Tag: Matematyka 4 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

24. Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt prostokątny równoramienny, które go dwa boki mają długość 10. Cosinus kąta nachylenia dwóch ścian bocznych tego 5 ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy Oblicz: 13 a) pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, b) tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

23. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego boki mają długość: 15 cm, 20 cm, 25 cm. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa

22. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego boki mają długość 13 cm, 14 cm, 15 cm. Wszystkie krawędzie boczne mają taką samą długość, równą 21- cm. Ob licz objętość tego ostrosłupa.

21. Podstawą ostrosłupa prostego jest prostokąt, którego przekątne mają długość 16 cm i przecinają się pod kątem 30%. Objętość ostrosłupa wynosi 320 cm Oblicz a) wysokość ostrosłupa, b) sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy, c) odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej. 142

20. Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 5 dm. Pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną, zawierającą krawędź boczną i wysokość ostrosłupa, jest równe 45 dm³. Oblicz: a) sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy, b) tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

19. Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 192 cm². Pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną, zawierającą dwie przeciwległe krawędzie boczne, wynosi 48 cm². Oblicz a) długość krawędzi tego ostrosłupa, b) cosinus kąta między dwiema przeciwległymi krawędziami bocznymi.

18. Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA,B,C,D, jest trapez prostokąt ny ABCD. Wysokość AD tego trapezu jest równa 4 cm, a długości jego podstaw wynoszą: [AB] = 6 cm, [DC] = 3 cm. Wiedząc, że wysokość graniastosłupa jest równa 12 cm, oblicz: a) długości dwóch różnych przekątnych graniastosłupa,

17. W graniastosłupie prawidlowym trójkątnym sinus kąta nachylenia przekątnej 2√3 ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej jest równy . Oblicz stosunek wy. 5 sokości graniastosłupa do długości krawędzi podstawy.

D16. Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, zawierającą kra- wędź boczną oraz wysokość podstawy, mającą z tą krawędzią punkt wspólny Wykaż, że jeśli pole otrzymanego przekroju jest równe polu jednej z podstaw, to krawędź podstawy tego graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi bocznej.

15. Objętość prostopadłościanu ABCDA,B,C,D, jest równa 144 cm³. Pole pro- stokąta ABCD jest równe 12 cm, a pole przekroju płaszczyzną (ABC,D,) wynosi 1210 cm². Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu.

14. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość √136 cm a cosinus kąta nachylenia tej przekątnej do ściany bocznej jest równy 5 √34 Oblicz objętość tego graniastosłupa. 5. Geometria przestrzenna Wielościany

13. Jeżeli każdą krawędź sześcianu przedłużymy o 1 dm, to jego objętość powięk szy się 125 razy. Oblicz długość krawędzi mniejszego sześcianu.

D 12. W sześcianie ABCDA,B,C,D, punkt P jest środkiem krawędzi B,C,, a punkt Q-środkiem krawędzi BB, Wykaż, że czworokąt AQPD, jest trapezem równoramiennym.

11. Odcinek AB jest równoległy do płaszczyzny i ma długość 21 cm. Prosta k przecina odcinek AB, jest prostopadla do płaszczyzny z i przebija tę płaszczyznę w punkcie M. Odległości punktu M od punktów A, B wynoszą odpowiednio 10 cm i 17 cm. Oblicz odległość odcinka AB od płaszczyzny.

10. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, którego bok ma długość 12 cm Spodek wysokości ostrosłupa znajduje się w jednym z wierzchołków podstawy Ściana boczna ostrosłupa, o największym polu powierzchni, jest nachylona do płasz czyzny podstawy pod kątem 60°. Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

9. Pewien ostrosłup ma 6 krawędzi. Trzy spośród tych krawędzi wychodzą z jedne go wierzchołka, są do siebie parami prostopadle i mają odpowiednio długość 3 cm, 4 cm, 5 cm. Objętość tego ostrosłupa wynosi: D. 8 cm A 25 4 B. 25√3 3 cm³ C. 60 cm³ D. 10 cm³

8. Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego do płaszczy. zny podstawy jest równy 60°. Przekrój ostrosłupa płaszczyzną prostopadłą do płasz czyzny podstawy i zawierającą jedną z krawędzi bocznych jest trójkątem, którego pole wynosi 24√3 cm². Wysokość trójkąta w podstawie ostrosłupa jest równa: A. 12-√3 cm B. 12 cm c8√3 cm

7. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest nachylon do płaszczyzny podstawy pod kątem 45%. Niech a oznacza kąt nachylenia ścian bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy. Wówczas

6. Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt prostokątny. Wówczas spodkiem wysokości tego ostrosłupa jest: A punkt przecięcia się środkowych trójkąta w podstawie B. wierzchołek kąta prostego trójkąta w podstawie C. środek przeciwprostokątnej trójkąta w podstawie D. środek okręgu wpisanego w podstawę tego ostrosłupa

5. Przekątne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mają długość 15 cm i 17 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest równa:

4. Wysokość graniastosłupa prawidlowego trójkątnego i wysokość jego podstawy są równe i wynoszą √3 cm. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe:

3. Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o wymiarach 6 cm na 8 cm. Jeśli wy- sokość prostopadłościanu jest równa 24 cm, to tangens kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy wynosi:

2. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ma długość 10 cm, a krawędź podstawy 3√2 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest równa:

1. Krawędź pierwszego sześcianu jest dwa razy dłuższa od krawędzi drugiego sześ cianu, lle razy objętość pierwszego sześcianu jest większa od objętości drugiego sześcianu?

5.185. Podstawą ostrosłupa prostego ABCD jest trójkąt prostokątny ABC, które go przyprostokątne mają długość: AB-6 cm, 8C 8 cm. Wysokość ostrosłupa jest równa 12 cm. Środki krawędzi AB, BC, CD AD wyznaczają płaszczyznę prze kroju tego ostrosłupa. Oblicz:

a) tangens kąta nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny podstawy, b) pole przekroju ostrosłupa tą płaszczyzną

5.184. Przez krawędź AB podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCD poprowadzono płaszczyznę, do której należy środek 5 krawędzi CD. Wiedząc, że otrzymany przekrój tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45°, oblicz cosinus kąta ASB.

5.183. Wszystkie krawędzie prawidłowego ostrosłupa czworokątnego mają dłu gość a. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną poprowadzoną przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i środek wysokości ostrosłupa.

5.182. Ostrosłup prawidlowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju, jezeli krawędź podstawy ma długość 20 cm, a ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°.

5.181. Wysokość prawidlowego ostrosłupa sześciokątnego jest równa H, a kra wędź podstawy ma długość a. Oblicz pole przekroju wyznaczonego przez krótszą przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa.

5.180. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego gość a, natomiast krawędź boczna ma długość b. Ostrosłup przecięto płaszczyzną, zawierającą przekątną podstawy i jednocześnie równoległą do jednej z krawędzi bocznych. Oblicz pole otrzymanego przekroju, ma dłu

5.179. Podstawą ostrosłupa jest romb, którego bok ma długość 8, a jedna 3 1 z ma długość 13. Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem syme- trii podstawy. Przekrój ostrosłupa płaszczyzną, zawierającą dwie wysokości prze ciwległych ścian bocznych, poprowadzone z wierzchołka trójkątem równobocznym. Wyznacz pole tego przekroju. 138 Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 4. Zakres rozszerzony

5.178. Wszystkie krawędzie pewnego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają jednakową długość. Pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną, zawierającą dwie przeciwległe krawędzie boczne, jest równe P. Oblicz objętość ostrosłupa.

5.177. Krawędź sześcianu ma długość a. Przez przekątną podstawy tego sześcianu poprowadzono płaszczyznę, nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz pole przekroju sześcianu tą płaszczyzną.

