Kategoria: Zbiór zadań do klasy 3 stara poziom podstawowy

5.70. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają gość 6 dm 18 dm. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płasz cyny podstawy pod kątem ostrym a takim, że coś a = strostupa. 8 17 Oblicz wysokość tego

5.69. Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości 20 cm I kącie ostrym miary Punkt przecięcia się przekątnych jest spodkiem wysokości ostrostupa, która jest na 5v6 cm. Oblicz:wysokość ściany bocznej, poprowadzonej na krawędź podstawy A sinus kata nachylenia ściany bocznej tego ostrostupa do płaszczyzny podstawy.

5.68. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat, a spodek wysokości znajduje się w jednym z wierzchołków tego kwadratu. Wiedząc, że wysokość tego ostrosłupa jest równa krawędzi podstawy, oblicz: a) miarę kąta nachylenia ścian bocznych, które nie zawierają wysokości ostrosłupa, do płaszczyzny podstawy b) cosinus kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej ostrosłupa do krawędzi

a) długość boków trójkąta ABS b) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABS) do płaszczyzny podstawy tego ostro słupa.

5.67. Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przypro stokątne mają długość: (AC] = 9 cm, |BC| = 16 cm. Spodkiem wysokości ostrostupa jest wierzchołek C. Wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest równa 12 cm, oblicz:

a) długość boków trójkąta ABS b) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABS) do płaszczyzny podstawy tego ostro słupa.

5.66. Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt, którego boki mają długość: 21 cm, 17 cm, 10 cm. Wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest równa a5²3 cm, oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

5.64. Podstawą ostrosłupa prostego ABCS jest trójkąt prostokątny ABC o przypro stokątnych długości: AC = 6 cm i |BC| = 8 cm. Wysokość tego ostrosłupa jest równa 12 cm. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej CS do płaszczyzny podstawy.

5.65. Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt równoramienny, którego dwa boki mają długość 17 cm, a trzeci bok 16 cm. Wszystkie krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym a takim, że sin a = .Oblicz wysokość tego ostrosłupa. 2

5.63. Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC. Spodek wysokości jest środkiem przeciwprostokątnej AB. Wiedząc, że ostrostup ma wysokość 7 cm, a krawędź AC ma 8 cm, oblicz długość krawędzi SC.

5.62. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 6 cm i 8 cm, a krawę dzie boczne mają po 13 cm długości. Oblicz: a) wysokość ostrostupa b) wysokości h, i h, dwóch różnych ścian bocznych ostrosłupa.

5.61. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym wysokość ściany bocznej jest równa 10√3 cm, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma 60°. Oblicz pole podstawy tego ostrosłupa.

5.60. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość

5.59. Wysokość prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego jest równa 5√3 cm, a kat między przeciwległymi krawędziami bocznymi ma 60°. Oblicz sumę długości wszyst kich krawędzi tego ostrosłupa.

5.58. Oblicz miarę kąta dwuściennego przy podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, jeśli: a) wysokość ostrosłupa jest trzy razy krótsza od wysokości podstawy b) wysokość ostrosłupa jest dwa razy krótsza od krawędzi podstawy.

5.57. Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trój kątnego do płaszczyzny podstawy, jeśli: a) wysokość ostrosłupa jest trzy razy krótsza od krawędzi podstawy b) wysokość ostrosłupa jest równa krawędzi podstawy

5.56. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma wysokość 1 dm. Ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45°. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

5.55. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości 30 cm kąt dwuścienny przy podstawie ma 60°. Oblicz

a) wysokość ściany bocznej

b) długość krawędzi podstawy.

5.54. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 12 dm, a krawędź boczna 8 dm. Oblicz:

al wysokość tego ostrostupa

b) miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrostupa do płaszczyzny podstawy.

5.53. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między przeciwległymi kra wędziami bocznymi ma miarę 90°. Przekątna podstawy ostrosłupa ma długość 5√2 dm. Oblicz:

a) sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa

b) miarę kąta zawartego między dwiema sąsiednimi krawędziami bocznymi ostrosłupa.

5.52. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość

9 cm, a wysokość ściany bocznej jest równa 3√3 cm. Oblicz:

a) miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

b) odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od ściany bocznej.

.

