Kategoria: Matematyka 3 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

2.76. Rozwiąż dane równanie wiedząc, że po lewej stronie tego równania v wystę puje suma początkowych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego. a) 3+5+7++ x = 195 b) (-11)+(-8)+(-5)++ (3x+1)=150 c) 4+8+ 12 ++x²= 8320

2.75. Z pełnego pojemnika zaczęła wylewać się woda. W pierwszej sekundz wypłynęło 3,4 litra wody, a w każdej następnej o 0,3 litra mniej niż w p W ostatniej sekundzie wypłynęło tylko 0,1 litra wody. poprzednie a) Ile czasu wypływała woda z pojemnika? b) Jaką pojemność miał pojemnik?

2.74. Marek chce przekopać swój przydomowy ogródek warzywny o powierzch- ni 7,83 a. Pierwszego dnia przekopał 27 m². Aby przyspieszyć prace postanowił każ- dego następnego dnia przekopywać o 4 m² ogródka więcej niż poprzedniego dnia. Ile najmniej dni musi przeznaczyć Marek na wykonanie tej pracy?

2.73. Wykopanie pierwszego metra studni kosztuje 8 zł, a każdego następnego o 3 zł drożej od poprzedniego. a) Ile kosztuje wykopanie studni głębokości 25 m? b) Wykopanie studni kosztowało 798 zł. Jaka była jej głębokość?

2.72. Rowerzysta w ciągu pierwszej godziny przejechal 20 km, a w ciągu każdej następnej godziny odcinek o 0,75 km krótszy od poprzedniego. Jaką drogę pokonal rowerzysta, jeśli w ciągu ostatniej godziny przejechałt 17 km?

2.71. Dany jest nieskończony ciąg arytmetyczny (c), w którym c₁ = 8, r = 3. Da) Wykaż, że wyrazy ciągu (c) o numerach parzystych tworzą ciąg arytmetycz ny (b). Podaj różnicę ciągu (b). b) Oblicz sumę czternastu początkowych wyrazów ciągu (b.).

2.70. W nieskończonym ciągu arytmetycznym (b) dane są: b₁ = 58 oraz r = -3. Zsumowano kilkanaście początkowych wyrazów tego ciągu i otrzymano 578. Ile wy razów ciągu (b) wzięto do tej sumy?

2.69. Ciąg (a) jest skończonym ciągiem arytmetycznym, którego suma wszystkich wyrazów jest równa 204. Różnica ciągu jest równa 6, a ostatni wyraz ciągu wynosi 49. Ile wyrazów ma ten ciąg?

2.68. Suma szesnastu początkowych wyrazów nieskończonego ciągu arytmetyczne- go (a) jest równa 728. Wiedząc, że a₁ = 63, oblicz pierwszy wyraz różnicę ciągu (a.).

2.67. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych: a) mniejszych od 200, których reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1 b) większych od 100 i jednocześnie mniejszych od 500, których reszta z dzielenia przez 5 jest równa 1 lub 4.

2.66. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych. a) parzystych, nie większych od 250 b) dwucyfrowych, podzielnych przez 4

2.65. Oblicz:

a)-7-4-1+2+5+ – +227

b) 82-10 12 14 16 182++ 2012-2014².

2.64. Dany jest wyraz ogólny nieskończonego ciągu arytmetycznego b = 10,5-n, n>1. lle początkowych wyrazów tego ciągu należy wziąć do sumy, aby jej wartość była największa? Podaj tę największą wartość. (b.): d) as+ 10+ 01+0 2. Ciągi 51

2.63. Nieskończony ciąg arytmetyczny (a) opisuje wzór a = 24-4n, n>1. a) Napisz wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu (a). b) Oblicz, ile początkowych wyrazów tego ciągu należy wziąć do sumy, aby jej wartość wynosiła 0.

