Kategoria: Matematyka 3 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

40. Styczna do wykresu funkcji f(x) = 16x² + 1 gdzie x 0, przechodząca przez początek układu współrzędnych ma z parabolą o równaniu y = 3x²+12x-12 dwa punkty wspólne A i B. Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB.

39. Styczna do wykresu funkcji f(x)-. w punkcie A jest prostopadla do pro x+4 stej k: 6x – y + 4 = 0. Oblicz współrzędne punktu A.

D 38. Wykaż, że najmniejsza odległość punktu należącego do krzywej y-x+1 od prostej k: x + y-4=0 jest równa √2. 2-x

37. Na wykresie funkcji określonej wzorem y tej dodatniej, którego odległość od punktu A 4, -1) x³ wyznacz taki punkt P o odcię- jest najmniejsza,

36. Dane są punkty A(3, 1) B(1, 3), C(6, 3), D(3, 6). Da) Wykaż, że odcinki AB i CD są równoległe. b) Wyznacz skalę k środek s jednokladności, w której obrazem odcinka AB jest odcinek CD.

35. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A(0,-1), który jest jed- nocześnie styczny do prostych k: y = 0 oraz 1: 4x-3y+22=0,

34. W zbiorze wszystkich okręgów stycznych zewnętrznie do okręgu o równan x²+ y² = 25 stycznych jednocześnie do prostej k: 3x-4y-50-0 istnieje okras o najmniejszym promieniu. Wyznacz jego równanie.

33. Wyznacz wszystkie wartości m (me R), dla których prosta o rów naniu y = (m-1)x + m + 2 ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środ ku 5(1, 2) i promieniu r = 1.

32. Dane są punkty A(3, 0) i 8(-3, 0). Wyznacz równanie linii utworzonej prze te wszystkie punkty płaszczyzny, których odległość od punktu A jest 2 razy więks od odległości od punktu B. Jaką figure geometryczną opisuje ta linia?

31. Dane są okręgi ox²+ y²+10x-12y+12=0 oraz o₂: (x-1)²+(y+ 2)²=m², gdzie m0. Przeprowadź dyskusję położenia okręgów względem siebie w zależno ści od wartości parametru m

30. Wykaż, że punkty przecięcia okręgu o x²+ y²+6x-14y+ 45 = 0 z parabo

la p: y = (x+3)² są wierzchołkami trapezu równoramiennego, a przekątne tegu

trapezu przecinają się pod kątem prostym

29. Wyznacz współrzędne punktów wspólnych okręgów o: (x-2)+(y-3)-5 oraz o:: (x-5)²+ y² = 29.

28. Punkty A, B, C, D są wierzchołkami równolegloboku ABCD. Wiedza że AB=18, 4], DB =[3, -6], oblicz a) pole równoległoboku ABCD b) cosinus kąta BAD.

27. W rombie ABCD przekątne przecinają się w punkcie S(2,-1) Dwa kolege wierzchołki rombu mają współrzędne A(m,-3) oraz B(m +6, m-5), gdzie m Wyznacz a) współrzędne wierzchołków rombu 6) pole rombu c) cosinus kąta rozwartego rombu d) równanie okręgu wpisanego w romb ABCD.

26. Dane są punkty A(2, 1), B(8,3), C(-6, 5). Oblicz miarę największego kąta wtr kącie ABC

25. Dane są punkty A(-3,-1), C(3, 5). Odcinek AC jest przekątną rombu ABCS którego pole jest równe 24. Oblicz współrzędne punktów BiD.

24. Dane są punkty A(-5, 2), 8(1, 4) oraz prosta k: x-y+9-0. Wyznacz na p stej k punkt C tak, aby kąt ACB byl prosty.

23. Wyznacz równania kierunkowe stycznych do okręgu o: x + y²+8x-29-0 które są prostopadle do prostej k: 2x – y -8=0. 222 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 3 Zakres rozszerzony

22. Dany jest okrąg o: (x+4)²+(y+7)² = 169 oraz punkt A(1, 5).

a) Sprawdź, že punkt A należy do okręgu o.

b) Wyznacz równanie ogólne stycznej do okręgu o w punkcie A.

21. Dany jest okrąg o x²+ y²+6x-4y-27=0. Punkty A, B, C, D leżą na okrę- gu o i są wierzchołkami czworokąta wypukłego ABCD Wiadomo, że bok AB za wiera się w prostej k: y = -2x-14, a bok DC zawiera się w prostej y = -x + 3. a) Wyznacz współrzędne wierzchołków czworokąta ABCD. b) Wykaż, że jedna z przekątnych tego czworokąta jest średnicą okręgu o c) Oblicz pole czworokąta ABCD

20. Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S(3, 1) wiedząc, że punkty wspólne tego okręgu prostej k: x-7y+ 290 są końcami cięciwy mającej dłu- Bole 5√2

19. Dana jest prosta k: y = 3x + 1 oraz punkt A(-3, 5). Wyznacz obraz punktu A w symetrii osiowej względem prostej k.

18. Prosta k: x + 2 = 0 jest osią symetrii trójkąta równobocznego ABC. Wiedząc, że A(-5, -1), wyznacz współrzędne wierzchołków BiC

17. Dane są trzy wierzchołki czworokąta ABCD: A(-7, 0), 8(-3,-2), c(-1, 2). Wia- domo, że czworokąt ABCD ma środek symetrii. a) Oblicz współrzędne wierzchołka D Db) Wykaż, że czworokąt ABCD jest kwadratem, c) Wyznacz współrzędne wierzchołków kwadratu A,B,C,D,, będącego obrazem kwadratu ABCD w przesunięciu równoległym o wektor u =[2, 0],

16. Dane są punkty A(-3, 2), 8(5, 3), C(6, 8), D(1, 9). Da) Wykaż, że czworokąt ABCD jest deltoidem, b) Oblicz pole tego czworokąta.

