Blog

8.194. Dany jest wielomian W(x) = (x + 1) [x²+ (p+ 3)x+9] Ustal krotność pierwiastków tego wielomianu, ze względu na wartość parametru p, p = R.

8.193. Dany jest wielomian W(x) = (2x-k) (k + 3)x-4x+k], gdzie k -3. a) Dla k = 0 podaj pierwiastki wielomianu W(x) i ustal ich krotność. b) Wyznacz wartość k tak, aby wielomian W(x) miał pierwiastek trzykrotny. Jaki to pierwiastek?

8,192. Dany jest wielomian W(x)=(3x²-x-2)(kx + 2), gdzie k +0. a) Dla k = -2 podaj pierwiastki wielomianu W(x) i ustal ich krotność. 2 b) Dla jakiej wartości k liczba – jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu 3

8.191. Liczba m jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x). Wyznacz liczby a, b, c, jeśli: a) W(x)=x³-3x² + ax + bx² + cx-1, m=1 m = -2.

8.190. Liczba k jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x). Wyznacz liczby aib, jeśli a) W(x)=x 2x² + ax + b, k=1 b) W(x)=x+x³-3x²+ (a b)x + a 2b, k=-1.

8.189. Liczba p jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x). Obliczaib, je a) w(x)-x-ax + bx+12, b) w(x) = x + (a – b)x+(a + b)x² + 8x + 8, p = -2. P=2 Wielomiany 247

8.188. Wielomian W(x) ma jeden pierwiastek trzykrotny. Oblicz a ib, jeś a) w(x) = x²+ ox² + bx-1 c) W(x)=27x+ ax + bx+8 b) w(x) = x²+6x² + ax + b d) W(x) = 8x² + ax² + 150x + b,

. 8.187. Wyznacz liczbę a wiedząc, że wielomian W(x) ma jeden pierwiastek dwukrotny, a) W(x)=(4x+12x+)x c) W(x) = x²-8x+x b) W(x) = x² + ax² + 25x d) W(x)–4x+4x+ax”

8.186. Podaj przykład wielomianu stopnia siódmego o współczynnikach całkowitych, który ma tylko trzy pierwiastki: 3, 4 oraz 2 przy czym 4 jest pierwiastkiem jedno- krotnym, pierwiastkiem dwukrotnym, a 3 – pierwiastkiem czterokrotnym.

8.185. Podaj przykład wielomianu stopnia ósmego, który ma tylko dwa pier wiastki: -314, przy czym -3 jest pierwiastkiem trzykrotnym, a 4 jest pierwiastkiem jednokrotnym.

8.184. Wykaż, że liczba p jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu w(x) a) W(x)=x-6x+13x-14x²+12x-8, p=2 b) W(x)=27×5-27x+36x-28x²+9x-1, p=

8.183. Wykał, że liczba c jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w(x). b) W(x)=x+6x+9x²+5x² + 30x + 45, c=-3

c = 1

8.182. Wykał, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Następnie okre

krotność tego pierwiastka.

a) W(x)=6x+3x²+10x + 5,

1 2

b) W(x)=x+4x+4x-6x-24x-24,

a=2

8.181. Wielomian W(x) jest stopnia drugiego i ma pierwiastek dwukrotny, równy 2. Czy wielomian P(x) = w(x)](x-4) ma pierwiastek wielokrotny? Jeśli tak, to podaj jego krotność. 246 Matematyka Zbiór zadań Klasa 2 Zakres rozszerzony

8.180. Wielomian W(x) jest stopnia trzeciego ma trzy pierwiastki: -2, -1 oraz 4. Czy wielomian P(x) = w(x) (x + 3x² + 3x + 1) ma pierwiastki wielokrotne? Jeśli tak, podaj ich krotności.

8.179. Podaj pierwiastki wielomianu W(x) i określ krotność każdego z nich. a) w(x) = (x² + 4x + 4)(x²+6x² + 12x+8)(x²-4) b) W(x) = (8x-12x²+6x-1) (1-4×2) (8x-1)

8.178. Podaj pierwiastki wielomianu W(x) i określ krotność każdego z nich. a) W(x) = (2x-1)(x² + 8)(x-9)² b) w(x) = (3x+2)(9x² + 12x + 4) (4-9×2)(x+5) c) w(x) = (x²-4)3(x²-x-6)(x-9) d) w(x) = (x3-27) (2x-3x-9)(x-3x)(2x+3)

8.177. Wykaż, że dana liczba jest naturalna a) √√26+15√3-√√26-15√3 6) √/17/5 + 38 → 3 38-17√5-38 Pierwiastek wielokrotny

8.176. Wykaż, że dana liczba jest niewymierna, a) 4/5 b) 23 c) 4 d) 2

8.175. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W(x), jeśli a) W(x) = x²+ 2x²-3x-10 b) W(x)=3x+8x²+3x-2 c) w(x) = -2x² + 28x-16 e) W(x)=x-2x² + 4x²-6x+3 d) W(x)=x+2x²-15x-36 8) W(x)=2x+5x-4x²-15x-6 f) W(x)=2x+4x-24 h) w(x)=x+3x-12x²-13x-15.