2.62. W nieskończonym ciągu arytmetycznym (b), n>1, dane są: b₁ = -4, r =1, Wiedząc, że S, oznacza sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, oblicz: b) b₁0 + b₁ + b₁₂+ … + b25 c) bis + b + bis + … + b₂

2.61. Suma ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a) jest rów na 17, a suma trzynastu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 32. Oblicz: a) 09+10+1+12 +013 b) a11 c) 010 +011 +012

2.60. Sumę n początkowych wyrazów nieskończonego ciągu (a.) określa wzór S=5n-n², gdzie n = N.. Da) Wykaż, że ciąg (o) jest ciągiem arytmetycznym malejącym. b) Oblicz 010+ 01+ 12+ a13+ aja + a15

2.59. Sumę n początkowych wyrazów nieskończonego ciągu (a) określa wzór Sn²-4n, gdzie n = N..

a) Wykaż, że ciąg (o) jest ciągiem arytmetycznym. b) Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

D 2.58. Suma in początkowych wyrazów ciągu (a) wyraża się wzorem S = n(n-1) b) ciąg (a) nie jest ciągiem arytmetycznym

2.57. Suma n początkowych wyrazów nieskończonego ciągu (a) wyraża się wz rem S (n+1)(n+2) gdzie ne N,. Oblicz: a) a 2 b) 5 c) as Następnie wyznacz ogólny wyraz ciągu (a.). gdzie n e N.. Wykaż, że: a) a=3n(n-1), gdzie n€ N..

2.56. Liczby całkowite a, b, c, d są pierwiastkami wielomianu W(x) = x²+ px²+9. Wiedząc, że ciąg (a, b, c, d) jest ciągiem arytmetycznym rosnącym, wyznacz licz- by a, b, c, d, p. 50 Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3. Zakres rozszerzony Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

D 2.55. Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a, b, c są usta lonymi liczbami rzeczywistymi, jest parabola zwrócona ramionami do góry. Wykaż, że ciąg (d) określony wzorem d, = f(n + 1) – f(n), gdzie n = N, jest rosnącym ciągiem

D 2.54. Dany jest malejący ciąg arytmetyczny (c), n e N., oraz funkcja liniowa f(x) = ax + b, gdzie a < Oibe R. Wykaż, że ciąg (b), gdzie b = f(c,), jest rosną- cym ciągiem arytmetycznym.

D 2.53. Wykaż, że jeśli ciąg (a), gdzie n e N., jest rosnącym ciągiem arytmetycz- nym, to ciąg (b), gdzie b=3-20, jest ciągiem arytmetycznym malejącym.

2.52. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb jest równa 18, a suma kwadratów liczb skrajnych wynosi 104. Wyznacz te liczby.

2.51. W skończonym ciągu arytmetycznym (a) dane są: a₂ = 2 oraz a = 22. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Wyznacz liczbę wyrazów ciągu (a) wiedząc, że ostatni wyraz wynosi 222.

2.50. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 27, suma dwóch ostatnich wyrazów wynosi 105. Wiedząc, że siódmy wyraz ciągu wy- nosi 30, oblicz: a) pierwszy wyraz tego ciągu b) liczbę wyrazów tego ciągu.

2.49. Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego wiedząc, że te długości usta wione rosnąco tworzą ciąg o różnicy 2.

2.48. Dla jakiej wartości x liczby x, x² + 2, 4 są w danej kolejności odpowiednio pierwszym, trzecim i piątym wyrazem nieskończonego ciągu arytmetycznego (a,)? Dla znalezionej wartości x napisz wyraz ogólny ciągu (a).

2.47. Wyznacz liczby x, y tak, aby czterowyrazowy ciąg (12, x, y, 27) był ciągiem

arytmetycznym.

2.46. Wyznacz liczbę k, dla której ciąg (3k-2k + 3, K-K+ 1,-2k² + k +5) jest

ciągiem arytmetycznym. Dla wyznaczonej liczby k podaj ten ciąg.

2.45. Wykaż że ciąg

3, √3+4 jest ciągiem arytmetycznym.

2.44. Oblicz, ile jest liczb naturalnych: a) należących do przedziału (200, 895), które są podzielne przez 4 b) mniejszych od 300, które nie są podzielne przez 7 c) należących do przedziału (10, 400), których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 2 D = 2,5 2. Ciagi 49

2.43. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego (a.), jeśli: c) as + as = 24 as as = 135 a) a + a₁ = 14 i 00 + 022 = 10 b) as-03 = 10 i 20s + 307 = 37 d) 09-06-21 i 0, 06=2146.

