpowiednio AB, BC | AC trójkąta ABC Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

8.14. Dane są punkty. A(-3,-2), B(9, 2), c(-3, 8). Oblicz a) długości środkowych AD, BEI CF trójkąta ABC b) współrzędne środka ciężkości tego trójkąta c) obwód trójkąta DEF.

8.13. Punkty A(-4, 3), 8( 2,-3), C(6, 1) oraz P. są wierzchołkami równoległoboku Oblicz współrzędne punktu P. Rozważ wszystkie przypadki.

8.12. Punkt 5(1, 2) jest punktem przecięcia przekątnych równolegloboku ABCD. Wiedząc, że A(-5, 3), B(-2,-4), oblicz współrzędne punktów C i D.

8.11. Dane są wierzchołki trójkąta ABC A(-4, -5), 8(1,-2), C( 2, 3). Punkty D

LE są środkami boków AC BC. Oblicz współrzędne punktu M, będącego środkiem odcinka DE

8.10. Dane są punkty: A(3, 5), B(9,-7). Wyznacz współrzędne punktu P, należą cego do odcinka AB wiedząc, że

APPM-51

b) AP: PB-2-3

8.9. Dane są punkty A( 10, 7), 8(2,-11). Odcinek AB podzielono na b) pięć odcinków równej długości. a) trzy odcinki równej długości Oblicz współrzędne punktów podziału 8.10. Dane są punkty: A(3, 5), B(9,-7). Wyznacz współrzędne punktu P, należą cego do odcinka AB wiedząc, że APPM-51 b) AP: PB-2-3

8.8. Punkt P jest środkiem odcinka AB. Wyznacz punkt B, jeśli:

a) A(-3, 0), P(-1, 2)

b) A(30,-20), P(-6,-14)

8.7. Dane są punkty A(-3, 7), B(5, 3). Odcinek AB podzielono na cztery odcinki równej długości. Oblicz współrzędne punktów podziału.

8.6. Dane są wektory: u = [2,4], [3, 4], 2 = [10,-2]. Oblicz współrzędne i długość wektora: a) u+v b) z-ů c) 3v d) 27-+22

8.5. Wyznacz liczbę m, dla której wektory u = [m²-1, -m] oraz v = [ 1, m] s a) równe c) równoległe. b) przeciwne

8.4. Sprawdź, korzystając z równoległości wektorów, czy odcinki AB i CD są rów- nolegle, jeśli: a) A(-4, 1), B(3, 6), C(1,-3), D(2,-2) b) A(0, 2), B(4, 0), C(0, 4), D(0, 6)

8.3. Dany jest punkt B oraz wektor AB. Oblicz współrzędne punktu a) 8(0, -8), AB -[-3,-2] A. b) B2, √2), Ad-[1,-√2] AB

8.2. Dany jest punkt A oraz wektor AB. Oblicz współrzędne punktu B. a) A(0,-3), AB=2, -1] b) A(-4, 0), AB = [3,5] AB= d) A(√3, 2√3), AB = [√3 +3,1-2√3

8.1. Dane są punkty. A(-3, 2), 8(4,-1), C(5, 3). Oblicz współrzędne punktu D, jeśl a) AB = CD b) AB=-CD c) CD=-2 AB d) AB=3 DC

30. Wyznacz wszystkie wartości parametru p, p = R, dla których dane równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie. a) COSX + COS 4+p b) sina cos-p-1

29. Wyznacz wszystkie wartości parametru k, gdzie k = R, dla których równanie (sinx-cosx)(sinx + 0,5k) = 0 ma w przedziale cztery różne rozwiązania

28. Wykaż, że suma wszystkich rozwiązań równania 2cosx cos

zących do przedziału (-, 2R) jest równa 21.

D27. Wykaz, że równanie cosx-3sinx cosx+1=0 ma w przedziale (0, 2) tylko cztery rozwiązania

D26. Wykaż, że jeśli a e to sina-cosala1

25. Rozwiąż daną nierówność w podanym przedziale. a) 5sin x + 4 > cos 2x, (0, 2) c) V3sinx + cosx) v2, (0) b) f(x)=√3 cosx-sinx d) f (x) = sinx + cosx cosx b) x)=3cos(풍+x) cos(풍-x). b) cos2x-3cosx-4=0 d) sin 3x + cos 2x = cos 8x b) sin x + cos x < 0,25 tgx d) <2sinx COS X = √2, (0,4%) d) sinx-√2 sin2x+ sin 3x=0, (-, 2 b) tg x-tgx-3tgx+30 2 sinx d) -10, (,) COSX

24. Rozwiąż dane równanie w podanym przedziale. a) cos 2x + 5sinx + 2 = 0, (-2, 2π) b) 2sinx+2cosx= 3x c) 2sin + sin 3x=0, (0, 2) 2

23. Rozwiąż daną nierówność. c) 4/sinxcosx-√2>0 a 2a-a 4 cos

22. Rozwiąż dane równanie

1 a) 3tg’x- =5 cos’ x

c) (1 cosx)-cos = cosxsin

21. Wyznacz zbiór wartości funkcji:

a) f(x)=cosx+cos

20. Dany jest wzór funkcji f. Naszkicuj wykres tej funkcji. a) f(x)= \2(sinx – c05x)

19. Wykaż, ze dana równość jest tożsamością trygonometryczną. Podaj konieczne założenia a) cosa sinza tga=1 b) 1+sina cosa 22sin

18. Kąty trójkąta są równe a, B. 7. Wykaż, że jeśli 2ẞ= a+y, to 2cosy√3sina-cosa.

17. Kąty a i ẞ są kątami wewnętrznymi pewnego trójkąta oraz cosa: cos = 3 Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny, nie wyznaczając miar kątów tego trójkąta.

16. Wykaż, że jeśli kąty a, ẞ są ostre oraz cosa = i cosẞ=13, to a-B=60° 14

15. Wykaż, że jeśli a (2k + 1), ke Z, to 1-tg 1+tg =cosa. Wiedząc, że 2 ctg =3 oblicz cosa

14. Wiadomo, że a e a) sina cosa = 3-√7 4 Oblicz cos2a, jeśli: b) sin a + cos* α = 5 8

13. Wiadomo, że a.ße 3m oraz tga = 0,75 i ctgẞ= 1. Oblicz sin (a B).

12. Wykaż, że: a) 1 √3 sin10° cos10° b) sin 200 √3 cos 20°-2sin40″

11. Oblicz cos² 105° + cos² 15° 2sin 765° cos 12-sin12° cos24° 0,5 (cos18-cos 78°) d b) sin 22,5°-cos 22,5° cos 15°-sin’ 15° (1815 d) tg15° 1 tg 15 tg15°+- 1 1g15

10. Kąty trójkąta ostrokątnego są równe a, B. y. Jeśli sina = oraz sinẞ, to 13 A siny= 56 65 64 65 B. siny= C. siny= 15 65 16 65 D. siny # 7 Trygonometria

9. Równanie √3 cosx+ sinx=2 ma taki sam zbiór rozwiązań, jak równanie. A cosx = √3 2 B C. sin(x+2)=1 D, 2cosx+3=43cosx