8.174. Wyznacz wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu w(x), jeśl c) W(x)=12x+22x² + 12x + 2 b) W(x)-x-8x+5x+14 d) w(x) = x²+ 2 1 1 3 4 6 e) w(x) = 2x* 17 5 12 22 5 5 x+ 3 W(x) = x²+= x²-x+) 3 16 Wiedz 8. Wielomiany 245

8.172. Wykaż, że wielomian W(x)=x-2x+3x²+4x-10 nie ma pierwiastków wymiernych D Wykaż, że wielomian W(x)=2x+x²-4x 3 ma tylko pierwiastki wymiere a) W(x) = x³-19x+30

8.171. Wyznacz wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu W(x), jeśli a) W(x)=5x+4x² + 4x-1 b) W(x)-6x+x+4x²+x-2 c) w(x)=12x-8x-29x+15 d) W(x) 8x+12x²-2x-3 e) W(x)=3x+11x+9×2-x-2 f) w(x) = 6x + x³-13x²-2x+2

8.170. Wielomian W(x)=x-ax-x+5 ma trzy całkowite pierwiastki. ze a jest liczbą pierwszą, wyznacz pierwiastki wielomianu W(x).

8.169. Współczynniki ai b wielomianu W(x)=x+ ax + bx²-5x+ 6 są liczbam całkowitymi, a dwa pierwiastki wielomianu W(x) są liczbami pierwszymi. a) Oblicz a i b. b) wykaż, że wielomian W(x) ma tylko dwa pierwiastki.

8.168. Wykaż, że jeśli o € Z oraz wielomian W(x)=x+ax²+x-12 ma pierws stek, który jest nieparzystą liczbą pierwszą, to reszta z dzielenia wielomianu W przez x-1 jest równa-12.

D 8.167. Wykaż, że jeśli a e Z oraz wielomian W(x) = x + 2x-4x+ax-1 ma dwa pierwias ma pierwiastek, będący liczbą pierwszą, to wielomian W(x) całkowite.

8.166. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W(x) wiedząc, że ten wielom ma pierwiastek całkowity. b) W(x) = 3x² + 8x²+3x-2 a) W(x)=x+2x-3x-10 c) W(x)=x+2x-15x-36 e) W(x)=2x+4x-24 d) W(x)=2x+28x-16 f) W(x)=x-x+2x² – 2x²+x-1 W(x)-4′–’ + '+x-2h) W(x)+×+

8.165. Wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu W(x). a) w(x) = x²-x+2 4 2 બે તારા સાસ +5x+12 Matematyka. Zbiór zadań Klasa 2 Zakres rozszerzony 244

8.164. Wykaż, że wielomian W(x) = x+6x+3x-10 ma tylko całkowite pierwiastki.

D8.163. Wykaż, że wielomian W(x)=4x+4x+11x-x-3 nie ma pierwiastków całkowitych.

8.162. Wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu W(x), jeśli: a) w(x) = x² + 4x²+x-6 b) W(x)=2x-2x-2x-4 c) w(x)-2x-5x-2x+5 d) W(x) 3x 7x-4 e) W(x)=x+x³-11×2-9x+181) W(x)=5x+15x-19x²+3x-4.

8.161. Wielomian W(x)=x-14x+ 56x-64 ma trzy pierwiastki x1, X2, X takie, tex; = ax₁ oraz x₁ = a’x₁, gdzie a 0. Wyznacz liczbę o oraz pierwiastki wielo- mianu W(x). Pierwiastki wymierne wielomianu

8.160. Wielomian W(x)=x-9x+ (b-5)x-15 ma trzy pierwiastki X, X2, X takie, że x=x1+ a oraz X-X+ 20, gdzie a 0. Wyznacz liczby aib oraz pier- wiastki wielomianu W(x).

8.159. Wielomian W(x) = x + ax + bx-27 ma trzy pierwiastki x1, X2, X₁ takie, tex:=-3x, oraz X₁ = 9×1. Wyznacz: a) pierwiastki wielomianu w(x) b) liczby alb.

