Tag: Matematyka 1 poziom podstawowy Pazdro Oficyna Edukacyjna

7.121. Na jednej z dwóch prostych przecinających się w punkcie O zaznaczamy punkty A, B w taki sposób, że punkt O jest środkiem odcinka AB. Na drugiej prostej Laznaczamy punkty C, D w taki sposób, że punkt O jest również środkiem odcin ka CD. Wykaż, że pr. AC || pr. BD.

7.120. W trójkątach ostrokątnych ABClA,B,C 1 , poprowadzono wysokości CDIC 1 D Wykał, że MABC= Delta A,B,C 1 ,, jeżeli | langle A|=| langle A 1 |,| langle B|=| langle B 1 ||||CD|=|C 1 D 1 | D

7.119. W trójkątach ABCiA, B, C poprowadzono dwusteczne CDic,D 1 ,V Wykaż, że wiedząc, że |CD|=|C 1 D 1 | , |DA|=|D 1 A 1 | oraz | langle CDA big|=| langle C 1 D 1 A big| . ABC= 14,8,, 0

7.118. W trójkątach ABC i A 1 B 1 C 1 poprowadzono środkowe BD i B 1 D 1 , Wykaz , że ed BD=|B 1 D 1 | . |BC|=|B 1 C 1 | Goraz angle DBC=| langle D 1 B 1 C 1 big| ), to Delta ABC= Delta A 1 B,C 1 . 0

7.117. trójkątach ABCI iA 1 B 1 C 1 poprowadzono dwusieczne BD i B 1 D 1 , Wykaz, že =||BC=|B 1 C 1 |,| langle B|=| langle B 1 |||BD|=|B 1 D 1 | , to Delta ABC= Delta A 1 B 1 C 1 0

7.116. Udowodnij, że dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli przyprosto katna i przeciwległy jej kąt ostry jednego trójkąta równają się przyprostokątnej przeciwległemu kątowi ostremu drugiego trójkąta. D

7.115. Czy trojkaty w poniższych parach są przystające? Odpowiedz uzasadnij. b) 624 62^ ) d) 30 7,5 7,5 sqrt(3) 60 2 SS D

7.114. Boki trójkąta ABC mają długość: |AB| = 13 cm , |BC| = 14 cm , |AC| = 15 cm . Niech D oznacza spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka A. Oblicz CD.

7.113. W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku ku B – m * i * a * r beta , przy czym a < beta . Wykaż, że kąt między wysokością poprowadzoną A ma miarę a, zaś kąt z wierzchołka Ci dwusieczną kąta przy wierzchołku C jest równy przy wierzchot (beta – alpha)/2 Rozważ trzy przypadki, gdy kąt przy wierzchołku B jest kątem ostrym, prostym lub rozwartym. 

7.112. Udowodnij, że jeżeli środkowa trójkąta równa się połowie boku, do którego została poprowadzona, to trójkąt jest prostokątny. D 

7.111. W trójkącie ABC na wysokości CD wybrano punkt H taki, że | langle AHD|=| langle ABC| . Wykaż, że proste AH i BC są prostopadłe. 

7.110. Wykaż, że jeżeli jedna z wysokości trójkąta jest jednocześnie środkową tego trójkąta, to ten trójkąt jest równoramienny. D 

7.109. W trójkącie ABC poprowadzono wysokości BD i CE. Wykaż, że ABD i ACE są równe. miary kątów D

7.108. W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 30 cm. Środek ciężkoś ci tego trójkąta znajduje się w odległości 2 2 3 cm od podstawy. Oblicz obwód danego trójkąta. D 

7.107. W trójkącie równoramiennym boki maja długość 13 cm, 13 cm, 10 cm. Oblicz długość środkowych w tym trójkącie.

7.106. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego maja długość 16 cm i 12 cm. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta od wierzchołka kąta prostego.

7.105. W różnicę długości środkowej ka kąta prostego. trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 6 cm i 8 cm. Oblicz i wysokości tego trójkąta, poprowadzonych z wierzchot b = 1, 4m

7.104. W trójkącie prostokątnym równoramiennym przyprostokątna ma długość 4. Oblicz długość środkowych tego trójkąta.

7.103. Oblicz miary kątów trójkąta prostokątnego ABC, wiedząc, że środkowa i wy Wysokość poprowadzone z wierzchołka C dzielą kąt prosty C na trzy równe części. 

7.102. W trójkącie równoramiennym o obwodzie 32 cm wysokość poprowadzona podstawę jest równa 8 cm. Oblicz długość boków tego trójkąta.

7.101. W trójkącie prostokątnym poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego. Spodek wysokości podzielił przeciwprostokątną na odcinki długości a i b. Oblicz tę wysokość. a) a = 5 cm b = 2dm a= sqrt 2 cm b= sqrt 18 cm b) a = 0.2dm d) 1 b=1- dm 4 a = 2sqrt(3 1/16) * d * m 

7.100. W trójkącie prostokątnym wysokości mają długość: 12 cm, 15 cm, 20 cm. Jaka długość mają odcinki, na które spodek wysokości, poprowadzonej z wierzchoł ka kąta prostego, podzielił przeciwprostokątną? 

7,99. Oblicz długość boku trójkąta prostokątnego równoramiennego wiedząc, że najkrótsza wysokość tego trójkąta jest o 1 krótsza od pozostałych wysokości. Wynik przedstaw w postaci gdzie a, b, c są liczbami naturalnymi. a + b * sqrt(c) , 

7.98. Oblicz długość boku trójkąta równobocznego wiedząc, że jest on o 1 dłuższy od wysokości tego trójkąta. Wynik przedstaw w postaci a + b * sqrt(c) , gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi. 

