Tag: Matematyka 4 poziom rozszerzony Pazdro Oficyna Edukacyjna

6.90. Pole podstawy ostrosłupa jest równe 150 cm². Pole przekroju tego ostro słupa płaszczyzną równoległą do podstawy wynosi 54 cm’. Oblicz objętość tego ostrosłupa, wiedząc, że odległość między płaszczyzną przekroju podstawą ostro- slupa jest równa 14 cm.

6.89. Ostrosłup podzielono na dwie bryły płaszczyzną, równoległą do podstawy I przechodzącą przez środek ostrosłupa. Oblicz: a) stosunek pola przekroju do pola podstawy danego ostrosłupa, b) stosunek objętości otrzymanych bryl.

6.88. Pole powierzchni pierwszej kuli jest 16 razy większe od pola powierzchni drugiej kuli. a) Podaj skalę podobieństwa pierwszej kuli do drugiej kuli. b) lle razy objętość pierwszej kuli jest większa od objętości drugiej kuli?

6.87. Pole powierzchni całkowitej pierwszego sześcianu jest równe 37,5 cm². Ob jętość drugiego sześcianu wynosi 216 cm³. Oblicz skalę podobieństwa pierwszego steścianu do drugiego sześcianu.

6.86. Dwie male kulki o promieniach 2 cm i 3 cm są zawarte w jednej dużej kuli. Odległość między środkami małych kulek wynosi 6 cm. Oblicz promień dużej kuli, mającej możliwie najmniejszą objętość. Podobieństwo figur w przestrzeni

6.85. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt, którego boki mają długość 6 cm, 8 cm i 10 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 24 cm. Wyznacz promień kuli, opisanej na tym graniastosłupie.

6.84. W czworokątnym ostrosłupie prawidłowym wysokość jest równa 8 cm, a krawędź podstawy ma długość 12 cm. Wyznacz promień r kuli wpisanej w ostro stup oraz promień R kuli opisanej na tym ostrosłupie.

6.83. Stolek o wysokości H wpisano w kulę. Oblicz objętość kuli, wiedząc, że jest ona cztery razy większa od objętości stożka.

6.82. Długość tworzącej stożka wynosi d, a promień podstawy jest równy R. Ob licz objętość kull opisanej na tym stożku.

6.81. Na kuli opisano stożek, którego wysokość jest dwa razy dłuższa od średnicy kuli. Wykaż, że pole powierzchni całkowitej stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli.

6.80, Kąt rozwarcia stożka jest równy 60°. Stożek wpisano w kulę o objętości równej 288 cm’. Oblicz objętość stożka.

6.79. W kulę wpisano sześcian w taki sposób, że wszystkie wierzchołki sześcianu należą do sfery tej kuli. Oblicz stosunek objętości kuli do objętości sześcianu.

6.78. W kulę wpisano stożek w taki sposób, że pod- stawa stożka jest jednocześnie kołem wielkim kuli, jak na rysunku obok. Wyznacz stosunek objętości stożka do objętości kuli

6.77. W stożek, którego kąt rozwarcia jest równy 90°, wpisano kulę. Wyznacz objętość kuli, wiedząc, że tworząca stożka ma długość 2+ √2.

D 6.76. Kąt ostry rombu jest równy 30°. Wykaż, że objętość bryły, powstałej z obro tu tego rombu wokół jego boku, jest cztery razy mniejsza od objętości bryły, którą otrzymamy, obracając kwadrat o takim samym boku wokół boku.

D 6.75. Kwadrat obracamy raz wokół osi symetrii, przechodzącej przez środki dwóch przeciwległych boków i drugi raz wokół osi symetrii, zawierającej przekątną kwadra tu. Wykai, że stosunek objętości pierwszej z otrzymanych bryl do objętości drugiej jest równy 3:2√2.

6.74. Kąt ostry trapezu prostokątnego jest równy 45°. Podstawy trapezu mają długość 15 i 9. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły, utworzonej w wyniku obrotu tego trapezu wokół: a) krótszej podstawy b) najkrótszego boku.

6.73. Boki równolegloboku mają długość 6 cm i 4 cm, a kąt ostry tego równole globoku jest równy 60°. Oblicz objętość V i pole powierzchni całkowitej P. bryly, otrzymanej w wyniku obrotu tego równolegloboku wokół dłuższego boku.

6.72. Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego wynosi 4:3, a przeciwprostokątna ma długość 25 cm. Oblicz objętość bryły, utworzonej w wy niku obrotu tego trójkąta wokół przeciwprostokątnej.

6.71. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 6 dm i 8 dm. Oblicz pole powierzchni calkowitej bryły, otrzymanej w wyniku obrotu tego trójkąta wokół przeciwprostokątnej.

6.70. Na powierzchni kuli o promieniu 7 cm znajdują się dwa przystające okręgi, które przecinają się w dwóch punktach, a ich płaszczyzny są do siebie prostopadle. Odległość między wspólnymi punktami jest równa 2 cm. Wyznacz promień tych okręgów. Bryły obrotowe – zadania różne

6.69. Dwie równoległe płaszczyzny przecinają kulę i wyznaczają przekroje o polach 49% 14. Odległość między tymi płaszczyznami jest równa 9. Oblicz pole powierzch ni kuli

6.68. Przekrój kuli płaszczyzną, równoległą do płaszczyzny koła wielkiego kuli, jest kolem, którego pole jest o 12,25% dm’ mniejsze od pola koła wielkiego. Oblicz odległość między płaszczyznami obu kól.