5.176. Pole podstawy graniastosłupa prostego trójkątnego jest równe P Przez kra- wędź podstawy tej bryly poprowadzono płaszczyznę, która przecina przeciwleglą krawędź boczną i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 Oblicz pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną.

5.175. Krawędź boczna prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego ma długość 8 cm, a długość krawędzi podstawy jest równa 4 cm. Przez środki dwóch sąsiednich boków sześciokąta poprowadzono płaszczyznę równoległą do wysokości ostrosłu pa. Oblicz pole otrzymanego przekroju tego ostrosłupa.

5.174. Sześcian ABCDA,B,C,D, o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez punkty A, B, C,. Oblicz odległość punktu B, od otrzymanego przekroju.

5.173. Krawędź podstawy czworościanu foremnego ma długość 4 dm. Oblicz pole przekroju płaszczyzną, wyznaczoną przez krawędź boczną wysokość podstawy tego czworościanu.

5.172. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekrój wyznaczony przez przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa jest trójkątem prostokątnym. Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa wynosi 128 cm. Oblicz: a) długość każdej krawędzi ostrosłupa, b) pole danego przekroju

5.171. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wy nasi 10 cm. Przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną, przechodzącą przez wysokoś przeciwległych ścian bocznych, jest trójkątem równobocznym. Oblicz długość k wędzi bocznej tego ostrosłupa.

5.170. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma du gość 6 cm, a krawędź boczna -5 cm. Oblicz długość boków przekroju ostrosłupa wyznaczonego przez: a) wysokości przeciwfegłych ścian bocznych, poprowadzone ze wspólnego wierzchołka, b) przeciwlegfe krawędzie boczne.

5.169. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny, którego wysokość jest równa 5 cm, a odcinek łączący środki ramion ma długość 12 cm. Prze 8m 32m 14 m krój graniastosłupa płaszczyzną, zawierającą krawędź boczną i przekątną podstawy ma pole równe 130 cm² Oblicz objętość tego graniastosłupa

5.168. Rysunek obok przed stawia przekrój nasypu kole jowego. Oblicz, ile m³ ziemi wykorzystano do utworzenia nasypu o długości 1 km.

5.167. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny prostokątny Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa (28+82 cm. Dwie przystające ściany boczne są kwadratami. Oblicz pole przekroju, wyznaczonego przez przekątne tych kwadratów wychodzące z jednego wierzchołka.

5.166. Krawędzie podstawy graniastosłupa prostego trójkątnego mają długość 10 cm, 17 cm, 21 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 20 cm. Graniastosłup przecięto płaszczyzną, zawierającą najkrótszą wysokość podstawy i krawędź bocz ną, która ma punkt wspólny z tą wysokością. Oblicz pole otrzymanego przekroju

5.165. W graniastosłupie prawidlowym czworokątnym ABCDA,B,C,D, krawędź podstawy ABCD jest o 2 cm dłuższa od krawędzi bocznej AA,. Pole p całkowitej tego graniastosłupa jest równe 320 cm². Oblicz pole przekroju tej bryły wyznaczonego przez przekątną podstawy DB i wierzchołek C, powierzchn

5.164. Długości boków prostopadłościanu pozostają w stosunku 3: 4.5. Przez najdłuższą krawędź i przekątną najmniejszej ściany poprowadzono przekrój, którego pole jest równe 100 cm² Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościany

5.163. Krawędź boczna prostopadłościanu ABCDA,B,C,D, ma długość 56 cm. Boki podstawy mają długość: A8 33 cm, AD 40 cm. Oblicz pole przekroju płaszczyzną wyznaczoną przez krawędzie AD B,C,

5.162. Pole powierzchni całkowitej sześcianu ABCDA,B,C,D, jest równe 600 cm Oblicz pole przekroju tego sześcianu płaszczyzną, zawierającą krawędzie AD i 8,C

5.161. Przekrój sześcianu płaszczyzną, zawierającą przekątne trzech różnych ścian, jest trójkątem, którego pole wynosi 50.3 cm. Oblicz objętość tego sześcianu.