Kategoria: A Matematyka 1 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

29. Kąt a jest ostry. Wiedząc, że sin a + cos α=- oblicz sin’a + cos¹a 2

3. Na rysunku obok proste a i b są równolegle, zaś prosta k jest prostopadła do prostej /. Zatem: B. a=40° D. α=50° 130 A. α=35° Ca 45

D7.91. Udowodnij, że w każdym trójkącie jest kąt, który ma co najmniej 60°, i kąt, który ma co najwyżej 60° 7.92. Narysuj dowolny trójkąt ABC i wykreśl przy dwóch jego wierzchołkach po jednym kącie zewnętrznym. Czy suma tych dwóch kątów może równać się kątowi

14. Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej podaj zbiór wartości tej funkcji, równanie osi symetrii paraboli będącej jej wykresem oraz mak symalne przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca a) f(x)=8-2x² b) f(x)=(x-1) 4

D 35. Wykaz, że jeśli a jest kątem ostrym, to tg a+ ctg a 22.

D 34. Wykaz, że jeśli liczby x, a są dodatnie dla dowolnych kątów ostrych a iẞ praw dziwe są równości. sina= oraz tg ẞ= to a=ẞ

33. Dany jest trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątna przyległa du kąta o ma długość n, gdzie n>1 Druga przyprostokątna jest o 1 krótsza od przeciwprosto kątnej. Wykaz, že sina + cos α=-

32. Ustal, do jakiego przedziału należy. a) sina, jeśli α = (45°, 60°) b) cosa, jeśli a € (30°, 60°) c) 1gu, jeśli a e (30°,45) d) ctga, jeśli a € (30°, 45°)

31. Kąt a jest ostry oraz 3cos(90°-α) sin(90°-α) COS ( 2. Oblicz tgu+cga.

30. Suma sinusów kątów ostrych w pewnym trójkącie prostokątnym jest równa 2 Oblicz iloczyn cosinusów tych kątów.

28. Kąt z jest ostry Wiedząc, że iga-atga=22, oblicz tg’a+ctg³a 3

27. Oblicz wartość wyrażenia. a) cos’15-cos 30+ cos 45°-cos 60″+cos¹75″ b) sin 100+ sin 20° + sin 30°+…+ sin 80° c) tg 35 tg 40°-tg 45°-tg 50°-tg 55°-tg 60° 236 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 1 Zakres rozszerzony

26. Czy istnieje kąt ostry a, którego:

a) sina 0,6 cos a=0,8 =

b) tga 1,5 ictga=0,6?

25. Cosinus kąta ostrego a jest równy √2-1. Oblicz: a) 2sina-2 b) √2 ctg a sin¹a.

24. Sinus kąta ostrego a jest równy Oblicz: 3 a) tg b) tga √3 cos

23. Kąt a jest ostry i tga. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycz- nych kąta a.

22. Punkt A leży na jednym ramieniu kąta o mierze 60°, w odległości 10 od wierz- cholka tego kąta. Oblicz odległość punktu A od drugiego ramienia tego kata. 5

21. Oblicz wartość wyrażenia. a) (sin 30°-cos 45°)(cos 60° + sin 45°) b) (tg 60+ ctg 45°)-6ctg 60°

20. Kolejka prowadząca na szczyt Gubałówki pokonuje na drodze długości 1340 m różnicę wzniesień 300 m. Zakładając, że kolejka porusza się wzdłuż linii prostej ob- licz, pod jakim kątem wznoszą się tory kolejki.

19. Oblicz obwód trójkąta ABC na rysunku poniżej z dokładnością do 0,1 cm. Sko- rzystaj z odpowiednich danych umieszczonych w tabeli 2. Trygonometria kąta ostrego 235 27 h-9,7 cm sin a 0,755 49° 76 tga 1,150 ctg 0,869 COS a 0,656 104 D 0,970 4,011 0,249 0,242

18. Korzystając z danych przedstawionych na rysunku obok, oblicz wartość wyrażenia: sin’a-41g B

17. Skonstruuj kąt ostry a, wiedząc, że: 2b a+b a) tga 2,5 b) sina 1 5 b) wartość wyrażenia c) cos α= 0,4

16. W trójkącie prostokątnym a jest miarą kąta leżącego naprzeciw przyprostoką nej długości a, zaś bjest długością drugiej przyprostokątnej. Wiedząc, że cos a=- oblicz: a) tangens a

15. W trójkącie ostrokątnym kąty mają miary α, B, y. Jeśli cos a = sin ẞ= 13 itgy, 10: A. a

Zobacz!

