Kategoria: A Matematyka 1 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

7.173. Dane są wektory u iv (patrz rysunek obok). Narysuj wektory: a) ű + v oraz v +ű b) u-v oraz V-u <) 20-27 oraz 2(3-v) d) oraz

7.170. Czworokąt ABCD na rysunku obok jest trapezem, AB || DC, oraz [4ADC =

7.172. Dany jest wektor u. Narysuj wektor v taki, że: d) v + u = 0

7.171. W trójkącie równobocznym ABC wysokości AF i CD przecinają się w punk cie O kąta ABC. Wynik przedstaw w postaci a + b√c, gdzie a, b, ce zic>0. Da) Wykaż, że trójkąt ODE jest podobny do trójkąta bieństwa. ADF. Oblicz skalę tego podo b) Wiedząc dodatkowo, że obwód trójkąta ODF wynosi 2, oblicz długość boku trój Wektor na płaszczyźnie

7.169. W równoleglobok o przekątnych a ib, ob, wpisano romb tak, że jego boki są rów nolegle do przekątnych równolegloboku (zo- bacz rysunek obok). Wykaż, że długość boku rombu jest równa ab a+b

7.168. Na rysunku obok punkty B, C, D są wspólliniowe Trójkąty BCA i CDE są prostokąt ne, a czworokąt ACEF jest kwadratem Da) Wykaz, że trójkąty ABC i CDE są podobne. b) Wiedząc dodatkowo, że AC AB) = 3.4, oblicz skalę podobieństwa trójkąta CDE do trójkąta ABC.

7.167. Podstawa AB trójkąta ostrokątnego ABC ma długość 10 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość 8 cm. W ten trójkąt wpisano kwadrat tak, że dwa jego wierzchołki należą do podstawy AB, a dwa – do boków AC i BC. Oblicz długość boku kwadratu.

7.166. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 6 cm, a wyso kość CD ma 12 cm. W trójkąt ten wpisano kwadrat, którego dwa wierzchołki należą do podstawy AB, a dwa do ramion ACI BC. Oblicz długość boku kwadratu.

7.165. W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 30 cm, a ramię 25 cm. Oblicz odległość środka podstawy od ramienia tego trójkąta.

7.164. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: |AB|= 8 cm AC-4 cm. Punkt D dzieli bok AB w stosunku AD DB) 13 Punkt E należy do boku BC i odcinek DE jest prostopadły do boku BC. Oblicz [CE] [EB]

7.163. W trójkącie równoramiennym ABC są dane: AC=BC=26 cm, AB=20cm Oblicz odległość środka S wysokości CD od ramienia AC.

7.162. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta proste go dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki, z których jeden jest o 2 krótszy od tej wysokości, a drugi o 3 od niej dłuższy. Oblicz długość przeciwprostokątnej. 7.163. W trójkącie równoramiennym ABC są dane: AC=BC=26 cm, AB=20cm Oblicz odległość środka S wysokości CD od ramienia AC.

7.161. Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 20 cm. Spodek najkrótszej wy kości dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki w stosunku 9: 16. Wyznacz długośa boków tego trójkąta

7.160. Boki trójkąta rozwartokątnego ABC mają długość: JAB = 10, BC-8, AC Na boku AB zaznaczono punkt D w taki sposób, że

7.159. W trójkącie ABC dane są długości boków: AC = 12 cm, [BC] = 8 cm. Na boku AC zaznaczono punkt D, a na boku BC punkt E w taki sposób, że (DC=2 cm, ICE=3 cm. Wiedząc, że DE 4 cm, oblicz długość odcinka AB.

7.158. W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki długości (AD)=4cm iDB)=10 cm. Bok BC ma 16 cm długości. Wyznacz długości odcinków, na jakie sy metralna boku AB podzieli bok BC.

7.157. W trapezie podstawy mają długość 10 cm i 4 cm, a wysokość jest równa 7 cm. Wyznacz odległości punktu przecięcia się przekątnych trapezu od podstaw.

