Kategoria: Matematyka 4 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

5.160. Wykonaj rysunek ostrosłupa prawidłowego trójkątnego. Następnie popro- wadź przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną wyznaczoną przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej tego ostrosłupa. Wyznacz konstrukcyjnie punkt, w którym wysokość ostrosłupa przebija otrzymany przekrój.

5.159. Wykonaj rysunek ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Następnie po- prowadź przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną, wyznaczoną przez krawędź podstawy

1środek wysokości tego ostrosłupa. Jakim czworokątem jest otrzymany przekrój?

5.158. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Naszkicuj przekrój trosłupa płaszczyzną: a) zawierającą dwie przeciwległe krawędzie boczne ostrosłupa, b) zawierającą dwie przeciwległe wysokości ścian bocznych, c) wyznaczoną przez przekątną podstawy ostrosłupa i środek krawędzi bocznej, niemającej punktów wspólnych z tą przekątną, d) wyznaczoną przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa W każdym przypadku zaznacz na rysunku kąt az, który tworzy przekrój daną płasz czyzną z płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

5.157. Na rysunku poniżej punkty P, Q, R należą do płaszczyzny. Wyznacz prze krój sześcianu płaszczyzną. a b) 口 s. Geometria przestrzenna Wielościany

5.156. Na rysunku ponizej punkty P. Q, A naleza do plaszczyzny Wyznacz prze: a) krój ostrosłupa płaszczyzną # (b) AA

5.155. Na rysunku poniżej odcinek AB i punkt C należą do płaszczyzny a. Wyznacz przekrój sześcianu płaszczyzną

5.154. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między dwiema sąsiednimi krawędziami bocznymi ma miarę 2a, gdzie a e (0°, 60°). Odległość wierzchołka podstawy, należącego do jednej krawędzi bocznej, od sąsiedniej krawędzi bocznej jest równa d. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

5.153. W ostrosłuple prawidłowym czworokątnym kąt między dwiema przeciw ległymi krawędziami bocznymi ma miarę 2a, gdzie a e (0°, 90°). Odległość wierz cholka ostrosłupa od przeciwległej krawędzi bocznej jest równa d. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

5.152. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym najdłuższa przekątna pod- stawy ma długość d i tworzy z przekątną ściany bocznej, wychodzącą z tego same- go wierzchołka, kąt a. Oblicz objętość graniastosłupa. Wyznacz te wartości a, dla których zadanie ma rozwiązanie.

5.151. Oblicz objętość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego, mając daną długość r promienia okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa i miarę a kąta płaskiego ściany bocznej przy podstawie. Dla jakich wartości a zadanie ma rozwiązanie?

5.150. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trój kątnego, którego krawędź podstawy ma długość a, natomiast kąt nachylenia krawę- dri bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę a, gdzie a (0°, 90°).

5.149. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma dłu gość a. Kąt między krawędzią boczną krawędzią podstawy wychodzącymi z tego samego wierzchołka ma miarę a, gdzie a € (45°, 90°). Oblicz objętość i pole po- wierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

5.148. Podstawą ostrosłupa jest romb ABCD. Wysokość rombu DF poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego, dzieli bok AB na odcinki długości: AE = 6, FB = 4. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem. Wiedząc, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe 170, oblicz: a) wysokość ostrosłupa b) objętość tego ostrosłupa

5.147. Podstawą ostrosłupa jest romb, którego bok ma długość 15 cm. Każda ¿ciana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kat 60°. Wiedząc, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe 360 cm, oblicz objętość tego ostrosłupa.

5.146. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt ABC, w którym

5.145. Punkty K, L, M są środkami krawędzi AB, BC IBB, sześcianu ABCDA,B,C,D, a) Jaką część objętości sześcianu stanowi objętość ostrosłupa KLMB? b) Wiedząc dodatkowo, że odległość wierzchołka B od płaszczyzny (KLM) jest rów na √3, oblicz długość krawędzi sześcianu.

5.144. Podstawą prostopadłościanu ABCDA,B,C,D, jest prostokąt, którego bok AB IBC są różnej długości. Objętość ostrosłupa ACDD, jest równa 12 cm. a) Oblicz objętość prostopadłościanu ABCDA,B,C,D,. b) Wiedząc dodatkowo, że AB BC: DD, = 3:4:6, oblicz cosinus kąta między krawędziami AD, i CD, ostrosłupa ACDD

5.143. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny ABC. Krawędź boczna CS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Kąt nachylenia ściany ABS do płaszczyzny podstawy ma 60°. Wiedząc, że objętość ostrosłupa jest równa √, oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

5.142. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego pole jest równe 1 m². Dwie ściany boczne tego ostrosłupa są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe tworzą z nią kąty odpowiednio równe 30° 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

5.141. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat, a spodek wysokości ostrosłupa jest jed nym z wierzchołków tego kwadratu. Suma pól powierzchni dwóch ścian bocznych o większym polu powierzchni jest dwa razy większa od sumy powierzchni pozosta łych ścian bocznych. Wiedząc, że objętość tego ostrosłupa jest równa 81√3 cm², oblicz a) długość krawędzi podstawy, b) długość najdłuższej krawędzi tego ostrosłupa.

5.139. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego dwa boki mają długość 6 cm, a długość trzeciego boku wynosi 8 cm. Wszystkie krawędzie boczne mają jednakową długość, równą 9 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa. 5.140. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego dwa boki mają długość 39 c a długość trzeciego boku wynosi 30 cm. Każda ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45° Oblicz objętość tego ostrosłupa.

5.138. Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest ośmiokąt. Oblicz objętość tego ostrosłupa, wiedząc, że jego krawędź boczna ma długość 10 cm, a kąt między kra- wędzią boczną i płaszczyzną podstawy jest równy 30°.

