Kategoria: Zbiór zadań do klasy 3 stara poziom podstawowy

5.20. Punkt A leży w odległości 3 cm od płaszczyzny π, a punkt B- w odległości 4 cm od punktu A. Wiedząc, że rzut prostokątny punktu A na płaszczyznę jest jed nocześnie rzutem prostokątnym punktu 8 na płaszczyznęz, oblicz odległość punktu B od płaszczyzny. Rozważ dwa przypadki.

AB. Punkt 5 nie należy do płaszczyzny (ABC). Wiadomo, że AS = |SB| = |SC|. Wykaż,

że odcinek SO jest prostopadły do płaszczyzny (ABC).

5.19. W trójkącie prostokątnym ABC punkt O jest środkiem przeciwprostokątnej

AB. Punkt 5 nie należy do płaszczyzny (ABC). Wiadomo, że AS = |SB| = |SC|. Wykaż,

że odcinek SO jest prostopadły do płaszczyzny (ABC).

5.18. W równoległoboku ABCD przekątne przecinają się w punkcie O. Punkt S nie należy do płaszczyzny (ABCD). Wiadomo, że AS] = |SC| oraz SD= SB). Czy odcinek SO jest prostopadły do płaszczyzny ABCD? Odpowiedź uzasadnij.

5.17. Dany jest sześcian, w którym punkt D jest środkiem odcinka AB. Na podsta wie danych na rysunku sprawdź, czy odcinek AB jest prostopadły do odcinka CD. Odpowiedź uzasadnij.

5.16. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym AC jest przeciwprostokątną. Odcinek BS jest prostopadły do płaszczyzny, w której zawarty jest trójkąt ABC. Niech punkt D należy do odcinka CS. Wykaż, że trójkąt ABD jest prostokątny.

jest równoległa do płaszczyzny kartki b)tylko jeden patyczek jest równoległy do płaszczyzny kartki.

5.15. Niech cztery małe kulki plasteliny oznaczają cztery punkty. Połącz je patycz kami tak, aby powstała figura nie zawierała się w płaszczyźnie. Następnie naszkicuj ut równoległy tej figury na płaszczyznę kartki w przypadku, gdy: al jedna z płaszczyzn wyznaczonych przez trzy spośród czterech danych punktów

jest równoległa do płaszczyzny kartki b)tylko jeden patyczek jest równoległy do płaszczyzny kartki.

5.14. Przygotuj prostopadłościenne pudełko i postaw je na kartce. Poprowadź rzut ownoległy na płaszczyznę kartki każdego wierzchołka pudełka w kierunku prostej, dra przebija kartkę i nie jest równoległa do żadnej ze ścian pudełka. Następnie po lącz odpowiednio obrazy wierzchołków tak, by otrzymać rzut równoległy pudelka. al Czy rzuty krawędzi równoległych są do siebie równolegle?

5.13. Naszkicuj rzut równoległy sześciokąta foremnego w przypadku, gdy dwa boki seściokąta są równolegle do rzutni, ale sześciokąt zawiera się w płaszczyźnie nie dwnoleglej do rzutni i nierównoległej do kierunku rzutowania. Następnie popro wadź przekątne w danym sześciokącie i przekątne w rzucie. Co zauważyłeś?

5.12. W trojkącie ABC wysokość CD dzieli podstawę AB na dwa odcinki, których o pozostają w stosunku 1:3. Odcinek CE jest środkową tego trójkąta. Narysuj erownoległy tego trójkąta w przypadku, gdy bok AB jest równoległy do rzutni, szczyzna (ABC) nie jest równoległa do rzutni i nie jest równoległa do prostej czającej kierunek rzutowania. Zaznacz rzut wysokości CD oraz rzut środkowej W jakim stosunku punkty D, I E, dzielą bok A,B, trójkąta A,B,C,?

5.11. Na rysunku poniżej dany jest odcinek AB oraz A,B,, będący rzutem równo ległym odcinka AB na płaszczyznę z w kierunku prostej AA,. Punkty C, D należą do odcinka AB oraz |CD|=2|AC| i |AD = DB. Wyznacz rzuty równoległe punktów C, D na płaszczyznę. W jakim stosunku punkty C₁, D, dzielą odcinek A,B,?

