Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA′B′C′D′ jest romb ABCD. Przekątna AC′ tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘, a przekątna BD′ jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 45∘. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Punkty A=(−2,−8) i B=(14,−8) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB|=|AC|. Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y=1/2x−7. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta.
Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość 26−−√. Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.
Ze zbioru liczb 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę (a,b), gdzie a jest wynikiem pierwszego losowania, b jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par (a,b) takich, że iloczyn a⋅b jest liczbą parzystą.
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od 20, jest równe
A.1/6 B.5/36 C.1/9 D.2/9
Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A′B′C′ w skali 52, przy czym |AB|=52|A′B′|. Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta A′B′C′ jest równy
A.425 B.25 C.52 D.254
Punkty A=(−21,11) i B=(3,17) są końcami odcinka AB. Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi Ox układu współrzędnych jest odcinek A′B′. Środkiem odcinka A′B′ jest punkt o współrzędnych
A.(−9,−14) B.(−9,14) C.(9,−14) D.(9,14)
Prosta przechodząca przez punkt A=(−10,5) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu
A.y=−2x+4 B.y=1/2x C.y=−1/2x+1 D.y=2x−4
Odcinek BD jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego ABC trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 5 i 3.Wówczas miara φ kąta DBC spełnia warunek
A.20∘<φ<25∘ B.25∘<φ<30∘ C.30∘<φ<35∘ D.35∘<φ<40∘
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x−3)(7−x). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej o równaniu
A.y=−5 B.y=5 C.y=−4 D.y=4
Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDSABCDS jest równa 1212 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt αα taki, że tgα=25√tgα=25. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Środek okręgu leży w odległości 10cm10cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 22cm22cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.
W ciągu arytmetycznym (a1,a2,…,a39,a40)(a1,a2,…,a39,a40) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 13401340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 14001400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.
Przekątne rombu ABCDABCD przecinają się w punkcie S=(−212,−1)S=(−212,−1). Punkty AA i CC leżą na prostej o równaniu y=13x+52y=13x+52. Wyznacz równanie prostej BDBD.
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia AA polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru {1,3,5,7,9}{1,3,5,7,9} i jednocześnie cyfrę jedności, która należy do zbioru {0,2,4,6,8}{0,2,4,6,8}.
Wierzchołki AA i CC trójkąta ABCABC leżą na okręgu o promieniu rr, a środek SS tego okręgu leży na boku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta BCBC jest styczna do tego okręgu w punkcie CC, a ponadto |AC|=r3–√|AC|=r3. Wykaż, że kąt ACBACB ma miarę 120°
W grupie 6060 osób (kobiet i mężczyzn) jest 3535 kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej osoby jest takie samo. Prawdopodobieństwa zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy mężczyznę, jest równe:
