Tag: Matematyka 2 poziom podstawowy Pazdro Oficyna Edukacyjna

8.61. Wykaż, że liczba 26 ^ 24 – 15 ^ 24 jest podzielna przez 41. sześcian

 8.59. że liczba sqrt(sqrt(2) – 1) * root(4, 3 + 2sqrt(2)) jest liczbą naturalną. Wykaż, że liczba 209 ^ 21 – 45 ^ 21 jest podzielna przez 164. D

8.59. że liczba sqrt(sqrt(2) – 1) * root(4, 3 + 2sqrt(2)) jest liczbą naturalną. Wykaż, że liczba 209 ^ 21 – 45 ^ 21 jest podzielna przez 164. D 

8.58. Wykaż, D

8.57. Wykaż, że liczba (26 – 15sqrt(3)) * (2 + sqrt(3)) ^ 3 jest liczbą naturalną. D

 8.56. Wykaż, że liczba (1 – sqrt(2)) ^ 3 * (7 + 5sqrt(2)) jest liczbą całkowitą. D

8.55. Wykaż, że jeśli a + b = 4iab + 9 = 0 przez 6, to a ^ 3 – b ^ 3 = 230 , to a ^ 3 + b ^ 3 – 172 = 0 . D 

8.54. Wykaż, że jeśli a – b = 5iab = 7 , to D

 8.53. Wykaż, że jeśli liczba parzysta jest niepodzielna przy dzieleniu przez 6 daje resztę 2 lub 4. D

 8.52. Liczba całkowita c przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Wykaż, z dzielenia liczby c ^ 3 – 2 przez 3 jest równa 2. D 

8.51. Liczba całkowita c przy dzieleniu przez 6 daje resztę 2. jest podzielna przez 12. D

8.50. Liczba całkowita a przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, zaś liczba całkowita b przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Wykaż, że suma sześcianów tych podzielna przez 4. liczb jest Wykaż, że liczba że reszta tej liczby 4 + c ^ 3 D 

8.49. Wykaż, że jeśli liczba całkowita przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, cian tej liczby przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2. to sześ. D 

8.48. Wykaż, że liczba 536 ^ 3 – 124 ^ 3 jest podzielna przez 103. D 

8.47. Wykaż, że liczba 207 ^ 3 + 148 ^ 3 jest podzielna przez 71. D 

8.46. Usuń b) 1 – x ^ 3 f) 125a ^ 3 + 216 b) x ^ 3 + 18x ^ 2 + 108x + 216 d) 8x ^ 3 + 36x ^ 2 * y + 54x * y ^ 2 + 27y ^ 3; 1 – 15y + 75y ^ 2 – 125y ^ 2 . f) niewymierność z mianownika 27z ^ 3 – 1 g) 5sqrt(5) + x ^ 3 ułamka: d) 8k ^ 3 – 125 h) y ^ 3 – 2sqrt(2) . 2/(2 – root(3, 2)); 2/(root(3, 3)); 2/(3 + root(3, 5)); 1/(3 * root(3, 2)); (2 * root(3, 5))/(root(3, 25)) c) 7/(root(3, 16) – root(3, 12) + root(3, 9)) g ((root(3, 2))/(4 * root(3, 16) + 2 * root(3, 4) + 1) * h) * (root(3, 3) – 2)/(root(3, 3) + root(3, 9)) e a) b) f) d)

 8.45. Zamień na iloczyny wyrażenia: a) y ^ 3 + 8 e) 64 + 27y ^ 3

 8.44. Zamień na iloczyny wyrażenia: a) x ^ 3 – 3x ^ 2 + 3x – 1 c) 27 – 27y + 9y ^ 2 – y ^ 3 e) 1 + 6x + 12x ^ 2 + 8x ^ 3

 8.43. Rozwiąż nierówność: a) ( (x – 2) ^ 3 + 7x ^ 2 + (2 + x)(x ^ 2 – 2x + 4) > 2x ^ 3 + 12x + 25 b) (x – 4)(x ^ 2 + 4x + 16) – 2 * (x – 1) ^ 3 >= 5(x – 4) * (x + 3) – x ^ 3 c) x ^ 2 * (x – 5) – (x – 2) ^ 3 <= 3x – 12(x – 1) d) (3 + x) ^ 3 + (2x – 1)(4x ^ 2 + 2x + 1) – 11(3x + 4) < 9x ^ 2 * (x + 1) – (x ^ 2 + 2)