14. Wartość wyrażenia ctg 30º ctg 40° ctg 50° jest równa: A. 1 B. 3 C. √3 D. 63 65

13. Wartość wyrażenia cos 40+ cos 50+ cos¹60° jest równa: A 1,25 B. 1 C. 1,75 D. 23

12. Kąt jest ostry i tg-3. Wówczas wartość wyrażenia (tg B+ ctg ) jest równa: A. 1 B. 3- 3 C. 9 1 9 1 D. 11- 234 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 1 Zakres rozszerzony

11. Wyrażenie cos³a+sin’a-cosa jest równe: A. 1 B. cos a C. sin a D. 2

10. Jeśli jest kątem ostrym oraz tg(90° – a)=√2-1, to tangens kąta az jest równy. 1 √2 A. -1 B. 1-√2 D. 1

9. Dla kątów ostrych a iẞ prawdziwa jest równość sin a=cosẞ tylko wtedy, gdy A. a=ẞ B. +8 90° Ca B=45 D +B=45° D. α=75°

8. Jeśli ctg =3tga dla pewnego kąta ostrego α, to: A α=30° B. a=45° C. α=60° D. B = (60°, 90°)

7. Tangens kąta ostrego ẞ jest równy 1-. Z tego wynika, že A. ẞ= (0°, 30°) B. B = (30°, 45°) C B = (45°, 60°)

6. Kąt a jest ostry i cosα= 0,8. Wówczas: A de (0°,30°) 8. a = (30°, 45°) Ca€ (45°, 60°) D. α = (60°, 90°)

5. Kąt a jest ostry i sin a = 0,9. Zatemn: C. 1g= 2 0.188-3/5 D. A = (0°, 30°) B. ae (30°, 45°) Cα = (45°, 60°) D a € (60°, 90°)

4. W trójkącie prostokątnym stosunek długości najdłuższego boku do najkrótszego boku jest równy 3:2. Jeśli najmniejszy kąt ma miarę ß, to: A. 1g= B. tg- 2 3

3. Kąt ostry w trójkącie prostokątnym równoramiennym ma miarę a. Zatem: A tga = √2 1 B. tga=- √2 C. ctga=1 D. ciga=√3

2. Jeśli a jest kątem ostrym i cosa=to: A sin a= 3 B. sin a=- 4 15 B. sina=2 16 1 D. sin=- 16

1. W trójkącie prostokątnym na rysunku poniżej dany jest kąt ostry α. Zatem: A. sin a= 1 √10 C. cos z= 3 1 B. cos a= 10 1 D. sin a=- 3 vio 8 Trygonometria kąta ostrego 233

8.60. Wykaż, że dana równość nie jest tożsamością trygonometryczną. a) cosa + sin α = √2 b) 2cos’α-1= sin a c) sina tg a cosα d) tg a+ ctg a= 2 sina cosa

8.59. Wykaż, że dana równość jest tożsamością trygonometryczną. sina + sin(90°-α) = ctg a (1+tge) a) cos a+cos(90°-a) COS a =1+tga c) cos(90°-a)+tga 1 1+- cos a cos(90°-α) b) cos(90°-α) d) cos a+tg(90°-a) sin(90°-a) 1 =1+- sina

8.58. Kąt a jest ostry. Sprawdź, czy dana równość jest tożsamością trygonome tryczną. ctg a a) sin a– =1 cos a c) sina + sin a tga=- tga cos a tga b) cosa. =1 sin a d) cosa + cos a ctg a= ciga sina

8.57. Kata jest ostry. Wykaz, že dana równość jest tożsamością trygonometryczn a) 1-2sin’a = 2cos’a – 1 c) sin a sina ina = cos -sina b) cos’a sin a=2cos’α-1 1 d) cosa. -C05a | = sinx cos a

8.56. Kąt a jest ostry. Zapisz dane wyrażenia w prostszej postaci. b) sin a cos’a + sin’a a) sina ctg a c) sina e) cos a + cos a tg’a 1 g) -(1-cos’α) sin’ a 1 sin a d) -cos a ctg a f) sina + cos a ctg a h) (cos a+tga sina) ctga

8.55. Wiedząc, że kąt a jest ostry oraz sin a-cos α==, oblicz a) sina cosa b) sina + cos a d) tga-ctga. c) tga+ctga 2 232 Matematyka. Zbiór zadań. Klasa Zakres rozszerzony

8.54. Wiedząc, że α = (45°, 90°) oraz sin α + cos α==, oblicz: a) sina cosa c) sin¹a-cos¹α b) cosa sina d) ctg a-tga. 1

8.53. Wiedząc, że kąta jest ostry oraz sin a cosa, oblicz: a) (sin α + cos α) c) tga + ctg a b) (sina-cosα) d) sin’a + cosa.

8.52. Ustaw dane liczby w porządku rosnącym, bez uzycia kalkulatora i tablic try: gonometrycznych. a) sin 40°, cos 40°, sin 45° c) tg 45, tg 46°, ctg 46° b) sin 65°, cos 30°, cos 20° d) tg 50°, sin 50°, cos 50°

8.51. Wykaż, że prawdziwa jest równość: a) 1 sin 51-sin 30° cos¹39°=0 in 51- 2 b) 2sin 60° cos 30°-ctg 29° ctg 61° – c) cos 27° + cos¹63° + tg 60° = 4 d) 2sin 15-2cos 15° + 4sin 85° = 2.

8.50. Oblicz, stosując wzory redukcyjne. a) tg 43 tg 44-tg 45°-tg 46°-tg 47° b) ctg 25 ctg 35° ctg 45° ctg 55° ctg 65° c) sin 75+ sin 15-2sin 30° d) (cos 52°-cos 38°)+2sin 38° – sin 52° +2cos 60° e) ctg 40° ctg 50 ctg 60° f) tg 40 tg 50 tg 60°

8.49. Wykaż, że wartość danego wyrażenia jest równa 1. a) cos (90°-20°) + cos 20 c) tg 89° 1g(90°-89°) b) sin 10+ sin 80° d) ctg 15 ctg 45°- ctg 75°