5.10. W rzucie równoległym na płaszczyznę z obrazem danego koła jest koło do niego przystające. Jak są położone względem siebie rzutnia i płaszczyzna zawierają ca dane koło?

5.9. W pewnym rzucie równoległym na płaszczyznę obrazem pięciokąta jest odci nek. Jak jest położona prosta wyznaczająca kierunek tego rzutowania, względem płaszczyzny, w której zawarty jest pięciokąt?

5.8. W pewnym rzucie równoległym na płaszczyznę obrazem odcinka jest punkt. Jak jest położony ten odcinek względem prostej wyznaczającej kierunek rzutowa nia?

a) trójkąt PQR jest równoramienny b) płaszczyzna (PQR) jest równoległa do płaszczyzny (ABC).

Rzut równoległy na płaszczyznę. Rysowanie figur płaskich w rzucie równoległym na płaszczyznę

5.7. Punkty A, B, C, D nie leżą w jednej płaszczyźnie. Wiadomo, że |AB| = |BC). Punkty P. Q, R są odpowiednio środkami odcinków AD, BD, CD. Wykaż że

a) trójkąt PQR jest równoramienny b) płaszczyzna (PQR) jest równoległa do płaszczyzny (ABC).

Rzut równoległy na płaszczyznę. Rysowanie figur płaskich w rzucie równoległym na płaszczyznę

5.6. Dane są punkty A, B należące do płaszczyzny z oraz punkt C poza tą płasz czyzną. Punkt P należy do odcinka AC, a punkt Q -do odcinka BC. Wykaż, że a) jeśli |AP| = |PC oraz |BQ|= QC, to prosta PQ jest równoległa do płaszczyzny b) jeśli (AP- |CQ|= (PC BQ), to prosta PQ jest równoległa do płaszczyzny…

5.5. Na rysunku poniżej prosta / jest krawędzią przecięcia płaszczyzna, oraz Wskaź punkt, w którym prosta k zawarta w płaszczyźnie z, i nierównoległa do kra wędzi/przebija płaszczyznę л. Odpowiedź uzasadnij. a) b)

5.4. Niech oznacza płaszczyznę, natomiast k, / niech będą prostymi w przestrzeni. Czy prawdziwe jest następujące twierdzenie: a) jeślilci k | , to k|| / b) jeśli li k|| , to k? Odpowiedź uzasadnij.

5.3. Proste mi / wyznaczają płaszczyznę . Prosta k jest równoległa do prostej li majeden punkt wspólny z prostą m. Wykaż, że prosta k zawiera się w płaszczyźnie.

im, jeśli:

al proste kil są skośne oraz / || m b) proste k, l, m nie leżą w jednej płaszczyźnie, ale prosta / ma jeden punkt wspólny z prostą k i jeden punkt wspólny z prostą m.

5.2. Dane są proste k, l, m. Ustal, jak mogą być położone względem siebie proste k

im, jeśli:

al proste kil są skośne oraz / || m b) proste k, l, m nie leżą w jednej płaszczyźnie, ale prosta / ma jeden punkt wspólny z prostą k i jeden punkt wspólny z prostą m.

5.1. Naszkicuj sześcian i wybierz dwie krawędzie k im prostopadłe do siebie. Na stępnie wskaż krawędź /, która jest prostopadła do krawędzi m oraz: z przecina się z krawędzią k b) jest równoległa do krawędzi k d jest skośna do krawędzi k.

*4.41. Wiadomo, że wariancję zestawu danych X₁, X, X, możemy obliczyć ze wzoru:

4.40. Zestaw trzech liczb a, b ic ma średnią arytmetyczną x, i odchylenie stan dardowe od średniej równe a,. Zestaw trzech liczb a +8, b+8ic + 8 ma średnią arytmetyczną x₂ i odchylenie standardowe ,, Wyznacz związek pomiędzy średnimi arytmetycznymi i odchyleniami standardowymi obu zestawów danych.

*4.39. Suma trzech liczb x, y oraz z wynosi 6, a ich wariancja jest równa 21. Oblicz sumę kwadratów tych liczb.

