Autor: usrob

4.171. Bok AC trójkąta ABC ma długość 25 cm, a wysokość CD jest równa 24 cm Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w punkcie P. Wiedząc, że odległość punktu od boku AB jest równa 10 cm, oblicz: a) długość boku AB b) długość boku BC.

4.169. Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 18 cm, a wys kość BD jest równa 14,4 cm. Dwusieczna kąta BAC przecina ramię BC w punkcie Oblicz a) długość ramion ACI BC, b) długość odcinków BP i PC, c) długość odcinka AP dwusiecznej kąta BAC.

4.168. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 12. Dwusiecz- na kąta BAC przecina bok BC w punkcie D, którego odległość od podstawy AB jest równa 4 11 Wiedząc, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3, oblicz: a) długość odcinka AD b) wysokość CE. 146 Matematyka. Zbiór zadan. Klasa 2. Zakres rozszerzony

4.167. W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego podzieliła przeciwpro stokątną na odcinki długości 3 cm 14 cm. Oblicz: a) długości przyprostokątnych tego trójkąta, b) odcinka tej dwusiecznej, zawartego w trójkącie.

4.166. Boki trójkąta mają długość: 15, 20, 25. Oblicz długość odcinka dwusiecznej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka: a) największego kąta b) najmniejszego kata.

4.165. W trójkącie prostokątnym ABC kąty ostre są równe: 8=30°

4.164. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość: 12 cm 9 cm. W trójkąt wpisano okrąg. Oblicz długości odcinków: a) na jakie dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną, b) na jakie punkt styczności okręguz przeciwprostokątną dzielitę przeciwprostokątną.

4.162. W tidkącie równoramiennym ABC, w którym (AC = |BC, poprowadzo- no dwusieczną kąta BAC, która przecięła bok BC w punkcie D oraz |CD|=4- a) Oblicz długość podstawy AB b) Wiedząc dodatkowo, że odcinek DE jest wysokością trójkąta ABD, oblicz (AE BE W trójkącie równoramiennym boki mają długość 12 cm, 10 cm, 10 cm. W trójkąt wpisano okrąg. Oblicz długości odcinków: a) na jakie punkt styczności okręgu z ramieniem dzieli to ramię, b) na jakie dwusieczna kąta przy podstawie dzieli przeciwlegle temu kątowi ramię.

4.160. Różnica długości dwóch boków trójkąta jest równa 6 cm. Dwusieczna kata leżącego między tymi bokami przecina trzeci bok trójkąta w stosunku 3: 1. Obli długości tych dwóch boków.

4.157. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym ACBC), wysokość D jest równa 18 cm. Wiedząc, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest rów ny 8 cm, oblicz długości boków tego trójkąta, 4.158. Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 12 cm. Promie okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3 cm. Oblicz długość ramienia teg trójkąta, 4.159. Boki trójkąta mają długość 4 cm, 5 cm, 6 cm. Oblicz długości odcinków na jakie dwusieczna największego kąta trójkąta dzieli bok, leżący naprzeciw tego katz

4.156. Dane są długości boków trójkąta równoramiennego. Wyznacz wysokość tego trójkąta poprowadzona na podstawę. Następnie oblicz promień okręgu wpi sanego w ten trójkąt, korzystając z podobieństwa odpowiednich trójkątów. a) 5 cm, 5 cm, 8 cm b) 25 cm, 25 cm, 14 cm

4.155. Dane są długości boków trójkąta równoramiennego. Wyznacz wysokok tego trójkąta poprowadzona na podstawę. Następnie oblicz promień okręgu wpisa nego w ten trójkąt, korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych i z twierdzenia Pitagorasa. a) 5 cm, 5 cm, 6 cm b) 13 cm, 13 cm, 24 cm

4.152. Wykaż, że suma promienia okręgu opisanego na trojkącie prostokątnym i promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa średniej arytmetycz długości przyprostokątnych tego trójkąta, 4.153. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wiedząc, te wód tego trójkąta wynosi 30 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie je równy 6,5 cm.

4.151. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny, a) przeciwprostokątna tego trójkąta jest równa 4 cm, b) odległość środka okręgu od wierzchołka kąta prostego jest o 1 cm dłuższa od tego promienia. 144 Matematyka Zbiór zadań Klasa 2. Zakres rozszerzony

4.150. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przypro- stokątne mają długość: a) 6 cm i 8 cm c) 12 cm i 5 cm b) 8 cm 15 cm d) 2√5 cm i 4 cm. jeśli:

4.148. Wyznacz promieńr okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równora- mienny, jeśli: a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 3, b) różnica długości przyprostokątnej ir jest równa 1+ √2.

