Kategoria: Matematyka 4 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

5.109. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wyno- si 136√3 cm², a pole podstawy jest równe 64√3 cm². Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

5.108. Oblicz pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego, którego kra wędź ma długość 10 cm.

5.107. Oblicz długość krawędzi podstawy prawidłowego ostrosłupa czworokątne go, wiedząc, że krawędź boczna ma długość 5, a pole powierzchni całkowitej jest równe 16.

5.106. W ostrosłupie prawidlowym czworokątnym wysokość jest równa 2√3 cm, a kat między wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej ma 30°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. 128 Matematyka Zbiór zadań Klasa 4 Zakres rozszerzony

5.105. Podstawą graniastosłupa prostego jest równoleglobok o bokach długoś cl 2 dm i 4 dm, którego kąt ostry jest równy 60°. Krótsza przekątna graniasto- slupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30°. Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

5.104. W graniastosłupie prostym podstawa jest rombem, którego przekątne mają długość 30 cm i 16 cm. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

5.103. Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe sumie pól obu podstaw. Wyznacz tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

5.102. Przekątna ściany bocznej i krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, wychodzące z tego samego wierzchołka, tworzą kąt 30°. Pole po- wierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 350√3 cm². Oblicz długość przekątnej ściany bocznej

5.101. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 50(3+2√3) cm² Przekątna jednej ze ścian bocznych jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°, a przekątna sąsiedniej ściany bocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu

5.100. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Oblicz pole powierzchni całko- witej tego prostopadłościanu, jeśli przekątna ściany bocznej ma długość 30 cm oraz kąt między tą przekątną przekątną sąsiedniej ściany bocznej, wychodzącymi z tego samego wierzchołka, ma 60°.

5.99. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym stosunek pola powierzchni całkowitej do pola powierzchni bocznej wynosi 8: 5. Wiedząc, że pole powierzchni całkowitej jest równe 192 cm², oblicz długości krawędzi tego graniastosłupa.

5.98. Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma dłu- gość 6√2 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeśli: a) wysokość graniastosłupa jest równa 5 cm, b) krawędź podstawy stanowi 75% krawędzi bocznej.

5.97. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu, jeśli: a) przekątna ściany bocznej ma długość 2 dm, b) przekątna sześcianu ma długość 8 cm. 5 Geometria przestrzenna Wielościany

5.96. Na podstawie informacji umieszczonych ponizej, na siatce ostrosłupa wy. znacz wysokość tego ostrosłupa, jeśli wiadomo, że jego podstawą jest. a) kwadrat b) trójkąt prostokątny 13 6 13

5.95. Narysuj siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny:

a) o przyprostokątnych pozostających w stosunku 2:3, a spodek wysokości jesi

wierzchołkiem tego trójkąta przy kącie prostym,

b) równoramienny, a spodek wysokości jest środkiem przeciwprostokątnej tego

trójkąta.

5.94. Przekątna prostopadłościanu ma długość 17 cm, a cosinus kąta nachylenia

15 17 tej przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy Stosunek długości krawędzi podstawy wynosi 3.4. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu

5.93. Narysuj siatkę ostrosłupa: a) prawidłowego czworokątnego,

b) prawidłowego trójkątnego,

c) prawidłowego sześciokątnego,

d) prostego, którego podstawą jest prostokąt

5.92. Narysuj siatkę graniastosłupa:

a) prawidłowego czworokątnego,

b) prawidłowego trójkątnego,

c) prawidłowego sześciokątnego, d) prostego, którego podstawą jest równoleglobok.

którego żadna ściana nie jest kwadratem.

5.91. Narysuj

a) cztery różne siatki sześcianu,

b) dwie różne siatki prostopadłościanu,

5.90. Podstawą ostrosłupa jest trapez prostokątny, którego podstawy mają dłu gość 6 cm i 3 cm, a ramiona 4 cm i 5 cm. Wszystkie ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem ostrym miary a Wyznacz sinus kąta a, jeśli wysokość ostrosłupa jest równa 6 cm.

5.89. Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny Krótsza podstawa i ramię tego trapezu są tej samej długości. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość 61 cm, a wysokość ostrosłupa to 60 cm. Wiedząc, że środek okręgu opisa nego na trapezie jest środkiem dłuższej podstawy trapezu, oblicz pole tego trapezu.

5.88. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma dłu gość √6. Kąt dwuścienny między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równy 120° Oblicz: a) odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od krawędzi bocznej, b) wysokość ostrosłupa,

5.87. Podstawą ostrosłupa jest romb, którego bok ma długość 20 cm, a kąt ostry jest równy 60°. Punkt przecięcia się przekątnych rombu jest spodkiem wysokości ostrosłupa. Wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest równa 5√6 cm, oblicz a) wysokość ściany bocznej poprowadzonej na krawędź podstawy, b) sinus kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy

5.86 Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość 6 18. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny 8 podstawy pod kątem ostrym a takim, że cosa =- Oblicz: 17 a) wysokość tego ostrosłupa, b) długości krawędzi bocznych tego ostrosłupa. 5 Geometria przestrzenna Wielościany

5.85. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat, a spodek wysokości znajduje się w jed nym z wierzchołków tego kwadratu. Wiedząc, że wysokość tego ostrosłupa jest równa krawędzi podstawy, wyznacz: a) tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy, b) cosinus kąta między najdłuższą krawędzią boczną ostrosłupa a krawędzią pod stawy o wspólnym wierzchołku, c) miarę kąta nachylenia ścian bocznych, które nie zawierają wysokości ostrosłupa, do płaszczyzny podstawy, d) miarę kąta dwuściennego między dwiema ścianami bocznymi o największej powierzchni.

