Autor: usrob

5.68. Zamień na stopnie: a) 7 10 5 b) π c) d) 6 f) 41 g) h 13 3 T 164 Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 2. Zakres rozszerzony

5.67. Zamień na radiany: a) 18° e) 252° b) 20° c) -2° g) 135° f)-300° d) -108° h)-210.

5.66. Oblicz miarę łukową kąta skierowanego BOA, zobacz rysunek obok, jeśli: r= 1 d) r=22 1= 3 d) r=3 1=4π e) r=n 1=2n f) r=√3 = Эл

5.65. Oblicz miarę główną kąta skierowanego ẞ, jeśli: a) 8-457 b) B=-130° c)=850° e) – 1710 d) –520 f) B–2010.

5.64. Skonstruuj w układzie współrzędnych kąty skierowane ai ẞ, jeśli: a) a = 30° B=-30° b) a 135° ẞ=-135° c) a = 240° B=-240° d) a = 435° B=-435°.

5.63. Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego a, równość: cos² (270-α) si (a+270) sin (a+90°)-1 cos (90-a)-1 -1 jest tożsamością Kąt skierowany. Miara łukowa kąta

5.61. Wykaż, że jeśli a, B, y są kątami trójkąta, to: a) cos=sin 2 sinty 2 b) sin=cos+y 2 2

5.60. Wiadomo, że kąt a jest ostry i sin(180°-a) tg(90+a) -3. Wyła sin(90-a) tg(90°-a) że cosα = √17 17

5.59. Wyznacz α, ae (0°, 360°), wiedząc, że: √3 a) cosa =- i sina <0 2 b) sina = 0 i cosα = -1 c) ciga=-1 i sina >0 d) tga=- √3 i cosa > 0 3 e) cosa √2 -i sina <0 2 f) tga=-√3 i sina > 0.

5.58. Kąty trójkąta mają miary: a, By. Oblicz funkcje trygonometryczne kąta a + jeśli: a) y-60 b) y=30° d) tgy=-1 c) cosy =

5.57. Wiedząc, że a e(0°, 90°)(90″, 180°), doprowadź poniższe wyraże do najprostszej postaci. a) sin(180-a) cos(90°+a)-cos’ (180°-a) b) sin(90) tg(180-a)+cos(180-a) ctg (90+a) c) cos(90°-a) sin(180°-a) sin(90°-a) cos(180°-a) d) t(90a) te(180°-a)+ ctg (90°-a) tg (90°-a)

5.56. Oblicz bez użycia tablic trygonometrycznych i kalkulatora. a) 2 cos120°+4-tg210°-sin120° b) 3-tg 225°-cos 300°+sin150° c) cos 210°- ctg cos315° d) sin150° tg 225°+ sin 300° e) sin180°+cos 90°+cos 180°+sin270° 162

5.55. Oblicz bez użycia tablic trygonometrycznych i kalkulatora. a) 4-sin300 cos 330°-ctg315° b) cos 240°-sin180° + cos 0° c) sin 217+cos’ 127°+2-sin37° cos127° d) tg 225°-ctg135°-sino e) cos 0+sin90°-sin270°-tg180°

5.54. Porównaj liczby x i y. a) x=sin135°, y=tg2150° c) x= 1 ctg 120° 1 cos135° b) x=-√3-cos120°, y=sin120° 3cos 120 d) x=4 sin150 y=

5.53. Dane są liczby: a=sin120°+cos150°-2-tg45° b= sin60°-2-cos 135° tg120° c=(cos150+ sin135°)(cos 30+ sin45°) d=tg150°-cos 30°+sin90°. Która z tych liczb jest liczbą wymierną? 5.54. Porównaj liczby x i y.

5.52. Oblicz stosując wzory redukcyjne: a) sin120 cos150° +tg135° b) tg 120° ctg 30º + cos² 135° c) (cos120-tg150°)² d) (sin135-tg120°) (cos 135°-ctg150°).