7.156. W trapezie długości podstaw wynoszą 5 cm 8 cm, a długości ramion: 3 cm i 4 cm. Ramiona trapezu przedłużono do przecięcia w punkcie P. Oblicz obwód trój kąta, którego jednym z wierzchołków jest punkt P, a dwa pozostałe są końcami duż szej podstawy trapezu.

7.155. W trójkącie prostokątnym ABC, w którym

7.154. Obwód trójkąta ABC jest równy 21 cm. Prosta równoległa do podstawy przecina wysokość CD w punkcie P, a boki ACI BC odpowiednio w Wiedząc, że (DPPC)=1:2, oblicz obwód trójkąta CEF. punktach ELF

7.153. Trójkąt A,B,C, jest podobny do trójkąta ABC w skali s. Wiedząc, że obw trójkąta ABC jest o 60% krótszy od obwodu trójkąta A,B,C,, oblicz a) skalę s b) o ile procent obwód trójkąta A,B,C, jest dłuższy od obwodu trójkąta ABC

7.152. Obwód trójkąta ABC podobnego do trójkąta A,B,C, jest równy 14 t Wiedząc, że: (A,8,|=2 cm, (B,C)=3 cm oraz (A,C,|= 4 cm, oblicz 3 a) skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta A,B,C, b) długości boków trójkąta ABC.

7.151. Boki trójkąta ABC mają długość: (AB) = 8 cm, [BC] = 10 cm, \AC) = 12 cm. Trójkąt A,B,C, jest podobny do trójkąta ABC i jego obwód jest równy 6 cm. Oblicz: a) skalę podobieństwa trójkąta A,B,C, do trójkąta ABC b) długości boków trójkąta A,B,C, 212 Matematyka. Zbiór zadań Klasa 1 Zakres rozszerzony

7.150. Obwód trójkąta ABC jest równy 9 cm. Trójkąt A,B,C, jest podobny do trój kąta ABC w skali k = 4, a dwa jego boki mają długość. A,B,|= 10 cm, A,C,|= 12 cm. Oblicz długość boków trójkąta ABC. Podobieństwo trójkątów – zastosowanie w zadaniach

7.149. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość (CA)=5,5 cm, (CB)=30 cm. Trójkąt A,B,C, jest podobny do trójkąta ABC, a A,B,|= 122 cm. Oblicz długości pozostałych boków trojkąta A,B,C,.

7.148. Na rysunku poniżej trójkąty ABC DEF są podobne. Wyznacz długość x. a) b) c) d)

7.147. Wykaż, że trójkąt ABC jest podobny do wskazanego poniżej trójkąta podaj skalę tego podobieństwa. a) ADEC b) ADEC c) ADEF d) AABD 2x B 7 Geometria płaska – pojęcia wstępne Trójkąty e) ACDB D 1) AADC 211

7.146. Wykaz podobieństwo trójkątów: a) AABSi ACDS b) AABDIAAEC ANCD E c) AABDI ADEC d) AABCI ACDB

7.145. Czy dane trójkąty są podobne? Odpowiedź uzasadnij a) AABCI AADE, jeśli ED || CB b) AABCI ADEF c) AABCI ADEF d) NADCIABDC Matematyka Zbiór zadań Klasa 1 Zakres rozszerzony 210 f) AABCI ADEF e) AABDI ABCD, jeśli (AB) [BC] 72

7.144. Na bokach trójkąta równobocznego ABC odkładamy odcinki równej długoś ci: AD na boku AB, BE na boku BC CF na boku CA. Następnie prowadzimy odcinki AE, BF i CD. Wykaż, że punkty przecięcia tych odcinków wyznaczają trójkąt równo- boczny. Podobieństwo trójkątów

7.143. Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Punkty P, Q, R leżą na bokach trójkąta ABC (po jednym punkcie na kazdym boku) w taki sposób, że każdy bak trójkąta PQR jest prostopadly do jednego boku trójkąta ABC, Da) Wykaz, ze trójkąt PQR jest równoboczny AB b) Wyznacz stosunek PQ

7.142. Na bokach AB, BCI CA trójkąta równobocznego ABC zaznaczono odpowied 209 nio E, F, D tak, że (AE)=(BF)=(CD) == AB Wykaz, že trójkąt EFD jest równo- boczny oraz że boki tego trójkąta są prostopadłe do boków trójkąta ABC.