 8.42. Rozwiąż równanie: a) ( (x – 1) ^ 3 + 35 = 4 * (x + 1) ^ 2 – (2 – x)(4 + 2x + x ^ 2) b) (2 + x) ^ 3 + 9x = 10 – (2 – x) ^ 3 + (2x – 1) ^ 2 c) 2 * (3x – 5) ^ 2 + 3(x + 1) * (x ^ 2 – x + 1) = (x + 3) ^ 3 + 2x * (x ^ 2 – 25) + 72 d) (x – 4) ^ 3 – 12 * (x + 2) ^ 2 + 20x * (x – 4) = – 9 – (x ^ 2 + 3x + 9)(3 – x) .

8.41. Wykonaj działania i przeprowadź redukcję wyrazów podobnych: (x + 1) ^ 3 – (2x – 3) ^ 2 – (x + 3) ^ 2 + 2(x – 2) * (x + 2); (2x – 5) ^ 2 * (x – 1) – (3x + 1) ^ 2 * (x + 1) – (x – 1)(x ^ 2 + x + 1); (2x – 1) ^ 3 – (x + 1) ^ 3 + (x + 2) ^ 3 – (x + 2)(x ^ 2 – 2x + 4); (2x – 3y) ^ 2 – (3x – y)(3x + y) + (x – 2y) ^ 2 – (8x – 7y)(- 2y) d) ( (x ^ 2 – 1) ^ 3 – (x – 1)(x ^ 2 + 1) * (x + 1) + 4x ^ 2 * (x ^ 2 + 1); (3x – 1) ^ 3 – 3(x + 1) * (x ^ 2 – x + 1) + 2 * (x – 2) ^ 3 b e) ( f) (

8.40. Doprowadź dane wyrażenie do najprostszej postaci. a) (x – 1) ^ 3 + (2 – x) ^ 3 c) (x + 1)(x ^ 2 – x + 1) + (1 – x) ^ 3 e) (x + 4) ^ 3 – (4 – x)(x ^ 2 + 4x + 16) b) (2 + x) ^ 3 + 2 * (x – 1) ^ 3 d) 3(x – 2) * (x ^ 2 + 2x + 4) – (x + 3) ^ 3 f) (root(3, 5) + x) ^ 3 – (root(3, 5) – x) ^ 3 – 6 * root(3, 25) * x

8.39. Oblicz: a) (2 – root(3, 5))(4 + 2 * root(3, 5) + root(3, 25)) c) (root(3, 3) + root(3, 2))(root(3, 9) – root(3, 6) + root(3, 4)) b) ( (3 + x)(9 – 3x + x ^ 2) d) (2 – y)(4 + 2y + y ^ 2) f) (sqrt(2) – z)(z ^ 2 + 2 + sqrt(2) * z) b) (1 – 2 * root(3, 2) + 4 * root(3, 4))(1 + 2 * root(3, 2)) d) (4 * root(3, 4) + 2 * root(3, 18) + root(3, 81))(root(3, 9) – 2 * root(3, 2)) 

8.38. Zapisz za pomocą sumy algebraicznej wyrażenie: a) ( (x + a)(x ^ 2 – ax + a ^ 2) c) (y + 4)(16 – 4y + y ^ 2) e) (25 + 5x + x ^ 2)(x – 5)

8.37. Oblicz sześcian danej liczby. a) 1 – sqrt(3) e) 2 + root(3, 2) b) sqrt(6) + 2 f) – root(3, 3) – root(3, 9) c) (1 + 3x) ^ 3 B) (2x – 3) ^ 3 c) d) h) (root(3, 3) + 1) ^ 3; (1 – root(3, 2)) ^ 3 d) 4sqrt(2) + sqrt(6) h) root(3, 5) + 2 * root(3, 25); 3sqrt(2) – 1; 2 * root(3, 2) – root(3, 4) 

