Kategoria: A zbiór zadań z matematyki OE klasa 3 po gimnazjum Rozszerzenie

1.82. Dla pewnej wartości x liczby: 3 + 2, . 3 ^ (2x) – 54 są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego. Wyznacz x oraz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. 

1.81. Wyznacz wartość parametru m (m in R) , dla której liczby sa kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego (a n ) Dla wyznaczonej wartości parametru m podaj wyraz ogólny tego ciągu. 3^ x +2, 3^ 2x +71 3^ x -1 ,3^ 2x . 

1.80. Rozwiąż nierówności: a) 2^ x +2^ x-1 +2^ x-2 +…<=2* sqrt 3*2^ x +4 b) 0,5 5^ x +0,5^ x+1 +0,5^ x+2 +…>2 sqrt 1 2 )^ x +2 2^ x +4^ x +8^ x +…<= 2^ x+1 +1 2 5 ( 1 3 )^ x = ( 1 9 )^ x + ( 1 27 )^ x – ( 1 81 )^ x +…>=3^ 2-x -0,9 c) d)

1.79. Rozwiąż nierówności z niewiadomą x: a) (0,1)^ 1- 1 2 + 1 4 – 1 8 +1 +(-1)^ n * 1 2^ n +***< sqrt[3] (0,1)^ (3x+5)x 5^ 1+ 1 3 + 1 9 + ***+ 1 3^ 2 +*** 125^ x+1 x b) 5 c) ( 8 27 )^ 1+ 1 4 + 1 16 + 1 64 + 1 4 + 1 4^ 2 +=( 16 81 )^ (x+1)-(x ( 1 20 )^ 1 3 3 + 4 9 – 8 27 + 16 51 –+(-1)^ 2 ( 2 3 )+ 1 2^ x^ 2 *4^ x 32 d)

1.78. Rozwiąż nierówności, jeśli wiadomo, e x in mathbb N : a) 0.7^ 2+4+6 *..+2x>=(0,7)^ 12 b) 4,5^ 1+6+9+…+3x <= ( 2 6 ) C) 2^ 1 *2^ 6 *2^ 11 *…*2^ 15x-4) <=8^ 5 ೨) ( 1 6 )^ 2 * ( 1 6 )^ 5 * ( 1 6 )^ 8 * ( 1 6 )^ 11 *… ( 1 6 )^ (3x-1) >= ( 1 36 )^ 6x d) 

1.77. Dane są funkcje f 1 (x)=4^ x+3 -7*3^ x+2 2 oraz f 2 (x)=3^ 1x+2 -5*4^ 3x określone f 1 (x-2)>= f 2 ( x 3 ). w zbiorze liczb rzeczywistych. Rozwiąż nierówność f,(x-2)2f

1.76. Dane są funkcje f 1 (x)=5^ 2x +2^ 2x oraz f 2 (x)=5^ x-4 +2^ x+2 określone w zbiorze f 2 (x+2)>= f 1 ( x 2 ) liczb rzeczywistych. Rozwiąż nierówność f,(x+ 2) 2f

1.75. Rozwiąż nierówności: a) 2 ^ (3x – 2) >= 5 ^ (x – 2/3) c) 13 * 14 ^ (3x) + 2 ^ (3x) * 7 ^ (3x) <= 1 f) (1/9) ^ ((2x – 3)/(x + 2)) < 81 (3/7) ^ ((4x – 3)/(x + 2)) >= root(4, 49/9) 4/3 * (2/3) ^ (x + 2) + 4/9 * (2/3) ^ (x + 1) >= 8/9 d) (0, 4) ^ (x + 3) + (2, 5) ^ (- x – 2) < 3, 5 b) 3 ^ (2x + 2) – 2 * 3 ^ (x + 2) – 27 < 0 d) 16 ^ x + 3 * 2 ^ (2x + 1) + 8 < 0 b) 5 ^ (3x) – 2 * 5 ^ (2x) – 5 ^ (x + 1) – 50 > 0 d) ( 1 2 )^ 3/ +64<( 1 2 )^ x-2 *(1+2^ 2-x ) b) 16^ |x+2| *16^ x-3| <=2^ x+31 d) (1/2) ^ (x + 3) * 8 ^ (2x) > 2 ^ |x – 1| b) 6 ^ x – 3 * 5 ^ x < 10 ^ x – 3 ^ (x + 1) d) 10 ^ x – 4 * 5 ^ x < 125 * 2 ^ x – 500 f) 6 ^ x + 3 * 7 ^ x < 21 ^ x + 3 * 2 ^ x (x/5) = b) 7 ^ (x – 3) < 3 ^ (2x – 6) d) 6 ^ (2x + 4) – 3 ^ (3x) * 2 ^ (x + 8) > 0