7.97. Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, którego wysokość ma długość: a) 2sqrt(3) 3sqrt(6) c) 15 d) sqrt(2) .

7.96. Obwód trójkąta ABC wynosi 21 cm. Wysokość CD dzieli go na dwa trójkąty, których obwody wynoszą odpowiednio 12 cm i 15 cm. Oblicz wysokość CD. 

7.95. Sprawdź, czy dany trójkąt jest prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny, jeśli długości jego boków pozostają w stosunku: a) 4/3 / 5 b) 2/3 / 4 c) 2/1 / (sqrt(5)) d) sqrt(10) / (sqrt(6)) / (sqrt(5)) .

7.94. Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest ostrokątny, prosto kątny czy rozwartokątny: a) 4 cm, 5 cm, 6 cm c) 2 sqrt 3 cm,2 sqrt 6 cm,10 sqrt 0,36 cm b) 10 cm, 7 cm, 7 cm d) ( sqrt 2 +1)cm,( sqrt 2 -1)cm,2 sqrt 2 cm . 

7.93. Dane są odcinki o długościach a ib, a > b . Skonstruuj odcinek, którego dłu gość jest równa: a) a * sqrt(2) b) b * sqrt(12) c) 0, 5sqrt(a ^ 2 + b ^ 2) d) 1/3 * sqrt(a ^ 2 – b ^ 2) 

 7.92. W prostokącie ABCD bok AB ma długość 10 cm, a bok BC ma DC obrano punkt E tak, że DEl:|EC]:4 . Czy trójkąt ABE jest prostokątny? Odpo 4 cm. Na boku wiedź uzasadnij. 

7.91. Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest prostokątny: a c) 1,6 dm; 1,2 dm; 1 dm sqrt 2 cm ; sqrt 3 cm; sqrt 5 cm b) 4 dm; 85 cm; 75 cm d) 1 m; 5 dm; 1,25 m. 

7.90. Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 10 cm, a dwa jego krótsze boki pozostają w stosunku 8 : 15. Wyznacz długości boków tego trójkąta. 

7.89. W trójkącie prostokątnym średni bok jest krótszy od najdłuższego o 2 cm. Wiedząc, że najkrótszy bok ma długość 8 cm, oblicz długość pozostałych boków trójkąta. 

7.88. Punkt M leży na symetralnej odcinka AB, w odległości 11 cm od odcinka AB i 61 cm od końców tego odcinka. Oblicz długość odcinka AB.

7.87. Punkt P należy do dwusiecznej kata prostego i leży w odległości 2 cm od obu tego kąta, Jaka jest odległość tego punktu od ramion wierzchołka kąta?

7.86. Wielkość telewizora wyraża się długością przekątnej ekranu, mierzo wynosza lach (1cal = 2, 54 cm) . Oblicz, ile cali ma telewizor, którego wymiary ekranu wynosza 42 cm na 31,5 cm. Wynik podaj z dokładnością do 1 cala. 

7.85. Miejscowości A, B i C są położone nad tym samym Jeziorem – jak pokazano na rysunku obok. Z miejscowości A da C prowadzi droga długości 2,7 km, a droga z miejscowo Si C do B jest o 900 m dłuższa. O ile krótsza jest odległość W linii prostej od A do B od drogi prowadzącej przez C?

7.84. Oblicz długości nieznanych odcinków na rysunkach poniżej: b) 10 17 26 8 10 5

7.83. Oblicz x: a) 3 + 2sqrt(2) b) x + 1 6 + sqrt(2)

7.82. Narysuj dowolny trójkąt ABC i wykreśl przy dwóch jego wierzchołkach po jednym kącie zewnętrznym. Czy suma tych dwóch kątów może równać się kątowi polpełnemu? Odpowiedź uzasadnij. Twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie odwrot ne do twierdzenia Pitagorasa 

7.81. Udowodnij, że w każdym trójkącie jest kąt, który ma co najmniej 60 degrees się 60 degrees , i kąt 2

7.80. W trojkącie ABC prowadzimy dwusieczne kątów Bic, które przecinają D

7.79. Wewnątrz trójkąta ABC wybrano dowolny punkt S. Uzasadnij, że |<CSB >|<CAB.

7.78. W trójkącie ABC bok AB jest najdłuższy. Na boku AB odłożono odcinki AC 1 oraz | langle C 1 CC 2 |= | langle A|+|<B| 2 BC 2 w taki sposób, że |AC 1 |=|AC| oraz |BC 2 |=|BC . Wykaż, że «C,CC = D

7.77. w trójkącie ABC na rysunku obok boki ACI BC są równe. Punkty B, C, D są współliniowe oraz DF perp AB . Wykaż, że trójkąt CDE jest równoramienny.

7.76. wykaż, że jeśli w trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta przy podsta wie dzieli dany trójkąt na dwa trójkąty równoramienne, to kąty danego trójkąta są równe: 36 degrees , 72 degrees , 72 degrees . D

7.75. Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC zaznaczono punkty oraz |BC 2 |=|BC|,W vee kaz, że | langle C 1 CC 2 |=45 °. c 1 ic 2 w taki sposób, że AC 1 |=|AC| D

7.74.W trójkącie prostokątnym ABC przedłużono przeciwprostokątną AB i zazna czono na przedłużeniach punkty Di E tak, že AD|=|AC| oraz |BE| = |BC| ). Wykaż, że 14DCE = 135 D

7.73. wykaż, że jeżeli kąt przyległy do jednego z kątów trójkąta jest dwa razy więk szy od drugiego kąta tego trójkąta, to trójkąt jest równoramienny

7.72. W trójkącie ABC połączono środki boków i otrzymano trójkąt KLM. Wykaz, że kąty trójkąta KLM mają takie same miary, jak kąty trójkąta ABC. D