8.36. Zapisz za pomocą sumy algebraicznej wyrażenie: a) ( (y + z) ^ 3 e) (5 – b) ^ 3 b) (2 + a) ^ 3 f) ( (x – 4) ^ 3 

8.35. Wyznacz współczynniki bic tak, aby lomianem zerowym, jeśli: a) W(x) = – 3x + 5; W(x) = 2x – 3 b) wielomian w(x) * F * (x) – H(x) byt wie F(x)=x^ 2 +bx+c,; H(x) = – 3x ^ 3 – x ^ 2 – 2x + 20; F(x) = x ^ 2 + bx + c; H(x) = 2x ^ 3 + 7x ^ 2 – 13x – 3 Wzory skróconego mnożenia stopnia 3. Wzór na a ^ n – b ^ n 

8.34. Wyznacz współczynniki a i a) W(x)=x^ 2 +3x+2, , b) W(x) = 2x ^ 2 – x + 5 , H(x) = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x – 7 . b tak, aby W(x) * F(x) = H(x) jeśli: F(x) = ax + b , H(x) = 2x ^ 3 + 3x ^ 2 – 5x – 6; F(x)=ax+b.; H(x) = – 2x ^ 3 + 7x ^ 2 – 8x + 15 . i P P(x) są równe,

8.33. Wyznacz współczynniki a i b, dla których wielomiany w(x) – F(x) * i * H * (x) * s * q równe, jeśli: a) w(x) = x ^ 3 + a * x ^ 2 + 3x + 1 , F(x)=2x^ 2 +bx-4,; H(x) = x ^ 3 – 7x ^ 2 + 8x + 5; w(x) = 2x ^ 3 + a * x ^ 2 + 5x – 3 , F(x) = x ^ 3 – 5x ^ 2 + bx + 4 b) W 

8.32. Sprawdź, czy istnieją liczby a równe, jeśli: P P(x) = 3x ^ 3 + 18x ^ 2 – 5x – 17; p(x) = 5x ^ 3 + 3x ^ 2 – 2x + 8; P(x) = (3x ^ 2 – a ^ 2 * x + 2)(- 2x – 1); P(x) = 4x ^ 3 + (a – 3) * x ^ 2 – 6x – a . i b, dla których wielomiany W(x) * i * p * (x) * s * q a) w(x) = 2x ^ 3 + (3a + 1) * x ^ 2 + (b + 2) * x – 4 b) w(x) = (2ax – b) ^ 3 c) w(x) = 2ax * (2x – b) ^ 2 d) W(x) = (x ^ 2 – ax) ^ 2 – (x ^ 2 + bx) ^ 2 P P(x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2 + 5x – 4; P(x) = 8x ^ 3 – 10x ^ 2 + 6x – 1; P(x) = 16x ^ 3 – 48x ^ 2 + 36x; P(x) = – 2x ^ 3 – 3x ^ 2 

8.31. Wyznacz liczbę a, dla której wielomiany W(x) i P(x) są równe, jeśli: a) w(x) = (3x ^ 2 – sigma)(x + 2a) – (2x – 1) b) w(x) = 8 + ax * (ax + 1) – (a ^ 2 + x – 5x ^ 2) * x c) w(x) = – 6x ^ 3 – 5a * x ^ 2 – ax – 2 d) w(x) = (2x ^ 2 – 3)(2x – a ^ 2) – 4

8.30. Sprawdź, czy istnieje liczba a, dla której wielomiany a) w w(x) = (x ^ 2 – ax)(x + 2a) + 8x b) w(x) = 2x ^ 4 – 3(a + 1) * x ^ 3 + 4a c) W w(x) = (x ^ 3 – 2a)(x ^ 3 + 2a) – 6x d) w(x) = (3x – a) ^ 2 * 4 * x; W(x); P(x) = x ^ 3 – 2x ^ 2; P(x) = 2x ^ 4 – 6x ^ 3 + 8; P(x) = x ^ 2 + 3ax – 16; P(x) = 36x ^ 3 + 48x ^ 2 + 16x . 

8.29. Sprawdź, czy wielomiany w(x) = (3x – 1)(4 – 2x) * (x + 1) b) w(x) = (3 – 5x) ^ 2 * (x ^ 2 – 1) – 25x ^ 4 cw w(x) = (- 2x + 1) ^ 3; w(x) = 3x ^ 5 – (2x ^ 2 + 1)(x ^ 3 – 1) d) W w(x) i P(x) są równe, jeśli: P(x) = – 6x ^ 3 + 8x ^ 2 + 10x – 4; P(x) = – 30x ^ 3 – 16x ^ 2 + 30x – 9; P(x) = – 8x ^ 3 + 12x ^ 2 – 12x + 1; P(x)=x^ 5 -x^ 3 +2x^ 2 +1. 

8.28. Określ stopień wielomianu W(x) oraz podaj wyraz wolny i współczy tego wielomianu przy najwyższej potędze zmiennej x – bez wykonywania dzi w(x)=(4x^ 2 -1)(3x^ 3 +2)(x^ 5 -4 a) w(x) = (- 3x ^ 4 + 1) * (2x ^ 3 – 5) ^ 3 c) w(x) = (3x + 1) ^ 2 * (2x ^ 4 – 5) b) d) W(x) = – 2x ^ 6 * (x ^ 3 + 1) ^ 4 * (2 – 3x) ^ 2

8.27. Wykonaj działania: b) (3x ^ 2 – x + 2) ^ 2 – (3x ^ 2 + x + 2) ^ 2 . d) (2x ^ 2 – 3x) ^ 2 + (x ^ 2 + 4x) ^ 2 a) (x ^ 3 – 2x + 1)(x ^ 2 + 1) + (x ^ 4 + 3x + 2)(x ^ 3 – 2x) b) (2x ^ 4 – 3x + 5)(x ^ 3 + 4x + 1) + (x ^ 3 + 2x)(x ^ 4 – 4x ^ 2) c) (3x ^ 3 – 2x ^ 2 + 5x + 1)(x + 2) + (x ^ 3 + 4x ^ 2 – 1)(x ^ 2 + 5x) d) (x ^ 3 – 2x ^ 2 + 4x + 5)(x ^ 2 – 1) – (x ^ 3 – 4x ^ 2 + 2x – 3)(x ^ 2 + 2x) .

8.26. Wykaż, że ( (a + b + c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ac . Następnie wy konaj działania: a) (x ^ 2 – x + 1) ^ 2 – (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 c) (x ^ 2 + x) ^ 2 + (3x ^ 2 + 1) ^ 2

8.25. Wykonaj działania: a) (3x ^ 2 – 4x)(3x ^ 2 + 4x) c) (3x ^ 7 + 2x) ^ 2 b) P(x) * G(x) d) [P(x)] ^ 2 * W(x) b) (x ^ 12 – 1)(x ^ 3 + x ^ 4) d) ( (x ^ 4 – x ^ 3 – x ^ 2)(x ^ 5 + 1) . b) (5x ^ 3 – 6x) ^ 2 d) (9x ^ 7 – x ^ 3)(9x ^ 7 + x ^ 3) . D 

8.24. Wykonaj mnożenie: a) (x ^ 7 – x ^ 6)(x ^ 5 – x ^ 2) c) (x ^ 7 – x ^ 6 – 1)(x ^ 5 + x ^ 3) 

8.23. Dane są wielomiany: w(x) = 3x ^ 2 – 2; P(x) = x ^ 3 + 2x – 1oraz; G(x) = 4x ^ 2 – 3x + 1 Wykonaj działania: a) W(x) * P(x) c) [W(x)] ^ 2 * G(x) 

8.22. Dane są wielomiany: W(x) = – 3x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x – 1 , G(x) = x ^ 4 – 2x ^ 3 + 4x ^ 2 – 7 Wykonaj działania: a) P(x) + 2G * (x) c) W(x) – [P(x) – G(x)] b) 3P * (x) – 2W * (x); p(x) = 2x ^ 2 + 3x; 3* ora; d) w(x) + G(x) – 3P * (x) 

8.21. Dany jest wielomian i uporządkuj go malejąco, jeśli: a) F(x) = 4 * W(x) d) F(x) = (x – 1) * W(x) b) e) W(x) = – 3x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x – 1 Wyznacz wielomian F(x) = – 0, 5 * W(x); F(x) = (x ^ 2 + 3x) * W(x) c) f(x) = x ^ 2 * W(x); F(x) f) f(x) = (2x ^ 2 – 3) * W(x) .

