Kategoria: aa Bez kategorii

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 453–√. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Dane są dwa zbiory: A ={100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B ={10,11,12,13,14,15,16}.
Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego
na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone
prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

W układzie współrzędnych punkty A = (4,3) i B = (10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC.
Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego
kąt ABC jest prosty.

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an ), określonego dla n ≥1, jest równy 30, a suma jego
dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem
f (x) = ax (gdzie a > 0 i a ≠1), należy punkt P = (2, 9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości
funkcji g, określonej wzorem g (x) = f (x) − 2 .

Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do
obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.
Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od 2 −1.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność
1 1 2
2a 2b a b
+ ≥
+
.

Rozwiąż równanie (x3 +125)(x2 − 64) = 0 .

Rozwiąż nierówność 2×2 − 3x > 5.

W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe
kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest
równe

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych
przez 5?

W zestawie
liczb liczb
2, 2, 2, , 2, 4, 4, 4, , 4
m m
…… jest 2m liczb (m ≥1) , w tym m liczb 2 i m liczb 4.
Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r
i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.
Objętość tej bryły jest równa

Zadanie 21. (0–1)
Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna
tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek).
Wysokość graniastosłupa jest równa

Punkt K = (2, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym KM = LM .
Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N = (4, 3) . Zatem

Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL = a , MN = b ,
a > b . Kąt KLM ma miarę 60° . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa

Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są
oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek
α +β =111° . Wynika stąd, że

Dany jest trójkąt o bokach długości: 2 5 , 3 5 , 4 5 . Trójkątem podobnym do tego trójkąta
jest trójkąt, którego boki mają długości

Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma
długość 8 (zobacz rysunek).
Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek

Dany jest ciąg geometryczny ( ) n a , określony dla n ≥1, w którym 1 a = 2 , 2 a = 2 2 ,
3 a = 4 2 . Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać

Dla ciągu arytmetycznego (an ), określonego dla n ≥1, jest spełniony warunek
4 5 6 a + a + a =12. Wtedy

Dany jest ciąg ( ) n a określony wzorem 5 2
n 6
a = − n dla n ≥ 1. Ciąg ten jest
A. arytmetyczny i jego różnica jest równa 1
3
r = − .
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa r = −2 .
C. geometryczny i jego iloraz jest równy 1
3
q = − .
D. geometryczny i jego iloraz jest równy 5
6
q = .

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = ax + b , a punkt M = (3, − 2) należy
do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy

Wykresem funkcji kwadratowej f (x) = x2 − 6x −3 jest parabola, której wierzchołkiem jest
punkt o współrzędnych

Funkcja liniowa f określona jest wzorem 1
3
f (x) = 1 x − , dla wszystkich liczb
rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.
A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie 



= 
3
P 0, 1 .