4.38. Nauczyciel przedstawił uczniom następujący system klasyfikacji rocznej z ma tematyki: Ocena roczna jest wystawiana jako zaokrąglona do liczby całkowitej średnia ważona oceny za pierwszy semestr z wagą 0,4 i oceny za drugi semestr z wagą 0,6 Oceny semestralne wystawia nauczyciel jako średnie ważone (zaokrąglone do ca fości) następujących liczb: k-średniej z prac klasowych z wagą 0,65, u -średniej z odpowiedzi ustnych z wagą 0,25, d-średniej z prac domowych z wagą 0,1 (każdą z tych średnich zaokrągla do jednego miejsca po przecinku). Oblicz, jaką ocenę roczną otrzyma uczeń, który uzyskał następujące oceny:

a) Oblicz medianę i podaj modę liczby dzieci w badanej rodzinie. b) Oblicz średnią liczbę dzieci w badanej rodzi

nie. c) Oblicz odchylenie standardowe od średniej liczby dzieci w badanej rodzinie. Wynik podaj z dokładnością do całości..

4.37. Wśród 32-osobowej klasy 3a (w której każdy uczeń pochodzi z innej rodziny) przepro wadzono badania statystyczne dotyczące posia danego rodzeństwa. Wyniki badania przedsta wione są na diagramie obok.

a) Oblicz medianę i podaj modę liczby dzieci w badanej rodzinie. b) Oblicz średnią liczbę dzieci w badanej rodzi

nie. c) Oblicz odchylenie standardowe od średniej liczby dzieci w badanej rodzinie. Wynik podaj z dokładnością do całości..

4.36. Macieki Grzegorz analizowali wyniki swoich prac klasowych z matematyki. Każdy z chłopców ma po pięć ocen. Maciek uzyskał następujące wyniki: 4, 4, 2, 5, 5. Okazało się, że średnia ocen Grzegorza jest o 1 mniejsza niż średnia ocen Macka. Wiedząc, że wariancja ocen każdego z chłopców była taka sama i wynosiła 1,2, uzu pełnij oceny Grzegorza z prac klasowych z matematyki, jeśli wiadomo, że wśród pię ciu ocen są: 2, 3, 3.

4.35. W prywatnej specjalistycznej przychodni lekarskiej pracuje o 4 lekarzy więcej ni pozostałych pracowników. Średnia pensja lekarzy zatrudnionych w tej przychod ni wynosi 3850 zł, zaś średnia pensja pozostałych pracowników jest o 1900 zł niższa. Średnia placa wszystkich pracowników tej przychodni jest równa 3090 zł. Oblicz, iu lekarzy pracuje w tej przychodni.

4.34. Janek rzucił 50 razy kostką do gry i za każdym razem zapisał wynik rzutu. Na pie sporządził diagram częstości względnych tego doświadczenia, który podany jest ponizej

4.33. Bibliotekarka w pewnym liceum sprawdziła, ile książek w I semestrze wypoży czyli uczniowie klas trzecich z biblioteki szkolnej. Wyniki przedstawiła na diagramie stupkowym.

na zestawu liczb 3, x, 4, 3, y, 2, 5, 4, 4, 3 wynosi 3,6, a jedyną dominantą

jest liczba 3.

b) Wyznacz liczby naturalne x oraz y, jeśli wiadomo, że średnia arytmetyczna

zestawu liczb x, y, 3, 5, 1, 7, 8, 12, 15, 10 jest równa 7,1, mediana M, =7,5

ix<M

4.32.a) Wyznacz liczby naturalne x oraz y, jeśli wiadomo, że średnia arytmetycz

na zestawu liczb 3, x, 4, 3, y, 2, 5, 4, 4, 3 wynosi 3,6, a jedyną dominantą

jest liczba 3.

b) Wyznacz liczby naturalne x oraz y, jeśli wiadomo, że średnia arytmetyczna

zestawu liczb x, y, 3, 5, 1, 7, 8, 12, 15, 10 jest równa 7,1, mediana M, =7,5

ix<M

4.31. W zestawie danych: 4, 7, 5, 8, x, 7, 3, 5, 9, 2 liczba x jest jedyną dominantą. Mediana wynosi 6. Wyznacz liczbę x, a następnie oblicz średnią arytmetyczną tych liczb, wariancję oraz odchylenie standardowe od średniej.