5.51. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest

równa 4√2 cm, a krawędzi bocznej-5 cm. Oblicz:

a) wysokość tego ostrosłupa

b) wysokość ściany bocznej, poprowadzoną na krawędź podstawy c) odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej.

5.50. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 20 cm, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 60°. Oblicz:

a) długość krawędzi bocznej

b) wysokość ostrostupa

c) wysokość ściany bocznej.

5.49. W pewnym ostrosłupie liczba ścian jest o 6 mniejsza od liczby krawędzi. Oblicz, ile wierzchołków ma ten ostrosłup.

jest równa: b) n, gdzie n e N₁ in> 3.

5.48. Oblicz, ile ścian oraz ile krawędzi ma ostrosłup, którego liczba wierzchołków

jest równa: b) n, gdzie n e N₁ in> 3.

5.47. W pewnym graniastosłupie liczba krawędzi jest dwa i pół raza większa od liczby ścian. Jakie wielokąty są podstawami tego graniastosłupa?

5.46. W pewnym graniastosłupie liczba ścian jest o 5 mniejsza od liczby wierzchoł ków. Oblicz liczbę wierzchołków, liczbę ścian i liczbę krawędzi tego graniastosłupa.

5.45. Liczba naturalna parzysta n oznacza liczbę wierzchołków pewnego graniasto b) Oblicz liczbę ścian i liczbę krawędzi graniastosłupa w przypadku, gdy n = 10. a) Wyznacz liczbę s ścian i liczbę k krawędzi tego graniastosłupa w zależności od n.

5.44. Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma wysokość 8 cm, a krawędź pod stawy ma 3 cm. Oblicz długości przekątnych graniastosłupa.

5.43. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Graniastostup ma wysokość 12 cm. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a = 45°, a krótsza pod kątem ß = 60°. Oblicz długość krawędzi podstawy

5.42. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego bok ma długość 5√3 cm. Wiedząc, że graniastosłup ma wysokość 8 cm, a dłuższa przekątna graniastosłupa

ma 17 cm, oblicz: a) miarę kąta ostrego rombu

b) długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa.

c) miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

5.41. Krawędź boczna graniastostupa prawidłowego trójkątnego ma długość √8, a krawędź podstawy ma długość 2. Oblicz: a) cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy b) sinus kąta między przekątną jednej ściany bocznej a krawędzią podstawy zawartą w sąsiedniej ścianie bocznej, wychodzącymi z tego samego wierzchołka

c) miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

5.40. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz: a) tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy b) sinus kąta między przekątną ściany bocznej a przekątną podstawy, wychodzący mi z tego samego wierzchołka cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

5.39. W prostopadłościanie o podstawie kwadratowej stosunek pola podstawy do pola ściany bocznej wynosi 1:2. Przekątna prostopadłościanu ma długość 3√6 cm. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu.

5.38. Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu wynosi 3:4:12, a długość przekątnej prostopadłościanu jest równa 26 cm. Oblicz długości przekątnych trzech nieprzystających ścian.

5.37. Wykaż, że długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c jest równa √² + b² +². Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu i miarę kąta nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny podstawy w przypadku, gdy krawę dzie podstawy mają długość: a =3 cm, b=4 cm, zaś krawędź boczna ma długość c=5 cm.

5.36. Wykaż, że długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości a jest równa a√3. a) Wyznacz cosinus kąta nachylenia przekątnej sześcianu do płaszczyzny podstawy. b) Oblicz a w przypadku, gdy przekątna sześcianu ma długość 3 cm.

a) miarę kąta nachylenia prostej AD do płaszczyzny.

b) cosinus kąta nachylenia prostej BD do płaszczyzny

c) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny..

5.35. Trójkąt prostokątny ABC zawiera się w płaszczyźnie z, przy czym |AB| = 10, |BC| = 6 oraz ACB) = 90°. Odcinek CD jest prostopadły do płaszczyzny zi ma dłu gość 8. Oblicz::

a) miarę kąta nachylenia prostej AD do płaszczyzny.

b) cosinus kąta nachylenia prostej BD do płaszczyzny

c) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny..

b) sinus kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny.

