Kategoria: Matematyka 4 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

D 5.58. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny, którego pod- stawy mają długość a i b, a ramię ma długość c. Wysokość tego graniastosłupa jest równa H. Wykaż, że długość przekątnej d tego graniastosłupa opisuje wzór d’ = H² + ab + c².

5.57. Stosunek długości przekątnej ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego do długości krawędzi podstawy jest równy √3:1. Oblicz miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

5.56. W pewnym graniastosłupie liczba krawędzi jest dwa i pół razy większa od liczby ścian Jakie wielokąty są podstawami tego graniastosłupa?

5.55. W pewnym graniastosłupie liczba ścian jest o 5 mniejsza od liczby wierzchoł ków. Oblicz liczbę wierzchołków, liczbę ścian i liczbę krawędzi tego graniastosłupa

5.54. Liczba naturalna parzysta n oznacza liczbę wierzcholków pewnego granias toslupa. a) Zapisz liczbę s ścian i liczbę k krawędzi tego graniastosłupa b) Oblicz liczbę ścian i liczbę krawędzi graniastosłupa w przypadku, gdy n = 10. w zależności od n

5.52. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Wysokość tego graniastosłups jest równa 12 cm. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a= 45°, a krótsza pod kątem B = 60°. Oblicz długość kra wędzi podstawy. 5.53. Oblicz dlugości przekątnych graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego,

5.51. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego bok ma długość 5√3 cm. Wiedząc, że wysokość graniastosłupa jest równa 8 cm, a dłuższa prze kątna graniastosłupa ma 17 cm długości, oblicz a) miarę kąta ostrego rombu, b) długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa.

5.50. Krawędź boczna graniastosłupa prawidlowego trójkątnego ma długość √8, a krawędź podstawy ma długość 2. Oblicz: a) cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, b) sinus kąta między przekątną jednej ściany bocznej a krawędzią podstawy zawartą w sąsiedniej ścianie bocznej, z tego samego wierzchołka, c) miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

5.49. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz: a) tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, b) sinus kąta między przekątną ściany bocznej a przekątną podstawy, wychodzącymi z tego samego wierzchołka, c) cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

5.48. Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu wynosi 3:4:12, a długość przekątnej prostopadłościanu jest równa 26 cm. Oblicz długości przekątnych trzech nieprzystających ścian.

5.47. Wykaż, że długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c jest równa √a²+b²+c². Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu i miarę kąta nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny podstawy w przypadku, gdy krawę dzie podstawy mają długość: a = 3 cm, b = 4 cm, zaś krawędź boczna ma długość

5.46. Wykaż, że długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości a jest rów a) Wyznacz cosinus kąta nachylenia przekątnej sześcianu do płaszczyzny podstawy.

b) Oblicz a w przypadku, gdy przekątna sześcianu ma długość 3 cm.

5.45. Dane są dwa przystające romby ABCD i DCEF, których wspólny bok DC ma długość 4 cm. Miary kątów ostrych tych rombów są takie same i wynoszą

5.44. Dane są dwa przystające równolegloboki ABCD DCEF o wspólnym boku DC. Miary kątów ostrych obu równolegloboków są takie same i wynoszą

5.43. Trójkąt prostokątny ABC, w którym < ACB 90°, AB 10 oraz BC- zawiera się w płaszczyźnie л. Odcinek CD jest prostopadły do płaszczyzny z i ma długość 8. Oblicz a) miarę kąta nachylenia prostej AD do płaszczyzny, b) cosinus kąta nachylenia prostej BD do płaszczyzny, c) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny.

5.42. Trójkąt prostokątny ABC, w którym 4 ABC = 90°, AC = 20, oraz AB = 12, zawiera się w płaszczyźnie z. Odcinek DC jest prostopadły do płaszczyzny i ma długość 12. Oblicz: a) sinus kąta nachylenia prostej AD do płaszczyzny, b) sinus kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny z.

5.41. Punkty A, B, C leżące na płaszczyźnie z wyznaczają trójkąt równoramienny, w którym AC BC= 5 oraz AB 6 Odcinek DC jest prostopadły do płaszczy. zny, a jego dlugość jest równa 8. Oblicz a) tangens kąta nachylenia prostej BD do płaszczyzny #, b) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny z.

5.40. Na płaszczyźnie z dany jest odcinek AB. Odcinek BC jest prostopadly do płaszczyzny a. Punkt D jest środkiem odcinka BC. Wiedząc, że tangens nachyle. nia prostej AD do płaszczyzny wynosi – 2 ,oblicz sinus kąta nachylenia prostej AC

5.39. Płaszczyzny i są prostopadle, a krawędzią ich przecięcia jest prosta m. Punkt A należy do płaszczyzny, i leży w odległości 8 cm od prostej m. Punkt B należy do płaszczyzny i leży w odległości 6 cm od prostej m. Wiedząc, że rzutem prostokątnym punktu A na płaszczyznę, jest ten sam punkt co rzut prostokątny punktu B na płaszczyznę ₁, oblicz a) tangens kąta nachylenia prostej AB do płaszczyzny #2 b) cosinus kąta nachylenia prostej AB do płaszczyzny

5.38. Dany jest sześcian ABCDA,B,C,D,, którego bok ma długość a. Oblicz tan- gens kąta nachylenia przekątnej AC, do płaszczyzny (BCC,B,).