8.158. Wielomian W(x)x-9x+ mx + n ma trzy pierwiastki x1, X2, X, takle, le X X + 2 oraz XsXj+ 4, Wyznacz: a) pierwiastki wielomianu w(x) b) liczby min.

8.157. Wielomian W(x) jest czwartego stopnia, a suma wszystkich jego wspo czynników wynosi 4. Wyznacz wzór tego wielomianu wiedząc, że jest on podziel przez wielomian P(x)=x-4x+x+6, a reszta z dzielenia wielomianu Wx pr dwumian x + 2 jest równa -140. 1 2 a. Wielomiany 243

8.156. Wielomian W(x) jest trzeciego stopnia. Pierwiastkami wielomianu W są liczby. -2, 1 4. Wiedząc, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumia x + 1 jest równa 30, zapisz wzór wielomianu W(x) w postaci uporządkowanej

8.155. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n wielomian -1+ (n-1)x²+nx + 2 jest podzielny przez dwumian x + 1 W(x) = x²-1

D 8.154. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n wielomian W(x)=nx-(n-1)x” – 1 jest podzielny przez dwumian x-1

8.153. Oblicz wartości współczynników aib wielomianu W(x) wiedząc, że wie lomian ten jest podzielny przez podany obok trójmian kwadratowy P(x). Poda wszystkie pierwiastki wielomianu w(x). a) W(x) = x² + ax²- bx +6 P(x)=(x-1)(x-2) b) W(x)=3x+ ax²-15x+b P(x) = 3x² + 11x-4

8.152. Liczby x, ix, są pierwiastkami wielomianu W(x). Oblicz o ib. Następnie znajdź trzeci pierwiastek wielomianu W(x).

X₁ = 1, x2 = 3

a) W(x)=x-(a+b)x-(-b)x+3, b) W(x) = 2x² + (a + b)x²+ (5b+ 2a)x – 8, X₁ = 4, X₂ =

8.151. Wielomian W(x) jest podzielny przez podany obok wielomianu dwumia Oblicz a. Następnie wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W(x). a) W(x)=4x³ + 5x² + ox−2, 1 x+- 4 b) W(x)=4x+6ax² + (4a+2)x-12, x-

8.150. Wyznacz liczbę a, dla której liczba c jest pierwiastkiem wielomianu W Dla obliczonej wartości a, podaj pozostale pierwiastki tego wielomianu. a) W(x)=x+2x²-x+0, b) W(x)=3x-(40+ 5)x²+ 28x-40,

8.149. Wykaż, że liczba c jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Następnie wyznacz postale pierwiastki wielomianu W(x), o ile istnieją. W(x) = x+2x+2x+4x-3x-6, b) w(x)=x-x+3x³-3x²+2x-2, C=-2 c = 1 W(x)=2x+2x-20x³- 20x² + 18x+18, c=-1 W(x)-x-2x-15x+ 30x-16x + 32, c=2 242 Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 2 Zakres rozszerzony

8.148. Dany jest wielomian W(x) liczba c. Wykaz, że liczba c jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Następnie wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu W(x), o ile a) W(x)=x-x-16x-20, c-2 b) w(x) = x³-x²-8x+8, c = 1 c) w(x) = 2x² + 7x² + 2x-3 c=-3 W(x)-x+5x+5x+25, c=-5

8.147. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W(x) wiedząc, że wielomian w(x) jest podzielny przez P(x), jeśli: a) w(x) = 3x² + 20x² + 11x – 6 P(x) = x + 1 b) w(x)=2x-10x²+10x-8 P(x)=x-4 W(x)-2x-3x-20x + 21 P(x)=x+3 d) W(x) 8x-6x-18x-4. P(x)=x-2 e) W(x) = x²-4x-3x + 18 P(x)=x -3 1) w(x)=x+2x-3 P(x)=x-1.

8.146. Wyznacz liczbę k, dla której wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian 2) W(x)=2x-(3k+ 2)²+ 6kx-18 b) w(x) = x² – (4k+ 3)x² + (6k-1)x + 25 P(x)=x+3 c) w(x) = 2x² + 3k²x² + kx-20 d) W(x) = x² + 2x² – K²x+5k + 7 P(x)=x-5 P(x)=x-2 P(x) = x + 3.

8.145. Sprawdź, nie wykonując dzielenia, czy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian P(x), jeśli: a) W(x)-x-3x+4x-12 P(x)=x -3 P(x) = x+2 b) W(x) = 2x-3x+2x²+x-14 P(x)=x-1 P(x)=x+1. d) W(x)=-3x+8x² + 4x² + 1

8.138. Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany x-2 ix + 4 daje resz- ty odpowiednio -3 oraz -51. Wiedząc, że wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x + 1, wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x)=x+3x-6x-8.