Kategoria: A Matematyka 1 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

44. W trójkącie ABC,

43. W trójkącie ABC środkowe poprowadzone z wierzchołków A B są do siebie prostopadle. Wykaż, że jeżeli [BC] = o, AC=b, to AB= D

D 42. W trójkącie ABC na rysunku środkowa popro- wadzona z wierzchołka C przecina bok AB w punkcie D. Półprosta DE jest dwusieczną kąta BDC. Wykaż, że jeżeli DEL BC, to trójkąt ABC jest prostokątny.

41. W trapezie suma miar kątów ostrych leżących przy dłuższej podstawie jest rów na 102°. Dwusieczne tych kątów zawierają przekątne trapezu. Oblicz miary kątów trapezu.

D 40. Punkt 5 jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, punkty A, B, C, są środkami boków, a punkty K, L, M są środkami odcinków SA, SB, SC. Udowodnij, że AA,B,C,= AKIM.

D 39. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: (AB) = 32 cm AC 24 cm. Symetralna boku BC przecina ten bok w punkcie D, bok AB w punkcie E i przedłużenie boku AC w punkcie F. Udowodnij, że trójkąt EBD jest podobny do trójkąta EAF oblicz skalę tego podobieństwa.

38. W prostokącie ABCD poprowadzono odcinek AE prostopadly do przekątnej DB i punkt E należy do boku DC prostokąta. Przekątna DB przecina się z odcinkiem AE w punkcie P. Wiedząc, że (AP) = 8 cm, (PE] = 2 cm, oblicz: a) długość przekątnej prostokąta b) długość boków prostokąta.

37. Przez punkt K przecięcia się przekątnych AC BD trapezu poprowadzono prostą m. prostopadłą do obu podstaw trapezu, która przecina krótszą podstawę DC trape zu w punkcie L, a dłuższą podstawę AB w punkcie M. Wiedząc, ze LM = 12 cm oraz, że (KL)=2 cm i (LC)=3cm, oblicz długość przekątnej AC trapezu.

36. Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A,B,C,, a jego obwód jest o 25% krótszy od obwodu trójkąta A,B,C,. Podaj, w jakiej skali trójkąt A,B,C, jest podobny do trójkąta ABC.

35. Obwód trójkąta A,B,C, podobnego do trójkąta ABC w skali 0,25 jest o 12 cm krótszy od obwodu trójkąta ABC. Wyznacz obwody tych trójkątów.

34. Boki trójkąta ABC mają długość: (AB)=4,8 cm, [BC] = 6,4 cm oraz |AC] = 8 cm, a) Wykaz trójkąt ABC jest prostokątny. 220 Matematyka Zbiór zadań Klasa 1. Zakres rozszerzony b) Wykaż, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta prostokątnego, w którym jedna z przyprostokątnych jest równa 8 cm, a druga jest o 4 cm krótsza od przeciwpro stokątnej. c) Podaj skalę tego podobieństwa.

D 33. Przez punkt W, w którym przecinają się dwu- sieczne kątów A i B trójkąta ABC, prowadzimy rów noległą do boku AB. Ta równoległa przecina proste ACI BC odpowiednio w punktach MIN. Wykaż, że MN=AM+BN

D 32. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku AC. Z punktu D poprowadzono odcinek DE taki, że DE LAB oraz Fe AB. Wykaż, że długość odcinka DE jest równa połowie wysokości CF.

31. W trójkącie ABC boki AC i BC mają taką samą dłu- gość. Na półprostej BC poza bokiem BC zaznaczono punkt D tak, że prosta przechodząca przez punkt Di pro- stopadła do boku AB przecina się z bokiem AC w punkcie E Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoramienny.

30. W trójkącie prostokątnym równoramiennym środkowa poprowadzona na prze- ciwprostokątną ma długość 6 cm. Oblicz długość środkowej poprowadzonej z wierz-

cholka kąta ostrego tego trójkąta

29. W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest o 3 cm krótsza od prze ciwprostokątnej. Druga przyprostokątna ma długość 9 cm. Oblicz: a) obwód trójkąta b) odległość punktu przecięcia środkowych trójkąta od wierzchołka kąta prostego.

