Kategoria: A zbiór zadań z matematyki OE klasa 3 po gimnazjum Rozszerzenie

6.165. Stosunek promienia podstawy stożka do wysokości wynosi 3:4. Jaką cze ścią pola powierzchni całkowitej jest pole powierzchni bocznej tego stożka 

6.164. Stosunek wysokości stożka do promienia podstawy wynosi powierzchni bocznej stożka jest równe 80 cm^ 2 . Oblicz długość tworzącej stożka. 3/4 a pole 

6.163. Tworząca stożka ma długość 20 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka, jeśli: 45 degrees tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem miary 45° 6) wysokość stożka jest równa 16 cm.

 6.162. Wyznacz miarę łukową kąta środkowego powierzchni bocznej stożka, jeśli wysokość stożka jest równa h, a promień podstawy wynosi r. 

6.161. Kąt rozwarcia stożka ma miarę a. Oblicz miarę łukową kąta środkowego rozwiniętej powierzchni bocznej tego stożka.

6.160. Promień wycinka kołowego o kącie 120° jest równy 3 m. Wycinek zwinięto i utworzono w ten sposób powierzchnię boczną stożka. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka. 

6.159. Wysokość stożka jest równa h, a promień podstawy stożka r. Oblicz miarę odpowiadającego wycinkowi kołowernu, który tworzy powierzch kąta środkowego nię boczną stożka, jeśli: a) h = 4 cm, r = 3 cm b) h=4 sqrt 5 cm,r=1 cm c) h=2 sqrt 22 cm,r=10 sqrt 2 cm 

6.158. Dany jest promień podstawy ri tworząca I stożka. Oblicz miarę kąta środko wego odpowiadającego wycinkowi kołowemu, który tworzy powierzchnię boczną stożka, jeśli: a) r = 1dm, l = 4dm b) r = 3 cm , I = 15 cm c) r=0.5 m,l=75 cm. .

6 6.157. Wysokość walca jest równa 6 cm, a promień podstawy wynosi 5 cm. poprowadzono odcinek AB o długości 10 cm taki, że punkt A należy do okręgu gór- nej podstawy, punkt B należy do okręgu dolnej podstawy walca. Wyznacz długość najkrótszego odcinka, którego jeden z końców należy do osi walca, a drugi należy do odcinka AB Stożek

6.156. Przez dowolny punkt A okręgu górnej podstawy walca poprowadzono prze broj płaszczyzną zawierajaca oś walca. W dolnej podstawie walca poprowadzono trednicę BC, prostopadła do przekroju osiowego. Wiedząc, że promień podstawy walca jest równy r oraz |<BAC = 4, a in(0,90^ ) , oblicz wysokość walca. 

6.155. Dany jest prostokąt, którego długości boków pozostają w stosunku 1:2. W wyniku obrotu tego prostokąta wokół dwóch różnych jego osi symetrii powstają dwa walce. Oblicz stosunek pól powierzchni calkowitych tych walców.

6.154. Boki prostokąta mają długość 4 cm i 6 cm. Oblicz pole powierzchni całkow tej walca otrzymanego w wyniku obrotu tego prostokąta wokół: a) dłuższego boku b) krótszego boku.

 6.153. Pole podstawy walca jest równe P,, a pole jego przekroju osiowego – Px Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego walca.

6.152. Powierzchnia boczna walca jest prostokątem, którego jeden bok przystający do wysokości walca ma długość 20, a przekątna tego prostokąta tworzy z drugim bokiem kąt 30°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

6.151. Stosunek pola przekroju osiowego do pola podstawy walca wynosi 4: a. Oblicz miarę kąta między przekątnymi przekroju osiowego walca.

 6.150. Podstawą ostrosłupa prostego ABCD jest trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątne mają długość |AB| = 6 cm , BC = 8 cm. Wysokość ostrosłupa jest równa 12 cm. Środki krawędzi AB, BC, CD i AD wyznaczają płaszczyznę przekroju tego ostrostupa. Oblicz: a) tangens kąta nachylenia tej plaszczyzny do płaszczyzny podstawy b) pole przekroju ostrosłupa tą plaszczyzną. Bryły obrotowe. Pole powierzchni brył obrotowych Walec 

6.149. W czworościanie foremnym o krawędzi długości 6 cm poprowadzono prze. krój płaszczyzną przechodzącą przez wysokość podstawy i środek krawędzi boczne niemającej punktów wspólnych z tą wysokością. Oblicz stawy od punktu , w którym wysokość ostroslupa przebija płaszczyznę przekroju. odległość płaszczyzny pod 

6.148. Przez krawędi AB podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCD poprowadzono płaszczyznę, do której należy środek S krawędzi CD. Wiedząc, że otrzymany przekrój tworzy z płaszczyzna podstawy kat 45%, oblicz cosinus kata Ase 45 degrees *

6.147. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym poprowadzono przekrój płaszczy zną zawierającą krawędź podstawy i prostopadłą do przeciwległej krawędzi bocznej.

