Kategoria: Matematyka 4 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

5.7. Punkty A, B, C, D nie leżą w jednej płaszczyźnie. Wiadomo, że AB = BC Punkty P, Q, R są odpowiednio środkami odcinków AD, BD, CD. Wykaz ze a) trójkąt PQR jest równoramienny,

b) płaszczyzna (PQR) jest równoległa do płaszczyzny (ABC).

D 5.6. Dane są punkty A, B należące do płaszczyzny a oraz punkt C poza tą płasz czyzną Punkt P należy do odcinka AC, a punkt Q do odcinka BC. Wykaż, że a) jeśli AP PC oraz BQ QC, to prosta PQ jest równoległa do płaszczyzny z b) jeśli AP CQPC BQ, to prosta PQ jest równolegla do płaszczyzny z.

5.5. Na rysunku ponizej prosta / jest krawędzią przecięcia płaszczyzn #, oraz z Wskaz punkt, w którym prosta k zawarta w płaszczyźnie a, i nierównoległa do kra- wędzi / płaszczyznę. Odpowiedź uzasadnij. a) b) 112 Matematyka. Zbiór zadań Klasa 4 Zakres rozszerzony

5.4. Niech z oznacza płaszczyznę, natomiast k, / niech będą prostymi w przestrzeni. Czy prawdziwe jest następujące twierdzenie. a) jeśli /czik x, tok I Odpowiedź uzasadnij.

b) jeśli /czik, tok ?

5.3. Proste mi / wyznaczają płaszczyznę Prosta k jest równoległa do prostej /

Ima jeden punkt wspólny z prostą m. Wykaż, że prosta k zawiera się w płaszczyźnie.

5.2. Dane są proste k, l, m. Ustal, jak mogą być położone względem siebie pro- ste k im, jeśli: a) proste ki / są skośne oraz / m, b) proste k, l, m nie leżą w jednej płaszczyźnie, ale prosta / ma jeden punkt wspólny

2 prostą ki jeden punkt wspólny z prostą m.

5.1. Naszkicuj sześcian i wybierz dwie krawędzie k im prostopadłe do siebie. Na- stępnie wskaż krawędź 1, która jest prostopadła do krawędzi m oraz: b) jest równoległa do krawędzi k, a) przecina się z krawędzią k, c) jest skośna do krawędzi k

40. Wybieramy losowo liczbę naturalną ośmiocyfrową. Oblicz prawdopodobień stwo zdarzenia, że suma cyfr tej liczby jest równa 5, jeśli wiadomo, że w zapisie tej liczby nie występują cyfry większe od 3, 111

39. Rzucamy czterokrotnie ośmiościenną kostką do gry z liczbami odpowiednio 1, 2,3,4,5,6,7,8 na poszczególnych ścianach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia a) dwa razy wypadła liczba pierwsza,

b) co najmniej trzy razy wypadła liczba większa od 5.

38. W pojemniku znajdują się 2 kule białe, 3 zielone i 4 czerwone. Rzucamy jeden raz czworościenną kostką, której dwie ścianki są w kolorze białym, jedna ścianka w kolorze czerwonym i jedna w kolorze zielonym. Następnie do pojemnika dokla damy jedną kulę w takim kolorze, w jakim otrzymaliśmy ściankę kostki. Losujemy dwie kule z tego pojemnika. a) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że obie wylosowane kule są czerwone b) Wiadomo, że wylosowano dwie kule w kolorze czerwonym. Oblicz prawdopodo bieństwo zdarzenia, że na kostce wypadła ścianka w kolorze zielonym.

37. Sklep sprzedaje żarówki dwóch producentów Ai B. Zarówki wadliwe stanowią 1% produkcji firmy A i 4% produkcji firmy B. Przy losowym zakupie jednej żarówk prawdopodobieństwo zakupu żarówki wadliwej jest równe 0,02. Wyznacz stosunek liczby zarówek z firmy A do liczby żarówek z firmy B w tym sklepie

36. Z pudełka zawierającego trzy razy więcej kul białych niż czarnych losujemy jedną kulę, oglądamy ją, a następnie wkładamy z powrotem do pudelka. Takie losowanie wykonujemy n razy. Wyznacz najmniejszą liczbę n, dla której prawdo podobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest większe od 0,999.

35. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Określamy zdarzenia: A w obu rzutach wypadła parzysta liczba oczek, B- w drugim rzucie wypadły dwa lub trzy oczka, Czy zdarzenia A i B są niezależne?

34. W pudełku znajdują się 3 kule czarne i n kul bialych, n 2. Losujemy najpierw jedną kulę nie zwracając jej, losujemy kolejną kulę. Ile co najmniej kul białych było w pudełku, jeśli prawdopodobieństwo otrzymania dwóch kul tego samego koloru jest większe od 0,5?

33. Ze zbioru (1, 2, 3, 2n), gdzie n = N,, losujemy dwa razy jedną liczbę bez zwracania. Oblicz n, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia A – obie wylosowane są parzyste, jest równe 5 21 110 Matematyka Zbiór zadań klasa 4 Zakres rozszerzony

32. Przy okrągłym stole posadzono losowo 4 osoby, wśród nich są osoby A i B. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a) osoby A i B siedzą obok siebie, b) osoby A i B siedzą naprzeciwko siebie.