10. Skoczek narciarski wykonal 5 skoków o długości: 130 m, 120 m, 100 m, 126 m oraz 124 m. Odchylenie standardowe w tej seril skoków jest liczbą z przedziału:

Wyniki kontroli przedstawia poniższa tab

9. Poddano kontroli dzienną dostawę soku jabłkowego pakowanego do 0,25-litro wych kartoników i dostarczanego przez producenta do sklepu osiedlowego, Umowa pomiędzy sprzedawcą i producentem zakłada, że zawartość soku w kartoniku zawie ra się w przedziale (X-0,X+0), gdzie jest średnią zawartością soku w kartoniku, 20-odchyleniem standardowym.

Wyniki kontroli przedstawia poniższa tabela.

ela.

w poszczególnych kategoriach ma wartość 6,23. Zatem średnia ocena w kategorii F

8. Właściciel zakładu krawieckiego, przed wprowadzeniem nowego modelu sukien ki, przeprowadza wśród wybranych klientek sondaż, badając gusta kobiet w trzech kategoriach: F- fason (z wagą 6), M- rodzaj materiału (z wagą 3) oraz K-kolor (z wagą 1). Każda zapytäna klientka, przyznaje każdej z wymienionych kategorii oce ne Ocenę końcową modelu sukienki, właściciel oblicza jako średnią ważoną śred nich ocen w poszczególnych kategoriach. W wyniku tego badania okazało się, że X=5,6, X, 9,5 oraz średnia ważona ocen

w poszczególnych kategoriach ma wartość 6,23. Zatem średnia ocena w kategorii F

A. Suma tych liczb jest równa 0,6. B. Liczby te są równe 1,3 oraz 1,1. C. Wartość bezwzględna różnicy tych liczb wynosi 1.

D. Jedna liczba jest dwa razy większa od drugiej.

6. Średnia arytmetyczna dwóch liczb dodatnich jest równa 1,2, zaś wariancja tych liczb wynosi 0,16. Wskaż zdanie prawdziwe.

A. Suma tych liczb jest równa 0,6. B. Liczby te są równe 1,3 oraz 1,1. C. Wartość bezwzględna różnicy tych liczb wynosi 1.

D. Jedna liczba jest dwa razy większa od drugiej.

5. Mediana wszystkich rozwiązań równania jest równa: (x²-1)-(2x³+ 18x) (x²-5x+6) =0

4. W sklepie znajduje się 50 par spodni, wśród których jest 12 par spodnio długości 1,2 m kaźda. Pozostałe spodnie mają długość 1,24 m oraz 1,3 m. Średnia długość wszystkich spodni w tym sklepie jest równa 1,264 m. Wobec tego stosunek liczby spodnio długości 1,24 m do liczby spodni o długości 1,3 m jest równy: A. 4:7 G. 5:7

3. Przeprowadzono sondę uliczną, zadając pytanie: ,,lle godzin w tygodniu przezna cza Pan (Pani) na zajęcia sportowe?” Wyniki tego badania ilustruje poniższa tabela.

2. Poniższy diagram ilustruje wyniki z matematyki na półrocze, uzyskane przez uczniów pewnej szkoły średniej.

1. Pewna firma telekomunikacyjna przeprowadziła ankietę telefoniczną wśród 300 losowo wybranych abonentów. Zapytano rozmówcę o liczbę posiadanych telefo now komórkowych. Otrzymane wyniki są przedstawione na poniższym diagramie.

4.30. Porównywano skuteczność dwóch drużyn piłkarskich. W tym celu zbadano liczbę zdobytych bramek każdej z drużyn w 20 spotkaniach. Wyniki przedstawia poniższy diagram.

4.29. Firma transportowa .Z nami szybko i bezpiecznie”, która zajmuje się prze prowadzkami, zbadała liczbę zleceń w poszczególnych miesiącach 2009 r. Dane są zilustrowane poniżej na diagramie kolumnowym.