5.84. Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przy prostokątne mają długość AC = 9, BC= 16. Spodkiem wysokości ostrosłupa jest wierzchołek C. Wiedząc, ze wysokość ostrosłupa jest równa 12, oblicz a) długość boków trójkąta ABS, b) odległość punktu C od krawędzi bocznej BS, c) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABS) do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa

5.83. Podstawą ostrosłupa prostego ABCS jest trójkąt prostokątny ABC o przy prostokątnych AC i BC, gdzie AC 6i BC 8. Wysokość tego ostrosłupa jest równa 12 Oblicz a) tangensy kątów nachylenia ścian ACS BCS do płaszczyzny podstawy, b) odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznych.

5.82. Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC Spodek wysokości jest środkiem przeciwprostokątnej AB. Wiedząc, że ostrosłup ma wysokość 7 cm, a krawędź AC ma dlugość 8 cm, oblicz: a) sumę długości krawędzi bocznych tego ostrosłupa, b) sinus kąta nachylenia krawędzi AS do płaszczyzny podstawy

5.81. Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt równoramienny, którego jeden z kątów jest równy 150°, a dwa jego boki mają długość 9/2-√3. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość 15. Wyznacz a) wysokość tego ostrosłupa, b) cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

5.80. Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt równoramienny, którego kąt mię dzy ramionami jest równy 120°. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 4√3. Wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest równa √33, oblicz: a) długość krawędzi bocznych, b) cosinusy kątów między krawędziami bocznymi tego ostrosłupa.

5.79. Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt, którego boki mają długość 21 cm, 2 17 cm i 10 cm. Wysokość ostrosłupa jest równa 5 cm. Oblicz: a) długość krawędzi bocznych tego ostrosłupa, b) cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny

5.78. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny, którego dwa boki mają długość 17 cm, a długość trzeciego boku jest równa 16 cm. Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45° Oblicz: a) wysokość ostrosłupa b) długość krawędzi bocznych ostrosłupa.

5.77. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego boki mają długość 6 cm i 8 cm. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają po 13 cm długości. Oblicz a) wysokość ostrosłupa, b) wysokości h, i h₂ dwóch różnych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka tego ostrosłupa.

5.76. Wysokość prawidłowego astrosłupa sześciokątnego wynosi 5√3 cm, a kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi jest równy 60°. Oblicz: a) sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa, b) sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

5.75. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 2 dm, a krawędź boczna – 2√2 dm. Oblicz: a) miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy, b) wysokość ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka ostrosłupa.

5.73. Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego do płaszczyzny podstawy, jeśli: a) wysokość ostrosłupa jest trzy razy krótsza od krawędzi podstawy, b) wysokość ostrosłupa jest równa krawędzi podstawy. Oblicz miarę kąta dwuściennego przy podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, jeśli: a) wysokość ostrosłupa jest trzy razy krótsza od wysokości podstawy. b) wysokość ostrosłupa jest dwa razy krótsza od krawędzi podstawy. 5 Geometria przestrzenna Wielościany

5.72. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściana boczna tworzy z płaszczyzną do płaszczyzny podstawy, b) cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami. podstawy kąt 45°. Oblicz: a) sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy, b) cosinus kąta między krawędzią boczną ostrosłupa a krawędzią podstawy.

5.71. Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 30 cm, a kąt dwuścienny przy jego podstawie jest równy 60°. Oblicz: a) wysokość ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka ostrosłupa, b) długość krawędzi podstawy.

5.70. Dany jest czworościan foremny. Oblicz a) tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa

5.69. Dany jest czworościan foremny o wysokości H krawędzi długości a Da) Wykaż, że 3H² = 20². b) Wiedząc dodatkowo, że wysokość jest o 1 krótsza od krawędzi, oblicza. Wynik przedstaw w postaci o+ b√c, gdzie a, b, c E N.

D 5.68. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest sześć 1 dłuższa od wysokości tego ostrosłupa Wykaż, że ściana boczna w tym ostrosłupie jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. razy

5.67. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 12 dm, a krawędź boczna 8 dm. Oblicz a) wysokość tego ostrosłupa, b) miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

5.66. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przeciwlegle krawędzie bocz ne są do siebie prostopadle Wyznacz tangens kąta a nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy i podaj przybliżoną miarę tego kąta (z dokładnością do 1″)

5.65. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między przeciwległymi kra wędziami bocznymi ma miarę 90″ Przekątna podstawy ostrosłupa ma długość 5 dm. Oblicz a) sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa, b) miarę kąta zawartego między dwiema sąsiednimi krawędziami bocznymi ostrosłupa.

5.64. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma dlu. gość 9 cm, a wysokość ściany bocznej jest równa 3√3 cm. Oblicz a) miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, b) odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od ściany bocznej

5.63. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 4√2 cm, a krawędzi bocznej – 5 cm. Oblicz a) wysokość tego ostrosłupa, b) wysokość ściany bocznej poprowadzoną na krawędź podstawy. c) odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej

5.62. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 20 cm, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 60°. Oblicz: a) długość krawędzi bocznej, b) wysokość ostrosłupa, c) wysokość ściany bocznej.

5.61. Oblicz, ile wierzchołków ma ostrosłup, którego liczba ścian jest o 6 mniejsza od liczby krawędzi.

5.60. Oblicz, ile ścian oraz ile krawędzi ma ostrosłup, którego liczba wierzchołków jest równa: b) n, gdzie n = N, in >3. a) 6

D 5.59. W graniastosłupie prostym trójkątnym każdy wierzchołek jednej podstawy połączono odcinkiem z punktem przecięcia przekątnych ściany bocznej przeciwle glej temu wierzchołkowi. Wykaż, że te trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie, który dzieli je w stosunku 1 2.