Blog

3.111. Firma ma 180 lokali użytkowych i zajmuje się wynajmem tych lokali na dzia łalność usługową. Obecnie wszystkie lokale są wynajęte, a miesięczna opłata za wy najem kazdego lokalu wynosi 1200 zł Firma postanowila zoptymalizować swój mie sięczny zysk i wprowadzić podwyżkę. W tym celu oszacowano, że każda podwyżka ceny o 40 zl spowoduje zmniejszenie o 5 liczby wynajmowanych pomieszczeń. Jaką miesięczną cenę wynajmu kazdego lokalu powinna ustalić ta firma, aby jej byl największy? Ile wynosi ten największy miesięczny zysk?

3.110. Właściciel sklepu kupuje aparaty fotograficzne, placąc producento wi 1200 zł za sztukę. Następnie sprzedaje miesięcznie 40 sztuk takich aparatów po 1800 zł za sztukę. Sprzedawca oszacował, ze każda obniżka ceny aparatu o 1 w jego zwiększy liczbę sprzedanych aparatów o jedną sztukę Jaką powinien ustalić cene, aby jego miesięczny zysk byl największy? 10 zl

3.109. Na bokach kwadratu o polu 16 cm² zaznacza- my punkty K, L, M, N tak, że JAK JD-CM-BN. jak na rysunku obok. a) Oznacz literą x długość odcinków AK, DL, CM oraz BN. Napisz wzór funkcji pola czworokąta KLMN w zależności od x. Określ dziedzinę tej funkcji. b) Jak należy wybrać punkty K, L, M, N, aby pole czworokąta KLMN było najmniejsze? abrus D M B 92 Matematyka Zbiór zadań klasa 2 Zakres rozszerzony

3.105. Gospodarz chce siatką o długości 12 m wygrodzić na podwórku prostokątny wybieg dia psa, przylegający jednym bokiem do budynku. Jakie wymiary powinien mieć ten wybieg, aby jego pole powierzchni bylo największe? Oblicz powierzchnię tego największego wybiegu. 3.106. Strona

3.102. Z prostokątnego arkusza tektury o wymiarach 20 cm x 30 cm odcięto w ro kwadraty, których boki mają długość x cm. Następnie po zagięciu powstałych brzegów zbudowano prostopadłościenne (otwarte) pudełko, jak na rysunku ponie a) Wyznacz wzór funkcji opisującej pole powierzchni bocznej tego pu- dełka w zależności od długości boku wyciętego kwadratu; podaj dziedzi nę tej funkcji. b) Dla jakiej długości x pole powierzch ni bocznej pudełka jest największe z możliwych? Oblicz to pole. 3 Funkeja kwadratowa 91 3.103. S

3.101. Krótszy bok prostokąta o wymiarach 5 cm x 8 cm zwiększamy o x cm, a dłuższy bok zmniejszamy o x cm. a) Wyznacz wzór funkcji opisującej pole nowego prostokąta w zależności od x; podaj dziedzinę tej funkcji. b) Dla jakiej długości x pole otrzymanego prostokąta jest największe? Oblia to pole.

3.100. Większa część uczniów klasy liczącej 31 osób zachorowała na grypę. Zdrowi uczniowie postanowili wysłać chorym kolegom kartki z pozdrowieniami. Wiedząc że każdy zdrowy uczeń wyslal do każdego chorego kolegi kartkę, oraz że liczba wysła nych kartek była największa z możliwych, oblicz ilu uczniów zachorowało na grypę

3.97. Liczbę 100 przedstaw w postaci sumy takich dwóch liczb, których suma kwadratów jest najmniejsza 3.98. Liczbę 30 przedstaw w postaci różnicy takich dwóch liczb, aby suma ich kwadratów była najmniejsza. 3.99. Liczbę 18 przedstaw w postaci surny dwóch takich składników, aby suma ich sześcianów była najmniejsza.