1.74. Rozwiąż nierówności: a) 2 ^ (2x) + 10 ^ x > 6 ^ x + 15 ^ x C) 6 ^ x – 9 * 2 ^ x – 8 * 3 ^ x + 72 > 0 e) 12 ^ x – 8 * 3 ^ x > 24 ^ x – 8 * 6 ^ x 

1.73. Rozwiąż nierówności: a) 5^ x-2| <=( sqrt 5 )^ x-2 c) 3 ^ |x + 1| <= (9 ^ x)/(3 ^ (|x – 2| + 1)) 

 1.72. Rozwiąż nierówności: a) 8 ^ (3x) – 3 * 8 ^ (2x) – 6 * 8 ^ x + 8 >= 0 c) 3 ^ (12x) – 11 * 3 ^ (8x) + 19 * 3 ^ (4x) – 9 >= 0 

1.71. Rozwiąż nierówności: a) 2 ^ (2x + 1) 17 * 2 ^ x + 8 > 0 8 * (2/3) ^ (8x) – 30 * (2/3) ^ (4x) + 27 >= 0 c) 8.

1.70. Rozwiąż nierówności: a) 2 ^ (x + 5) + 2 ^ (x + 4) + 5 * 2 ^ (x + 2) < 34 c) 3 ^ (3x + 1) – 4 * 27 ^ (x – 1) + 9 ^ (15x – 1) < 80 

1.69. Rozwiąż nierówności: a) (5/9) ^ (1/8) >= 5/9 4/25 >= (2, 5) ^ ((x + 1)/(x – 1)) b) e) (2/3) ^ (1/x) < root(3, 27/8) q ^ ((x + 2)/(x – 1)) <= 3x b) c) d)

1.68. Rozwiąż nierówności: a) (0, 5) ^ (x ^ 2 – 9x + 17, 5) < 8/(sqrt(2)) 64 b) (0,6)^ * >=2 7 9 e) (0, 8) ^ (2x – 1) >= (1, 25) ^ (x + 2) c) f) (1 1/3) ^ x > 0 ( sqrt[3] 49 81 ) ^ x-4 < ( 7 9 )^ 3x b) (sqrt(2)) ^ |x – 1| < 4 d) (0, 4) ^ (x – 6) <= 2, 5 (2/3) ^ (x + 2) * (3/2) ^ (2x + 1) > (27/8) ^ (x – 3) (1/25) ^ (x – 3) * 5 ^ (2x + 6) <= 625 ^ (1/2 * x – 1) b) d) ((sqrt(2)) ^ (x + 1))/((2 * root(3, 2)) ^ (x + 1)) >= 1/4 (2/3) ^ (2x – 1) * (81/16) ^ (x – 2) <= (2, 25) ^ (4x + 1) (3 ^ (x ^ 2))/((sqrt(3)) ^ (x + 1/2)) >= root(4, 3) (25 ^ (x ^ 2))/((root(4, 5)) ^ (8x)) <= 625/(5 ^ (4x)) b) d) b)

1.67 Rozwiąż nierówności: 3 * (27/8) ^ (2x + 3) * (2/9) ^ (2x + 3) >= (0, 75) ^ (x – 6) (4/25) ^ (x – 2) * (125/8) ^ (x – 2) < (2 1/2) ^ (2x + 5) c)

1.66. Rozwiąż nierówności: a) (1/64) ^ (x – 1) * 16 ^ (x – 4) < (1/4) ^ (4x + 8) 2 c) 8 ^ (2x) * (0, 5 * root(3, 2)) ^ (3x + 3) >= (0, 25) ^ (3x – 2) 

