Autor: usrob

5.15. Kąt a znajduje się w położeniu standardowym. Punkt P(x, y) leży na koń- cowym ramieniu tego kąta, w odległości rod punktu 0(0, 0). Oblicz współrzędne punktu P, jeśli: a) a € (0°, 90°), sina r = 6 2 b) a € (90°, 180°), cosa === 1=9 3 3 c) a € (180°, 270°), cosa = = 10 5 d) a (270°, 360°), sina- 1 2 7=2√3. Kąt a znajduje się w położeniu standardowym. Punkt P(x, y) wybrano na końcowym ramieniu tego kąta, w odległości od punktu 0(0, 0). Oblicz współ- rzędne punktu P, jeśli: a) a (180°, 270°), tga 2, r-2√5 b) ae (90°, 180°), tga=-3, =√10 156 Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 2 Zakres rozszerzony c) (270, 360°), ctga- r = 15 d) a = (0°, 90°), ctga= r = 5.

5.14. Punkt P znajduje się na końcowym ramieniu kąta a w położeniu standardo wym. Odległość tego punktu od początku układu współrzędnych jest równa r. Wy znacz brakującą współrzędną punktu P i oblicz funkcje trygonometryczne kąta a, jeśli. a) P(-3, y), -5, a (180″, 270″) b) P(x, 2), r=√13, ac (90°, 180°) c) P(x, 4), -8,5 (0°, 90°) d) P(4√3,y), -7, a (270, 360°).

5.13. Na końcowym ramieniu kąta a, umieszczonego w układzie współrzędnych w položenju standardowyrn, znajduje się punkt P. Wyznacz odległość tego punktu od punktu 0(0, 0). Następnie oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta a – o ile istnieją a) P(12,5) b) P(-2,2√3) c) P(-√3.-√6) d) P(15,-8) e) P(0, -3) f) P(-5, 0)

5.12. Wykaż, że: a) tg5-1g25 1g45°-tg65″-tg85=1 b) cos 20″+cos 40″+cos 50°+cos² 70°-2 c) sin 20°+sin 70°+2-cos² 20°-cos² 70° = 1. 5. Trygonometria 155 Sinus, cosinus tangens i cotangens dowolnego kąta płaskiego

5.10. W trójkącie prostokątnym przypro- stokątne mają długość a b, zaś przeciwpro stokątna ma długość c. Wykaż, że jeśli na- przeciw boku a leży kąt a taki, że tga = 2, to (–) 1 (a+b²²) 25 D

5.8. Dana jest jedna z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego a. Oblicz wartoś pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. a) sina = 7 b) cosa = 60 2 c) tga 2- 5 1 3 d) ctga= 25 61

5.6. W trójkącie ABC kąty przy podstawie AB są ostre. Poprowadzono w wyso kość CD. Wyznacz kąty trójkąta ABC, jeśli: a) AC-30, CD-5√2, JBC-10√2 b) AD=2, 108=6, BC|=√48.

5.5. Wyznacz kąt α, α = (0°, 90°), wiedząc, że: f) sina: √2 2 g) cosa = 2 h) ctga=1. e) ta=√

5.4. W prostokącie ABCD przekątne mają długość 4 cm i przecinają się pod kątem: a) 60° b) 45° c) 30°. punktu B od przekątnej AC. 154

5.3. Oblicz: b) sinus kąta CAB. a) (cos 30°-sin45°)(sin60° + cos 45°) b) (31g30°-ctg45°)-8-sin30° c) (√2-ctg 60°+ √3-cos45°)(6tg 45°-√72-tg60°).

5.1. Oblicz obwód trójkąta ABC na rysunku poniżej z dokładnością do 0,5 cm: a) 707 b) c) 10 cm h-5 cm D_h=9cm d) 67 100 h=6cm

40. W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta ostrego dzieli przeciwległy be w 2:3. Wykaż że stosunek promienia okręgu wpisanego w ten trój do promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy √5-1 3 153 5 Trygonometria Trygonometria kąta ostrego – powtórzenie wiadomości z klasy 1.

39. W trójkącie ABC bok AC ma długość 10 cm. Wysokość CD dzieli bok AB na odcinki AD DB. Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w punkcie P. Wiedząc ze AD-6 cm, DB-9 cm, oblicz odległość punktu P od podstawy AB. D40. W

38. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 10 cm W trójkąt wpisano okrąg. Punkt styczności tego okręgu z przeciwprostokątną znaj duje się w odległości 2 cm od środka okręgu opisanego na tym trójkącie. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

37. W trójkącie prostokątnym boki przyległe do kąta prostego mają długość 6112 Na tym trójkącie opisano okrąg. Oblicz b) odległość środka ciężkości trójkąta od środka tego okręgu, a) promień tego okręgu, c) odległość spodka wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prosteg od środka tego okręgu.

