Autor: usrob

4.83. Dany jest okrąg o środku w punkcie O i promieniu r. Oblicz długość łuku, na którym jest oparty kąt środkowy a w tym okręgu, jeśli. a) r = 15, α = 72 d) r = 28, α = 30° b) r = 10, α = 216° c) r = 4, a = 135° e) r = 13, α = 270°

4.82. Oblicz miarę kąta środkowego, opartego na luku okręgu o promieniu r, jeśli tego łuku jest równa d. a) r = 2, d=x b) r = 3, d = 2n c) r = 4, d = 5% d) r = 5, d = 3x e) r = 6, d=6 f) r = 8, d = 40

4.81. Dany jest okrąg o środku w punkcie O. Korzystając z danych na rysunku, oblicz a a) 120 b) c) 2t+140 4. Geometria płaska – okręgi koła 135

4.80. Dany jest okręg o środku w punkcie O. Korzystając z danych na rysunku, wyznacz miary kątów trójkąta ABC. a) b) c) B 110

4.78. Dany jest okrąg o środku w punkcie O. Korzystając z danych na rysunku, wyznacz miarę kąta a. a) 214 b) 32 c) 43 37 d) 83 38 95 56 134 Matematyka Zbiór zadan Klasa 2. Zakres rozszerzony

4.77. Przez punkt wspólny dwóch przecinających się okręgów o środkach O, 10, poprowadzono sieczną równoległą do prostej 0,0,. Przecięła ona jeden okrąg w punkcie A, natomiast drugi w punkcie B. Wykaz, že 10,0,|-|AB| Koła i kąty

4.76. Na rysunku obok dwa przystające okręgi o io, są styczne zewnętrznie w punkcie i jednocześ nie styczne wewnętrznie do okręgu o(0, r), Wykaż, że okrąg o styczny zewnętrznie do okręgów 0,, 0: i jednocześnie styczny wewnętrznie do okręgu o(0,r), ma promien równy 3

4.75. Dwa okręgi o promieniach równych 5 8 są styczne zewnętrznie w punkcie? Prosta k jest styczną zewnętrzną obu okręgów odpowiednio w punktach A B. Pro sta / jest styczną wewnętrzną obu okręgów przecina się z prostą k w punkcie Oblicz: a) długość odcinka AB b) długość odcinka CP. Geometria płaska-okregi i kota 133

4.72. Dwa okręgi o promieniach równych 2 cm 3 cm są styczne zewnętrznie Dwie proste, z których każda jest styczną zewnętrzną obu okręgów, przecinają się w punkcie A. Oblicz odległość punktu A od środka mniejszego okręgu.

4.70. Dane są dwa okręgi o(A, 3) oraz o(B, m-4). Odległość między ich środkam jest równa 7. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których te okręgi mają: a) jeden punkt wspólny b) dwa punkty wspólne.

4.69. Dane są dwa okręgi o(A, r), o(B, r) takie, że: a) -2, -3, AB-k b) r-kr-k-148-5 4)-3, 24, 48-4 d)-5-kr,-k1, 48-2. Określ położenie okręgów w zależności od wartości parametru k.

4.68. Dane są dwa okręg współśrodkowe. Cięciwa większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu, a jej długość jest równa 30 cm. Oblicz promienie tych okrę gów wiedząc, że różnią się o 9 cm. Matematyka Zbiór zadan. Klasa 2. Zakres rozszerzony 132

4.66. Trzy okręgi o promieniu r są styczne zewnętrznie, każdy do dwóch pozosta- łych. Wyznacz długości boków i miary kątów trójkąta, utworzonego przez punkty styczności. Dwa okręgi o(A, r) io(B, ra) są styczne zewnętrznie do siebie i oba są stycz- ne wewnętrznie do okręgu o(C, rs). Obwód trójkąta ABC wynosi 25 cm. Oblicz rg.