31. Na jednej ściance symetrycznej sześciennej kostki znajduje się cyfra 1, na dwóch ściankach znajduje się cyfra 2, a na trzech pozostałych ściankach cyfra 3. Rzucamy trzykrotnie tą kostką i z otrzymanych kolejno cyfr tworzymy liczbę trzycyfrową Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ta liczba: a) ma wszystkie cyfry jednakowe b) jest większa od 222.

30. W pudełku są 3 losy dające wygraną po 40 zł, 4 losy dające wygraną po 20 zł 193 losy puste. Gracz wpłaca 10 zi i wyciąga 2 losy z pudełka Wyznacz rozkład zmiennej losowej, oznaczającej zysk w tej grze i oblicz jej wartość oczekiwaną

29. Na loterii znajdują się 4 losy z wygraną 50 zł 8 losów pustych. Wyciągamy z pudełka dwa losy Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wygramy co naj mniej 50 zł

28. Rzucamy siedem razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia a) co najmniej raz wypadła reszka, b) reszka wypadła co najwyżej jeden raz

27. Mamy symetryczną sześcienną kostkę, której jedna ścianka jest biala, dwie ścianki są czerwone i trzy ścianki są zielone Rzucamy trzy razy tą kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że: a) co najwyżej 2 razy wypadła ścianka biała, b) ścianka zielona wypadła tylko jeden raz.

26. Mamy 5 ksiązek, wśród których są książki A B. Ustawiamy je losowo na pustej półce w jednym szeregu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) książki A i B będą stały obok siebie na końcu tego rzędu (po lewej lub prawej stronie, w dowolnej kolejności), b) pomiędzy książkami A B będzie stala jedna książka

25. W klasach trzecich szkoły podstawowej zorganizowano koło taneczne, na które uczęszczają dzieci według tabeli zamieszczonej poniżej. Klasa III a 5 10 III b III c Dziewczęta Chłopcy 6 3 9 7 Wybieramy losowo kolejno dwie osoby z tej grupy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, ze wylosujemy: dwóch chłopców, b) co najmniej jedną dziewczynkę z klasy III c c) chłopca dziewczynkę z tej samej klasy, d) dwie dziewczynki z różnych klas. 4 Rachunek prawdopodobieństwa 109

24. W worku znajduje się 10 piłeczek pingpongowych. 6 pomarańczowych i 4 biale Antek wyjmuje losowo jedną piłeczkę nie zwracając jej – losuje drugą piłeczkę Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) dwie wylosowane piłeczki są w jednym kolorze, b) druga wylosowana piłeczka jest biała.

23. Z talil 52 kart losujemy kolejno dwa razy po jednej karcie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania: a) jednej damny jednego króla b) dwóch kart, które nie są kierami c) co najmniej jednego pika d) co najwyżej jednej damy.

22. Tworzymy liczbę dwucyfrową w następujący sposób: ze zbioru cyfr (1,2,3,4, 5, 6, 7) losujemy ryfre dziesiątek, zaś ze zbioru (0, 1, 2, 3 losujemy cyfrę jedności. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że utworzona liczba jest: a) mniejsza od 53 b) podzielna przez 4 lub przez 3.

21. Ze zbioru liczb (1, 2, 3, 4, 7 losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby i od pierwszej wylosowanej liczby odejmujemy drugą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania różnicy większej od 2.

20. Ze zbioru (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) losujemy kolejno dwie cyfry ze zwracaniem i tworzymy liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że powstała liczba dwucyfrowa jest a) podzielna przez 6 b) niepodzielna przez 5

19. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopo dobieństwo zdarzenia, że suma liczb wyrzuconych oczek jest: a) nie większa niż 8 b) podzielna przez 2 lub przez 5.

18. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopo dobieństwo zdarzenia, że w pierwszym rzucie wypadła liczba oczek: a) niepodzielna przez 4, b) co najmniej o 2 mniejsza niż w drugim rzucie.

17. Ze zbioru liczb naturalnych trzycyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz praw- dopodobieństwo zdarzenia, że: a) wylosowana liczba jest podzielna przez 11, b) wylosowano liczbę o niepowtarzających się cyfrach i jednocześnie podzielną przez 4,

16. W pudełku znajduje się 5 kul białych i pewna liczba kul czerwonych. lle co najwyżej kul czerwonych jest w pudełku, jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania jednej kuli czerwonej jest mniejsze od ? 7

15. Rzucamy jeden raz symetryczną dwunastościenną kostką z zapisanymi poje. dynczo liczbami 1, 2, 3,…, 11, 12 na poszczególnych ściankach Oblicz prawdopo dobieństwo zdarzenia, że wypadła liczba: a) będąca wielokrotnością liczby 3 lub liczby 4,

b) większa od 3 i niepodzielna przez 6.