5.137. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4 dm, a kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy jest równy 45″. Oblicz objętość tego ostrosłupa

5.136. Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 4√2 3 nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy 45″. Wyznacz odległość spodka wysokości: dm Kat a) od krawędzi bocznej b) od ściany bocznej ostrosłupa.

5.135. W ostrosłupie prawidlowym trójkątnym wszystkie krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 16√2 Wiedząc, że objętość tego ostrosłupa jest równa cm, oblicz wysokość os 3 trosłupa i długość jego krawędzi.

5.134. Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 36√2 cm². Wszystkie krawędzie tego ostrosłupa mają jednakową długość. Oblicz a) długość tych krawędzi,

b) pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

5.133. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego langens jest równy 1. Wiedząc, że objętość ostrosłupa wynosi 6 dm³, oblicz: a) wysokość ostrosłupa, b) pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

5.132. Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego wynosi 16√3 cm².

Oblicz objętość tego czworościanu.

5.131. Podstawą ostrosłupa jest romb, a spodkiem wysokości tego ostrosłupa jest punkt przecięcia się przekątnych rombu. Dwie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość 15 cm, a pozostałe dwie -13 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa, wiedząc, że jego wysokość jest równa 12 cm.

5.130. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi jest równy 90°. Wiedząc, że krawędzie boczne mają d gość 12 cm, oblicz objętość tego ostrosłupa. 5. Geometria przestrzenna Wielościany 131

5.129. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 15 cm. Sciany boczne ostrosłupa sa nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60° Oblicz objętość tego ostrosłupa.

5.128. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego boki mają długość 10 cm i 18 cm. Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa mają jednakową długość, równą 510 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

5.127. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez, którego podstawy mają długość 3 cm 24 cm, a ramiona – 10 cm i 17 cm. Ściana boczna o najmniejszym polu powierzchni jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa.

5.126. Blaszana forma do pieczenia ciasta ma kształt graniastosłupa prostego. Uwzględ niając wymiary podane na rysunku obok, oblicz: a) ile cm² blachy potrzeba na wykonanie tej formy: wynik podaj z dokładnością do 1 cm², 30 cm 16 cm b) pojemność formy. Wynik podaj z dokład nością do 0,1 litra. 7 cm 12 cm

5.125. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego kąt ostry ma mia. rę 30°. Wszystkie krawędzie graniastosłupa mają jednakową długość. Wiedząc, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe 180 cm, oblicz objętość tego graniastosłupa.

5.124. W graniastosłupie prawidlowym sześciokątnym dłuższa przekątna ma dłu gość 5 dm, a krótsza przekątna jest nachylona do płaszczyzny podstawy p pod kątem 30°. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego graniastosłupa.

5.123. Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidlowego trójkątnego ma długość 6 cm i jest nachylona do sąsiedniej ściany bocznej pod kątemn 30″. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

5.122. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6 dm’, a przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 60°. Oblicz pole po wierzchni całkowitej tego graniastosłupa. 130 Matematyka Zbiór zadań. Klasa Zakres rozszerzony

5.121. Oblicz pole powierzchni całkowitej objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego przekątna ma długość 14 cm, jeśli: a) kąt nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy 60″, b) kąt między tą przekątną a przekątną ściany bocznej, wychodzącymi z tego same- go wierzchołka, jest równy 30°.

5.120. W prostopadłościanie ABCDA,B,C,D, podstawa ABCD jest kwadratem. Wysokość CE trójkąta BC,D, dzieli przekątną D,B na odcinki długości: D,F=2 dm, £8 = 8 dm. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

5.119. Jeżeli każdą krawędź danego sześcianu przedłużymy o 2 cm, to jego obję

tość powiększy się o 98 cm³. Oblicz długość krawędzi danego sześcianu.

5.118. Akwarium do hodowli rybek ma następujące wymiary: długość 0,8 m, szerokość 0,4 m i wysokość 0,5 m. Oblicz, ile co najwyżej litrów wody należy wlać do tego akwarium, aby poziom lustra wody znajdował się w odległości nie mniejszej niż 10 cm od górnej krawędzi akwarium.

5.117. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości a. Jedna ze ścian bocznych, będąca również trójkątem równobocznym, jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. objętość figury przestrzennej. Objętość wielościanów

5.116. Podstawą ostrosłupa jest romb, którego przekątne mają długość 6 dm 18 dm. Wysokość ostrosłupa jest równa 10 dm, a spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w ten romb. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa

D5.115. Wysokość ściany bocznej prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego jest Tówna h, a promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy r. Wykaz, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi 2-3 (r+h)-r.

5.114 powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Wykaż, że jeśli wysokość czworościanu foremnego jest równa H, to pole powierzchni całkowitej tego czworościanu wynosi

5.113. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość 30 cm 140 cm. Spodek wysokości ostrosłupa jest wierzchołkiem kąta prostego trójkąta w podstawie. Ściana boczna o największym polu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym a takim, że tga 1. Oblicz pole

5.112. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku długości 1 dm, a spodkiem wy. sokości ostrosłupa jest jeden z wierzchołków tego kwadratu. Dwie ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz: a) długość krawędzi bocznych ostrosłupa, b) pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

5.111. Podstawą ostrosłupa prostego jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 39: 25. Wysokości różnych ścian bocznych poprowadzone na krawę dzie podstawy ostrosłupa są równe: 60 cm i 52 cm. Oblicz długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa

5.110. Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt prostokątny równoramienny, którego ramię ma długość 6/2 cm. Wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest równa 8 cm, oblicz: a) długość krawędzi bocznych, b) pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.