1.65. Rozwiąż nierówności: a) c) (2/3) ^ – 1 <= (1, 5) ^ |x + 2| (1/16) ^ (x + 2) > (2 * root(3, 2)) ^ 3

1.64. Rozwiąż nierówności: a) d) 25 ^ x < 1/5 (1/2) ^ x >= 1

1.63. Rozwiąż układy równań: 27 ^ x = 9 ^ y \ 81^ x 3^ y =243 a) b) 3 ^ x * 5 ^ y = 75, \qquad 3 ^ y * 5 ^ x = 45 b) 2 ^ (3x) – 2 ^ (2x + 3) – 2 ^ (x + 4) + 128 = 0 d) $3-7.51422 +11.52**-625 20 (3x-7*5^ 1+2x +11*5^ 2+x -625-n b) d) 1/(2 ^ x – 2) + 2 ^ (1 – x) = 1 3/(2 ^ sqrt(x + 2) – 1) + 1/(2 ^ sqrt(x + 2) + 1) = 18/(2 ^ (2sqrt(x + 2)) – 1) b) (sqrt(3 + 2sqrt(2))) ^ x + (sqrt(3 – 2sqrt(2))) ^ x = 6 1) ( sqrt 7+ sqrt 48 )^ 4 +( sqrt 7- sqrt 48 )^ * =14 b) 6 ^ x – 9 * 2 ^ x – 15 ^ x + 9 * 5 ^ x = 0 d) 5 ^ (2x – 2) + (10 ^ x)/25 = 5 ^ (x + 3) + 125 * 2 ^ x ( 2 3 )^ 3+6+9+…+3x =(1,5)^ -30 b) d) 4^ 1+5+9+13+\ +(4x-3) =64 2+5^ x-4 +…= sqrt 100*5^ x +5 24 b) 5^ x +5^ x-2 + 3 ^ x + 3 ^ y = 28, \qquad 3 ^ (x + y) = 27 d) 3^ x -2^ 2 prime = pi\\ 3^ 2 -2^ prime =7 c)

1.62. Rozwiąż równania: a) 4^ x +4^ x-1 +4^ x-2 +…= 1 3 * sqrt 4^ x+1 +2

1.61. Rozwiąż równania, gdzie x in N + : a) 5^ 1+3+5+7+- +(2x-1)=(0,2)^ 100-20x c) ( 5 3 )^ 2+4+6+.. = ( 5 3 )^ 12

1.60. Rozwiąż równania: a) 2 ^ (2x) – 4 * 2 ^ x + 10 ^ x – 4 * 5 ^ x = 0 c) 3 ^ x * 2 ^ (x + 1) – 16 * 3 ^ x = 2 ^ (x + 4) – 2 ^ (2x + 1)

1.59. Rozwiąż równania: a) (2+ sqrt 3 )^ r +(2- sqrt 3 )^ * =4 () (sqrt(2 + sqrt(3))) ^ 2 + (sqrt(2 – sqrt(3))) ^ 8 = 4

1.58. Rozwiąż równania: (3 ^ x + 2)/(3 ^ x + 3) = (3 ^ x – 2)/(3 ^ x – 3) (3 ^ (x ^ 2 – 2) + 5)/(3 ^ (x ^ 2 – 1) – 9) = 14/(3(3 ^ (x ^ 2 – 2) – 3)) a) c)

1.57. Rozwiąż równania: a) 4 ^ (3x) – 7 * 4 ^ (2x) + 14 * 4 ^ x – 8 = 0 c) 9 ^ (tr) – g ^ (2x + 1/2) – 3 ^ (2x) + 3 = 0

1.56. Rozwiąż równania: – (1/3) ^ (2x) – 12 * (1/3) ^ x + 27 = 0 (1/5) ^ (2x) – 24 * 5 ^ (- x) – (1/5) ^ – 2 = 0 a) b) 3^ |x+1|+1 -5*3^ x+1|-1 =12 2 ^ (2 + (x – 3)/x) – 5 * (1/2) ^ ((3 – x)/x + 2) = 11 d) b) 7 ^ (2x) + 4 * 7 ^ x – 5 = 0 d) 2 ^ (2x) + 5 * 2 ^ x + 6 = 0

1.55. Rozwiąż równania: 4 ^ (sqrt(x – 1) + 1) – 4 ^ ((2sqrt(x – 1 – 1))/2) = c) 2 ^ (x ^ 3 – x + 2) + 5 * 2 ^ (x ^ 2 – x – 1) = 26

1.54. Rozwiąż równania: a) 2 ^ (x + 2) – 2 ^ (x – 1) = 14 d) b) 3**2 25 5 d) 5 ^ (x + 2) * 7 ^ (2x + 4) = 21 ^ (x + 1) f) 9 9 ^ (3x + 2) * 5 ^ (10x + 4) = 15 ^ (3x + 2) * 25 ^ (2x) b) 3 ^ (x + 1) – 3 ^ x – 3 ^ (x – 1) = 15 d) 7 * 4 ^ x – 2 ^ (2x + 1) = 26 + 7 * 4 ^ (x – 1) f) 5 * 2 ^ (3x) + 8 ^ x – 2 * 4 ^ (15x) = 16 (x ^ 2)/(x * x ^ 2) = x – 1 c) 8 * 5 ^ x + 7 * 5 ^ (x – 1) = 22 + 5 ^ (x + 1) e) 3 ^ (2x) + 4/27 = 2 * 3 ^ (2x + 1) – 9 ^ x 