5.51. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, a R, dla którego rozwiązan równania 3ax²-40x + 7 = 0 są sinusem i cosinusem pewnego kąta. Dla wyzna czonej wartości a podaj te rozwiązania. W której ćwiartce znajduje się ramię tego kąta w położeniu standardowym?

5.49. Wykał, że miejsca zerowe funkcji kwadratowej y=8x-4x-3 sa sinuse i cosinusem pewnego kąta.

5.48. Wykaż, że miejsca zerowe funkcji kwadratowej y = 18x² – 24x + 7 =0 są i cosinusem pewnego kąta ostrego.

5.47. Wykaż, że jeśli ae (0°, 360°), to a) ssina cosa s 1 2 b)-ssin’a+cos’a s1

5.46. Wykaż, że jeśli sina + cosa, to: a) sina cosa= √17 3 b) tga-ciga|=2

D5.45. Wykaż, że dana równość nie jest tożsamością trygonometryczną. a) sina tga 1 1- cos’a sina b) 1-cos’a cosa =ctga sina

5.44. Wykaż, że dana równość nie jest tożsamością trygonometryczną. 1 a) -cosa=sin a-tga b) sina sina 1-cosa 1+cosa =2-tga cosa

5.43. Wykaż, że równość √sin’a cos’a sina cosa -=2 nie jest tożsamością trygono

metryczną

5.42. Oblicz pozostale wartości funkcji trygonometrycznych kąta a, jeśli: a) sinab, gdzie a c(180°, 270°) i be(-1, 0) e b) cosa = α, gdzie α = (270°, 360°) i α = (0, 1).

5.41. Czy cos a może się a) 2 b) 3 √10 1 dla pewnego kąta ẞ d) tg dla pewnego kąta ẞ? 160 Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 2. Zakres rozszerzony

5.40. Czy sina może się równać: a) √5 2 b). √15 c) dla pewnego kąta ẞ sin B d) tgẞ+ctgß dla pewnego kąta ẞ?

5.39. Zbadaj, czy istnieje kąt a, a € (0°, 360°), który spełnia następujące warunki. √3 a) sina: i cosα = 4 b) sina 2 i cosa= 5 5 1 5 c) cosa =-=-itga=-2√2 3 d) tga = √6ictga=- 12 Jeśli tak, to do której ćwiartki układu współrzędnych należy końcowe ramię kąta a w położeniu standardowym?

5.38. Wykaz, że jeśli a = (0°, 90°)(180°, 270°) oraz tga+ctga-2 6 25 36

D 5.37. Wykaż, że jeśli a € (0°, 90°) oraz sina cosa

5.36. Wiedząc, że tga+ctga=4, oblicz: a) tg’a+ctg’a b) tg’a+ctg’a d) sin’a + cos*a. c) (tga-ctga) 7 = to sina+ cosa=1- 18 3

5.35. Wiedząc, że sina +cosa =- √2 oblicz: a) sina cosa b) (cosa-sina)

5.34. Wiedząc, że a jest kątem rozwartym oraz sina + cosa ==, oblicz: 7 13 a) sina cosa b) sina-cosa c) sina, cosa. 5 Trygonometria 159

5.33. Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi, je ae (0°, 90°)(90°, 180°). 1 a) cosa Cosa b) 1-sina: ctga-cosa ctga 2 sin a –1=1+2-ctg’a 1 d) 1 2 + 1-cosa 1+cosa sin’a tga-(1-ctg’a) 1+tg’a -=ctga 1) ctga-(1+tg’a) 1+ctg a =tga

5.32. Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi, je ae (0°, 90°)(90°, 180″). a) 1-2 sin’a-2-cos’a-1 c) sina + cosa =1+tga COS C e) sina+tga sina 1 1+ b) cos’a sin’a = 2 cos’α-1 d) sina + cosa sina ctga-(1+tga) f) cosa+ctga-1+ 1 COSC sina

5.31. Oblicz: a) tga, jeśli a € (0°, 90°) oraz 4-sin’α = 3-cos’a e b) ctg a, jeśli a € (90%, 180°) oraz 5 + cos’α = 2 sin’a tga, jeśli a c (180°, 270°) oraz 9 sin’a-5-cos’a = 2 d) ctga, jeśli az e (270°, 360°) oraz 4 cos’a – sin’a-3.