5.34. Trójkąt prostokątny ABC zawiera się w płaszczyźnie, przy czym <ABC| = 90° oraz (AC) = 20, AB= 12. Odcinek DC jest prostopadły do płaszczyzny zi ma dłu gość 12. Oblicz: a) sinus kąta nachylenia prostej AD do płaszczyzny л

b) sinus kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny.

a) tangens kata nachylenia prostej BD do płaszczyzny

b) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny.

5.33. Trzy punkty A, B, Cleżące na płaszczyźnie z wyznaczają trójkąt równoramien ny, w którym [AC] = (BC) = 5 oraz (AB) = 6. Odcinek DC jest prostopadły do płaszczy zny, a jego długość jest równa 8. Oblicz:

a) tangens kata nachylenia prostej BD do płaszczyzny

b) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny.

5.32. Na płaszczyźnie dany jest odcinek AB. Odcinek BC jest prostopadły do płasz czyzny . Punkt D jest środkiem odcinka BC. Oblicz sinus kąta nachylenia prostej AC do płaszczyzny , wiedząc, że tangens nachylenia prostej AD do płaszczyzny z wynosi 2

5.31. Dany jest sześcian ABCDA,B,C,D, o boku długości a. Oblicz tangens kąta na chylenia przekątnej AC, do płaszczyzny BCC B₁.

5.30. Prosta k przebija płaszczyznę w punkcie A. Punkt B należy do prostej, która jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę л оraz (AB) = 8 cm. Oblicz odległość punktu B od prostej k, jeśli kąt nachylenia prostej k do płaszczyzny z ma

5.29. W trójkącie ABC boki mają długość: (AB)=60 cm, AC=BC) 50 cm. Odcinek AD jest prostopadły do płaszczyzny (ABC). Odległość punktu D od prostej BC jest równa 52 cm. Oblicz odległość punktu D od płaszczyzny (ABC).

5.28. W trójkącie prostokątnym ABC wysokość CD poprowadzona na przeciwpro stokątną AB dzieli ją na odcinki długości: AD=9 cm i |DB| = 4 cm. Odcinek EC jest prostopadły do płaszczyzny (ABC). Wiedząc, że pole trójkąta ABC jest o 26 cm² mniejsze od pola trójkąta ABE, oblicz odległość punktu E od płaszczyzny (ABC).

5.27. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: (AC) = 15 cm, -20 cm. Odcinek DC jest prostopadły do płaszczyzny (ABC) i ma długość 22,5 cm. Oblicz wysokość trójkąta ABD poprowadzoną na bok AB.

5.26. W równoległoboku ABCD przekątna DB jest jednocześnie wysokością popro wadzoną na boki AD i BC. Proste DB i AC przecinają się w punkcie O. Odcinek EO jest prostopadły do płaszczyzny (ABCD). Wykaż, że trójkąty BCE I ADE są prostokątne.

5.25. Dany jest kwadrat ABCD. Odcinek DE jest prostopadły do płaszczyzny (ABCD). kaz, że trojkąty ABE oraz BCE są prostokątne.

5.24 W trójkącie różnobocznym ABC punkt E jest środkiem odcinka BC. Odcinek jest prostopadły do płaszczyzny (ABC). Czy prosta DE jest prostopadła do prostej Odpowiedź uzasadnij

5.23 Punkty A, B C, D nie leżą w jednej płaszczyźnie. Odcinek CD jest prostopadły  AC i do odcinka BC. Punkt E jest środkiem odcinka AB. Wykaż, że jeśli LAB, to trójkąt ABC jest równoramienny.

5.22. Rzutem prostokątnym punktu A na płaszczyznę л jest punkt A’. Do prostej k zawartej w płaszczyźnie i przechodzącej przez punkt A’ należą punkty B, C, przy czym punkt 8 leży między punktami A’ i C. Wiedząc, że AB) = 10 cm, |BC| = 9 cm oraz AC=17 cm, oblicz odległość punktu A od płaszczyzny z.

5.21. Dane są punkty A, B należące do płaszczyzny oraz punkt C, który leży w od ległości 9 cm od płaszczyzny z oraz w odległości 106 cm od punktu A i 15 cm od punktu B. Wiedząc, że punkt C’ jest rzutem prostokątnym punktu C na płaszczyznę T oraz <AC’B) = 90°, oblicz długość odcinka AB.