34. Dany jest odcinek AB, którego długość jest równa 20. Środek O tego odcinka jest środkiem okręgu o promieniu 6. Z punktu A poprowadzono styczną do okręg 36 √13 w punkcie C. Odcinek BC przecina okrąg w punkcie D. Wykaz, ze |CD|= D 35. Dwa okręgi o różnych promieniach przecinają się w punktach A i B. Prze punkt B poprowadzono sieczną prostopadłą do cięciwy AB, która przecięła te okręgi odpowiednio w punktach CID. Wykaż, że |CD| = 20,0, 36. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym AC BC,

33. Promienie dwóch okręgów są odpowiednio równe: r = 5-m, r₂ = 3+ m, a odległość między ich środkami wynosi m. Podaj wszystkie wartości m, spełnia- jące warunki zadania. Ustal w zależności od wartości m wzajemne położenie tych okręgów. 152 Matematyka Zbiór zadań Klasa 2 Zakres rozszerzony

32. Dane są dwa okręgi styczne zewnętrznie: okrąg o środku w punkcie O, i pro- mieniu r₁ 3a oraz okrąg o środku w punkcie O, i promieniu r₂ = 4-a, gdzie ae (0, 4). Odcinek 0,0, ma długość 8. a) Oblicz r₁ i rz b) Wiedząc dodatkowo, że prosta 0,0, przecina styczną zewnętrzną do tych okrę gów w punkcie A, oblicz 0,A).

30. W trójkącie prostokątnym najkrótsza wysokość jest równa 15, a najkrótszy bok ma długość 17. Oblicz a) długości pozostałych boków trójkąta, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

30. W trójkącie prostokątnym najkrótsza wysokość jest równa 15, a najkrótszy bok ma długość 17. Oblicz a) długości pozostałych boków trójkąta, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

29. W trójkącie prostokątnym spodek najkrótszej wysokości dzieli przeciwprosto kątną w stosunku 9: 16. Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 25 cm, oblicz: a) długości boków tego trójkąta, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt

28. W trójkącie równoramiennym poprowadzono dwusieczną kąta przy podsta 8 wie, która podzieliła ramię na odcinki długości: 7 oraz 5-ko- 23 15 23 lejno od wierzchołka między ramionami trójkąta. Oblicz: a) długość podstawy, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, c) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt

27. W trójkąt ABC wpisano okrąg. Wiedząc, że (AB) = 20 cm, AC = 16 cm oraz (BC = 12 cm, oblicz długości odcinków: a) na jakie punkty styczności podzieliły bok AB, b) na jakie dwusieczna kąta ACB podzielila bok AB.

26. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: AB=8 |AC = 6 cm. Oblicz: a) długość odcinka DE symetralnej boku BC, zawartego w trójkącie ABC, b) długość odcinka CF dwusiecznej kąta ACB. 4 Geometria płaska – okręgi i kota 151

25. W trójkącie ABC, w którym AC <|BC), wysokość CD jest równa 4,5 cm. S metralna boku AB przecina bok AB w punkcie E, a bok BC w punkcie F. Wiedzą ze EF-3 cm, oblicz AD: 08. 26. W

23. Z punktu P, którego odległość od środka O okręgu jest równa 15 cm, popro wadzono sieczną, przecinającą okrąg w punktach A B. Wiedząc, że promień okrę jest równy 9 cm oraz PA: AB = 1:3, oblicz długość cięciwy AB. D 24. W trójkącie prostokątnym ABC na rysunku obok punkt O jest środkiem dłuższej przyprostokątnej AB. Półokrąg o średnicy AB przecina przeciwprostokąt- ną BC w punkcie D. Wykaż, że jeśli |AD DO, to: = a) AC-2/CD

22. Promienie dwóch okręgów są równe: r = 2m — 1 oraz 12 = 3m. Odległoś między środkami tych okręgów jest równa 14. a) Wyznacz liczbę m, dla której te okręgi mają jeden punkt wspólny. Dla wyznaczo nej liczby m podaj promienie tych okręgów. b) Dla jakich wartości m okręgi te mają dwa punkty wspólne?

21. Dwa okręgi o(0,, r) i o(0,, R), gdzie r

19. Na rysunku obok punkty A, B, C należą do okręgu o środku w punkcie O oraz dane są kąty środkowe a i ẞ. Da) Wykaż, że jeśli a= 54° i B= 72°, to OA | BC. b) Oblicz miary kątów trójkąta ABC w przypadku, gdy a = 50°, B = 78°. 1.50 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 2 Zakres rozszerzony

18. Punkty A, B, C należą do okręgu oraz

17. Dany jest okrąg o środku w punkcie O styczna do tego okręgu w punkcie P. Korzystając z danych na rysunku, oblicz α. a) 51 55

15. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy 3 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 8,5 cm. Suma długości przyprosto- kątnych tego trójkąta wynosi: A. 17,5 cm B. 20 cm C. 23 cm D. 26 cm Zadania powtórzeniowe do rozdziału 4.