5.37. Prosta k przebija płaszczyznę w punkcie A. Punkt B należy do prostej /, która jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę z oraz AB-8 cm. Oblicz odległość punktu 8 od prostej k, jeśli kąt nachylenia prostej k do płaszczyzny # ma miarę: a) 30° b) 45° c) 60°

5.36. Dany jest sześcian ABCDA,B,C,D,. Punkt O jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu ABCD (zobacz rysunek obok). Czy proste A,B i OC, są pro stopadle? Odpowiedź uzasadnij Kąt między prostą a płaszczyzną. Kąt dwuścienny

5.35. Dany jest sześcian ABCDA,B,C,D, Punkt O jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu ADD,A,, punkt E jest środkiem krawędzi AB (zo- bacz rysunek obok). Czy proste OB, i FC są prosto- padłe? Odpowiedź uzasadnij.

5.34. Boki trójkąta ABC mają długość AB-60 cm, ACBC = 50 cm. Odo nek AD jest prostopadly do płaszczyzny (ABC). Odległość punktu D od prostej BC jest równa cm. Oblicz odległość punktu D od płaszczyzny (ABC).

5.33. W trójkącie prostokątnym ABC wysokość CD poprowadzona na przeciw- prostokątną AB dzieli ją na odcinki długości: AD = 9 cm i DB = 4 cm. Odcinek EC jest prostopadly do płaszczyzny (ABC). Wiedząc, że pole trójkąta ABC jest o 26 cm² mniejsze od pola trójkąta ABE, oblicz odległość punktu E od płaszczyzny (ABC).

5.32. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: AC-15 cm, BC= 20 cm. Odcinek DC jest prostopadły do płaszczyzny (ABC) i ma długość 22,5 cm. Oblicz wysokość trójkąta ABD, poprowadzoną na bok AB.

D 5.31. W równolegloboku ABCD przekątna DB jest jednocześnie wysokością po prowadzoną na boki AD i BC. Proste DB i AC przecinają się w punkcie O. Odci- nek EO jest prostopadły do płaszczyzny (ABCD). Wykaż, że trójkąty BCE i ADEs prostokątne.

5.30. Dany jest kwadrat ABCD. Odcinek DE jest prostopadły do płaszczyzny (ABCD) Wykaż, że trójkąty ABE oraz BCE są prostokątne.

5.29. W trójkącie różnobocznym ABC punkt E jest środkiem odcinka BC. Odci nek AD jest prostopadły do płaszczyzny (ABC). Czy prosta DE jest prostopadła do prostej BC? Odpowiedź uzasadnij.

D5.28. Punkty A, 8 C, D nie leżą w jednej płaszczyźnie. Odcinek CD jest prosto- padły do odcinka AC i do odcinka BC. Punkt E jest środkiem odcinka AB. Wykaż, że jeśli ED AB, to trójkąt ABC jest równoramienny.

5.27. Rzutem prostokątnym punktu A na płaszczyznę z jest punkt A’. Do pro stej k zawartej w płaszczyźnie i przechodzącej przez punkt A’należą punkty B, C, a punkt 8 leży między punktami A’I C. Wiedząc, że AB = 10 cm, BC= 9 cm oraz AC = 17 cm, oblicz odległość punktu A od płaszczyzny

5.26. Dane są punkty A, B należące do płaszczyzny oraz punkt C, który leży w odległości 9 cm od płaszczyzny, w odległości 106 cm od punktu A i w odle głości 15 cm od punktu B. Punkt C’ jest rzutem prostokątnym punktu C na płasz czyznę oraz 4 AC’B= 90°. Oblicz długość odcinka AB.

5.25. Odcinek AB zawarty w płaszczyźnie z ma długość 120 cm. Odległość punk tu C leżącego poza płaszczyzną z od punktu A jest taka sama jak od punktu Iwynosi 61 cm. Rzut prostokątny punktu C na płaszczyznę z należy do odcinka A Oblicz odległość punktu C od płaszczyzny.

D 5.24. W trójkącie prostokątnym ABC punkt O jest środkiem przeciwprostokąt- nej AB. Punkt S nie należy do płaszczyzny (ABC). Wiadomo, że [AS] = |SB = |SC Wykaż, że odcinek SO jest prostopadły do płaszczyzny (ABC)

5.23. Dany jest sześcian ABCDA,B,C,D, Niech płaszczyzna (ABCD) będzie rzut- nią, a prosta AD, -kierunkiem rzutu równoległego na płaszczyznę (ABCD). Naszki cuj obraz w tym rzucie: a) kwadratu A,B,C,D, b) trójkąta DBC, c) trójkąta DCP, gdzie punkt P jest środkiem odcinka D,C,

5.22. Naszkicuj rzut równoległy sześciokąta foremnego w przypadku, gdy dwa boki sześciokąta są równolegle do rzutni, ale sześciokąt zawiera się w płaszczyźnie nierównoległej do rzutni i nierównoległej do kierunku rzutowania. Następnie po- prowadź przekątne w danym sześciokącie i przekątne w rzucie tego sześciokąta Co zauważyłeś?