2.42. Ciąg arytmetyczny ma siedemnaście wyrazów. Środkowy wyraz ciągu jest równy 8. Wyznacz różnicę tego ciągu wiedząc, że trzeci wyraz ciągu jest równy-22.

2.41. W skończonym ciągu arytmetycznym przedostatni wyraz jest równy 38, a ostatni wynosi 41. Wiedząc, że drugi wyraz tego ciągu jest równy 5, oblicz liczbę wyrazów tego ciąg.

2.40. Pierwszy wyraz skończonego ciągu arytmetycznego o różnicy 3,1 wynosi 2,3 Ostatni wyraz tego ciągu jest równy 48,8. Ile wyrazów ma ten ciąg?

2.39. Między liczby 4 22 wstaw kolejno pięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły rosnący ciąg arytmetyczny.

2.38. Ciąg (o) jest określony wzorem a,= n(n + 1), gdzie n = N. Da) Wykaz, że ciąg (a) nie jest ciągiem arytmetycznym. b) Drugi i piąty wyraz ciągu (a) są odpowiednio równe pierwszemu i siódmemu wyra zowi nieskończonego ciągu arytmetycznego (b). Wyznacz wyraz ogólny ciągu (b) 2.39. Między liczby 4 22 wstaw kolejno pięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły rosnący ciąg arytmetyczny.

2.37. W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a,) dane są a₁ = -8,5 i r Oblicz: a) wyrazy 06,010 in b) wyraz ogólny ciągu c) 02 +1-0+3

2.36. Dany jest ciąg (b) określony wzorem b Da) Wykaż, że ciąg (b) jest ciągiem arytmetycznym. b) Zbadaj monotoniczność tego ciągu. gdzie n € N.. c) Oblicz bio bas

2.35. Ciąg (a) jest określony wzorem a, = 5n-3, gdzie n e N.. Da) Wykaż, że ciąg (a) jest ciągiem arytmetycznym. b) Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu. c) Podaj wzór rekurencyjny ciągu (a). 4-7n 3

2.34. Dany jest wyraz ogólny ciągu (c), gdzie n e N. Zbadaj monotoniczność tego ciągu. a) c,-3-5 b) c₁ = 71-n d) c 3 n+1 e) c n 50+1 12+2 f) c- 48 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 3. Zakres rozszerzony

2.33. Ciąg (a) jest ciągiem nieskończonym malejącym o wyrazach dodatnich. Zbadaj monotoniczność ciągu (b) wiedząc, że:

2.32. Podaj wyraz ogólny przykładowego nieskończonego i niemonotonicznego ciągu (o,) takiego, że ciąg (b,), gdzie b, la, jest monotoniczny.

2.31. Podaj wyraz ogólny przykładowego nieskończonego rosnącego ciągu (a) o tej własności, ze ciąg (b.), gdzie b, o jest malejący.

2.30. Podaj wyraz ogólny przykładowego nieskończonego malejącego ciągu (a) o tej własności, że ciąg (b), gdzie b = |a, jest rosnący.

2.29. Zbadaj monotoniczność nieskończonego ciągu (a), określonego wzorem rekurencyjnym. a, 3 a) 9=0,-2, n≥1 b) 01-0+5n, n≥1 a=8 n≥1 9,4 d) 2 a e) 30 2 n≥1 f) 0, -1

2.28. Dany jest wyraz ogólny ciągu (b.), gdzie n e N.. Sprawdź, czy ten ciąg jest monotoniczny. a) b,-(-3)” b) b₁ = \n-5 c) b b₂- d) b = 4+1

2.27. Podaj przykład: a) nieskończonego ciągu rosnącego o wyrazach większych od-8 b) nieskończonego ciągu malejącego o wyrazach mniejszych od 4 c) nieskończonego ciągu niemalejącego o wyrazach nieujemnych d) nieskończonego ciągu rosnącego o wyrazach z przedziału (4,5).