4.146. Wyznacz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny, jeśli: a) boki trójkąta mają długość 10 cm, b) wysokości trójkąta przecinają się w punkcie, którego odległość od wierzchołków jest równa 5 cm. 4.147. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest o 4 cm dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt Oblicz obwód tego trójkąta

4.139. W trójkącie ABC odcinek AD dwusiecznej kąta BAC ma długość taką, jak bok AB. Wiedząc, że

4.137. Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 28-. Środek okręg 17 opisanego na tym trójkącie leży w odległości 8 od ramion. Oblicz: a) długość ramion trójkąta, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Dwusieczne kątów trójkąta. Okrąg wpisany w trójkąt

4.135. Trójkąt ABC jest równoramienny, AC BC Wysokość poprowadzona na podstawę jest równa h. Na trójkącie ABC opisano okrąg o promieniu R. Wykaz że jeśli odległość środka tego okręgu od ramienia BC jest równa BC, to h: R=25 Czy trójkąt ABC jest ostrokątny czy rozwartokątny?

4.132. W trójkącie ostrokątnym ABC boki AC i BC są równe mają długość 4√5. Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 5, oblicz AB. Symetralne boków trójkąta równoramiennego przecinają się w odległo- ści 12,5 cm od wierzchołka przy podstawie i w odległości 10 cm od ramion trójkąta. Oblicz długości boków tego trójkąta. 142 Matematyka Zbiór zadań Klasa 2. Zakres rozszerzony

4.131. Dane są długości boków trójkąta równoramiennego. Oblicz promień okrę gu opisanego na tym trójkącie a) 25 cm, 25 cm, 14 cm b) 61 cm, 61 cm, 120 cm

4.129. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 18 cm, a ra miona BC i AC 15 cm Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, czy rozwartokątny. Oblicz wysokość CD tego trójkąta. Następnie wyznacz promień okręgu opisanego na tym trójkącie na dwa sposoby: a) korzystając tylko z twierdzenia Pitagorasa, b) korzystając z podobieństwa odpowiednich trójkątów prostokątnych.

4.128. Na trójkącie prostokątnym opisano okrąg o środku w punkcie O. Przeciw prostokątna tego trójkąta ma długość c, c> 0. Da) Wykaż, że odległość punktu O od punktu S, będącego środkiem ciężkości tego trójkąta, jest równa b) Wyznacz promień tego okręgu wiedząc, że odcinek OS jest o 10 cm krótszy od przeciwprostokątnej.

4.127. W pewnym trójkącie kąt przy wierzchołku A jest dwa razy większy od kąta przy wierzchołku B. Wyznacz stosunek długości boków tego trójkąta, jeśli środek okręgu opisanego na trójkącie ABC: a) należy do boku AB b) należy do boku BC.

4.126. Na trojkącie prostokątnym opisano okrąg o promieniu 10. Wiedząc, że wy- sokość tego trójkąta poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa 8 cm, oblicz długości boków tego trójkąta, 4.127. W pewnym trójkącie kąt przy wierzchołku A jest dwa razy większy od kąta

4.125. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostoką jest równa 4 cm. Spodek tej wysokości leży w odległości 1 cm od środka przeci 6 prostokątnej. Oblicz: a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, b) długości boków tego trójkąta. 4. Geometria płaska okręgi i koła 141

4.124. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 65 a wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa 60 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

4.122. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przy prostokątne mają długość. a) 2 cm 12 cm b) 24 cm i 7 cm c) 60 cm i 11 cm.

4.121. Wysokość trójkąta równobocznego jest o 3 cm dłuższa od promienia okrę gu opisanego na tym trójkącie. Oblicz dlugość boku trójkąta.

4.119. Dane są długości boków a, b, c trójkąta. Jak jest położony względem tegs trójkąta środek okręgu opisanego na tym trójkącie, jeśli: a) a = 13, b = 12, c=5 b) a = 6, b = 24, c = 25 d) a = 5, b = 6, c = 7? c) a = 5, b=6, c=8

4.118. Na trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg o środku S. Wykaż, że 4 cm a) jeśli punkt S należy do jednej z wysokości trójkąta, to ten trójkąt jest równo ramienny, b) jeśli punkt 5 dzieli wysokość trójkąta w stosunku 2: 1, licząc od wierzchola trójkąta, to ten trójkąt jest równoboczny.

4.117. W trójkącie równoramiennym ABC kąt przy wierzchołku C jest równy 120 Symetralne boków trójkąta przecinają się w punkcie P. Wiedząc, że CP = oblicz długości boków trójkąta ABC. D4.118. Na trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg o środku S. Wykaż, że 4 cm

4.116. Wtrójkącie prostokątnym ABC, w którym CAB-90°,symetralna boku AB przecina ten bok w punkcie D, zaś bok BC w punkcie E. Wiedząc, że |AB| = 42 cm oraz |DE = 28 cm, oblicz obwód trójkąta ABC. 140 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 2. Zakres rozszerzony

4.113. W trójkącie ABC bok AB ma długość 16 cm. Punkt D jest spodkiem wy sokości poprowadzonej z wierzchołka C. Symetralna boku AB przecina bok CB w punkcie P w taki sposób, że |CP: PB = 1:2. Wiedząc, że odcinek tej symetralnej zawarty w trójkącie ma długość 6 cm, oblicz: a) wysokość CD, b) obwód ABC, c) odległość punktu D od wierzchołka B, d) odległość punktu D od boku AC.

4.111. Punkt A należy do prostej prze- chodzącej przez punkty przecięcia dwóch okręgów o 10, Z punktu A poprowadzo no styczną do okręgu o, w punkcie B oraz styczne do okręgu o, odpowiednio w punk tach DC jak na rysunku obok. Wy każ, że jeśli DSA-80° oraz ACD-70°, to trójkąt ABC jest równoboczny. Symetralne boków trójkąta. Okrąg opisany na trójkącie

4.110. Na rysunku obok okręgi o środkach 0,10, przecinają się w punktach A i Q oraz punkt O należy do cięciwy AQ. Z punk- tu P, leżącego na prostej AQ, poprowadzono styczną do okręgu o środku 0, w punkcie C. Prosta PO, przecina okrąg w punkcie 8. Wie dząc, że PA = 8, PB = 6 oraz PC = 12, oblicz (0,0, 139 4 Geometria płaska – okręgi i koła

4.109. Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie A, przy czym mniejszy okrąg przecho dzi przez punkt 0, będący środkiem większego okręgu. Przez punkt O poprowadzono siecz ną mniejszego okręgu, która przecięła mniej- szy okrąg w punkcie B, a większy w punkcie C. Styczna do okręgu w punkcie A przecina się z tą sieczną w punkcie P. Wiedząc, że OB = √5 oraz |AP=10, oblicz: a) promień większego okręgu, c) długość cięciwy AB mniejszego okręgu.

4.107. Na rysunku obok boki AB 1 BC trójkąta ABC są styczne do okręgu o środku w punkcie 0, odpowiednio w punktach D i E. Odległość punktu C od punktu O jest równa 5. Okrąg przecina bok AC kolejno w punktach PiQ. Wiedząc, że PQ-PC)-2√2, oblicz a) promień okręgu, b) długości odcinków, na jakie punkt E dzieli bok BC.

4.105. Punkty A, B, C należą do okręgu. Styczna do okręgu w punkcie A przecina półprostą CB w punkcie P. Wykaż, że jeśli |PA: [PC| 3:5, to PB: BC-9:16. 137 138 Matematyka. Zbiór zadan Klasa 2. Zakres rozszerzony

4.103. Z punktu P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A dwie sieczne: jedna zawiera średnicę okręgu i przecina okrąg kolejno w punktach B i C; druga przecina okrąg kolejno w punktach D i E. Wiedząc, że |AP = 24, PB = 18 oraz PD: DE=3:1, oblicz: a) promień okręgu, b) długość odcinka PE.

4.101. W okręgu poprowadzono dwie cięciwy AB i CD, które przecięły się w punk cie P. Wiedząc, że AP = 10 cm, BP = 4 cm oraz |PD = 2,5 cm, oblicz CP

4.97. Proste AB AC styczne w punk- tach B C do okręgu o środku w punk- cie O. Punkt D leży na łuku BC, wewnątrz trójkąta ABC, jak na rysunku poniżej. Wykaż, że suma

4.93. Dwa okręgi o równych promieniach przecinają się w punktach A i B w tak sposób, że jeden przechodzi przez środek drugiego. Przez punkt A poprowadzono sieczną tych okręgów, która przecięła okręgi w punktach CiD. Wykaż, ze punkty 8, C, D są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

4.92. Na rysunku obok dany jest okrąg o środku w punk- cie O oraz kąty środkowe a i B. Wykaż, że jeśli a = 80° iẞ=50%, to OC ||AB.

4.90. Dwa okręgi przecinają się w punktach P Q. Poprowadzono średnicę PA w pierwszym okręgu oraz średnicę PB w drugim okręgu. Wykaz, ze punkty A, Q, B są współliniowe. 136 Matematyka Zbiór zadań Klasa 2. Zakres rozszerzony

4.89. Wewnątrz równolegloboku narysowano dwa półokręgi: średnicą jedne- go jest krótszy bok, a średnica drugiego – dłuższy bok równoległoboku. Wykaż, że punkt przecięcia tych półokręgów różny od wierzchołka równolegloboku należy do jednej z przekątnych tego równolegloboku.

4.88. Cięciwy AB i CD są różnymi średnicami jednego okręgu. Wykaż, że czwo rokąt ABCD jest prostokątem.

4.86. Punkty A, B, C należą do okręgu. Wiedząc, że kąty trójkąta ABC są równe: 48=45°,

4.84. Punkty P, P2 P3 P₂ P5 P6, P, PP, należą do okręgu i dzielą okrąg w danej kolejności na dziewięć łuków równej długości. Oblicz a) RPP b)