1.53. Rozwiąż równania: a) (1/2) ^ x = 2 ^ x c) 3 ^ (2x + 5) * 3 ^ (x + 1) = 2 ^ (x + 6) e) 2 ^ (5x – 1) * 3 ^ (3x – 1) = 6 ^ (x + 8) * 4 ^ x

1.52. Rozwiąż równania: a) c)

1.51. Rozwiąż równania: a) 2^ x^ prime ( sqrt[3] 2 )^ 12 = 4^ 2x ( sqrt 2 )^ 2x^ 2 c) (0, 5) ^ (x ^ 3) * 4 ^ (x ^ 2 – x) = 1/(32 ^ x) b) d) (3 ^ (x ^ 3))/((root(4, 3)) ^ (4x + 4)) = (1/3) ^ x ((0, 5) ^ (x ^ 1))/((0, 125) ^ (x ^ 2)) = 1/(2 ^ (3x)) root(5, 4 ^ x * (0, 125) ^ (1/x)) = (4 * root(4, 2))/((sqrt(2)) ^ x) = 1/(x – 1) b) 2 ^ ((3x – 9)/(3x – 7)) * root(3, (0, 25) ^ ((3x – 1)/(2x – 2))) = 1 ((- 1) ^ 2 – 15)/((2 – 4) ^ 2 + 5) sqrt (0,25)^ 5- x 4 =2^ sqrt x+1 -4 (5/2) ^ (sqrt(3 – x) – 1) = (0, 4) ^ ((1 + sqrt(1 – x))/(sqrt(2x)) – 5) – 5 

1.50. Rozwiąż równania: a) (0, 5) ^ (x ^ 2) * 2 ^ (2x + 2) = 1/64 (4/3) ^ (x ^ 2 + 5x) = (9/16) ^ (x – 2) * (0, 75) ^ (x ^ 2) c) b) d) b) d) b) d) ( 25 4 )^ 2i*1 =(0,4)^ 1**12 (1/2) ^ (3t – 4) = 8 ^ (3x + 3) * 1/2 + 1/2 b) (0,75)’ = 16 d) (root(3, 3)) ^ x = 3 ^ (1/(2x + 1)) b) 2^ x^ prime +x^ 2 =32^ x+1 (3 ^ (x ^ 4))/81 = 9 ^ (x – x ^ 2) = 1/2 + 1/2 ((25sqrt(5))/(0, 2)) ^ (2x) = 5 ^ (x ^ 2 + 10) ( 3 sqrt[34] 9 sqrt[3] 81 )^ 6x^ 2 +12x = big( sqrt 3 big)^ 16 (1/2) ^ (x ^ 2 – x) * 8 ^ x = (2 ^ (x – 1))/8 (2/5) ^ (x ^ 2 – 1) * (25/4) ^ (- 2x) = (sqrt(2/5)) ^ (4x – 41)

1.49. Rozwiąż równania: a) ( 81 sqrt 3 sqrt 27 )^ 6x =3^ x^ 2 ***((-1)^ -2 ( sqrt[3] 4 sqrt[4] 4 )^ 6x+6 =8^ 1 3 x^ 2 +3 

1.48. Rozwiąż równania: (2/3) ^ (x ^ 2) = (1 1/2) ^ (2x ^ 2 + x) ( 25 81 )^ x^ 2 – 1 2 =(1,8)^ 2x* x^ 2 *** (n-1) 1-x^ 2 = a) c)

1.47. Rozwiąż a) c) równania: (0, 8) ^ (1/(1x – 1)) = (16/25) ^ (1/(2x)) (0, 5) ^ (1/(1 – 1)) = (1/64) ^ (1/(1 * 2)) * n 

1.46. Rozwiąż równania: a) c) ( 3 4 ) ^ x+5 = ( 4 3 )^ x+1 (1 1/6) ^ (2x – 4) = (6/7) ^ (1 + 2) 

1.45. Rozwiąż równania: a) (0, 4) ^ x = 6, 25 d) (12, 25) ^ x = 3, 5 b) (0, 375) ^ x = 9/64 e) (2, 25) ^ x = 5, 0625 c) (0, 75) ^ x = 1 1/3 f) (0, 8) ^ x = 0, 512