3.96. Rzucono karnień z prędkością początkową 10 m/s pionowo do góry. Wyso kość S m, jaką osiągnie kamień po t sekundach, określona jest w przybliżeniu funkcją s(t) = 10t-51. Jaką maksymalną wysokość osiągnie ten kamień?

3.95. Pewne ciało w czasie r [s] przebylo 5(t)=1+5t + 8, gdzie t € (1,5) Oblicz a) długość drogi przebytej przez to ciało w ciągu czterech sekund b) średnią prędkość ciała 3.96. Rzucono

3.94. Funkcja f(x)- 2 opisuje wydajność pracy robotnika w zależno- ści od czasu pracy x, w ciągu 8-godzinnego dnia pracy. Robotnik rozpoczyna pracę o godzinie 700. O której godzinie jego wydajność jest największa? 90 Matematyka Zbiór zadan Klasa 2 Zakres rozszerzony drogę Sm, którą opisuje wzór 3.95. Pewne ciało

3.93. Tor lotu piłki przedstawiony na rysun- ku obok, opisuje wzór: h(x) = -0,25x + 2x, gdzie x = (0, 8). Na jaką maksymalną wyso kość wzniosła się pilka? Ay Im] y= g(x) 8 x[m] 3.94. Funkcja f(x)- 2

3.92. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej wiedząc, że w przedziale (-5, -3) funkcja ƒ przyjmuje największą wartość, równą 3 oraz f(x)>0xER-(-2). Badanie funkcji kwadratowej – zadania optymalizacyjne 3.93. Tor lotu

3.91. Największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale (-5,-4) jest rów na -14 Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że maksy malny przedział, w którym funkcja jest malejąca to (-1, 100) oraz f(1) = -4. 3.92. Wyznacz

3.90. Największa wartość funkcji kwadratowej f w przedziale (-3,0) jest równa 4, a najmniejsza wartość w tym przedziale jest równa 1. Wyznacz wzór tej funkcji w postaci ogólnej wiedząc, ze maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca, to (-oo,-2) 3.91. Największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale (-5,-4) jest rów

3.89. Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej/ jest liczba 2, a największa wan tość funkcji / w przedziale (10, 12) jest równa 10 Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej wiedząc, że jej wykres jest symetryczny względem prostej o równaniu x = 5.

3.87. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej wiedząc, że jej miej scami zerowymi są liczby 113, a najmniejsza wartość funkcji f w przedziale (-2, 0) jest równa -8. 3.88. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej wiedząc, że funkcja f ma tylko jedno miejsce zerowe, f(2) = f(10) oraz największa wartość funkcji f w prze dziale (8, 9) jest równa -2.

3.86. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej wiedząc, że jej zbio- rem wartości jest przedział (-0, 6), największa wartość funkcji f w przedziale 3 Funkeja kwadrittowa 89 a (-7,-5) jest równa 4, a osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x+3=0

3.84. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że w prze dziale (1, 2) funkcja f przyjmuje największą wartość równą 5, a jej wykresem jest parabola wierzchołku W(3,2). 3.85. Wyznacz wzór funkcji kwadratowe) f w postaci ogólnej wiedząc, że funkcja przyjmuje wartości ujemne wtedy tylko wtedy, gdy x = (-2, 4), a największa war tość funkcji ƒ w przedziale (3, 6) jest równa 4. 3.86. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej wiedząc, że jej zbio- rem wartości jest przedział (-0, 6), największa wartość funkcji f w przedziale 3 Funkeja kwadrittowa 89 a (-7,-5) jest równa 4, a osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x+3=0

3.83. Funkcja kwadratowa ƒ ma następujące własności: f(-3) = 0 oraz f(-1)=f(5)=3. a) Czy funkcja kwadratowa ma wartość najmniejszą, czy największą? Dla jakiego argumentu ta wartość jest przyjmowana? b) Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale (5, 7). 3.84. Wyznacz wzór