6.146. Wszystkie krawędzie prawidłowego ostrosłupa czworokątnego mają dlu BOŚĆ a. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną poprowadzoną przez środ- ki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i środek wysokości ostrosłupa.

6.145. Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzna prostopadłą do jednej z krawędzi bocznych ostrosłupa i jednocześnie zawierająca przekątną podsta wy. Otrzymany przekrój jest trójkątem rozwartokątnym, którego kąt rozwarty ma miarę 2a. Wyznacz cosinus kąta B nachylenia płaszczyzny tego przekroju do plasz czyzny podstawy 

6.144. Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto przez wierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju, jeżeli krawędź podstawy ma długość 20 cm, a ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 degrees płaszczyzną przechodzącą

6.143. Wysokość prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego jest równa H, a kra wędź podstawy ma długość a. Wyznacz pole przekroju wyznaczonego przez krótszą przekątna podstawy i wierzchołek ostrosłupa.

6.142. Krawędź boczna prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego ma długość 8 dm, a krawędź podstawy – 4 dm. Przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podsta wy poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

6.141. Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzna zawierającą prze katną podstawy i jednocześnie równoległa do jednej z krawędzi bocznych. Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość a, nato miast krawędź boczna ma długość b.

6.140. Podstawą ostrosłupa jest romb, którego bok ma dlugość 8, a jedna z prze kątnych ma długość 13 3 1/3 13 1/3 Spodek wysokości ostrostupa jest środkiem symetrii pod stawy. Przekrój tego ostrostupa wyznaczony przez wysokości przeciwległych bocznych jest trójkątem równobocznym. Wyznacz pole tego przekroju. ścian

6.139. Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną zawierającą dwie przeciwległe krawędzie boczne ma pole równe P. Wiedząc, że wszystkie kra wędzie ostrosłupa mają taką samą dlugość, oblicz objętość tego ostrosłupa.

6.138. Pole przekroju równoległego do płaszczyzny podstawy ostrostupa jest o 36% mniejsze od pola powierzchni podstawy. W jakim stosunku przekrój ten dzieli objętość ostrosłupa? , oblicz objętość tego

6.137. Wysokość ostrosłupa podzielono na cztery równe części i przez punkty po działu poprowadzono płaszczyzny równolegle do podstawy. Pole podstawy tego ostrosłupa jest równe 400 cm ^ 2 . Oblicz pola otrzymanych przekrojów.

6.136. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny, którego boki mają długość 10 cm, 10 cm, 16 cm. Przez najdluższy bok podstawy poprowa dzono płaszczyznę, która przecina przeciwległa krawędź boczną i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 degrees . Oblicz pole otrzymanego przekroju. 

6.135 Pole postawy graniastosłupa trójkątnego prostego trójkątnego jest równe P. Przez krawędź postawy tej bryły poprowadzono płaszczyznę, która przecina przeciwległą krawędź boczną i jest nachylona płaszczyzny podstawy 45 stopni. oblicz pole otrzymanego przekroju.

 6.134. Przekrojem sześcianu jest sześciokąt foremny, którego wierzchołkami są środki odpowiednich krawędzi sześcianu (zo- bacz rysunek obok). Wiedząc, że pole tego sześciokąta jest rów ne 6sqrt(3) , oblicz długość przekątnej sześcianu. Pole podstawy graniastosłupa prostego trójkątnego jest równe P. Przez wędź podstawy tej bryły poprowadzono płaszczyznę, która przecina przeciwległą krawędź boczną i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 degrees . Oblicz pole otrzymanego przekroju.

6.133. Przez przekątna podstawy sześcianu mającego krawędź o długości o popro * wadzono płaszczyznę, która jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod kątem 60 Oblicz pole otrzymanego przekroju sześcianu.

6.132 Przez przekątna podstawy sześcianu mającego krawędź o długości a poprowadzono płaszczyznę, która tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45 stopni. Oblicz pole otrzymanego przekroju sześcianu tą płaszczyzną.

