Kategoria: Matematyka 3 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

2.26. Podaj przykład a) pięciowyrazowego ciągu rosnącego o wyrazach mniejszych od -3, b) sześciowyrazowego ciągu niemalejącego o wyrazach dodatnich, c) dziesięciowyrazowego ciągu nierosnącego o wyrazach należących do przedziału (-1,5) d) pięciowyrazowego ciągu, który nie jest monotoniczny, e) nieskończonego ciągu malejącego o wyrazach mniejszych od 2, 1) nieskończonego ciągu nierosnącego o wyrazach niedodatnich.

2.25. Ciąg (a) jest skończony. Zbadaj monotoniczność tego ciągu. a) on 20m, gdzie ne [1, 2, 3, 10 b) a = (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5), gdzie n = {1, 2, 3, 4, 5} c) a [1, jeśli neN, in 7 n, jeśli neN, 1815 d) o -n²+6n-5, jeśli neN, in<4 n+1, jeśli neN, 14

2.24. Zbadaj monotoniczność nieskończonego ciągu (c), jeśli: a) cn 3n b) 2n+3 n+1 c) -2- 5 n43 d) c = 10n – n² e) C n(n-3) 2 +1 f)-2(n-3n+1).

2.23. Dany jest wyraz ogólny nieskończonego ciągu (b). Wykaż na podstawie definicji, że ten ciąg jest malejący. 2 a) b=2–n 3 b) b=7-(n-1)2 c) b b= 3 2n+3 d) b,-2-n’

2.22. Dany jest wyraz ogólny nieskończonego ciągu (a). Wykaz na podstawie definicji, że ten ciąg jest rosnący. a) 0,=√√3-n+1 b) a-1- n+1 c)-n-n-2 d) a 10n+4 2n+1

2.21. Ciąg (d) określony jest wzorem rekurencyjnym: znacz wyraz ogólny tego ciągu. d-1 d=d+2n+1 Wy- 45 46 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 3. Zakres rozszerzony Monotoniczność ciągów

2.20. Dany jest ciąg (c), gdzie n e N. Podaj wzór rekurencyjny tego ciągu. Oblicz co 2, 1 1 2, 2, b) (1, 2, 4, 7, 11, 16, …)

2.19. Dany jest ciąg (b), gdzie n e N. Podaj wyraz ogólny tego ciągu. Następnie zapisz wzór rekurencyjny ciągu (b). a) (1, 3, 5, 7, 9, 111 b) 9,3,1.9 27

2.18. Dany jest ciąg (a), gdzie n = N., Wyrazy tego ciągu powstały według pew nej reguły. Wyznacz wyraz ogólny tego ciągu a) 2 4 6 8 10 b) 1, d) 9 25 49 81 1 2 3 4 5 5′ 10′ 17′ 26 3

2.17. Ciąg (b) jest określony za pomocą wzoru rekurencyjnego. Wyznacz by. [b-3 a) b-2b,-1, jeśli n>1 b) b 4 bas (b) 4″, jeśli nǝ1 –3 -2 d) b=-1 b. (n-1)-b-b… jeśli n1 c) b , jeśli n≥1

2.16. Wyznacz wyraz ogólny a, nieskończonego ciągu (a) wiedząc, że dla dowol- nej liczby naturalnej n:

a) 0,+1-0+2=7n oraz 0,1+0.2=4-n b) 0.2-0.1 = n² oraz a,.2 + 20.1-3-2n2

2.15. Oblicz cztery początkowe wyrazy ciągu (a), wiedząc, że dla każdegon 2n+1 n²+n 1 n’ + n spełnione są dwie równości: 0+0+1 oraz a-0+1 EN. 2. Ciągi

2.14. Wyznacz wyraz ogólny a, ciągu (a,), n & N., jeśli a) on +4 b) 0.2 (n+1) gdzie n€ N n+2 2n+5

2.13. Dany jest wyraz ogólny nieskończonego ciągu (a). Wyznacz wyrazy: a. 02, oraz 03 2, gdzie k = N,. a) d 2n-5 n+1 b) a, n’ c) a, 2n-n²

2.12. Dany jest ciąg (c), gdzie c 2+n-6n² 2n+1 ne N. Wykaż, że wszystkie wy.

razy tego ciągu są liczbami całkowitymi ujemnymi.