4.65. Wyznacz promienie okręgów wiedząc że, gdyby te okręgi były styczne ze- wnętrznie, to odległość między ich środkami byłaby równa 15 cm; a gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość między ich środkami byłaby równa 3 cm. Wyznacz promienie tych okręgów.

4.64. Dwa okręgi są styczne wewnętrznie. Odległość między ich środkami jest równa 3 cm. Wyznacz promienie tych okręgów, jeśli: a) jeden z nich jest dwa razy krótszy od drugiego, b) suma długości promieni jest równa 17 cm.

4.63. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość między ich środkami wyno si 12 cm. Wyznacz promienie tych okręgów, wiedząc, ze: a) jeden z nich jest o 2 cm dłuższy od drugiego, b) jeden z nich jest trzy razy krótszy od drugiego.

4.62. Określ wzajemne położenie okręgów o (A, r) io (8, r), jeśli |AB) = 8 oraz a)-1,-9 e) -√8,5-11 b) r, 3, 5 d) r₁ = 5, r₂ = 13

4.61. Dany jest okrąg o promieniu r i prosta, której odległość od środka okręgu 131 jest równa d. Zbadaj położenie prostej k i okręgu o w zależności od a a) r = 4, d=0-3 c) r=-a, d=6+a b) r = 0, d=8-a d) ra-1, d=a+1 Wzajemne położenie dwóch okręgów

4.60. Do danego okręgu poprowadzono styczną tak, że końce A, B średnicy teg okręgu są odległe od stycznej o 25 cm i o 15 cm. Oblicz promień tego okręgu. 4 Geometria płaska – okręgi i koła

4.59. Z punktu A poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku O promieniur Półprosta AO przecina okrąg w dwóch punktach P Q. Wykaż, że jeśli odległość punktu Q od poprowadzonych stycznych jest dwa razy większa niż odległość punk 1 tu P od tych stycznych, to r ==|AP.

4.57. Miara kąta utworzonego przez dwa promienie okręgu jest równa a. Pod jakim kątem widać ten okrąg z punktu przecięcia stycznych do okręgu, poprowa dzonych z końców tych promieni, jeśli a) a = 45° b) a =60° α= c) a = 100° d) a = 141°? 4.58. 7 punktu

4.54. Wskaz na rysunku obok trzy pary odcinków równej długości wiedząc, že proste AC, EC, BD są styczne do okrę gu odpowiednio w punktach A, E, F. 4.55. Proste AE, AD i BC są do okręgu. Wiedząc, że AD= 17 cm, oblicz obwód trój kąta ABC. 4.56. Okrąg na rysunku obok jest styczny do wszystkich boków trójkąta ABC, w którym (AC)= [BC], odpowiednio w punk tach D, E, F. Wiedząc, ze (AB) = 15 cm oraz [BC] = 19,5 cm, oblicz długość odcinka FC.

4.53. Dany jest promień r okręgu o i odległość d środka okręgu o od prostej k. Ustal położenie prostej k oraz okręgu o. a) d=2√3 b) r = л, d = 90,5 d) r = log,8, d = 3 130 Matematyka Zbiór zadań Klasa 2 Zakres rozszerzony

4.52. Wyraź w procentach (z dokładnością do 1%), jaką część okręgu stanowi luk okręgu o promieniu r, jeśli długość łuku jest równa d a) r = 3 cm, d = cm c) r = cm, d = cm b) r=5 cm, d = 20 cm e) r = √3 dm, d = √12x dm d) r = 0,25% dm, d = 6 cm f) r=0,4 m, d = √5 dm

4.51. Cięciwa CD okręgu jest prostopadła do średnicy AB i przecina ją w punk cie P w stosunku 9:1 Wiedząc, że odległość punktu P od środka okręgu jest równa 4 cm, oblicz: a) długość okręgu b) długość cięciwy CD

4.50. Cięciwa CD okręgu jest równoległa do średnicy AB, a odległość między nimi jest równa 5 cm. Wiedząc że różnica długości tych cięciw jest równa 2 cm, oblicz długość tego okręgu.

