Tag: Matematyka 4 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

6.40. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 6 dm i 8 dm. Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły, otrzymanej w wyniku obrotu tego trójkąta wokół b) dłuższej przyprostokątnej.

a) krótszej przyprostokątnej

6.39. Tangens kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy jest

równy 0,75. Wiedząc, że pole powierzchni bocznej stożka jest równe 80% cm², oblicz

długość tworzącej stożka.

6.38. Pole powierzchni bocznej stożka wynosi 50 cm³. Tworząca stożka tworzy

z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz wysokość tego stożka.

6.37. Tworząca stożka ma długość 20 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej stożką, a) tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45° b) wysokość stożka jest równa 16 cm.

6.36. Rysunek poniżej przedstawia siatkę pewnego stożka. Na podstawie danych na rysunku wyznacz promień i wysokość tego stożka.

6.35. Promień wycinka kołowego o kącie 120° jest równy 3 m. Wycinek zwinięto i otrzymano powierzchnię boczną pewnego stożka. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka.

6.34. Narysuj przykładową siatkę stożka o promieniu r i wysokości h, jeśli

a) r=3 cm, h=√55 cm

b) h=r√3

6.33. Wysokość stożka jest równa h, a promień podstawy stożka wynosi r. Wy- znacz kąt środkowy wycinka koła, tworzącego powierzchnię boczną stożka, jeśli:

a) h = 4 cm, r = 3 cm

b) h=4√5 cm, r = 1 cm.

6.32 Narysuj siatkę stożka o promieniu r i tworzącej długości /, jeśli: a)r-3 cm, 1-4,5 cm b) r=2 cm, /= 4 cm.

6.31. Dany jest promien podstawy r i długość tworzącej / stożka. Wyznacz kąt środkowy wycinka koła, będącego powierzchnią boczną stożka.

6.30. Wysokość walca jest równa 6 cm, a promien podstawy wynosi 5 cm Poprowa dzono odcinek AB o długości 10 cm taki, że punkt A należy do okręgu górnej podstawy, punkt B należy do okręgu dolnej podstawy walca Wyznacz długość najkrótszego odcin ka, którego jeden z końców należy do osi obrotu walca, a drugi nalezy do odcinka AB,

6.29. Przez dowolny punkt A okręgu górnej podstawy walca poprowadzono prze krój płaszczyzną, zawierającą oś walca. W dolnej podstawie walca poprowadzono średnicę BC, prostopadla do przekroju osiowego. Wiedząc, że promień podstawy walca jest równy r oraz

6.28. Wysokość walca jest o 1 cm krótsza od promienia podstawy. Wyznacz tę wysokość, wiedząc, ze objętość walca wynosi 448 cm³

6.27. Objętość walca jest równa 72л, zaś pole powierzchni całkowitej wynosi 66% Wyznacz wysokość walca, wiedząc, że wyraża się ona liczbą naturalną

6.26. Jeśli wysokość walca zwiększymy o k, to jego objętość wzrośnie o v. Oblicz promień podstawy tego walca.

6.25. Pole powierzchni bocznej walca jest równe P, a objętość wynosi V. Wykaz, że tangens kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny podstawy jest równy 16 V 6. Geometria przestrzenna Bryły obrotowe

6.24. Przekątna przekroju osłowego walca ma długość d i jest nachylona

do płaszczyzny podstawy pod kątem a Wykaż, że objętość tego walca jest równa

0,25 d’sina cosa

D 6.23. Pole podstawy walca jest równe P, a pole jego przekroju osiowego wy nosi 5. Wykaz, że pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe 2P+ S.

6.22. Wysokość walca jest o 7 cm dluzsza od promienia. Wiedząc, że pole po wierzchni bocznej walca wynosi 120 cm³, oblicz objętość tego walca.

6.21. Objętość walca wynosi 54 c) 60°. cm³ Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca, wiedząc, że po rozwinięciu na płaszczyznę jest ona kwadratem. a) 30

6.20. Podstawa walca ma obwód równy 6 cm. Powierzchnia boczna walca jest prostokątem, którego przekątna tworzy z bokiem przystającym do wysokości walca kąt równy: b) 45 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość walca,

6.19. Pole powierzchni bocznej walca wynosi 36√3 cm. Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60° Oblicz a) promień podstawy i wysokość walca, b) objętość tego walca.

6.18. Jeżeli zwiększymy wysokość pewnego walca o 4 cm, to jego objętość wzroś nie o 1967 cm³ Oblicz promień podstawy walca,

6.17. Piwnica ma kształt połowy walca o długości 6 m i średnicy 5 m (zobacz rysunek obok) Oblicz kuba turę piwnicy oraz jej pole powierzchni całkowitej (sklepienie wraz z podloga i pionową ścianą na końcu piwnicy). Wyniki zaokrąglij do całości.

6.16. Obwód podstawy blaszane) beczki w kształcie walca wynosi 157 cm. Wy- sokość beczki jest równa 1,1 m. W beczce zebrano 157 litrów deszczówki. Oblicz odległość lustra wody od brzegu beczki. Wynik podaj z dokładnością do 1 cm. 146

6.15. Prostokątny kawałek blachy o wymiarach 1,6 m długości i 0,8 m szero- kości można zwinąć w rurkę na dwa sposoby. W pierwszym przypadku długość Turki będzie wynosić 1,6 m, zaś w drugim – 0,8 m. Oblicz stosunek objętości tych rurek.

