Kategoria: Zbiór zadań do klasy 3 stara poziom podstawowy

trójkątnego, jeśli:

a) wysokość ostrosłupa jest trzy razy krótsza od wysokości podstawy b) wysokość ostrosłupa jest dwa razy krótsza od krawędzi podstawy.

*5.199. Dwie małe kulki o promieniach 2 cm i 3 cm zawarte są w jednej dużej kuli. Odległość między środkami małych kulek jest równa 6 cm. Oblicz promień dużej kuli o możliwie najmniejszej objętości.

*5.198. Rozpatrujemy wszystkie stożki, których tworząca ma długość 6. Wyznacz objętość tego stożka, którego przekrój osiowy ma największe pole.

5.197. Krawędzie prostopadłościanu mają długość 4 cm, 6 cm, 12 cm. Oblicz obję tość kuli opisanej na tym prostopadłościanie.

5.196. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe 150 cm², a pole przekroju równoległego do niej wynosi 54 cm². Odległość między przekrojem a podstawą ostrosłupa jest równa 14 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

5.195. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego podzielono płaszczy zną równoległą do podstawy na dwa odcinki w stosunku 1: 2, licząc od podstawy ostrosłupa. Wyznacz stosunek objętości brył otrzymanych w wyniku tego podziału.

5.194. Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i przechodzącą przez środek wysokości stożka. Oblicz stosunek objętości powstałych bryl.

5.193. Kulę o promieniu r przecięto płaszczyzną odległą od środka kuli o – r. Prze 2 krój ma pole 27 cm². Oblicz objętość i pole powierzchni kuli.

5.192. Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła, którego promień ma 12 cm, a kąt odpowiada kątowi środkowemu 270°. Oblicz pole powierzchni całko witej tego stożka.

5.191. Wysokość walca to 16 cm, a promień podstawy – 25 cm. Oblicz pole prze kroju równoległego do osi walca, poprowadzonego w odległości 24 cm od tej osi.

5.190. W ostrosłupie podstawa jest rombem o przekątnych długości 8 cm i 6 cm. Punkt przecięcia się przekątnych jest spodkiem. Wysokość ostrosłupa jest równa a długość boków ściany bocznej ostrosłupa 9 cm. Oblicz: pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. bocznymi tego ostro

o

5.189. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat, a spodkiem wysokości ostrosłupa jest je den z wierzchołków tego kwadratu. Wysokość tego ostrosłupa i bok kwadratu pozo stają w stosunku 3:4. Wiedząc, że pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa wynosi 800 cm², oblicz długość najdłuższej krawędzi tego ostrosłupa.

5.188. Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego trójkątnego płaszczyzną przecho dzącą przez wysokość podstawy i krawędź boczną, wychodzącymi z tego samego wierzchołka, wynosi 45 dm², a wysokość ostrosłupa jest równa 5 dm. Oblicz: a sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy b) tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy objętość tego ostrosłupa.

5.187. Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt prostokątny równoramienny, któ rego dwa boki mają długość 10. Sinus kąta nachylenia dwóch przystających ścian 12 bocznych tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy Oblicz pole po 13 wierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

5.186. Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przy prostokątne mają długość: (AC) = (BC) = 5 cm. Spodkiem wysokości ostrostupa jest wierzchołek C. Wiedząc, że wysokość tego ostrosłupa jest równa 12 cm, oblicz: a długość boków trójkąta ABS 6) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABS) do płaszczyzny podstawy.

5.185. Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 192 cm³, spole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą dwie przeciwległe krawę dzie boczne wynosi 48 cm². Oblicz długość krawędzi tego ostrostupa.

5.184. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają taką Wykaz, że kąt między dwiema przeciwległymi krawędziami samą długość a słupa jest prosty. bOblicz objętość tego ostrosłupa w zależności od długości a. W jakiej odległości od wierzchołka ostrosłupa należy poprowadzić płaszczyznę równoległą do podstawy, aby pole otrzymanego przekroju było dwa razy mniej sze od pola podstawy?

5.183. Oblicz cosinus kąta ostrego dwuściennego wyznaczonego przez dwie są siednie ściany czworościanu foremnego.

5.182. Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną zawierającą kra wędź boczną graniastosłupa i wysokość podstawy, mającą z tą krawędzią punkt wspólny. Wykaż, że jeśli pole otrzymanego przekroju jest równe polu jednej z pod staw, to krawędź podstawy jest dwa razy dłuższa od krawędzi bocznej tego grania stosłupa.

5.181. Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA, B,C,D, jest trapez prostokątny, którego długości podstaw wynoszą: AB| = 6 cm, DC] = 3 cm, a wysokość trapezu: |AD| = 4 cm. Wiedząc, że wysokość tego graniastosłupa to 12 cm, oblicz: a) długości dwóch różnych przekątnych graniastosłupa b) cosinus kąta dwuściennego między płaszczyznami (ABC,D,) i (ABCD).