3.82. Funkcja kwadratowa ƒ opisana jest wzorem f(x)=-3x²-12x + 96. a) Czy funkcja ƒ ma wartość najmniejszą, czy największą? lle ta wartość wynosi dia jakiego argumentu jest przyjmowana? b) Bez obliczania wartości funkcji uzasadnij, ze f(√3)

3.81. Nie szkicując wykresu funkcji kwadratowej, oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale, jeśli: b) f(x)=-2(x-1)² + 91(x)=45x(-2,-1) f(x)=√3(x-2)(x+8), x(-2.1) 3.82. Funkcja kwadratowa ƒ opisana jest wzorem f(x)=-3x²-12x + 96.

3.80. Naszkicuj wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu najmniejszą oraz r wartość funkcji w podanym przedziale, jeśli: największą ) (+)-3(x-3)*(-1.0) (+)-2-2 +2, (24) 3.81. Nie

3.79. Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f. Od- czytaj z wykresu najmniejszą oraz największą wartość funkcji f w podanym przedziale. a) (1.4) b) (3,4) -3-2-11 234 -2-1 -2 )(-4,-2) 0 d) (0,3) 1 1 -8-7-6-5-4–2- 4-3-2-1 y=f[x 88 Matematyka Zbiór zadań Klasa 2 Zakres rozszerzony

3.78. Funkcja kwadratowa f(x) = ax + bx + c ma dwa miejsca zerowe 2 oraz 3. Wyznacz wartości współczynników a, b, c wiedząc, że ich suma jest równa – 4. Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym 3.79. Na poniższym r

3.77. Średnia arytmetyczna miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx, a = 0, jest równa 3. Rzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f, wy- nosi 36. Wyznacz wartości współczynników a i b. 3.78. Funkcja kwadratowa f(x) = ax + bx + c ma dwa miejsca zerowe 2 oraz 3. Wyznacz wartości współczynników a, b, c wiedząc, że ich suma jest równa – 4. Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

3.75. Funkcja kwadratowa / przyjmuje wartości nie większe od 18 wtedy i tylko wtedy, gdy x = (-0, 0) (6, too), Wyznacz wzór tej funkcji w postaci ogólnej wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji należy do prostej a równaniu y 24. 3.76. Funkcja kwadratowa f(x)= ax + bx+12, a 0, dia argumentu 3 przyjmuje najmniejszą wartość, równą B. Wyznacz wartości współczynników a i b.

3.73. Wyznacz wzór funkcji ƒ w iloczynowej wiedząc, prosta równaniu y = 90 przecina wykres tej funkcji w punktach o odciętych -5 oraz-1, zaś największa wartość tej funkcji jest równa 98. 3.74. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej ƒ w postaci iloczynowej wiedząc, że suma jej miejsc zerowych jest równa 3, zbiorem wartości funkcji ƒ jest przedział -6- wykres tej funkcji przecina oś OY w punkcie o rzędnej -6. Funkcje kwadratowa 87

3.71. Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej ƒ jest liczba 4, a najmniejsza wartość tej funkcji jest równa -144,5. Napisz wzór funkcji kwadratowej ƒ w po staci ogólnej wiedząc, że maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca to (-13, 100) 3.72. Punkt A(-6, 8) należy do wykresu tej funkcji kwadratowej f. Wyznacz wzó funkcji w postaci ogólnej wiedząc, że f(x) > 0xER – (-2).

3.70. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej jest przedział (-0, 162) Wykres funkcji f przecina oš OY w punkcie B(0, 90), a osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu x = 6. Napisz wzór funkcji f w postaci ogólnej. 3.71. Jednym z miejsc zerowych funkcji kw

3.67. Napisz wzór funkcji kwadratowej fw postaci ogólnej wiedząc, że dla argu meritu 3 funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość, równą -2, a jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 1. 3.68. Funkcja kwadratowa / ma tylko jedno miejsce zerowe. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej wiedząc, że prosta o równaniu x-5=0 jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkt A 2,-1 należy do tego wykresu.