6.67. Kule o promieniu 41 cm przecięto płaszczyzną w odległości 9 cm od środka

kuli. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

6.66. Punkty A i B należą do sfery kuli o środku S. Kąt zawarty między odcinkami AB i BS jest równy 45°, a odcinek AB ma długość 62 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni tej kuli

6.65. Pewne miasto leży na równoleźniku 60° szerokości geograficznej pół- nocnej. Jaką drogę zakreśla to miasto w ciągu jednej godziny, na skutek obrotu Ziemi dookoła własnej osi? Zakladamy, ze Ziemia wykonuje pełny obrót w ciągu 24 godzin.

6.64. Promień kuli ziemskiej jest w przybliżeniu równy 6300 km. Oblicz długość równoletnika, odpowiadającego szerokości geograficznej: a) 30 Wynik podaj z dokładnością do 100 km. b) 45° 6 Geometria przestrzenna Bryły obrotowe 151

6.63. Objętości dwóch kul różnią się o 876 cm³, a promienie tych kul różnią się o 3 cm. Wyznacz a) promienie tych kul b) różnicę pół powierzchni obu kul

6.62. Objętość kuli K, jest 27 razy większa od objętości kuli K₂. Oblicz: a) stosunek promieni obu kul b) stosunek pól powierzchni tych kul

6.61. Pola powierzchni dwóch kul różnią się o 644π cm², a promień jednej z tych kul jest dłuższy od promienia drugiej kuli o 7 cm. Oblicz pola powierzchni obu kul

6.60. Stosunek pól powierzchni dwóch kul jest równy 9, a różnica promieni tych

kul wynosi 10 cm. Oblicz te promienie.

6.59. Pięć kulek ołowianych o promieniu 3 cm in kulek ołowianych o promieniu 2 cm przetopiono i uformowano jedną kulę. Wiedząc, że pole powierzchni uzyskanej kuli jest równe 196 cm², oblicz n

6.58. Półkole ma pole równe P. Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły, powsta łej w wyniku obrotu tego półkola wokół. a) jego średnicy b) jego osi symetrii

6.57. Korzystając z kalkulatora wyznacz w przybliżeniu promień kuli, której a) pole powierzchni jest równe 1 m² b) objętość wynosi 1 litr.

6.56. Oblicz pole powierzchni i objętość kuli o promieniu r, jeśli a) r = 6 cm

6.55. Wysokość stożka i promień podstawy mają taką samą długość, równą R Przez wierzchołek stożka poprowadzono płaszczyznę, która wyznacza na podstawie stożka cięciwę, odpowiadającą kątowi środkowemu 90° Oblicz pole otrzymanego

przekroju.

6.54. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. Promień podstaw storka jest równy R. Oblicz pole przekroju tego stożka płaszczyzną, poprowadzon przez dwie tworzące, jeśli kąt między tymi tworzącymi jest równy 30°.

6.53. Dany jest stożek o promieniu podstawy r wysokości h. Wykał, że sinus kąta

rozwarcia tego stożka jest równy

6.52. Długość tworzącej stożka jest równa √10. Oblicz wysokość tego stożka, wiedząc, że jego objętość wynosi 3.

6.51. Rozpatrujemy wszystkie stożki, których tworząca ma długość 6. Wyznacz objętość tego stożka, którego przekrój osiowy ma największe pole.

6.50. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta pro- stego dzieli przeciwprostokątną na odcinki, których długości pozostają w stosunku

1.3. Wykaż, że stosunek objętości brył powstałych w wyniku obrotu tego trójkąta wokół dłuższej i krótszej przyprostokątnej jest równy 1:√3.

D 6.49. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. Wykaż, ze pole po- wierzchni bocznej tego stożka jest dwa razy większe od pola podstawy.

6.48. Oblicz objętość stożka, którego pole powierzchni bocznej wynosi 65% cm²,

a wysokość jest równa 12 cm.

6.47. Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 96 cm³, a tworząca ma dłu gość 10 cm. Oblicz objętość tego stożka

6.46. Tworząca stożka tworzy z płaszczyzną podstawy kąt, którego sinus jest rów-

by 0.96. Objętość stożka wynosi 392 cm³. Oblicz a) promien podstawy i wysokość stożka,

b) pole powierzchni bocznej stożka.

6.45. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym, którego pole wynosi 18 cm² Oblicz objętość V i pole powierzchni całkowitej P tego stożka.

6.44. Kąt rozwarcia stożka jest równy 120. Wiedząc, że pole przekroju osiowego wynosi 9/3 cm, oblicz objętość V i pole powierzchni całkowitej P tego stożka.

6.43. Średnica okręgu jest równa 29 cm. Przez jeden z jej końców poprowadzono cięciwę długości 20 cm. Cięciwa ta obraca się wokół danej średnicy. Oblicz pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryty.

6.42. Oblicz pole powierzchni całkowitej P i objętość V stotka, którego tworząca ma długość, promień podstawy wysokość h, jeśli a) r = 5 oraz h = 1-1 b) h = r +7 oraz /= h + 2.

6.41. Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego wynosi 4:3, a przeciwprostokątna ma długość 25 cm. Oblicz objętość bryły, którą otrzymamy, obracając ten trójkąt wokół:

a) krótszej przyprostokątnej b) dłuższej przyprostokątnej.