2.11. Wykaż, że wśród wyrazów nieskończonego ciągu (b), gdzie b=3n-2.! tylko dwa wyrazy są liczbami pierwszymi.

2.10. wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu (a,), będące liczbami na turalnymi, jeśli: a) 0,-2- 6 b) o 3n-6 n+2 c) an n²+11n+8 n n+6

2.9. Dany jest ciąg (o,) o wyrazie ogólnym a 5n²-43n+24 5n-3 Wykaż, że do przedziału (3, 14) należy jedenaście wyrazów tego ciągu.

2.8. Ciąg (d) jest określony wzorem d = 3-In-5, gdzie n = N a) Sprawdź, czy liczba 4 jest wyrazem tego ciągu. Db) Wykaż, że ciąg (d) ma tylko siedem wyrazów nieujemnych.

2.7. Ciąg (c) jest określony wzorem <=n-2,8, gdzie n € N... a) Czy wśród wyrazów tego ciągu znajduje się liczba 2? b) Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału (34)2

2.6. wszystkie wyrazy ciągu (b.), gdzie n e N., określonego wzorem:

a) b,-2n-3-9, które są mniejsze od 4 b) b=-n²+4n, które są większe od -12.

2.5. Dany jest wyraz ogólny ciągu (a), gdzie n e N.. Które wyrazy tego ciągu są liczbami ujemnymi? a) an 2n-6 n+1 b) a = n²-7n + 10 c) 0-2 0-3

2.4. Wyznacz wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu o wyrazie ogólnym: a) 0, 3n-1 5n+2 których wartość jest równa b) b = (2n-3), których wartość jest równa 81 c) cn² (n²-5), których wartość jest równa -4 d) d = n’-7n²+11n, których wartość jest równa 5.

2.3. Sprawdź, które wyrazy nieskończonego ciągu (a) są równe zero. a) a,(n-2)(-4)(n-3) n²-4n-21 n²+1 n-256 n²-n+2 d) a n’-Bn-4n+32 3n+2

2.2. Ciąg (b) ma pięć wyrazów. Naszkicuj wykres tego ciągu. a) b,- (3-n)(n+1) b) b,-2+(-1) c) b=- 6n n41

2.1. Dany jest wyraz ogólny nieskończonego ciągu (a). Podaj pięć począt kowych wyrazów tego ciągu. a) a₁ = 2n² – 5n+1 b) o n+4 2n-3 )-3-(-1)-(n+1).

35. Dla jakich wartości parametru k, k = R, zbiorem rozwiązań nierówności wy- miernej (k+2)x+x+k+2 x²-(x+5)x+9 <0 jest zbiór wszystkich liczb

34. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, me R, dla których funkcja f(x)=(m+1)x-2√2x+m+2 ma dwa różne miejsca zerowe x, x₂ takie, le

33. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, m = R, dla których funkcja wy mierna f(x)=- (m+1)x-2 x-m jest funkcją homograficzną, malejącą w przedziałach

(m), (m,+x).

32. Wykaż, że jeśli a>0, to a²++>32.

D31. Wykaz, że jeśli liczby a, b, c są dodatnie oraz a² + b²+c² = 108, to a + b + c < 18

30. Rozwiąż nierówność: a) 5- x+2 b) <3 2x-3 c) x-1 <0.

29. Rozwiąż równanie: a) x-4x-2=- 15 x²-4x 6)-2–4-2 c) x²-4x+3 =1

28. Dane są funkcje wymierne f(x)=x+ oraz g(x)=? gdzie x = 0. Wy- każ, że: a) funkcja ƒ jest parzysta, a funkcja g jest nieparzysta, b) zbiorem wartości funkcji g jest suma przedziałów (-,-2)(2, +∞) c) jeśli o 0, to prawdziwa jest równość 1(a)-[(0)]-2

27. Funkcja f(x)– (-2, +). Funkcja g(x)- 7x gdzie x-a, jest rosnąca w przedziałach (-0, -2), gdzie xb, przyjmuje wartości ujemne wtedy

b-x i tylko wtedy, gdy xe (3, +0). Wyznacz współczynniki a i b. Następnie oblicz współrzędne punktów, w których przecinają się wykresy funkcji fig.

26. Wykaz na podstawie definicji, że funkcja homograficzna f(x)=- jest

malejąca w przedziałach (-0, 4), (4, +00).