14. W grupie 25 osób wszyscy czytają klasykę. Dodatkowo każda z tych osób czyta poezję lub prozę, przy czym 14 osób czyta poezję, a 20 osób czyta prozę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrana osoba z tej klasy czyta zarów no poezję, jak i prozę.

13. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych dla następujących doświadczeń losowych: a) losowanie kolejno dwóch elementów pierwszego ze zbioru (a, b, c), drugiego ze zbioru (1, 2, 3, 4), b) losowanie kolejno czterech cyfr ze zwracaniem ze zbioru (1, 2, 3), c) losowanie kolejno bez zwracania trzech liter ze zbioru (A, B, C, D, E, F

12. Ile można utworzyć dziewięciocyfrowych numerów telefonów komórkowych, któ rych pierwsza cyfra jest większa od 4, wszystkie cyfry są różne, a ostatnią cyfra jest 4 Rachunek prawdopodobieństwa 107

11. ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których zapisie: a) występuje jedna cyfra 0, jedna cyfra 1 i dwie cyfry 2, b) nie występuje zadna z cyfr: 1, 2, 3, 4?

10. Ze zbioru liczb (0, 1, 2, 3, 4, 14, 15] losujemy jedną liczbę. Prawdopodo bieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 3 lub przez 5 jest równe A 8 B. 3 8 5 C. 16 D. Zadania powtórzeniowe do rozdziału 4.

9. W siedmiokącie wypukłym prowadzimy wszystkie proste, łączące dwa dowolne jego wierzchołki. Następnie wybieramy losowo jedną z tych prostych. Prawdopodo bieństwo, że wylosowana prosta zawiera przekątną tego siedmiokąta, jest równe 2 3 B 3 C. 5 6 D.

8. Wśród 30 pracowników pewnej firmy przepro wadzono ankietę, dotyczącą ich znajomości języ ków obcych Diagram obok przedstawia wyniki tej ankiety. Prawdopodobieństwo, ze losowo wybrana osoba z grupy badanych zna co najmniej dwa języki obce, jest równe: 11 15 14 25 B. 11 25 D. 2 3 jniemieck

7. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, Ile zdarzeń elementar nych sprzyja zdarzeniu A- w pierwszym rzucie otrzymaliśmy liczbę oczek mniejszą niż w drugim rzucie? A. 12 B. 15 C 18 D 21 J. angielski rosyjsk

6. Ze zbioru (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) losujemy jedną liczbę. Niech A oznacza

zdarzenie wylosowana liczba jest pierwsza, Wówczas: 8.4 (0,2,4,6,8,9)

A. A’ = (2, 3, 5, 7)

DA’= (0, 4, 6, 8, 9)

C. A’= (0, 1, 4, 6, 8, 9)

5. Ze zbioru (4, 5, 6, 7, 8) losujemy kolejno 2 cyfry bez zwracania tworzymy licz- bę dwucyfrową, Niech A oznacza zdarzenie – utworzona liczba jest liczbą parzystą i jednocześnie liczbą większą od 60. Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest równa:

A.4

8.5

C. 6

D. 7

106

4. Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie – wypadła liczba oczek mniejsza niż 4, zaś 8 oznacza zdarzenie wypadła liczba oczek nie większa niż 4. Wówczas:

A.A 8

B. AUB Q

CAB=0

D. AB A

3. Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną monetą. Prze strzeń zdarzeń elementarnych składa się z:

A. 6 elementów

B. 7 elementów

C. 8 elementów

D. 9 elementów

2. lle jest różnych liczb trzycyfrowych, w zapisie których występuje jedna cyfra 0? A. 243 8. 162 C 81 D. 144

1. Ile jest różnych liczb czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach? A 10-9-8-7 B. 94

C. 9-9 87 D.9.9.88

4.228. Doświadczenie losowe polega na jednym rzucie trzema sześciennymi kost kami do gry. Zmienna losowa X przyjmuje wartość równą największej liczbie oczek otrzymanych na jednej z kostek. Znajdź rozkład i wartość oczekiwaną zmiennej losowej X.

4.227. Wykonujemy rzut trzema symetrycznymi monetami. Jeśli wypadły same reszki, to zmienna losowa X przyjmuje wartość 0. Jeśli wypadł przynajmniej jeden orzeł, to wykonujemy drugi rzut, ale tylko tymi monetami, na których wypad! orzeł w pierwszym rzucie. Wtedy za wartość zmiennej losowej przyjmujemy liczbę otrzy manych orłów w drugim rzucie. Wyznacz rozkład i wartość oczekiwaną zmiennej losowej X.

4.226. W każdym z dwunastu pojemników typu I znajduje się 8 kul białych i 2 kule czarne, a w kazdym z ośmiu pojemników typu II są 3 kule białe i 7 kul czarnych Doświadczenie polega na losowym wyborze pudełka i z tego pudel 4 Rachunek prawdopodobieństwa 105 jednej kuli, którą po obejrzeniu zwracamy do tego samego pudełka. Takie doświad czenie wykonujemy cztery razy. Wyznacz rozkład i wartość oczekiwaną liczby wy. losowanych kul białych.