Autor: usrob

6.48. Oblicz brakujące współczynniki w równaniu ogólnym prostej m, wiedząc, że: a) prosta m: Ax – 2y + C = 0 jest równoległa do prostej k: 5x + 14y-1=0 i prze- chodzi przez punkt P(7,0) b) prosta m: x + By + C = 0 jest równoległa do prostej k: -3x + 4y – 5 = 0 i prze chodzi przez punkt P(1,-3) c) prosta m: 3x + By + C = 0 jest prostopadła do prostej k: -20x + 15y- 7 = 0 i przechodzi przez początek układu współrzędnych d) prosta m: Ax + y + C = 0 jest prostopadła do prostej k: 2x+4y-13=0 i prze- chodzi przez punkt P

6.47. Napisz równanie ogólne prostej m prostopadłej do prostej: a) k: 5x-y+3=0 i przechodzącej przez punkt P(-1, 2)

b) k: y+4=0 i przechodzącej przez punkt P√7,√2)

c) k 10x-70 i przechodzącej przez punkt P(3,8) d) k:-3x+2y=0 i przecinającej oś OY w punkcie P(0,-2).

6.46. Dane są równania ogólne prostych k i m. Czy proste kim są prostopadle? Odpowiedź uzasadnij. a) k: 5x + 3y-2=0 m:-15x+25y +10=0 b) k: 5x+7=0 c) k: 4x 20y+30=0 m: 3y-2=0 m: 15x-3y-2=0 d) k: 3 3 1 m: 1,5x-1-y+2 -12-0

6.45. Napisz równanie ogólne prostej m równoległej do prostej: a) k: 3x-2y+√3-0 i przechodzącej przez punkt P(-1, 1) b) k: 4x+9y=0 przecinającej oś OY w punkcie P(0,5) c) k: 2x-11=0 przecinającej oś OX w punkcie P(-4, 0) d) k: y-5=0i przechodzącej przez punkt P(7,√2).

6.44. Dane są równania ogólne prostych k m. Czy proste k i m są równolegle? Odpowiedź uzasadnij a) k. 2x-3y+6-0, b) k: 3x-4=0, m:-x+1-y-2=0 c) k: 7x 21y-30, d) k: 2x+7=0, m: 2y+5=0 m: x-3y-1-0 m: 3x-5=0 6. Geometria analityczna 18

6.43. Dane jest równanie ogólne prostej. Podaj miarę kąta, jaki tworzy ta prosta z osią OX. a) x+y-7=0 b) √3x-y+90=0 d) √3x-3y+15=0 e) x-√3=0 c) √3x+y+1-0 f) 3y-√3-0

6.42. Do prostej należą punkty PIQ. Korzystając z równania prostej przechodzą cej przez dwa dane punkty, wyznacz równanie ogólne tej prostej. a) P(0,-4), Q(3, 1) b) P(√5,-3), Q(√5,8) d) P(3, 1), Q(-1,-7) <) P(2, 2). Q(-1, 0)

6.41. Punkty A B należą do prostej k. Wyznacz równanie ogólne prostej k a) (0.8). 8(2.4) b) A(3,-4), 8(11,-4) c) A(-3,2), 8(4,9) d) A(-2, 6), 8(√2,-3√2)

6.40. Dane jest równanie prostej k. Przedstaw to równanie w postaci ogólnej a) 12-x 3 3 -x+5 b) y=- 4 c) X- x+2 3 уч

6.39. Wyznacz wszystkie wartości parametru p, pe R, dla których prosta k jest prostopadła do prostej m. a) k: y = 0,2x-1, b) k y = x + 6p, c) k: y = 3 + p – 4x, m: y = p-3x+3 m: y = 5-4-p x my= |p+8|x-p² Równanie ogólne prostej

6.38. Wyznacz wszystkie wartości parametru p, pe R, dla których prosta k jes równoległa do prostej m. a) k: y = 4+ p x b) k: y = x + 6p, m: y = 3x + 2 m:y-p-5-x-3p c) ky-9-12-p-x, m: y = 5 1 182 Matematyka Zbidr zadań Klasa 2 Zakres rozszerzony

6.37. W trójkącie ABC punkt K(-5, 1) jest środkiem boku AC, zaś punkt L -środ kiem boku BC. Wiedząc, że AK = [1, 6] oraz KL = [8, 4], wyznacz równania kierun kowe prostych, w których zawierają się boki trójkąta ABC.

6.30. Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A, B. a) A(-4,-1), B(4,-3) A(0,3), B(4,-5) b) A(-4,-3), 8(2, 3) d) A(1,-3), 8(7,1) D6.31. Wykaż, że prosta

6.29. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(-4,-2), B(4, -1), C(-2, 2). a) Napisz równania kierunkowe prostych AB, BC, AC, b) Czy trójkąt ABC jest prostokątny? Odpowiedź uzasadnij. 6.30. Wyznacz rów

6.28. Napisz równanie kierunkowe m, prostopadłej do prostej k prat chodzącej przez punkt A. 2 a) k: y=-2x, 3 A(-4,1) b) k: y–x+8, A(2√3,-√3) c) k; y=4x-1, A(2,9) d) k: y = 0,75x+3, A(6,-4) 4. Geometria analityczna

6.27. Dane jest równanie prostej m: y = 2x-2.

a) Napisz równanie prostej k, która jest prostopadła b) Oblicz współrzędne punktu wspólnego tych prostych. do prostej m i przechodz

przez punkt (0,3).

c) Naszkicuj proste k im w układzie współrzędnych; następnie zaznacz ich wspólny

punkt.

6.26. Wyznacza wiedząc, że prosta k jest prostopadła do prostej m.

a) k: y-3x+6,

m: y = ax-8

b) k: y=(-0,250+3)x+2, m: y=4x-8

c) ky 5+ (4-20)x,

2 m: y=x+11

d) k: y=-x+30√5,

m: y = (2a-√5)x-19a

6.25. Napisz równanie kierunkowe prostej m, równoleglej do prostej k i przecho

dzącej przez punkt A.

3 b) k: y=-x, A(-8,3)

a) k: y 2, A(3,-5).

c) ky-2x+5, A(-0,5; 4)

d) k:y 0,125x-1, A(16, 20)

6.24. Dana jest prosta m: y = -2x-1. a) Napisz równanie prostej k, równoległej do prostej m i przechodzącej przez puni

(-1,5).

b) Naszkicuj obydwie proste w układzie współrzędnych.

c) Sprawdź algebraicznie, że proste k i m nie mają punktów wspólnych

6.23. Wyznacz liczbę a wiedząc, że prosta m jest równoległa do prostej k

a) k: y (2a-3)x + 4, b) k: y = 3x + 0,

c) k:y (1a)x,

d) k: y = 8,

m: y = -4x + 7

m: y = 4+ (4+ a)x

m: y = (20-5)x-9

m: y = (a-10)x + 7

Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 2. Zakres rozszerzony

180

6.21. Wyznacz równanie kierunkowej prostej k, przechodzącej przez punkt P i na

chylonej do osi OX pod kątem a.

a) P(0, 0), α = 135°

c) P(4, 0), a = 120°

b) P(0, 6), 30°

d) P(3,-4), a = 45°

e) P(-2√3,5), α = 60°

f) P(√6, √8), a = 150°

6.20. Dane są punkty A i B. Podaj, z dokładnością do jednego stopnia, miarę kąta nachylenia prostej AB do osi OX.

a) A(-4, 2), B(1,8)

c) A(12,-3), B(6, 15)

b) A(5, 6), 8(9,-4)

d) A(2,-3), B(-1,-19)

6.19. Dane jest równanie prostej k. Podaj miarę kąta nachylenia tej prostej do osi OX

a) k: y=x-1

d) k: y = -x+2

b) k: y = √3x+ √2

c) k: y=1-√3x

e) k: y=- √3 1 3

f) k. y=- 3-2√3x 6

6.18. Napisz równanie kierunkowe prostej, przechodzącej przez punkty A B.

b) a 2 A(-10, 12)

d) a = 3 A(24,-36)

a) A(-10, 58), 8(2, 22)

b) A(-8,-95), 8(4, 25)

c) A(-10, 7), 8(5,-3) d) A(-6,-2), 8(24,4)

6.17. Prosta k przechodzi przez punkt A, a jej współczynnik kierunkowy jest równy a

Wyznacz równanie kierunkowe prostej k. a) a = -3 A(5, 6)

c) 0-4(-1,-9)

6.18. Napis

6.16. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i8.

a) A(2,-3), B(6, 7)

b) A(-4, 1), B(2,7)

d)

6. Geometria analityczna

6.10. W trójkącie ABC dane są wierzchołki: A(-5,-2), B(7, 4), C(1, 7). Na bokach AB, BC i AC tego trójkąta zaznaczono odpowiednio punkty D, E, F w taki sposób, że AD DB = BEECCFFA = 1:2. Oblicz współrzędne tych punktów

D 6.11. Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A(0,2), 8(6,-2), C(7, 6) jest równoramienny

D 6.12. Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A(-2,-3), B(4, 1), C(2, 4) jest prostokątny

D 6.13. Dane są punkty: A(-2, 0), B(3, 1), C(4, 6), D(-1, 5). Wykaż, że czworoką! ABCD jest romber.

D 6.14. Korzystając z własności wektorów wykaż, że jeśli A(0, -1), B(6, 1), C(3,5), D(3, 3), to czworokąt ABCD jest równoleglobokiem.

D 6.15. Korzystając z własności wektorów wykaż, że jeśli A(-3, 4), B(6, 1), C(6,4),

D(3, 5), to czworokąt ABCD jest trapezem.

Równanie kierunkowe prostej

6.9. Oblicz współrzędne punktu S przecięcia środkowych w trójkącie ABC, jeś

a) A(0, 0), 8(9, 0), c(0, 6)

b) A(-4, 0), B(-2,-5), c(0, 2)

c) A(-2, 7), 8(1, 2), C(4, 0) d) A(-4,-6), B(2,-11), C(5, 5).

6.8. Wyznacz współrzędne punktów podziału odcinka AB-

a) na cztery odcinki równej długości, jeśli A(-5,-7), 8(3, 5),

b) na trzy odcinki równej długości, jeśli A(2,-3), B(-10, 3),

c) na sześć odcinków równej długości, jeśli A(-1, 3), B(5, 15).

6.7. Dany jest trójkąt ABC, gdzie: A(-4, -1), B(4, 5), C(2, 9). Oblicz dlugo

środkowej

a) AD

b) BE

c) CF.

6.8. Wyznacz

6.6. Oblicz długości boków równolegloboku ABCD, jeśli dane są dwa jego wierz- chołki i punkt P przecięcia się przekątnych. a) A(4, -6), B(9,-6), P(7,-2) b) A(-3,-5), P(2, -1), D(-1, 3) 178 Matematyka Z

6.4. Dane są trzy wierzchołki równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne czwar tego wierzchołka oraz współrzędne punktu P przecięcia przekątnych, jeśli: a) A(4, 1), B(2, 6), C(-8, 3) b) A(-5,-2), B(3, 1), D(-2, 5). Narysuj równoleglobok ABCD w układzie współrzędnych.

6.5. Oblicz

6.3. Dane są dwa wierzchołki równoległoboku ABCD i punkt P przecięcia się przekątnych. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków równolegloboku, jeśli: a) A(-3, 5), B(-2, -1), P(3, 1) b) B(4,-2), C(2, 7), P(-1, 2).

Narysuj równoleglobok ABCD w układzie współrzędnych.

6.2. Wyznacz współrzędne środka odcinka AB, jeśli:

a) A(0, 4), B(-2, 0)

b) A(-3, 1), B(3, 5)

c) A(4, -1), B(-10, 9)

d) A(√2,-3), B(√2,7).

6.1. Oblicz długość odcinka AB, jeśli:

a) A(3,7), B(-8, 7)

c) A(1, 9), B(-7, -6)

b) A(-5,-2), 8(-5, 7)

d) A(10, 6), B(4, 0)

e) A(√5+2,√5), B(1, -1)

1) A(3-5),B(2-3).

35. Naszkicuj wykres funkcji f(x)=tg, gdzie x = (-1, 1).

a) Odczytaj z wykresu argumenty, dla których funkcja ƒ przyjmuje wartości nie mniejsze niż 1.

b) Wykres funkcji przesuń równolegle o wektor u

której wykres otrzymasz.

[아

0. Podaj wzór funkcji

34. Naszkicuj wykres funkcji y=2 cos cos(x-3), gdzie x € (-π, 2x). a) Odczytaj z wykresu zbiór argumentów, dla których ta funkcja przyjmuje wartości

ujemne.

b) Zapisz wszystkie argumenty, dla których funkcja f(x)=2.0 w zbiorze przyjmuje wartość 1. określona

c) Naszkicuj wykres funkcji g(x)-(x) i podaj jej okres podstawowy.

33. Zbadaj parzystość funkcji f(x) = – sin x), gdzie x = (-2π, 2π). a) Naszkicuj wykres funkcji f.

b) Odczytaj z wykresu argumenty, dla których funkcja ƒ przyjmuje wartość

c) Podaj dziedzinę funkcji g(x) = f(2x) naszkicuj jej wykres. d) Odczytaj z wykresu funkcji g argumenty, dla których ta funkcja przyjmuje war tości dodatnie.

32. Wyznacz okres podstawowy funkcji:

TLX a) y=2-sin- 2

=18 (3x+) b) y=tg

31. Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego a wartość wyrażenia sin(90+a) 1-1-cos’a +

1-sina √1-sin’a

sin(90°-a) jest stala.

29. Wyznacz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta a, jeśli:

a) cosa = 3 Зл 2

b)} tgu =/7, a e〔ཧྥུ,x

Cosa

176

D 20. Wykał, że a) (sin 15+ cos 165°)² + 2 sin 75°-cos 75° = 1 b) (sin 130+ cos 50)-2 sin 40 cos 40-1 D 21. Wykaż, że jeśli a jest kątem ostrym i 3(sina-8 cosa)-7, to a = 45°. 4 cosa 5 sina D 22. Wykaż, że jeśli suma cosinusów wszystkich kątów trójkąta prostokątnego jest 5 to iloczyn sinusów tych kątów jest równy 5 D 23. Wykaż, że jeśli a-3b=(210), to a-b-1. D 24. Wykaż, że dana równość jest tożsamością trygonometryczną. Podaj konieczne założenia. a) (1+sina) 1 1 cosa ctga 1 1 sina tga b) (1-cosa)- sina D 25. Wykaż, że jeśli jest kątem ostrym 2cos’a + 5sin’a 4, to (tga + etga)=4,5. D26. Wykaż, że jeśli a e (90°, 180°), to (2|cosal+ 1)(2cosa +1)+ 3-4 sin’ a 27. Oblicz wartość wyrażenia: sin(-1320″) tg840+ cos(-2100°). 28. Zapisz miarę kąta skierowanego w radianach, jeśli a) a = 765° b) a = -306°

19. Oblicz wartość wyrażenia:

a) tg15″ 75 g 135

b) tg 120°-tg 130° tg 140°

18. Kąt a jest kątem rozwartym oraz sina + cosa. Oblicz: 2 3

a) sina-cosα

b) sin a + cos a.

5. Trygonometria

175

17. Kąt a jest kątem ostrym oraz tga + ctg a = 2,5. Oblicz:

a) tg’a+ctg’a

b) tgʻa+ctg’a.

14. Skonstruuj w układzie współrzędnych kąt a, wiedząc, że: a) tga 1,5 cosa <0 b) ctga=-3 15. Porównaj liczby: a = sin 135° oraz b = sin³ 150° + sin 30°-cos² 120°. 16. Wyznacz miarę kąta a, a e (0°, 360°), wiedząc, że: a) sina: √3 2 itga <0 b) tga= 1+√3 i sina > 0

13. Skonstruuj w układzie współrzędnych kąt a, wiedząc, że: a) cosa=iae (180°, 270°) b) sina = 3 7 5 8

11. Na drugim ramieniu kąta a znajdującego się w położeniu standardowym leży punkt P-7,4) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta a. 12. Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych kąta, znajdującego się w układzie współrzędnych w położeniu standardowym, wyznacz wartości funkcj trygonometrycznych kąta równego 300°.

10. Jeśli a € (180°, 270°) i tga = 5, to: 1 -5

A. sina=- √26

B. sina =- √26

1 √26 C. sina =

5 √26 D. sina =

9. Jeśli a, B., y są kątami trójkąta oraz a = 15°, B 30°, to

A. cosy =-√2 sinẞ

B. cosy sin(a+B)

D. √3-cosy-1828

C. cosy -0,5-ctg(a B)