1.44. Dla jakich wartości parametru m, gdzie m in R-\ -3\ , równanie 4^ x +4^ 2x +4^ 3x +4^ 4x +…= m m+3 ma rozwiązanie? Równania wykładnicze

1.43. b) 4 * 2 ^ (k – 11) = m d) 2^ |x 2|+x =m^ 2 Dla jakich wartości parametru m, gdzie m in R-\ -1,1\ , równanie 3 ( 1 3 ) ^ x + ( 1 3 )^ 2x + ( 1 3 )^ 3x + ( 1 3 )^ 4x = 2-m m^ 2 -1 ma rozwiązanie? 

1.42. Zbadaj liczbę rozwiązań równania w zależności od wartości parametru m (m in R) : a) 4 ^ (x – 1) = m + 2 – |2- ( 1 3 )^ x Bigg|=m^ 2 -1

1.41. Rozwiąż graficznie układy równań: a) y = (1/2), \qquad y = – 7/6 * x + 5/3 ” y=2^ 1-1 -1\\ y+ 1 2 x-3 Big)(y-3)=0 aligned c) – y = 3 ^ x, \qquad y = 3/x y = 2 ^ (x – 2), \qquad y = 3/4 * x + 3 1/2 b) d) 

1.40. Rozwiąż graficznie nierówności: a) c) (1/3) ^ – 1 <= 1 (3/2) ^ x >= – x ^ 2 + 3 3/4 * x – 1 1/4 d) y=2^ |x+2| *4^ x1 b) d) ( 1 2 )^ x -1 |=-2x^ 2 -8x-5 b) 2 ^ (x – 2) <= 5 – x d) 2 ^ k < 3 – |x| A y = f(x) (1/3) ^ (x – 3) = |1 – x ^ 2|

1.39. Rozwiąż graficznie równania: a) – 2 ^ (x – 1) = – 3/2 * x + 1/2 c) 4 ^ x = 5 – |x|

1.38. Naszkicuj a) y = 4 ^ (x – 1 + 1) b) y=|2^ -x -1 d) y = – 3 ^ |x| + 4 wykres funkcji i omów jej własności. b) y = 2 ^ (|x| – 3) c) y = (0, 5) ^ (x – 1 – 2x + 1)

1.37. Naszkicuj wykres funkcji i omów jej własności. a) y = – (1/2) ^ x c) y= ( 1 3 )^ x+2 -1 |-2 

1.36. Na rysunku obok przedstawiony jest wykres funkcji wykladniczej f(x) = a ^ x . Do wykresu funkcji f nalezy punkt A(- 1/2, 2) a) Napisz wzór funkcji f. g(x)= ( 1 4 )^ 1 2 x *2. b) Naszkicuj wykres funkcji g(x) = c) Wyznacz miejsce zerowe funkcji g, a następnie odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów funkcja g przyjmuje wartości nieujemne. d) Sprawdź, czy do wykresu funkcji g należy punkt C c(- 1/2, (sqrt(2))/2 – 2)

1.35. Wykres funkcji wykładniczej f(x) = (0, 5) ^ x przeksztalcono przez symetrie osio wa względem osi OY i otrzymano wykres funkcji g. a) Napisz wzór funkcji g. b) Naszkicuj wykres funkcji g. c) Odczytaj z wykresu funkcji g argument, dla którego wartość funkcji wynosi 8 d) Dla jakich argumentów wartości funkcji g są większe od 4?

1.34. Naszkicuj wykres funkcji wykladniczej f(x) = 2 ^ x , a następnie naszkicuj wykres funkcji g, wiedząc, że g(x) = f(- x) – 4 . a) Napisz wzór funkcji g. b) Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji i osi OY. c) Sprawdź, czy liczba -2 jest miejscem zerowym funkcji g. d) Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja g przyjmu- je wartości ujemne. 

1.33. Dana jest funkcja wykładnicza f, opisana wzorem f(x)%3D a) Naszkicuj wykres funkcji g, wiedząc, że g(x)=-f(x)+1, . b) Napisz wzór funkcji g. c) Odczytaj z wykresu zbiór argumentów, dla których wartości funkcji g są większe od -2 d) Oblicz wartość funkcji g dla argumentu -4.