6.14. Pole jest równe 3 dm², a jego przekątne przecinają się pod ką- tem 60%. Oblicz objętość powstałego w wyniku obrotu tego prostokąta wokół krótszego boku.

6.13. Przekątna prostokąta ma długość 30 cm. Pole tego prostokąta jest równe 432 cm². Oblicz objętość walca otrzymanego przez obrót tego prostokąta dookoła dłuższego boku.

6.12. Oblicz objętość walca, którego pole powierzchni całkowitej jest równe 702 cm², a obwód przekroju osiowego wynosi 80 cm.

6.11. Wysokość walca jest równa 8 cm. Oblicz objętość tego walca, jeśli: a) średnica podstawy jest równa 24 cm, b) przekątna przekroju osiowego ma długość 17 cm, c) kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy jest równy 60°

6.10. Powierzchnia boczna walca jest prostokątem, którego jeden bok przystający do wysokości walca ma długość 20. Przekątna tego prostokąta tworzy z drugimn bokiem kąt równy 30°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

6.9. Stosunek pola przekroju osiowego do pola podstawy walca wynosi 4 : π.

Oblicz miarę kąta między przekątnymi przekroju osiowego walca.

6.8. Długości boków prostokąta pozostają w stosunku 1.2 W wyniku obrotu tego prostokąta wokół dwóch różnych jego osi symetrii powstają dwa walce. Oblicz stosunek pól powierzchni całkowitych tych walców.

6.7. Prostokąt o obwodzie 14 dm obracamy wokół jednego z jego boków. Pole powierzchni całkowitej otrzymanego walca wynosi 28 dm². Oblicz wysokość i pro- mień podstawy tego walca,

6.6. Pole powierzchni walca jest pięć razy większe od sumy pól obu pod- staw. Oblicz stosunek wysokości walca do promienia podstawy.

6.5. Podstawa walca ma średnicę 1 dm. Wysokość jest równa obwodowi podsta wy. Oblicz pole powierzchni bocznej walca.

6.4. Boki prostokąta mają długość 4 cm 16 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca, otrzymanego w wyniku obrotu tego prostokąta wokół: a) dłuższego boku

b) krótszego boku.

6.3. Przekrój osiowy walca jest prostokątem o wymiarach 3 cm na 5 cm. Narysuj

siatkę tego walca, Rozważ dwa przypadki.

6.2. Przekrój osiowy walca jest kwadratem, którego bok ma długość 4 cm. a) Podaj promień i wysokość walca b) Narysuj siatkę tego walca w rzeczywistej wielkości.

6.1. Siatka walca skla da się z prostokąta Na podstawie siatki walca przedstawionej obok, podaj: a) wysokość walca i pro- mien podstawy walca, b) pole powierzchni cał kowitej walca 3 cm 4л cm

D34. Kąt dwuścienny między ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego trój kątnego ma miarę a, a kąt płaski między krawędziami bocznymi tego ostrosłupa ma miarę B. Wykaż, że 2sin cos-1.

D 33. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy jest równy a. Odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi wynosi d. Wykaż, że pole powierzchni bocznej tego ostrosłu- 2d².√sin’ a+1 pa jest równe

32. W czworościanie foremnym poprowadzono przekrój płaszczyzną, zawierającą wysokość podstawy i przechodzącą przez środek krawędzi bocznej, która nie ma punktu wspólnego z tą wysokością. a) Wyznacz cosinus najmniejszego kąta tego przekroju. b) Wiedząc dodatkowo, że pole tego przekroju jest równe oblicz długość krawędzi czworościanu. 9/11 4

31. Podstawa ostrosłupa jest wielokątem, którego obwód jest równy 100 cm, a pole wynosi 600 cm³ Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płasz czyzny podstawy pod tym samym kątem. Wyznacz miarę tego kąta, wiedząc, że ob- jętość ostrosłupa wynosi 2400 cm³.

30. Podstawa ostrosłupa jest rombem o przekątnych długości 8 cm 16 cm. Wszyst kie ściany boczne ostrosłupa sa nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym sa- mym kątem Wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest równa 9 cm, oblicz: a) długości boków ściany bocznej ostrosłupa, b) pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

29. Podstawą ostrosłupa jest równoleglobok, którego boki mają długość 6 cm i 16 cm, a jedna z przekątnych ma długość 14 cm. Spodkiem wysokości ostrosłup 5 Geometria przestrzenna Wielosciany 143 jest punkt przecięcia przekątnych podstawy. Wiedząc, ze wysokość ostrosłupa jest równa 24 cm, oblicz: a) objętość ostrosłupa, b) długości krawędzi bocznych.

28. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 720√3 cm³, a wy- sokość graniastosłupa jest równa 20 cm. Graniastosłup przecięto płaszczyzną, ra wierającą krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 60° Oblicz pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną.

27. Krawędź sześcianu ma długość 20. Sześcian przecięto płaszczyzną przechodzą cą przez środki trzech różnych krawędzi, wychodzących z tego samego wierzchołka. Oblicz: a) pole otrzymanego przekroju, b) odległość płaszczyzny przekroju od punktu wspólnego tych krawędzi.

26. Przekątne trzech różnych ścian prostopadłościanu mają odpowiednio długość.

5, 3√17, 4√10. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

25. Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przypro stokątne mają długość: AC = 10 cm, BC= 24 cm. Spodkiem wysokości ostrosłupa jest wierzchołek C. Wiedząc, że wysokość tego ostrosłupa jest równa 24 cm, oblicz a) długość boków trójkąta ABS, b) tangens kąta dwuściennego między płaszczyzną (ABS) płaszczyzną podstawy