3.66. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że do wykresu tej funkcji nalezy punkt P(-1, 1), zbiorem wartości funkcji f jest przedział (-0,4), a maksymalny przedział, w którym funkcja ƒ jest malejąca, to (-2,100).

3.65. Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej jeśli wiadomo, że funk cja ta przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x e a do jej wykresu nalezy punkt A(1, 12).

3.63. Osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej f(x) = 3x² + bx + c, jest prosta o równaniu x = -2. Wiedząc, że najmniejsza war- tość funkcji ƒ jest równa -4, oblicz współczynniki bi c. 3.64. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że przyjmuje ona wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x = (-8,-2), a największa wartość 2층 tej funkcji jest równa 21 4 86 Matematyka. Zbiór zadań Klasa 2. Zakres rozszerzony € (-00,-2) U (3,400).

3.61. Funkcja kwadratowa f(x) = -2x²+ bx + c jest rosnąca w przedziale (-00, 1) i malejąca w przedziale (1, +00) Wiedząc, że f(-3)=-25, oblicz współczynniki bic 3.62. Funkcja kwadratowa f(x)=- +bx+c ma jedno miejsce zerowe, a jej wykres przecina oś OY w punkcie P(0, -8). Wyznacz wartości współczynników bic.

3.59. Wyznacz współczynniki bic we wzorze funkcji kwadratowej f(x) = -x² + bx + c wiedząc, że funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe oraz 3.60. Wyznacz współczynniki bic we wzorze funkcji kwadratowej f(x) = x²+ x²+bx+c wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby 9 oraz -6

3.58. Dana jest funkcja f(x)=-x-2x+1, jeśli x 6 (-4,2) xx-4, jeśli xe (2, +∞) a) Naszkicuj wykres funkcji. b) Podaj zbiór wartości tej funkcji. c) Podaj przedziały monotoniczności funkcji f. d) Określ znak iloczynu (-2x) (√2+1) Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie jej własności 3.59. Wyznacz współczynniki bic we wzorze funkcji kwadrato

3.57. Naszkicuj wykres funkcji f i omów jej własności, jeśli 3 x²-6x+8, jeśli xe(1, +∞) a) f(x)= -x+1, jeśli xe (-0,2) b) f(x)=x+2x-4, jeśli xe (2,8) -4, jeśli x € (8, +∞) [x²+4x+5, jeśli x = (-0,0) c) f(x)- x²-6x+5, jeśli x = (0, +∞) -x-10x-21, jeśli x(x-4) 3 jeśli x =(-4,0) d) f(x)=-x, 0,75×2-3x, jeśli xe (0, +∞) Funkeja kwadratowa 85 -x-3, jeśli xe (-0,-4) 3.58. Dana jest funkcja f(x)=-x-2x+1, jeśli x 6 (-4,2)

3.56. Dana jest funkcja f(x)= (-2x-8x-6, jeśli x(0,0) a) Naszkicuj wykres funkcji f. -6, jeśli x = (0, +∞) b) Podaj zbiór wartości funkcji f. c) Oblicz wartość funkcji ƒ dla argumentu-4 d) Dia jakich argumentów funkcja / przyjmuje wartości nieujemne? 3.57. Naszkicuj wykres

3.54. Ustal znaki współczynników a, b, c we wzorze funkcji kwadrato- wej f(x) = ax² + bx + c, na podstawie szkicu wykresu tej funkcji w układzie współrzędnych. a) 84 Matematyka Zbiór zadań Klasa 2 Zakres rozszerzony x²-2x, jeśli xe(-0,3) -x+6, jeśli xe (3,∞) i na jego pod 3.55. Naszkicuj wykres funkcji f(x)= stawie a) wyznacz przedziały, w których funkcja f jest malejąca b) podaj miejsca zerowe tej funkcji c) odczytaj zbiór, w którym funkcja przyjmuje wartości ujemne 3.56. Dana jest funkcja f(x)=