4.49. Promień okręgu jest równy 17 cm Oblicz długość cięciwy tego okręgu, która znajduje się w odległości 8 cm od środka okręgu

4.47. W kole poprowadzono średnicę AB i cięciwę AC. Wiedząc, że BC JAC 1|BC = 7 cm, oblicz odległość cięciwy AC od środka koła.

4.46. Naszkicu okrąg i zaznacz na nim punkty A, B IC. a) ile cięci ile fuków wyznaczają te punkty? Wskaz te cięciwy i luki b) lle cięci ile tuków wyznaczają cztery punkty położone na okręgu?

4.44. W trójkącie ABC poprowadzono środkowe BD CE, które przecięły się w punkcie S. Wykaż, że a) półprosta AS dzieli odcinek DE na połowy, b) prosta równolegla do odcinka DE i przechodząca przez punkt S dzieli boki AB IAC w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka A, c) odległość punktu S od dowolnego boku jest równa wysokości poprowadzone na ten bok. 3 D W trapezie ABCD podstawy AB i DC mają odpowiednio długość a i b, gdzie a> b. Ramiona AD i BC przedłużono do punktu P. Punkty E F są odpowiednio środkami ramion AD i BC. a) Korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wykaż, że ED ||AB b) Korzystając z wniosku z twierdzenia Talesa wykaż, że FD=- c) Niech przekątne AC1 BD przecinają odcinek ED odpowiednio w punktach Kil 2 a-b 2 a+b Wykaż, że punkty Ki są tych przekątnych oraz |KL=” 4. Geometria płaska – okręgi i koła 129 Okrąg. Położenie prostej i okręgu

4.42. W trójkącie prostokątnym ABC, C-90°, poprowadzono wysokość co Wykaż, że: a) (AC)²= |AB|-|AD b) BC= |AB|-|DB

4.41. W trójkącie ABC bok AB jest najdłuższy Na boku AB zaznaczamy punkty C ic, w taki sposób, że AC, AC oraz BC= BC. Wykaż, że jeśli CCC-40 to ACB-100

4.40. W trójkącie ABC, w którym |

4.39. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, których długości pozostają w stosunku 9: 16. Wiedząc, że ob wód trójkąta jest równy 30 cm, oblicz długości przyprostokątnych. 128 Matematyka Zbiór zadań. Klasa 2: Zakres rozszerzony

4.36. Podstawy trapezu mają długość 4 cm i 12 cm, a jego przekątne mają długość 10 cm oraz 8 cm. Oblicz długości odcinków, na jakie punkt przecięcia przekątnych dzieli te przekątne. 4.37. W trójkącie równoramiennym boki mają długość: 18 cm, 15 cm, 15 cm. a) Oblicz odległości środka wysokości poprowadzonej na podstawę od boków tego trójkąta. b) Jaka jest odległość spodka tej wysokości od ramion trójkąta? 4.38. Najkrótsza wysokość trójkąta prostokątnego jest równa 8 cm, a najdłuższa 1 wynosi 13 cm. Oblicz obwód tego trójkąta. 3

4.35. Boki trapezu ABCD, AB || DC, mają długość: |AB|= 21 cm, BC = 8 cm, DC= 14 cm, AD = 5 cm. Proste AD i BC przecinają się w punkcie P. Oblicz ob- wód trójkąta ABP. 4.36. Podstawy

4.34. Boki trójkąta ABC mają długość: BC= a, AC-b, ABc. Trójkąt A,B,C, jest podobny do trójkąta ABC, a jego boki mają odpowiednio długość: (B,C,a+4, A,C,b+6, A,B,c+8. a) Wykaż, że a: b:c=2:3:4. b) Wiedząc dodatkowo, że obwód trójkąta ABC jest równy 27 cm, oblicz skalę podobieństwa trójkąta A,B,C, do trójkąta ABC. 4.35.