4.28. Kontrola jakości w firmie produkującej śruby bada ich jakość według następu lacych zasad: pobiera z danej partii losowo 20 śrub i odrzuca partię, jeśli odchylenie standardowe od średniej długości śruby jest większe niż 0,4 mm. Żądana długość

przez nich punktów w dziesięciu treningowych seriach strzałów.

3) Wyznacz medianę punktów w dziesięciu seriach strzałów dla każdego łucznika. bOblicz średnią liczbę punktów zdobytą przez każdego łucznika. łucznika.

Oblicz odchylenie standardowe od średniej liczby punktów dla każdego Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku. Oceń, który z za wodników ma bardziej stabilną formę.

4.27. W celu porównania wyników dwóch łuczników zanotowano liczbę zdobytych

przez nich punktów w dziesięciu treningowych seriach strzałów.

3) Wyznacz medianę punktów w dziesięciu seriach strzałów dla każdego łucznika. bOblicz średnią liczbę punktów zdobytą przez każdego łucznika. łucznika.

Oblicz odchylenie standardowe od średniej liczby punktów dla każdego Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku. Oceń, który z za wodników ma bardziej stabilną formę.

4.26. Producent czekolady deklaruje, że tabliczka ma wagę 120 g± 1,8 g. Organiza ga konsumencka zbadała wagę losowo wybranych 10 tabliczek czekolady z pewnej partii otrzymała następujące wyniki w gramach:

4.25. Poniższa tabela przedstawia miesięczne wynagrodzenie pracowników pew nej firmy. wynagrodzenie miesięczne [zł] tej firmie. Oblicz średnią płacę miesięczną w tej firmie. Wynik podaj z dokładnością do jed al wskaz dlaki procent zatrudnionych w tej firmie ma płacę mniejszą, niż wynosi średnia nego grosza. miesięczna? Wynik zaokrąglij do jedności. Oblicz odchylenie standardowe od średniej płacy miesięcznej.

4.24. Maszynistka przepisywała książkę. Na żadnej stronie nie popełnita więcej niż pięć błędów. Po przepisaniu policzono, ile błędów popełniła na poszczególnych stro nach. Otrzymane wyniki są przedstawione na diagramie kolumnowym.

4.23. Pięćdziesiąt osób zdawało testowy egzamin z przepisów ruchu drogowego. Liczba popełnionych przez nich błędów jest przedstawiona na diagramie kołowym procentowym.

10 5 10 5 10 7 10 5 2 8 5 3 10 4 3 5 7 10 5 8 10 5. oczekiwania w minutach) w kwietniu: a) Sporządź diagram częstości względnych czasu oczekiwania.

Wyznacz modę i medianę czasu oczekiwania. Oblicz średni czas oczekiwania na autobus.

4.22. Pan Kowalski dojeżdża do pracy autobusem. Postanowił zbadać czas oczeki wania na autobus. Poniżej podane są dane zebrane przez pana Kowalskiego (czas

10 5 10 5 10 7 10 5 2 8 5 3 10 4 3 5 7 10 5 8 10 5. oczekiwania w minutach) w kwietniu: a) Sporządź diagram częstości względnych czasu oczekiwania.

Wyznacz modę i medianę czasu oczekiwania. Oblicz średni czas oczekiwania na autobus.

oceny:

a) Przedstaw zebrane dane w tabeli liczebności.

b) Wyznacz modę i medianę ocen.

c) Oblicz średnią ocen z pracy klasowej.

d) Jaki procent uczniów otrzymało oceny pozytywne? el Jaki procent uczniów otrzymało oceny co najmniej dostateczne?

Sporządź diagram kołowy procentowy uzyskanych ocen.

4.21. Uczniowie klasy trzeciej uzyskali z pracy klasowej z matematyki następujące

oceny:

a) Przedstaw zebrane dane w tabeli liczebności.

b) Wyznacz modę i medianę ocen.

c) Oblicz średnią ocen z pracy klasowej.

d) Jaki procent uczniów otrzymało oceny pozytywne? el Jaki procent uczniów otrzymało oceny co najmniej dostateczne?

Sporządź diagram kołowy procentowy uzyskanych ocen.