28. Przekątne równolegloboku mają długość 10 cm 8 cm. Wykaż, że obwód czwo rokąta powstałego z połączenia kolejno środków boków tego równolegloboku jest równy 18 cm.

27. W trójkącie dwa boki mają długość 3,15 10,78. Wyznacz długość trzeciego boku, wiedząc, że wyraża się ona liczbą całkowitą.

26. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, AB=18C), o obwodzie 200 cm. W trójką- cie tym poprowadzono środkowe AD I CE. Obwód trójkąta ACE jest o 20 cm większy od obwodu trójkąta ABD. Oblicz dlugości boków trójkąta ABC.

25. Rozpatrujemy trójkąty, których boki są kolejnymi liczbami naturalnymi, a ob wód jest mniejszy od 17. a) Wyznacz długości boków trójkąta, który ma największy obwód b) Dla wyznaczonego trójkąta oblicz długość odcinka łączącego środki dwóch kro szych boków. 7. Geometria płaska – pojęcia wstępne. Trójkąty 219

24. Oblicz długości boków trójkąta równoramiennego ABC wiedząc, że AB=20+5, BC= a+6, CA)=40-1

D 23. W trójkącie ABC przedłużono bok AB poza wierzchołek B i odłożono odcinek 80. równy odcinkowi BC. Połączono punkty Ci D. Wykaż, że

22. W trójkącie ABC dwusieczna poprowadzona z wierzchołka C przecina przeciw- legły bok w punkcie D. Wiedząc, że

21. Miary kątów wewnętrznych pewnego sześciokąta pozostają w stosunku 1:2:3:4:3:2 Wykaż, że ten sześciokąt jest figurą wklęstą

20. Liczba przekątnych pewnego wielokąta foremnego jest trzy razy większa od licz by jego boków. Oblicz miarę kąta wewnętrznego tego wielokąta,

19. W trójkącie ABC poprowadzono trzy proste równoległe do podstawy AB, dzielą ce bok BC na cztery odcinki równej długości. Suma długości odcinków tych prostych zawartych w trójkącie ABC jest o 6 dm większa od podstawy AB. Oblicz długość boku AB.

18. W trójkącie ABC dane są długości boków: AB=12 cm, BC=8 cm, AC)=10cm. Punkt D dzieli bok AB na takie dwa odcinki, że (AD] [DB)=3:5. Przez punkt D popro wadzono prostą równoległą do boku AC, która przecięła bok BC w punkcie £. Oblicz długości odcinków: CE, BEI DE

17. W równolegloboku ABCD dwusieczna DE kąta rozwartego ADC i prosta BC wy znaczają dwa kąty przyległe, których miary pozostają w stosunku 2:3. Oblicz miary kątów równolegloboku ABCD.

16. Kąt zewnętrzny przy podstawie trójkąta równoramiennego jest większy o 30 od kąta zewnętrznego przy jego wierzchołku naprzeciw podstawy. Wyznacz kąty tego trójkąta

15. W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono dwie wysokości CD

mo, że (DB)=2,5 cm, CD=5 cm oraz (AE) = 4 cm. Wówczas,

A EB-2 cm

B. EB-2-cm -2cm 4

C. |EB = 3 cm

D. \EB = 31 cm

14. W trójkącie ABC na rysunku obok AD=1 D= 1 cm, DB=7,5 cm. Odcinek CD ma długość: A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm

13. Dane są trzy trójkąty: Trójkąty przystające są na rysunkach: C. tylko nalil D. nal, lill AE. Wiado A tylko na lill B. tylko na lli

2. W trójkącie o bokach długości 4, 5, 6 połączono środki boków otrzymano w ten D. a sposób nowy trójkąt. Obwód nowego trójkąta jest równy: A. 5,5 B. 6,5 C. 7,5 D. 8,5