15. Dane są punkty A(-6,-5), B(6, 3), C(-6, 9). Wyznacz równanie okręgu opisa

nego na trójkącie ABC.

14. Dwie wysokości trójkąta ABC zawierają się w prostych k: 2x-y+6=0 oraz 1x+y=0. Wiedząc, że A(-5, 1), wyznacz równanie ogólne prostej zawierającej trzecią wysokość tego trójkąta

13. Dane są punkty A(-5, 1), 8(3, 1), C(-2, 6). Oblicz współrzędne punktu bę cego ortocentrum tego trójkąta,

12. Dane są wierzcholki A(-3,-5) i B(9, 1) trójkąta ABC. Wiedząc, że punkt 5(1,1) jest punktem przecięcia się środkowych trójkąta ABC, oblicz a) współrzędne punktu C b) pole trójkąta ABC.

11. Wyznacz na prostej k: x-2y+7=0 punkt P, który jest równoodległy od punk. tów AB, gdzie A(3,-2), 8(7,2).

10. Odległość między prostymi równoległymi k-3x-4y+7=0 oraz 1:3x-4y-5=0 jest równa: A 12 B. 6 C. 3 D. 2,4

9. Odcinek AC jest przekątną kwadratu ABCD. Jeśli A(1, 5), c(5, -3), to pole tego kwadratu jest równe: A. 40 8 405 C. 40√5 D. 80

8. Dana jest prosta k: 2x-y-5= 0 oraz okrąg o: x+y= 5, Wskat zdani prawdziwe. A. Prosta k przechodzi przez środek okręgu o. B. Prosta k przecina okrąg o w punktach (-2, -1) oraz (-1,-2). C. Prosta k jest styczna do okręgu o. D. Prosta k jest rozłączna z okręgiem o.

7. Dane są punkty A(4,-1), B(11, 1), C(4, 7). Pole trójkąta ABC jest równe: B. 21 C. 28 A. 14 D. 56

6. Prostą prostopadla do prostej k: 3x-2y+ 1 = 0 i przechodzącą przez punkt P(0, 0) opisuje równanie: A. 3x+2y=0 B. 2x+3y=0 C. 2x-3y=0 D.-x-2y=0

5. Czworokąt ABCD jest równoleglobokiem. Jeśli A(-5,

D. (6,3)

0), B(3,-4), C(6, 2), to

B D(-2, 6)

A. D(13,-2)

4. Środek ciężkości trójkąta ABC, gdzie A(-2, 7), B(3,-4), C(5, 9) ma współrzęd B. (3, 6)

A. (2.4)

3. Odległość punktu P(-3, 2) od prostej k: y=x-10 je A. liczbą niewymierną B. kwadratem liczby naturalnej D. iloczynem dwóch liczb pierwszych C. liczbą naturalną podzielną przez 3 220 Matematyka. Zbiór zadań Klasa 3 Zakres rozszerzony

2. Symetralna odcinka PQ, gdzie P(4, 7), Q(-2, 10), jest nachylona do osi OX pod kątem a. Wówczas:

A. tg a=0,5

B. tg α = -0,5

C. tg a=2

D. tga-2

1. Wektory u=lo, a+3] oraz V-[2, 5] są równolegle tylko wtedy, gdy:

A. a = -1

B. a=0

C. a=1

D. a = 2

8.190. Na hiperboli o równaniu y = -, gdzie x 0, obrano punkty A(2, 3) i 8(6, 1). Wyznacz na tej hiperboli taki punkt Co ujemnej odciętej, aby pole trójkąta ABC bylo najmniejsze.

8.189. Budujemy prostokąty, których dwa wierzchołki należą do prostej k: y = 4, natomiast pozostałe dwa należą do paraboli o równaniu y = (x+3), a ich rzędne są mniejsze od 4. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego prostokąta, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

8.188. Na gałęzi hiperboli o równaniu y = gdzie x = (0, +), wyznacz taki punkt P, którego odległość od punktu A(2,-2) jest najmniejsza.

8.187. Na paraboli o równaniu y od punktu A(12, 0) jest najmniejsza. wyznacz taki punkt P, którego odległość

8.186. Na paraboli o równaniu y=- od punktu A(4, 1) jest najmniejsza. x² wyznacz taki punkt P, którego odległość

8.185. Prosta k: y = ax + b, gdzie a > 0, przechodząca przez punkt P(-1, 2), odcina na osiach układu współrzędnych odcinki, których suma długości jest najmniejsza. Wyznacz równanie tej prostej.

8.184. Na paraboli o równaniu y=-x+2x wyznacz taki punkt P, aby styczna do tej paraboli poprowadzona w punkcie P ograniczala, wraz z prostymi o równa niach: x = 0, y = 0, x = 1, trapez o najmniejszym polu.

8.183. W którym punkcie wykresu funkcji f(x)=, gdzie x 0, należy poprowa dzić do tego wykresu, aby pole trójkąta ograniczonego tą styczną os układu współrzędnych było równe 1-?

8.182. W którym punkcie wykresu funkcji f(x)=-x³ należy poprowadzić styczną do tego wykresu, aby pole ograniczonego tą styczną i oslami układu współ rzędnych było równe 54?

8.181, Do paraboli o równaniu y = x² poprowadzono styczną w punkcie o odciętej ujemnej, która wraz z osiami układu współrzędnych ograniczyła trójkąt o polu rów nym 16. Wyznacz równanie tej stycznej.