5.180. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Przekątna tego prostopadłościa nu ma długość √136, a cosinus kąta nachylenia tej przekątnej do ściany bocznej jest równy Oblicz objętość prostopadłościanu. √34

5.179. W sześcianie ABCDA,B,C,D, punkt P jest środkiem krawędzi B,C₁, a punkt Q-środkiem krawędzi BB₁. Wykaż, że czworokąt AQPD, jest trapezem równora miennym.

5.178. Boki trójkąta ABC mają długość: |AB| = 14 cm, |BC| = 13 cm | |AC| = 15 cm. W trójkąt ABC wpisano okrąg o środku w punkcie O. Odcinek OD jest prostopadły do płaszczyzny (ABC) i ma długość 3 cm. Oblicz odległość punktu D od prostej AB.

5.177. Proste ki / są równoległe, a odległość między tymi prostymi jest równa 10 cm. Prosta m jest równoległa do obu prostych, a jej odległość od prostych kil jest taka sama i wynosi 13 cm. Oblicz odległość prostej m od płaszczyzny wyznaczo nej przez proste kil.

5.176. Odcinek AB jest równoległy do płaszczyzny zz i ma długość 21 cm. Prosta k, przecinająca odcinek AB, jest prostopadła do płaszczyzny i przebija tę płaszczyznę w punkcie M. Wiedząc, że odległości punktu M od końców odcinka A, B wynoszą odpowiednio 10 cm i 17 cm, oblicz odległość odcinka AB od płaszczyzny z.

Miasto A leży na równoleżniku 20° szerokości geogra hanej północnej. Jeżeli przyjmiemy, że Ziemia jest kulą Opromieniu R=6300 km oraz ~ 3, to odległość d miasta A od równika (zobacz rysunek obok) jest w przybliżeniu równa: A 1050 km

19. Jedna kula ma objętość 27 razy większą od drugiej. Wtedy stosunek obwodu wielkiego koła dużej kuli do obwodu wielkiego koła małej kuli wynosi:

Wysokość stożka jest równa √44, a promień podstawy – 10. Zatem kąt środko wy wycinka koła tworzącego powierzchnię boczną stożka ma miarę:

Tangens kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy jest rów Niech P, oznacza pole powierzchni bocznej, zaś P- pole powierzchni całko witej tego stożka. Wówczas:

16 Stożek o objętości 800r ma wysokość równą 24. Tworząca stożka ma długość:

15. Kąt rozwarcia stożka jest równy 30°, a pole przekroju osiowego wynosi 4 dm². Tworząca stożka ma długość:

14. Wysokości dwóch walców są równe. Wiadomo, że drugi walec ma 4 razy więk sa objętość od pierwszego walca. Wówczas promień podstawy drugiego walca jest większy od promienia podstawy pierwszego walca:

13. Pole podstawy walca jest równe 9x dm², a pole przekroju osiowego wynosi 24 dm². Zatem objętość walca wynosi:

12. Pole powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy 5 cm i wysokości 8 cm, jest równe:

W ostrosłupie prostym podstawą jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |<ACB| = 90° oraz |AC] = 6 i |BC| = 8. Wówczas spodek wysokości tego ostrostupa

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku 12 cm, a spodek wysoko ści tego ostrosłupa znajduje się w jednym z wierzchołków tej podstawy. Największa ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Zatem wysokość ostrosłupa ma długość:

Trzy krawędzie ostrosłupa trójkątnego mają wspólny koniec i są do siebie parami prostopadłe i mają odpowiednio długość 3 cm, 4 cm, 5 cm. Objętość tego ostrostu pa jest równa:

dłW ostrostupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość, równą a. Wówczas wysokość ostrosłupa jest równa:

7. W ostrostupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Niech a oznacza kąt nachylenia ściany bocz nej ostrostupa do płaszczyzny podstawy. Wówczas:

6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między przeciwległymi krawę dziami bocznymi jest prosty. Wówczas: A. wszystkie krawędzie ostrosłupa mają jednakową długość B. krawędź boczną ostrosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy

5. Dwie różne przekątne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mają dłu gość: 13 cm i 12 cm. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa:

4. Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego i wysokość podstawy mają taką samą długość, równą √3. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe:

3. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Kąt między przekątną prostopadło ścianu a ścianą boczną jest zaznaczony na rysunku:

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ma długość 10 cm, a krawędź podstawy-3√2 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest równa:

1. Przekątna sześcianu ma długość √6 cm. Objętość tego sześcianu jest równa:

5.175. W kulę wpisano stożek, którego kąt rozwarcia jest prosty. Wyznacz stosunek objętości stożka do objętości kuli.