11. W trójkącie prostokątnym równoramiennym wysokość poprowadzona na prze ciwprostokątną ma długość a. Długość przeciwprostokątnej jest równa: A. 20 8. √20 C. √2

10. W pewnym trójkącie dwusieczna tylko jednego kąta zawiera wysokość tego trójkąta. Zatem trójkąt ten jest: B. prostokątny A rozwartokątny C. równoramienny D. równoboczny

9. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest o 1 cm krótsza od prze ciwprostokątnej, a druga przyprostokątna ma 5 cm dlugości. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość: A. 5 cm B. 10 cm C. 13 cm D. 15 cm

8. Dwa boki trójkąta mają długość 4 oraz 5-, a obwód tego trójkąta jest liczbą natu ralną. Trzeci bok tego trójkąta może mieć maksymalnie długość równą A. 9 B. 8,5 C. 7,5 D. 5,5 7 Geometria płaska – pojęcia wstępne Trójkąty 217 2

7. Na rysunku obok proste a i b są równolegle. Zatem:

A x=2

B. x=4 D. x=8

C. x=6

6. Dany jest odcinek AB oraz punkty C, C2, C3, spełniające warunki: IC,A=5,5 cm -1 CA = 3,(7) cm CA√18 cm cm Do symetralnej odcinka AB spośród punktów C₁, C, C 7 C,8-3√2 cm. A. nalezy tylko punkt C, B. należą tylko punkty C, i C, D. należą wszystkie punkty C. nie należy zaden punkt

5. Na rysunku obok [BA] < |CB oraz [AD] = [DC]. Prawdziwe jest zdanie: A. Prosta BD nie jest symetralną odcinka AC i pólprosta BD nie jest dwusieczną kąta ABC. AC polprosta B. Prosta BD nie jest symetralną odcinka BD jest dwusieczną kąta ABC C Prosta BD jest symetralną odcinka AC półprosta BD jest dwusieczną kąta ABC. D. Prosta BD jest symetralną odcinka AC i półprosta BD nie jest dwusieczną kąta ABC.

4. Punkt C dzieli odcinek AB długości 48 cm na dwa odcinki, których stosunek dlu gości jest równy (AC): [BC]=3.5. Z tego wynika, że: A. AC-30 cm i |BC= 18 cm B. AC=20 cm [BC] = 28 cm CAC 18 cm i [BC= 30 cm D. AC 28 cm i |BC)=20 cm

2. Figurą wypukłą i nieograniczoną jest

C. okrąg

D. kat o mierze 175

A odcinek

B. kolo

1. Kąty przylegle a, ẞ są zaznaczone na rysunku: A. B. C D.

7.181. W dowolnym czworokącie wypukłym łączymy kolejno środki jego boków. Korzystając z własności wektorów wykaż, że powstały czworokąt jest równoleglo- bokiem.

7.179. Punkt K dzieli bok AC trójkąta ABC na odcinki AK i KC, dla których JAK: KC 2:3. Punkt L dzieli bok BC na odcinki BL 1 LC tak, że BL. [LC] = 2-3. Wykaż korzystając z działań na wektorach że KL || AB wyznacz długość odcinka KI w zależności od długości odcinka AB,

D7.178. Dany jest równoleglobok ABCD. Wykaż, że wektor AC + BD jest równoległy do wektora AD dwa razy od niego dłuższy.

D7.177. Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF Wykaż, że AD + CF + EB = 0.

7.176. W sześciokącie foremnym ABCDEF dane są wektory. AB-a, AF = b. Wyraż w zależności od aib wektory: AC, AD, AE, BC, CF

7.175. W prostokącie ABCD punkt E jest środkiem boku DC, zaś punkt ♬ jest środ kiem boku BC. Wiedząc, że AB = 60 i AD = 26, wyznacz wektory AE, AF oraz FE w zależności od wektorowa i b.

7.174. Między wektorami v prawdziwa jest zależność u = -0,5 V. Czy prawdzi wa jest równość: a) V-2 Odpowiedź uzasadnij, wykonując rysunki odpowiednich wektorów.