5.21. Wysokość CD trójkąta ABC dzieli podstawę AB na dwa odcinki, których dłu- gości pozostają w stosunku 1:3 Odcinek CE jest środkową tego trójkąta. Narysuj rzut równoległy tego trójkąta w przypadku, gdy bok AB jest równoległy do rzutni, a płaszczyzna (ABC) nie jest równoległa do rzutni i nie jest równoległa do prostej, wyznaczającej kierunek rzutowania. Zaznacz rzut wysokości CD oraz rzut środko- wej CE. W jakim stosunku punkty D, i E, dzielą bok A,B, trójkąta A,B,C,?

5.20. Na rysunku obok dany jest od- cinek AB oraz A,B,, będący rzutem równoległym odcinka AB na płaszczy- znę w kierunku prostej AA, Punk- ty C, D należą do odcinka AB oraz CD=2AC 1 AD = DB. Wyznacz

5.19. W rzucie równoległym na płaszczyznę z obrazem danego koła jest kolo do niego przystające. Jak są położone względem siebie rzutnia i płaszczyzna zawie rająca dane kolo?

5.18. W pewnym rzucie równoległym na płaszczyznę obrazem pięciokąta jest od cinek. Jak jest położona prosta, wyznaczająca kierunek tego rzutowania, względem płaszczyzny, w której zawarty jest pięciokąt?

5.17. W pewnym rzucie równoległym na płaszczyznę obrazem odcinka jest punkt. Jak jest położony ten odcinek względem prostej, wyznaczającej kierunek rzutowania?

5.16. Dany jest sześcian ABCDA,B,C,D,. Czy płasz czyzny (ACCA) (88,D,D) se prostopadle? Odpo wiedź uzasadnij Rzut równoległy na płaszczyznę. Rysowanie figur płaskich w rzucie równoległym na płaszczyznę

5.15. Dany jest prostopadłościan ABCDA,B,C,D, o podstawie kwadratowej ABCD Punkty E, F, F, dzie- lą odpowiednio krawędzie AB, AD i A,D, tak, że Czy prosta DE jest prostopadła BE AF AF 1 AE DF DF 4 do płaszczyzny (FCC,F,)? Odpowiedź uzasadnij.

5.14. Punkty A, B, C, D nie leżą w jednej płaszczyźnie. Wiadomo, że AC = AB, CD = BD Punkt E jest środ- kiem boku BC oraz F & AE, GE AD, jak na rysunku obok. Czy proste GF i BC są prostopadłe? Odpowiedź uzasadnij

5.13. Na płaszczyźnie x leży czworokąt ABCD. Poza płaszczyzną z znajduje się punkt E i odcinek ED jest prostopadly do płaszczyzny (zobacz rysunek obok). Ponadto wiadomo, że F E EB, G = DB EF: FB = DG GB. Czy proste FG 1 AC są prostopadle? Odpowiedź uzasadnij.

D5.12. Romb ABCD zawiera się w płaszczyźnie a Punkt E znajduje się poza płaszczyzną oraz od cinek ED jest prostopadły do płaszczyzny z (zo bacz rysunek obok). Wykaż, że proste AC i BE są prostopadle.

5.11. Przekątne równolegloboku ABCD przecinają się w punkcie O. Punkt S nie należy do płaszczyzny (ABCD). Wiadomo, że AS] = |SC oraz SD = 5B) Czy odci nek 50 jest prostopadły do płaszczyzny (ABCD)? Odpowiedź uzasadnij

5.10. Dany jest sześcian, w którym punkt D jest środkiem odcinka AB. Na pod stawie danych na rysunku poniżej oceń, czy odcinek AB jest prostopadły do odcin ka CD Odpowiedź uzasadnij.

D 5.9. W trójkącie prostokątnym ABC bok AC jest przeciwprostokątną. Odcinek BS jest prostopadły do płaszczyzny (ABC). Punkt D należy do odcinka CS. Wykaż, że trójkąt ABD jest prostokątny.

5.8. Dany jest sześcian ABCDA,B,C,D,. Punkty P, Q, R, T leżą na krawędziach tego sześcianu, jak na ry sunku obok. Środkami odcinków 1P, TQ, RP i RQ są odpowiednio punkty S,, S, S,, 5. Wykaż, że: a) prosta 5,5, jest równoległa do płaszczyzny (ABB,A,). b) proste S,S, i 5,5, są do siebie równoległe, c) proste BC i RQ są skośne Prostopadłość prostych i płaszczyzn w przestrzeni