5.30. Kąt a jest rozwarty. Oblicz wartość wyrażenia: a) cos a-sin’a, jeśli cos’a = 0,81 c) tga-6-ctga, jeśli tg’a =144 d) b) 2-cosa + sina, jeśli sin a = 0,25 3-sina +4 cosa sina-2-cosa jeśli ctg a = 100.

5.29. Oblicz wartość wyrażenia: 4-sina-5 cosa jeśli tga = 5 cosa +3 sina b) -3 cosa +6 sina 8-sina +3-cosa jeśli ctgα=-2.

5.28. Oblicz pozostale wartości funkcji trygonometrycznych kąta a, ae (0°, 360 jeśli: a) cosα= 5 13 b) sina 60 61 c) etga-3 d) ctga= 45 28

5.27. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta a, jeśli: a) sina 5 13 8 iae (180°, 270°) b) ctgaia (180°, 270°) 15 12 c) tgai (270, 360) 5 d) cosa 2 3 ia (270°, 360°).

5.26. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych, wiedząc

ie a e (0°, 180°) oraz

a) tga 1 2

b) cosa = 24 25

c) sina: 3

d) ctga= 11 60

5.25. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta a, jeśl

ae (90°, 180°) oraz:

a) sina = 0,8

b) cosa 1

c) tga 1 3

d) ctga=-7.

5.24. Skonstruuj w układzie współrzędnych kąt o takiej mierze a, le 5 a) sinaitga<0 6 b) cosa= 2 7 ictga 0 c) tga 2 i sina <0 d) etga=-√2i cosa >0 Podstawowe tożsamości trygonometryczne

5.23. Skonstruuj w układzie współrzędnych kąt o mierze a, wiedząc, że a) sina 1 4 b) cosa 2 5 c) tgu-3- d) ctga=-6 Rozważ dwa przypadki. e) sina — 3 f) cosa= 4 5 5.24

5.22. Wykaż, że jeśli cze (0°, 360°) oraz: a) sin a = cos α, to α = {45°, 225°} b) sin a = – cosa, to α = {135°, 315°) 5 Trygonometrin 5.23. Skonstruuj

5.21. Kąt a znajduje się w układzie współrzędnych w położeniu standardowy Punkt P(x, y) wybrano na końcowym ramieniu tego kąta w odległości od pus tu 0(0, 0). Oblicz współrzędne punktu P, jeśli: 2 a) tga, cosa <0, r=√13 3 b) ctga=-3, sina > 0, r=5 2 c) tga, cosa >0, r= 5 √29 5 4 d) tga ==, sina >0, r=- √41 3 5.22.

5.20. Kąt a jest ostry. Jaką wartość: dodatnią czy ujemną, ma poniższe wyrażenie! a) sin(90+ a) cos(180+ a)+ tg(270+) b) cos(90°-a)-cos(180°-a)-sin(360°-a) c) ctg(270+)+sin(180+) d) cos[(180+) sin(270+ a)] tg (180°-a) 5.21.

5.19. W której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się końcowe ramię kąta w położeniu standardowym, jeżeli a) sina <0i cosa <0 c) tga > Oictga > 0 b) sina 0 itga <0 d) cosa < 0 itga <0 e) sina < 0 i cosa > 0 f) cosa > Oitga< 0. 5.20. Kąt

5.18. Oblicz korzystając z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta jeśli a) a = 210° b) a = 240° c) a = 135° d) a = 330°. 5.19.

5.17. Jaką miarę ma kąt a, jeśli a € (0°, 360°) oraz: c) cos α = 0. a) sina = 1 b) tga = 0 Dla wyznaczonej miary a oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta, o ile istnieją.