14. W trójkącie ABC, w którym ACBC 36 cm, poprowadzono dwuser kąta CBA, która przecięła ramię AC w punkcie D. Jeśli CD: AD-4:5, to: A. |AB|=28,8 cm B. AB) = 40 cm C. AB = 45 cm D. AB54 cm 4. Geometria płaska – okręgi i kota 1 75%

13. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 2 cm. W trójką wpisano okrąg. Punkt D jest punktem styczności tego okręgu z ramieniem AC. Jess AD:DC=2:3, to obwód trójkąta ABC jest równy: A. 12 cm B.9 cm C. 8 cm D. 7 cm

12. W okręgu poprowadzono dwie cięciwy. Punkt przecięcia tych cięciw dziel jedną z nich na odcinki długości 8 cm i 2 cm, a drugą na odcinki równej długośc Długość drugiej cięciwy jest równa: A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm

11. Bok AB trójkąta ABC ma długość 24 cm. Punkt przecięcia symetralnych bo ków BC AC leży w odległości 5 cm od boku AB. Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy: A. 13 cm B. 12 cm C. 11 cm D. 10 cm

10. Na rysunku obok trójkąty ABC i ADC są wpisane w okrąg o środku w punkcie O. Odcinek CD jest średnicą okręgu. Jeśli [AC] = 2 oraz ABC)=45°, to średnica tego okręgu ma długość: A. √2 B. 2 C. 2√2 D. 4

9. Boki trójkąta mają długość: 6 cm, 8 cm, 10 cm. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy: A. 2 cm B.3 cm C. 4 cm D. 5 cm 1

8. Bok trójkąta równobocznego ma długość a, zaś promień okręgu opisaneg na tym trójkącie jest równy R. Wówczas: A. o=2R B. a=R√3 0 0√5 = 25

7. Na rysunku obok dany jest okrąg o środku O i kąt a dopisany do okręgu. Z danych na rysunku wynika, że: 20100 A 1 D B. a=55° A. a = 50° C. a=60° D. a = 65°

6. Odległość między środkami dwóch okręgów jest równa 6. Jeśli promienie tych okręgów są równe л oraz 2л, to okręgi te: A. są rozłączne wewnętrznie C. są rozłączne zewnętrznie B. są styczne wewnętrznie D. się przecinają 148 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 2 Zakres rozszerzony

5. Dwa okręgi o promieniach R ir są współśrodko we, R>r. Cięciwa AB większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu. Jeśli R2-29, to: A. AB = 6 B. AB = 9 C. AB = 12 D. AB = 18 B

4. Średnica AB okręgu ma długość 2. Jeśli długość cięciwy BC jest równa 1, to: B. AC = √3 C. (AC)=√2 D. AC-1 A. JAC 2 5. Dwa okr

4. Średnica AB okręgu ma długość 2. Jeśli długość cięciwy BC jest równa 1, to: B. AC = √3 C. (AC)=√2 D. AC-1 A. JAC 2 5. Dwa okr

3. Na rysunku obok dany jest okrąg o środku 0, dwa kąty środkowe i kąt wpisany a. Wówczas: A a = 110° C. a = 1250 B. a = 120° D. a = 130°. 120 O 130

2. Kąt środkowy ma miarę 72° i jest oparty na luku okręgu, mającym długość 4x. Promień tego okręgu jest równy: A. 2 B.4 C.5 D. 10

1. W trójkącie ABC na rysunku obok kąt przy wierzchołku A jest równy 60°. Dwusieczna ką ta ACB przecina bok AB w punkcie D. Jeżeli CD = DB), to kąt ACB ma miarę: A. 90° C. 70 B. 80° D. 60° 60 B

4.174. W trójkąt równoramienny ABC, w którym AC = |BC, wpisano okrąg o środku w punkcie O. Punkty Pi M są punktami styczności tego okrę- gu odpowiednio z ramieniem BC i podstawą AB. Sieczna tego okręgu poprowadzona z punktu C przecina okrąg w punktach D i E, a podstawę AB w punkcie. Wiedząc, że CD4√10-4, DE 8 oraz |CO = 13, oblicz: D A 147 4. Geometria płaska – okręgi i kofa a) promien tego okręgu, b) odcinki, na jade punkt P dzieli ramię BC, c) odleglose punktu ♬ od punktu M

4.173. W trójkąt rozwartokątny równoramienny ABC, w którym AC-8c), p sano okrąg o środku w punkcie O promieniu równym 4 cm. Punkt P jest punkten styczności tego okręgu z ramieniem AC. Symetralna boku AC przecina ten bo w punkcie M oraz symetralną boku AB w punkcie S. Wiedząc, że PM = 4,5 cm oraz SM = 10 cm, oblicz: a) promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, b) długość boku AB.

4.172. W trójkąt równoramienny wpisano okrąg o środku O i promieniu r ora na tym trójkącie opisano okrąg o środku 5 i promieniu R. Da) Wykaż, że jeśli p oznacza odległość punktu O od wierzchołka trójkąta między ramionami, a d- odległość punktu S od ramienia tego trójkąta, to r R = pd 3 b) Wiedząc, że p = 5, d=3 oraz R: r = 25:12, oblicz r i R oraz [OS]. 4