D7.141. Punkt D należy do boku AB trójkąta równobocznego ABC (zobacz rysunek obok). Bok CB przedłużono poza punkt B do punktu F. Wykaż, że jeśli BEAD), to trójkąt CDE jest równoramienny.

D 7.140. Prosta przecina dwa okręgi współśrodkowe od- powiednio w punktach A, Di B, C, jak na rysunku obok. Wykaż, ze |AB| = |CD).

D7.139. Trójkąty ABC CDE są równoramienne, [AC] = [BC, (CD)=(CE) oraz

7.138. W trójkącie równobocznym o boku a przedłużono bok AC poza punkt Ao odcinek AA, AA,= 1, bok AB poza punkt B o odcinek BB₁, BB₁ = 1, bok BC poza punkt Co odcinek CC, CC, 1. Udowodnij, ze trójkąt A,B,C, jest równoboczny

D 7.137. Na jednej z dwóch prostych przecinających się w punkcie O zaznaczamy punkty A, B w taki sposób, że punkt O jest środkiem odcinka AB. Na drugiej proste zaznaczamy punkty C, D w taki sposób, że punkt O jest również środkiem odo ka CD. Wykaż, że pr. AC || pr. BD.

7.136. W trójkątach ostrokątnych ABCIA,B,C, poprowadzono wysokości CDIC,D,

Wykał, że AABC = AA,B,C,, jeżeli (A)= |

7.135. W trójkątach ABC IA,B,C, poprowadzono dwusieczne CDI CD₁. Wykai, le AABC = AA,B,C, wiedząc, ze (CD) = \C,D,|, |DA|=|D,A,| oraz |

D 7.134. W trójkątach ABC I A,B,C, poprowadzono środkowe BD i B,D,. Wykai, jezeli |80|=|8,D,|, |BC= \B,C, oraz DBC=4D,B,C,, to AABC = AA,B,C,”

D 7.133. W trójkątach ABC I A,B,C, poprowadzono BD 18,D, Wykat, Jeśli BC=\B,C,,

D 7.132. Udowodnij, że dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli przyprosto kątna i przeciwległy jej kąt ostry jednego trójkąta równają się przyprostokątnej i przeciwległemu kątowi ostremu drugiego trójkąta.

7.131. Czy trójkąty w poniższych parach są przystające? Odpowiedź uzasadnij a) b) ΔΑ 62 ’60 607 62 1 1 d) 30 7,5 7,5 60 8,5 60 208 Matematyka Zbiór zadan Klasa 2 Zakres rozszerzony.

7.130. Wykaż, że w dowolnym trójkącie ABC prawdziwa jest podwójna nierówność 3(a+b+c) 4 gdzie a, b, c oznaczają długości odpowiednich boków trójkąta, 5, 5, 5,- długości środkowych poprowadzonych odpowiednio do boków o długościach a, b, c. Przystawanie trójkątów

7.129. W trójkącie ABC poprowadzono środkową CD. Wierzchołek A połączono odcinkiem ze środkiem F środkowej CD przedłużono go az do przecięcia w punkcie ICH IFB F2 bokiem CB. Oblicz

7.128. W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest rów na odcinkowi, który łączy środek podstawy ze środkiem ramienia. Podstawa trójkąta jest równa a. Wyznacz wysokość opuszczoną na podstawę

7.127. Boki trójkąta ABC mają długość: (AB) 13 cm, [BC]= 14 cm, AC = 15 cm. Niech D oznacza spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka A. Oblicz |CD|

7.126. W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę cz, zaś kąt przy wierzchal ku B-miarę ẞ, przy czym a

7.125. Udowodnij, że jeżeli środkowa trójkąta równa się połowie boku, do którego została poprowadzona, to trójkąt jest prostokątny.

7.124. W trójkącie ABC na wysokości CD wybrano punkt H taki, że |