4.32. Boki trójkąta ABC mają długość: 8 cm, 10 cm, 12 cm. Trójkąt A,B,C, jest podobny do trójkąta ABC w skali Oblicz obwód trójkąta A,B,C,. 3 4.33. Trójkąt A,B,C, jest podobny do trójkąta

4.31. Trójkąt ABC jest równoboczny, a jego bok ma długość a, a > 1. Punkt D 127 należy do boku AC oraz |AD = 1. Na przedłużeniu boku BC poza punkt C leży punkt P. Wykaz, że jeśli |CP = 1, to trójkąt DBP jest równoramienny. 4.32. Boki trójkąta ABC mają długość: 8 cm, 10 cm, 12 cm. Trójkąt A,B,C, jest podobny do trójkąta ABC w skali

4.28. Oblicz długości środkowych trójkąta, którego mają długość: 16 cm 17 cm, 17 cm. D 4.29. W trójkącie ABC poprowadzono środkową AD. Punkt E jest środkiem o cinka AD. Półprosta CE przecina bok AB w punkcie P. Wykaż, że (PB)=2(AP D 4.30. W trójkącie ABC poprowadzono środkową AD. Wykaż, że jeśli suma ma kątów DAC ACB jest równa mierze kąta ADC, to trójkąt DBP jest równoramienny 4. Geometria płaska – okręgi i kota

4.27. Boki trójkąta mają długość, 9 cm, 12 cm, 15 cm. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta: a) od dwóch jego krótszych boków, b) od wierzchołków tego trójkąta.

4.26. Oblicz długości odcinków, na jakie środek ciężkości trójkąta dzieli środkową tego trójkąta poprowadzoną na podstawę, jeśli: a) trójkąt jest równoboczny, a jego obwód jest równy 18, b) trójkąt jest prostokątny równoramienny, a jego ramiona mają długość 3.

4.25. W trójkącie ABC boki mają długość: AB 18 cm, BC = AC = 15 c Oblicz: a) wysokość CD tego trójkąta, b) długość środkowej AE, c) długość odcinka DE.

4.24. Boki trójkąta mają długość 21 cm, 17 cm, 10 cm. a) Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. b) Oblicz długości trzech wysokości tego trójkąta

4.23. Stosunek długości krótszych boków trójkąta prostokątnego jest równy 3:4 Wiedząc, że obwód tego trójkąta wynosi 36 cm, oblicz: a) długości boków tego trójkąta, b) długość środkowej trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.

4.22. Boki trójkąta mają długość: 20 cm, 16 cm, 12 cm. Da) Wykaż, że trójkąt jest prostokątny. b) Oblicz sumę długości wszystkich wysokości tego trójkąta

4.21. Kąty a, B, y trójkąta różnią się kolejno o 30°. Da) Wykaż, że trójkąt jest prostokątny. b) Oblicz obwód tego trójkąta wiedząc, że różnica długości najdłuższego i najkrót szego boku tego trójkąta jest równa 4 cm. Wynik zaokrąglij do pierwszego miej sca po przecinku. 126 Matematyka. Zbiór zadań Klasa 2 Zakres rozszerzony

4.20. W trójkącie prostokątnym równoramiennym najkrótsza wysokość ma dłu gość 2 cm. a) Oblicz boków tego trójkąta. c) Punkt M należy do przeciwprostokątnej tego trójkąta dzieli ją w stosunku 1:3. Oblicz odległości punktu M od przyprostokątnych.

4.19. trójkąta równobocznego jest o 2 krótsza od boku. a) Oblicz długość boku tego trójkąta. Wynik przedstaw w postaci a + b√c, gdzie a, b, c EN.. b) Jaki obwód ma trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków danego trójkąta?

4.18. Punkt D leży na przedłużeniu bo ku AB trójkąta ABC poza punkt B. Z punk- tu D poprowadzono prostą prostopad- tą do boku AC, która przecięła bok BC w punkcie E. Wykaz, że jeśli |BD = |BE. to trójkąt ABC jest równoramienny D