25. Z miast A i B odległych od siebie o 252 km wyjechały naprzeciw siebie dwa pociągi Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechal o 20 minut później i jechał z prędkością o 9 km/h większą niż jadący z miasta B do miasta A. Pociągi minęły się na stacji leżącej w połowie drogi między miastami A B. Oblicz, z jakimi średnimi prędkościami jechały te pociągi.

24. Zbiornik może być napełniony wodą z dwóch kranów. Pierwszy kran napełnia pusty zbiornik w czasie o 2 godziny krótszym niż drugi kran. Jeśli otworzymy dwa krany jednocześnie, to zbiornik zostanie napełniony w ciągu 2 godzin i 24 minut. Oblicz, ile czasu potrzeba, aby napełnić pusty zbiornik tylko przez pierwszy kran?

23. Zakład stolarski otrzymał zamówienie na wyprodukowanie 192 krzeseł. Dzien nie wytwarzano tyle samo krzeseł. Ale po wykonaniu 25% zamówienia usprawniono produkcję i wówczas zakład zaczął produkować o 2 krzesła dziennie więcej. Dzięki temu umowę zrealizowano o 1 dzień wcześniej niz zaplanowano. W ciągu ilu dni zakład wyprodukował krzesła?

22. Maszynistka przepisywała rękopis książki liczący 240 stron – dziennie prze 41 pisując tę samą liczbę stron. Gdyby codziennie przepisywała o 10 stron więcej, to skończyłaby tę pracę o 2 dni wcześniej. W ciągu ilu dni maszynistka przepisała cały rękopis?

21. Wykaż, że jeśli a-b, ab oraz b2a, to 4 + 40 0²-ab+b² 2a-b a+b a+b a-b a²+2ab+b² a-b 4 a+b. 1 1 Ułamki algebraiczne Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne

D 20. Wykaż, że jeśli b = R – (0, 1) oraz a – 2b = ab, to wartość wyrażenia b b+1 2 jest stała.

D 19. Wykaż, że jeśli a z 0, b = 0 oraz a # b, to wartość wyrażenia (1) jest stała. +2 ba 3a 3b

18. Wykaż, że jeśli liczby a i b są dodatnie oraz 3a-b =1, to 2a+3b1 2a+b 1 a+4b 6 a b

17. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, dla których funkcja homograficzna 8 f(x)=1-, gdzie x=-1, przyjmuje wartości będące liczbami pierwszymi. x+1

16. Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykres funkcji homogra 2x+11 ficznej f(x)=- gdzie x ER-(-4), oraz wykres funkcji kwadratowej x+4 9(x)–(x+1)+3. Następnie oblicz współrzędne punktów wspólnych tych

wykresów

15. Na rysunku obok przed stawiony jest fragment wy- kresu funkcji homograficznej -4x+b f(x)- gdzie x-c Wiedząc, że do wykresu funk- cji f należy punkt A(4, -6): a) wyznacz współczynni ki b, c. -7-6-5-4-3-2-1 678 b) ustal znak liczby c) sprawdź, czy punkt 8(1-√2,-2-√2) należy do wykresu funkcji f.

14. Na rysunku obok przedstawiony jest fragment wykresu funkcji 3x-4 f(x)= gdzie xER-12). Oblicz X-2 pole prostokąta zaznaczonego na tym rysunku wiedząc, że jeden z jego wierz- chołków należy do wykresu funkcji f, a pozostałe odpowiednio do prostych x=2, y = 3. -3-2-1 234567 8 X 40 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 3. Zakres rozszerzony

13. Na rysunku obok przedstawiony jest fragment wykresu funkcji homograficznej f(x)= +c, gdzie a 0 ix-b. Wyk- x+b 5 kres przecina oś OY w punkcie (0,-3). a) Podaj dziedzinę zbiór wartości funkcji f b) Wyznacz współczynniki a, b, c. c) Oblicz miejsce zerowe funkcji f. d) Podaj zbiór argumentów, dla których ta funkcja przyjmuje wartości nieujemne. -5-4 -2 –中 6 -3

12. Rozwiąż dane równanie. a) 12x+4x-3x-1 2x-1 1 =0 3x c) b) (x-2)= 8 2-x d) 3 2 + x+1 2 x x+3 e) +1- x-3 x+2 x²-4 2-x 1-2x x-6 6x-36