6.131. W sześcianie ABCDA, B, C, D , poprowadzono przekrój płaszczyzną zawierają cą przekątną BDi przechodząca przez C 1 Wyznacz (w przybliżeniu z dokładno ścią do 1º) miarę kąta nachylenia tego przekroju do plaszczyzny

6.130. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny, którego wy sokość jest równa 5 cm, a odcinek łączący środki ramion ma długość 12 cm. Wie dząc, że przekrój tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź boczna gra. niastosłupa i przekątna jego podstawy ma pole równe graniastoslupa 130 cm ^ 2

6.129. Długości boków prostopadłościanu pozostają w stosunku . Przez najdłuższą krawędź i przekątną najmniejszej ściany poprowadzono przekrój, które Bo pole jest równe 100 cm ^ 2 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadło 3/4 / 5 ścianu,

6.128. Sześcian ABCDA 1 B,C 1 D 1 o krawędzi długości a przecięto plaszczyzną prze B 1 chodząca przez punkty , B, G. Oblicz odległość punktu , od otrzymanego prze A 1 kroju.

6.127. Wykonaj rysunek ostrosłupa prawidlowego trójkątnego. Następnie popro wadi przekrój tego ostrosłupa plaszczyzną wyznaczoną przez i środek przeciwległej krawędzi bocznej tego ostroslupa. Wyznacz konstrukcyjnie punkt, w którym wysokość ostroslupa przebija krawędź podstawy otrzymany przekrój. Przekroje wielościanów – zadania 

6.126. Wykonaj rysunek ostroslupa prawidłowego czworokątnego. Następnie po prowadź przekrój tego ostroslupa plaszczyzną wyznaczoną przez iśrodek wysokości tego ostrosłupa, Jakim czworokątem jest otrzymany przekrój? krawędź podstawy 

6.125. Dany jest ostroslup prawidlowy czworokątny. Naszkicuj przekrój tego ostro slupa płaszczyzną: a) zawierającą dwie przeciwlegle krawędzie boczne ostrosłupa b) zawierającą dwie przeciwlegle wysokości ścian bocznych c) wyznaczoną przez przekątna podstawy ostrosłupa i środek krawędzi bocznej, niemającej punktów wspólnych z tą przekątną d) wyznaczoną przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostroslupa w każdym przypadku wyznacz kąta, jaki tworzy przekrój daną plaszczyzną z płasz- czyzna podstawy tego ostroslupa.

 6.124. Na rysunku poniżej punkty P, Q, R należą do płaszczyzny 7. Wyznacz prze krój sześcianu płaszczyzną (PQR). a) b) P Q Q

 6.123. Na rysunku poniżej punkty P, Q, R należą do płaszczyzny n. Wyznacz prze krój ostrosłupa plaszczyzną (PQR). a) b) P^ * c) d) 

6.122. Na rysunku poniżej odcinek AB i punkt C należą do płaszczyzny A. Wyznacz przekrój sześcianu płaszczyzna (ABC). a) b)

6.121. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między dwiema sąsiednimi kra wędziami bocznymi ma miare 2a, gdzie a in(0^ ,30^ ) . Odległość wierzchołka pod. stawy należącego do jednej krawędzi bocznej od sąsiedniej krawędzi bocznej jest równa d. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Przekroje wielościanów – konstrukcje 

6.120. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między dwiema przeciw lestymi krawędziami bocznymi ma miarę 2a, alpha in(0^ ,45^ ) . Odległość wierzchołka podstawy ostrosłupa od przeciwległej krawędzi bocznej jest równa d. Oblicz obje. tość tego ostrosłupa.

6.119. W ostrosłupie wszystkie ściany są trójkątami. Trzy krawędzie wychodzące z danego wierzchołka są parami prostopadle i mają długość: 6dm, 8dm , 8 dm. Oblicz odległość tego wierzchołka od przeciwległej ściany ostrosłupa. Wynik podaj 1 dokładnością do 0,1 dm. 1

6.118. Punkty K, L, M są środkami krawędzi AB, BCI BB, sześcianu ABCDA,B,C,D, a) Jaką część objętości sześcianu stanowi objętość ostrosłupa KLMB? b) Wiedząc dodatkowo, że odległość wierzchołka B od płaszczyzny (KLM) jest równa sqrt(3) , oblicz długość krawędzi sześcianu.

6.117. Podstawą ostrosłupa jest romb ABCD. Wysokość rombu DE poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli bok AB na odcinki takie, że |AE| = 61|EB| = 4 . Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem. Wiedząc, że pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 170, oblicz: a) wysokość ostrosłupa b) objętość tego ostroslupa 

 6.116. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego dwa boki mają długość , a dlugość trzeciego boku wynosi 30 cm. Każda ściana boczna tworzy z płaszczyzna podstawy kąt °. Oblicz objętość tego ostrostupa. 45 degrees 39 cm