8.20. Wykonaj działania: \rho(x) = 0, 75x ^ 7 + 5/8 * x ^ 6 + 0, 125x ^ 5 + 2 P P(x) = – 4x ^ 3 – 12x ^ 2 + 0, 5x + 0, 4; P(x) = 5x ^ 6 – 2sqrt(2) * x ^ 5 + 4x – 1; P(x) = x ^ 4 – x ^ 3 + sqrt(3) * x ^ 2 – sqrt(2) a) (2x ^ 6 – 3x ^ 4 + 2x) – (x ^ 4 + 8x ^ 2 + 4x – 1) + x ^ 6 + 5x ^ 4 + 6x ^ 2 b) (- 3x ^ 4 + 5x ^ 3 – 6) – (4x ^ 4 + 2x ^ 3 + 4x) – (- 7x ^ 4 + 3x ^ 3 + 8) c) 7x ^ 7 – 6x ^ 5 + 2x – (4x ^ 5 + 3x ^ 2 – 6) – (7x ^ 7 – 10x ^ 5) d) 12x ^ 3 – (x ^ 7 + 4x ^ 3) – (14x ^ 3 – 5x ^ 7) .

8.19. Dane są wielomiany W(x) i P(x) Wyznacz wielomian W(x) – P(x) a) w(x) = 3/4 * x ^ 7 – 3/8 * x ^ 6 + 1/8 * x ^ 5 + 8 b) W(x) = 4x ^ 3 – 12x ^ 2 + 0, 6x + 0, 4 c) W(x) = 3x ^ 6 – sqrt(2) * x ^ 5 + 2sqrt(2) * x ^ 3 + 8x d) w(x) = sqrt(2) * x ^ 4 – 3sqrt(3) * x ^ 3 + 4x ^ 2 + 1

8.18. Dane są wielomiany W(x) i P(x) . Wyznacz wielomian W(x) + P(x) . a) W w(x) = – 4x ^ 7 + 2x ^ 5 – 3x ^ 2 + 6 b) W w(x) = 3x ^ 5 – 8x ^ 4 + 2x ^ 3 – x c) W(x) = 3 – 4x ^ 2 + 8x ^ 3 + x ^ 4 d w(x) = 1/4 * x ^ 6 – 1/2 * x ^ 5 + 6x ^ 3 – 1/8; P(x) = 4x ^ 7 – 3x ^ 5 + 2x ^ 3 + 4x ^ 2 – 8; P(x) = 9x ^ 5 + 9x ^ 4 – 6x ^ 3 + 1; P(x) = – x ^ 4 – 8x ^ 3 + 2x; P(x) = – 0, 25x ^ 6 + 0, 5x ^ 5 – 8x ^ 3 + 0, 125 

8.17. Suma wszystkich współczynników wielomianu jest równa -6 oraz w(x) = – 2x ^ 4 + (a – a ^ 2) * x ^ 3 + b – 4; W(0) = 8 . Oblicz a i b. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów 

8.17. Suma wszystkich współczynników wielomianu jest równa -6 oraz w(x) = – 2x ^ 4 + (a – a ^ 2) * x ^ 3 + b – 4; W(0) = 8 . Oblicz a i b. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów 

8.16. Suma wszystkich współczynników wielomianu w(x) = 5x ^ 3 + (2a ^ 2 – 3) * x ^ 2 + (a + 1) * x + 2 W jest równa 11. Oblicz a.

8.15. Suma wszystkich współczynników wielomianu w(x) = 3x ^ 3 – (2a + b) * x ^ 2 + (a – b) * x + 6 jest równa 8 oraz W(- 2) = – 82 . Obliczb. podanych obok wielomianu

8.14. Wyznacz współczynnik a wielomianu W(sqrt(2) – 1) = W(1 – sqrt(2)) . w(x) = x ^ 4 + ax – 4 , wiedz 

8.13. Jeden ze współczynników wielomianu W(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + cx jest wyz ny przez warunek W(1) + W(- 1) = 8 . Podaj wartość tego współczynnika.