3.53. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji kwadrato wych fig. Następnie rozwiąż graficznie nierówność, podaną obok wzorów tych funkcji. a) f(x) = x²-4x, g(x) = x²+ 2x + 4, 9(x) f(x) 1 b) f(x) = g(x) = x² + 4x+3, f(x) < g(x) 4 c) f(x) = x²-3x-4, g(x) = x²+3x-4, f(x) = g(x) 3.54. Ustal

3.52. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykres funkcji kwadrato wej i wykres funkcji liniowej g. Następnie rozwiąż graficznie nierówność, podaną obok wzorów funkcji i g. a) f(x) = x²-6x-9. g(x) = x + 1, f(x) = g(x) b) f(x) = x²+2x+3, g(x) = -2x-3, f(x) > g(x) 2 c) f(x) = x²-2x+3, 9(x)=2x+12, f(x) < g(x) 3.53. Naszkicuj

3.51. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji fig. Na stępnie rozwiąż graficznie równanie f(x) = g(x). a) f(x) = (x+2). g(x)=1 b) f(x)=(x-1)-1, g(x)=-5 c) f(x)=(x-4)(x+2), 9(x) = -x-2 d) f(x)=-x²+x, g(x) = x – 1 3.52. Naszkicuj we

3.50. Naszkicu) wykres funkcji kwadratowej/I omów jej własności, jeśli 23 a) f(x)=2(x 1)(x+1) b) f(x)-(x-1)(x-5) c) f(x) = x²+x+1 d) f(x)=- +4,5 1)/(x)=-2x(x-2).

3.49. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej fi omów własności tej funkcji poprzez odpowiedzi na następujące pytania: 1) Jaka jest dziedzina funkcji? 2) Jaki jest zbiór wartości funkcji? 3) Czy funkcja f ma miejsce zerowe? Jeśli tak, to jakie? 4) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne? 5) W jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca? 6) Czy funkcja przyjmuje wartość największą, czy najmniejszą? Jeśli tak, to dla ja- kiego argumentu? a) f(x) = x²+1 b) f(x)=-3x²+2 c) f(x) = 3x²-6x e) f(x)=-x²+2x-2 f) f(x) = x²-6x – 9 3. Funkeja kwadratowa 3.50. Naszkicu

3.48. Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej k funkcja kwadratowa -k ma dwa miejsca zerowe. Następnie wyznacz war. tość k, dla której suma miejsc zerowych funkcji f jest mniejsza od 9. Szkicowanie wykresów funkcji kwadratowych. Odczytywanie własności funkcji kwadratowej na podstawie wykresu 3.49.

3.47. Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = mx² + (2m+ b) Dla m = 8 Dc) Wykaż, że funkcja ƒ ma miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy me D 3.48.

3.46. Wykaż, że jeśli o R-(1), to funkcja kwadratowa f(x)=(a-1)x+2ax+0+1 ma dwa miejsca zerowe, z których jedno jest równe -1 1)x+m+3, m = R- (0) a) Dla m = -1 zapisz wzór tej funkcji w postaci iloczynowej 1 zapisz wzór funkcji f w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej 3.47. Dana jest funkcja kwadratowa f

3.45. Wykaż, że jeśli suma wszystkich współczynników we wzorze funkcji 1(x)=ox²+ bx + c jest równa zeru, to funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe

3.44. Wykat, te dla dowolnej liczby a różnej od 0 i dowolnej liczby rzeczywistej funkcja kwadratowa f(x)=ax+ (a+c)x + c ma co najmniej jedno miejsce zerowe D 3.45. Wykaż, że jeśli suma wszystkich współczynników we wzorze funkcji 1(x)=ox²+ bx + c jest równa zeru, to funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe